Phát triển phương pháp phủ tuyến tính để kiểm tra tính hurwitz chặt và ứng dụng vào thiết kế tham số tối ưu trong điều khiển hệ tuyến tính bất định

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---------------------------

Phạm Văn Minh

PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP PHỦ TUYẾN TÍNH ĐỂ
KIỂM TRA TÍNH HURWITZ CHẶT VÀ ỨNG DỤNG VÀO
THIẾT KẾ THAM SỐ TỐI ƯU TRONG ĐIỀU KHIỂN HỆ
TUYẾN TÍNH BẤT ĐỊNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

Hà Nội- 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---------------------------

Phạm Văn Minh

PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP PHỦ TUYẾN TÍNH ĐỂ
KIỂM TRA TÍNH HURWITZ CHẶT VÀ ỨNG DỤNG VÀO
THIẾT KẾ THAM SỐ TỐI ƯU TRONG ĐIỀU KHIỂN HỆ
TUYẾN TÍNH BẤT ĐỊNH
Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và Tự động hóa
Mã số: 62520216

LUẬN ÁN TIẾN SĨ ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1) TS. Nguyễn Cảnh Quang
2) PGS. TS Nguyễn Thế Thắng

Hà Nội- 2017


PHẦN MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài
Xây dựng hệ điều khiển cho một đối tượng thường dựa vào mô hình. Giữa mô hình
và đối tượng thật bao giờ cũng có sai lệch, do nhiều nguyên nhân khác nhau như: Phương
pháp nhận dạng gần đúng, thông tin thu thập được không đầy đủ trong thời gian thực, do
xấp xỉ hoá các hiệu ứng phi tuyến... Sai lệch mô hình làm giảm hiệu quả của hệ điều khiển.
Để khắc phục phần nào ảnh hưởng do sai lệch mô hình gây ra, người ta có thể dùng
nhiều biện pháp khác nhau. Một trong những phương pháp hiệu quả được kể đến là điều
khiển bền vững với mô hình bất định.
Mô hình bất định được đề cập đến từ giữa thế kỷ 20, nhưng chỉ từ xuất hiện công
trình của Kharitonov (1978), đặc biệt khoảng 20 năm trở lại đây với sự phát triển của thiết
bị tính, người ta mới quan tâm nhiều đến việc phát triển những phương pháp điều khiển
bền vững với mô hình bất định và ứng dụng loại điều khiển bền vững vào những bài toán
thực tế. Có thể tìm thấy nhiều ví dụ ứng dụng mô hình bất định trong các tài liệu [12, 27,
32, 42, 65, 77]....
Mô hình bất định thực chất là tập gồm vô vàn phần tử. Các phương pháp phân tích
và thiết kế hệ với mô hình bất định đều gặp khó khăn là phải xét mọi phần tử của tập
mô hình này. Đây là khó khăn thuộc về bản chất khi dùng mô hình bất định. Các phương
pháp hiện có để nghiên cứu hệ điều khiển bền vững cho đối tượng có thông số bất định

mới khắc phục được khó khăn bản chất này trong một số trường hợp đơn giản như cấu trúc
bất định dạng khoảng hay dạng tuyến tính với thông số bất định Q dạng hộp. Vì vậy cần có
những phương pháp thích hợp để dùng cho các trường hợp phức tạp hơn. Trong luận án
này NCS chọn một hướng nghiên cứu nhằm đưa ra một phương pháp xác định tham số tối
ưu cho bộ điều khiển áp dụng cho hệ SISO tuyến tính có thông số bất định đảm bảo thỏa
mãn tính ổn định bền vững và một số chỉ tiêu chất lượng, khắc phục được một phần khó
khăn bản chất.
1


Hướng nghiên cứu này có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực ứng dụng mô hình bất
định vào điều khiển các đối tượng thực.

Mục tiêu của luận án
Mục tiêu của luận án là: Phát triển một phương pháp nhằm khắc phục một phần khó
khăn khi sử dụng mô hình có thông số bất định với cấu trúc dạng đa thức và tập thông số
bất định dạng hộp. Phương pháp được áp dụng để kiểm tra tính Hurwitz chặt và để xác
định tham số bộ điều khiển bền vững cho một lớp hệ SISO tuyến tính có thông số bất định
đảm bảo thỏa mãn chặt điều kiện ổn định và một số chỉ tiêu chất lượng đề ra.

Đối tƣợng và phƣơng pháp nghiên cứu
-

Đối tượng nghiên cứu là hệ thống điều khiển bền vững có mô hình tuyến tính với thông
số bất định.

-

Phương pháp nghiên cứu: Qua tìm hiểu các phương pháp hiện có tìm ra những khó
khăn gặp phải khi xét mô hình tuyến tính với thông số bất định, tìm cách khắc phục

phần nào các khó khăn đó.
Tinh thần của phương pháp được minh hoạ bằng một số ví dụ, trong đó có những ví dụ

xuất phát từ các bài toán thực tế.

2. Nội dung
Nội dung là các nghiên cứu sau:
-

Các phương pháp xét sự ổn định bền vững, và một số chỉ tiêu chất lượng của hệ.

-

Các phương pháp thiết kế bộ điều khiển bền vững hiện có, những khó khăn gặp
phải và đề nghị cách khắc phục một phần khó khăn đó.

-

Các phương pháp đưa bài toán thiết kế bộ điều khiển bền vững cho đối tượng có
mô hình tuyến tính với thông số bất định về một dạng của bài toán tối ưu dạng qui
hoạch nửa vô hạn (semiinfinite programming), đảm bảo ổn định bền vững và một
số chỉ tiêu chất lượng đặt ra trước. Đề nghị phương pháp tìm nghiệm của bài toán
này sao cho thoả mãn chặt các ràng buộc chứa thông số bất định nhờ dùng khái
2


niệm “một trị cực tiểu non”. Phương pháp được minh họa qua một số ví dụ và được
kiểm nghiệm kết quả qua mô phỏng nhờ phần mềm Matlab.

