BAI TAP DAI SO SO CAP

BÀI TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP
Bài 1 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số siêu việt, đại số (vô
tỉ, hữu tỉ nguyên, hữu tỉ phân):
a ) y = ax 4 + bx 2 + c ;

d ) y = sin 3 x + cos 2 x ;

b) y = x − 1 + 3;

e) y = log a ( x + 2);

c) y =

2x +1
;
2x −1

f ) y = 3x 2 .

Giải:
a - Là hàm số đại số hữu tỷ nguyên
b - Là hàm số đại số vô tỷ.
c - Là hàm số đại số hữu tỷ phân.
d, e, f - Là hàm số siêu việt.
Bài 3 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau đây:
a ) y = 5 x 4 + 3x 2 − 2;

d ) y = cos 2 x − cos x ;

b) y = 3 x 5 − 5 x 3 ;
c) y = sin x + tan x ;

e) y = tan 2 x + cot 2 x ;

Giải:
a) ∀x ∈ R ⇒ − x ∈ R và y = 5 x 4 + 3x 2 − 2 , ta có:
y ( − x) = 5( − x) 4 + 3( − x) 2 − 2 = 5 x 4 + 3 x 2 − 2
∀x ∈ R
Suy ra y = y (− x)
4
2
Vậy y = 5 x + 3x − 2 là hàm số chẵn.

b) y = 3 x5 − 5 x3
∀x ∈ R \{0}

⇒

− x ∈ R \{0}

và
y ( − x) = 3 (− x)5 − 5 (− x)3
= − 3 x 5 + 5 x 3 = −( 3 x 5 − 5 x 3 ) = − y ( x )
⇒ y ( x) = y (− x)

Vậy y = 3 x5 − 5 x3 là hàm số lẻ.
c) y = sin x + tan x
∀x ∈ R \{0}

⇒

− x ∈ R \{0}

sin(− x)
cos( − x)
sin x
sin x
= − sin x −
= −(sin x +
) = −(sin x + tan x) = − y
cos x
cos x
⇒ y ( x) = y (− x)
Vậy hàm số y = sin x + tan x là hàm số lẻ.
d) y = cos 2 x − cos x
y ( − x) = sin(− x) + tan(− x) = sin( − x) +


∀x ∈ R \{0} ⇒
− x ∈ R \{0}
y ( − x) = cos 2( − x) − cos(− x) = cos(−2 x) − cos( − x) = cos 2 x − cos x = y
⇒ y ( x) = y (− x)
Vậy hàm số y = cos 2 x − cos x là hàm số chẵn.
e) y = tan 2 x + cot 2 x
∀x ∈ R \{0} ⇒
− x ∈ R \{0}
sin(−2 x) cos( −2 x)
y ( − x) = tan(−2 x) + cot( −2 x) =
+
cos(−2 x) sin( −2 x)
sin 2 x cos 2 x

=−
−
= −(tan 2 x + cot 2 x) = − y
cos 2 x sin 2 x
⇒ y ( x) = y (− x)
Vậy hàm số y = tan 2 x + cot 2 x là hàm số lẻ.

Bài 5 Các hàm số trên R sau đây có hàm ngược không? Hoặc có hàm số
ngược trong những khoảng nào? Xác định hàm số ngược và đồ thị của
chúng:
a ) y = kx ;

b) y = x 3 ;

c) y = x 2 ;
e) y = s inx ;

d ) y = 10 x ;
f ) y = tan x .

Bài 7/Tìm miền xác định của các hàm số:
a) y =

3− x
;
x +1

c) y = ( x − 1) 3 ;

b) y = log a ( x 2 − 4), (a > 0, a ≠ 1);

π
d ) y = cot( x − );
4

e) y = ( x − 3) 2 x .

Giải:
a,
b, x 2 − 4 ≥ 0 ⇒ x ∈ (−∞ ; − 2) ∪ (−2; + ∞)
c, x − 1 > 0 ⇒ x > 1 hay x ∈ (1; + ∞)
π
4
e, x − 3 > 0 ⇒ x > 3 hay x ∈ (3; + ∞)
Bài 8/Xét hàm số y = 2 x + 3 .

d, sin( x − ) ≠ 0 nên tập xác định là ∀x ∈

3π kπ
+
4
2

(k ∈ Z )

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số theo các bước của phương pháp sơ cấp.
b) Dùng các phép biến đổi đồ thị để suy ra đồ thị phải tìm từ đường phân
giác y = x .
Giải:
a. Khảo sát

