Luận án tiến sĩ phát triển phương pháp phủ tuyến tính để kiểm tra tính hurwitz chặt và ứng dụng vào thiết kế tham số tối ưu trong điều khiển hệ tuyến tính bất định

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
BT: Bài toán
HTĐK: Hệ thống điều khiển
CL: Chất lượng
MH: Mô hình
ĐK: Điều kiện
MHBĐ: Mô hình bất định
ĐKBV: Điều khiển bền vững
PP: Phương pháp
ĐT: Đối tượng
QH: Qui hoạch
MHTSBĐ: Mô hình có thông số bất định
TSBĐ: Thông số bất định.
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Xây dựng hệ điều khiển (ĐK) cho một đối tượng (ĐT) thường dựa vào mô
hình (MH). Giữa MH và ĐT thật bao giờ cũng có sai lệch, do nhiều nguyên
nhân như: Phương pháp (PP) nhận dạng gần đúng, thông tin thu thập được
không đầy đủ, do xấp xỉ hoá các hiệu ứng phi tuyến... Sai lệch MH làm giảm
hiệu quả của hệ ĐK.
Để khắc phục phần nào ảnh hưởng do sai lệch MH gây ra, người ta có thể
dùng nhiều biện pháp khác nhau như ĐKBV với mô hình bất định (MHBĐ).
Khoảng 20 năm trở lại đây với sự phát triển của thiết bị tính, người ta mới
quan tâm nhiều đến việc phát triển những PP điều khiển bền vững (ĐKBV) với
mô hình bất định (MHBĐ) và ứng dụng loại ĐKBV vào những bài toán (BT)
thực tế.
MHBĐ thực chất là tập gồm vô vàn phần tử. Các PP phân tích và thiết kế
hệ với MHBĐ đều gặp khó khăn là phải xét mọi phần tử của tập MH này.
Đây là khó khăn thuộc về bản chất khi dùng MHBĐ. Các PP hiện có mới khắc
phục được khó khăn bản chất cho một số trường hợp đơn giản có cấu trúc bất
định dạng khoảng hay dạng tuyến tính với TSBĐ Q dạng hộp. Vì vậy cần có PP

thích hợp để dùng cho các trường hợp phức tạp hơn. Trong luận án này chọn
một hướng nghiên cứu nhằm phát triển một PP xác định tham số tối ưu cho bộ
ĐK áp dụng cho hệ SISO tuyến tính có TSBĐ đảm bảo thỏa mãn tính ổn định
bền vững và một số chỉ tiêu chất lượng (CL), khắc phục được một phần khó
khăn bản chất. Hướng nghiên cứu này có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực ứng
dụng MHBĐ vào ĐK các ĐT thực.
Mục tiêu của luận án
Mục tiêu của luận án là: Phát triển một PP nhằm khắc phục một phần khó
khăn khi sử dụng MH có TSBĐ với cấu trúc dạng đa thức và tập TSBĐ dạng
hộp. PP được áp dụng để kiểm tra tính Hurwitz chặt và để xác định tham số bộ
ĐKBV cho một lớp hệ SISO tuyến tính có TSBĐ đảm bảo thỏa mãn chặt điều
kiện ổn định và một số chỉ tiêu CL đề ra.
ĐT và PP nghiên cứu
ĐT nghiên cứu là hệ thống ĐKBV với MH tuyến tính có TSBĐ.
PP nghiên cứu: Tìm hiểu các PP hiện có tìm ra những khó khăn gặp phải
khi xét MH tuyến tính với TSBĐ, tìm cách khắc phục phần nào các khó
khăn đó.
1


2. Nội dung:
- Các PP xét sự ổn định bền vững, và một số chỉ tiêu CL của hệ.
- Các PP thiết kế bộ ĐKBV hiện có, những khó khăn và đề nghị cách khắc phục
một phần khó khăn đó.
- Các PP đưa BT thiết kế bộ ĐKBV cho ĐT có MH tuyến tính với TSBĐ về
một dạng BT tối ưu dạng qui hoạch nửa vô hạn (semiinfinite programming),
đảm bảo ổn định BV và một số chỉ tiêu CL đặt ra trước. Đề nghị PP tìm
nghiệm của BT này sao cho thoả mãn chặt các ràng buộc chứa TSBĐ nhờ
dùng khái niệm “một trị cực tiểu non”. PP được minh họa qua một số ví dụ.
3. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

Đề tài có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực ứng dụng MHBĐ vào ĐK các
ĐT thực, được thể hiện qua việc phát triển PP phủ tuyến tính để xác định được
một trị cực tiểu non MuN của cực tiểu toàn thể M cho một hàm g (q ) là đa thức
m

L

i 0

j 1

m

ij
dạng g (q )   gi q j và Q dạng hộp. Trị cực tiểu này có thể dùng để:

-

Kiểm tra tính thực dương chặt của hàm g (q ) dạng đa thức khi Q dạng hộp.

Kiểm tra sự thỏa mãn chặt điều kiện ổn định bền vững cho hệ thống có MH
tuyến tính với cấu trúc bất định dạng đa thức và Q dạng hộp.
Xác định tham số bộ ĐKBV nhờ đưa BT tối ưu về BT qui hoạch nửa vô
hạn và đề nghị một PP tìm nghiệm thoả mãn chặt điều kiện ổn định và CL
dạng đại số.
Những kết quả trên góp phần vào việc khắc phục khó khăn khi dùng MH có
TSBĐ. Do đó làm cho việc ứng dụng loại MH này vào những BT thực tế được
dễ dàng hơn.
4. Điểm mới của luận án
- Phát triển một PP phủ tuyến tính để xác định được một trị cực tiểu non MuN của

cực tiểu toàn thể M cho hàm g (q ) là đa thức và Q dạng hộp. Xây dựng thuật
-

toán 1 để xác định một trị cực tiểu non tiệm cận MuN. Tính tiệm cận và đánh giá
sai số gặp phải được xét qua định lý 1.
- Dùng MuN để kiểm tra tính dương chặt của một hàm g (q ) dạng đa thức và Q
dạng hộp. Do đó sử dụng MuN để kiểm tra sự thoả mãn chặt điều kiện ổn định
bền vững dạng đại số và tìm nghiệm của BT qui hoạch nửa vô hạn.
- Đưa việc xác định tham số bộ ĐKBV về BT tối ưu dùng qui hoạch phi tuyến
hoặc qui hoạch nửa vô hạn nên có điều kiện để xét tính ổn định bền vững và một
số chỉ tiêu CL như bám tiệm cận đầu vào, quá trình quá độ tắt với hệ số tắt 
lớn, hoặc dải bất định lớn nhất...
- Xây dựng một thuật toán dùng MuN ( x ) thay cho M( x ) để tìm nghiệm BT qui
hoạch nửa vô hạn nghiệm tìm được đảm bảo được sự thoả mãn chặt của ràng
buộc có TSBĐ. Chọn được PP hàm phạt sử dụng trực tiếp độ đo M uN ( x ) chỉ
tính được bằng số để tìm nghiệm của BT qui hoạch nửa vô hạn. Tính tiệm cận
2


và sai số gặp của BT này cũng được xét tới ở định lý 2. Một số ví dụ minh họa
được trình bày.
Một số kết quả của luận án đã được công bố trong các hội nghị khoa học
kỹ thuật hoặc tạp chí như: Tạp chí KH&KT Quân sự học viện KTQS số 173
(2015), số 175 (2016) và Hội nghị quốc tế về Điện-Điện tử 2016 (Regional
conference on Electrical and Electronics Engineering- RCEEE 2016). Trị MuN
được áp dụng để xét ổn định bền vững và xác định tham số tối ưu bộ ĐK mới chỉ
cho 1 trường hợp: Hệ ĐKBV SISO có TSBĐ với cấu trúc dạng đa thức và TSBĐ
q Q dạng hộp.
Bố cục của luận án: ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục,
luận án được chia thành 3 chương được trình bày riêng biệt ở phần sau:

CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HỆ ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮNG VỚI ĐỐI
TƢỢNG CÓ MH BẤT ĐỊNH
Hệ ĐKBV dựa trên MHBĐ
Xây dựng HTĐK cho một ĐT thường dựa vào MH, tùy vào đặc điểm của
ĐT người ta sử dụng loại MH thích hợp, giữa MH và ĐT thật bao giờ cũng có
những sai lệch, các sai lệch MH làm giảm hiệu quả của hệ ĐK, dùng MHBĐ
trong việc xây dựng hệ ĐK là một biện pháp hiệu quả để khắc phục các ảnh
hưởng đó.
1.1

1.1.1

Mô tả ĐT ĐK nhờ MHBĐ

MHBĐ là một tập MH (P0, P), với MH chuẩn P0 được xây dựng từ
những thông tin xác định, tồn tại sai lệch P là do thiếu thông tin hoặc dùng PP
nhận dạng gần đúng .... P thường không biết trước, tuy vậy việc phân tích và
thiết kế hệ thống ĐK cần đến một đánh giá định lượng về P ở dạng thích hợp
ví dụ dạng bị chặn của P (ví dụ: chuẩn |P|, ||P||, () ,…) hoặc ở dạng tập
biến thiên của TSBĐ. Để lập MHBĐ có 2 cách: Mô tả MH ĐT dưới dạng bất
định có cấu trúc và không có cấu trúc.
1.1.1.1 MHBĐ có cấu trúc

