Các bài toán nội suy

Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương
1.1
1.2
1.3
1.4

1 Một số dạng khai triển và đồng nhất thức
Một số tính chất cơ bản của hàm số . . . . . . . .
Một số đồng nhất thức dạng đại số - lượng giác . .
Một số đẳng thức trong biến đổi dãy số . . . . . .
Tính toán trên tập số nguyên và đa thức nguyên .

Chương
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6

2 Các bài toán nội suy cổ điển
Khai triển và nội suy Taylor . . . . . . . . . . . . .
Bài toán nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . .
Nội suy Newton và khai triển Taylor - Gontcharov
Bài toán nội suy Hermite . . . . . . . . . . . . . .
Bài toán nội suy Lagrange - Newton . . . . . . . .
Bài toán nội suy Newton - Hermite . . . . . . . .

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

Chương
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5

3 Nội suy theo yếu tố hình học và biểu diễn hàm
Nội suy theo các nút là điểm dừng của đồ thị . . . . . . .
Hàm số chuyển đổi các tam giác . . . . . . . . . . . . . .

Biểu diễn đa thức theo hệ nghiệm của các nguyên hàm . .
Dạng nội suy và tính chất hàm lồi, lõm bậc cao . . . . . .
Biểu diễn một số lớp hàm số . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

Chương
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5

4 Nội suy bất đẳng thức
Nội suy bất đẳng thức bậc hai trên một đoạn . . . . . .
Tam thức bậc tuỳ ý và hàm phân thức chính quy . . . .
Chuyển đổi và điều chỉnh các bộ số theo thứ tự dần đều
Một số mở rộng của định lý Jensen . . . . . . . . . . . .
Nội suy bất đẳng thức trong lớp hàm đơn điệu . . . . .

1

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

3

.
.
.
.

7
. 7
. 14
. 31
. 56

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

79
80
98
106
108
118
120

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

124
124
127
138
145
161

. . .
. . .
. .
. . .
. . .

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

172
172
181
186
194
204

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.


Mục lục

2

Chương
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5

5 Một số ứng dụng nội suy trong xấp xỉ hàm số
Tính chất cơ bản của đa thức lượng giác . . . . . . . .
Đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ước lượng đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Xấp xỉ hàm số theo đa thức nội suy . . . . . . . . . . .
Một số bài toán về đa thức nhận giá trị nguyên . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

227
227
232
235
246
251

Chương
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5

6 Bài toán nội suy cổ điển tổng
Bài toán nội suy cổ điển tổng quát .
Bài toán nội suy Taylor mở rộng . .
Bài toán nội suy Lagrange mở rộng .
Bài toán nội suy Newton mở rộng .
Bài toán nội suy Hermite mở rộng .

Chương
7.1
7.2
7.3
7.4
Tài

7 Các bài toán nội suy trong dãy

Không gian và đại số các dãy số . . .
Đạo hàm của dãy số . . . . . . . . . .
Phép tính sai phân và các tính chất cơ
Nội suy trong dãy số . . . . . . . . . .
liệu tham khảo . . . . . . . . . . . .

quát
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
số
. . .
. . .
bản
. . .
. . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

263
263
271
274
276
278

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

281
281
285
286
289
303


Lời nói đầu
Các bài toán nội suy và những vấn đề liên quan đến nó là một phần quan
trọng của đại số và giải tích toán học. Các học sinh và sinh viên thường phải
đối mặt với nhiều dạng toán loại khó liên quan đến chuyên đề này. Các bài toán
nội suy có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là những đối tượng để
nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình liên
tục cũng như các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý
thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, ...
Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán khu vực
và quốc tế, thi Olympic sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài
toán liên quan đến nội suy (thường mới chỉ dừng lại ở nội suy Lagrange và khai
triển Taylor) rất hay được đề cập và thường thuộc loại rất khó. Các bài toán về
khai triển, đồng nhất thức, ước lượng và tính giá trị cực trị của các tổng, tích
cũng như các bài toán xác định giới hạn của một biểu thức cho trước thường có
mối quan hệ ít nhiều đến các bài toán nội suy tương ứng.
Các bài toán nội suy và đặc biệt các bài tập về ứng dụng công thức nội suy
chúng thường ít được đề cập ở các giáo trình cơ bản và sách tham khảo về đại số
và giải tích toán học. Các bài toán nội suy là một chuyên đề chọn lọc cần thiết
cho giáo viên và học sinh Hệ Chuyên Toán bậc trung học phổ thông và năm đầu
bậc đại học và cũng là chuyên đề cần nâng cao cho bậc sau đại học.

Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi về
chuyên đề các bài toán nội suy và ứng dụng, chúng tôi viết cuốn sách nhỏ này
nhằm cung cấp một tài liệu cơ bản về các vấn đề liên quan đến nội suy và một
số vấn đề ứng dụng liên quan. Đồng thời cũng cho phân loại một số dạng toán
về nội suy bất đẳng thức theo nhận dạng cũng như thuật toán giải.
Trong tính toán, nhiều khi ta cần phải xác định giá trị của hàm số y = f (x)
tại điểm x ∈ R tuỳ ý cho trước, trong khi đó chỉ cho biết một số giá trị của hàm
số và của đạo hàm của nó đến cấp nào đó của nó tại một số điểm xki ∈ R cho
trước, tức là ta mới chỉ biết các dữ liệu
f (sk ) (xki ) = aki ,
trong đó xki , aki ∈ R cho trước và k, i, sk ∈ N.
3

(1)


Mục lục

4

Đối với một số trường hợp khác thì biểu thức của f (x) tuy đã biết nhưng
thường được cho dưới dạng biểu thức phức tạp, và do đó việc thực hiện các phép
tính trên biểu thức của f (x) cũng gặp rất nhiều khó khăn. Đối với những trường
hợp như vậy, người ta tìm cách xây dựng một hàm số P (x) đơn giản hơn, thường
là các đa thức, và thỏa mãn điều kiện (1), tức là:
P (sk ) (xki ) = aki ,
trong đó xki , aki ∈ R cho trước và k, i, sk ∈ N.
Ngoài ra, tại những giá trị x ∈ R mà x không trùng với xki thì P (x) ≈ f (x) (xấp
xỉ theo một độ chính xác nào đó).
Hàm số P (x) được xây dựng theo cách như vậy được gọi là hàm nội suy của

