Chuyên đề giải toán bằng cách lập phương trình dạng bài thêm, bớt xe vòi nước hay làm cùng việc

Chuyên đề: GIẢI BÀI TOÁN
BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNGTRÌNH
DẠNG BÀI THÊM, BỚT XE.
I) Phương pháp giải:(Hai cách giải: trực tiếp và gián tiếp.)
1) Trường hợp thêm xe:(Tính trực tiếp).
Bài toán tổng quát: Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở S tấn hàng . Lúc
sắp khởi hành đội được bổ xung thêm a xe nữa cùng loại, nhờ vậy so với ban đ ầu m ỗi xe
phải chở ít hơn b tấn. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu xe. Biết khối lượng hàng m ỗi xe ph ải ch ở
như nhau.
Hướng dẫn giải.
Ở đó: S là số hàng cần chuyển, a là số xe bổ xung(thêm), b là l ượng hàng chênh l ệch
Gọi số xe lúc đầu đội có là x(x

Ban đầu mỗi xe phải chở

chở

S
x+a

S
x

∈

N*)

(tấn), sau khi bổ xung đội xe có x + a (chiếc) nên mỗi xe phải

(tấn). Ta có phương trình:

S
S
−
=b
x x+a

Vậy ban đầu đội có ..... xe.
2) Trường hợp bớt xe:(Tính trực tiếp).
Bài toán tổng quát: Một đội xe định dùng một số xe cùng loại để ch ở h ết S t ấn hàng. Lúc
sắp khởi hành có a xe phải điều đi làm việc khác. Vì vậy m ỗi xe ph ải chở thêm b t ấn hàng
nữa mới hết số hàng đó. Tính số xe lúc đầu, biết rằng khối lượng hàng m ỗi xe ch ở là nh ư
nhau.
Hướng dẫn giải.
Ở đó: S là số hàng cần chuyển, a là số xe bớt(chuy ển đi), b là l ượng hàng chênh l ệch
Gọi số xe lúc đầu của đội dự định dùng là x(x

∈

N*, x > a).


Số hàng mỗi xe ban đầu cần phải chở là

mỗi xe còn lại phải chở là

S
x−a

S
x

(tấn), số xe thực chở hàng là x – a, nên số hàng

(tấn). Ta có phương trình

S
x−a

-

S
x

= b.

. Vậy số xe ban đầu đội có là ..... xe.
II) Bài tập minh họa(cách tính trực tiếp)
Bài 1: Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để ch ở 120 tấn hàng g ửi t ặng đ ồng
bào nghèo ở vùng cao biên giới. Lúc sắp khởi hành đội được bổ xung thêm 5 xe n ữa cùng
loại, nhờ vậy so với ban đầu mỗi xe phải chở ít hơn 2 tấn. H ỏi lúc đ ầu có bao nhiêu xe.
Biết khối lượng hàng mỗi xe phải chở như nhau.
Hướng dẫn giải.
Gọi số xe lúc đầu đội có là x(x

Ban đầu mỗi xe phải chở

phải chở

120
x+5

120
x

∈

N*)

(tấn), sau khi bổ xung đội xe có x + 5(chiếc) nên mỗi xe

(tấn). Ta có phương trình:

120 120
−
=2
x
x+5

 x2 – 5x – 300 = 0, x1 = 20(TM); x2 = -15(loại). Vậy ban đầu đội có 20 xe.
Bài 2: Một đội xe định dùng một số xe cùng loại để chở hết 60 tấn hàng. Lúc s ắp kh ởi
hành có 3 xe phải điều đi làm việc khác. Vì vậy m ỗi xe ph ải ch ở thêm m ột t ấn hàng n ữa
mới hết số hàng đó. Tính số xe lúc đầu, biết rằng khối l ượng hàng m ỗi xe ch ở là nh ư
nhau.
Hướng dẫn giải.
Gọi số xe lúc đầu của đội dự định dùng là x(x

Số hàng mỗi xe ban đầu cần phải chở là

mỗi xe còn lại phải chở là

60
x−3

60
x

∈

N*, x > 3).

(tấn), số xe thực chở hàng là x – 3, nên số hàng

(tấn). Ta có phương trình

60
x−3

-

60
x

= 1.

 x2 – 3x – 180 = 0 => x1 = 15(tm), x2 = - 12(L). Vậy số xe ban đầu đội có là 15 xe.


Bài 3: Một đội xe phải chuyên chở 36 tấn hàng. Trước khi làm vi ệc đ ội đ ược b ổ xung 3 xe
nữa, nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định. H ỏi đội xe lúc đ ầu có bao nhiêu chi ếc.
Biết số hàng chở trên tất cả các xe có khỗi lượng như nhau.