Ở bước nhận dạng ta xác định được cấu trúc của MH (bậc của tử số và
mẫu số hàm truyền của ĐT), dùng MH tuyến tính có hệ số không biến thiên theo
thời gian và thông số hóa độ bất định ta có được MH với TSBĐ, thông tin định
lượng về sai lệch MH P được thể hiện ỏ tập biến thiên TSBĐ q trong MH ĐT.

     q  s
s,q    q  s

m

 

Hàm truyền ĐT với TSBĐ có dạng: P s,q 

N P s,q
DP

k 0
n
i 0

q là véc tơ thông số biến thiên độc lập trong tập Q:

j

k

(1.1)
i

i

q  RL q  Q

(1.2)

Tập Q có thể có một số dạng (xem trong TL của M.Bozorg, P.Husek).
Trường hợp Q dạng hộp (box, hypercuble) được quan tâm nhiều trong hệ thống

ĐKBV:
3




Q  q q

 qj  qj

j



(1.3)

MH với TSBĐ cũng có thể mô tả dưới dạng hệ phương trình trạng thái:
z  A( q )z  b( q )u
; q Q
y  c( q )z

1.1.1.2 MHBĐ không có cấu trúc

(1.6)

Khi không thể sử dụng được MH thông số hóa (ĐT có trễ: Quá trình
nhiệt, quá trình xảy ra phản ứng hóa học…) ta có thể sử dụng MH không có cấu
trúc.
MH không có cấu trúc thường được mô tả dưới dạng sau:
Dạng cộng tính:

P(s)=P0(s)+Pa(s)
(1.7)
Dạng nhân tính:
P(s)=P0(s)[1+PM(s)]
(1.8)
Dạng chia tính:

P( s ) 

P0 ( s )
1  Pd ( s )

(1.9)

ĐT có sai lệch P dạng (1.7), (1.8), (1.9) sai lệch P (Pa, PM, Pd) chưa biết
cụ thể, thường được đánh giá qua hàm chặn (Bounded) với chuẩn thích hợp.Ví
dụ dạng chuẩn vô cùng :
(1.11)
P j 
 K j

 



 



Để mô tả hệ MIMO dưới dạng ma trận, người ta dùng hàm chặn dưới dạng

giá trị suy biến lớn nhất ( P ) , các giá trị K  j  , K  j  , ( P) được xác định ở


bước nhận dạng. MHBĐ không có cấu trúc cũng là một tập MH, ví dụ với sai lệch
nhân tính (1.8) và hàm chặn (1.10) tập MH có dạng:


  P




 K( j ) 
P0( j )

  0,  



P( j )  P0( j )

(1.12)

1.1.1.3 Lợi thế và khó khăn khi sử dụng MHBĐ

a) Những lợi thế: Kể được sai lệch MH, sự thay đổi thông số hoặc cấu trúc của
ĐT, tác dụng của nhiễu, hiệu ứng phi tuyến. Thành lập được các điều kiện ổn
định và CL một cách đơn giản hơn so với dùng các loại MH khác như phi tuyến,
ngẫu nhiên, mờ…
b) Những khó khăn: Khó khăn liên quan đến 2 việc là xác định MH (nhận dạng)

và xây dựng hệ ĐK:
Khó khăn trong việc xác định MHBĐ (nhận dạng ĐT) cho trường hợp MHBĐ
không cấu trúc ta phải xác định hàm chặn K(j) thuộc RH∞, với MHBĐ có cấu
trúc (MH có TSBĐ) ta phải xác định cấu trúc bất định và tập Q. PP xác định
MH (nhận dạng ĐT) nằm ngoài phạm vi nghiên cứu của luận án.
Khó khăn trong việc kiểm tra điều kiện ổn định và CL:
 Dùng MHBĐ trong BT phân tích và tổng hợp bộ ĐK gặp khó khăn lớn là phải
xét mọi phần tử trong tập MHBĐ, đây là khó khăn bản chất (Khó khăn gây ra
do bản chất của MHBĐ). Đây là khó khăn buộc phải khắc phục khi giải các BT

4


ĐK. Các PP hiện có thường chỉ xét được một số hữu hạn phần tử do đó không
đảm bảo được sự thỏa mãn chặt điều kiện ổn định và CL của hệ ĐK.
 Luận án có mục tiêu khắc phục một phần khó khăn này cho hệ với MH tuyến
tính có TSBĐ, tạo điều kiện thuận lợi hơn cho việc dùng MHBĐ để ĐK một số
ĐT thực.
Hệ ĐKBV với ĐT có TSBĐ

1.1.2

Quỹ đạo mong muốn của ĐT thường là quỹ đạo tối ưu, được thể hiện ở tín
hiệu đặt. Quỹ đạo tối ưu có thể được xác định bằng các PP ĐK tối ưu
(Pontriagin, Bellman…) hoặc bằng PP chuyên gia. Khi xác định quỹ đạo mong
muốn thường chưa kể được tính ổn định. Vì vậy người ta phải xây dựng hệ ĐK
còn gọi là hệ điều chỉnh (Regulation System) để ổn định hóa quỹ đạo mong
muốn này và kỳ vọng thực hiện thêm được một số chỉ tiêu CL khác, dẫn đến các
nhiệm vụ dưới đây.
1.1.2.1 Nhiệm vụ của hệ ĐKBV

NV1: Ổn định hóa quỹ đạo mong muốn
NV2: Thực hiện một số tiêu chí CL đặt ra: (CL2-1) Giảm ảnh hưởng của sai
lệch MH, (CL2-2) Bám đầu vào tốt, (CL2-3) Giảm tác dụng của nhiễu, (CL2-4)
Giảm tác dụng của sai số đo, (CL2-5) Quá trình quá độ tắt nhanh nhất, (CL2-6)
Độ quá điều chỉnh, thời gian điều chỉnh ngắn nhất, (CL2-7) Độ sai lệch xác lập
nhỏ nhất...
Ngoài ra còn phải kể đến một số tiêu chí CL khác như tính khả thực trong
việc vận hành hệ thống. Chưa có một PP thiết kế nào có thể đảm bảo tất cả chỉ
tiêu CL mong muốn kể trên.
1.1.2.2 Cấu trúc của hệ ĐKBV

Hệ ĐKBV SISO thường được xây dựng theo nguyên tắc phản hồi và
thường dựa trên MH của ĐT theo cấu trúc kinh điển (Classic Control) hay cấu
trúc ĐK theo MH nội (IMC: Internal Model Control).
r
e

C

u

d
P

r
y

e

-

C

u

d

-

~
P

n
Hình 1.5: Cấu trúc hệ điều khiển
SISO kinh điển

y

P

~y
-

n

Hình 1.6: Cấu trúc hệ điều khiển SISO
theo MH nội

Hình 1.5 và 1.6 là các sơ đồ cấu trúc hệ ĐK SISO kinh điển và hệ ĐK SISO

theo MH nội. Trong đó: P là ký hiệu của ĐT thực, P là MH của ĐT, C hay R là
bộ ĐK.
Hệ ĐKBV SISO cũng có thể biểu diễn ở dạng phương trình trạng thái với
z  A( q )z  b( q )u

y  c( q )z
u  R( k )z



bộ ĐK hồi tiếp trạng thái như (1.13):

5

(1.13)


1.2 Vấn đề ổn định bền vững
Ổn định là điều kiện cần để một hệ thống động vận hành. Hệ thống được
gọi là ổn định nếu đa thức đặc trưng ( s, q) của hệ là Hurwitz. Hệ được gọi là
ổn định bền vững nếu nó ổn định với q  Q . Tổng quan về các PP nghiên cứu
ổn định bền vững cho hệ SISO tuyến tính có TSBĐ trong các tài liệu của
Nguyễn Thế Thắng, Phạm Văn Minh, M. Bozorg, Petr Husek…Điều kiện ổn
định bền vững thường được xét bằng các PP gián tiếp theo các tiêu chuẩn ổn
định.
Do bản chất của MH có TSBĐ tất cả các PP nghiên cứu ổn định bền vững
đều phải xét điều kiện ổn định có được thỏa mãn với q  Q hay không? Đây là
khó khăn về bản chất mà tất cả các PP xét ổn định bền vững hiện có đều phải
khắc phục.
Chương 2 cho một tổng quan ngắn gọn về ổn định bền vững và giới thiệu

một PP kiểm tra ổn định BV đảm bảo khắc phục được khó khăn về bản chất của
bài toán kiểm tra ổn định BV.
1.3. Vấn đề thiết kế bộ ĐKBV cho đối tƣợng có TSBĐ
Nhiệm vụ thiết kế hệ ĐK cho ĐT có TSBĐ bao gồm xác định cấu trúc
của hệ, của bộ ĐK và xác định tham số của bộ ĐK để hệ ĐK ổn định bền vững
và thỏa mãn một số CL. Khi đã chọn được cấu trúc, nhiệm vụ thiết kế hệ ĐK chỉ
còn việc xác định tham số của bộ ĐK.
mc

 