3. Ý nghĩa khoa học và giá trị thực tiễn của luận án

Đề tài nghiên cứu của luận án có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực ứng dụng mô
hình bất định vào điều khiển các đối tượng thực. Ý nghĩa khoa học và giá trị thực tiễn của
luận án được thể hiện qua việc phát triển phương pháp phủ tuyến tính để xác định được
một trị cực tiểu non MuN của cực tiểu toàn thể M  min g (q ), q Q , với g (q ) là đa thức
m

L

i 0

j 1

mij

dạng g (q )   gi  q j

và Q dạng hộp. Trị cực tiểu này có thể dùng để giải quyết bài

toán:
-

Kiểm tra tính thực dương chặt của hàm g (q ) dạng đa thức và Q dạng hộp.

-

Kiểm tra sự thỏa mãn chặt điều kiện ổn định bền vững cho hệ thống có mô hình tuyến
tính với cấu trúc bất định dạng đa thức và Q dạng hộp.

-

Xác định tham số bộ điều khiển bền vững nhờ đưa bài toán tối ưu về bài toán qui hoạch
nửa vô hạn và đề nghị một phương pháp tìm nghiệm thoả mãn chặt điều kiện ổn định
và chất lượng dạng đại số.
Những kết quả trên góp phần vào việc khắc phục khó khăn khi dùng mô hình có

thông số bất định. Do đó làm cho việc ứng dụng loại mô hình này vào những bài toán thực
tế được dễ dàng hơn.

4. Điểm mới của luận án
Qua nghiên cứu hệ điều khiển bền vững có mô hình tuyến tính với thông số bất
định, tác giả luận án đã đưa ra một đánh giá tổng quan về các phương pháp xét ổn định bền
vững và chất lượng cũng như các phương pháp thiết kế bộ điều khiển bền vững. Luận án
đã có những đóng góp mới, cụ thể như:
-

Phát triển một phương pháp phủ tuyến tính để xác định được một trị cực tiểu non MuN
của cực tiểu toàn thể M  min g (q ) với g (q ) dạng đa thức và Q dạng hộp. Luận án đã
xây dựng thuật toán 1 để xác định một trị cực tiểu non tiệm cận MuN. Tính tiệm cận và
đánh giá sai số gặp phải cũng được xét qua định lý 1.
3


-

Dùng trị cực tiểu non MuN để kiểm tra tính dương chặt của một hàm g (q ) dạng đa thức
và Q dạng hộp. Do đó MuN ứng dụng để kiểm tra sự thoả mãn chặt điều kiện ổn định
bền vững dạng đại số và để tìm nghiệm của bài toán qui hoạch nửa vô hạn.

-

Đưa việc xác định tham số bộ điều khiển bền vững về bài toán tối ưu dùng qui hoạch
phi tuyến hoặc qui hoạch nửa vô hạn nên có điều kiện để xét tính ổn định bền vững và
một số chỉ tiêu chất lượng như bám tiệm cận đầu vào, quá trình quá độ tắt với hệ số tắt
 lớn nhất (tối ưu theo nghĩa quá trình quá độ tắt nhanh nhất), hoặc dải bất định lớn
nhất...

-

Xây dựng một thuật toán dùng MuN ( x ) thay cho M( x ) để tìm nghiệm bài toán qui
hoạch nửa vô hạn nghiệm tìm được đảm bảo được sự thoả mãn chặt của ràng buộc
chứa thông số. Chọn được phương pháp hàm phạt sử dụng trực tiếp độ đo MuN ( x ) chỉ
tính được bằng số để tìm nghiệm của bài toán qui hoạch nửa vô hạn. Tính tiệm cận và
sai số gặp phải của bài toán này cũng được xét tới thông qua định lý 2. Một số ví dụ
minh họa đã được trình bày.
Một số kết quả của luận án đã được công bố trong các hội nghị khoa học kỹ thuật

hoặc tạp chí như: Tạp chí KH&KT Quân sự học viện KTQS số 173 (2015), số 175 (2016)
và Hội nghị quốc tế về Điện-Điện tử 2016 (Regional conference on Electrical and
Electronics Engineering- RCEEE 2016).
Trị cực tiểu non tiệm cận MuN được đề nghị và đã được áp dụng để xét ổn định bền
vững và xác định tham số tối ưu bộ điều khiển mới chỉ cho một trường hợp: Hệ điều khiển
bền vững có mô hình tuyến tính liên tục SISO có thông số bất định với cấu trúc dạng đa
thức và thông số bất định q Q dạng hộp.

5. Bố cục của luận án
Bố cục của luận án: Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, nội dung của luận án được
chia thành 3 chương:
Chương 1: Tổng quan về hệ điều khiển bền vững với đối tượng có mô hình bất
định
Chương 1 trình bày vắn tắt những khái niệm về mô hình bất định và điều khiển bền

vững cho hệ SISO với mô hình tuyến tính có cấu trúc được thông số hoá (mô hình tuyến
4


tính có thông số bất định), mô hình không có cấu trúc, cấu trúc của hệ điều khiển bền
vững, các ví dụ minh hoạ. Đồng thời giới thiệu vấn đề ổn định bền vững và thiết kế bộ điều
khiển bền vững.
Chương 2: Xác định một trị cực tiểu non và ứng dụng để kiểm tra ổn định bền
vững hệ tuyến tính có thông số bất định.
Sau khi trình bày tổng quan về ổn định bền vững, chương 2 đưa ra định nghĩa một
trị cực tiểu non sau đó trình bày phương pháp xác định một trị cực tiểu non tiệm cận MuN
của trị cực tiểu toàn thể M  min g (q ), q Q rồi sử dụng MuN vào bài toán kiểm tra ổn
định bền vững, lập một thuật toán tính MuN có đánh giá tính tiệm cận và sai số gặp phải đã
được đưa ra. Chương 2 cũng trình bày một số ví dụ tính MuN và dùng nó để kiểm tra tính
ổn định bền vững.
Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển bền vững cho đối tượng với mô hình tuyến tính
có thông số bất định.
Chương này sẽ trình bày tổng quan về bài toán thiết kế bộ điều khiển bền vững,
giới thiệu sơ lược các phương pháp thiết kế hiện có để chỉ ra sự khác biệt của phương pháp
đề xuất và đưa ra khả năng ứng dụng của cực tiểu non đã trình bày ở chương 2 vào bài toán
thiết kế bộ điều khiển bền vững cho hệ thống tuyến tính có đối tượng với thông số bất định
thông qua việc thiết lập và giải bài toán tối ưu dạng qui hoạch nửa vô hạn. Nghiệm tìm
được thỏa mãn chặt ràng buộc từ điều kiện ổn định và một số chỉ tiêu chất lượng. Một số ví
dụ minh họa đã được trình bày.