Hướng dẫn giải

Gọi số xe lúc đầu đội có là x(x

∈

N*), mỗi xe dự định chở là

có x + 3 (chiếc) và mỗi xe phải chở

36
x+3

36
x

(tấn), sau khi tăng thêm đội

(tấn). Ta có phương trình

36
x

-

36
x+3

=1

 x2 + 3x – 108 = 0 => x1 = 9(tm), x2 = - 12(loại). Vậy ban đầu đội có 9 xe.
Bài 4: Một công ty dự định chở 24 tấn hàng bằng xe tải nhỏ, nh ưng đ ể k ịp giao hàng h ọ
phải dùng các xe tải cỡ lớn. Do đó số xe tải được dùng gi ảm so v ới lúc đ ầu 2 xe. Tính s ố
xe tải lớn dùng để chở hàng, biết rằng mỗi xe tải lớn ch ở đ ược nhiều h ơn xe t ải nh ỏ 2
tấn hàng.
Hướng dẫn giải

Gọi số xe tải lớn là x(x

∈

N*), mỗi xe phải chở

24
x+2

24
x

24
x

(tấn), số xe tải nhỏ là x + 2(chiếc) mỗi xe
24
x+2

dự định chở
(tấn). Ta có phương trình
= 2  x2 + 2x – 24 = 0, giải ra ta
được x1 = 4(tm), x2 = -6(L). Vậy số xe tải lớn dùng để chở hàng là 4 xe.

Bài 5: Một công ty vận tải định điều một số xe để vận chuy ển 24 t ấn hàng. Th ực t ế khi
đến nơi thì công ty bổ xung thêm 2 xe nữa, nên mỗi xe ch ở ít h ơn so v ới d ự đ ịnh là 2 t ấn.
Hỏi số xe được điều đến theo dự định bao nhiêu. Biết số lượng hàng trên xe nh ư nhau.
Hướng dẫn giải.

Gọi số xe ban đầu dự định chở hàng là x(x

thực tế mỗi xe chở số hàng là

Ta có phương trình

24
x

-

24
x+2

24
x+2

∈

N*), mỗi xe dự định chở số hàng là

(tấn).

= 2  x2 + 2x – 24 = 0,

24
x

(tấn),


giải ra ta được x1 = 4(tm), x2 = -6(L). Vậy số xe ban đầu dự định chở hàng là 4 xe.
Bài 6: Một đội xe cần phải chở 100 tấn hàng ủng hộ đồng bào miền trung bị lũ l ụt, nh ưng
do số lượng hàng nhiều nên để đạt kế hoạch đội đã bổ xung thêm 5 xe n ữa vào đ ội xe
nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với ban đầu. Hỏi số xe th ực tế ch ở hàng ủng h ộ, bi ết s ố
lượng hàng mỗi xe chở như nhau.
Hướng dẫn giải

Gọi số xe thực tế chở hàng là x(x

∈

N*, x > 5), mỗi xe chở

số xe theo dự định x – 5, mỗi xe chở theo dự định là
100
x−5

-

100
x

100
x−5

100
x

(tấn),

, ta có phương trình

= 1 x1 = 25, x2 = - 20(loại). Vậy số xe thực tế chở hàng là 25 chiếc.

Bài 7: Một đoàn xe vận tải nhận chở 30 tấn hàng, nh ưng do bổ xung thêm 2 xe nên m ỗi xe
chỉ phải chở ít hơn 0,5 tấn so với dự định. Hỏi số xe ban đầu.
Hướng dẫn giải
30 30
1
x x+2 2
∈
Gọi số xe ban đầu là x(x N*), ta có phương trình
=  x2 + 2x – 120 = 0,
x1 = 10(tm), x2 = -12(loại). Vậy số xe ban đầu đội có là 10 chiếc.
Bài 8: Một đội xe định chở 40 tấn hàng. Sắp khởi hành đ ược giao thêm 14 t ấn n ữa, nên
phải điều thêm 2 xe và mỗi xe phải chở thêm 0,5 tấn. Hỏi số xe d ự đ ịnh là bao nhiêu, bi ết
số lượng hàng ở các xe là như nhau.
Hướng dẫn giải

Gọi số xe dự định là x(x
quả.

∈

N*), ta có phương trình

40 + 14
x+2

-

40
x

=

1
2

; giải ra ta được kết

Đây là một trong những dạng bài giải bài toán b ằng cách l ập ph ương trình
đưa về phương trình bậc hai mà các kì thi vào THPT hay ra, cách phân bi ệt d ạng
bài thêm xe, bớt xe, tôi cố gắng giải bài tổng quát để các b ạn tham kh ảo. N ếu có
thiếu sót trong quá trình giải hoặc trình bày mong được s ửa giúp. Xin c ảm ơn.


