TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ 6PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Chuyên đề 2
PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ
nguyên mẫu thức.
2. Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi
cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
3. Phép cộng các phân thức có các tính chất giao hoán, kết hợp
4. Muốn trừ phân thức

A
C
A
C
cho phân thức , ta cộng với phân thức đối của
B
D
B
D
A C
A
C
=
+ (- ).
B D
B
D

B. MỘT SỐ VÍ DỤ
2

1
x 2 -3
Ví dụ 7. Thực hiện phép tính 2 - 2 + 3 .
x -1 x +x
x -x

Giải.

2
1
x 2 -3
+
.
x 2 -1 x 2 +x
x 3 -x

=

2
1
x 2 -3
2x-(x-1)+x 2 -3
+
=
(x-1)(x+1) x(x+1)
x(x-1)(x+1)
x(x-1)(x+1)

=

x 2 +x-2
(x-1)(x+2)
x+2
=
=
.
x(x-1)(x+1)
x(x-1)(x+1)
x(x+1)

Ví dụ 8. Cho biểu thức


a) Rút gọn P;
b) Tìm x  Z để
2
2x-1
x 2 +6x+2
+ 2
+
.
x-1 x +x+1
1-x 3
2(x 2 +x+1)+(2x-1)(x-1)+x 2 +6x+2
=
(x-1)(x 2 +x+1)

P=

=

2x 2 +2x+2+2x 2 -2x-x+1+x 2 +6x+2
(x-1)(x 2 +x+1)

=

5x 2 +5x+5
5(x 2 +x+1)
5
=
=
.
2
2
(x-1)(x +x+1)
(x-1)(x +x+1)
x-1

b) P có giá trị nguyên <=>

5
có giá trị nguyên
x 1

<=> (x - 1)  Ư(5) = {± 1 ; ± 5}
x-1
x

1
2

-1
0

5
6

-5
-4

Vậy khi x  {-4 ; 0 ; 2 ; 6} thì P có giá trị nguyên.
Ví dụ 9. Cho n  Z. Chứng minh rằng biểu thức
A=

125n 3
25n 2
5n
+
+
có giá trị nguyên.
6
2
3

Giải.
125n 3 +75n 2 +10n
5n(25n 2 +15n+2)
=
Ta có A =
6

6

=

5n(5n+1)(5n+2)
.
6


Ta thấy tích 5n(5n + 1)(5n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho
6.k
= k (k  Z).
6. Do đó A =
6
Ví dụ 10. Rút gọn các biểu thức sau :
1
1
1
+
+
;
(x-y)(x-z)
(y-z)(y-x)
(z-x)(z-y)
yz
zx
xy
b) B =
+
+

.
(x-y)(x-z)
(y-z)(y-x)
(z-x)(z-y)

a) A =

Giải

1
1
1
+
+
(x-y)(x-z)
(y-z)(y-x)
(z-x)(z-y)
(z-y)+(x-z)+(y-x)
=
= 0.
(x-y)(y-z)(z-x)
yz
zx
xy
b) B =
+
+
(x-y)(x-z)
(y-z)(y-x)
(z-x)(z-y)

yz(z-y) + zx(x-z) + xy(y-x)
=
(x-y)(y-z)(z-x)
yz(z-y) + zx(x-z) - xy[(z-y) + (x-z)]
=
(x-y)(y-z)(z-x)
y(z-y)(z-x) + x(x-z)(z-y)
(z-y)(z-x)(y-x)
=
=
=1.
(x-y)(y-z)(z-x)
(x-y)(y-z)(z-x)

a) A =

Lưu ý: Nên ghi hớ kết quả các bài toán ở ví dụ này để áp dụng vào giải một số bài
toán khác được nhanh chóng.
Ví dụ 11. Cho a, b, c và x, y, z là các số khác 0 thỏa mãn điều kiện
a b c
x 2 y2 z2
và + + = k . Tính tổng S = 2 + 2 + 2 . .
x y z
a
b c