f (x), các điểm xki thường được gọi là các mốc nội suy và bài toán xây dựng hàm
P (x) như vậy được gọi là bài toán nội suy.
Sử dụng hàm nội suy P (x), ta dễ dàng tính được giá trị tương đối chính xác
của hàm số f (x) tại x ∈ R tuỳ ý cho trước. Từ đó có thể tính gần đúng giá trị
đạo hàm và tích phân của nó trên R. Vì các đa thức đại số là hàm số đơn giản
nhất, nên trước tiên ta nghĩ đến việc xây dựng P (x) ở dạng đa thức đại số.
Các bài toán nội suy cổ điển ra đời rất sớm, khởi đầu là các công trình toán
học của Lagrange, Newton, Hermite,... Tuy nhiên, việc xây dựng bài toán nội suy
tổng quát và các thuật toán tìm nghiệm của nó cũng như việc xây dựng lý thuyết
nội suy nói chung cho đến nay vẫn được nhiều nhà toán học tiếp tục nghiên cứu
và phát triển theo các hướng khác nhau.
Lý thuyết các bài toán nội suy cổ điển và một số vấn đề liên quan đến các đặc
trưng hàm như tính đơn điệu, tính lồi, lõm, tính tuần hoàn, ... là những mảng
kiến thức quan trọng và thường là khó và rất khó trong chương trình toán giải
tích.
Mục tiêu của cuốn sách này là nhằm cung cấp cho bạn đọc một số kiến thức
về lý thuyết và phương pháp nội suy theo thang liên tục để từ các bất đẳng thức
mới nhận được cho ta khẳng định các tính chất hàm quan trọng như tính đơn
điệu, tính lồi, lõm, tính tuần hoàn, ... cung cấp một cách nhìn tổng quát hơn về
thứ tự bậc sắp được của thang (liên tục) các bất đẳng thức.
Ngoài những chuyên đề cơ bản, cuốn sách còn trình bày ngắn gọn hệ thống
các bài toán nội suy cơ bản trong chương trình giải tích toán học bậc cuối phổ
thông và năm thứ nhất bậc đại học. Hy vọng rằng cuốn sách chuyên đề này sẽ
giúp ích nhiều trong việc sáng tác hệ thống các bài tập mới phù hợp với trình độ
của từng đối tượng học sinh, giúp ích trong việc bồi dưỡng sinh viên và học sinh
năng khiếu toán học.
Một phần kết quả trong cuốn sách này là đưa ra và khảo sát khái niệm độ
gần đều cho một bộ số tuỳ ý và các định lý khái quát hoá kết quả của Jensen mà
một số tác giả mới thu nhận được gần đây nên không có trong các tài liệu chính
thống và sách tham khảo hiện hành.

Mục lục

5

Có thể nói các bài toán nội suy cổ điển đóng một vai trò rất quan trọng trong
việc thiết lập các đa thức thỏa mãn hệ các điều kiện ràng buộc đặc biệt. Việc
nghiên cứu các bài toán nội suy là nhằm để giải các bài toán về ước lượng hàm số
trên một tập nào đó. Tuy nhiên, ở các trường trung học phổ thông thì lý thuyết
các bài toán nội suy còn rất mới mẻ và bỡ ngỡ ngay cả đối với giáo viên giảng
dạy môn toán học. Chính vì vậy, và cũng để đáp ứng cho nhu cầu giảng dạy và
học tập, chúng tôi viết cuốn tài liệu nhỏ này. Đây là chuyên đề có ý nghĩa thực
tiễn trong công việc giảng dạy, nó cho ta sự nhìn nhận nhất quán về các bài toán
nội suy cũng như các bài toán giá trị ban đầu và giá trị biên tương ứng của giải
tích một biến.
Cuốn sách gồm phần mở đầu và 6 chương.
Chương 1. Một số dạng khai triển và đồng nhất thức đa thức
Chương 2. Các bài toán nội suy cổ điển
Chương 3. Nội suy theo yếu tố hình học và biểu diễn hàm số
Chương 4. Nội suy bất đẳng thức
Chương 5. Một số ứng dụng nội suy trong xấp xỉ hàm số
Chương 6. Bài toán nội suy cổ điển tổng quát
Đây là bài giảng mà các tác giả đã giảng dạy cho học sinh và sinh viên các
đội tuyển thi Olympic toán quốc gia và quốc tế và là tài liệu nghiệp vụ cho các
đồng nghiệp, các nghiên cứu sinh và học viên cao học quan tâm đến lý thuyết
các bài toán nội suy trong giải tích.
Ngoài ra, chúng tôi cũng đưa vào xét một số vấn đề liên quan đến hệ thống
ứng dụng các bài toán nội suy như là một cách tiếp cận của phương pháp nhằm
giúp độc giả hiểu sâu hơn cơ sở và cấu trúc của lý thuyết các bài toán nội suy.

Một số dạng ví dụ và bài tập được chọn lọc là các đề ra của các kỳ thi học
sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tế. Một số các bài toán minh hoạ khác được
trích từ các tạp chí Kvant, Mathematica, Crux, các sách giáo khoa và sách giáo
trình cơ bản về giải tích, các đề thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế cũng như
một số đề thi Olympic sinh viên trong những năm gần đây.
Trong cuốn sách này, có trình bày một số kết quả mới chưa có trong các sách
hiện hành, chủ yếu trích từ kết quả của tác giả và đồng nghiệp tại các seminar
khoa học liên trường tại Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội và một số báo
cáo khoa học đăng trong Kỷ yếu Hội Nghị Khoa Học "Các chuyên đề Toán chọn
lọc của Hệ THPT Chuyên" (xem [1]-[16]), nên đòi hỏi độc giả cũng phải tốn khá
nhiều thời gian tìm hiểu thì mới lĩnh hội được đầy đủ ý tứ và cách thức tiếp cận
của phương pháp. Tuy nhiên, bạn đọc cũng có thể bỏ qua các đề mục mới để tập
trung đọc các phần có nội dung quen thuộc trước rồi sau đó hãy quay lại phần
kiến thức nâng cao.