DẠNG BÀI: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG
TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
DẠNG TOÁN LÀM CHUNG, RIÊNG, VÒI NƯỚC:(Công việc
đồng thời)
Bài 1( Toán làm chung riêng):
Hai người đồng thời đào chung một cái giếng có thể đào xong sau 2 ngày. Hỏi sau bao nhiêu
ngày mỗi người đào riêng rẽ có thể xong cái giếng đó, biết để đào xong cái giếng đó một mình

người thứ hai phải tốn 3 ngày nhiều hơn người thứ nhất đào một mình./.
HD giải
Gọi thời gian đào một mình xong cái giếng đó của người thứ nhất là x( x > 0, ngày)
thì người thứ hai đào một mình xong cái giếng đó hết x + 3(ngày)

Một ngày người thứ nhất đào được
được

1
2

1
x

giếng, người thứ hai đào được

1
x+3

, cả hai người đào

giếng. Theo bài ra ta có pt:

1
1
1
+
=
x x+3 2

ó x2 – x – 6 = 0 => x1 = 3; x2 = - 2.
Vậy để đào một mình người thứ nhất cần 3 ngày, người thứ hai cần 6 ngày.
Bài 2:
Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 16 giờ sẽ xong công việc. Nếu người thứ nhất
làm một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì cả hai làm được
công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người làm trong bao lâu thì xong công việc.

1
4

HD giải.
Gọi thời gian làm một mình xong công việc của người thứ nhất là x( x> 16, giờ), một giờ người
đó làm được

1
x

công việc. trong một giờ cả hai người làm được

1
16

công việc, người thứ hai


làm được

1 1
−
16 x

3.

công việc. Người thứ nhất làm trong 3 giờ được

trong 6 giờ làm được

1 1
6( − )
16 x

1
x

công việc, người thứ hai

công việc.
1
1 1
1
3. + 6.( − ) =
x
16 x
4

Theo bài ra ta có phương trình:
; x = 24 (giờ). Người thứ nhất làm một
mình xong công việc hết 24 giờ, người thứ hai hết 48 giờ.
Bài 3:
12

5

Nếu hai người cùng làm chung một công việc thì trong
giờ xong công việc. Nếu mỗi người
làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi
nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc.
HD giải.

Gọi thời gian làm một mình xong công việc của người thứ nhất là x(x >
làm hết x + 2 (giờ). Trong một giờ người đó làm được
1
x+2

công việc, cả hai người trong một giờ làm được

trình:

1
1
5
+
=
x x + 2 12

, => x1 =4(TM), x2 =

1
x
5
12

12
5

, giờ), người thứ hai

công việc, người thứ hai làm được
công việc. Theo bài ra ta có phương

6
− ( L)
5

Vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất làm hết 4 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ.
Bài toán 4: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1h30 phút bể sẽ đầy. Nếu vòi
thứ nhất chảy trong 20 phút rồi khóa lại và mở tiếp vòi thứ hai trong 15 phút thì sẽ đầy một
phần năm bể. Hỏi nếu chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể.


3
2

* Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x(x> , giờ), trong một giờ vòi I chảy

được

1
x

bể, vòi hai chảy được

2 1
−
3 x

phần bể. Sau 20 phút vòi I chảy được

1 1
.
3 x

, vòi II chảy

12 1
 − ÷
4 3 x 
trong 15 phút đầy
bể. Theo bài ra ta có phương trình:
1 1 12 1 1
. +  − ÷=
3 x 4 3 x  5

Giải ra ta được x =

Kết luận:

5
2

(h)

5 15
;
2 4

Bài toán 5: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu từng
vòi chảy riêng thì vòi I chảy trong 3 giờ, bằng lượng nước vòi II chảy trong 2 giờ. Hỏi nếu chảy
riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu?

* Gọi thời gian vòi I chảy đầy bể một mình là x, một giờ chảy được

được

2 1
−
5 x

phần bể.

Theo bài ra ta có phương trình:
3
2 1
= 2 − ÷
x
5 x

Giải phương trình được x =
Kết luận:...

25

4

1
x

phần bể, vòi II chảy


* Bài toán 6: Nếu mở cả hai vòi chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy nước. Nếu
mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là hai giờ. Hỏi nếu mở
riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu thì đầy bể?
* Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là x (giờ, x > 0), thời gian vòi hai chảy một mình
đầy bể là x + 2(giờ)

2 giờ 55 phút =

35
12

giờ. Trong một giờ cả hai vòi chảy được

Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được

Ta có phương trình

1
x

12
35

(bể). vòi hai chảy được

(bể).
1
x+2

(bể)

1
1
12
+
=
x x + 2 35

Hay 6x2 - 23x - 35 = 0, giải ra ta được x = 5
−
x=

7
6

(loại)

Trả lời: Vòi thứ nhất chảy một mình trong 5 giờ thì đầy bể, còn vòi thứ hai chảy trong 7 giờ thì
đầy bể.
Bài toán 7: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2h 55’ thì đầy bể. Nếu để
chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là hai giờ. Tính thời gian mỗi
vòi chảy một mình đầy bể.

