Đề thi giải tích 1 K53

ĐH QUỐC GIA HN
ĐH CÔNG NGHỆ

Đề thi môn: GIẢI TÍCH I
Lớp K53 CQ-CB, CC, CD, Đ

Thời gian: 150 phút không kể thời gian phát đề.
(Đề số 1)
Câu 1. (2 điểm). Chứng minh các bất đẳng thức:
a) | sin x − sin y| ≤ |x − y|;
b) py p−1(x − y) ≤ xp − y p ≤ pxp−1 (x − y), nếu 0 < y < x;
c) | arctg a − arctg b| ≤ |a − b|;
d)

a
a−b
a−b
< ln <
, nếu 0 < b < a.
a
b
b

Câu 2. (2 điểm). Tìm các giới hạn sau:
1.

lim

x→±∞

2. lim

x→0

√
√
4
x4 − 2x3 + 5x + 1 − x2 + 3x + 5 .

1
ln
x

x

.

Câu 3. (3 điểm).
1. Bằng cách chuyển sang tọa độ cực, tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi
đường (x2 + y 2 )2 = 2a2 xy (lemnixcat)
2. Tính độ dài đường cong axtroit x = a cos3 t, y = a sin3 t.
Câu 4. (1 điểm). Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:
+∞

0

xm
dx (n ≥ 0, m có dấu tùy ý).
1 + xn

Câu 5. (2 điểm).

1. Khai triển hàm số sau thành chuỗi lũy thừa của x và tìm miền hội tụ của chuỗi
đó: f (x) = ln(1 + 3x + 2x2 ). Hãy tính f (100) (0).

0, 3
2. Khai triển hàm số f (x) =
−0, 3

khi 0 < x < 0, 5
khi 0, 5 < x < 1

thành chuỗi Fourier chỉ chứa các hàm cosin.


ĐH QUỐC GIA HN
ĐH CÔNG NGHỆ

Đề thi môn: GIẢI TÍCH I
Lớp K53 CQ-CB, CC, CD, Đ

Thời gian: 150 phút không kể thời gian phát đề.
(Đề số 2)
Câu 1. (2 điểm).
1. Tìm f ′ (a), nếu f (x) = (x − a)ϕ(x), trong đó hàm ϕ(x) liên tục khi x = a.
2. Chứng tỏ rằng hàm f (x) = |x − a|ϕ(x), trong đó ϕ(x) là hàm liên tục và
ϕ(a) = 0, không có đạo hàm tại điểm a.
Câu 2. (2 điểm). Tìm các giới hạn sau:
sh2 x
x→0 ln(ch 3x)

1. lim

2. lim x 1+ln x .
k

x→+0

Câu 3. (3 điểm).
1. Bằng cách đưa phương trình về dạng tham số, tính diện tích giới hạn bởi đường
x2/3 + y 2/3 = a2/3 (axtroit)
2. Tính độ dài đường cong ρ = a(1 + cos ϕ).
Câu 4. (1 điểm). Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:
+∞

arctg ax
dx (a = 0).
xn

0

Câu 5. (2 điểm).
1. Khai triển hàm số sau thành chuỗi lũy thừa và tìm miền hội tụ của nó:
f (x) =

1
.
(1 − x)2

(Gợi ý: khai triển theo nguyên hàm của f (x)).

0, 3

2. Khai triển hàm số f (x) =
−0, 3

khi 0 < x < 0, 5
khi 0, 5 < x < 1

thành chuỗi Fourier chỉ chứa các hàm sin.


Đáp án Đề số 1
Câu 1. (2 điểm). Theo công thức Lagrange:
a) sin x − sin y = (x − y) cos ξ ⇒ | sin x − sin y| = | cos ξ||x − y| ≤ |x − y|;
b) xp − y p = pξ p−1(x − y), y < ξ < x, ⇒ (x − y)py p−1 ≤ xp − y p ≤ (x − y)pxp−1;
1
(a − b) ⇒ | arctg a − arctg b| ≤ |a − b|;
1 + ξ2

c) arctg a − arctg b =
1
ξ

d) ln a − ln b = (a − b), b < ξ < a, ⇒

a−b
a
a−b
< ln <
.
a
b

b

Câu 2. (2 điểm).
1. Đặt y = 1/x, ta có:
4

lim

x→±∞
4

= lim

y→±0
4

= lim
4

x4 − 2x3 + 5x + 1 −
1
2
5
−
+
+1−
y4 y3 y

1 − 2y + 5y 3 + y 4 −
|y|

x2 + 3x + 5
1
3
+
+5
y2 y

1 + 3y + 5y 2

1 − 1 + (3y + 5y 2)
1 + (y 4 + 5y 3 − 2y) − 1
+ lim
|y|
|y|
1 4
1
3
2
(y + 5y − 2y)
− (3y + 5y )
= lim 4
+ lim 2
= L.
|y|
|y|

= lim

2 3

= −2 ;
4 2
2 3
Khi x → −∞, y → 0 − 0, ⇒ L = + = 2 .
4 2

Khi x → +∞, y → 0 + 0, ⇒ L = − −

2. Dạng

∞0 .

lim

x→0

1
ln
x

x

t=1/x

lim

= elim x ln(ln x ) = et→∞
1

ln(ln t)

t

= e0 = 1.

(Có thể dùng L’Hospital).
Câu 3. (3 điểm).
1. Đặt x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, ta được phương trình
lemnixcat dạng: r2 = a2 sin 2ϕ, đối xứng qua
đường r sin ϕ = r cos ϕ và qua gốc tọa độ. Do đó:
a2
S = 4.
2

π
4

0

sin 2ϕdϕ = a2 cos 2ϕ

0
π
4

= a2 .