Hệ có MH ĐT là P s,q , bộ ĐK dạng: C s, x 

j
 c js

j 0
nc

(1.14);

i
 dis

i 0



x  c0 ,c1,..,cm ,d0 ,d1 ,..,dn
c

c

 là véc tơ tham số của bộ ĐK và là ẩn số của BT thiết
T

kế bộ ĐKBV. Hệ ĐK SISO cũng có thể dùng phương trình trạng thái (1.13) với
phản hồi đầu ra (hình 1.8) hoặc phản hồi trạng thái tĩnh R( k )  k1,k2 ,..,kn  với:
T

 

 

 

1

 

P s,q  c T q sI  A q  b T q



(1.15) véc tơ tham số x của bộ ĐK cần

được xác định để hệ ĐK ổn định và đạt một số CL.

r

e

Bộ điều
khiển

u

Đối tƣợng
điều khiển

C (s , x )

y

P (s ,q )

Hình 1.8: Sơ đồ cấu trúc tối giản hệ SISO dạng hàm truyền có phản hồi đầu ra
- Trường hợp ĐT được mô tả bằng MHBĐ không có cấu trúc: Độ bất định được
thể hiện ở hàm chặn K(j) dạng (1.10), (1.11). Các PP đánh giá ổn định và
6


thiết kế bộ ĐK đều sử dụng hàm chặn, nên PP tần số, đặc biệt là PP H được
sử dụng rộng rãi.
- Trường hợp ĐT với MHBĐ có cấu trúc, từ tập Q xác định hàm chặn K(j) là
một việc khó khăn nên việc sử dụng tiêu chuẩn dạng tần số kết hợp với PP H

cho việc thiết kế bộ ĐK là không hợp lý (Grimbele M., Th.E. Djaferis).
Do bản chất của MHBĐ nên mọi PP thiết kế bộ ĐKBV đều gặp khó khăn bản
chất. Trường hợp TSBĐ thì phải xét với q  Q . Đây là khó khăn thuộc về bản
chất khi dùng MHBĐ mà mọi PP thiết kế bộ ĐK đều phải tìm cách khắc phục.
Chương 3 cho một tổng quan về xác định tham số bộ ĐKBV và giới thiệu một
PP tối ưu xác định tham số bộ ĐKBV đảm bảo thỏa mãn chặt ĐK ổn định và
chất lượng.
1.4. Kết luận chƣơng 1
ĐK dựa vào MHBĐ làm giảm tác dụng của sai lệch MH ĐT có nhiều ý
nghĩa trong thực tiễn. Việc thiết kế bộ ĐKBV hay xác định tham số cho bộ ĐK
khi hệ có MHĐT tuyến tính chứa TSBĐ phải thỏa mãn cả 2 yêu cầu là: ổn định
bền vững và đạt được một số tiêu chí CL đặt ra với q  Q .
CHƢƠNG 2: XÁC ĐỊNH MỘT TRỊ CỰC TIỂU NON VÀ ỨNG DỤNG
VÀO KIỂM TRA TÍNH ỔN ĐỊNH BỀN VỮNG HỆ TUYẾN TÍNH CÓ
THÔNG SỐ BẤT ĐỊNH
2.1 Tổng quan về ổn định bền vững cho hệ tuyến tính có TSBĐ
2.1.1 Bài toán kiểm tra tính ổn định bền vững hệ tuyến tính có TSBĐ

Một hệ thống tuyến tính liên tục SISO với ĐT tuyến tính mô tả bởi hàm
truyền P (s ,q ) có chứa TSBĐ (hình 2.1), hoặc dạng phương trình trạng thái.
Giả thiết:

P (s ,q ) 

N p (s ,q )
Dp (s ,q )

C (s ) 

(2.1);

N c (s )
Dc (s )

(2.2)

hàm truyền của hệ kín:
G (s ,q ) 

C (s )P (s ,q )
1  C (s )P (s ,q )



b0 (q )  b1 (q )s 
a0 (q )  a1 (q )s 

 bm (q )s m
 an (q )s

n

, m n

(2.3)

có hệ số phụ thuộc TSBĐ q và có đa thức đặc tính là:
(s ,q )  Dp (s ,q )Dc (s )  N p (s ,q )Nc (s )  a0 (q )  a1(q )s 

r

e

Bộ điều khiển

C (s )

u

Đối tƣợng
điều khiển

 an (q )s n

y

P (s ,q )

Hình 2.1: Sơ đồ cấu trúc tối giản hệ điều khiển phản hồi đầu ra

7

(2.4)


Xét tính ổn định BV của hệ kín là kiểm tra tính Hurwitz của (2.4) q Q ,
nếu đúng thì hệ kín ổn định bền vững và đa thức đặc tính (s ,q ) được gọi là
Hurwitz chặt.
Khi hệ mô tả dưới dạng phương trình trạng thái (1.13) thì hệ ĐK có thể ở
dạng phản hồi trạng thái R. Hàm truyền của ĐT ĐK được xác định như sau:



P (s ,q )  c (q )T sI  A(q )



1

b (q )

và bộ ĐK phản hồi trạng thái tĩnh chọn trước: R  k1, k2 ,  , kn  (2.5) thì đa
thức đặc tính của nó sẽ là:
(s ,q )  det sI  A(q )  b (q )R   a0 (q )  a1 (q )s 

 an (q )s n

(2.7)

Với phương trình trạng thái ta cũng có thể xây dựng hệ ĐK với phản hồi



đầu ra như hình 2.1. Với MH của ĐT: P (s ,q )  c (q )T sI  A(q )



1

b (q ) và đa thức

đặc trưng sẽ là (s ,q )  det sI  A(q )  b (q )C (s )c  . Xét tính ổn định bền vững


T

của hệ với phương trình trạng thái cũng có thể đưa về việc kiểm tra tính Hurwitz
chặt của đa thức (s ,q ) với q Q .
2.1.2
Một số PP điển hình đã có để kiểm tra tính ổn định bền vững
của hệ tuyến tính chứa TSBĐ

Hiện đã có nhiều PP kiểm tra tính Hurwitz chặt của đa thức (s ,q ) ở (2.4),
(2.7). Dựa vào cấu trúc của ai (q ) trong (2.7) mà phân loại đa thức thành:
1. Đa thức khoảng (Interval polynominal) có các giá trị ai (q ) biến thiên độc lập
trong khoảng compact:

a i  ai (q )  ai , i  0,1,

,n

(2.8)

2. Đa thức có cấu trúc bất định tuyến tính (linear uncertainty): có hệ số
ai (q ) phụ thuộc tuyến tính vào các TSBĐ q j , j  0,1,  , L .
3. Đa thức có cấu trúc bất định đa tuyến tính (multilinear uncertainty): có hệ số
Mi

L

k 0

j 1

mik j

ai (q ) là hàm đa tuyến tính của q : ai (q )   aik  q j

;

mik j  0, 1

(2.9)

4. Đa thức có cấu trúc bất định phi tuyến (nonlinear uncertainty): ai (q ) là hàm
phi tuyến của một đối số q.
5. Đa thức có cấu trúc bất định polynomic: là đa thức bất định phi tuyến có ai (q )
dạng (2.9) các hệ số aik  const và ít nhất có 1 giá trị nguyên dương mik j  1 .
Để phân tích ổn định của hệ SISO tuyến tính có thông số bất định ta có thể
dùng PP tần số (hình học), PP đại số hay PP H  . PP H không tiện dùng cho
cách tiếp cận thông số (Grimbele M., Th.E. Djaferis). PP nghiên cứu ổn định
bền vững của đa thức (2.4) hoặc (2.7) có thể phân thành các nhóm sau:

8


2.1.2.1 PP đưa về xét ổn định một số hữu hạn đa thức không chứa TSBĐ.

PP dùng cho trường hợp đa thức khoảng, dùng tiêu chuẩn Kharitanov hay
trường hợp cấu trúc tuyến tính dùng định lý cạnh dẫn tới xét một số hữu hạn đa

thức không chứa TSBĐ q, nên xét được sự thỏa mãn chặt điều kiện ổn định BV.
Để kiểm tra ổn định bền vững của (s, q) với cấu trúc dạng multilinear,
dạng đa thức polynomic, dạng phi tuyến người ta có thế dùng ĐK ổn định dạng
đại số hay ĐK tần số (hình học).
2.2.2.2 PP tần số