HD giải
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x(x>2h55’, giờ), vòi hai chảy một mình hết

x + 2 giờ, trong một giờ vòi thứ nhất chảy được

Theo bài ra ta có phương trình:

1
1
12
+
=
x x + 2 35

1
x

bể, vòi thứ hai chảy được

1
x+2

bể.

 12x2 – 46x – 70 = 0 => x = 5(tm)

Vậy chảy một mình vòi thứ nhất chảy hết 5 giờ, vòi thứ hai chảy hết 7 giờ.


Bài toán 8: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 3 giờ đầy bể. Nếu để vòi

một chảy trong 20 phút, khóa lại rồi mở tiếp vòi hai trong 30 phút thì cả hai vòi chảy được
bể Tính

1
8

thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
HD giải

Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là x(x>3, giờ) trong một giờ vòi một chảy được

bể, cả hai vòi chảy được
1 1
.
3 x

1 1
.
3 x

1
3

bể, vòi hai chảy được

phần bể, trong 30 phút vòi hai chảy được

+

1 1 1
.( − )
2 3 x

=

1
8

1 1
−
3 x

1
x

( bể). Trong 20 phút vòi một chảy được

1 1 1
.( − )
2 3 x

bể. Theo bài ra ta có phương trình:

giải ra x = 4. Vậy chảy một mình vòi một chảy trong 4 giờ thì đầy bể, vòi

hai chảy trong 12 giờ thì đầy bể.
Bài toán 9:
Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành công việc đó trong 24 giờ.
Nếu đội thứ nhất làm trong 10 giờ, đội thứ hai làm trong 15 giờ thì cả hai đội làm được một nửa

công việc. Tính thời gian mỗi đội làm một mình để xong công việc.
HD giải
Gọi thời gian đội một hoàn thành công việc một mình là x(x >24, giờ), thì trong một giờ đội

một làm được

1
x

công việc, cả hai đội làm được

công việc. Trong 10 giờ đội một làm được 10.

1
x

1
24

công việc, và đội hai làm được

1 1
−
24 x

công việc, trong 15 giờ đội hai làm được


15.(

10.

1 1
−
24 x
1
x

)

+ 15.(

công việc, cả hai đội làm được
1 1
−
24 x

)

=

1
2

1
2

Công việc, nên theo bài ra ta có phương trình:

. Giải ra ta được x = 40 (tmđk), vậy để làm một mình đội một hoàn

thành công việc trong 40 giờ, đội hai hoàn thành công việc trong 60 giờ.
Bài toán 10: Để làm xong một công việc, nếu A và B cùng làm thì mất 6 giờ, nếu B và C cùng
làm thì mất 4,5 giờ, nếu A và C cùng làm thì mất 3 giờ 36 phút. Hỏi nếu cả ba cùng làm thì mất
bao lâu thì mới làm xong công việc đó.
HD giải
Gọi thời gian để A, B, C làm một mình xong công việc lần lượt là x, y, z(x, y, z > 0, giờ).

Ta có hệ phương trình:

1 1 1
x + y = 6

1 1 2
 + =
y z 9
1 1 5
 + =
 z x 18



Trong một giờ cả ba người làm được

1 1
x = 9

1 1
 =
 y 18

1 1
 =
z 6
1 1 1 1
+ + =
9 18 6 3

công việc. Vậy thời gian để ba người cùng

làm xong công việc là 3 giờ.
Bài số 11: Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 6 giờ thì xong. Nếu một mình
người thứ nhất làm trong 2 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người
2
5

làm được công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì trong bao lâu thì xong công
việc( Giả thiết năng suất lao động của hai người bằng nhau).

* ta có hpt:

1 1 1
x + y = 6
 x = 10

⇔

 y = 15
2 + 3 = 2
 x y 5

Bài 12: Hai tổ cùng làm chung công việc trong 12 giờ thì xong, nhưng hai tổ cùng làm trong 4
giờ thì tổ (I) đc điều đi làm việc khác , tổ (II) làm nốt trong 10 giờ thì xong công việc. Hỏi mỗi
tổ làm riêng thì trong bao lâu xong việc.

* ta có hpt:

1 1 1
 x + y = 12
 x = 60

⇔

 y = 15
 1 + 10 = 1
 3 y

Bài 13: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bồn không có nước. Nếu vòi 1 chảy trong 3h rồi dừng
lại, sau đó vòi 2 chảy tiếp trong 8h nữa thì đầy bồn. Nếu cho vòi 1 chảy vào bồn không có nước
trong 1h, rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4h nữa thì số nước chảy vào bằng 8/9 bồn. Hỏi nếu
chảy 1 mình thì mỗi vòi sẽ chảy trong bao lâu thì đầy bồn?