5


CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HỆ ĐIỀU KHIỂN BỀN
VỮNG VỚI ĐỐI TƢỢNG CÓ MÔ HÌNH

BẤT ĐỊNH

Trong chương này NCS sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản về mô hình bất định,
và hệ điều khiển bền vững cho đối tượng với mô hình tuyến tính có thông số bất định.

1.1

Hệ điều khiển bền vững dựa trên mô hình bất định
Xây dựng hệ thống điều khiển (HTĐK) cho một đối tượng thường dựa vào mô

hình, tuỳ vào đặc điểm của đối tượng người ta sử dụng loại mô hình thích hợp, giữa mô
hình và đối tượng thật bao giờ cũng có những sai lệch do nhiều nguyên nhân như: Thông
tin không đầy đủ, phương pháp nhận dạng gần đúng, tác động của nhiễu, tuyến tính hóa
khâu phi tuyến... chính các sai lệch mô hình làm giảm hiệu quả của hệ điều khiển. Dùng
mô hình bất định (MHBĐ) trong việc xây dựng hệ điều khiển bền vững là một biện pháp
hiệu quả để khắc phục các ảnh hưởng sai lệch mô hình của đối tượng.

1.1.1 Mô tả đối tƣợng điều khiển nhờ mô hình bất định
Mô hình bất định có thể trình bày dưới dạng một tập mô hình (P0, P), trong đó:
Mô hình chuẩn P0 (Nominal model) được xây dựng từ những thông tin xác định, sai lệch

P là do sự thiếu thông tin hoặc dùng phương pháp nhận dạng gần đúng ...gây ra. Sai lệch
mô hình thường không được biết chắc chắn từ trước, tuy vậy việc phân tích và thiết kế hệ
thống điều khiển cần đến một đánh giá định lượng về sai lệch P. Việc đánh giá định
lượng thường ở dưới dạng bị chặn (bounded) dạng thích hợp của P (ví dụ: dạng chuẩn
|P|, ||P||, () , …) hoặc ở dưới dạng tập biến thiên của thông số.

6

Để lập mô hình bất định người ta có thể tiếp cận theo 2 cách: Mô tả mô hình đối
tượng dưới dạng bất định có cấu trúc và bất định không có cấu trúc. Dưới đây ta xét hệ
SISO liên tục, tuyến tính có hệ số không biến thiên theo thời gian (hệ số hằng)
1.1.1.1 Mô hình bất định có cấu trúc

Khi dựa vào bản chất vật lý hoặc yêu cầu công nghệ của đối tượng, trong bước nhận
dạng ta có thể xác định được cấu trúc của mô hình (Có nghĩa là biết được bậc của tử số và
mẫu số hàm truyền của mô hình tuyến tính), ta có thể dùng mô hình tuyến tính có hệ số
không biến thiên theo thời gian và thông số hóa độ bất định ta có được mô hình với thông
số bất định. Khi đó thông tin định lượng về sai lệch mô hình P được thể hiện dưới dạng
tập biến thiên Q của thông số bất định q xuất hiện trong hàm truyền của đối tượng. Hình
hình 1.1 là mô hình đối tượng P (s ,q ) chứa thông số bất định q ở công thức (1.1) :

Đối tƣợng
điều khiển

u

y

P (s ,q )

Hình 1.1: Đối tượng với hàm truyền chứa thông số bất định
Trong hình đó:
-

u là tín hiệu điều khiển của đối tượng

-

y là tín hiệu ra của đối tượng
Hàm truyền đối tượng có dạng:



P s,q

 
s,q 

N P s,q

D

P

mp

 

k
 k q s

k 0
np

(1.1)

 

i
 i q s

i 0





T
trong đó vector q là véc tơ thông số bất định q  q1 ,q 2 ,..,q j ,..,qL  ; j  1..L biến thiên

độc lập trong tập Q.

q  RL q  Q

(1.2)

Tập Q có thể có một số dạng, ví dụ: lp-hypersolid (xem (2) trong [40]):
7




0

L q q

j
j

0

Q  q  q , q  
 j 1 w


j






p



1

p

  








(1.3)

trong đó q j0 là giá trị chuẩn của q j ; w j là hằng số trọng. Với 1p,  là hằng số thể hiện





độ bất định,  q, q 0 là chuẩn cỡ lp của biên độ sai lệch từ q 0 tới q , trường hợp p=2 ta có
siêu cầu (hypersphere) có tâm tại q 0 , khi p= tập bất định Q có dạng hộp (box,
hypercube)



Q   q q j  qj  q j 



(1.4)

Với ký hiệu:



 q j  min q j ; q j  max q j 



(1.5)

Mô hình với thông số bất định cũng có thể mô tả dưới dạng hệ phương trình trạng
thái và phương trình đầu ra:

z  A( q )z  b( q )u
; q Q
y  c( q )z


(1.6)

Trong đó:





T

-

z là véc tơ biến trạng thái z  z1,z 2..zn

-

u là tín hiệu vào của đối tượng

-

y là tín hiệu ra của đối tượng

-

A q ; b q ; c q là các ma trận, véc tơ hệ số chứa thông số bất định

     

Các ví dụ 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 dưới đây có đối tượng mô tả dưới dạng mô hình bất định
(MHBĐ) có cấu trúc, được thông số hóa nhờ thông số bất định. Ở bước nhận dạng đối
tượng, ta phải xác định được bậc của tử số và mẫu số của hàm truyền dạng (1.1) hay
phương trình trạng thái (1.6) và tập bất định Q. Với mô hình bất định thông số dạng (1.1)
8


và (1.3) hoặc dạng (1.6) và (1.3) thực chất là tập mô hình. Ở một chế độ vận hành cụ thể,
đối tượng có mô hình là một phần tử nào đó (không biết trước) của tập mô hình trên.
Xét một số ví dụ về mô hình bất định có cấu trúc và được thông số hoá (ta gọi là
mô hình có thông số bất định)
Ví dụ 1.1:
Một ổn áp xoay chiều với động cơ thừa hành có sơ đồ tối giản hình 1.2, mô hình
thông số hoá trên hình 1.3. Đầu ra Y chính là điện áp ra Us của ổn áp. Đầu ra này phụ
thuộc vào điện áp lưới UL và vị trí  của con chạy trên biến áp tự ngẫu:
Y  Us 