+) Miền xác định: ∀x ∈ R
+) Sự biến thiên: Ta có


y2 − y1 (2 x2 + 3) − (2 x1 + 3)
=
= 2 > 0 ∀x1 , x2 ∈ R, x1 ≠ x2
x2 − x1
x2 − x1

Nên hàm số đồng biến.
+) Vẽ đồ thị
 −3



- Đồ thị cắt trục Ox tại  , 0 ÷
 2

- Đồ thị cắt trục tung tại ( 0, 3)
b. Đồ thị hàm số y = 2 x + 3 được suy ra từ đường phân giác y = x bằng những
phép biến đối sau:
Cách 1:
- Phép dãn tỉ số k = 2 dọc theo trục tung.
- Phép tịnh tiến dọc theo trục hoành một đoạn bằng 3
Cách 2: Hàm số y = 2 x + 3 cũng có thể viết là y = 2( x + 1) + 1 nên có thể suy ra
đồ thị của y = 2( x + 1) + 1 bằng các phép biến đổi sau:
- Tịnh tiến đường phân giác y = x theo trục hoành một đoạn bằng -1.
- Dãn theo trục tung với tỉ số k = 2
- Tịnh tiến theo trục tung một đoạn bằng 1.

Xét hàm số phân tuyến tính: y =

Bài 10

3x + 2
.
2x + 4

a) Khảo sát và vẽ đồ thị theo các bước của phương pháp sơ cấp.
b) Từ hypebol y =

1
có thể suy ra đồ thị của hàm số đã cho bằng những phép
x

biến đổi đồ thị nào?
Giải:
a) *) TXĐ: D = (−∞ ; − 2) ∪ (−2 ; + ∞)
Ta có y =

3x + 2 3
2
= −
2x + 4 2 x + 2

*) Sự biến thiên
x

−∞

-2

x+2
1
x+2
−2
x+2
3
2
−
2 x+2

*) Vẽ đồ thị
1
2

Với x = 0 ⇒ y = .

1
A (0 ; )
2

+∞


Với x = 2 ⇒ y = 1.

B (2 ; 1)
3 x + 2 3( −2) + 2
Ta có lim 2 x + 4 = 2(−2) + 4 = −∞

x →2
Suy ra đồ thị của hàm số nhận x = −2 làm tiệm cận ngang.
3x + 2
2  3
3
= lim  −
÷=
lim
x+2 2
x →∞ 2 x + 4
x →∞  2
3
Suy ra đồ thị của hàm số nhận y = làm tiệm cận đứng.
2
3x + 2
1
b) Đồ thị hàm số y =
được suy ra từ đồ thị hàm số y = bằng những
2x + 4
x

phép biến đổi sau:
+) Tịnh tiến song song vơi trục hoành một đoạn bằng -2 ta được đồ thị hàm
số y =

1
.
x+2

+) Thực hiện một phép dãn theo trục tung tỉ số k = 2 ta được đồ thị hàm số

y=

2
.
x+2

+) Thực hiện phép đối xứng trục qua trục Ox ta được đồ thị hàm số y =
+) Tịnh tiến song song vơi trục tung một đoạn bằng
số y =

3x + 2
.
2x + 4

−2
.
x+2

−3
ta được đồ thị hàm
2

Bài 12
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng một hệ tọa độ,
bằng phương pháp sơ cấp:
2

4

b) y = x 3 .

a) y = x 3 ;

2m

từ đó tổng quát hóa cho hàm số y = x 2 n +1 .
Giải:
2

a) y = x 3

*) TXĐ: R
*) Chiều biến thiên
2

Hàm số y = x 3 đồng biến trong khoảng (0 ; + ∞)
*) Đồ thị
Đồ thị luôn đi qua A (1 ; 1) và O (0 ; 0)
4

b) y = x 3

Cách khảo sát tương tự:
Đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ


2m

Tổng quát hóa hàm số y = x 2 n +1
2m

Với hàm số y = x 2 n +1 thì khi m = n hoặc m ≠ n hàm số luôn đồng biến trong
khoảng (0 ; + ∞) và đồ thị hàm số luôn đi qua A (1 ; 1) và O (0 ; 0) .
2

2m

5

2 m +1

Bài 14

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x − 3 , hàm số y = x − 2 n +1 .

Bài 15

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x − 3 , hàm số y = x − 2 n +1 .