Dựa vào việc vẽ họ đặc tính tần trong mặt phẳng phức (value set: VS) của
(j, q) với qQ và [0, ) theo nguyên tắc loại trừ điểm zero ta nhận ra
hệ có ổn định bền vững hay không như Barmish, Bozorg, Husek, Djaferis. Tập
VS của (j, q) thường rất phức tạp, nên phải vễ gần đúng và thường tìm một
tập phủ bao lấy nó (over bound region), nhờ những kỹ thuật khác nhau.
Trường hợp bất định dạng đa tuyến tính với Q dạng hộp nhờ mapping
theorem ta có thể xây dựng một miền phủ lồi (convex hull) của (j, q) dựa vào
các đỉnh của Q, nhưng về nguyên tắc vẫn phải xét với [0, ). Dùng tập phủ
ta sẽ có một ĐK đủ của ổn định. Cũng có thể vẽ VS của hàm truyền hệ hở
G0(j, q)=C(j, q).P(j, q) rồi dùng tiêu chuẩn Nyquyst ta có ĐK đủ của sự ổn
định.
PP tần số là PP hữu hiệu để đơn giản hoá cách xét ảnh hưởng của các
thông số bất định, vì nó cho phép đơn giản hoá cách xét tác dụng của thông số
bất định từ không gian thông số Q có L chiều về không gian 2 chiều (trong mặt
phẳng phức). Cho phép ta dùng khái niệm ổn định trong miền D để có thể kể
đến một số CL vào ĐK ổn định.
Tuy vậy PP dùng VS có một số khó khăn sau: Bằng trực giác quan sát xem VS
có chứa điểm zero không rồi rút ra thông tin về ổn định bền vững của hệ. Khó
định nghĩa được một độ đo (số hoá) thông tin ổn định. Độ đo này sẽ cần đến khi
xác định tham số x của bộ điều khiển C(s, x) nhờ PP tối ưu hoá.
Một khó khăn khác của PP dùng VS là trên thực tế khi vẽ VS ta phải rời
rạc hoá (băm) tập Q và giá trị  và chỉ xét được một số hữu hạn qhQ và h[0,
). Như vậy có khả năng bỏ xót những điểm ở đó hệ không ổn định (xem phụ
lục) và kết luận về ổn định của PP VS gây ra sai lầm. Nếu dùng một PP phủ ta

chỉ được một điều kiện đủ của ổn định.
2.1.2.3 PP đại số

Là các PP dùng điều kiện ổn định bền vững có thể kiểm tra được bằng các PP
đại số. Các PP đại số được áp dụng cho đa thức đặc trưng hoặc phương trình
trạng thái.
1) Với cấu trúc ai (q ) phi tuyến: Đưa về đa thức khoảng, sau khi xác định được cực
trị toàn thể: a i , ai trên tập Q , và coi ai (q ) biến thiên độc lập trong khoảng

9


a i  ai (q )  ai , rồi dùng tiêu chuẩn Kharitonov. PP có thể bỏ sót trường hợp

(s ,q ) thoả mãn điều kiện ổn định, thu hẹp lớp controller của hệ.

2) Dùng tiêu chuẩn Routh hoặc Hurwitz ta đưa điều kiện cần và đủ của ổn định về
việc xét tính dương chặt của hàm gk (q )  0 (2.11). Khi đa thức dạng polynomic
mk

L

i 0

j 1

thì gk (q ) đưa về dạng: gk (q )   gki q mj kij  0 (2.12)
3) Ở dạng phương trình trạng thái có thể dùng tiêu chuẩn ổn định dạng Kronecker,
Lyapunov Matrix hoặc Bialtermat (Xem R.K Yedavalli 2014) ta đưa việc xét ổn
định về việc kiểm tra tính dương của 1 hàm g (q ) .

4) Một số công trình dùng hàm Lyapunov (như của Figuroa J.L and J.A
Romagloni, RCL.F Oliveira, Svetoslav Savov, Ivan Popchev) để có điều kiện đủ
dạng đại số của ổn định tuỳ thuộc vào hàm Lyapunov của hệ.
5) Kiểm tra ổn định BV của (2.7), dẫn đến xét tính dương chặt của (2.12). Galoff.
J, Zettler, đưa g (q ) về tổ hợp convex của đa thức Berntein và rút ra một điều
kiện đủ cho tính dương của hàm g (q ) điều này làm thu hẹp lớp (s ,q ) thoả mãn
ĐK ổn định BV.
2.2 PP tiệm cận kiểm tra tính dƣơng chặt của hàm số chứa TSBĐ
Dùng một tiêu chuẩn đại số kiểm tra ổn định bền vững sẽ dẫn tới nhiệm vụ
kiểm tra tính dương chặt của một số hữu hạn hàm g k (q ) với q Q . Để đơn
giản trong trình bày ta xét 1 hàm g (q ) dạng đa thức (2.13) chứa TSBĐ (2.14):
m

L

i 0

j 1

mij

g (q )   gi  q j

(2.13);





Q  q  (q1,  ,qL )T q j  q j  q j , j  1, 2,  , L

(2.14)

Trong không gian Q ta chỉ có thể xét được hữu hạn điểm nên không đủ tin
cậy để kiểm tra tính dương chặt của hàm g (q ) , ví dụ PP của Wang I, Yu.S, Y.
Kuroiwa, Yuwensheng Wanglong, Jiergen Ackermann....
Có một hướng khác để xét tính dương của g (q ) thông qua việc là xác định
cực tiểu toàn thể M của g (q ) với q Q : M  min g (q )
qQ

(2.16). Tính dương

của g (x ) được xét qua việc tính xem M có dương hay không.
Các PP tiến hành trong không gian Q cho một trị gần đúng trội (upper
bound, over minimal estimated value): M 0  M .
Dùng trị gần đúng trội M 0 không thể kiểm tra được tính dương chặt của
(2.13) (2.14). Vì không chắc tìm được M nên ta tìm một trị gần đúng non
(Lower bound, under estimated minimal value) Mu: M u  M (2.21). Hiện nay,
có một số PP cho việc xác định được một hoặc một dãy cực tiểu non MuN tiệm
cận với cực tiểu toàn thể M (hình 2.4): M uN  M và lim M uN  M
(2.22)
N 

10


M0

M0N

M
MuN

Mu
1

N

Hình 2.4: Biểu diễn tính tiệm cận của cực tiểu trội M0N và cực tiểu non MuN
Nhóm PP chuyển không gian “Relaxation methods” cho lớp BT tối ưu
hóa đa thức POP (polynomial optimization problem) cho ta một trị cực tiểu non
(2.22), tổng quan về nhóm PP này trong các công trình của Deren Han, G.
Chesi. Hiện nay, được chú ý nhiều là PP chuyển không gian ở qui hoạch nửa vô
hạn SDP (semidefinite programming relaxation) của Lassere và Parrilo. Về lý
thuyết sẽ cho ta nghiệm của POP dưới dạng một dãy MuN tiệm cận với cực tiểu
toàn thể M.
Dựa vào các công cụ toán học như: Probability measure and its moment;
tuyến tính hóa đa thức, SDP, SOS (sum of square), LMI (linear matrix
inequelity). PP SDP relaxation chuyển BT POP (2.13), (2.14), (2.16) là tối ưu
hóa không lồi (non-convex optimization) về một dãy BT lồi (convex) dạng SDP
và có thể dùng LMI để tìm nghiệm của SDP. PP cũng đã có một số phần mềm
để thực hiện như của Herion, JB. Lassere, Johan Loefberg, J. Heller 2016. Tuy
vậy, PP chỉ ở giai đoạn phát triển ban đầu nên còn nhiều khó khăn cần phải khắc
phục, nên hiện nay chưa tiện dùng cho các kỹ sư.
Nhiệm vụ của luận án là xác định tham số bộ ĐKBV cho MH ĐT tuyến tính
với cấu trúc bất định dạng polynomic và tập Q dạng hộp. Nhiệm vụ trên dẫn đến
việc kiểm tra tính dương chặt của g (q ) dạng polynomic (2.13) với Q (2.14), ta
phải có PP xác định trị gần đúng non dạng (2.21) hoặc (2.22) một cách đơn giản
hơn để các kỹ sư dễ dàng sử dụng. Dưới đây luận án sẽ trình bày một PP phủ
tuyến tính để xác định cực tiểu non tiệm cận MuN.

2.2.1
Một trị cực tiểu non
Xét BT (2.13) với g (q ) dạng polynomic và TSBĐ Q dạng hộp (2.14):






m L m 
g(q)  min   gi  q j ij  ; Q  q  (q1,  ,qL )T q j  q j  q j , j  1, 2,  ,L (2.23)
M  min
q Q
q Q
 i  0 j 1 


BT (2.23) dạng BT không lồi (non convex problem), chưa có PP nào đảm
bảo tìm được cực tiểu toàn thể M. Để kiểm tra tính dương của g (q ) với q Q
ta cần xác định một trị cực tiểu non M u (2.21) hay (2.22) vì nếu M u  0 thì
M  0 tức là g (q )  0 với q Q , ta gọi đó là tính dương chặt của hàm g (q ) .
Muốn vậy ta tìm cách chuyển (ánh xạ, relaxation) BT (2.23) từ không gian Q
11


sang không gian Y để xác định được một trị gần đúng non M u  M (2.21), hoặc
một dãy cực tiểu non tiệm cận M uN (2.22).
2.2.1.1

Xác định một trị cực tiểu non bằng PP phủ tuyến tính

Để xác định được cực tiểu non M u ta cần các giả thiết sau:
1) Giả thiết 1 (GT2-1): Hàm g (q ) có dạng đa thức (2.13) .
2) Giả thiết 2 (GT2-2): Tập Q có dạng hộp (2.14), qj , q j là số thực không âm.
3) Giả thiết 3 (GT2-3): m, L,mij là những số tự nhiên, nguyên dương hữu hạn.
L

