Đề thi giải tích 1 K54

ĐH QUỐC GIA HN
ĐH CÔNG NGHỆ

Đề thi môn: GIẢI TÍCH I
Lớp K54 CQ - CC, CD

Thời gian: 150 phút không kể thời gian phát đề.
(Đề số 1)
Câu 1. (2 điểm). Xét sự liên tục của các hàm số sau:
1. f1 (x) =
2. f2 (x) =

sin x
x
sin x
|x|

nếu x = 0 và f1 (0) = 1.
nếu x = 0 và f2 (0) = 1.

Câu 2. (2 điểm). Tìm các giới hạn sau:
1. lim √
x→0

2.

lim

x→+∞

x2

.
√
1 + x sin x − cos x
2
arctg x
π

x

.

Câu 3. (3 điểm).
1. Tìm độ dài cung của đường cong x = ch3 t, y = sh3 t, (0 ≤ t ≤ T ).
2. Tìm thể tích vật thể tạo nên khi quay miền phẳng giới hạn bởi các đường:
y = e−x , y = 0

(0 ≤ x < +∞),

a) quanh trục Ox.
b) quanh trục Oy .
Câu 4. (1 điểm). Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối của tích phân:
+∞

sin x
dx.
x

0

Câu 5. (2 điểm).

1. Tìm khoảng mở hội tụ và khảo sát sự hội tụ tại hai đầu mút của chuỗi:
+∞
2

(3x)n .
n=0

2. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm tuần hoàn sau: f (x) = sgn(cos x).


Đáp án Đề số 1
Câu 1. (2 điểm).
sin x
= 1,
x→0 x

1. Khi x = 0, hàm liên tục. Xét tại x = 0: giả sử ε > 0 tùy ý, vì lim
nên tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho:
sin x
sin x
−1 ≤
− 1 < ε khi |x| < δ,
x
x

nghĩa là f1 (x) liên tục tại x = 0.
2.
lim

x→0+0

sin x
sin x
sin x
sin x
= lim
= 1 = lim
= lim
= −1
x→0+0
x→0−0
x→0−0
|x|
x
|x|
−x

nên hàm số gián đoạn tại x = 0.
Câu 2. (2 điểm).
1.

√
√
1 + x sin x + cos x
x2
x2
= lim
lim √
=
√

x→0
x→0 1 + x sin x − cos x
1 + x sin x − cos x
√
√
1 + x sin x + cos x
4
lim
=
.
1 − cos x sin x
x→0
3
+
x2
x

2.
lim

x→+∞

lim
x→+∞

e

2
arctg x
π

2
arctg x − 1
π
1/x

x

lim
x→+∞

=e

l’Hospital − lim

=

e

2
arctg x−1
π

x

=

2 x2
π 1 + x2 = e−2/π .

Câu 3. (3 điểm).
1.
x′ (t) = 3 ch2 t. sh t, y ′ (t) = 3 sh2 t. ch t;
x′2 (t) + y ′2 (t) = 9 sh2 t ch2 t(ch2 t + sh2 t) =
L=

3
2

T
0

√
3
sh 2t ch 2t dt =
4
=

T

√

9 2
sh 2t. ch 2t,
4

ch 2t d(ch 2t) =

0

1
ch3/2 2T − 1 .
2

1 3/2
ch 2t
2

T
0

=


η

2.

e−2x
η→+∞ 2

a) Vx = lim π e−2x dx = π lim
η→+∞

0

=

0
η

=

π
π
.
lim 1 − e−2η =
2 η→+∞
2

η

b) Vy = lim 2π xe−x dx = 2π lim
η→+∞

η→+∞

0

xe−x + e−x

0

=

η

−ηe−η + 1 − e−η = 2π .

= 2π lim

η→+∞

Câu 4. (1 điểm).
a

sin x
dx +
x

I=
0

+∞
a

sin x
dx = I1 + I2
x

sin x
liên tục trên (0, a) và giới nội, nên
x
tích phân I1 tồn tại, còn I2 hội tụ theo dấu hiệu Dirichlet, vậy I hội tụ.

với a > 0 là số cố định bất kì. Do hàm y =
Do
+∞
a

sin x
dx ≥
x

+∞
a

sin2 x
1
dx =
x
2

+∞
a

dx 1
−
x
2

+∞
a

cos 2x
dx,
x

tích phân thứ nhất phân kì, còn tích phân thứ hai hội tụ theo dấu hiệu Dirichlet, nên
tích phân ta đang xét không hội tụ tuyệt đối. Vậy, tích phân I bán hội tụ.

Câu 5. (2 điểm).
1.
2
2
un+1
= |3x|(n+1) −n = |3x|2n+1
un

1
3


+∞
−→
n→+∞ 0

Từ đó R = , chuỗi hội tụ tuyệt đối với |x| < 1/3.
Tại x = −1/3, ta được chuỗi số:

2

1 − 1 + 1 − 1 + . . . + (−1)n + . . .

phân kì. Tại x = 1/3, ta có chuỗi:
1 + 1 + 1+...
1 1
3 3

cũng phân kì. Vậy tập hội tụ là − ,

.

nếu |3x| > 1

nếu |3x| < 1

.


π
+ kπ),
2
có đạo hàm liên tục từng khúc f ′ (x) = 0 khi x = xk . Ngoài ra hàm f (x) tuần
1
hoàn với chu kì 2π và f (xk ) = (f (xk − 0) + f (xk + 0)) .
2

2. Hàm đã cho liên tục từng khúc (gián đoạn loại một tại các điểm xk =

Do đó nó có thể khai triển được thành chuỗi Fourier hội tụ đến hàm f (x) tại
mọi điểm của trục số.
Hàm chẵn, ta nhận được: bn = 0, a0 = 0
an =

π

2
π

sgn(cos x). cos nx dx =

0

2 π/2
2 π
cos nx dx −
cos nx dx =
π 0
π π/2
nπ
4
sin
,
(n = 1, 2, . . .)
=
nπ
2

=

Vậy ta có
4
sgn(cos x) =
π
4
=
π

∞

n=1

∞

k=0

1
nπ
sin
cos nx =
n
2
(−1)k
cos(2k + 1)x ,
2k + 1

−∞ < x < +∞.