* ta có hpt:

3 8
x + y =1
x = 9

⇔


 y = 12
1 + 4 + 4 = 8
 x x y 9

3
Bài 14: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong một giờ được 10 bể. Nếu vòi thứ nhất
4
chảy trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vòi chảy được 5 bể. Tính thời gian mỗi

vòi chảy một mình đầy bể .

* ta có hpt:

1 1 3
 x + y = 10
x = 5

⇔

 y = 10
3 + 2 = 4
 x y 5

Bài toán 15: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc. Thời gian để đội I hoàn thành
công việc ít hơn thời gian để đội II hoàn thành công việc đó là 4 giờ. Tổng hai thời gian này gấp
4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi
đội phải mất bao lâu mới xong.
HD giải
Gọi thời gian đội I hoàn thành công việc một mình là x(x>0, giờ), đội II hoàn thành công việc

là x + 4(giờ). Trong một giờ hai đội làm chung được

gian để hai đội làm chung xong công việc là

x( x + 4)
2x + 4

1
1
+
x x+4

công việc (hay

2x + 4
x( x + 4)

(giờ). Ta có phương trình:

). Thời


2x + 4 =

9 x( x + 4)
.
2 2x + 4

hay x2 + 4x – 32 = 0;

giải phương trình được x1 = -8(loại); x2 = 4(thỏa mãn)
Bài 16: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 20 phút bể sẽ đầy. Nếu mở vòi thứ
nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì được bể. Hỏi nếu chảy một mình thì thời
gian của mỗi vòi là bao lâu.
HD giải
Gọi x là thời gian vòi I chảy một mình đầy bể, y là thời gian vòi II chảy một mình đầy bể (x, y >

0, giờ). Trong một giờ vòi I chảy được

vòi chảy được

4 1 1
.( + )
3 x y

phút vòi II chảy được
4 1 1
 5 .( x + y ) = 1

1 + 1 =2
 6 x 5 y 5

1
5y

1
x

bể, vòi II chảy được

bể( đầy bể). Trong 10 phút(

1
6

1
y

bể, trong 1 giờ 20 phút cả hai

giờ), vòi I chảy được

1
6x

bể, trong 12

bể. Ta có hệ phương trình:

giải ra ta tìm được x = 2; y = 4(thỏa mãn điều kiện)

Kết luận: Vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 2 giờ, vòi thứ hai chảy một mình trong 4 giờ
đầy bể.
Bài 17: Hai đội công nhân cùng làm một quãng đường thì 12 ngày xong việc. Nếu một đội làm
một mình hết nửa công việc, rồi đội thứ hai tiếp tục một mình làm nốt phần việc còn lại thì hết
tất cả 25 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc.
HD giải
Gọi thời gian đội thứ nhất làm xong nửa công việc là x(ngày), 2x > 12 và x < 25 hay 6Thời gian đội thứ hai làm xong nửa công việc là 25 – x(ngày).

Trong 1 ngày đội thứ nhất làm được

1
2x

(công việc); đội thứ hai làm được

1
2(25 − x)

(công

việc).


Trong 1 ngày cả hai đội làm được

Ta có phương trình:

1
2x

+

1
12

1
2(25 − x )

(công

=

1
12

việc).

hay x2 – 25x + 150 = 0

Giải ra ta được x1 = 15; x2 = 10. Vậy nếu đội I hoàn thành công việc trong 20 ngày thì đôi II
trong 30 ngày và ngược lại.
Bài 18: Hai người thợ làm chung một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm
trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm một
mình thì bao lâu xong việc.
HD giải
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x(giờ, x>0), thời gian làm một
mình xong việc của người thứ hai là y(giờ, y>0). Theo đầu bài ta có hệ phương trình:
1
 x +

3 +
 x

1 1
=
y 16
6 1
=

y 4

giải ra x = 24; y = 48. Trả lời: Người thứ nhất làm một mình trong 24 giờ xong
việc. Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 48 giờ.
Bài 19: Hai người cùng làm chung một công việc trong 6 giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một
mình công việc ấy thì tổng số thời gian làm việc của hai người là 25 giờ. Hỏi mỗi người làm
một mình thì bao lâu xong công việc.
HD giải
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x(giờ, 0làm một mình xong việc của người thứ hai là 25 – x(giờ). Trong một giờ người thứ nhất làm

được

1
x

(công việc). Người thứ hai làm được

(công việc). Ta có phương trình:

1
25 − x

1
1
1
+
=
x 25 − x 6

(công việc), hai người làm chung được

1
6

giải ra ta được x1 = 15; x2 = 10.