Dùng phép đổi biến số: y  1; y (q )   q mij
0
i
j

(2.28)

j 1

Khi đó hàm g (q ) trở thành hàm tuyến tính F( y ) trong không gian Y:
m

L

i 0

j 1

mij

g (q )   gi  q j

m

  giyi (q )  F (y )

(2.29)

i 0

Và tập Q trong không gian Q trở thành tập Y trong không gian Y:
L m


Y  y yi  yi (q )   q j ij ; 0  qj  q j  q j  (2.30)
j 1


Và BT tối ưu (2.23) được chuyển sang không gian Y trở thành:
L
m



m

F( y)  m in  giyi(q); Y  y yi  yi(q)   q j ij ; 0  qj  q j  q j 
M  my in
Y
y Y i 1
j 1






(2.31)

Phép đổi biến số (2.28) chuyển một điểm q h  Q thành một điểm y h Y , khi q h
quét và điền đầy tập Q thì ảnh y h của nó sẽ tạo thành tập Y Y (tức là nằm trù
mật trong tập Y ).
L m


Y  y yi  yi (q )  q j ij ; q Q 
j
1



Tập Y có dạng:



(2.32)

các biến yi q phụ thuộc vào biến q (2.28). Trị số hàm F( y ) và ràng buộc
Y cũng được xác định qua biến q . Hàm g (q ) và F( y ) (2.29) là các hàm liên

tục, tập Q (2.14) và Y (2.32) là tập compact, theo định lý Weierstrass BT (2.23)
và BT (2.31) phải có nghiệm và tồn tại cực tiểu toàn thể M. Trị M xác định theo
BT (2.23) trong không gian Q và cũng có thể xác định theo BT (2.31) trong
không gian Y: M  MQ  min g (q )  min F (y )  MY (2.33). Trường hợp biết Y Y là

qQ

yY

tập convex thì BT (2.31) có dạng qui hoạch lồi (convex programming), dùng
một PP hiện có cho BT convex về nguyên tắc ta tìm được trị cực tiểu toàn thể
M  MY . Nhưng tập Y ở dạng thông số (2.32) nên rất khó biết tính convex của
Y, khi không biết Y là tập convex thì BT (2.31) không chắc là BT convex, nên ta
có thể dùng PP phủ tuyến tính để tìm một trị cực tiểu non M u của MY

12


 

( Mu  M ). Các hàm yi q

tăng đơn điệu theo q nên trong tập Q dạng hộp

(2.14) ta tìm được trị cực tiểu toàn thể (infimum) yi và trị cực đại toàn thể
(suprimum) yi : yi  m in yi(q); yi  max yi(q) (2.34). Tập Y (2.32) có thể viết
q Q

dưới dạng:

q Q


 yi  yi  yi 


Y  y

y

y
(
q
)
i
i





(2.35). Trong không gian Y, lập một tập H phủ





lên tập Y (hình 2.6): H  y 0  yi  yi  yi (2.36). Ta có: Y  H (2.37).
y2

q2

H

y2

q2

Q

Q
q2

Y

H

yi  yi (q ) (2.28)

q1

q1

y2

Y
y1

y1

y1

y1

Hình 2.6: Minh họa phép chuyển tập ràng buộc Q  Y và phép phủ tuyến tính Y
bằng H

Trong tập H ta xác định cực tiểu toàn thể M của F  y  :
m

M u  min F(y )  min  giyi (q ) (2.38). Từ (2.31), (2.38) và (2.37) theo nguyên lý
yH

yH i 1

của cực trị có ràng buộc ta có: Mu  M (2.39), với Mu là một trị cực tiểu non của
M. Nếu chỉ dùng một tập phủ H lên tập Y thì M u có thể khá xa với giá trị thật
M. Dưới đây sẽ giới thiệu cách phủ tiệm cận để được một trị gần đúng non tiệm
cận.
2.2.1.2 Khái niệm và cách xác định một trị cực tiểu non tiệm cận M uN

Chia cạnh q j của hộp Q thành N phần bằng nhau, ta thu được NL hộp
con Q v :

Q

NL

Qv

(2.40)

v 1

Mỗi hộp Q v được xác định như sau:
q q v j  q  q v j 

j
j


j
Qv  

v

1..
N
,
j

1..
L


 j

q j  qj
q j  qj
 vj
v
; q j j  qj  v j
;
qj  qj  (v j  1)
N
N


q v j  q v j 1;
v j  1, 2.., N ;
j  1, 2,.., L;
j
 j

13

(2.41)

(2.42)


Nhờ (2.28), với mỗi tập Q v ta lập tập Y v trong Y:
v
v


 yi  yi (q ) 
 
 yi  yi  yi 

v

  y

Y  y
v
q Q
yi  yi (q ) 






 


v

1,
2..,
N
;
j

1,
2,..,
L
;
i

1,
2,..,
m

j




L

(2.43)

 
v

Trong đó các giá trị: yiv  minv yiv( q )   qj j



Ta có: Y 



NL
vj 1,..,N
j 1,..,L

Yv

q Q

(2.45);

j 1

mij

L

 
v

; yiv  maxv yiv( q )   q j j
q Q

j 1

mij

M  min M v

 v
m

M  minv g(q)  minv   giyi 

q Q
y Y  i  0

v j  1, 2,..,N ; j  1, 2,..,L; i  1, 2,..,m


(2.44)
(2.46)

Ở không gian Y ta lập tập phủ tuyến tính H v cho mỗi Y v : H v  yiv  yi  yiv  (2.47)
Khi đó tập H sẽ gồm các tập con H v :

H

NL
vj 1,..,N
j 1,..,L

Hv

(2.48)

Tiếp đến ta xác định cực tiểu của F( y ) trên mỗi hộp H v và trên hộp H:



m
Muv  minv F y  minv   giyi  ; v j  1,.,N; j  1,..,L; i  1,.,m
y H
y H  i 1


Và:



MuN  min F y  min Muv ; vj  1, 2,..,N; j  1, 2,..,L;
y H

v

(2.49)
(2.50)

Khi N tăng lên ta được một dãy (sequence) trị gần đúng MuN. Đây là một trị cực
tiểu non tiệm cận (asymptotical lower bound sequence-asymptotical under
estimated minimal value). Gắn với MuN ta có các kết quả như ở định lý 1.
Định lý 1: Nếu các giải thiết (GT2-1), (GT2-2), (GT2-3) được thỏa mãn, trị cực
tiểu non MuN được tính theo (2.49), (2.50) thì ta có các kết quả sau:
- KQ1: MuN là một trị gần đúng non (cực tiểu non), MuN  M
(2.51)
-

KQ2: Theo sự tăng của số khoảng chia N, giá trị MuN là một dãy tăng đơn
MuN  MuN
điệu không giảm, nghĩa là nếu N2 ≥ N1 thì:
(2.52)

-

KQ3: Giá trị M có tính tiệm cận, nghĩa là:
uN

-

KQ4: Giá trị cực tiểu non được tính theo (2.54), (2.55):

1

m
 v

gi  iv
M u  i
1

M
 min M uv
 uN
v  1, 2,..,N ; j  1, 2,..,L

 j

(2.54);

N 

 v  y v khi g  0
i
i
i

 v
v
 i  yi khi gi  0
 v
 1

 0

Với các giá trị yiv ; yiv xác định theo (2.44) 

14

2

lim MuN  M

(2.53)

(2.55)


Thuật toán tìm trị cực tiểu non

2.2.2

Nội dung thuật toán

2.2.2.1

Dùng kết quả ở định lý 1, ta lập thuật toán 1 để xác định một trị cực tiểu non
MuN cho bài toán (2.23):
Thuật toán 1: Cho các số liệu xuất phát: cp, số bước chia giới hạn NL…
Bước 1 (B1): Nhập sai số cho phép cp, số bước chia giới hạn (Limit) NL, gán
A0  N1  N L
Bước 2 (B2): -

Tính qjv j , q jv j theo (2.42) với j  1..L; v j  1..N .

-

Tính yiv j , yiv j theo (2.44);

-

Tính M uN theo (2.54), (2.55)

Bước 3 (B3): Kiểm tra điều kiện N=N1 nếu đúng chuyển sang bước 6, nếu
không thoả mãn chuyển sang bước 4.
Bước 4 (B4): Kiểm tra điều kiện:
bước tính thứ

và M uN

1

M uN  M uN
M uN

1

 cp , trong đó M uN là giá trị MuN ở

là giá trị MuN ở bước tính thứ

 1 . Nếu đúng thì

chuyển sang bước 7 nếu sai chuyển sang bước 5.
Bước 5 (B5): Kiểm tra điều kiện Nsai chuyển sang bước 8.
Bước 6 (B6): Tăng N theo hệ số A0: N 1  A0N với N 0  1;  0, 1, 2,... và

 

N  A0 , với A0 là hằng số nguyên dương, A0  2 chọn trước.