UL

N0
UL

U

U0
-



UM

Bộ điều
khiển

Mô tơ

U

Us

Biến áp tự
ngẫu

Mạch đo

Hình 1.2: Sơ đồ khối của ổn áp xoay chiều

UM

e

U0

PM

C(s)
U



1
s



UL
N0

Y=Us



Hình 1.3: Mô hình thông số hóa của ổn áp xoay chiều

Ở đây, N0 là số vòng cuộn sơ cấp của biến áp tự ngẫu. Giả thiết bộ điều khiển là C(s), hàm
truyền của động cơ thừa hành và hệ truyền động của ổn áp dạng:
PM (s) 

b0


U M 1  Ts
 T2s 2
1

9


trong đó  là tốc độ động cơ, UM là điện áp đặt vào động cơ. Trong điều kiện động cơ kéo
con trượt của ổn áp có thế coi b0, T1, T2 là những hằng số xác định, ở bước tổng hợp hệ
điều khiển các hằng số này coi như đã biết vì chúng được xác định ở bước nhận dạng.
Thành lập hàm truyền từ UM tới điện áp đo U (được coi là mô hình của đối tượng) ta được:
P(s, q) 

Với:

q 

U
q

U M s( 1  Ts
 T2s 2 )
1

b0 U L
N0

Do coi b0, , N0 là hằng số nên q phụ thuộc vào điện áp lưới UL. Có thể coi điện áp lưới
biến thiên quanh trị số trung bình UL0:
U L0  U L  U L  U L0  U L

nên thông số q cũng biến thiên quanh trị số q0 một lượng q
q0  q  q  q0  q

trong đó q0 , q được xác định theo biểu thức q ở trên. Đặt q  x ta được:
q  q 0  x, q  q 0  x

vì điện áp lưới UL có thể lấy giá trị bất kỳ trong khoảng cho phép ở trên, nên q cũng có một
giá trị bất kỳ thuộc tập Q:



Q  q q0  x  q  q  q  q0  x



Hàm truyền của đối tượng P(s, q) vừa xác định được ở trên là một ví dụ về mô hình
thông số hóa có chứa một thông số bất định q. Thông số bất định này tỷ lệ với nhiễu tác
động vào hệ thống.
Ví dụ 1.2:
Xét mô hình cẩu trục được mô tả ở dạng biến trạng thái trong [65] (xem biểu thức
(5.18) trong [65]), các giá trị: mc là trọng lượng của tời, ml là trọng lượng của tải, l là độ dài
của dây cáp, g là hằng số gia tốc trọng trường, z1 là vị trí dây cáp, z 2 là vận tốc bệ cẩu,

z 3   là góc tạo bởi dây cáp với phương thẳng đứng, z 4 là vận tốc của cáp, và u là đạo
hàm của lực tác động vào tời, ta lập được phương trình trạng thái và phương trình đầu ra.
10




Trong đó véc tơ biến trạng thái z  z1,z 2 ,z 3 ,z 4



T

, phương trình trạng thái mô tả hệ thống

là:
0


0


z 
0


0


1

0
ml g

0

mc

0

0

0
( mc  ml )g
mcl

0
 

 0

 
0 
 

1  1
u
z 
mc  0 
1
 

 1

 
0 
 l


Giả sử hệ thống sử dụng bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái hằng R, u  Rz  . Trong

ví dụ này, giả sử rằng chúng ta chỉ biết được độ dài của cáp là l và trọng lượng của tải ml
nằm trong khoảng xác định. Chọn độ dài tương đối của cáp là l  1 / l ta có được

l  q10  q1 , ml  q20  q2 với q10=1/10 độ dài cáp danh định, q20=1 là trọng lượng của tải
trọng danh định. Chọn các giá trị bất định q1, q2 có giá trị nằm trong khoảng: 0≤q1≤0,01;
0≤q2≤ 10. Với giả thiết các giá trị danh định: g=10 và mc=10, ta xác định được ma trận
trạng thái của hệ là:

0

0
z 
0

0

1
0
0
q2  1
0
0
0 (q 2  11)(q1  0.1)

0 
0

 

0 

0.1
u
z

1 
0
 

0   0.1(q1  0.1) 

A(q )

b (q )

có các tham số bị ràng buộc bởi tập Q :





Q  q  (q1,q 2 )T | 0  q1  0.01, 0  q 2  10 .
Ma trận trạng thái có hệ số A  q  có chứa các phần tử aij (q ) là hàm phi tuyến dạng
multilinear theo q . Đây chính là mô tả hệ thống ở dạng phương trình trạng thái có chứa
thông số bất định.
Từ ma trận trạng thái với giả thiết các giá trị danh định của thông số bất định là

q10  0.005;q 20  5 , chọn bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái ở chế độ danh định có R=[240
500 -990 4000] thì các điểm cực của đa thức đặc tính hệ kín có giá trị là -1, -2, -3, -4. ta
cũng xác định được đa thức đặc tính của hệ kín như sau:
11

(s ,q )  det sI  A(q )  b (q )R 
 s 4  10  400q1  s 3  13  110q1  0.1q 2  q1q 2  s 2
  550  550q1  10q 2  100q1q 2  s   28.8  288q1  4.8q1q 2  48q1q 2 
đây là đa thức đặc trưng của hệ có 2 thông số bất định q1, q2 nằm trong tập Q:

Q  q


00  qq  010,01
1

2

Ví dụ 1.3:
Xét hệ thống điều khiển phun nhiên liệu cho động cơ Fiat-Dedra engine được
Barmish trình bày trong [12].
Động cơ có mô hình có nhiều thông số bất định, việc thiết kế bộ điều khiển bền
vững dẫn đến việc xét đa thức đặc trưng bậc 7 có chứa 7 thông số bất định.
7

( s,q )   ai ( q )s i
i 0

trong đó các hệ số ai(q) là đa thức dạng đa tuyến tính (multilinear) nên đa thức đặc trưng

