Toán 8 Chuyên đề Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Chuyên đề 2
NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
2

   A + B   = A 2  + 2AB + B2                                             (1) 
2

   A - B   = A 2  - 2AB + B2                                               (2)      
  A 2 - B2  -   A + B  A - B                                                  (3) 
3

   A + B   = A 3  + 3A 2B + 3AB2  + B3                                (4) 
                = A 3  + B3  + 3AB  A + B   
3

   A - B   = A 3  - 3A 2B + 3AB2  - B3                                   (5) 
                          = A 3  - B3  - 3AB  A - B   
  A 3  + B3  =   A + B   A 2  - AB + B2                                    (6) 
  A 3  - B3  =   A - B   A 2  + AB + B2                                     (7) 
KIẾN THỨC BỔ SUNG
1. Bình phương của đa thức
  (a1  + a 2  + ... + an )2  = a12  + a 22  + ... + an2  + 2a1a2  + 2a1a3  + ... + 2a1an  
                                 + 2a2a3  + 2a2a 4  + ... + 2a2an  + ... + 2an-1an .  


Đặc biệt, với n = 3 ta có : 
(a + b + c)2  = a2  + b2  + c 2  + 2ab + 2ac + 2bc.  

2. Luỹ thừa bậc n của một nhị thức (nhị thức Niu-tơn)

(a + b)n  = an  + nan-1b + 

n(n-1) n-2 2
n(n-1)(n-2) n-3 3
a b  + 
a b  + ... + bn .
1.2
1.2.3

Cho n các giá trị từ 0 đến 5 ta được : 
0

        Với n = 0     thì        a + b  = 1 
1

        Với n = 1     thì        a + b   = a + b  
2

        Với n = 2     thì        a + b   = a2  + 2ab + b2  
3

        Với n = 3     thì        a + b   = a3  + 3a2b + 3ab2  + b3  
4

        Với n = 4     thì        a + b   = a 4  + 4a3b + 6a2b2  + 4ab3  + b 4  
5

        Với n = 5     thì        a + b   = a5  + 5a 4b + 10a3b2  + 10a2b3  + 5ab 4  + b5    
Ta nhận thấy khi khai triển  (a+b)n  ta được một đa thức có n + 1 hạng tử, hạng tử 
đầu là  an , hạng tử cuối là  bn , các hạng tử còn lại đều chứa các nhân tử a và b. 

Vì vậy  (a+b)n  = B(a) + bn  = B(b) + an .  
3. Bảng các hệ số khi khai (a+b)n
Với n = 0   : 1     
Với n = 1   : 1     1 


Với n = 2   : 1     2     1 
Với n = 3   : 1     3     3            1 
Với n = 4   : 1     4     6            4    1 
Với n = 5   : 1     5     10   10   5    1 
…………………………………………………. 
- Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1 
- Mỗi số ở một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng với số bên trái 
của số liền trên. 
Bảng trên đây được gọi là tam giác Pa-xcan. 
B. MỐT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 7. Chứng minh rằng nếu một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c thoả mãn : 
2

  5a - 3b + 4c  5a - 3b - 4c   =   3a - 5b   

thì tam giác đó là tam giác vuông. 
Giải.


Ta có  5a - 3b + 4c 5a - 3b - 4c  =  3a - 5b
<=>   5a - 3b  + 4c   5a - 3b  - 4c   =  3a - 5b
2

2

<=>   5a - 3b   -   4c   =   3a - 5b 

2

2

<=> 25a 2  - 30ab + 9b 2  - 16c2  = 9a 2  - 30ab + 25b 2
<=> 25a 2  - 9a22  + 9b 2  - 25b 2  - 16c 2  = 0
<=> 16a 2  - 16b 2  - 16c2  = 0 
<=> 16a 2  = 16b 2  + 16c 2  <=> a 2  = b 2  + c 2 .