Mục lục

6

Cuốn sách thuộc Tủ sách chuyên toán dành cho học sinh khá giỏi môn Toán
bậc trung học phổ thông, sinh viên và học viên cao học, các thầy giáo và cô giáo
tham gia chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi.
Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới PGS. TS Nguyễn Minh Tuấn, PGS.
TS Trần Huy Hổ, TS Trần Hữu Nam đã đọc bản thảo và cho nhiều ý kiến đóng
góp quý báu cho cuốn sách được hoàn chỉnh. Tác giả sẽ vô cùng biết ơn các bạn
đọc có ý kiến đóng góp về nội dung cũng như cách thức trình bày của cuốn sách.
Mọi góp ý gửi về địa chỉ : Nhà xuất bản Giáo dục, 81 Trần Hưng Đạo, Hà Nội.
Hà Nội, 01 tháng 01 năm 2007
Nguyễn Văn Mậu

Chương 1

Một số dạng khai triển và đồng
nhất thức
Trong chương trình Toán bậc phổ thông hiện hành, các bài toán về tính giá
trị của một biểu thức, chứng minh các đồng nhất thức và bất đẳng thức chiếm
một thời lượng rất lớn. Các bài toán về tính giá trị của một biểu thức bao giờ
cũng gắn liền với kỹ năng vận dụng các hệ thức hoặc công thức biến đổi quen
biết. Đối với bạn đọc đã làm quen với việc khảo sát các tính chất của hàm số
thì thường liên tưởng các dạng toán này với các đồng nhất thức quen biết dạng
hằng đẳng thức đáng nhớ, dạng đồng nhất thức Lagrange,... hoặc các dạng khai
triển hàm số quen biết như khai triển Taylor, khai triển Abel,...

1.1

Một số tính chất cơ bản của hàm số

Ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất giải tích cơ bản của hàm số.
Giả sử D ⊂ R là tập hợp các số và giả sử ứng với mỗi số x ∈ D, theo một
quy luật hoàn toàn xác định nào đó, đặt tương ứng một số duy nhất y thì người
ta nói rằng trên D đã cho một hàm (ánh xạ đơn trị) và ký hiệu là
y = f (x), x ∈ D hay x → f (x), x ∈ D.
Định nghĩa 1.1. Đại lượng biến thiên x được gọi là đối số hay biến độc lập và
tập hợp D (x ∈ D) tương ứng được gọi là tập xác định hay miền xác định của
hàm số y = f (x). Đại lượng biến thiên y thường được gọi là hàm số hay đại lượng
phụ thuộc và tập hợp D∗ tương ứng (y ∈ D∗ ) được gọi là tập giá trị hay miền giá
trị của hàm số dã cho.
Khi muốn mô tả hàm số như một quy luật nào đó thì người ta thường dùng

ký hiệu f (g, h, . . . ), còn ký hiệu f (x) dùng để chỉ đại lượng y mà theo quy luật
7


8

1.1. Một số tính chất cơ bản của hàm số

f nó là sự tương ứng với giá trị x ∈ D. Về sau, nếu cho hàm số y = f (x) thì
ta sử dụng ký hiệu Df là miền xác định của f và Ef là miền giá trị của f . Đôi
khi ta cũng viết Ef = f (Df ) và nói rằng f ánh xạ Df lên Ef ; còn nếu ảnh
Ef = f (Df ) ⊂ D∗ , D∗ ⊂ R thì f ánh xạ Df vào D∗.
Hàm f và g được gọi là đồng nhất (bằng nhau) nếu Df = Dg và đẳng thức
f (x) = g(x) thoả mãn với mọi giá trị của đối số x ∈ Df .
Từ khả năng thực hiện được các phép tính số học và đại số khác nhau trên
R cho phép ta mở rộng được các phép tính đối với các hàm số để thu được các
hàm mới từ các hàm đã cho.
Ví dụ 1.1. Tổng hai hàm f và g được hiểu là hàm được ký hiệu là f + g xác
định bởi các điều kiện sau đây
(i) Df +g = Df ∩ Dg ;
(ii) (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀x ∈ Df +g .
Cũng theo cách tương tự, ta định nghĩa tích αf với α = const , tích (số học)
f g, và thương f /g của hàm f và g được hiểu là hàm xác định bởi các điều kiện:
(iii) Df /g = Df ∩ x ∈ Dg : g(x) = 0 ,
f
f (x)
(iv)
(x) =
, ∀x ∈ Df /g .
g

g(x)
Ngoài các phép tính số học và đại số thực hiện trên các hàm người ta còn xét
phép hợp các hàm số.
Ví dụ 1.2. Hàm g ◦ f (đọc là: g hợp với f ) xác định bởi công thức (g ◦ f )(x) =
g(f (x)) ứng với mọi x để biểu thức ở vế phải có nghĩa, được gọi là hàm hợp của
f và g.
Biểu thức g(f (x)) có nghĩa nếu x ∈ Df và f (x) ∈ Dg . Từ đó
Dg◦f = x ∈ Df : f (x) ∈ Dg .
Dễ dàng chứng minh được rằng h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f .
Nhận xét 1.1. Nói chung, phép hợp hai hàm số là không giao hoán, tức f ◦ g =
g ◦ f . Chẳng hạn, ta xét các hàm f (x) = 2x và g(x) = x + 1. Khi đó
(f ◦ g)(x) = f [g(x)] = 2g(x) = 2(x + 1) = 2x + 2,
(g ◦ f )(x) = g[f (x)] = f (x) + 1 = 2x + 1.
Ta nêu một vài ví dụ cụ thể về một số hàm số đặc biệt.
Ví dụ 1.3 (Hàm Direchlet). Xét hàm số
y = D(x) =

0 nếu x là số vô tỷ,
1 nếu x là số hữu tỷ.


9

1.1. Một số tính chất cơ bản của hàm số

Hàm này được xác định trên R và tập hợp (miền) giá trị của nó chỉ gồm hai
số 0 và 1.
Ví dụ 1.4. Xét hàm số y = [x] hay y = E(x), trong đó ký hiệu [x] là phần
nguyên của số x hay chính xác hơn là số nguyên lớn nhất không vượt quá x
([x] x < [x] + 1). Hàm này xác định trên R và tập hợp các giá trị của nó là Z

(tập hợp các số nguyên).
Ví dụ 1.5. Xét hàm phần phân y = {x} (= x − [x]). Đó là phần phân của x.
Trong khoảng [n, n + 1) thì đồ thị của hàm y trong toạ độ vuông góc 0xy là đoạn
thẳng lập với trục 0x góc 45◦.
Ví dụ 1.6. Hàm xác định dấu (dương hoặc âm) của một số


+ 1 nếu x > 0,
y = sign x =
0 nếu x = 0,


− 1 nếu x < 0.
(Thuật ngữ "sign" có nguồn gốc từ tiếng Latinh, signum - có nghĩa là dấu). Hàm
này xác định trên R và tập giá trị của nó là −1, 0 và 1.
Định nghĩa 1.2. f được gọi là hàm tăng thực sự (đồng biến) nếu
∀x1 , x2 ∈ Df , x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
và f được gọi là tăng (tăng theo nghĩa rộng, không giảm) nếu
∀x1 , x2 ∈ Df , x1 < x2 ⇒ f (x1)

f (x2 ).