 

 s,q là đa thức đa tuyến tính của các thông số bất định qj (j=1..7). Các thông số qj biến

thiên trong hộp (box).
Ví dụ 1.4 trong [6] giới thiệu phương pháp kiểm tra ổn định hệ phi tuyến nhờ mô
hình tuyến tính hóa với thông số bất định.
Có thể tìm thấy một số ví dụ ứng dụng mô hình có thông số bất định khác để điều
khiển quá trình công nghiệp như của Barmish, Husek, Djaferis: [12], [48], [65]...
1.1.1.2 Mô hình bất định không có cấu trúc

Khi dựa vào bản chất vật lý hoặc đặc điểm công nghệ của đối tượng ta không thể sử
dụng được mô hình thông số hóa (ví dụ đối tượng có trễ: Quá trình nhiệt, quá trình xảy ra
phản ứng hóa học…) mà phải sử dụng mô hình không có cấu trúc, có thể tham khảo một số
ví dụ ứng dụng dạng mô hình bất định không có cấu trúc để điều khiển quá trình công
nghiệp trong các tài liệu [27, 42, 77]....
Mô hình không có cấu trúc hình 1.4a thường được mô tả dưới dạng sai lệch dạng
cộng tính, nhân tính hoặc chia tính (với sai lệch P), cụ thể các dạng như sau:
12


Pa
P(s, P)
P0
a)
b)

Pd

PM
P0

P0

d)

c)

Hình 1.4: Mô hình bất định không có cấu trúc
Dạng cộng tính (hình 1.4b):
P(s)=P0(s)+Pa(s)

(1.7)

Dạng nhân tính (hình 1.4c):
P(s)=P0(s)[1+PM(s)]

(1.8)

Dạng chia tính (hình 1.4d):

P( s ) 

P0 ( s )
1  Pd ( s )

(1.9)

Hình 1.4 mô tả đối tượng có sai lệch P dạng (1.7), (1.8), (1.9) sai lệch P (Pa, PM,

Pd) chưa biết cụ thể, nhưng thường được đánh giá qua hàm chặn (Bounded) với chuẩn thích
hợp. Ví dụ đơn giản nhất là dùng hàm chặn dưới dạng:
Chuẩn Euclide:

 

 

  0, 


P j   K j 



(1.10)

Hoặc dạng chuẩn vô cùng :

 

P j 

 

trong đó ký hiệu K j 





 

 K j

 

 sup K j 


(1.11)



là chuẩn vô cùng của K(j).
13


Để mô tả hệ MIMO dưới dạng ma trận, người ta dùng hàm chặn dưới dạng giá trị suy

   

biến lớn nhất ( P ) , các giá trị K j  , K j 



, ( P) được xác định ở bước nhận dạng.

Mô hình bất định không có cấu trúc cũng là một tập mô hình, ví dụ với sai lệch nhân tính (1.8)
và hàm chặn (1.10) tập mô hình có dạng:


  P






 K( j ) 
P0( j )


  0,  



P( j )  P0( j )

(1.12)

1.1.1.3 Lợi thế và khó khăn khi sử dụng mô hình bất định

Sử dụng mô hình bất định có nhiều lợi thế nhưng cũng gặp không ít những khó khăn
như sau:
a) Những lợi thế:
-

Kể được sai lệch mô hình

-

Kể được sự thay đổi thông số hoặc cấu trúc của đối tượng (ví dụ 1.2)

-

Kể được tác dụng của nhiễu (ví dụ 1.1)

-

Kể đến hiệu ứng phi tuyến [6].

-

Dùng mô hình tuyến tính bất định cho phép thành lập được các điều kiện ổn định
và chất lượng (Sử dụng các phương pháp đánh giá và chất lượng của hệ tuyến tính)
một cách đơn giản hơn so với dùng các loại mô hình khác như phi tuyến, ngẫu
nhiên, mờ…

b) Những khó khăn:
Việc sử dụng mô hình bất định cũng gặp phải khó khăn liên quan đến 2 việc là xác
định mô hình (nhận dạng) và xây dựng hệ điều khiển, cụ thể là:
Khó khăn trong việc lập mô hình bất định:
 Trường hợp mô hình bất định không cấu trúc ta phải xác định hàm chặn K(s) hoặc
đơn giản hơn K(j) thuộc RH∞. Đây chính là khó khăn lớn trong bước nhận dạng.
 Trường hợp mô hình có cấu trúc (bất định thông số) ta phải xác định cấu trúc bất
định và tập Q. Trong một số trường hợp thực tế tập Q xác định không khó dựa vào
đặc điểm công nghệ của đối tượng (Các ví dụ 1.1, 1.2, 1.3)…
Phương pháp xác định mô hình (nhận dạng đối tượng) nằm ngoài phạm vi nghiên cứu
của luận án.
Khó khăn trong việc kiểm tra điều kiện ổn định và chất lượng:
14

 Việc dùng mô hình bất định trong bài toán phân tích cũng như tổng hợp bộ điều
khiển gặp khó khăn lớn là phải xét mọi phần tử trong tập mô hình bất định, ta
gọi đây là khó khăn bản chất (Khó khăn gây ra do bản chất của mô hình bất định).
Đây chính là khó khăn lớn nhất bắt buộc phải khắc phục khi ta giải các bài toán
điều khiển. Tuy nhiên hiện nay, các phương pháp hiện có thường chỉ xét được một
số hữu hạn phần tử do đó không đảm bảo được sự thỏa mãn chặt điều kiện ổn
định và chất lượng của hệ điều khiển.
 Luận án có mục tiêu quan trọng là khắc phục một phần khó khăn này cho trường
hợp hệ với mô hình tuyến tính có thông số bất định, tạo điều kiện thuận lợi hơn cho
việc dùng mô hình bất định để điều khiển một số đối tượng thực.

