BÀI TẬP XÁC SUẤT

Bài tập Xác suất
tmt
Ngày 26 tháng 10 năm 2016

Phần I

8. Một cửa hàng đồ điện nhập lô bóng điện đóng
thành từng hộp, mỗi hộp 12 bóng. Chủ cửa hàng
kiểm tra chất lượng bằng cách lấy ngẫu nhiên 3
bóng để thử và nếu cả 3 bóng cùng tốt thì hộp
bóng điện được chấp nhận. Nếu trong một hộp có
4 bóng hỏng thì xác suất để hộp bóng đó được
nhận là bao nhiêu?

Xác suất đại cương
1. Một ổ khóa bằng mã số có 3 vòng số, mỗi vòng
có 20 vị trí. Ổ khóa chỉ mở được khi mỗi vòng số
nằm ở đúng vị trí của nó. Tính số trường hợp có
thể có khi xoay 3 vòng số này.

9. Trong một đợt khuyến mãi dành cho khách hàng
thân thiết, một công ty phát hành 100 vé trong
đó có 10 vé có thưởng. Một khách hàng được tặng
ngẫu nhiên 5 vé. Tính xác suất để trong 5 vé này
có ít nhất một vé trúng thưởng.

2. Một hộp có 100 sản phẩm trong đó có 85 sản phẩm
tốt. Hỏi:
(a) Có bao nhiêu cách để lấy 10 sản phẩm từ hộp
này.
(b) Có bao nhiêu cách lấy 10 sản phẩm trong đó

có 7 sản phẩm tốt.

10. Một két bia có 24 chai, trong đó có 3 chai đã hết
hạn sử dụng. Chọn ngẫu nhiên từ két bia đó ra 3
chai (chọn một lần). Tính xác suất chọn được cả
3 chai bia còn hạn sử dụng.

3. Một lô hàng có 22 sản phẩm trong đó có 8 sản
phẩm tốt.

11. Có hai hộp, mỗi hộp đựng 4 loại bi với 4 màu khác
nhau (cam, vàng, xanh, tím). Lấy ngẫu nhiên mỗi
hộp 1 bi. Gọi Ci , Vi , Xi , Ti lần lượt là biến cố lấy
được từ hộp thứ i viên màu cam, vàng, xanh và
tím (i = 1, 2). Biểu diễn các biến cố sau:

(a) Có bao nhiêu cách lấy 4 sản phẩm từ 22 sản
phẩm này ?
(b) Có bao nhiêu cách lấy 4 sản phẩm trong đó
có 2 sản phẩm tốt ?
4. Trên một vòng tròn có 12 điểm. Có bao nhiêu dây
cung được vẽ từ các nút này? Có bao nhiêu tam
giác nhận các điểm này làm đỉnh?

(a) Lấy được 2 bi cùng màu.
(b) Lấy được 2 bi khác màu.
12. Người ta kiểm tra theo thứ tự một lô hàng có 4
sản phẩm. Mỗi sản phẩm chỉ có 2 trạng thái (tốt
hoặc xấu). Ký hiệu Ak là biến cố sản phẩm thứ k
là sản phẩm xấu. Biểu diễn các biến cố sau theo

Ak :

5. There are six men and seven women in a ballroom dancing class. If four men and four women
are chosen and paired off, how many pairings are
possible?
6. Một đoạn gen gồm 2 gen X, 3 gen Y và 4 gen Z.
liên kết với nhau theo một hàng dọc. Hỏi?

(a) Cả 4 sản phẩm đều xấu.
(b) Có ít nhất một sản phẩm xấu.

(a) Các gen này có thể liên kết với nhau theo bao
nhiêu cách?
(b) Có bao nhiêu cách liên kết để các gen Y đứng
liền nhau?
(c) Có bao nhiêu cách để 3 gen đứng liền nhau
theo thứ tự XYZ?

(c) Có 2 sản phẩm xấu.
(d) Có 3 sản phẩm kiểm tra là xấu.
13. Một nhóm công nhân có 8 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu
nhiên 4 người. Tính xác suất để trong 4 người đó,
có:

7. Một giải thi đấu bóng đá có 8 đội, ở vòng 1 các
đội phải thi đấu vòng tròn một lượt tính điểm. Hỏi
vòng 1 có bao nhiêu trận đấu?

(a) Tất cả cùng giới.
(b) Có đúng 1 nam.

1


(c) Có nhiều nhất 2 nữ.

(b) Có đúng hai lần bán được hàng.
20. Người ta thống kê được 90% máy vi tính (sử dụng
lần đầu) do công ty A sản xuất hoạt động tốt
trong năm đầu tiên. Một nhân viên văn phòng
mua 4 máy (mới) của công ty này để sử dụng, xét
trong một năm, tính xác suất để không có máy
nào trong 4 máy này cần phải sửa chữa.

Công thức cộng và công thức nhân XS
14. Lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên
giỏi Ngoại ngữ, 30 sinh viên giỏi Tin học, 20 sinh
viên giỏi cả Ngoại ngữ và Tin học. Chọn ngẫu
nhiên 1 sinh viên trong lớp, tính xác suất để:

21. Có 2 chuồng thỏ, chuồng thứ I có 6 thỏ đen và
4 thỏ trắng, chuồng thứ II có 8 thỏ đen và 4 thỏ
trắng. Bắt ngẫu nhiên mỗi chuồng 1 con. Tính xác
suất để:

(a) Sinh viên này giỏi ít nhất một môn học.
(b) Sinh viên này không giỏi môn học nào hết.
(c) Sinh viên này chỉ giỏi đúng 1 môn học.

(a) 2 con cùng mầu.

15. Trong trò chơi “Bầu – Cua – Tôm – Cá”. Một người
đặt tiền vào 1 ô bất kỳ (trong 6 ô). Tính:

(b) 2 con đen.
(c) 1 con đen và 1 con trắng.

(a) Số phần tử của không gian mẫu.

22. Hai người, mỗi người cùng bắn một viên đạn vào
mục tiêu. Xác suất bắn trúng của người thứ nhất
là 0,75 và của người thứ hai là 0,85. Mục tiêu bị
tiêu diệt khi bị trúng đạn. Tính xác suất mục tiêu
bị tiêu diệt.

(b) Xác suất để ngươi này thua.
(c) Tính xác suất để người này thắng 1 con, 2
con, 3 con.
16. Một hệ thống gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với
nhau. Xác suất để mỗi bộ phận bị hỏng trong một
ngày lần lượt là 0,05; 0,1; 0,15. Hệ thống ngừng
hoạt động nếu có ít nhất một bộ phận bị hỏng.
Tính xác suất để hệ thống hoạt động tốt (không
bị ngừng hoạt động) trong một ngày.

23. Tỷ lệ người mắc bệnh tim trong một vùng dân
cư là 7%, mắc bệnh huyết áp là 15%, mắc cả hai
bệnh là 4%. Chọn ngẫu nhiên một người trong
vùng. Tính xác suất để người đó:
(a) Bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp.

17. Có 3 người chơi bóng rổ, mỗi người ném một quả.
Xác suất ném trúng rổ của mỗi người lần lượt là
0,5 ; 0,6 ; 0,7. Tính xác suất để:

(b) Không bị bệnh tim cũng không bị bệnh huyết
áp.
(c) Không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết
áp.

(a) Cả 3 người đều ném trúng rổ.
(b) Chỉ có người thứ 2 ném trúng rổ.

(d) Bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp.

(c) Có ít nhất một người ném trúng rổ.

(e) Không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp.

(d) Có nhiều nhất một người ném trúng rổ.
24. Xác suất để máy thứ nhất sản xuất được sản phẩm
loại A là 0,9. Đối với máy thứ hai xác suất là 0,8.
Cho mỗi máy sản xuất 1 sản phẩm thì thấy có 1
sản phẩm loại A. Tính xác suất để sản phẩm loại
A đó là do máy thứ nhất sản xuất.

18. Ba bác sĩ có xác suất chẩn bệnh đúng là 0,8; 0,9;
0,7. Một bệnh nhân được ba người này khám bệnh
độc lập nhau.
(a) Tính xác suất để sau khi chẩn bệnh chỉ có
một kết quả đúng.

25. Để đưa sản phẩm ra thị trường. Thì sản phẩm
phải qua 3 giai đoạn kiểm tra. Mỗi giai đoạn kiểm
tra xác suất để phát hiện ra sản phẩm lỗi lần lượt
là: 80%, 90% và 99%. Tính xác suất sản phẩm bị
lỗi được đưa ra thị trường?

(b) Tính xác suất chỉ có bác sĩ thứ hai chẩn bệnh
đúng.
19. Một nhân viên bán hàng, mỗi năm đến bán ở công
ty A ba lần. Xác suất để lần đầu bán được hàng
là 0,8. Nếu lần trước bán được hàng thì xác suất
lần sau bán được hàng là 0,9; còn nếu lần trước
không bán được hàng thì xác suất để lần sau bán
được hàng chỉ là 0,4. Tính xác suất để:

26. Một phân xưởng có 4 máy đóng gói, nhân viên kỹ
thuật cho biết xác suất bị hỏng trong một tháng
của từng máy tương ứng là 0,1; 0,15; 0,25 và 0,3.
Tính xác suất để trong một tháng:
(a) Có duy nhất một máy bị hỏng.

(a) Cả ba lần đều bán được hàng.
2


(b) Tính xác suất có một máy bị hỏng và máy
đó không phải là máy số 3.

32. Một máy đóng gói được cấu tạo bởi 2 bộ phận

hoạt động độc lập nhau, máy bị hư nếu một trong
2 bộ phận bị hư. Biết rằng xác suất để bộ phận
thứ 2 bị hư gấp 2 lần xác suất để bộ phận thứ
nhất bị hư. Nếu xác suất máy đóng gói này bị hư
là 0,32. Xác suất để để bộ phận thứ nhất bị hư là
bao nhiêu?

27. Một công ty nghiên cứu thị trường cho biết trong
năm qua:
• 55% số người xem tivi thích xem phim Hàn
quốc.
• 25% số người xem tivi thích xem phim hành
động Mỹ.

33. Có 3 bác sĩ cùng chuẩn đoán cho 1 bệnh nhân với
xác suất chuẩn đoán đúng bệnh của từng bác sĩ
lần lượt là 0,8;0,9 và 0,7. Tìm xác suất để sau khi
chuẩn đoán bệnh có 1 và chỉ 1 kết quá đúng thì
đó là chuẩn đoán của người thứ 3.