Hàm giảm thực sự (nghịch biến) và hàm giảm (giảm theo nghĩa rộng, không
tăng) được định nghĩa tương tự và f được gọi là hàm đơn điệu nếu nó thuộc một
trong bốn lọai hàm đã liệt kê ở trên.
π π
Ví dụ 1.7. Hàm y = sin x tăng trên đoạn − , . Thật vậy
2 2
π π
∀x1 , x2 ∈ − , , x1 < x2 ,

2 2
ta có

x 1 + x2
x 2 − x1
sin
·
(1.1)
2
2
π
π
π
x 1 + x2
π
x 2 − x1
π
Vì −
x 1 , x2
, nên − <
<
và 0 <
. Do đó, cả
2
2
2
2
2
2
2

π π
hai thừa số ở vế phải của (1.1) đều dương trên đoạn − ,
và sin x2 > sin x1 .
2 2
sin x2 − sin x1 = 2 cos


1.1. Một số tính chất cơ bản của hàm số

10

Ví dụ 1.8. Hàm y = [x] là hàm tăng theo nghĩa rộng.
Thật vậy, [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Do đó nếu x1 < x2
thì [x1] < x2 và vì vậy [x1]
[x2], ở đây nếu m
x1 < x2 < m + 1 thì
[x1 ] = [x2] = m ứng với m ∈ Z.
Định nghĩa 1.3. Hàm g được gọi là hàm ngược của hàm f nếu đồng thời xảy
ra các đồng nhất thức g ◦ f = eDf và f ◦ g = eDg , trong đó e(x) ≡ x.
Hàm ngược của f được ký hiệu là f −1 .
Điều kiện đầu có nghĩa rằng x ∈ Df ⇒ f (x) ∈ Dg (vì Ef ⊂ Dg ) và
g(f (x)) = x (vì thế Df ⊂ Eg ). Điều kiện thứ hai cũng được giải thích theo ý
nghĩa tương tự.
Nhận xét rằng mọi hàm đơn điệu thực sự (đồng biến hoặc nghịch biến) đều
có hàm ngược vì các ánh xạ thực hiện bởi các hàm ấy đều là đơn trị một - một.
Tuy nhiên, tính đơn điệu thực sự (đồng biến hoặc nghịch biến) chỉ là điều
kiện đủ để tồn tại hàm ngược chứ không phải là điều kiện cần.
Thật vậy, tồn tại những hàm không đơn điệu nhưng lại có hàm ngược, chẳng
1
hạn như hàm xác định trên tập R \ {0} có hàm ngược là chính nó.

x
Thông thường, để chứng minh một hàm nào đó không có hàm ngược ta chỉ
cần chỉ ra rằng có hai số phân biệt x1 , x2 sao cho f (x1 ) = f (x2 ).
Ví dụ 1.9. Hàm y = x2 , x ∈ R không có hàm ngược vì với x1 = −3 ∈ R và
x2 = 3 ∈ R thì f (−3) = f (3) = 9. Nhưng nếu ta xét y = x2 , x ∈ R+ thì nó có
√
hàm ngược là y = x.
Thật vậy, ứng với x1 , x2 ∈ R+ , x1 = x2, ta có y1 = x21 , y2 = x22. Suy ra
y1 − y2 = x21 − x22 = (x1 − x2 )(x1 + x2 ) = 0.
Về sau, ta thường sử dụng kết quả sau đây.
Định lý 1.1. Hàm ngược của hàm tăng thực sự (đồng biến) cũng là hàm tăng
thực sự. Tương tự, hàm ngược của hàm giảm thực sự (nghịch biến) cũng là hàm
giảm thực sự.
Chứng minh. Giả sử f là hàm tăng thực sự. Ta cần chứng minh rằng nếu
y1 , y2 ∈ Df −1 và y1 < y2 thì suy ra f −1 (y1 ) < f −1 (y2). Thật vậy, giả sử ngược lại,
f −1 (y1)
f −1 (y2 ). Do f đồng biến nên f (f −1 (y1 )) f (f −1 (y2 )) hay y1
y2 ,
mâu thuẫn.


11

1.1. Một số tính chất cơ bản của hàm số

Định nghĩa 1.4. Hàm f với tập xác định Df , được gọi là bị chặn trên trên tập
Df nếu f (Df ) là tập hợp bị chặn trên, tức là
∃M : f (x)

M, ∀x ∈ Df .

Tương tự, f được gọi là bị chặn dưới trên tập Df nếu tập hợp f (Df ) bị chặn dưới,
tức là ∃m : f (x) m, ∀x ∈ Df .
Khi f (x) đồng thời vừa bị chặn trên và bị chặn dưới trên tập Df thì ta nói
nó bị chặn (bị chặn hai phía).
Từ định nghĩa ta thấy hàm f bị chặn trên Df nếu
∃M > 0 : |f (x)|
Ví dụ 1.10. Hàm f (x) =

x2

M, ∀x ∈ Df .

x
, x ∈ R bị chặn (trên toàn trục thực R).
+1

Thật vậy, ta có
x2

x
|x|
= 2
+1
x +1

1
, ∀x ∈ R.
2

Nhận xét rằng, hàm f không bị chặn nếu với số M (M > 0) tuỳ ý, tồn tại
x ∈ Df sao cho |f (x)| > M . Nói một cách ngắn gọn là hàm f không bị chặn nếu
∀M > 0, ∃x ∈ Df : |f (x)| > M.
1
, x ∈ R \ {0} không bị chặn.
x2
1
1
Thật vậy, giả sử M là số dương tùy ý. Ta có 2 > M ⇔ |x| < √ , x = 0.
x
M
1
1
Vậy, nếu ta lấy x = √
thì sẽ thu được bất đẳng thức 2 = 4M > M . Từ
x
2 M
nhận xét vừa nêu suy ra rằng hàm đã cho không bị chặn.
Vậy là các hàm được xác định nhờ các phép tính số học thực hiện trên R
(cộng, trừ, nhân, và chia). Trong số đó, các hàm dạng đơn giản nhất được đề cập
trong chương trình toán cơ bản là các hàm sau đây.
Ví dụ 1.11. Hàm số f (x) =