1.1.2

Hệ điều khiển bền vững với đối tƣợng có thông số bất định
Quỹ đạo mong muốn của đối tượng thường là quỹ đạo tối ưu và thường được thể

hiện ở tín hiệu đặt (tín hiệu vào r(t) ). Quỹ đạo tối ưu có thể được xác định bằng các
phương pháp điều khiển tối ưu (Pontriagin, Bellman…) hoặc bằng phương pháp chuyên
gia. Khi xác định quỹ đạo mong muốn thường chưa kể được tính ổn định. Vì vậy người ta
phải xây dựng hệ điều khiển còn gọi là hệ điều chỉnh (Regulation System) để ổn định hóa
quỹ đạo mong muốn này và kỳ vọng thực hiện thêm được một số chỉ tiêu chất lượng khác.
1.1.2.1 Nhiệm vụ của hệ điều khiển bền vững

Hệ điều khiển bền vững có 2 nhiệm vụ quan trọng sau:
NV1: Ổn định hóa quỹ đạo mong muốn
NV2: Thực hiện một số tiêu chí chất lượng đặt ra như:
(CL2-1) Giảm thiểu ảnh hưởng của sai lệch mô hình
(CL2-2) Bám đầu vào tốt (good setpoint tracking),
(CL2-3) Giảm tác dụng của nhiễu (distubance attenuation)
(CL2-4) Giảm tác dụng của sai số đo (measurement arror rejiection)

(CL2-5) Độ tắt của quá trình quá độ nhanh nhất
(CL2-6) Độ quá điều chỉnh, thời gian điều chỉnh (setting time) ngắn nhất
(CL2-7) Độ sai lệch xác lập nhỏ nhất...

15


Ngoài ra còn phải kể đến một số tiêu chí chất lượng khác như tính khả thực trong
việc vận hành hệ thống. Hiện nay, chưa có một phương pháp thiết kế nào có thể đảm bảo
tất cả các chỉ tiêu chất lượng mong muốn kể trên.
1.1.2.2 Cấu trúc của hệ điều khiển bền vững

Hệ điều khiển bền vững SISO thường được xây dựng theo nguyên tắc phản hồi và
thường dựa trên mô hình của đối tượng theo cấu trúc kinh điển (Classic Control) hay cấu
trúc điều khiển theo mô hình nội (IMC: Internal Model Control) như trong [27, 65].

r

e

d

u
C

y
P

n

Hình 1.5: Cấu trúc hệ điều khiển SISO kinh điển có
phản hồi trạng thái

d
r

e

u
C

y
P

-

~
P

~y
-

n

Hình 1.6: Cấu trúc hệ điều khiển SISO theo mô hình nội
Hình 1.5 và 1.6 là các sơ đồ cấu trúc hệ điều khiển SISO kinh điển và hệ điều khiển
SISO theo mô hình nội. Trong đó:
a) P là ký hiệu của đối tượng thực, P là mô hình của đối tượng, C hay R là bộ điều
khiển.
b) r(t) là tín hiệu đặt (Set point, Input signal) thể hiện quĩ đạo mong muốn thường là

quĩ đạo tối ưu của đối tượng.
c) e(t) là sai lệch
d) u(t) là tín hiệu điều khiển đối tượng.
e) d(t) (Disturbance) là nhiễu tác động, ví dụ ở đầu ra của đối tượng.
f) n(t) là nhiễu do khâu đo lường tín hiệu ở đầu ra của đối tượng.
16


Hệ điều khiển bền vững SISO cũng có thể biểu diễn ở dạng phương trình trạng thái
với bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái như hình 1.7.

u

z

z  A( q )z  b( q )u

cT

y

R k 
Hình 1.7: Hệ thống điều khiển SISO dưới dạng phương trình trạng thái

Phương trình trạng thái của hệ điều khiển bền vững SISO có dạng (1.13):
 z  A( q )z  b( q )u


y  c( q )z


u  R( k )z



(1.13)

Trong đó
T

-

z là véc tơ trạng thái của hệ, z  z1,z 2 ,..,z n 



-

u là tín hiệu điều khiển đối tượng, y là tín hiệu đầu ra của đối tượng

-

A( q ), b( q ), c( q ) là các ma trận hệ số có chứa các thông số bất định,

-

R  k   k1,k 2 ,..kn





T

là bộ điều khiển phản hồi trạng thái với các tham số của bộ

điều khiển phản hồi trạng thái dạng tĩnh (State static feedback controller)
Có thể tìm thấy hệ điều khiển bền vững với mô hình MIMO bất định trong các tài
liệu [2, 27, 42]…
Nghiên cứu hệ thống điều khiển bền vững dẫn tới các bài toán sau:
-

Phân tích HTĐK bền vững (robustness analysis): Cho họ mô hình S của hệ và tập
các yêu cầu chất lượng (CL). Kiểm tra xem toàn bộ họ S có thoả mãn chất lượng
hay không.

17


-

Tìm giới hạn bền vững (robustness margins): Giả sử có một phần tử S0S (S0 thông
thường là mô hình ở chế độ chuẩn (nominal systems) đã thoả mãn (CL), tìm giá trị
lớn nhất của một chuẩn đối với bất định S để toàn bộ họ S thoả mãn (CL)

-

 

Thiết kế HTĐK bền vững cho họ mô hình đối tượng P : Tìm bộ điều khiển C s,x
hoặc R(k) để hệ thống điều khiển S: ( P , C) thoả mãn chất lượng đã cho.

1.2

Vấn đề ổn định bền vững

Ổn định là điều kiện cần để một hệ thống động vận hành, vì vậy ở bài toán phân tích
cũng như bài toán tổng hợp ta đều phải xét tới ổn định. Hệ thống được gọi là ổn định nếu
đa thức đặc trưng ( s, q ) của hệ là Hurwitz.
Hệ thống có thông số bất định được gọi là ổn định bền vững nếu nó ổn định với mọi
giá trị của thông số bất định nằm trong tập thông số bất định của hệ. Hiện nay đã có một số
tiêu chuẩn ổn định bền vững được áp dụng. Có thể tìm thấy tổng quan về các phương pháp
nghiên cứu ổn định bền vững cho hệ SISO tuyến tính có thông số bất định trong các tài liệu
[7, 41, 48]…Trên thực tế điều kiện ổn định bền vững thường được xét bằng các phương
pháp gián tiếp dưới dạng các tiêu chuẩn ổn định.
Do bản chất của mô hình có thông số bất định tất cả các phương pháp nghiên cứu ổn
định bền vững đều phải xét điều kiện ổn định có được thỏa mãn với mọi trị số của thông số
bất định q  Q hay không? Đây là khó khăn được gọi là khó khăn về bản chất mà tất cả
các phương pháp xét ổn định bền vững hiện nay đều phải tìm cách khắc phục.
Ổn định là vấn đề quan trọng nhất phải quan tâm trong bài toán phân tích cũng như
tổng hợp hệ điều khiển bền vững, vì vậy luận án dành cả chương 2 để trình bày sâu hơn về
vấn đề ổn định bền vững, cho một tổng quan ngắn gọn về vấn đề ổn định bền trong đó có
giới thiệu một số phương pháp nghiên cứu ổn định bền vững hiện có nêu những ưu điểm
và những khó khăn của các phương pháp này. Trong chương 2, luận án cũng trình bày một
phương pháp phủ tuyến tính để xác định cực tiểu non áp dụng vào bài toán kiểm tra ổn
định bền vững, phương pháp này khắc phục được một phần khó khăn bản chất do mô hình
có thông số bất định gây ra.