• 15% số người xem tivi thích xem cả hai thể
loại trên.
Tính tỷ lệ số người:

34. Có 3 cầu thủ ném bóng vào rổ với xác suất ném
trúng rổ của từng người tương ứng là: 0,7; 0,8 và
0,9. Biết rằng có 2 người ném trúng rổ, tính xác
suất để người thứ nhất ném trúng rổ.

(a) Thích xem ít nhất một trong hai thể loại trên.

(b) Chỉ thích xem một trong hai thể loại trên.
(c) Chỉ thích xem phim Hàn quốc
(d) Chỉ thích xem phim Mỹ.

35. Có 3 cầu thủ ném bóng vào rổ với xác suất ném
trúng rổ của từng người tương ứng là: 0,7; 0,8 và
0,9. Biết rằng người thứ nhất ném trúng rổ, tính
xác suất để có 2 người ném trúng rổ?

(e) Thích xem phim hàn hoặc thích xem phim
Mỹ.
28. Thi sát hạch lái xe gồm 3 vòng: Xác suất để thi
đậu ở vòng 1 là 85%, xác suất thi đậu ở vòng 2 là
80% và thi đậu ở vòng 3 là 80%. Tính xác suất để
một người đi thi bị rớt.

36. It is known that a student who does his online
homework on a regular basis has a chance of 83
percent to get a good grade (A or B); but the
chance drops to 58 percent if he doesn’t do the
homework regularly. John has been very busy with
other courses and an evening job and Figures that
he has only a 69 percent chance of doing the homework regularly. What is his chance of not getting
a good grade in the course?

29. Từ kinh nghiệm trước đây, các nhà phân tích tin
rằng, với điều kiện kinh tế hiện nay, một nhà đầu
tư sẽ mua trái phiếu với xác suất 0,6; sẽ mua cổ
phiếu với xác suất 0,3; sẽ mua cả trái phiếu và cổ
phiếu với xác suất 0,15. Tính xác suất để tại thời

điểm này một nhà đầu tư sẽ :
(a) Mua trái phiếu hoặc cổ phiếu.

Công thức xác suất đầy đủ

(b) Mua trái phiếu, biết rằng nhà đầu tư đó đã
mua cổ phiếu.

37. Trong một khu dân cư, có 15% nam giới và 12%
nữ giới mắc bệnh về tai. Giả sử rằng, tỉ lệ nam nữ
trong khu dân cư này là bằng nhau. Tính xác suất
để khi chọn ngẫu nhiên một người dân trong khu
vực này thì người này bị mắc bệnh về tai.

(c) Chỉ mua cổ phiếu.
30. Một em bé có ở túi phải 6 viên bi trắng và 4 viên
bi đỏ, ở túi trái có 7 viên bi trắng và 3 viên bi đỏ.
Em lấy ngẫu nhiên từ mỗi túi ra 2 viên bi. Tìm
xác suất:

38. Một thùng kín đựng 2 loại thuốc: số lượng thuốc
loại A bằng 2/3 số lượng thuốc loại B.Tỷ lệ thuốc
loại A và loại B hết hạn sử dụng lần lượt là 15%
và 20%. Từ thùng lấy ngẫu nhiên một lọ thuốc.

(a) 4 viên bi lấy ra cùng mầu.
(b) Có 3 viên bi trắng và 1 viên bi đỏ.
(c) Số viên bi đỏ nhỏ hơn số viên bi trắng.

(a) Tính xác suất lấy được lọ thuốc A đã hết hạn

sử dụng.

31. Có 3 kiện hàng, mỗi kiện có 10 sản phẩm. Kiện 1,
kiện 2, kiện 3 lần lượt có 8, 7, 6 sản phẩm loại I.
Từ mỗi kiện lấy ra 2 sản phẩm để kiểm tra, nếu
cả 2 sản phẩm lấy ra đều loại I thì mua mua kiện
hàng đó. Tìm xác suất để có ít nhất 1 kiện hàng
được mua.

(b) Tính xác suất lọ thuốc lấy ra từ thùng đã hết
hạn sử dụng.
(c) Giả sử lấy được lọ thuốc còn hạn sử dụng.
Tính xác suất lọ này là thuốc loại A.
3


39. Một nhà máy sản xuất có 3 phân xưởng I, II, III
cùng sản xuất sản phẩm A với tỷ trọng như sau:
xưởng I chiếm 30%, xưởng II chiếm 50% và xưởng
III chiếm 20% công xuất của nhà máy. Với tỷ lệ
phế phẩm tương ứng là: 8%, 9% và 10%.

then a ball is drawn at random from one of the two
urns. If a red ball is drawn, what is the probability
that it comes from the first urn?
45. Một công ty có 3 ca làm việc, trong đó có 1000
công nhân làm việc ca sáng, 500 công nhân làm
việc ca chiều, 300 công nhân làm việc ca tối. Xác
suất một công nhân vắng mặt trong các ca làm
việc sáng, chiều, tối tương ứng là 0,02; 0,05; 0,07.

Tính tỉ lệ nghỉ việc trong toàn bộ công ty.

(a) Tìm tỷ lệ phế phẩm của nhà máy?
(b) Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm để kiểm tra thì
được phế phẩm. tính xác suất để sản phảm
này do phân xưởng I, phân xưởng II, phẩn
xưởng III sản xuất?
40. Có 3 loại hộp. Loại I: có 4 hộp, mỗi hộp có 5 sản
phẩm tốt 3 phế phẩm. Loại II: có 3 hộp, mỗi hộp
có 6 sản phẩm tốt 4 phế phẩm. Loại III: có 3 hộp,
mỗi hộp có 5 sản phẩm tốt 2 phế phẩm.

46. Một nhà máy sản xuất 2 loại đĩa từ, trong đó 25%
là đĩa Backup ( dùng để lưu trữ) và 75% là đãi
Main strorage (dùng để truy xuất dữ liệu). Xác
suất để tuổi thọ 2 loại đĩa này lớn hơn 5 năm lần
lượt là 0,98 và 0,99.

(a) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên
2 sản phẩm. Tính xác suất để trong 2 sản
phẩm lấy ra có 1 sản phẩm tốt.

(a) Chọn ngẫu nhiên một cái đĩa do nhà máy này
sản xuất để kiểm tra, tính xác suất để cái đĩa
này có tuổi thọ lớn hơn 5 năm.

(b) Nếu 2 sản phẩm lấy ra đều tốt. Tìm xác suất
để 2 sản phẩm đó thuộc hộp loại II.

(b) Giả sử chọn được cái đĩa có tuổi thọ lớn hơn 5

năm, tính xác suất cái đĩa này là đĩa Backup.

41. Khảo sát dân cư trong một vùng người ta nhận
thấy tỉ lệ bệnh bạch tạng đối với nam giới là 1,6
% và đối với nữ giới là 2,36%. Giả sử tỉ lệ nam /
nữ trong vùng này là 125/100 Tính tỉ lệ người dân
bị bệnh bạch tạng trong vùng này?

47. An economics consulting firm has created a model
to predict recessions. The model predicts a recession with probability 80% when a recession is indeed coming and with probability 10% when no
recession is coming. The unconditional probability of falling into a recession is 20%. If the model
predicts a recession, what is the probability that
a recession will indeed come?

42. Hai nhà máy cùng sản xuất một loại bóng đèn.
Năng suất nhà máy hai gấp 3 lần nhà máy một.
Tỷ lệ hỏng của nhà máy một và hai lần lượt là
0,1% và 0,2%. Giả sử bóng đèn bán ở thị trường
chỉ do hai nhà máy này sản xuất. Mua một bóng
đèn ở thị trường.

48. Alice has two coins in her pocket, a fair coin (head
on one side and tail on the other side) and a twoheaded coin. She picks one at random from her
pocket, tosses it and obtains head. What is the
probability that she flipped the fair coin?

(a) Tính xác suất để bóng đèn đó hỏng.
(b) Giả sử mua một bóng đèn và thấy nó hỏng.
Theo bạn thì bóng đèn đó do nhà máy nào
sản xuất.

49. Tần suất bạch tạng là 0,6 % với nam và 0,36% với
nữ. Trong một khu dân cư có số người nam = 12
số người nữ.

43. Nghiên cứu hồ sơ tại viện Phỏng người ta thấy 80%
bệnh nhân phỏng do nóng và 20% phỏng do hóa
chất. Loại phỏng do nóng có 30% bị biến chứng.
Loại phỏng do hóa chất có 50% bị biến chứng.
Tính xác suất khi bác sĩ mở tập hồ sơ của bệnh
nhân thì gặp bệnh án của:

(a) Tính tỉ lệ người bị bạch tạng trong khu dân
cư này.
(b) Giả sử trong một mẫu xét nghiệm từ một
người trong khu dân cư này phát hiện người
này bị bạch tạng tính xác suất người này là
nam.

(a) bệnh nhân phỏng do nóng và bị biến chứng.
50. Một nhóm xạ thủ tập bắn. Nhóm thứ I có 5 người,
nhóm thứ 2 có 8 người, nhóm thứ 3 có 9 người và
nhóm thứ 4 có 11 người. xác suất để mỗi người
trong mỗi nhóm bắn trúng tương ứng là: 0,6; 0,7;
0,8 và 0,9. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và biết
người này bắn trật. Hãy xác định xem xạ thủ này
có khả năng ở nhóm nào là cao nhất?

(b) bệnh nhân phỏng do hóa chất và bị biến
chứng.

44. There are two urns containing colored balls. The
first urn contains 50 red balls and 50 blue balls.
The second urn contains 30 red balls and 70 blue
balls. One of the two urns is randomly chosen and
4


51. Ba nhà máy A, B, C cùng sản xuất một loại sản
phẩm X. Tỷ lệ chính phẩm của các nhà máy A,
B và C lần lượt là 0,97; 0,98 và 0,95. Giả sử sản
phẩm X bày bán ở một siêu thị chỉ do ba nhà máy
A, B và C này cung cấp với tỷ lệ lần lượt là 30%;
45% và 25%. Mua một sản phẩm X ở siêu thị.