Bước 7 (B7): Nếu điều kiện ở bước 4 (B4) đúng, nhận MuN là nghiệm cần tìm.
Bước 8 (B8): Nếu các điều kiện ở bước 4 và 5 (B4, B5) sai. Kết luận không tìm
được nghiệm thoả mãn cp và NL. Nếu tiếp tục tìm MuN phù hợp cần phải thay
đổi giá trị cp hoặc giá trị NL giới hạn.
Ví dụ 2.1: Tìm M uN của M  min  20  40q  20q 2  ;Q  q q  0.5  q  1  q ,



qQ



Đặt y1  q , y2  q ta được: F (y )  20  40y1  20y2 . Khi đó tập Q chuyển
thành tập ràng buộc Y (là đoạn đường cong AB). Dùng tập phủ H phủ lên tập Y,
ta chuyển thành BT qui hoạch tuyến tính.
Dùng chương trình tính cực tiểu non MuN theo thuật toán đề xuất
2

N
M uN

102
34.8995

103

34.975

104
34.9999

105
34.99998

106
35

Từ kết quả tính ta thấy MuN  M từ dưới lên đã minh họa cho kết quả KQ2 (2.51)

15


g (q )

y2
g (q )  20  40q  20q 2

F (y )  20  40y1  20y2
H

40
1

35

B

2

Y2

Q Y  H
0,5625

20

D

y0  1, y1  q , y2  q 2

q
0

0.5

0.25
0

1

y1

A
0,5
0,75

1

Hình 2.9: Minh họa phép chuyển từ miền Q sang Y và tập phủ H của ví dụ 2.1
Trị cực tiểu non M uN được dùng để kiểm tra điều kiện ổn định bền vững và
cũng còn có thể dùng để giải bài toán tối ưu cho việc kiểm tra ổn định BV gắn
với một số chỉ tiêu chất lượng khác, có thể tìm thấy một số ví dụ về ứng dụng
này trong Tạp chí KHKT số 173(2015) và số 175(2016) của học viện KTQS.
2.3. Kết luận chƣơng 2



-

Phát triển PP phủ tuyến tính để tìm M uN của g q dạng đa thức, tập Q dạng hộp.

-

Dùng M uN để kiểm tra tính dương chặt của hàm g q với q  Q . Do đó M uN

-

cũng kiểm tra ổn định bền vững của hệ có TSBĐ nhờ xét tính Hurwitz chặt.
Đưa việc kiểm tra ổn định bền vững về BT tối ưu, nhờ đó ngoài tính ổn định bền
vững còn kể thêm được một số chỉ tiêu CL khác như độ tắt của quá trình quá độ,
độ dự trữ ổn định bền vững…

 

CHƢƠNG 3: THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮNG CHO CHO ĐỐI
TƢỢNG VỚI MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH CÓ THÔNG SỐ BẤT ĐỊNH

3.1

Tổng quan về bài toán thiết kế hệ điều khiển bền vững

3.1.1

Giới thiệu chung

Hệ điều khiển bền vững có thể dựa trên nguyên lý phản hồi đầu ra (hình
1.8). Đối tượng điều khiển và bộ điều khiển có dạng hàm truyền. Tín hiệu đặt r
là tín hiệu mong muốn mà y của hệ cần phải bám theo. Hàm truyền
mp

P (s ,q ) dạng:

P (s ,q ) 

N p (s ,q )
Dp (s ,q )



j
 k  q  s

(3.1)

k 0
np

i
 i  q s

i 0

mc



với q  (q1 ,q 2 ,..,q j ,..,qL ) là véc tơ TSBĐ. Bộ ĐK: C s, x
T





 c js

j

j 0
nc

 dis

(3.2)
i

i 0



với x  c0 ,c1,..,cj ,..cm ,d0,d1,..,di ,..dn
c

c



T

là tham số của bộ điều khiển và cũng là ẩn cần tìm
16


trong BT xác định tham số bộ điều khiển bền vững. Hệ ĐKBV còn mô tả bằng
phương trình trạng thái:

z  A(q )z  b (q )u
(3.3); A(q ), b (q ), c (q ) chứa q  (q1 ,
,qL )T

T
y

c
(
q
)
z

;
u


Rz


Đối với hệ (3.3) thì đa thức đặc trưng của hệ kín là:
(s , x ,q )  det sI  A(q )  b (q )R   a0 (x ,q )  a1 (x ,q )s 

 an (x ,q )s n

(3.4)

Hệ (3.3) cũng có thể dùng cấu trúc phản hồi đầu ra như hình 3.3.
MHĐT:



P (s ,q )  c (q )T sI  A(q )



1

b (q ) 

Y
U

(3.5)

Đa thức đặc trưng của hệ kín là: (s , x ,q )  det sI  A(q )  b (q )C (s , x )c (q )T  (3.6)
Với MH ĐT đã cho, cấu trúc của hệ điều khiển và bộ điều khiển đã được
chọn trước thì bài toán thiết kế hệ điều khiển là xác định x để hệ ổn định bền
vững và thỏa mãn một số CL mong muốn.
Các PP phân tích, tổng hợp bộ điều khiển cần phải giải quyết khó khăn bản
chất. PP xét ổn định có ảnh hưởng lớn đến PP xác định tham số của bộ điều
khiển.
3.1.2

Một số PP xác định tham số bộ điều khiển bền vững

Grimbele và Djaferis đã chỉ ra đối với các PP nghiên cứu dựa vào hàm
chặn áp dụng cho MH TSBĐ là không hợp lý.
Một số PP xác định C (s , x ) thoả mãn ổn định trong miền D và dùng kỹ
thuật áp đặt điểm cực để kể thêm một số CL liên quan đến quá trình quá độ như
của Ranter, Figuroa, Romagloni, Hanpern, Kell, Brhattachayya, Bozorg,
Neimark.... Cũng có thể đưa CL của hệ kín vào miền D mong muốn. Đưa CL
vào miền D là khó, ít công trình kể thêm được những CL khác.
Th.E. Djaferis giới thiệu PP xác định C (s , x ) để hệ ổn định và kể thêm chỉ
tiêu CL bám đầu vào và giảm tác dụng của nhiễu.
Đối với hệ có TSBĐ về nguyên tắc ta có thể đưa ra được một số CL như:
Bám đầu vào (CL2-1), giảm tác dụng của nhiễu (CL2-2) và sai số đo (CL23)...nhờ vào hàm độ nhạy S và hàm bù độ nhạy T (M.Green, Limebeer).
Một số công trình đưa việc xác định C (s , x ) về BT tối ưu dạng qui hoạch
toán học (qui hoạch: tuyến tính, phi tuyến, nửa vô hạn, genetic) như của Nguyễn
Thế Thắng, Phạm Văn Minh, Bandler, Chen, Munro, Dahleh, Figuroa, Sekaj,
Sramek, Bozorg, Polak, Kajan, Savov, Teboule, Yashuki, Yeng, Soh...Tinh thần
chung là tìm cực tiểu của f (x ) với ràng buộc G1 (x ) xuất phát từ điều kiện ổn
min f (x )

định và G2 (x ) xuất phát từ CL có thể kể được:
(3.10)
xG1G2

Hàm mục tiêu f (x ) thường chọn từ một độ đo giới hạn ổn định bền vững
hay độ tắt của quá trình quá độ...Ví dụ chọn f (x ) như của Sekaj,Vesely,
Sramek, Bozorg, Olivera, Yeng, Soh.... PP gặp khó khăn trong việc thiết lập và
17


giải bài toán tối ưu sao cho thỏa mãn với q Q . M.Bozorg đã đưa ra PP xác
định bộ điều khiển C (s , x ) dẫn tới BT tối ưu dùng kỹ thuật áp đặt điểm cực để
tìm C (s , x 0 ) ổn định cho ĐT chuẩn P (s ,q 0 ) . Giả thiết ai (q ) dạng đa tuyến tính:
n

(s ,q , x )   ai (q , x )s i (3.13). Để đảm bảo ổn định trong miền D ta phải quét mọi
i 0

điểm s C D ( C D là biên của miền D). PP này chỉ dùng được cho dạng bất định
đa tuyến tính và vẫn phải xét mọi điểm s trên biên C D của miền D.
- Một số tác giả dùng thuật toán gen (genetic algorithm) để xác định tham số bộ
ĐKBV cho hệ SISO có TSBĐ với cấu trúc bất định dạng khoảng hoặc dạng
affine nhờ tìm cực tiểu của một chỉ số CL (performance index) dạng tích phân
của một số tín hiệu e(t), u(t), y(t)…, Nhưng khối lượng tính toán sẽ rất lớn
(Sekaj, Vasely, Sramek, Kajan). PP rất khó áp dụng cho hệ có cấu trúc phức tạp
như: multilinear, polynomic hoặc phi tuyến vì về nguyên tắc phiếm hàm J được
đánh giá qua các tín hiệu với q Q (vô vàn điểm) nên việc sử dụng PP này ta
vẫn gặp phải khó khăn về bản chất.
- Việc xác định C (s , x ) có thể đưa về bài toán tối ưu dạng bài toán qui hoạch nửa
vô hạn dạng sau:



f (x )

(3.15)

 x gk (x ,q )  0, k1  1,  , M1 , q Q
1

G1  
Q  q q j (x )  q j  q j (x ), j  1,  , L


trong đó:
G2  x

min

xG G1G2 G3









gk2 (x )  0, k2  1,  , M 2 ; G3  x







(3.16)

gk3 (x )  0, k3  1,  , M 3



(3.17)

