TOÁN 8 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Chuyên đề 2
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
- Phương trình tích là phương trình có dạng : A  x  .B  x  ...C  x   0
- Để giải phương trình (1) ta giải các phương trình

1
A  x   0; B  x   0...; C  x   0 , rồi lấy

tập hợp tất cả các nghiệm của chúng.
Trong chuyên đề này ta thường vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử để biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích.


B.MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng 1. Giải phương trình tích
Ví dụ 9 Giải các phương trình sau :
a)  2 x  7  4  5 x   0

b)8 x  3x  5   6  3 x  5
Giải
7

x  2
2x  7  0
a )  2 x  7  4  5 x   0  

4

5
x


0

x  4

5
7 4
Vậy phương trình có tập nghiệm là : S   ; 
2 5
8 x  3x  5   6  3x  5  8 x  3 x  5  6  3x  5   0

5

x  3
3 x  5  0
  3x  5 8 x  6   0  

8 x  6  0
x  3

4
5 3 
Vậy phương trình có tập nghiệm là : S   ; 
3 4 
b)

Lưu ý : Không được chia cả hai vế phương trình cho 3x – 5 , vì như vậy sẽ mất nghiệm x 
của phương trình.Nếu muốn chia t phải xét trường hợp 3x  5  0 trước.
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau
a) x 2  6 x  9  49



2

 

b) x 2  3 x  2  x 2  x  2



2

Giải
2

2

a ) x 2  6 x  9  4  9   x  3  7 2   x  3  7 2  0
  x  3  7  x  3  7   0   x  10  x  4  0
 x  10  0
 x  10


x  4  0
 x  4
Vậy phương trình có tập nghiệm là : S  10; 4

5
3



2

2

2

2

   x  x  2    x  3x  2    x  x  2   0
  x  3 x  2    x  x  2    x  3x  2    x  x  2    0

b) x 2  3 x  2
2

2

2

2

2

2

2

x  0
2
  4 x  4  2 x 2  2 x  0  8 x  x  1  0  
 x  1
Vậy phương trình có tập nghiệm là : S  0; 1
Nhận xét :
Có thể giải phương trình trên theo cách biến đổi như sau : a 2  b 2  a  b






Dạng 2.Giải phương trình đa thức bậc cao quy về phương trình tích
Ví dụ 11 Giải các phương trình sau :
a) 12 x 2  3  x  3  2 x 2  7 x  3  x  3  0









b) x 3  3 x 2  6 x  8  0
Giải
a) Ta có phương rình tương đương :
3  2 x  1 2 x  1 x  3   2 x  1 x  3 x  3  0

  2 x  1 x  3 3  2 x  1   x  3   0
1

x   2

  2 x  1 x  3 7 x  6   0   x  3

6
x 
7

6
 1
Vậy phương trình có tập nghiệm là : S    ; 3; 
7
 2
b) x 3  3 x 2  6 x  8  0  x 3  x 2  2 x 2  2 x  8 x  8  0
 x 2  x  1  2  x  1  8  x  1  0
x  1
  x  1 x  2 x  8  0   x  1 x  2  x  4   0   x  2
 x  4
Vậy phương trình có tập nghiệm là : S  1; 2; 4



2



3

Ví dụ 12. Giải phương trình 64 x 3   x  2    3 x  2 
Giải
Phương trình (1) tương đương với

3

(1)


 4x

3

2
2
  x  2    3x  2    x  2    x  2  3x  3   3x  2  


3





2





  4 x   4 x 7 x 2  12 x  12  4 x  4 x   7 x 2  12 x  12   0


x  0

2
2
 4 x 9 x  12 x  12  0  12 x  3x  2  x  2   0   x  
3

x  2






2
Vậy phương trình có tập nghiệm là : S  0;  ; 2 
3 



Dạng 3. Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt ẩn phụ là phương pháp dùng một ẩn mới ( sau gọi là ẩn phụ) thay cho một biểu thức của
ẩn cũ. Giải bài toán bằng phương pháp đặt ẩn phụ thường có các bước sau :
- Biến đổi phương trình để làm xuất hiện các nhóm hạng tử chứa ẩn giống nhau.
- Đặt nhóm hạng tử giống nhau bằng ẩn mới. Thay vào phương trình đã cho ta được một
phương trình theo ẩn mới ( đơn giản hơn phương trình ban đầu hoặc đx biết cách giải).