(b) Biết rằng sản phẩm được chọn là sản phẩm
tốt, tính xác suất để sản phẩm bị mất là sản
phẩm xấu.
56. Có hai chuồng vịt ở cạnh nhau, chuồng thứ nhất
có 4 trống, 6 mái. Chuồng thứ hai có 3 trống, 7
mái. Chọn ngẫu nhiên một chuồng rồi từ chuồng
đó bắt ngẫu nhiên một con. Tính xác suất để bắt
được con trống ?

(a) Tính xác suất để sản phẩm đó là chính phẩm.
(b) Giả sử mua một sản phẩm X ở siêu thị và
thấy sản phẩm đó là chính phẩm. Tính xác
suất để sản phẩm đó do nhà máy A sản xuất.

57. Một lô hạt giống được phân thành 3 loại : loại 1
chiếm 2/3, loại 2 chiếm 14 , còn lại là loại 3. Tỉ lệ

nảy mầm của các loại 1, 2, 3 lần lượt là 80%; 60%;
40%.

52. Tỷ lệ phế phẩm của dây chuyền sản xuất là 5%.
Cuối dây chuyền đặt một thiết bị kiểm tra chất
lượng có độ chính xác 90% đối với chính phẩm,
99% đối với phế phẩm để loại bỏ phế phẩm trước
khi đóng bao bì.

(a) Tính tỉ lệ nảy mầm của cả lô hạt giống.
(b) Nếu chọn 1 hạt để thí nghiệm và thấy rằng
hạt đó không nảy mầm, theo bạn khả năng
hạt giống đó thuộc loại nào là cao nhất ?

(a) Tìm tỷ lệ phế phẩm sau khi đã qua kiểm tra.
(b) Tìm tỷ lệ chính phẩm bị loại nhầm.

58. Trong một cuộc xét nghiệm một loại bệnh, có xác
suất 80% cho kết quả dương tính đối với người
mắc bệnh và 15% cho kết quả dương tính đối với
người không mắc bệnh. Giả sử rằng, tỉ lệ người
dân mắc bệnh này là 5%. Tính xác suất để khi
chọn ngẫu nhiên một mẫu xét nghiệm thì có kết
quả xét nghiệm dương tính.

(c) Tìm tỷ lệ sai sót của thiết bị kiểm tra. Có
cần thay thiết bị kiểm tra tốt hơn không nếu
muốn giảm tổn thất xuống 0,005%.
53. Cam bán ở thị trường Việt Nam có 3 loại: Cam
Việt Nam, cam Thái Lan và cam Trung Quốc.

Trong đó: cam Việt Nam chiếm tỉ lệ 65%; cam
Thái Lan chiếm tỉ lệ 15% và cam Trung Quốc
chiếm tỉ lệ 20%. Một thống kê cho biết tỉ lệ cam
Việt Nam hư là 7%; tỉ lệ cam Thái Lan hư là 4%
và tỉ lệ cam Trung Quốc hư là 15%. Người mua
vào thị trường và chọn ngẫu nhiên 1 trái cam.

59. Một hộp gồm 10 chi tiết trong đó có 7 chi tiết loại
I và 3 chi tiết loại II. Xác suất để một chi tiết loại
I sau 1 năm sử dụng không bị hỏng là 0,9; xác suất
để một chi tiết loại II sau một năm sử dụng không
bị hỏng là 0,8. Người ta lấy ngẫu nhiên một sản
phẩm ra để sử dụng.

(a) Tính xác suất để người đó mua phải một trái
cam hư.

(a) Tính xác suất để sau một năm sử dụng, chi
tiết đó không bị hỏng.

(b) Giả sử một người đã mua phải một trái cam
hư. Tính xác suất để nó là cam Trung Quốc.

(b) Biết rằng sau một năm sử dụng chi tiết này
bị hỏng. Tính xác suất chi tiết này là loại II.

54. 60% số người mới học lái xe có giấy phép lái xe.
Biết rằng trong năm đầu tiên lái xe, xác suất người
không có bằng lái gây tai nạn là 8% và xác suất
người có bằng lái xe gây tai nạn là 5%. Nếu một

người mới lái xe không gây tai nạn trong năm đầu
tiên, xác suất người này có bằng giấy phép lái xe
là bao nhiêu?

60. Tỉ lệ sinh viên tốt nghiệp trường đại học A được
xếp loại Giỏi, Khá, Trung bình khá và Trung bình
lần lượt là 5%, 15%, 50% và trung bình là 30% .
Xác suất có việc làm sau khi tốt nghiệp đối với
sinh viên Giỏi là 95%, đối sinh viên Khá là 80%,
đối với sinh viên Trung bình khá là 60% và đối với
sinh viên Trung bình là 45%.

55. Một lô hàng gồm 80 sản phẩm tốt và 20 sản phẩm
xấu được vận chuyển về kho và trong quá trình vận
chuyển đã có 1 sản phẩm (không rõ chất lượng)
bị mất. Khi lô hàng về đến kho, chọn ngẫu nhiên
một sản phẩm.

(a) Tính tỉ lệ sinh viên có việc làm sau khi tốt
nghiệp trường đại học A.
(b) Gặp ngẫu nhiên một sinh viên đã tốt nghiệp
và biết được rằng người này đã có việc làm.
Tính xác suất sinh viên đó tốt nghiệp loại
giỏi.

(a) Tính xác suất để sản phẩm này là sản phẩm
tốt?
5

61. Có hai kiện hàng I và II. Kiện thứ nhất chứa 10
sản phẩm, trong đó có 8 sản phẩm loại A. Kiện
thứ hai chứa 20 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm
loại A. Lấy từ mỗi kiện 2 sản phẩm. Sau đó, trong
4 sản phẩm thu được chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm.
Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra sau
cùng có đúng 1 sản phẩm loại A.

5. Có 2 kiện hàng, kiện thứ nhất có 6 sản phẩm loại
A, 9 sản phẩm loại B; kiện thứ hai có 7 sản phẩm
loại A, 8 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên mỗi
kiện ra 1 sản phẩm để bán, mỗi sản phẩm loại A
bán được 9.000đ, mỗi sản phẩm loại B bán được
7.000đ. Gọi X là số tiền nhận được khi bán 2 sản
phẩm này.

62. Có 3 nhóm xạ thủ tập bắn. Nhóm thứ nhất có 8
người, nhóm thứ hai có 5 người, nhóm thứ ba có
2 người. xác suất bắn trúng đích của mỗi người
trong nhóm thứ nhất, nhóm thứ hai, nhóm thứ ba
tương ứng 0,8; 0,9; 0,7. Chọn ngẫu nhiên một xạ
thủ và xạ thủ này bắn trật. hãy xác định xem xạ
thủ này có khả năng ở trong nhóm nào nhất.

(a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
(b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
6. Có 3 lô sản phẩm, mỗi lô có 10 sản phẩm. Lô thứ
i có i phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên ở mỗi lô 1 sản
phẩm, gọi X là số phế phẩm trong các sản phẩm
lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất cho X, tính

kỳ vọng và phương sai cho X.

63. Có 8 lô hàng loại A, mỗi lô có 7 sản phẩm tốt và
3 sản phẩm không tốt và 14 lô hàng loại B mỗi lô
có 5 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm không tốt. Lấy
ngẫu nhiên 1 lô rồi từ đó lấy 3 sản phẩm. Gọi X
là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm được chọn
lập bảng phân phối xác suất cho X, tính kỳ vọng,
phương sai.

7. Hộp thứ nhất có 4 sản phẩm loại A và 6 sản phẩm
loại B. Hộp thứ hai có 3 sản phẩm loại A và 5 sản
phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp
một bỏ sang hộp 2. Sau đó lấy từ hộp hai ra 2 sản
phẩm.Gọi X là số sản phẩm loại A trong 2 sản
phẩm được chọn.
(a) Lập bảng phân phối xác suất cho X.

Phần II

(b) Tính kỳ vọng và phương sai, cho biết ý nghĩa.

Biến ngẫu nhiên

8. Một kiện hàng có 15 sản phẩm. Trong đó có 9 sản
phẩm loại I và 6 sản phẩm loại II. Giá bán một
sản phẩm loại I là 15.000đ, loại II là 13.000đ. Lấy
ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 3 sản phẩm để bán,
gọi X là số tiền thu được. Tìm quy luật phân phối
xác suất của X. Tính kỳ vọng, phương sai cho X

và cho biết ý nghĩa.

1. Một phân xưởng có ba máy tự động với xác suất
hỏng trong tháng tương ứng là 0,15; 0,25; 0,2. Gọi
X là số máy hỏng trong 1 tháng.
(a) Lập bảng phân phối xác suất cho X.
(b) Tính số máy hỏng trung bình, số máy hỏng
có khả năng tin chắc nhất trong 1 tháng của
phân xưởng.

9. Một kiện hàng có 15 sản phẩm. Trong đó có 8 sản
phẩm loại I, 3 sản phẩm loại II, và 4 sản phẩm
loại III. Giá bán một sản phẩm loại I là 15.000đ,
loại II là 13.000đ và loại III là 10.000đ. Lấy ngẫu
nhiên từ kiện hàng ra 2 sản phẩm để bán:

2. Gieo 5 hạt giống, xác suất nẩy mần của từng hạt
là 0,85. Gọi X là số hạt nẩy mần. Lập bảng phân
phối xác suất cho X.

(a) Tìm quy luật phân phối xác suất của số tiền
thu được khi bán 2 sản phẩm này.

3. Xác suất chữa khỏi bệnh B của một phương pháp
điều trị là 0,8. Có 4 người được điều trị bằng
phương pháp này. Gọi X là số người được chữa
khỏi bệnh .

(b) Tính kỳ vọng và phương sai cho số tiền thu
được, giải thích ý nghĩa.

10. Một chuồng có 20 con vịt trong đó có 3 con vịt
trống. Bắt ngẫu nhiên 3 con vịt. Gọi X là số con
vịt trống bắt được.

(a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
(b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
4. Theo thống kê trung bình cứ 1.000 người đi xe
máy thì có 25 người bị tai nạn trong 1 năm. Một
công ty bảo hiểm bán bảo hiểm loại này cho 20.000
người trong 1 năm với giá 98 ngàn đồng và mức
chi trả khi bị tai nạn là 4 triệu đồng. Hỏi trong 1
năm lợi nhuận trung bình của công ty về loại bảo
hiểm này là bao nhiêu ?