Hàm luỹ thừa với số mũ nguyên f (x) = xn , n ∈ Z và hàm đa thức
f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an .
Hàm hữu tỷ f (x) =

P (x)
, trong đó P và Q là các đa thức.
Q(x)

Ta cũng xét các hàm luỹ thừa với số mũ α ∈ R bất kỳ và hàm mũ cùng với
hàm ngược của nó là hàm logarit. Đối với các hàm lượng giác và hàm lượng giác


12

1.1. Một số tính chất cơ bản của hàm số

ngược thì ta vẫn sử dụng các định nghĩa và các ký tự quen thuộc trong các sách
giáo khoa phổ thông hiện hành.
Tiếp theo ta xét tính liên tục và giới hạn của hàm số f cho trên tập hợp
D ⊂ R.
Định nghĩa 1.5. Số a được là điểm tụ của tập hợp A ⊂ R nếu mọi lân cận (mở)
của nó đều chứa ít nhất một điểm của A.
Ví dụ 1.12. 0 là điểm tụ của tập

1
.
n

Định nghĩa 1.6. Giả sử a là điểm tụ của tập hợp D. Số A được gọi là giới hạn
của hàm f tại điểm a nếu đối với mọi lân cận tuỳ ý U (A) của điểm A đều tồn
˙
˙
tại lân cận thủng Ω(a)
của điểm a sao cho f (Ω(a)
∩ D) ⊂ Λ(A).
Ta sử dụng các ký hiệu
A = lim f (x); f (x) → A (x → a).

x→a

Như vậy
˙
˙
A = lim f (x) ⇔ ∀Λ(A) ∃Ω(a)
: x ∈ Ω(a)
∩ D ⇒ f (x) ∈ Λ(A).
x→a

Vì mỗi lân cận của một điểm đều chứa ít nhất một ε-lân cận nào đó của chính
điểm ấy, nên ta có thể phát biểu định nghĩa sau đây tương đương với định nghĩa
1.6.
Định nghĩa 1.7. A = lim f (x) nếu
x→a

˙
∀ε > 0, ∃δ > 0 : x ∈ D ∩ Ω(a;
δ) ⇒ f (x) ∈ Λ(A, ε).

(1.2)

Nói cách khác
A = lim f (x)
x→a

nếu
∀ε > 0 ∃δ > 0 : x ∈ D, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − A| < ε.

(1.3)

Ta sẽ chứng minh rằng định nghĩa 1.6 tương đương với định nghĩa 1.7.
Giả sử A là giới hạn của hàm f theo định nghĩa 1.6. Ta cần chứng minh rằng
A cũng là giới hạn của hàm f theo định nghĩa 1.7.
Thật vậy, giả sử cho số ε > 0. Ta cần chỉ ra số δ > 0 đòi hỏi trong định nghĩa
1.7. Ta đặt Λ(A) = (A − ε, A + ε) và sử dụng định nghĩa 1.6.
˙
˙
∃Ω(a)
: f (D ∩ Ω(a))
⊂ Λ(A),


1.1. Một số tính chất cơ bản của hàm số

13

tức là
˙
∀x ∈ D ∩ Ω(a)
⇒ f (x) ∈ (A − ε, A + ε).

(1.4)

Giả sử Ω(a) = (k, ). Vì a là điểm trong của (k, ) nên a − k > 0, − a > 0.
Ta lấy δ = min(a − k, − a) và cần chứng minh rằng đó chính là số cần tìm.
Rõ ràng là δ > 0. Ngoài ra, từ bất đẳng thức |x − a| < δ ta suy ra rằng
x ∈ Ω(a). Do đó
˙
x ∈ D, 0 < |x − a| < δ ⇒ x ∈ D ∩ Ω(a).

Từ đó và (1.4) suy ra |f (x) − A| < ε.
Ngược lại, giả sử A là giới hạn của hàm f theo định nghĩa 1.7. Ta cần chứng
minh A cũng là giới hạn của f theo định nghĩa 1.6.
Thật vậy, giả sử cho trước một lân cận Λ(A) nào đó của điểm A. Khi đó
∃ε > 0 sao cho ε-lân cận Λ(A, ε) ⊂ Λ(A).
Vì A là giới hạn của f theo định nghĩa 1.7, nên với số ε > 0 đã nêu ∃δ = δ(ε)
˙
sao cho khi x ∈ D ∩ Ω(a,
δ) thì |f (x) − A| < ε. Điều đó có nghĩa rằng
˙
∀x ∈ D ∩ Ω(a,
δ) ⇒ f (x) ∈ Λ(A, ε) ⊂ Λ(A)
˙
hay f (x) ∈ Λ(A). Nhưng x là điểm bất kỳ của Ω(a,
δ) ∩ D nên
˙
f (Ω(a,
δ) ∩ D) ⊂ Λ(A).
˙
Ví dụ 1.13. (i) Nếu f (x) = c = const và x ∈ D ∩ Ω(a)
thì
lim f (x) = c.

x→a

(ii) Giả sử D = R, f (x) = x − 2, a = 5. Khi đó ta có
lim f (x) = 3.

x→5

Ta cần chứng minh rằng ∀ε > 0, ∃δ > 0 (ở đây có thể lấy δ = ε), ta luôn có
0 < |x − 5| < δ hay |f (x) − 3| < ε.
Thật vậy, nếu |x − 5| < δ = ε thì hiển nhiên
|f (x) − 3| = |(x − 2) − 3| = |x − 5| < ε.
(iii) D = R \ {−1}, f (x) =

x
, a = 1. Ta sẽ chứng minh rằng
x+1
x
1
→ khi x → 1.
x+1
2


1.2. Một số đồng nhất thức dạng đại số - lượng giác

14

Giả sử ε > 0. Ta cần chỉ ra một lân cận Ω của điểm 1 (tức là chỉ ra khoảng
(a, b) mà a < 1 < b) sao cho
˙
x ∈ Ω(1)
∩D ⇒
Từ đồ thị của hàm f , với ε ∈ 0,
1
2
1
2

1
2

−ε
,
+ε

x
1
−
< ε.
x+1 2
thì khoảng

1
2
1
2

+ε
=Ω
−ε

là lân cận cần tìm.
Thật vậy, vì hàm f tăng trên khoảng (−1, +∞) nên
1
2
1
2

−ε
+ε

1
2
1
2

+ε
.
−ε

Suy ra
1
−ε=f
2

1.2

1
2
1
2

−ε
< f (x).
+ε

Một số đồng nhất thức dạng đại số - lượng giác

Nhận xét rằng đẳng thức cơ bản để dẫn đến sự phong phú của hệ thống các
đồng nhất thức lượng giác là công thức
sin2 t + cos2 t = 0, ∀t ∈ R.