1.3. Vấn đề thiết kế bộ điều khiển bền vững cho đối tượng có thông
số bất định
Xét hệ điều khiển bền vững được xây dựng trên nguyên lý phản hồi. Nhiệm vụ thiết

kế hệ điều khiển cho đối tượng có thông số bất định bao gồm xác định cấu trúc của hệ
18


cũng như của bộ điều khiển và xác định tham số của bộ điều khiển để hệ điều khiển ổn
định bền vững và thỏa mãn một số chất lượng mong muốn. Khi đã chọn được cấu trúc của
hệ và của bộ điều khiển, nhiệm vụ thiết kế hệ điều khiển chỉ còn việc xác định tham số của
bộ điều khiển.

r

Bộ điều
khiển

e

u

C (s , x )

Đối tƣợng
điều khiển

y

P (s ,q )

Hình 1.8: Sơ đồ cấu trúc tối giản hệ SISO dạng hàm truyền có phản hồi đầu ra
Việc xác định tham số của bộ điều khiển cho đối tượng có thông số bất định thường
dựa vào sơ đồ cấu trúc tối giản. Hình 1.8 vẽ sơ đồ cấu trúc tối giản của hệ điều khiển dựa

 

vào hàm truyền, với P s,q

là mô hình của đối tượng chứa thông số bất định q  Q đã

 

được mô tả ở mục 1.1.1.1. Bộ điều khiển có hàm truyền C s,x dạng (1.14):
mc

C

s, x 



j
 c js

j 0
nc

 dis

(1.14)
i

i 0



Véc tơ x  c0 ,c1,..,cm ,d0 ,d1,..,dn
c

c



T

là véc tơ tham số của bộ điều khiển và chính là

ẩn số trong bài toán thiết kế bộ điều khiển bền vững.
Hệ điều khiển SISO cũng có thể dùng phương trình trạng thái (1.13) với phản hồi
trạng thái mô tả trên hình 1.7, trong đó R là bộ điều khiển tĩnh phản hồi trạng thái



R  k   k1,k 2..,kn



T

được coi là véc tơ ẩn số x trong bài toán thiết kế bộ điều khiển bền

vững.
Ở dạng phương trình trạng thái cũng có thể xây dựng hệ điều khiển bền vững với

 

phản hồi đầu ra (Hình 1.8), trong đó mô hình đối tượng P s,q được xác định:
1

P(s,q )  c T ( q ) sI  A( q )  b T ( q )

19

(1.15)


Ở dạng hàm truyền hay ở dạng phương trình trạng thái véc tơ tham số x của bộ điều
khiển cần được xác định để hệ điều khiển thỏa mãn ổn định và chất lượng đã được mô tả
trong mục 1.1.2.1.
-

Trường hợp đối tượng được mô tả bằng mô hình bất định không có cấu trúc: Độ bất
định được thể hiện ở hàm chặn K(j) dạng (1-7a), (1-7b). Các phương pháp đánh
giá ổn định và một số chỉ tiêu chất lượng như (CL2-1), (CL2-2), (CL2-3)... cũng
như phương pháp thiết kế bộ điều khiển đều sử dụng hàm chặn này nên phương
pháp tần số, đặc biệt là phương pháp H được sử dụng rộng rãi [27, 42, 77]...

-

Trường hợp đối tượng với mô hình bất định có cấu trúc, độ bất định được thể hiện
qua độ bất định thông số (1-2), (1-3). Tập thông số bất định Q thường được xác
định qua bản chất vật lý hoặc yêu cầu công nghệ của đối tượng. Từ tập Q xác định
hàm chặn K(j) là một việc khó khăn nên việc sử dụng tiêu chuẩn dạng tần số đánh

giá các chất lượng (CL2-1), (CL2-2), (CL2-3)...kết hợp với phương pháp H cho
việc thiết kế bộ điều khiển là không hợp lý [27, 65]. Vì vậy cần hướng tới một giải
pháp thích hợp để thiết kế bộ điều khiển bền vững cho mô hình có thông số bất
định là rất cần thiết, là đòi hỏi cần phải giải quyết.
Do bản chất của mô hình bất định nên mọi phương pháp thiết kế bộ điều khiển bền

vững đều gặp khó khăn là phải xét với mọi phần tử trong tập bất định của đối tượng.
Trường hợp bất định thông số thì phải xét với mọi giá trị q  Q . Đây là khó khăn thuộc về
bản chất khi dùng mô hình bất định mà mọi phương pháp thiết kế bộ điều khiển đều phải
tìm cách khắc phục. Chương 3 trình bày tỷ mỉ về vấn đề xác định tham số bộ điều khiển
bền vững là vấn đề chính mà luận án muốn đề cập. Một tổng quan ngắn gọn về vấn đề này
được trình bày trong mục 3.1, tiếp theo mục 3.2 của luận án sẽ giới thiệu một phương pháp
tối ưu để xác định tham số tối ưu bộ điều khiển bền vững, đảm bảo thỏa mãn chặt điều kiện
ổn định bền vững và một số chỉ tiêu chất lượng khác.