(a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
(b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
11. Gọi X là số tiền một người chơi đề sẽ nhận được
hoặc mất đi (khi có 1.000đ để chơi). Lập bảng
phân phối xác suất cho X, tính kỳ vọng, phương
sai, giải thích ý nghĩa.
6


12. Trong trò chơi "Bầu - Cua - Tôm - Cá", giả sử
một người đặt 1.000đ vào ô bất kỳ (trong 6 ô), gọi
X là số tiền mà anh ta sẽ nhận được hoặc mất
đi. Tính kỳ vọng, phương sai cho X, giải thích ý
nghĩa.

ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm

tốt có trong 3 sản phẩm được chọn. Hãy lập bảng
phân phối xác suất của X.
20. Để thanh toán 1.000.000đ tiền hàng, một khách
hàng gian lận đã xếp lẫn 5 tờ tiền giả và 15 tờ
tiền thật mệnh giá 50.000đ vào với nhau. Chủ hàng
kiểm tra tiền bằng cách rút ngẫu nhiên lần lượt
5 tờ để kiểm tra. Và giao hẹn rằng nếu phát hiện
tiền giả thì cứ 1 tờ tiền giả phải đền bằng 2 tờ
tiền thật. Hãy lập bảng phân phối xác suất cho
tiền mà khách hàng có thể phải trả do gian lận.

13. Theo thống kê, một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống thêm
hơn 1 năm nữa có xác suất là 0,992 và xác suất
người đó chết trong vòng 1 năm tới là 0,008. Một
công ty bảo hiểm bán bảo hiểm với phí bảo hiểm
là 50 USD cho một năm và số tiền bồi thường là
5.000 USD. Tính số tiền lời(/lỗ) trung bình khi
bán được một hợp đồng bảo hiểm cho đối tượng
này.

21. Một kiện hàng có 9 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm
loại B, lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm để bán.

14. Theo thống kê nhiều năm về tai nạn giao thông ở
mức nhẹ là 0,001; ở mức nặng là 0,005. Một công
ty Bảo hiểm đặt ra mức đền bù đối với TNGT ở
mức nhẹ là 1triệu đồng/1vụ, ở mức nặng là 3triệu
đồng/1vụ. Mức phí bảo hiểm là 30.000 đồng/năm,
thuế doanh thu 10%, các chi phí khác chiếm 15%
doanh thu. Hỏi mức lợi nhuận trung bình hằng

năm đối với 1 thẻ bảo hiểm được bán ra là bao
nhiêu?

(a) Tính xác suất có 3 sản phẩm loại A trong 4
sản phẩm đem bán.
(b) Tính trung bình và phương sai của số tiền
bán được, biết rằng sản phẩm loại A bán
được 10.000đ và sản phẩm loại B bán được
7.000đ.
22. Một kiện hàng có 15 sản phẩm loại A, 5 sản phẩm
loại B và 5 sản phẩm loại C. Lấy ngẫu nhiên 3 sản
phẩm để bán (giá bán tương ứng của từng loại
sản phẩm A, B và C lần lượt là 100, 80 và 50 ngàn
đồng).

15. Có 3 xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người
bắn 1 viên. Xác suất bắn trúng của mỗi người lần
lượt là 0,6; 0,7 và 0,9. Gọi X là số viên đạn trúng
mục tiêu.

(a) Tính xác suất có 2 sản phẩm loại A và 1 sản
phẩm loại B trong 3 sản phẩm đem bán.

(a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
(b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.

(b) Lập bảng phân phối xác suất cho số tiền thu
được.

16. Hai người ném bóng rổ, mỗi người ném 3 quả. Xác

suất ném trung rổ của người thứ nhất là 0,85 và
của người thứ 2 là 0,95. Tính xác suất để:

(c) Tính kỳ vọng, phương sai và cho biết ý nghĩa.
23. Một nhân viên mới được đưa một chùm gồm 4
chìa khóa và không biết chìa khóa nào mở được
cửa. Người này phải thử lần lượt từng chìa khóa
cho đến khi mở được cửa. Gọi X là số chìa (lần)
phải thử. Hãy lập luật phân phối xác suất của X.

(a) Hai người có điểm bằng nhau sau 3 lần ném.
(b) Người thứ 1 có điểm cao hơn người thứ 2.
17. Một xạ thủ dùng 5 viên đạn để thử súng, anh ta
bắn từng viên vào bia với xác suất trúng bia của
mỗi viên đều bằng 0,8. Nếu có 3 viên liên tiếp
trúng bia thì thôi không bắn nữa. Gọi X là số đạn
còn thừa. Lập bảng phân phối xác suất của X.

24. Một máy sản xuất với tỷ lệ phế phẩm 5%. Một lô
sản phẩm gồm 10 sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm
30%. Cho máy sản xuất 3 sản phẩm và từ lô lấy
thêm 3 sản phẩm. X là số sản phẩm tốt trong 6
sản phẩm này. Lập bảng phân phối của X.

18. Một thùng đựng 10 phiếu trong đó có 3 phiếu
trúng thưởng. Rút ngẫu nhiên 2 phiếu. Gọi X là
số phiếu trúng thưởng trong 2 phiếu được rút.

25. Theo thống kê thì tỷ lệ khỏi bệnh cúm khi dùng
loại thuốc A là 85%. Có 7 người mắc bệnh cúm và

dùng loại thuốc A. Tính xác suất:

(a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
(b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.

(a) Có 5 người khỏi bệnh.
19. Có hai lô hàng : lô I có 7 sản phẩm tốt và 3 phế
phẩm, lô II có 8 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. Từ
lô I, chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm, từ lô II chọn

(b) Có ít nhất 3 người khỏi bệnh.
(c) Có nhiều nhất 4 người khỏi bệnh.
7


(d) Gọi X là số người khỏi bệnh. Lập bảng phân
phối xác suất cho X, tính E(X), V AR(X),
cho biết ý nghĩa.

(a) Hãy lập bảng phân phối xác suất cho X.
(b) Tính xác suất có ít nhất 2 sản phẩm loại I
(c) Tính trung bình, phương sai của X.

26. Xác suất một con gà đẻ trứng trong ngày là 0,75
(giả sử trong một ngày một con gà đẻ không quá
1 quả trứng). Một người nuôi 25 con gà.

(d) Lập hàm phân phối xác suất cho X.
(e) Nếu bán sản phẩm loại I thì lãi 7USD, nếu
bán sản phẩm loại II thì lãi 5USD. Tính số

tiền lãi trung bình khi bán 3 sản phẩm đó và
phương sai của số tiền lãi.

(a) Tính xác suất để trong một ngày người đó
thu được ít nhất 21 quả trứng.
(b) Nếu muốn mỗi ngày có trung bình 120 trứng
gà thì người đó phải nuôi bao nhiêu con gà?

32. Một nghiên cứu cho thấy 75% công chức cho rằng
việc nghỉ làm 2 ngày trong một tuần sẽ làm tăng
hiệu suất làm việc. Nếu chọn ngẫu nhiên 20 công
chức đang làm việc để phỏng vấn, tính xác suất
để có ít nhất 16 người đồng ý với ý kiến trên?

27. Giả sử tỉ lệ nhiễm virus Mers tại một khu vực
là 5%. Người ta tiến hành xét nghiệm 5.000 mẫu
bệnh phẩm bằng cách như sau: Ghép 10 mẫu
thành một nhóm, gọi là mẫu gộp. Sau đó tiến hành
xét nghiệm trên mẫu gộp này, nếu một mẫu gộp có
kết quả âm tính thì kết luận các mẫu bệnh phẩm
trong mẫu gộp này âm tính, ngược lại thì phải xét
nghiệm tất cả các mẫu bệnh phẩm trong mẫu gộp
này. Tính số lần xét nghiệm trung bình.

33. Một bài thi trắc nghiệm gồm 100 câu hỏi, mỗi câu
hỏi có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một
câu trả lời đúng. Một sinh viên không học bài nên
chọn một cách ngẫu nhiên.
(a) Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 1đ, trả lời
sai không có điểm. Tính xác suất để sinh viên

đó được ít nhất 40đ.

28. Một xí nghiệp có 3 máy. Trong ngày hội thi, mỗi
công nhân dự thi sẽ chọn ngẫu nhiên 1 máy và sản
xuất 50 sản phẩm. Nếu trong 50 sản phẩm này có
từ 45 sản phẩm loại I trở lên thì được thưởng. Giả
sử đối với công nhân A, xác suất để sản xuất được
sản phẩm loại I tương ứng với các máy lần lượt
là 0,7; 0,75 và 0,8. Tính xác suất để công nhân A
được thưởng.

(b) Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 2đ, trả lời
sai bị trừ 1đ. Tính xác suất để sinh viên đó
bị điểm âm.
34. Một đề thi có 10 câu, mỗi câu có 5 phương án trả
lời nhưng chỉ có một phương án đúng. Mẫu câu
trả lời đúng được 4 điểm, sai trừ 1 điểm. Một sinh
viên chọn cách trả lời ngẫu nhiên.

29. Một sinh viên dự thi kết thúc môn học A, biết rằng
đề thi gồm 5 câu hỏi được chọn ngẫu nhiên từ một
ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi. Do không có
nhiều thời gian ôn thi nên sinh viên này chỉ có thể
trả lời được 30 câu hỏi trong ngân hàng đề thi.
Theo đáp án thì mỗi câu trả lời đúng sinh viên
được nhận 2 điểm, và sinh viên sẽ vượt qua môn
học này nếu bài thi được ít nhất 4 điểm. Tính xác
suất sinh viên nói trên vượt qua môn học A.

(a) Tính xác suất để sinh viên đó được 10 điểm.

(b) Tính số điểm trung bình và phương sai của
số điểm mà sinh viên này đạt được.
35. Một người tham gia đấu thầu 6 dự án nhỏ với xác
suất thắng thầu mỗi dự án là 0,4. Nếu thắng thầu
mỗi dự án, người đó thu được 200USD. Chi phí để
chuẩn bị cả 6 dự án là 300USD.

Hướng dẫn: Gọi X là số câu trả lời đúng của
sinh viên này. Khi đó, X ∼ H(100; 30; 5)

(a) Hỏi lợi nhuận trung bình cho một dự án là
bao nhiêu?