(1.5)

Gắn với hệ thức (1.5) là đồng nhất thức Lagrange
(2x)2 + (1 − x2 )2 = (1 + x2 )2, ∀x ∈ R.

(1.6)

Hai công thức (đồng nhất thức) (1.5) và (1.6) là hai cách viết của một hệ thức.
t
Nếu ta thay x = tan vào (1.6) thì dễ dàng thu được (1.5) và ngược lại. Như vậy
2
là mỗi công thức lượng giác sẽ tương ứng với một đồng nhất thức đại số tương
ứng. Điều đó cũng thật dễ hiểu nếu chúng ta nhớ lại quá trình dẫn dắt đến định
nghĩa các hàm số lượng giác cơ bản đối với góc nhọn được mô tả dựa theo Định
lý Pytago:
Trong tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC ta luôn có hệ thức
(AB)2 + (AC)2 = (BC)2 .


15

1.2. Một số đồng nhất thức dạng đại số - lượng giác

Tuy nhiên, với số lượng các công thức biến đổi lượng giác quá nhiều, bản thân

các hệ thức lượng giác tạo thành một chuyên đề có tính độc lập tương đối, dần
tách hẳn cơ sở đại số của nó, đã làm cho chúng ta quên đi một lượng lớn các hệ
thức đại số có cùng xuất sứ từ một hệ thức lượng giác quen biết. Đặc biệt, trong
chương trình toán bậc phổ thông hiện nay, các hàm số lượng giác ngược, hàm
lượng giác hyperbolic,... không nằm trong phần kiến thức bắt buộc thì những bài
toán liên quan đến chúng sẽ là một thách thức lớn đối với học sinh và cả giáo
viên.
Ta nhắc lại công thức Euler quen biết
eiα = cos α + i sin α, α ∈ R.
Khi đó


iα
−iα

cos α = e + e
,
2 −iα
iα

sin α = e − e
.
2i

Rõ ràng khi khảo sát hàm số cos t thì ít ai nghĩ trong đầu rằng nó có dạng
1
1
a+
vì khi đó a không còn là một số thực. Nhưng nếu ta chú ý đến biểu
2

a
thức
eα + e−α
, α ∈ R,
2
thì đó chính là cos(iα) (= cosh α) và vì vậy, về mặt hình thức, ta sẽ có nhiều
biến đổi thu được từ các công thức liên quan đến biến x ∈ [−1, 1] giống như công
thức đối với hàm cos t.
Ví dụ 1.14. Hệ thức đại số ứng với công thức
cos 2t = 2 cos2 t − 1
chính là công thức
1 2
1
a + 2
2
a

=2

1
1
a+
2
a

2

−1.

Ví dụ 1.15. Hệ thức đại số ứng với công thức

cos 3t = 4 cos3 t − 3 cos t
chính là công thức
1 3
1
a + 3
2
a

=4

1
1
a+
2
a

3

−3

1
1
a+
2
a

,


16

1.2. Một số đồng nhất thức dạng đại số - lượng giác

hay
4x3 − 3x =
với

1 3
1
a + 3
2
a

1
1
a+
, a = 0.
2
a

x=

Ví dụ 1.16. Hệ thức đại số ứng với công thức
cos 5t + cos t = 2 cos 3t cos 2t
chính là công thức
1 5
1
1
1
1

1 3
a + 5 +
a+
=2
a + 3
2
a
2
a
2
a

1 2
1
a + 2
2
a

.

Từ ví dụ trên, sử dụng kết quả khai triển các hàm lượng giác cos 3t và cos 2t,
ta thu được đồng nhất thức đại số dạng bậc 5.
1 5
1
a + 5
2
a

= −m + 2(4m3 − 3m)(2m2 − 1),

trong đó
m=

1
1
a+
.
2
a

Ví dụ 1.17. Cho số thực m với |m| > 1. Tính giá trị của biểu thức
M = 8x3 − 6x,
trong đó
x=

1
2

3

m2 − 1 +

m+

3

m−

m2 − 1 .

Giải. Để ý rằng, do |m| > 1 nên tồn tại số thực q để có hệ thức
m=

1 3
1
q + 3 .
2
q

Ta chỉ cần chọn
q=

3

m+

m2 − 1

là đủ. Khi đó
1
1
1
q+
=
2
q
2

3

m+

m2 − 1 +

Theo Ví dụ 1.15 thì
4x3 − 3x = m
nên M = 2m.

3

m−

m2 − 1 = x.


1.2. Một số đồng nhất thức dạng đại số - lượng giác

17

Ví dụ 1.18. Không dùng máy tính, tìm giá trị đúng của góc nhọn x thoả mãn
cos x =

1
.
√
√
√
1 + ( 6 + 2 − 3 − 2)2

Giải. Xét

A=
Ta có

hay

√
√
√
6 + 2 − 3 − 2.

√
√
√
√ √
3− 2
A = ( 3 − 2)( 2 − 1) = √
,
2+1
√

√
3
2
π
π
−
cos − cos
2 =
6
4 = tan π .

√
A= 2
π
π
24
2 1
sin − sin
+
4
6
2
2

Vậy nên
1 + A2 = 1 + tan2

π
1
=
π .
24
cos2
24

Suy ra
cos x =
hay
x=±

cos2

π
π
= cos ,
24
24

π
+ k2π, k ∈ Z.
24

π
.
24
Cách 2. Từ hệ thức đã cho

Do x là góc nhọn nên x =

cos x =

1
,
√
√
√
1 + ( 6 + 2 − 3 − 2)2

ta thu được
√
√

√
1 + ( 6 + 2 − 3 − 2)2 =
Do đó

1
= 1 + tan2 x.
cos2 x

√
√
√
tan2 x = ( 6 + 2 − 3 − 2)2,

hay
tan x =

√
√
√
6 + 2 − 3 − 2 > 0, do x là góc nhọn.