2. Đường cong đối xứng qua các trục tọa độ, ta có:
π
2

L=4

x′2 + y ′2dt = 4

0

1
xn−m

9a2 cos4 t sin2 t + 9a2 sin4 t cos2 tdt = 6a .

0

Câu 4. (1 điểm). Khi x → +0,
o

π
2

xm
= o
1 + xn

1
x−m

, còn khi x → +∞,

xm

=
1 + xn

. Vì vậy tích phân sẽ hội tụ nếu −m < 1, n−m > 1, tức là m > −1, n − m > 1 .

Câu 5. (2 điểm).
1. ln(1 + 3x + 2x2 ) = ln(1 + x) + ln(1 + 2x) =

+∞

(−1)n−1

n=1
+∞

(−1)n−1 (1 + 2n )

=

n=1
+∞

f

(100)

(−1)n−1

(x) =
n=100

xn +∞
2n xn
+
(−1)n−1
=
n n=1
n

1
1
xn
; − n
2
2

(1 + 2n ) n!xn−100
·
⇒ f (100) (0) = −(1 + 2100 ).99! .
n
(n − 100)!

2. Thác triển chẵn trên đoạn (−1, 0). Hàm đã thác triển có thỏa mãn các điều
kiện của định lí Dirichlet. Khi đó bn = 0,

ao =

an =



2

1

0,5

0

1

0, 3dx −

0

= 0, 6.


0, 3dx = 0.


1

2
1

0,5




f (x) cos nπxdx = 2 

sin nπx
nπ

0,5

0

− 0, 6.

0,5

0

1

0, 3 cos nπxdx −

sin nπx
nπ

1
0,5

=

0,5

1, 2
nπ
sin
nπ
2




0, 3 cos nπxdx =

cho n = 0 và n lẻ, với n chẵn, an = 0. Từ đó:
f (x) =

1, 2 cos πx cos 3πx cos 5πx
cos(2k − 1)πx
−
+
− · · · + (−1)k−1
+···
π
1
3
5
2k − 1

Khai triển đúng trên toàn khoảng xác định của hàm số. Riêng tại x = 0, 5
chuỗi hội tụ đến 0, tại x = 0 chuỗi hội tụ đến 0, 3, tại x = 1 đến −0, 3.

Đáp án Đề số 2
Câu 1. (2 điểm).
1. Theo đn. f ′(a) = lim
∆x→0
ϕ(x) liên tục tại x = a.

(a + ∆x − a)ϕ(a + ∆x)
= lim ϕ(a + ∆x) = ϕ(a), do
∆x
∆x→0

2. Ta tính các đạo hàm từng phía tại a:
f±′ (a) =

1
[|a + ∆x − a| ϕ(a + ∆x)] = ±ϕ(a)
∆x→0±0 ∆x
lim

Nhưng vì ϕ(a) = 0, nên hàm f (x) không có đạo hàm tại điểm a.
Câu 2. (2 điểm).
x2
x2
2
sh2 x
= lim
= lim 2 =
1. lim
.

x→0 ln(1 + ch 3x − 1)
ch 3x − 1
9x /2
9
lim

k ln x

2. lim x 1+ln x = ex→+0 1+ln x = ek .
k

x→+0

Câu 3. (3 điểm).
1. Đặt x = a cos3 t, y = a sin3 t (0 ≤ t ≤ 2π). Đường axtroit đối xứng qua trục tọa
độ, do đó:
π
2

1
S = 4.
2

0

′

π
2

′

(xy − yx )dx = 2

0

3πa2
(3a sin t cos t + 3a cos t sin t)dt =
.
8
2

2

4

2

2

4

2. Đường cong đối xứng qua đường thẳng ρ sin ϕ = 0 (0 ≤ ϕ ≤ 2π);
π

π
0

0

1
xn

cos
0

Câu 4. (1 điểm). Khi x → +0, f (x) =
+∞, f (x) = o

π

(1 + cos ϕ)2 + sin2 ϕdϕ = 4a

ρ2 + ρ′2 dϕ = 2a

L=2

arctg ax
= o
xn

1
xn−1

, còn khi x →

. Vì vậy tích phân hội tụ nếu n − 1 < 1 và n > 1, tức là

1

Câu 5. (2 điểm).
1
1.
=
(1 − x)2

ϕ
dϕ = 8a .
2

1
1−x

′

xn

=
n=0

∞

′

∞

nxn−1 ; (−1 < x < 1) .

=
n=1

2. Thác triển lẻ trên đoạn (−1, 0). Hàm đã thác triển có thỏa mãn định lí Dirichlet,
khi đó: an = 0, n = 0, 1, 2, . . .
bn =



1

2
1
0

= 0, 6.


f (x) sin nπxdx = 2 

cos nπx
nπ

1

0,5

− 0, 6.

0,5

0

1

0, 3 sin nπxdx −

cos nπx
nπ

0,5
0

=

0,5




0, 3 sin nπxdx =

0, 6
nπ
cos nπ − 2 cos
+1
nπ
2

cho n chẵn, còn khi n lẻ bn = 0. Từ đó:
f (x) =

1, 2 sin 2πx sin 6πx sin 10πx
sin 2(2m − 1)πx
+
+
+···+
+··· .
π
1
3
5
2m − 1

Khai triển đúng trên toàn khoảng xác định của hàm f (x). Riêng tại x =
0, 1/2, 1, chuỗi hội tụ đễn 0.