30. Một máy sản xuất với xác suất tạo phế phẩm là
0,005. Sản xuất 1000 sản phẩm.

(b) Tính xác suất để người đó có lời.
36. Một kỹ thuật viên theo dõi 14 máy hoạt động độc
lập. Xác suất để mỗi máy trong một giờ cần đến
sự điều chỉnh của kỹ thuật viên này là 0,15. Tính
xác suất để trong 1 giờ:

(a) Tính xác suất để có 1 phế phẩm.
(b) Tính xác suất để có 3 phế phẩm
(c) Tính số phế phẩm trung bình khi sản xuất
1000 sản phẩm.

(a) Có 3 máy cần đến sự điều chỉnh của kỹ thuật
viên.

31. Một lô hàng có 3 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm
loại II. Chọn ngẫu nhiên (không hoàn lại) 3 sản
phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại I được chọn.

(b) Có không quá 2 máy cần đến sự điều chỉnh
của kỹ thuật viên.
8


45. Cho X ∼ P (0.4) tính: P(X≥ 3); P(X = 4); P(X ≤
5), P(2≤X≤6).

37. Trong một kỳ thi trắc nghiệm môn Xác sất thống
kê, đề thi có 20 câu, mỗi câu có 5 phương án,
trong đó có một đáp án. Kết quả trả lời của mỗi
câu không ảnh hưởng đến các câu khác. Nếu trả
lời đúng từ 9 câu trở lên thì đạt yêu cầu. Sinh viên
A trả lời đúng 6 câu, các câu còn lại trả lời một
cách hú họa. Tính xác suất sinh viên này đạt yêu
cầu.

46. Cho X ∼ P (0.1) tính: P(X≥ 3); P(X = 4); P(X ≤
5), P(2≤X < 6).
47. Một người mua vé số cào, người này sẽ mua liên
tiếp từng vé cho đến khi nào được vé trúng thưởng
thì dừng. Biết xác suất trúng thưởng của loại vé
số này là 1%. Tính xác suất để người này trúng
thưởng ở lần mua thứ 4.

38. Để tiêu diệt một mục tiêu phải có ít nhất 3 viên

đạn bắn trúng mục tiêu. Bắn 10 viên đạn với xác
suất mỗi viên bắn trúng mục tiêu là 0,6. Tính xác
suất để mục tiêu bị tiêu diệt.

48. Theo thống kê hàng năm tại 1 vùng, 3 tháng cuối
năm mưa lớn 5 lần. Tìm xác suất để không có
ngày nào mưa lớn quá 1 lần.

39. Xác suất để một con gà đẻ trứng trong ngày là
0,8. Nếu muốn mỗi ngày trung bình thu được 250
quả trứng thì phải nuôi bao nhiêu con gà?

49. Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình 3
cuộc điện thoại trong mỗi phút. Tính xác suất để
trung tâm này nhận được 1 cuộc, 2 cuộc, 3 cuộc
gọi trong 1 phút, biết rằng số cuộc gọi trong một
phút có phân phối Poisson.

40. Một lô hàng gồm 120.000 cái áo sơ mi, trong đó
có 80.000 cái áo dài tay và 40.000 cái áo ngắn tay.
Chọn ngẫu nhiên 100 cái áo từ lô hàng trên.

50. Trong một thành phố nhỏ, trung bình một tuần
có 2 người chết. Tính xác suất để:

(a) Tính xác suất để lấy được đúng 60 cái áo dài
tay.

(a) Không có người nào chết trong vòng 1 ngày.

(b) Tính số áo dài tay chọn được trung bình và
phương sai.

(b) Có ít nhất ba người chết trong vòng 2 ngày.
51. Một trạm điện thoại tự động nhận được trung
bình 300 cuộc gọi trong một giờ. Tìm xác suất
trạm điện thoại này nhận đúng hai cuộc gọi trong
một phút, không ít hơn hai cuộc gọi trong một
phút.

41. Một công ty xây dựng cần đặt hàng từ một nhà
cung cấp tấm lợp nhà. Khi nhận hàng, công ty
này khảo sát ngẫu nhiên 100 tấm lợp và quy định
sẽ từ chối đơn hàng nếu có hơn 20 tấm lợp bị cắt
quá ngắn đến nỗi không sử dụng được. Giả sử tỉ
lệ tấm lợp bị cắt quá ngắn của nhà cung cấp là
25%.

52. Số lần động đất tại một địa phương có phân phối
Poisson với tỷ lệ 5 trận mỗi năm.Xác suất có ít
nhất 3 vụ động đất trong 6 tháng đầu năm của
năm 2020 là bao nhiêu?

(a) Tính xác suất một đơn hàng được chấp nhận.
(b) Mỗi đơn hàng được chấp nhận thì nhà cung
cấp thu được lợi nhuận 20.000$; còn nếu đơn
hàng bị từ chối thì nhà cung cấp bị thiệt hại
8.000$. Năm tới, nhà cung cấp được nhận đặt
50 đơn hàng. Hãy tính lợi nhuận trung bình
của nhà cung cấp trong năm tới.

53. Một lô hàng có tỷ lệ phế phẩm là 4%. Người ta
kiểm tra 150 sản phẩm của lô hàng đó và nếu trong
đó có không quá 2 phế phẩm thì lô hàng được chấp
nhận. Tìm xác suất để lô hàng được chấp nhận.
54. Cứ 5.000 con cá biển được đánh bắt thì có trung
bình 1 con nhiễm khuẩn gây hại đến sức khỏe của
con người. Tìm xác suất để trong một đợt đánh
bắt được 2.200 con cá có 2 con bị nhiễm khuẩn.

42. Xác suất bắn trúng máy bay của súng phòng
không là 0,002. Có 2.000 khẩu bắn lên một lượt.
Người ta biết rằng máy bay chắc chắn bị phá hủy
nếu nó bị trúng ít nhất 2 viên đạn, nếu nó bị trúng
1 viên đạn thì xác suất bị pha hủy sẽ là 80%. Tính
xác suất để máy bay bị phá hủy.

55. Một xưởng in cứ in 5.000cuốn sách thì bị lỗi 1
cuốn. Tìm xác suất để trong 1.800 cuốn sách mới
in có không quá 2 cuốn bị lỗi.

43. Cho X ∼ B(0.3, 13) tính: P(X≥ 3); P(X = 4);
P(X ≤ 5).

56. Ở một trường học, người ta nhận thấy rằng xác
suất để 1 học sinh khi đi học bị bệnh và phải nằm
điều trị tại phòng y tế của trường là 0,04%. Biết
rằng trong một buổi học, trung bình có 4000 học

44. Cho X ∼ B(0.8, 11) tính: P(X≥ 3); P(X = 4);

P(X ≤ 5).
9


sinh.Tính xác suất để trong một buổi học có 3 học
sinh phải nằm điều trị tại phòng y tế và theo bạn,
phòng y tế cần trang bị bao nhiêu giường?
57. Trong 1 đợt người ta xuất bản 100.000cuốn sách.
Xác suất để mỗi cuốn sách bị lỗi do in ấn là là
0,0001. Tìm xác suất có đúng 5 cuốn sách bị lỗi.
58. Số xe bus đón khách tại trạm xe bus trong một giờ
tuân theo luật phân phối Poisson, và trung bình
trong một giờ tại trạm xe bus có 5 xe bus đón
khách. Tính xác suất để trong một giờ tại trạm
xe:
(a) Có đúng 5 xe bus đón khách.
(b) Có ít nhất 3 xe bus đón khách.
(c) Có từ 2 đến 4 xe bus đón khách.
59. Tại một nhà máy nào đó trung bình một tháng có
hai tai nạn lao động.
(a) Tính xác suất để trong khoảng thời gian ba
tháng xảy ra nhiều nhất là 3 tai nạn.
(b) Tính xác để trong ba tháng liên tiếp, mỗi
tháng xảy ra nhiều nhất một tai nạn.
60. Một doanh nhân chuyển đến cửa hàng kinh doanh
thiết bị điện tử của ông ta một lô hàng gồm 100
máy tính bảng. Sau 10 tuần ông ta được báo rằng
đã bán được 65 cái. Hãy tính xác suất:
(a) Mỗi tuần của hàng này bán được ít nhất 2
máy tính bảng.

(a) Gọi Y là số tiền thu được trong 1 ngày của
trạm. Lập bảng phân bố xác suất của Y .
Tính số tiền trung bình trạm thu được trong
1 ngày.
(b) Giải bài toán trên trong trường hợp trạm có
4 xe.
(c) rạm nên có 3 hay 4 chiếc xe ?
63. Giả sử nhu cầu hàng ngày về một loại thực phẩm
tươi sống có phân phối xác suất như sau:
Nhu cầu (kg)
P

105
0,3

110
0,35

115
0,15

Biết rằng mỗi kg mua vào với giá 5.000đ và bán
ra với giá 7.000đ. Nếu bị ế hàng phải bán với giá
2.000đ. Giả sử khối lượng đặt hàng phải theo 1
trong 4 khối lượng nhu cầu. Khi đó nên đặt hàng
với khối lượng là bao nhiêu để thu lãi nhiều nhất.
64. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất là
k
f (x) = x

, −∞ ≤ x ≤ ∞.
e + e−x
(a) Tìm k.
(b) Tính P (−3 < X < 3).
(c) Tính P (X > 3).
65. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
xác suất:

(b) Mỗi tuần cửa hàng này bán được 3 máy tính
bảng.

f (x) =

61. Nước giải khát được chở từ Sài Gòn đi Vũng Tàu.
Mỗi xe chở 1.000 chai bia Sài Gòn, 2.000 chai coca
và 800 chai nước trái cây. Xác suất để 1 chai mỗi
loại bị bể trên đường đi tương ứng là 0,2%; 0,11%
và 0,3%. Nếu không quá 1 chai bị bể thì lái xe
được thưởng.

(a) Tìm a.

(a) Tính xác suất có ít nhất 1 chai bia Sài Gòn
bị bể.