1.4. Kết luận chƣơng 1
Điều khiển dựa vào mô hình bất định là một biện pháp làm giảm tác dụng của
sai lệch mô hình đối tượng, điều này mang lại nhiều ý nghĩa trong thực tiễn.
Việc thiết kế bộ điều khiển bền vững nói chung hay việc xác định tham số cho
bộ điều khiển khi hệ thống có đối tượng với mô hình tuyến tính có chứa thông số bất
20


định nói riêng đòi hỏi phải thỏa mãn đồng thời cả 2 yêu cầu là ổn định bền vững và đạt
được một số tiêu chí chất lượng đặt ra với mọi thông số bất định ( q  Q ). Tuy nhiên
yêu cầu về ổn định bền vững là điều kiện tiên quyết phải xét tới, chỉ khi nào thỏa mãn
yêu cầu ổn định bền vững ta mới xem xét tới các tiêu chí về chất lượng. Các tiêu chí về
chất lượng của các hệ thống khác nhau cũng khác nhau, phụ thuộc từng trường hợp cụ
thể, nhưng thông thường các tiêu chí về chất lượng bao gồm các chất lượng đã đưa ra ở
trên như (CL2-1), (CL2-2), (CL2-3), (CL2-4), (CL2-5), (CL2-6)...

Khái niệm về mô hình bất định, cấu trúc của bộ điều khiển bền vững và bài toán
thiết kế bộ điều khiển bền vững đã được trình bày một cách vắn tắt trong chương 1.

21


CHƢƠNG 2: XÁC ĐỊNH MỘT TRỊ CỰC TIỂU NON
VÀ ỨNG DỤNG VÀO KIỂM TRA TÍNH
ỔN ĐỊNH BỀN VỮNG HỆ TUYẾN TÍNH
CÓ THÔNG SỐ BẤT ĐỊNH

Nội dung chương này là một đề xuất của NCS sử dụng phương pháp phủ tuyến tính
xác định một trị cực tiểu non. Trị cực tiểu non được dùng để kiểm tra tính ổn định bền
vững hệ tuyến tính có thông số bất định. Để có thể làm rõ hơn được ý nghĩa của phương
pháp này, trước khi đi vào phần khái niệm, cách xác định một trị cực tiểu non và ứng dụng
vào kiểm tra tính ổn định bền vững của hệ có thông số bất định, luận án sẽ giới thiệu tóm
tắt phần nội dung cơ bản nhất của các phương pháp kiểm tra tính ổn định bền vững đã có,
đưa ra những nhận xét về ưu điểm và những khó khăn cần khắc phục.

2.1

2.1.1

Tổng quan về ổn định bền vững cho hệ tuyến tính có thông số
bất định
Bài toán kiểm tra tính ổn định bền vững hệ tuyến tính có thông số
bất định

Một hệ thống tuyến tính liên tục SISO, bao gồm đối tượng tuyến tính mô tả bởi hàm
truyền P (s ,q ) có chứa thông số bất định (hình 2.1), hoặc ở dạng phương trình trạng thái có

các ma trận hệ số chứa thông số bất định A(q ); b (q ); c (q ) (hình 2.2).

r

e

Bộ điều
khiển

u

C (s )

Đối tƣợng
điều khiển

y

P (s ,q )

Hình 2.1: Sơ đồ cấu trúc tối giản hệ điều khiển phản hồi đầu ra
Hình 2.1 là sơ đồ điều khiển phản hồi đầu ra y dạng tối giản của hệ SISO, trong đó
cả đối tượng điều khiển và bộ điều khiển được biểu diễn dưới dạng hàm truyền. Tín hiệu
đặt r là tín hiệu mong muốn mà đầu ra y của hệ cần phải bám theo. Giả thiết hàm truyền
22


P (s ,q ) của đối tượng là hàm thựchữu tỷ, tức là có dạng hai đa thức chia cho nhau và hệ
số của các đa thức này đều là số thực:
P (s ,q ) 

N p (s ,q )

(2.1)

Dp (s ,q )

và một bộ điều khiển tuyến tính có hàm truyền là C (s ) , do đây là bộ điều khiển tuyến tính
nên C (s ) cũng ở dạng thựchữu tỷ, có hàm truyền:

C (s ) 

Nc (s )
.
Dc (s )

(2.2)

với các thành phần N p (s ,q ), Dp (s ,q ), Nc (s ), Dc (s ) trong (2.1) và (2.2) đều là các đa thức
theo biến s . Trong trường hợp như vậy hàm truyền của hệ kín:
G (s ,q ) 

C (s )P (s ,q )
1  C (s )P (s ,q )



b0 (q )  b1 (q )s 

 bm (q )s m

a0 (q )  a1 (q )s 

 an (q )s n

, m n

(2.3)

cũng sẽ có dạng thựchữu tỷ, có hệ số phụ thuộc thông số bất định q và có đa thức đặc
tính của hệ kín là:

(s ,q )  Dp (s ,q )Dc (s )  N p (s ,q )N c (s )
 a0 (q )  a1 (q )s 

 an (q )s n

(2.4)

Nhiệm vụ bài toán xét tính ổn định bền vững của hệ kín này là kiểm tra tính Hurwitz của
đa thức đặc tính (s ,q ) (còn gọi là đa thức đặc trưng), tức là phải kiểm tra xem nghiệm
của đa thức (s ,q ) có nằm bên trái trục ảo với mọi thông số bất định q Q thuộc miền Q
hay không. Nếu điều đó là đúng thì hệ kín ở hình 2.1 được gọi là ổn định bền vững và đa
thức đặc tính (s ,q ) được gọi là Hurwitz chặt.
Với hệ mô tả dưới dạng phương trình trạng thái (2.5) thì hệ điều khiển có thể xây dựng ở
dạng phản hồi trạng thái R cho ở hình 2.2 hoặc phản hồi đầu ra như ở hình 2.3. Phương
trình trạng thái của hệ được biểu diễn như sau:

z  A(q )z  b (q )u


T
y  c (q ) z

(2.5)

trong đó:
 z (t ) là vector trạng thái. Các phần tử của vector trạng thái được gọi là các trạng thái
của hệ. Số chiều của vector các trạng thái z được gọi là bậc của mô hình.
 r (t ) là tín hiệu đặt (reference signal)
 u (t ) là tín hiệu đầu vào, y (t ) là tín hiệu đầu ra của hệ.

23