Khó khăn bản chất của việc tìm một nghiệm của (3.15) với ràng buộc
(3.16), là tại một x nghiên cứu kiểm tra ràng buộc (3.16) có thoả mãn với
q Q không? ta gọi đó là sự thoả mãn chặt của ràng buộc (3.16). Ở BT
h

h

(3.15) mỗi ràng buộc g (x ,q ) tương ứng với vô vàn ràng buộc g (x ,q ) với q là
1 phần tử của tập Q . Vì vậy BT tối ưu với ràng buộc (3.16) có chứa TSBĐ
được gọi là qui hoạch nửa vô hạn (semi-infinite programming).
Để dễ khi trình bày ta chỉ xét BT (3.15) với 1 ràng buộc có chứa q Q
dạng (3.16), ta gọi là BT (3.18):
min f( x )
 x G


G  x g( x,q)  0, q  Q ; Q  q








q j( x )  q j  q j( x ), j  1,  ,L



(3.18)

Giải BT (3.18) bằng một PP số thì tại mỗi điểm x nghiên cứu ta cần phải
kiểm tra tính dương chặt của các hàm g (x ,q ) . Theo cách của Zettler, M.;
Garloff là đưa g (x ,q ) về dạng tổ hợp convex của đa thức Berntein và rút ra một
18


điều kiện đủ cho tính dương của g (x ,q ) , thu hẹp lớp g (x ,q ) thoả mãn tính
dương làm cho việc xác định bộ điều khiển bị hạn chế.
Một số tác giả đưa BT (3.18) về BT qui hoạch phi tuyến nhờ đưa các ràng
buộc chứa thông số q về một số hữu hạn ràng buộc không chứa TSBĐ mỗi
h

ràng buộc ứng với một giá trị thông số q Q như Bandler, Pamier và Polak.
Cách này không đảm bảo sự thoả mãn chặt của ràng buộc trong (3.18). Có thể
đưa BT (3.18) về BT qui hoạch phi tuyến nhờ độ đo: M (x )  min g (x ,q ) (3.19),

q Q

với M (x ) là cực tiểu toàn thể của g (x ,q ) trong Q .
Nhờ (3.19), BT (3.18) có thể viết thành: min f (x ) với ràng buộc
xG





G  x M (x )  0 (3.20). Chưa có PP tìm được M (x ) . Để thoả mãn chặt ràng

buộc (3.16) ta có thể dùng MuN (x ) : MuN (x )  M (x ) (3.22). Nếu MuN (x )  0 thì
chắc chắn (3.16) thoả mãn chặt tại x nghiên cứu.
Tóm lại: Các PP đều hướng tới đảm bảo tính ổn định bền vững và kể được
một số ít CL nhưng đều gặp phải khó khăn bản chất là phải xét với q Q . Một
số PP đảm bảo thỏa mãn chặt điều kiện ổn định nhờ dùng điều kiện đủ của ổn
định. Dưới đây NCS trình bày việc xác định tham số C (s , x ) nhờ bài toán tối ưu,
nghiệm thỏa mãn chặt điều kiện ổn định bền vững và một số chất lượng khác
một cách tiệm cận.
3.2 Xác định tham số tối ƣu bộ điều khiển bền vững cho đối tƣợng
có thông số bất định

  dạng (1.14), P (s,q ) dạng (3.1) có TSBĐ

Xét hệ hình 3.1. Bộ ĐK C s,x

q Q dạng hộp, Nếu các hệ số i (q ); k (q ) cấu trúc dạng có polynomic (3.23):

 

Khi đó:

ni

L

k 0

j 1

m

 

mk

L

i 0

j 1

m

i q   ik  q j ikj ; k q   i  q j kij

(3.23)

(s ,q , x )  a0 (q , x )  a1 (q , x )s 

(3.24)

 an (q , x )s n

cũng là đa thức dạng polynomic vì a0 (q , x );a1 (q , x ); ;an (q , x ) có dạng
polynomic. Bằng PP thích hợp đưa chỉ tiêu CL và ổn định bền vững vào BT tối
ưu xác định tham số dưới dạng BT qui hoạch nửa vô hạn dạng (A). Nghiệm x
cần xác định bằng một PP thích hợp để đảm bảo sự thỏa mãn chặt ràng buộc
(thỏa mãn với q Q ) và CL tối ưu.
(A)

m inf  x 

gk x,q  0; k  1, 2,..,mk ; q  Q  q q j  q j  q j
Th  x   0; ; h  1, 2,..,nh




 

19




Thiết lập bài toán tối ƣu dạng qui hoạch nửa vô hạn (A)

3.2.1

Bộ điều khiển BV được thiết kế để hệ ĐKBV thỏa mãn các yêu cầu sau:
- Yêu cầu 1 (yêu cầu về ổn định bền vững): Hệ phải thỏa mãn chặt điều kiện ổn
định bền vững (ổn định với q Q ).
-

Yêu cầu 2 (yêu cầu về chất lượng): Hệ thỏa mãn một số yêu cầu CL sau:
CL(3-1): Quá trình quá độ tắt với  : 0       ; với  , cho trước (3.25);
mr

CL(3-2): Bám tiệm cận tín hiệu vào r (t ) dạng chuỗi lũy thừa: r (t )   rti i (3.26);
i 0

CL(3-3): Tối ưu hóa theo nghĩa cực tiểu một hàm mục tiêu gắn với ĐT cụ thể
ví dụ QTQĐ tắt nhanh nhất, độ bền vững với dải TSBĐ rộng nhất, hay một độ
đo nào đó đối với giới hạn bền vững (robustness margins) tốt nhất.
3.2.1.1 Xác định điều kiện ràng buộc từ yêu cầu ổn định bền vững

Xét đa thức của hệ kín được giả thiết là có dạng đa thức bậc n (3.27):
(3.27)
(s ,q , x )  a0 (q , x )  a1 (q , x )s 
 an (q , x )s n
Để kể được hệ số tắt  ta dùng điều kiện ổn định hàm mũ, dẫn tới việc xét sự ổn
định của  :
  (s ,q , x )

s s 

 a0/ (q , x , )  a1/ (q , x , )s 

 an/ (q , x , )s n

(3.28)

Dùng tiêu chuẩn Routh hoặc Hurwitz để xét điều kiện ổn định bền vững của
(3.28) sẽ dẫn tới các bất đẳng thức của (3.31). Xét trường hợp riêng:
m
n
N p (s ,q )  0 (q )  1 (q )s 
 mp (q )s p ; Dp (s ,q )  0 (q )  1(q )s 
 np (q )s p
mi

L

k 0

j 1

Các hệ số có dạng polynomic, ví dụ: i (q )   ik q j

mik j

(3.29) thì các hệ số

a1/ (q , x , ) của (3.28) cũng có cùng cấu trúc polynomic dạng (3.29). Nên các

hàm gk (x ,q , ) (3.30) cũng có dạng polynomic:
mk

L

i 1

j 1

gk (x ,q , )   gki (x , )q j

mki j

(3.30)

Điều kiện cần và đủ để hệ kín với (3.27) ổn định bền vững với hệ số tắt  là:
mk

L

i 1

j 1

gk (x ,q , )   gki (x , )q j
3.2.1.2

mki j

 0, q Q

(3.31)

Yêu cầu CL(3.1)

Yêu cầu CL(3.1) đã được đưa vào BT dạng (A), khi dùng tiêu chuẩn ổn định
hàm mũ cho đa thức (3.28) để dẫn tới ràng buộc dạng (3.31), (3.25).

20


Yêu cầu CL(3.2)

3.2.1.3

Tín hiệu r (t ) cho ở công thức (3.26) có ảnh Laplace là:
mr
i!
R(s )  r (t )   ri (i 1) nên ta có ảnh Laplace của sai lệch e (t ) :
i 0
s

E (s ) 

Dc (s )Dp (s ,q )
1
R(s ) 
R(s )
1  CP
DcDp  N cN p

Giả thiết tồn tại giới hạn lim e (t ) , điều kiện bám đầu vào tiệm cận dẫn tới:
t 

e ()  lime (t )  limsE (s )  lims
t 

s 0

s 0

Viết lại Dc , Dp dưới dạng:

 D (s )Dp (s ,q ) mr i ! 
1
R(s )  lim s c
 ri i 1   0
s 0
1  CP
 DcDp  N cN p i 0 s 
mc 2

Dc  s mc1  dis i và Dp  s
i 0

mp 1

mp 2

 d js

mc 2

trong đó mc1  mc 2  nc , mp1  mp 2  np ta sẽ được: e ()  lim

s 0

j

(3.32)

j 0

s mc1  dis i . s

mp 1

mp 2

i 0

 d js

j 0

DcDp  N cN c

j
mr

 ri

i 0

i!

si

để có e ()  0 với q Q phải có mc1  mp1  mr  1  mc1  mr  mp1  1 (3.33)
Như vậy, để đảm bảo độ bám tiệm cận đầu vào ta phải chọn cấu trúc của bộ điều
khiển theo (3.33).
3.2.1.4