100
0,2

a(x3 + 2x + 1) khi x ∈ [0, 4]
0

khi x ∈
/ [0, 4]

(b) Tính P (1 < X < 3)
(c) Quan sát đại lượng ngẫu nhiên X 10 lần tìm
xác suất có 4 lần đại lượng ngẫu nhiên X
nhận giá trị trong khoảng (1, 3).
(d) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
66. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất:

(b) Tính xác suất để lái xe được thưởng.
x

(c) Lái xe phải chở ít mất mấy chuyến để xác
suất có ít nhất một chuyến được thưởng
không nhỏ hơn 0,9?
62. Một trạm cho thuê xe taxi có 3 chiếc xe. Hàng
tháng trạm phải nộp thuế 8USD cho 1 chiếc xe
(dù xe đó có được thuê hay không). Mỗi chiếc xe
được cho thuê với giá 20USD. Giả sử số yêu cầu
thuê xe của trạm trong một ngày là ĐLNN X có
phân bố Poisson với tham số λ = 2, 8.
10

f (x) =

ae− 2
0

khi x ≥ 0

khi x < 0

(a) Tìm a.
(b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
(c) Tính P (2 < X < 4)
(d) Tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu
X
nhiên Y =
− 1.
2


67. Tuổi thọ của một loại thiết bị (đơn vị giờ) là biến
ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất là:

73. cho X ∼ N (0, 1) tính P (−3, 11 < X < 2, 33)
74. Cho X ∼ N (8, 9) tính P (−4 < X < 20).

f (x) =

10k
x2

0

khi x ≥ 100
khi x < 1000

75. Cho X ∼ N (8, 9) tính P (|X − 9| < 4).
76. Cho X ∼ N (10, 4) tính P (5 < X < 15).

(a) Tìm k.
(b) Thiết bị được xếp loại A nếu tuổi thọ tối
thiểu của nó là 500 giờ, tính tỉ lệ thiết bị
được xếp loại A.
68. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất
f (x) =

kx2 e−2x
0

khi x ≥ 0
khi x < 0

(a) Tìm k.

78. Trọng lượng của một bao bột mì tại một phân
xưởng đóng bao tuân theo quy luật phân phối
chuẩn với kỳ vọng µ = 50 và phương sai σ 2 = 4,
chọn ngẫu nhiên một bao bột mì do phân xưởng
này đóng bao. Những bao có trọng lượng từ 48,5kg
đến 51,5kg gọi là những bao được đóng gói đúng
quy cách.
(a) Tính tỉ lệ bao được đóng gói đúng quy cách.

(b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.

(b) Tính tỉ lệ bao có trọng lượng lớn hơn 52kg.

(c) Tính P (1 < X < 4)

69. Tuổi thọ (tính theo giờ) của một thiết bị trò chơi
điện tử bấm tay là một đại lượng ngẫu nhiên liên
tục có hàm mật độ xác suất như sau:
f (x) =

77. Cho X ∼ N (10, 4) tính P (|X − 3| < 11).

ke
0

x
− 80

khi x ≥ 0
khi x < 0

(c) Chọn ngẫu nhiên 8 bao do phân xưởng này
đóng gói lập bảng phân phối xác suất cho số
bao đúng quy cách.
79. Trọng lượng của một loại trái cây có phân phối
chuẩn, với trung là 500(gam) và độ lệch chuẩn là
16(gam) . Trái cây thu hoạch được phân loại theo
trọng lượng như sau:

(a) Tìm hằng số k. Tính tuổi thọ trung bình của
thiết bị trò chơi điện tử bấm bằng tay này.

• Loại 1:

trên 505 (gam).

• Loại 2:

từ 495 đến 505 (gam).

(b) Tính xác suất tuổi thọ của thiết bị trò chơi
này nằm trong khoảng từ 90 đến 130 giờ.

• Loại 3:

dưới 495 (gam).

70. Tuổi thọ của một loại camera là đại lượng ngẫu
nhiên có phân phối mũ (tính theo năm) với trung
bình là 5,5 măm.
(a) Tính xác suất để một chiếc camera loại này
sử dụng được trên 6.5 năm.
(b) Một cơ quan lắp một hệ thống gồm 4 camera
loại này. Tính xác suất để có 3 cái sử dụng
được trên 6,5 năm và một cái sử dụng được
từ 4 đến 6,5 năm.
71. Giả sử số dặm (nghìn dặm) một chiếc ôtô đi được
cho đến khi không sử dụng được nữa tuân theo
phân phối mũ với tham số λ = 1/20.
(a) Tính số dặm trung bình mà một chiếc ô tô
đi được.
(b) Một người mua một chiếc xe mới, tính xác
suất để người này đi được ít nhất 20 nghìn
dặm.
72. cho X ∼ N (0, 1) tính P (−1 < X < 2)

11

Tính tỷ lệ từng loại.
80. Chiều dài của một chi tiết máy được gia công bằng
máy tự động là một ĐLNN tuân theo quy luật
phân phối chuẩn, với độ lệch tiêu chuẩn là 0,01mm.
Chi tiết máy được xem là đạt tiêu chuẩn nếu kích
thước thực tế của nó sai lệch so với kích thước
trung bình không vượt quá 0,02mm.
(a) Tính tỉ lệ chi tiết máy không đạt tiêu chuẩn.
(b) Xác định độ đồng đều ( phương sai ) cần thiết
của sản phẩm để tỉ lệ chi tiết máy không đạt
tiêu chuẩn chỉ còn 1%.
81. 3. Một chi tiết máy là đạt yêu cầu nếu chiều dài X
của nó sai biệt so với chiều dài trung bình không
quá 2mm. Cho biết X ∼ N (a, (1, 02mm)2 ).
(a) Chọn ngẫu nhiên một chi tiết. Tính xác suất
nhận được chi tiết đạt yêu cầu.
(b) Chọn ngẫu nhiên 100 chi tiết, tính xác suất
để không quá 5 chi tiết không đạt yêu cầu.


82. Suppose the number of children born in Ruritania
each day is a binomial random variable with mean
1000 and variance 100. Assume that the number of
children born on any particular day is independent
of the numbers of children born on all other days.
What is the probability that on at least one day
this year, fewer than 975 children will be bornin
Ruritania?

83. Đường kính (đơn vị tính mm) của một loại trục
máy là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn N (250, 25). Trục máy được gọi là hợp quy
cách nếu đường kính từ 245mm đến 255mm. Cho
máy sản xuất 100 trục. Tính xác suất để:
(a) Có 50 trục hợp quy cách.
(b) Có không quá 80 trục hợp quy cách.
84. Thời gian bảo hành sản phẩm được quy định là 4
năm. Nếu bán được 1 sản phẩm thì cửa hàng lời
1.500.000đ, nếu sản phẩm bị hỏng trong thời gian
bảo hành thì cửa hàng phải chi phí 1.000.000đ cho
việc sữa chữa. Biết rằng tuổi thọ của sản phẩm là
đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với tuổi
thọ trung bình 3,8 năm và độ lệch tiêu chuẩn 2,2
năm. Tính số tiền lời(/lỗ) trung bình khi của hàng
này bán được 150 sản phẩm.
85. Tuổi thọ của một máy điện tử là một đại lượng
ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với tuổi thọ trung
bình là 4,2 năm, độ lệch chuẩn là 1,5 năm. Bán
được 1 máy thì lời 100 ngàn đồng, nhưng nếu máy
phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn đồng. Vậy để tiền
lãi trung bình khi bán một máy là 30 ngàn đồng
thì phải qui định thời gian bảo hành trong bao
lâu?
86. Chiều cao của một loại cây lấy gỗ là đại lượng
ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn
với chiều cao trung bình là 20m và độ lệch chuẩn
là 2,5m. Cây đạt tiêu chuẩn khai thác là cây có
chiều cao tối thiểu là 15m. Tính tỷ lệ cây đạt tiêu
chuẩn khai thác.

87. Độ dài của một chi tiết máy được tiện ra có phân
phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là 0,2cm. Sản
phẩm coi là đạt yêu cầu nếu độ dài sai lệch với độ
dài trung bình không quá 0,3cm.
(a) Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm, tính xác
suất để sản phẩm đó đạt yêu cầu.
(b) Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm, tính xác suất
để có ít nhất 2 sản phẩm đạt yêu cầu.
(c) Khi kiểm tra, xác suất loại sản phẩm đạt yêu
cầu là 10%; và xác suất loại sản phẩm không
12

đạt yêu cầu là 98%. Tính xác suất để trong 3
lần kiểm tra hoàn toàn không có nhầm lẫn.
88. Theo thống kê của một công ty sản xuất xe máy
thì có 60% khách mua sản phẩm của họ là phụ
nữ. Chọn ngẫu nhiên 200 người mua xe của công
ty này. Tính xác suất để trong 200 người này có
ít nhất 140 phụ nữ.
89. Tỉ lệ sản phẩm loại A do một máy sản xuất là
55% .
(a) Tính xác suất để khi cho máy đó sản xuất 100
sản phẩm thì có ít nhất 50 sản phẩm loại A.
(b) Phải cho máy đó sản xuất tối thiểu bao nhiêu
sản phẩm để xác suất “có ít nhất 100 sản
phẩm loại A” không nhỏ hơn 95%?
90. Tuổi thọ của một loại sản phẩm có phân phối
chuẩn với trung bình là 500h và độ lệch chuẩn
bằng 40. Nhà sản xuất ấn định thời gian bảo hành
sản phẩm là 450h.

(a) Tính tỉ lệ sản phẩm cần phải bảo hành
(b) Nhà sản xuất muốn giản tỷ lệ bảo hành xuống
còn 5%. Để đạt được mong muốn đó thì phải
ấn định lại thời gian bảo hành là bao nhiêu?
91. Một doanh nghiệp cần mua 1 loại trục máy có
đường kính từ 1,18cm đến 1,22cm. Có hai nhà máy
bán loại trục máy này và đường kính các loại trục
máy được sản xuất ra là biến ngẫu nhiên X và Y
có phân phối chuẩn với các thông tin như sau:
• Nhà máy thứ I: đường kính trung bình là 1,2
(cm), độ lệch chuẩn là 0,01 (cm), giá bán là
3 triệu/hộp/100 cái.
• Nhà máy thứ II: đường kính trung bình là 1,2
(cm), độ lệch chuẩn là 0,015 (cm), giá bán là
2,7 triệu/hộp/100 cái.
Vậy doanh nghiệp nên mua trục của nhà máy nào?
92. Thời gian hoạt động tốt (không phải sửa chữa) của
một loại TV là biến ngẫu nhiên tuân theo luật
phân phối chuẩn, với thời gian hoạt động trung
bình là 4.300 giờ, độ lệch chuẩn 250 giờ. Giả thiết
mỗi ngày người ta dùng trung bình 10 giờ và thời
hạn bảo hành miễn phí là 360 ngày.
(a) Tính tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành.
(b) Phải nâng chất lượng sản phẩm bằng cách
tăng thời gian hoạt động tốt trung bình của
sản phẩm lên bao nhiêu để tỉ lệ bảo hành vẫn
như trên song có thể nâng thời gian bảo hành
lên 2 năm.