Trả lời: Làm một mình người thứ nhất hết 15 giờ thì xong việc, người thứ hai làm một mình
xong việc hết 10 giờ. Và ngược lại.
Bài 20: Hai đội lao động nếu cùng làm chung thì sau 4 ngày sẽ hoàn thành công việc. Nhưng
lúc đầu đội một đã làm được 9 ngày thì đội hai mới tới và hai đội làm chung một ngày nữa thì
công việc mới hoàn thành. Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc?


HD giải
Gọi x là số ngày đội I làm một mình xong công việc, y là số ngày đội II hoàn thành xong công
việc(x và y nguyên dương). Ta có hệ phương trình:
 1 1 1
9. x + ( x + y ) = 1

1 + 1 = 1
 x y 4

Giải ra ta được x = 12; y = 6. Trả lời:……

Bài 21: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu từng vòi
chảy riêng thì vòi I chảy trong 3 giờ bằng lượng nước vòi II chảy vào bể trong 2 giờ. Hỏi từng
vòi nước chảy riêng thì sau bao lâu bể nước sẽ đầy.
HD giải
Gọi x, y là số giờ vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể(x và y dương)

Ta có hệ phương trình:

1 1 2
 x + y = 3

3 − 2 = 0
 x y

Giải ra ta được x = 6 giờ 15 phút; y = 4 giờ 10 phút.

Trả lời:
Bài 22: Hai tổ sản xuất cùng làm một công việc trong 20 giờ thì xong. Nếu tổ thứ nhất làm 6
giờ và tổ thứ hai làm trong 3 giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi tổ làm công việc đó
trong mấy giờ thì xong.
HD giải
Gọi x, y lần lượt là số giờ tôt thứ nhất và tổ thứ hai làm xong công việc(x>0; y>0). Ta có hệ

phương trình:

1 1 1
 x + y = 20

6 + 3 = 1
 x y 4

Giải hệ phương trình này được x = 30; y = 60.

Bài 23: Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong( vữa và gạch do
thợ phụ làm). Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ, người thứ hai và người thứ hai làm trong 6

giờ thì cả hai xây được

3
4

bức tường. Hỏi mỗi người làm một minh thì bao lâu xây xong bức

tường.
HD giải
Gọi thời gian người thứ nhất xây một mình xong bức tường là x(x>0, giờ), thời gian người thứ

hai xây một mình xong bức tường là y(giờ, y>0). Trong một giờ người thứ nhất xây được

bức tường, người thứ hai xây được

1
y

bức tường. Trong một giờ cả hai người xây được

5
36

1
x

bức

tường, người thứ nhất làm trong 5 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ nên ta có hệ phương
trình:
1
 x +

5 +
 x

1 5
=
y 36
6 3
=
y 4
Giải ra ta được x = 12; y = 18. Trả lời:……

Bài 24: Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trinh trong 4 ngày thì xong việc. Nếu người
thứ nhất làm một minh trong chín ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp một ngày nữa thì
xong việc. Hỏi mỗi người làm một minh thì bao lâu xong công việc.
HD giải
Gọi thời gian hoàn thành công việc một mình của người thứ nhất là x(ngày), x > 0, thời gian
hoàn thành công việc của người thứ hai là y(ngày) y > 0.

Lập luận ta có hệ phương trình:

1 1 1
 x + y = 4

10 + 1 = 1
 x y

Giải hệ được x = 12; y = 16. Trả lời….

Bài 25: Hai cần cẩu lớn bốc dỡ một lô hàng ở cảng Sài Gòn. Sau 3 giờ có thêm 5 cần cẩu bé
cùng làm việc. Cả bẩy cần cẩu làm việc 3 giờ nữa thì xong. Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một minh


thì sau bao lâu xong việc, biết rằng nếu cùng làm việc từ đầu thì 7 cần cẩu thì trong 4 giờ thì
xong.
HD giải
Gọi thời gian một cần cẩu lớn làm một mình xong công việc là x(giờ), x > 0.
Thời gian một cần cẩu bé làm một mình xong việc là y(giờ), y > 0. Hai cần cẩu lớn làm trong 6

giờ, 5 cần cẩu bé làm trong 3 giờ ta có phương trình 1:

12 15
+ =1
x
y

Nếu 7 cần cẩu làm từ đầu giờ thì trong 4 giờ thì xong việc nên ta có phương trình 2:

2 5 1
+ =
x y 4
Giải hệ ta được (x; y) = (24; 30). Trả lời:…..
Bài 26: Hai người cùng làm chung một công việc dự định trong 12 giờ thì xong. Họ làm chung
với nhau được 8 giờ thì người thứ nhất nghỉ, còn người thứ hai cứ tiếp tục làm. Do cố gắng tăng
năng suất gấp đôi, nên người thứ hai đã làm xong phần việc còn lại trong 3 giờ 20 phút. Hỏi
nếu mỗi người thợ ấy làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì phải mất bao lâu để làm

xong công việc nói trên?
HD giải
Gọi x giờ là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc, y là thời gian người thứ
hai làm một mình xong công việc, x > 0, y > 0.