18

1.2. Một số đồng nhất thức dạng đại số - lượng giác

Tiếp theo ta sử dụng hệ thức góc nhân đôi đối với hàm số tang hoặc hàm số
cosin, ta thu được công thức tính góc nhọn x.
Bây giờ ta chuyển sang xét các hệ thức đại số liên quan đến hàm số sin t. Từ
công thức Euler, ta thu được hệ thức

i sin t =

eit − e−it
.
2

Từ đây suy ra biểu thức i sin(it) nhận giá trị thực. Điều này gợi ý cho ta cách
chuyển đổi các đồng nhất thức đối với hàm số sin sang các đồng nhất thức đại
số.
Ví dụ 1.19. Xét công thức khai triển
sin 3t = 3 sin t − 4 sin3 t.
Từ đây ta thu được công thức (hình thức)
i sin i(3t) = 3(i sin it) + 4(i sin it)3.
Hệ thức đại số ứng với công thức trên chính là đồng nhất thức
1 3
1
a − 3
2
a

=3

1
1
a−
2
a

+4

1
1
a−
2
a

3

,

hay
4x3 + 3x =
với
x=

1 3
1
a − 3
2
a

1
1
a−
, a = 0.
2
a

Ví dụ 1.20. Xét công thức biến đổi
sin 5t + sin t = 2 sin 3t(1 − 2 sin2 t).

(1.7)

Ta viết lại công thức (1.7)dưới dạng
i sin i(5t) + i sin it = 2i sin i(3t)(1 + 2(i sin it)2.
Hệ thức đại số ứng với công thức trên chính là đồng nhất thức
1 5
1
1
1
1
1 3
a − 5 +
a−
=2
a − 3
2
a
2
a
2
a

1+

1
1
a− 2
2
a

2

.

Từ ví dụ trên, sử dụng kết quả khai triển các hàm lượng giác sin 3t và sin 2t,
ta thu được đồng nhất thức đại số dạng


19

1.2. Một số đồng nhất thức dạng đại số - lượng giác

Ví dụ 1.21.
1 5
1
a − 5
2
a

= −m + 2(4m3 + 3m)(2m2 + 1),

trong đó
m=

1
1
a−
.
2

a

Ví dụ 1.22. Cho số thực m. Tính giá trị của biểu thức
3
M = x3 + x,
4
trong đó
x=

1
2

3

m2 + 1 +

m+

3

m−

m2 + 1 .

Giải. Để ý rằng, với mọi m đều tồn tại số thực q để
m=

1 3
1
q − 3 .

2
q

Ta chỉ cần chọn
q=

3

m+

m2 + 1

là đủ. Khi đó
1
1
1
q−
=
2
q
2

3

m+

m2 + 1 +

3

m−

m2 + 1 = x.

Theo Ví dụ 1.19 thì
4x3 + 3x = m
nên M =

1
m.
4

Từ những kết quả nhận được, ta có thể giải và biện luận được nhiều dạng
phương trình đại số bậc cao và công thức tính giá trị của một số biểu thức chứa
căn thức.
Ví dụ 1.23. . Dễ dàng giải và biện luận phương trình
4x3 − 3x = m, m ∈ R
bằng phương pháp hằng đẳng thức (đồng nhất thức lượng giác)


20

1.2. Một số đồng nhất thức dạng đại số - lượng giác

Với |m|

1, ta đặt m = cos α (= cos(α ± 2π)). Sử dụng đẳng thức lượng giác
cos β = 4 cos3

β

β
− 3 cos ,
3
3

ta thu được 3 nghiệm của phương trình là
x1 = cos

α
α ± 2π
; x2,3 = cos
.
3
3

Tương tự, khi |m| > 1, ta sử dụng đẳng thức đại số tương ứng. Đặt
1 3
1
a + 3
2
a

m=
với
a=

3

m±

m2 − 1.

Ta viết phương trình đã cho dưới dạng
4x3 − 3x =

1 3
1
a + 3
2
a

hay
4x3 − 3x = 4x30 − 3x0,
trong đó
x0 =

1
1
a+
.
2
a

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = x0 . Dễ thấy đây là nghiệm duy nhất của
phương trình.
Thật vậy, phương trình đã cho có nghiệm x0 với x0 ∈ [−1; 1]. Do đó |x0| > 1.
Khi đó, từ hệ thức
4x3 − 3x = 4x30 − 3x0,
ta thu được
(x − x0)[4x2 + 4xx0 + 4x20 − 3] = 0.

Để ý rằng phương trình
4x2 + 4x0x + 4x20 − 3 = 0

(1.8)

có ∆ = 12 − 12x20 < 0 và vì vậy phương trình (1.8) vô nghiệm. Do vậy phương
trình đã cho có một nghiệm duy nhất là
x=

1
2

3

m+

m2 − 1 +

3

m−

m2 − 1 .


21

1.2. Một số đồng nhất thức dạng đại số - lượng giác

Ví dụ 1.24. Bằng phương pháp tương tự, ta có thể giải và biện luận phương

trình dạng
4x3 + 3x = m, m ∈ R.
Dễ thấy phương trình đã cho có nghiệm x = x0 thì đó cũng chính là nghiệm
duy nhất của phương trình. Thật vậy, với x > x0 thì 4x3 + 3x > 4x30 + 3x0 = m
và với x < x0 thì 4x3 + 3x < 4x30 + 3x0 = m. Đặt
1 3
1
a − 3
2
a

m=
với

a3 = m ±

m2 + 1

thì khi đó nghiệm duy nhất của phương trình đã cho là
x=

1
1
a−
2
a

hay
x=

1
2

3

m2 + 1 +

m+

3

m2 + 1 .

m−

Tiếp theo, ta xét một số ứng dụng khác của đẳng thức đại số - lượng giác.
Bài toán 1.1. Chứng minh rằng phương trình
64x6 − 96x4 + 36x2 − 3 = 0
có nghiệm thực x0 thỏa mãn điều kiện
√
2+

2+
2

Giải. Từ công thức cos2 α =

α
cos =
4

Khi α =

1 + cos
2

√
2

< x0 <

2+

1+

cos

π
1
=
16
2

α

π
, ta có
4
√
2+

.

π),ta suy ra

1 + cos α
1
2
=
2
2

2+

3

2

1 + cos 2α
(với 0
2

α
2 =

2+

2.

√
2+

2 + 2 cos α.


22

1.2. Một số đồng nhất thức dạng đại số - lượng giác

Khi α =

π
, ta có
6
cos

π
1
=
24
2

√
2+

2+

3.