93. Một công ty kinh doanh mặt hàng A dự định áp
dụng một trong hai phương án kinh doanh. Ký
hiệu X1 , X2 lần lượt là lợi nhuận thu được nếu
áp dụng phương án thứ I và thứ II (đơn vị tính
triệu đồng). Cho biết X1 ∼ N (140, 2.500); X2 ∼
N (180, 3.600). Biết rằng, để công ty tồn tại và
phát triển thì lợi nhuận thu được từ kinh doanh
mặt hàng A phải đạt ít nhất 80 triệu đồng tháng.
Hãy cho biết công ty nên áp dụng phương án nào
đề kinh doanh mặt hàng A? Tại sao?

Phần III

Thống kê
1. Tuổi thọ của một loại bóng đèn có phân phối
chuẩn với độ lệch chuẩn là 100 giờ.
(a) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng thì thấy tuổi thọ
trung bình là 1.000 giờ. Hãy ước lượng tuổi
thọ trung bình của bóng đèn với độ tin cậy
90%.
(b) Với độ chính xác bằng 15 giờ, hãy xác định
độ tin cậy của ước lượng.
(c) Muốn có độ chính xác là 25 giờ và độ tin cậy
bằng 95% thì phải khảo sát thêm bao nhiêu
bóng?
2. Một loại thuốc mới được sử dụng để điều trị cho
65 người bị bệnh P, kết quả có 45 người khỏi bệnh.
(a) Ước lượng tỷ lệ khỏi bệnh P nếu dùng thuốc
này để điều trị với độ tin cậy 95% và 97%.
(b) Nếu muốn sai số không quá 3% thì chúng ta

phài quan sát thêm bao nhiêu trường hợp nữa
với độ tin cậy 97%?
(c) Nếu khảo 121 người thì và muốn sai số là
4,5% thì độ tin cậy là bao nhiêu?
3. Phỏng vấn ngẫu nhiên 250 khách du lịch nước
ngoài thì thấy có 72 người đã từng du lịch đến Việt
Nam trước đó. Có ý kiến cho rằng nhiều nhất là
1/4 khách du lịch nước ngoài đã quay trở lại Việt
Nam những lần sau. Dựa vào mẫu phỏng vấn trên
Anh/Chị có nhận xét gì về ý kiến này với mức ý
nghĩa 5%.
4. Cơ quan cảnh sát giao thông cho rằng 60% người
lái xe gắn máy 100 phân khối trở lên không có
bằng lái. Chọn ngẫu nhiên 150 người lái xe. Kết
quả kiểm tra cho thấy 63 người có bằng lái. Với
mức ý nghĩa 5%, số liệu trên có chứng tỏ tỷ lệ
người sử dụng xe gắn máy 100 phân khối trở lên
không có bằng lái ít hơn 60% hay không?
13

5. Để nghiệm thu một đoạn đường, người ta tiến
hành khoan thăm dò 16 điểm ngẫu nhiên và thu
được dãy số liệu (đơn vị tính mm) chỉ độ dày của
lớp bê tông nhựa trải đường như sau: 136; 139;
134; 137; 132; 133; 135; 138; 137; 141; 145; 142;
143; 137; 138; 133. Với độ tin cậy 95% hãy ước
lượng độ dầy trung bình của lớp nhựa bê tông.
Giả sử chiều dày của lớp nhựa bê tông có phân
phối chuẩn.
6. Để kiểm đánh giá chất lượng của một lô màn hình

máy tính người ta chọn ngẫu nhiên 100 cái để kiểm
tra thì thấy có 5 cái không đạt chất lượng.
(a) Với độ tin cậy 97% hãy ước lượng số màn
hình không đạt chất lượng tối đa trong lô
màn hình này biết lô màn hình này có 15.000
cái.
(b) Nếu nhà nhập khẩu chỉ chấp nhận lô màn
hình này nếu tỷ lệ không đạt chất lượng là
không quá 6,5%, vậy lô màn hình này có được
chấp nhận không với mức ý nghĩa 4%.
7. Một mẫu gồm 100 sinh viên trong 1 trường đại
học có điểm môn Toán được thống kê như sau:
Điểm Số người
0
2
1
1
2
1
3
2
4
10
5
14
6
25
7
20
8

14
9
8
10
3
Giả sử điểm môn toán của sinh viên có phân
phối chuẩn.
(a) Hãy tính các đặc trưng số: Trung bình,
phương sai và độ lệch tiêu chuẩn có hiệu
chỉnh của mẫu trên.
(b) Ước lượng điểm số trung bình môn Toán của
các sinh viên ở trường đại học này và độ tin
cậy 99%.
(c) Các sinh viên có điểm môn Toán từ 8 điểm
trở lên được xem là sinh viên khá Toán. Hãy
ước lượng tỉ lệ những sinh viên khá Toán với
độ tin cậy 98%.
(d) Với mẫu trên, nếu muốn ước lượng điểm số
trung bình môn Toán có độ chính xác 0,4
(điểm) thì độ tin cậy đạt được bao nhiêu %?


(e) Với mẫu trên, nếu muốn ước lượng tỉ lệ các
sinh viên khá Toán có độ chính xác 5% thì
độ tin cậy đạt được bao nhiêu %?

(d) Với mẫu trên, nếu muốn ước lượng thu nhập
trung bình có độ chính xác 0,45 (triệu đồng)
thì độ tin cậy đạt được bao nhiêu?

(f) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ các sinh viên khá
Toán có độ chính xác 5% và độ tin cậy 94%
thì cần khảo sát thêm bao nhiêu sinh viên
nữa?

(e) Với mẫu trên, nếu muốn ước lượng tỉ lệ những
người có thu nhập cao có độ chính xác 7% thì
độ tin cậy đạt được bao nhiêu?

(g) Nếu muốn ước lượng điểm số trung bình môn
Toán có độ chính xác 0,3 (điểm) và độ tin cậy
94% thì cần khảo sát thêm bao nhiêu sinh
viên nữa?
(h) Ước lượng điểm số trung bình môn Toán của
các sinh viên khá Toán, với độ tin cậy 95%.
Giả sử điểm số môn Toán của các sinh viên
khá Toán tuân theo qui luật chuẩn.
(i) Ước lượng phương sai của điểm số môn Toán
của các sinh viên khá Toán, với độ tin cậy
96%. Giả sử điểm số môn Toán của các sinh
viên khá Toán tuân theo qui luật chuẩn.
(j) Theo thống kê tổng thể năm học trước đây ở
trường này người ta thấy điểm số trung bình
môn Toán của các sinh viên là 6,6 (điểm).
Hãy so sánh điểm số trung bình môn Toán
của các sinh viên ở 2 năm học, với mức ý
nghĩa 6%.
8. Có số liệu thống kê về thu nhập (Triệu
đồng/tháng) của 100 người ở một khu công nghiệp
như sau:

Mức thu nhập Số người
1-3
3
3-4
6
4-5
19
5-6
24
6-7
25
7-8
10
8-9
8
9-13
5
Giả sử thu nhập của công nhân trong khu công
nghiệp này có phân phối chuẩn.

(f) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ những người có thu
nhập cao có độ chính xác 6% và độ tin cậy
98% thì cần khảo sát thêm bao nhiêu người
nữa?
(g) Nếu muốn ước lượng thu nhập trung bình có
độ chính xác 0,3 (triệu đồng) và độ tin cậy
98% thì cần khảo sát thêm bao nhiêu người
nữa?
(h) Ước lượng thu nhập trung bình của các nhân
viên có thu nhập cao, với độ tin cậy 99%. Giả

sử thu nhập của các nhân viên có thu nhập
cao tuân theo qui luật chuẩn.
(i) Ước lượng phương sai của thu nhập của các
nhân viên có thu nhập cao, với độ tin cậy
99%. Giả sử thu nhập của các nhân viên có
thu nhập cao tuân theo qui luật chuẩn.
(j) Theo thống kê tổng thể năm trước đây ở
khu công nghiệp này, người ta thấy thu nhập
trung bình của các nhân viên là 5,5 (triệu
đồng /tháng). Hãy so sánh thu nhập trung
bình của các nhân viên ở 2 năm, với mức ý
nghĩa 5%.
(k) Ban giám đốc khu công nghiệp này cho rằng
tỉ lệ nhân viên có thu nhập cao của công ty
trong năm nay là 28%. Hãy cho nhận xét về
đánh giá của Ban giám đốc, với mức ý nghĩa
4%.
9. Để khảo sát chiều cao của một giống cây trồng,
người ta quan sát một mẫu và thu được kết quả:

(a) Hãy tính các đặc trưng số: Trung bình,
phương sai và độ lệch tiêu chuẩn có hiệu
chỉnh của mẫu trên.
(b) Ước lượng thu nhập trung bình của các nhân
viên ở khu công nghiệp này với độ tin cậy
97%.
(c) Những người có thu nhập từ 7 triệu
đồng/tháng trở lên được xem là người có thu
nhập cao. Hãy ước lượng tỉ lệ những người
có thu nhập cao với độ tin cậy 94%.

14

Chiều cao Số cây
95 - 105
8
105 - 115
12
115 - 125
15
125 - 135
30
135 - 145
18
145 - 155
12
155 - 170
5
Giả sử chiều cao của giống cây này có phân phối
chuẩn.
(a) Ước lượng chiều cao trung bình của giống cây
trồng trên với độ tin cậy 96%.
(b) Những cây trồng có chiều cao từ 105cm đến
125cm được gọi là những cây loại A. Hãy ước


(d) Nếu muốn ước lượng chiều cao trung bình
của giống cây trồng trên với độ chính xác là
4,58cm thì độ tin cậy là bao nhiêu?

Chiều cao (cm) Số cây

250-300
5
300-350
20
350-400
25
400-450
30
450-500
30
500-550
23
550-600
14
Giả sử chiều cao cây bạch đàn có phân phối
chuẩn

(e) Những cây có chiều cao từ 135cm trở lên được
gọi là những cây đạt chất lượng. Hãy ước
lượng tỉ lệ cây đạt chất lượng với độ tin cậy
93%.

(a) Biết chiều cao trung bình của bạch đàn sau
một năm trồng trên đất không phèn là 4,5m.
Với mức ý nghĩa 0,05 có cần tiến hành biện
pháp kháng phèn cho bạch đàn không?