Một giờ hai người làm chung được

1
12

công việc, nên ta có phương trình

1 1 1
+ =
x y 12


Hai người làm chung trong 8 giờ nên công việc còn lại là

người thứ hai trong một giờ làm được

2
y

1
3

do năng suất tăng gấp đôi nên

(công việc) người thứ hai phải làm trong 3 giờ 20

phút mới xong công việc nên ta có phương trình:

2 10 1
. =
y 3 3

. Ta có hệ phương trình:

1 1 1
 x + y = 12

 2 .10 = 1
 y 3 3

;

Giải hệ phương trình ta được (x; y) = (30; 20). Trả lời:…..
Bài 27: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể. Nếu vòi I chảy trong 4
giờ, vòi II chảy trong 6 giờ thì sẽ đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy trong bao lâu thì đầy bể?
HD giải
Gọi x là thời gian chảy một mình đầy bể của vòi I, y …..vòi II, x> 0, y > 0.

Ta có hệ phương trình:

1 1 5
 x + y = 24
x = 8
<=> 


 y = 12
6 + 4 =1
 y x

.
4

Bài 28: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn, sau

I, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau
mới đầy bể.
HD giải
Đáp số : 8 giờ

6
5

4
5

giờ thì đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi

nữa mới đầy bể. Nếu một mình vòi thứ hai chảy bao lâu


Bài 29: Hai tổ cùng làm chung một công việc trong 12 giờ thì xong. Nhưng hai tổ cùng làm
chung trong 4 giờ, thì tổ I đi làm việc khác, tổ II làm nốt trong 10 giờ thì xong công việc. Hỏi
mỗi tổ làm riêng trong bao lâu thì xong công việc.
HD giải
Nếu gọi số giờ tổ I hoàn thành công việc là x, tổ II là y: x, y > 12

Ta có hệ sau:

1 1 1
 x + y = 12
 x = 60
<=> 

 y = 15
 1 + 10 = 1
 3 y

Bài 30: Hai tổ cùng làm chung một công việc trong 15 giờ thì xong. Nếu tổ I làm trong 3 giờ, tổ
II làm trong 5 giờ thì được 25% công việc. Hỏi mỗi tổ làm riêng trong bao lâu xong công việc
đó?
HD giải
Gọi số giờ tổ I hoàn thành công việc là x(x > 15). Số giờ tổ II là y(y>12)

Lập luận ta có hệ:

1
 x +

3 +
 x

1 1
=
y 15
 x = 24

<=> 
5 1
 y = 40
=
y 4
Trả lời:….

Bài 31: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 30 phút thì đầy bể. Nếu
mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khóa lại, sau đó mở vòi thứ hai 20 phút thì được 0,2 bể. Hỏi
mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể.
HD giải
Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là x(x>0), vòi II là y(y>0)

Ta có hệ phương trình:

1 1 2
 x + y = 3
 x = 3,75 = 3h45'
<=> 

 y = 2,5 = 2h30'
 1 + 1 =1
 4 x 3 y 5


Bài 31: Hai vòi cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 4h48’ thì đầy bể. Biết rằng thời
gian chảy một mình đầy bể ít hơn thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể là 4 giờ. Hỏi nếu
chảy một mình thì mỗi vòi chảy bao lâu thì đầy bể?
HD giải

Coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị, vậy năng suất bằng

1
thoigian

; Lập

phương trình theo mẫu

Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung.

Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là x(giờ, x>

24
5

) suy ra thời gian vòi hai chảy một

mình đầy bể là x + 4(giờ). Trong một giờ vòi một chảy được

1
x

(bể),vòi hai chảy được

1
x+4

(bể)

Trong một giờ cả hai vòi chảy được 1 :
1
x

+

1
x+4

=

5
24

24
5

=

5
24

(bể). Ta có phương trình:
−

 5x2 – 28x – 96 = 0 => x1 = 8(tm), x2 =

12
5

( loại).

Trả lời : Vòi một chảy một mình đầy bể trong 8 giờ. Vòi hai 12 giờ.
Bài 32: Hai đội cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ sẽ xong. Nhưng hai đội mới làm
chung được 3 giờ thì đội một nghỉ đội hai làm tiếp trong 3 giờ nữa mới xong công việc. Hỏi nếu
làm riêng thì mỗi đội làm trong bao lâu thì xong công việc.
HD giải
Gọi thời gian đội một làm một mình xong công việc là x(x>4, giờ)
Gọi thời gian đội hai làm một mình xong việc là y(y>4, giờ)


Ta có hệ phương trình:

1 1 1
x + y = 4


3 + 6 =1
 x y

giải ra x = 6; y = 12 thỏa mãn điều kiện.

Vậy đội một làm một mình trong 6 giờ thì xong, đội hai làm một mình trong 12 giờ thì xong.