- Giải phương trình theo ẩn mới.
- Với mỗi giá trị tìm được của ẩn mới, thay vào biểu thức dặt ẩn ta tìm được các giá trị
tương ứng của ẩn ban đầu.
Ví dụ 13. Giải phương trình  x  1 x  2  x  6  x  3   34
( Đề thi vào 10 chuyên ngữ, ĐHNN-ĐHQG HN, 2000)
Giải
Ta có phương trình  x  1 x  3   x  2  x  6    34   x 2  4 x  3 x 2  4 x  12   34
Đặt t  x 2  4 x  3, ta có t  t  15   34

 t 2  15t  34  0   t  2  t  17   0  t  2
t  17
2

+) Với t = - 2 , ta có x 2  4 x  3  2  x 2  4 x  4  1   x  2   1 ( vô nghiệm )
2

+) Với t = 17, ta có x 2  4 x  3  17  x 2  4 x  4  18   x  2   18  x  2  18



Vậy phương trình có tập nghiệm là : S  2  18; 2  18



Ví dụ 14 . Giải phương trình

x

2





 3x  3 x 2  2 x  3  2 x 2

( Đề thi vào 10 chuyên ngữ, ĐHNN-ĐHQG HN, 2005)
Giải
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, nên chia cả hai vế cho x 2  0 ta
được :
3 
3
x 2  3x  3 x 2  x  3


.
 2   x   3  x   2   2
x
x
x
x



3
Đặt t  x   3 ta có :
x


t  1

t  t  1  2  t 2  t  2  0   t  1 t  2   0  
t  2
x  1
3
- Với t = 1, ta có x   3  1  x 2  4 x  3  0   x  1 x  3  0  
x
x  3
2

3
1  11
2
- Với t = - 2, ta có x   3  2  x  x  3  0   x     0 vô nghiệm
x
2  4


Vậy phương trình có tập nghiệm là : S  1;3
Nhận xét
Có thể áp dụng phương pháp trên để giải phương trình tổng quát sau đây :
 x 2  ax  c  x 2  bx  c   dx 2 với a, b, c, d là các số đã cho.
4

4

Ví dụ 15. Giải phương trình  6  x    x  8   16

1

Giải

4
4
4
4
Phương trình (1)   x  6    x  8   16   x  7  1   x  7  1  16
4

4

Đặt t  x  7, ta có  t  1   t  1  16







 t 4  4t 3  6t 2  4t  1 t 4  4t 3  6t 2  4t  1  16
 2t 4  12t 2  2  16
 t 4  6t 2  7  0







 t 2 1 t 2  7  0
2

 t  1  t  1
- Với t = 1, ta có x  7  1  x  8
- Với t = - 1, ta có x  7  1  x  6
Vậy phương trình có tập nghiệm là : S  6;8


C.BÀI TẬP
3.15 Giải các phương trình sau:
a )  x  6  2 x  5  3 x  9   0
b)2 x  x  3  5  x  3  0





c) x 2  4   x  2  3  2 x   0

3.16. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
x  7.
 2m  5  x  2m 2  8  43
3.17. Giải các phương trình sau:
2
a )  2 x  1   2 x  1  0

1
1
3
3
 x  3   x  5   0
27

125
3.18. Giải các phương trình sau:
3
3
a )125 x 3   2 x  1   3x  1  0
b)

3

3

3

b)  x  3   x  1  8  x  1
3.19. Giải các phương trình sau:
a) x3  5 x 2  8 x  4  0

b) x 4  4 x 2  12 x  9  0
3.20. Giải các phương trình sau:
a)  x  1 x  2  x  3 x  4   24  0






3.21. Giải phương trình sau:  2 x

b) x 2  3x  2 x 2  15 x  56  8  0
2





 3x  1 2 x 2  5 x  1  9 x 2  0

3.22. Giải các phương trình sau:
4
4
a)  x  6    x  8   272
4

4

b)  5  x    2  x   17
3.23. Giải phương trình sau: x5  x 4  x3  x 2  x  2
3.24. Giải phương trình sau: 5 x3  6 x 2  12 x  8  0
(Đề thi vào 10 chuyên ngữ, ĐHNN-ĐHQG HN,2005)
3.25. Giải phương trình
 x 2  11x  12  x 2  9 x  20  x 2  13x  42   36  x 2  11x  30  x 2  11x  31