a b c
+ + =0
x y z

Giải
 Từ điều kiện

ayz+bxz+cxy
a b c
= 0
+ + = 0 , suy ra
x y z
xyz

hay ayz  bxz+cxy  0.
a b c
x 2 y2 z2
xy yz zx
 Từ điều kiện + + = k suy ra 2 + 2 + 2 +2( + + ) = k 2
x y z
a
b c
ab bc ca
x 2 y2 z2
cxy+ayz+bzx
= k2.
hay 2 + 2 + 2 +2
a
b c
abc

x 2 y2 z2
2

Nhưng cxy+ayz+bzx = 0 nên 2 + 2 + 2 = k .
a b c
10x 2 -6x+2
.
Ví dụ 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
x 2 +1

Giải
10x 2 -6x+2
9x 2 -6x+1+(x 2 +1)
(3x-1)2
=
=
+ 1.
Ta có P =
x 2 +1
x 2 +1
x 2 +1

1
(3x-1)2
 0 (dấu “=” xảy ra khi x  ) nên P  1.
Ta có 2
3
x +1
1
Do đó min P = 1 khi x  .
3

C. BÀI TẬP

Cộng, trừ các phân thức không có điều kiện ràng buộc giữa các biến
1. Làm các phép tính:
a)

x
y
;
xy-y 2 x 2 -xy

b)

x-y
x 2 +3y 2
+
.
2x+2y
2y 2 -2x 2


2. Tính bằng cách hợp lí:
a)

x 2 -xy
y2 +xy
2xy
+
+
;
x 2 -2xy+y2
x 2 +2xy+y2

y2 -x 2

b)

x 4 -(x-1) 2
x 2 -(x 2 -1) 2
x 2 (x-1) 2 -1
+
+
.
(x 2 +1) 2 -x 2
x 2 (x+1) 2 -12
x 4 -(x+1) 2

3. Cho n Z, chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị nguyên:
a) A=

n3 n 2
n
+ ;
6
2
3

b) =

n 4 n3 n 2
n
+ .
12

6 12
6

4. Tính tổng:
P=

1
1
+
(y-z)(x 2 +xz-y 2 -yz)
(z-x)(y 2 +xy-z 2 -xz)
1
+
.
(x-y)(z 2 +yz-x 2 -xy)

5. Tìm x  Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên:
2x 2 -5x+3
a) A =
;
2x-5

3x 3 +9x 2 -x-5
b) B =
.
x+3

Cộng trừ các phân thức có điều kiện ràng buộc giữa các biến
6. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A =

5a-b
3b-2a
7
7
+
với a  ; b  ; và 2a – b = 7.
3a+7
2b-7
3
2

b) B =

1
1
8a+5b
3a+b
+
với a  ; b  ; và 3a + 5b = -1.
5
4
5a-1
4b+1

7. Tính tổng:


a) P =

x
y
z
+
-xy+x+1 yz-y+1 xz+z-1

với xyz = 1 và các mẫu thức đều khác 0.
b) Q =

x
y
2z
+
+
xy+x+2
yz+y+1 xz+2z+2

với xyz = 2 và các mẫu thức đều khác 0.
8. Cho x, y, z đôi một khác nhau và khác 0 thỏa mãn điều kiện :
xy + yz + zx = 0.
Tìm giá trị của tổng A =

x2
y2
z2
+
+
x 2 +2yz
y 2 +2zx
z 2 +3xy

9. Cho x, y, z khác  1 và xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng
x
y
z
4xyz
+
+
=
.
2
2
2
2
1-x
1-y
1-z
(1-x )(1-y 2 )(1-z 2 )

10. Cho xyz  0 và x + y + z = 0. Tính:

A=

x2
y2
z2
+
+
.
y 2 +z 2 -x 2

z 2 +x 2 -y 2
x 2 +y2 -z 2