Bài 33: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 45’ được

2
5

bể. Nếu chảy riêng thì vòi II

chảy chậm hơn vòi I là 2 giờ. Hỏi nếu chảy một mình thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bề.
HD giải

Hai vòi chảy trong 45’ =

3
4

giờ được

2
5

bể. Hai vòi chảy đầy bể hết

Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là x(giờ, x >
1
1
8
+
=
x x + 2 15

−

 4x2 – 7x – 15 = 0 => x1 = 3 (tm); x2=

5
4

15
8

3
4

:

2
5

=

15
8

(giờ).

). Ta có pt:

(loại)

Vậy vòi một chảy một mình hết 3 giờ, vòi hai là 5 giờ.+
Bài 34: Hai công nhân cùng làm chung một công việc trong 10h thì xong. Người thứ nhất làm
một mình trong 1h sau đó hai người cùng làm tiếp trong 2h nữa thì được 25% công việc. Hỏi
nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu thì xong công việc.
HD giải
Gọi thời gian làm một mình xong công việc của người thứ nhất là x(giờ, x>10), người thứ hai
là y(giờ, y>10). Ta có hệ:

1 1 1
 x + y = 10


 1 + 2.( 1 + 1 ) = 1
 x
x y
4

giải ra ta được x = ?; y = ?


Bài 35: Hai người cùng làm chung một công việc dự định trong 12 giờ thì xong. Họ làm chung
với nhau được 8 giờ thì người thứ nhất nghỉ, còn người thứ hai tiếp tục làm. Do cố gắng tăng
năng suất gấp đôi, nên người thứ hai đã làm xong phần việc còn lại trong 3 giờ 20 phút. Hỏi
nếu mỗi người thợ ấy làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì phải mất bao lâu để làm
xong công việc nói trên?
HD giải
Gọi x giờ là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc, y là thời gian người thứ
hai làm một mình xong công việc, x>0, y>0. trong một giờ hai người làm được
1 1 1
+ =
x y 12

công việc. Vì hai người làm chung trong 8 giờ nên công việc còn lại là

Do tăng năng suất gấp đôi nên người thứ hai mỗi giờ làm được
3

phải làm trong 3h12’ =

Ta có hệ pt:

1
3

giờ, nên ta có phương trình:

1 1 1
 x + y = 12

; ( x; y ) = (30; 20)

 2 . 10 = 1
 y 3 3

2
y

1
3

công việc.

công việc. Vì người thứ hai

2 10 1
. =
y 3 3

. Trả lời:.........

Bài 36: Có ba vòi nước cùng cung cấp nước cho một hồ nước cạn. Đúng 8 giờ cả ba vòi cùng
mở, đến 10 giờ người ta đóng vòi thứ hai, đến 13 giờ 40 phút thì hồ đầy nước. Biết rằng nếu
17

mỗi vòi chảy một mình làm đầy một phần ba hồ thì phải mất tất cả

4
9

giờ mới đầy hồ và lưu

lượng của vòi thứ hai là trung bình cộng của vòi thứ nhất và vòi thứ ba. Hỏi nếu mỗi vòi nước
chỉ được mở một mình vào đúng 8 giờ thì đến lúc nào hồ nước sẽ đầy.
HD giải


Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi i, vòi II, vòi III lần lượt là x; y; z(giờ, x>0; y>0;

z>0). Ta có hệ phương trình:

  x = 20

2
1
1
 1 1
  y = 40
( x + y )(13 3 − 8) + y (10 − 8) = 4


3

  z = 10
4
x y z

<=> 
 + + = 14
  x = 10
9
3 3 3

1 1 2
  y = 40
+
=
x y z

3


  z = 20

Vậy: Trường hợp I: Vòi I chảy trong 20 giờ(12 giờ hôm sau)vòi II chảy trong 21 giờ 20 phút.
Vòi III: 10giờ(18 giờ cùng ngày.
Trường hợp II: 18h, 21h20’ cùng ngày, 12 giờ hôm sau.
Đây là các bài toán thuộc dạng có thể thi vào 10 THPT nên để làm tốt các em phải tự
mình giải một bài toán theo nhiều cách, sau đó chọn cho mình cách giải hay nhất, phù hợp
nhất để nếu đề thi có ra ta có thể giải trong thời gian 1 đến 2 phút, đúng và chính xác.

Trên đây chỉ là gợi ý về phương pháp và cách giải, chỉ là cách giải tóm tắt chưa phải
là cách giải chuẩn nhất mà cách giải hay và chuẩn nhất là do các em tự chọn kết hợp đáp
án thi vào 10 những năm trước.

CHÚC CÁC EM MỘT MÙA THI THẮNG LỢI

Phú Cường,ngày 10 tháng 01 năm 2017
CHÀO THÂN ÁI