Mặt khác, ta cũng có
cos 6t = cos3 2t − 3 cos 2t

= 4(2 cos2 t − 1)3 − 3(2 cos2 t − 1)
= 32 cos6 t − 48cos4t + 18cos2t − 1
Suy ra
64 cos6 t − 96cos4t + 36cos2t − 3 = 2 cos 6t − 1.
Từ phương trình 64x6 − 96x4 + 36x2 − 3 = 0, ta xét x ∈ [1; 1] và đặt
x = cos t, ta có 2 cos 6t − 1 = 0 ⇒ cos 6t =
Do đó x0 = cos

1
π
⇒t=
.
2
18

π
là một nghiệm của phương trình. Mặt khác
18
π
π
π
<
<
24
18
16

hay
cos

π
π
π
> cos
> cos .
24
18
16

Vậy phương trình 64x6 − 96x4 + 36x2 − 3 = 0 luôn có một nghiệm x0 = cos

π
18

thỏa mãn điều kiện
√
2+

2+
2

√
2

< x0 <

2+

2+
2

3

.

Bài toán 1.2. Cho phương trình x3 − px2 + qx − p = 0 với p, q là các số dương.
Chứng minh rằng nếu phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lớn
hơn hoặc bằng 1, thì ta luôn có
√
1
2
p
+
(q + 3).
(1.9)
4
8
Giải. Giả sử x1 < x2 < x3 . Theo định lý Vieete, ta có


 x1 + x 2 + x 3 = p
x 1 x2 + x 2 x3 + x 1 x3 = q


x 1 x2 x3 = p


1.2. Một số đồng nhất thức dạng đại số - lượng giác

23

Đặt x1 = tan A, x2 = tan B, x3 = tan C với A, B, C là ba góc của tam giác
π
π
và
A, B, C < . Không giảm tổng quát, ta giả sử A = min{A, B, C} thì
4
2
π
π
A
.
4
3
Khi đó (1.9) tương đương với
√
2+ 2
tan A tan B tan C
(tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A + 3)
8
√
2+ 2
⇔ 1
(cot A + cot B + cot C + 3 cot A cot B cot C)
√8
⇔ 8 − 4 2 cot A + cot B + cot C + 3 cot A cot B cot C.
(1.10)
Để chứng minh (1.10), ta chú ý
cot A + cot B + cot C + 3 cot A cot B cot C
2 sin A

cos(B − C) + cos(B + C)
= cot A +
+ 3 cot A
cos(B − C) + cos A
cos(B − C) − cos(B + C)
2 sin A
1 − cos A
cot A +
+ 3 cot A
,
1 + cos A
1 + cos A
A
1 − tan2
1
1
2,
cot A =
=
=
A
A
tan A
2 tan
2 tan
2
2
A
2
1 − tan

2
A
A
2.2 sin cos
2 sin A
2
2 = 2 tan A
=
A
1 + cos A
2
2 cos2
2
và

A
A
1 − tan2 2 sin2
1 − cos A
2
2
3 cot A
=3
A
A
1 + cos A
2 tan
2 cos
2
2

A
2 tan2 A
= 3
A
2
2 tan
2
A
A
A
A
1 − tan2
tan
tan − tan3
2
2
2
2,
= 3
=3
2
2
1 − tan2


24

1.2. Một số đồng nhất thức dạng đại số - lượng giác

nên ta có

cot A + cot B + cot C + 3 cot A cot B cot C
A
A
A
tan − tan3
1 − tan2
A
2 + 2 tan + 3
2
2
A
2
2
2 tan
2
hay
cot A + cot B + cot C + 3 cot A cot B cot C
1
A
A 3
+ 3 tan − tan3
A
2
2
2
2 tan
2
Mặt khác vì

π

4

A

π
π
⇒
3
8

A
2

π
nên ta có
6

√
2−1
Xét hàm số

tan

A
2

1
√ .
3

√
3
1
1
f (t) = − t3 + 3t + , t ∈
2 − 1; √ .
2
2t
3

Ta có
3
1
−9t4 + 6t2 − 1
(3t2 − 1)2
f (t) = − t2 + 3 − 2 =
=
−
2
2t
2t2
2t2
√

1
2 − 1; √ . Suy ra
3
√
√
f ( 2 − 1) = 8 − 4 2,

với ∀t = 0 nên f (t) nghịch biến trên
f (t)

ta có điều phải chứng minh.

cos(B − C) = 1
√
Dấu "=" xảy ra khi
tan A = 2 − 1
2


B = C = 3π
8
hay
A = π
4

Bài toán 1.3. Tìm x ∈ (0; 1) thỏa mãn điều kiện
32x(x2 − 1)(2x2 − 1)2 = 1 −

1
.
x

0,


25

1.2. Một số đồng nhất thức dạng đại số - lượng giác

Giải. Vì x ∈ (0; 1) nên ta có thể đặt x = cos α với α ∈ 0;

π
.
2

Ta có
32 cos α(cos2 α − 1)(2 cos2 α − 1)2 = 1 −
⇔ − 32 cos α sin2 α cos2 2α = 1 −

1
cos α

1
cos α

⇔ 8 sin2 2α cos2 2α = 1 − cos α
⇔ 2 sin2 4α = 1 − cos α
⇔ cos α = cos 8α.
k2π
l2π
hoặc α =
(với k, l ∈ Z.)
7
9
π
Vì rằng α ∈ 0;

nên k = 1, l = 1 và l = 2.
2
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm thuộc (0; 1) đó là
Do đó α =

x = cos

2π
2π
4π
; x = cos ; x = cos .
7
9
9

Bài toán 1.4. Giải phương trình
x3 +

(1 − x2 )3 = x 2(1 − x2 ).

Giải. Điều kiện để các biểu thức có nghĩa: −1 x 1.
π π
Đặt x = sin α ( với α ∈ − ; ), thì phương trình trở thành
2 2
√
sin3 α + cos3 α = 2 sin α cos α
√
⇔ (sin α + cos α)3 − 3 sin α cos α(sin α + cos α) − 2 sin α cos α = 0.
√
√

π
Đặt sin α + cos α = 2 sin
2.
+ α = t với điều kiện |t|
4
2
t −1
Suy ra sin α cos α =
và phương trình trở thành
2
√ t2 − 1
t2 − 1
t3 − 3
t− 2
=0
2
2
√
√
⇔ t3 + 2t2 − 3t − 2 = 0
√
√
√
⇔ (t − 2)(t + 2 − 1)(t + 2 + 1) = 0
√
√
√
Suy ra t = √2 hoặc t = 1 − 2 do |t|
2.
Với t = 2 thì

√
√
π
π
2 sin
+ α = 2 ⇔ sin
+α =1
4
4