Xây dựng hàm mục tiêu

1) Khi muốn hệ số tắt  lớn nhất ta có thể coi  là một thành phần của ẩn x và
chọn: f (x )  
(3.35). Khi f (x )  min hệ kín sẽ ổn định nhanh nhất (Bám
đầu vào nhanh nhất).
2) Khi muốn CL là hệ có khả năng bền vững cao nhất, ta dùng một độ đo thích hợp
để đánh giá giới hạn bền vững làm hàm mục tiêu. ví dụ: Theo chuẩn Euclide:
L
f (x )     w j x j2  có w j  0, j (3.36) trong đó w j là trọng số và là những số
 j 1

thực dương cho trước.
3.2.1.5
Một số ví dụ minh họa việc thiết lập bài toán tối ưu
Có một số ví dụ đã được minh họa việc thiết lập bài toán tối ưu đã được
đưa ra.
3.2.2

Tìm nghiệm bài toán quy hoạch nửa vô hạn dạng (A)

Để đơn giản cho việc trình bày ta xét BT (A) có một ràng buộc và gọi là BT (B):



(B) min f (x ) với G   x g (x ,q )  0, q Q  q q j  q j  q j , j  1,  , L ;
xG


tại 1 điểm x nghiên cứu g (x ,q ) chỉ còn phụ thuộc q ta ký hiệu là g (q ) . Kiểm





tra tính dương của g (q ) với q Q ta sử dụng độ đo M ( x ) ở (3.19) BT (B)



chuyển thành (C): min f (x ) S .t G (x )   x M (x )  0  . Vì không xác định được
xG x 
chính xác trị infimum của bài toán (C) nên ta dùng trị gần đúng non tiệm cận
21


MuN ( x ) . Thay cho M ( x ) để lập tập ràng buộc GuN ( x ) gần đúng thay cho tập
ràng buộc G ( x ) của (C). Như vậy BT (B) hoặc (C) đã được thay thế xấp xỉ bởi
bài toán (UN):
(UN) min f (x ) S .t GuN ( x )   x MuN (x )  0 



xGuN ( x )

Nghiệm xˆ uN của (UN) được coi là nghiệm gần đúng của (C). Để tìm
nghiệm của bài toán (UN) ta dùng thuật toán 2.
Giả thiết:
GT3.1: g (x ,q ) là đa thức dạng (3.39); Q(x) dạng hộp (3.40) như sau:
m

L

i 0

j 1



m

g (x ,q )   gi (x )q j ij (3.39);

Q  q qj  q j  q j

 (3.40);

GT3.2: gi (x ) là những hàm thực, liên tục, giới nội của x;
GT3.3: qj ; q j , j=1..L là những hàm thực, liên tục, giới nội không âm của x ;
GT3.4: L, m, mij là những số nguyên dương và giới nội;
GT3.5: Giả thiết BT (B) với g (x ,q ) dạng (3.30) có nghiệm và bất kỳ BT dạng



(D) cũng có nghiệm: min f(x) S.t x  G h (D), Gh là một tập con nào đó của G 

Thuật toán 2:
Bước 1 (B1): Nhập điểm xuất phát x  x 0 , bước tính giới hạn NL và gán bước
tính xuất phát N=N1Bước 2 (B2): Tìm nghiệm của bài toán (UN):

 min f( x ) S.t

M uN ( x ) là một trị gần đúng non được tính ở lần thứ

M uN( x )  0 ,

theo PP trình bày trong






B2 của thuật toán 1. Gọi x uN là nghiệm của BT (UN) ta tính được f uN  f( x uN )

Bước 3 (B3): Kiểm tra điều kiện: MuN  x   0 , nếu B3 đúng chuyển sang bước
8, nếu B3 sai chuyển sang bước 4.
Bước 4 (B4): Kiểm tra điều kiện: N  N1 , nếu B4 đúng chuyển sang bước 6,
nếu B4 sai chuyển sang bước 5.

ˆf
 ˆfuN 
uN
ˆf

Bước 5 (B5): Kiểm tra điều kiện:

1

 cp , nếu B5 đúng

uN

chuyển sang bước 9, nếu B5 sai chuyển sang bước 7.
Bước 6 (B6): Gán các giá trị ban đầu và tăng N:


x 0  x uN ; N  A0N

1

22

(TT2-6)


với A0 nguyên, A0 2 rồi quay lại bước 2.
Bước 7 (B7): Kiểm tra điều kiện: N  N L , nếu B7 đúng chuyển sang bước 6,
nếu B7 sai chuyển sang bước 10.


Bước 8 (B8): Nhận nghiệm x *  x uN






là nghiệm gần đúng của (B)



x *  x uN  x uN và f  f N  f uN dừng chương trình tính.
*



xN  ˆ
xuN và
Bước 9 (B9): Chấp nhận x uN là nghiệm gần đúng của (A), ˆ
fN  ˆfuN dừng chương trình tính.

Bước 10 (B10): Đưa ra thông báo với cp và NL đã cho thuật toán không tìm


được nghiệm gần đúng x uN , dừng chương trình.
Bài toán (UN) thực chất là BT qui hoạch phi tuyến, đã có một số PP tìm
nghiệm của BT này, tuy nhiên ràng buộc MuN ( x ) ở trong (UN) chỉ có được bằng
số (tại mỗi điểm x nghiên cứu) nên cần phải chọn PP phù hợp để tìm nghiệm
của (UN). Để phục vụ cho việc tính toán các ví dụ NCS đã dùng PP hàm phạt,
để đưa bài toán có ràng buộc (UN) về một dãy bài toán không chứa ràng buộc
(SUMT) và dùng PP tìm kiếm trực tiếp để tìm cực tiểu của các hàm không ràng
buộc này (PP hàm phạt đã được trình bày trong các tài liệu về qui hoạch toán
học, ví dụ tài liệu “Mathematical programming” của Fiacco A.V nên không
được nhắc tới trong luận án này).

Bây giờ ta xét tính tiệm cận và đánh giá sai số gặp phải của thuật toán 2.
Định lý 2: Nếu các giả thiết GT3.1GT3.5 thỏa mãn thì thuật toán 2 cho một




nghiệm gần đúng của (B) là x  x uN với kết quả sau:


KQ2-1: Nghiệm gần đúng x uN thoả mãn chặt (3.16) của (A) hoặc của (B);
KQ2-2:

lim fuN  f *

(3.43)

N 



*
KQ2-3: Nếu x * là nghiệm duy nhất của (A) thì ta có: lim x uN  x
N 

KQ2-4: Sai số gặp phải được đánh giá là: ˆN 

ˆf
 ˆfuN 
uN
ˆf

1

(3.44)
(3.45)

uN

KQ2-5:

lim ˆN  0

N 

23

(3.46)


KẾT LUẬN
Luận án đã có những đóng góp sau:
1. Phát triển một PP phủ tuyến tính để xác định được một trị cực tiểu non MuN của
cực tiểu toàn thể M cho hàm g (q ) là đa thức và Q dạng hộp. Xây dựng thuật
toán 1 để xác định một trị cực tiểu non tiệm cận MuN. Tính tiệm cận và đánh giá
sai số gặp phải được xét qua định lý 1.
2. Dùng MuN để kiểm tra tính dương chặt của một hàm g (q ) dạng đa thức và Q
dạng hộp. Do đó sử dụng MuN để kiểm tra sự thoả mãn chặt điều kiện ổn định
bền vững dạng đại số và tìm nghiệm của BT qui hoạch nửa vô hạn.
3. Đưa việc xác định tham số bộ điều khiển bền vững về bài toán tối ưu dùng qui
hoạch phi tuyến hoặc qui hoạch nửa vô hạn nên có điều kiện kể đến ổn định bền

vững và một số chỉ tiêu chất lượng như bám tiệm cận đầu vào, quá trình quá độ
tắt với hệ số tắt , tối ưu theo nghĩa quá trình quá độ tắt nhanh nhất, hoặc dải bất
định lớn nhất...
4. Bài toán qui hoạch nửa vô hạn được đưa về bài toán qui hoạch phi tuyến. Bằng
cách dùng M uN  x  thay cho M  x  nên đảm bảo được sự thoả mãn chặt của
ràng buộc chứa thông số. Chọn được phương pháp hàm phạt sử dụng trực tiếp
độ đo M uN  x  cho bằng số để tìm được một nghiệm của bài toán qui hoạch nửa
vô hạn. Tính tiệm cận và sai số gặp phải đã được xét tới nhờ định lý 2.
Một số kết quả của luận án đã được công bố trong các hội nghị khoa học kỹ
thuật hoặc tạp chí như: Tạp chí KHKT các trường đại học-Đại học Bách Khoa
Hà Nội số 89 (2012), Tạp chí KH&KT-Học viện Kỹ Thuật Quân Sự số 173(122015), số 175(4-2016) và Hội nghị quốc tế về điện-điện tử 2016.
Trị cực tiểu non tiệm cận M uN được đề nghị và đã được áp dụng để xét ổn
định bền vững và xác định tham số tối ưu bộ điều khiển mới chỉ cho một trường
hợp: Hệ SISO tuyến tính liên tục có thông số bất định với cấu trúc dạng đa thức
và Q dạng hộp.
Phương pháp có thể được nghiên cứu ứng dụng cho những trường hợp
khác như: Hệ liên tục nhiều chiều (hệ MIMO), hệ rời rạc, hệ phi tuyến và xét với
tiêu chuẩn ổn định, chất lượng dạng tần số...

24