(f) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ cây đạt chất lượng
với độ chính xác 8% thì độ tin cậy sẽ là bao
nhiêu?

(b) Để ước lượng chiều cao trung bình bạch đàn
một năm tuổi với độ chính xác 0,2m thì độ
tin cậy là bao nhiêu?

lượng chiều cao trung bình của những cây
loại A với độ tin cậy 98%.
(c) Nếu muốn ước lượng chiều cao trung bình
của giống cây trồng trên với độ tin cậy 99%
và độ chính xác là 4cm thì cần phải điều tra
thêm bao nhiêu cây nữa?

(g) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ cây đạt chất lượng
với độ tin cậy 95% và độ chính xác 11% thì
phải điều tra thêm bao nhiêu cây nữa?
(h) Một tài liệu thống kê cho rằng chiều cao
trung bình của giống cây trồng trên là 127cm.
Hãy cho kết luận về tài liệu đó với mức ý
nghĩa 2%.
(i) Trước đây, tỉ lệ cây đạt chất lượng là 40%. Số
liệu trong bài tập này được thu thập sau khi
đã áp dụng một kỹ thuật trồng mới. Hãy cho
biết kỹ thuật mới này có tốt hơn kỹ thuật cũ
không? Với mức ý nghĩa 5%.
(j) Bằng phương pháp mới, sau một thời gian
người ta thấy chiều cao trung bình của những
cây loại A là 119,5cm. Hãy cho kết luận về
phương pháp mới với mức ý nghĩa 1%.
(k) Trước đây, chiều cao trung bình của các cây
loại A là 120cm. Các số liệu trên thu thập

được sau khi đã áp dụng một kỹ thuật mới.
Hãy cho biết kỹ thuật mới này có làm cho
chiều cao của cây loại A cao hơn không? Với
mức ý nghĩa 4%.
(l) Trước khi áp dụng một kỹ thuật mới thì tỷ
lệ cây loại A là 20% hãy cho biết kỹ thuật
mới này có làm cho tỷ lệ cây loại A tăng lên
không ? Với mức ý nghĩa 6%.

10. Theo dõi sự phát triển chiều cao của cây bạch đàn
trồng trên đất phèn sau một năm, ta có bảng số
liệu sau:
15

(c) Những cây cao không quá 3,5m là chậm lớn.
Ước lượng chiều cao trung bình các cây chậm
lớn với độ tin cậy 98%.
(d) Có tài liệu cho biết phương sai chiều cao bạch
đàn chậm lớn là 400. Với mức ý nghĩa 5%, có
chấp nhận điều này không?
11. Theo dõi lượng kẹo bán ra theo tuần, người ta thu
được bảng số liệu sau:
Lượng kẹo (kg) Số tuần
0-50
9
50-100
23
100-150
27
150-200

30
200-250
25
250-300
20
300-350
5
Giả sử lượng kẹo bán ra có phân phối chuẩn
(a) Để ước lượng số kẹo trung bình bán được
trong 1 tuần với độ chính xác 10kg và độ tin
cậy 99% thì cần điều tra thêm bao nhiêu tuần
nữa?
(b) Bằng cách thay đổi mẫu mã, người ta thấy
số kẹo trung bình bán được trong 1 tuần là
200kg. Việc thay đổi này có hiệu quả gì vể
bản chất không? (mức ý nghĩa 3%).
(c) Những tuần bán từ 250kg trở lên là những
tuần hiệu quả. Ước lượng tỷ lệ những tuần
hiệu quả với độ tin cậy 90%.
(d) Ước lượng số kẹo trung bình bán được trong
những tuần có hiệu quả với độ tin cậy 98%.


12. Để ước lượng số cá trong hồ, người ta đánh bắt
2.000 con cá lên sau đó đánh dấu và thả lại hồ,
sau một thời gian người ta bắt lại 400 con thì
thấy rằng có 80 con có đánh dấu. Với độ tin cậy
95% hãy ước lượng số cá có trong hồ tối đa là bao
nhiêu?
13. Công ty Honda đã bán được 150.000 chiếc xe gắn

máy trên thị trường nội địa. Để xây dựng kế hoạch
sản xuất cho tương lai công ty đã tiến hành điều
tra tại 100 địa điểm kinh doanh tiêu biểu trong cả
nước thì trong số 12.500 người có nhu cầu mua xe
gắn máy thì có 6.500 người đã có xe gắn máy, trong
đó có 2.015 người có xe gắn máy nhãn hiệu Honda.
Hãy ước lượng số người có xe gắn máy trong cả
nước với độ tin cậy 95%. Giả sử mỗi người chỉ mua
một xe gắn máy.
14. Một công ty dự định mở một siêu thị tại một thị
trấn. Để đánh giá khả năng mua hàng của người
dân trong thị trấn này người ta đã thực hiện một
cuộc khảo sát về thu nhập của người dân và thu
được bảng số liệu sau:

Thu nhập bình quân Số người
(Triệu/người/tháng)
2,5
10
3,0
25
3,5
30
4,0
20
4,5
15
Giả sử thu nhập của người dân ở thị trấn này có
phân phối chuẩn

Lượng vitamin(mg) Số trái
6-7
15
7-8
23
8-9
44
9 - 10
27
10 - 11
12
Giả sử hàm lượng vitamin C có phân phối chuẩn
(a) Hãy ước lượng lượng vitamin C trung bình
có trong loại trái cây này với độ tin cậy 95%.
(b) Nếu mốn sai số của bài toán ước lượng trung
bình là 0,5mg và độ tin cậy là 90% thì phải
khảo sát trên cỡ mẫu là bao nhiêu?
(c) Những trái có lượng vintamin C từ 9mg trở
lên gọi là trái loại I hãy ước lượng tỷ lệ trái
cây loại I với độ tin cậy 97%.
(d) Người ta cho rằng tỷ lệ trái loại I chiếm ít
nhất 35% số trái của loại trái cây này, nhận
định trên chấp nhận được không với mức ý
nghĩa 5%.
16. Điều tra nhu cầu tiêu dùng một loại hàng hóa của
100 gia đình ở một vùng thấy 60 gia đình có nhu
cầu tiêu dùng về loại hàng hóa trên.
(a) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng số gia đình
trong vùng có nhu cầu tiêu dùng về loại hàng
hóa đó. Biết rằng vùng đó có 19.000 gia đình.

(b) Nếu chỉ điều tra 80 hộ gia đình thì độ tin cậy
của bài toán ước lượng tỷ lệ là bao nhiêu nếu
giữ nguyên sai số như trong câu 1.
(c) Ước lượng số hộ gia đình tối thiểu có nhu cầu
về loại hàng hóa trên với độ tin cậy 90%.

(a) Theo bộ phận kinh doanh thì siêu thị hoạt
động có hiệu quả tại thị trấn này nếu thu
nhập bình quân đầu người của người dân trên
3,5 triệu. Vậy với kết quả khảo sát trên thì
công ty này có nên mở siêu thị tại thị trấn
này không? với mức ý nghĩa 7%.
(b) Hãy ước lượng tỷ người có thu nhập từ 4 triệu
đồng trở lên với mức ý nghĩa 7%.
(c) Hãy ước lượng tỷ lệ tối thiểu người có thu
nhập bình quân từ 4 triệu đồng trở lên với
mức ý nghĩa 7%.

15. Nghiên cứu về hàm lượng vitamin C (đơn vị tính
là mg) của một loại trái cây người ta có được bảng
số liệu sau:
16

17. Một hãng sản xuất cho biết mặt hàng tiêu dùng do
họ sản xuất chiếm 32% thị phần ở địa phương A.
Một mẫu điều tra với 300 hộ gia đình ở địa phương
A cho thấy có 93 hộ gia đình đang sử dụng mặt
hàng.
(a) Với mức ý nghĩa 5%, hãy xác minh thông tin
nói trên của hãng có phù hợp thực tế hay

chưa?
(b) Với độ tin cậy 97%, có thể nói ở địa phương
A, mặt hàng này chiếm tối đa bao nhiêu phần
thị phần?
18. Theo dõi thời gian hoàn thành sản phẩm (đơn vị:
phút) của 64 công nhân, người ta thu được bảng
số liệu sau:


Thời gian hoàn thành SP Số công nhân
10-12
4
12-14
11
14-16
29
16-18
14
18-20
6
Giả sử thời gian hoàn thành sản phẩm có phân
phối chuẩn
(a) Hãy ước lượng thời gian hoàn thành sản
phẩm trung bình của một công nhân, với độ
tin cậy 95%.
(b) Trước đây, định mức thời gian hoàn thành
một sản phẩm là 14,5 phút. Hãy cho biết có
cần thay đổi định mức này không, với mức ý
nghĩa 5%?
19. Một sinh viên ngành QTKD thực hiện một nghiên

cứu để đánh giá sự ưa thích của khách hàng về một
loại sữa đặc có đường. Mẫu ngẫu nhiên gồm 100
khách hàng nam cho thấy có 47 khách hàng thích
nhãn hiệu V, trong khi đó mẫu gồm 120 nữ khách
hàng có 65 người thích nhãn hiệu V.
(a) Tìm khoảng tin cậy của tỷ lệ khách hàng
thích sản phẩm với độ tin cậy bằng 95%.
(b) Với mức ý nghĩa 5%, có thể kết luận tỷ lệ
khách hàng nữ ưa thích sản phẩm trên cao
hơn nam được không?

Phần IV

Khó
1. Cùng một mặt hàng trên thị trường có hai sản
phẩm A và B được kinh doanh. Qua một năm
người ta thấy có 55% khách hàng mua sản phẩm
A và 45% khách hàng mua sản phẩm B; hơn nữa
còn biết được rằng sẽ có 60% khách hàng đã mua
sản phẩm A, trong năm tới vẫn sẽ mua sản phẩm
đó, trong khi đó có 30% khách hàng đã mua sản
phẩm B sẽ chuyển sang mua sản phẩm A trong
năm tới.
(a) Tính xác xuất khách hàng sẽ mua sản phẩm
A trong năm tới.
(b) Giả sử trong năm tới mặt hàng trên không
có thêm sản phẩm nào mới được đưa ra thị
trường và khách hàng vẫn có nhu cầu sử dụng
mặt hàng trên. Hỏi tỷ lệ khách hàng sẽ mua
sản phẩm loại B tăng lên hay giảm đi? Vì

sao?

17