Do đó tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c chính là một tam giác vuông. 
Ví dụ 8. Cho x + y = -9 ; xy = 18. Không tính các giá trị của x và y, hãy tính giá trị 
của các biểu thức sau : 
a) M = x 2  + y 2  ;        b) N = x 4  + y 4  ;         c) P =  x 2  - y 2 .  

Giải. Đề bài cho giá trị của tổng x + y và tích xy nên muốn tính được giá trị của 
các biểu thức M, N, P ta phải biểu diễn các biểu thức này dưới  dạng các biểu thức 
có (x + y) và xy. 
2

a) M = x 2  + y 2  = x 2  + 2xy + y 2  - 2xy =   x + y   - 2xy
2

=   -9   - 2.18 = 45.
b) N = x 4  + y 4  = x 4  + 2x 2 y 2  + y 4  - 2x 2 y 2  =   x 2  + y 2  2 - 2  xy 

2

= 452  - 2.182  = 1377.
2

c) Ta có   x - y   = x 2  - 2xy + y 2  = x 2  + 2xy + y 2  - 4xy
2

=   x + y   - 4xy =   -9  2 - 4.18 = 9.
Suy ra x - y = ±3.
2
2
• Nếu x - y = 3 thì  P = x  - y  =   x - y  x + y   = 3.  -9   = -27. . 


• Nếu x - y = -3 thì  P = x 2  - y2  =   x - y  x + y   =   -3 .  -9   = 27. . 
Ví dụ 9. Tìm x, y, z biết: 
2

x 2  - 6x + y 2  + l0y + 34 = -  4z - l  .  

Giải.
2

2
2
Ta có    x  - 6x + y  + l0y + 34 = -  4z - l     

2

2
2

Suy ra    x  - 6x + 9   +   y  + l0y + 25   = -  4z - l   

2

2

2

               x - 3   +   y + 5  +   4z - l   = 0  
2

2

2

Ta thấy     x - 3     0 ;   y + 5      0 ;   4z - l      0    
2

2

2

Mà   x - 3   +   y + 5   +   4z - l   = 0.  

(x - 3)2  = 0
 x = 3


2
nên  (y + 5)  = 0 <=>  y = -5  

(4z - 1)2  = 0

1

z =  .

4

Nhận xét: Ta gọi phương pháp giải trong ví dụ trên là phương pháp "Tổng các 
bình phương". Nội dung của phương pháp này dựa vào nhận xét: 
A 2    0; B2    0; C2  0 . 

Nếu có  A 2 +B 2 +C 2 =0  thì  A 2 =B2 =C 2 =0. . 


3
3
3
Ví dụ 10. Cho a + b + c = 0, chứng minh rằng  a +b +c =3abc.    

Giải. Từ a + b + c = 0, suy ra a + b = -c. 
Lập phương hai vế ta được  (a + b)3  (-c)3 .  
Suy ra  a 3  + b3  +3ab(a + b) = - c3    
Thay a + b = -c vào đẳng thức trên ta được   a 3  + b3  + 3ab  -c   = -c3 .  
Do đó   a 3  + b 3  + c 3  = 3abc.  
Lưu ý.
• Nên nhớ kết quả của ví dụ này để vận dụng giải nhiều bài toán khác. 
3
3
• Trong quá trình giải ví dụ trên ta đã khai triển  (a+b)3  thành  a  + b     3ab(a + b)   

(1) tiện lợi hơn là khai triển thành  a 3  + 3a 2 b + 3ab 2  + b3  (2) vì trong khai triển (1) có 
sẵn (a + b) để thay bằng - c ra kết quả được nhanh chóng. 
1000

Ví dụ 11. Số  a = 83  - 1 là số nguyên tố hay hợp số ? 
1000
n
Giải. Ta có  31000  3  nên ta đặt  3  = 3  (n   N*).  

Do đó  a = 83n  - 1(8n )3  - 13  
                   = (8n  - 1)(82n  + 8n  + 1).  
Số a là tích cửa hai số tự nhiên lớn hơn 1 nên a là hợp số. 
Ví dụ 12. Chứng minh đẳng thức 


5

a5 - b5 -   a - b   = 5ab  a - b   a 2  - ab + b 2   

Giải
5

• Xét vế trái T :  T = a 5  - b 5  -   a - b  .  
                                       = a 5  - b5  -   a 5  - 5a 4 b + 10a 3 b 2  - 10a 2 b 3  + 5ab 4  - b5   
                                       = a 5  - b 5  - a 5  + 5a 4 b - 10a 3 b 2  + 10a 2 b 3  - 5ab 4  + b 5  
                                       = 5a 4 b - 10a 3 b 2  + 10a 2 b3  - 5ab 4 .  
• Xét vế phải P : 
2
2

3
2
2
3
                          P = 5ab  a - b   a  - ab + b   = 5ab  a  - 2a b + 2ab  - b   

                               = 5a 4 b - 10a 3 b 2  + 10a 2 b 3  - 5ab 4 .  
Vậy T = P. 
2

Ví dụ 13. Cho   a + b + c   = 3  ab + bc + ca  . Chứng minh rằng a = b = c. 
2

Giải. Ta có   a + b + c   = 3  ab + bc + ca   


<=> a 2  + b 2  + c 2  + 2  ab + bc + ca   = 3  ab + bc + ca 
<=> a 2  + b 2  + c 2  - ab - bc - ca = 0
<=>   a 2  - 2ab + b 2   +   b 2  - 2bc + c 2   +   c 2  - 2ca + a 2    = 0
2

2

2

2

2

<=>   a - b   +   b - c   +   c - a   = 0



2

2

2



<=>   a - b   =   b - c   =   c - a  2 = 0  vì   a - b      0 ;   b - c      0 ;   c - a      0 .
a - b = 0

<=>  b - c = 0
c - a = 0


<=> a = b = c. 

C. BÀI TẬP
1. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của 
biến: 
2

  a) 5  x + 4   + 4  x - 5   - 9  4 + x  x - 4  ;  
2

2

b)   x + 2y   +   2x - y   - 5  x + y  x - y   - 10  y + 3  y - 3  .  

2. Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí: 
a) 413(413 - 26) + 169; 
b) (6252  + 3)(254  - 3) - 516  + 10;  

c) 

412  + 392  + 82.39
. 
412  - 392

3. Tìm x biết: 
  a) (5x - 1)2  - (5x - 4)(5x + 4) = 7;  


b) (4x - 1)2  - (2x + 3)2  + 5(x + 2)2  + 3(x - 2)(x + 2) = 500.  

4. Cho biểu thức  A = (x 2 +x+1)(x2 -x+1)(x 4 -x2 +1).  
Chứng minh rằng biểu thức A luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến. 
5. Tìm x biết: 





a)  x + 4  x 2  - 4x + 16  - x  x - 5  x + 5   = 264 ;  
3





b)  x - 2  -   x - 2 x 2  + 2x + 4  + 6  x - 2 x + 2   = 60.  

6. Tìm giá trị của biểu thức : 
a) A = x 3  - 15x 2  + 75x - 124  tại x = 35; 
b) B = x 3  + 18x 2  + 108x + 16  tại x = -2;  y = 

1
. 
2

7. Cho a, b, c là các số thoả mãn điều kiện a = b + c. Chứng minh rằng : 
a3 +b3
a+b
 = 
 
3
3
a +c
a+c

8. Thu gọn rồi tính giá trị các biểu thức sau : 
  a) (a+b+c)2  + (a++b-c)2  - 2(a+b)2  
b) (a+b+c)2  + (-a+b+c)2  + (a-b+c)2  + (a+b-c)2  với  a 2 +b 2 +c 2  = 10.  

9. Chứng minh đẳng thức : 
(x+y)4  + x 4  + y 4  = 2(x 2 +xy+y 2 )2 .  

10. Tính: 
5

6

4

a)  x + 1 ;         b)  x + 1 ;       c)  x - 1 .