Luận văn một số đồng nhất thức và bất đẳng thức cho các khung trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————– * ———————

TRỊNH THỊ PHA

MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC VÀ
BẤT ĐẲNG THỨC CHO CÁC KHUNG
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội,2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————– * ———————

TRỊNH THỊ PHA

MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC VÀ
BẤT ĐẲNG THỨC CHO CÁC KHUNG
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số : 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:TS. Nguyễn Quỳnh Nga

Hà Nội,2018


Lời cảm ơn
Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Quỳnh Nga đã
hướng dẫn và chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình làm luận văn. Tác
giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào
tạo, khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong
suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các
thành viên trong lớp cao học toán giải tích K20 đã luôn quan tâm, giúp
đỡ trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2018
Tác giả

Trịnh Thị Pha


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với
đề tài “Một số đồng nhất thức và bất đẳng thức cho các khung
trong không gian Hilbert” là kết quả của quá trình tìm hiểu, nghiên
cứu của tác giả dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2018
Tác giả

Trịnh Thị Pha

Mục lục

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Không gian Hilbert và toán tử tuyến tính bị chặn trên
không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert . . . . . . . .

12

1.3

Khung trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.1

1.3.2

Một số kiến thức cơ sở về khung trong không gian
Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Khung và việc xử lý tín hiệu . . . . . . . . . . .

30

2 Một số đồng nhất thức và bất đẳng thức cho các khung
trong không gian Hilbert
2.1

33

Một số đồng nhất thức và bất đẳng thức cơ bản cho các
khung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

33

Các mối liên hệ kiểu Parseval cho các khung đối ngẫu luân
phiên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kết luận

54
59

i

Tài liệu tham khảo

60


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Khung được R. J. Duffin và A. C. Schaeffer [7] đưa ra năm 1952 khi
họ nghiên cứu về chuỗi Fourier không điều hòa. Tuy nhiên phải đến năm
1986, sau bài báo của I. Daubechies, A. Grossmann và Y. Meyer [6] thì
khung mới được các nhà khoa học quan tâm rộng rãi.
Một khung có thể được xem như một cơ sở trực chuẩn suy rộng. Nếu
{fi }i ∈I là một khung cho không gian Hilbert H thì bất kỳ vectơ f ∈ H
nào cũng có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính (vô hạn) của các
phần tử fi . Các hệ số không nhất thiết duy nhất. Nhờ tính thừa mà
khung có nhiều ứng dụng quan trọng trong xử lý tín hiệu và hình ảnh
bởi vì chúng cho chúng ta tính bền vững, chất lượng của tín hiệu bị ảnh
hưởng ít hơn khi có nhiễu tiếng ồn và tín hiệu có thể khôi phục lại từ
các mẫu có độ chính xác tương đối thấp và hơn nữa chúng cho phép dễ
dàng phát hiện các đặc trưng của tín hiệu, hình ảnh. Ngoài ra khung
còn được sử dụng trong lý thuyết mẫu, mô hình hóa hệ thống, truyền

1

thông qua internet và mạng không dây, . . .
Luận văn gồm có phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các
tài liệu tham khảo.
Chương 1 tác giả nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị bao gồm các định
nghĩa và tính chất cơ bản của toán tử tuyến tính bị chặn trên không
gian Hilbert, một số kiến thức cơ sở về khung trong không gian Hilbert,
khung và việc xử lý tín hiệu. Chương 2 tác giả trình bày một số đồng
nhất thức và bất đẳng thức cơ bản cho các khung, các mối liên hệ kiểu
Parseval cho các khung đối ngẫu luân phiên.

2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về các đồng nhất thức và bất
đẳng thức cho các khung trong không gian Hilbert.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về các đồng nhất thức và bất đẳng thức cho các khung trong
không gian Hilbert.

2


4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu:
Các kiến thức cơ sở cần thiết: Toán tử tuyến tính bị chặn trên không
gian Hilbert. Một số khái niệm và kết quả về khung trong không gian
Hilbert. Một số đồng nhất thức và bất đẳng thức cơ bản cho các khung.
Các mối liên hệ kiểu Parseval cho các khung đối ngẫu luân phiên.

4.2. Phạm vi nghiên cứu:

Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến đồng nhất
thức và bất đẳng thức cho các khung trong không gian Hilbert.

5. Phương pháp nghiên cứu
+ Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề.
+ Thu thập tài liệu các bài báo về đồng nhất thức và bất đẳng thức
cho các khung trong không gian Hilbert.
+ Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.

6. Đóng góp của luận văn
Trình bày tổng quan về một số đồng nhất thức và bất đẳng thức cho
các khung trong không gian Hilbert.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này tác giả nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản
cần đến trong những phần tiếp theo. Nội dung của chương này dựa trên
các tài liệu tham khảo [1], [2], [5], [6], [9].
Phần đầu của chương này dành để trình bày một số khái niệm và tính
chất cơ bản của toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert.

1.1

Không gian Hilbert và toán tử tuyến tính bị
chặn trên không gian Hilbert

Trước tiên ta nhắc lại khái niệm không gian tuyến tính định chuẩn:

Định nghĩa 1.1.
Không gian tuyến tính định chuẩn là không gian tuyến tính X trên
trường K ( K = R hoặc K = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập R,
kí hiệu là . và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau :
1. (∀x ∈ X) ||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 ⇔ x = θ (θ kí hiệu phần tử
4


không);
2. (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) ||αx|| = |α| ||x|| ;
3.

(∀x, y ∈ X) || x + y || ≤ ||x|| + ||y|| .

Số x được gọi là chuẩn của vectơ x. Ta kí hiệu không gian tuyến tính
định chuẩn là (X, . ) . Nếu trên X chỉ trang bị một chuẩn ta có thể
kí hiệu là X. Các tiên đề 1, 2, 3, được gọi là hệ tiên đề chuẩn. Phần tử
trong K được gọi là vô hướng.
Định nghĩa 1.2.
Dãy điểm {xn } trong không gian tuyến tính định chuẩn được gọi là
dãy cơ bản ( dãy Cauchy) , nếu
lim

m,n→∞

xn − xm = 0.

Định nghĩa 1.3.
Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là không gian Banach,
nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

Định nghĩa 1.4.
Cho không gian tuyến tính X trên trường K ( K = R hoặc K = C) .
Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes
X × X vào K , ký hiệu ·, · , thỏa mãn các tiên đề:
(1) (∀x, y ∈ X)

y, x = x, y nếu K = C và

K = R;
5

y, x = x, y nếu


(2) (∀x, y, z ∈ X)

x + y, z = x, z + y, z ;

(3) (∀x, y ∈ X) (α ∈ K) αx, y = α x, y ;
(4) (∀x ∈ X) x, x > 0, nếu x = θ (θ là kí hiệu phần tử không),
x, x = 0, nếu x = θ.
Các phần tử x, y, z . . . được gọi là các nhân tử của tích vô hướng,
số x, y được gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề
1, 2, 3, 4 được gọi là hệ tiên đề tích vô hướng, ký hiệu z¯ là phần tử liên
hợp của z.
Đối với mỗi x ∈ X ta đặt x =

x, x . Khi đó . xác định một

chuẩn trên X.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
Với mọi x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Schwarz
| x, y | ≤ x

y .

Định nghĩa 1.5.
Không gian tuyến tính trên trường K cùng với một tích vô hướng
được gọi là không gian tiền Hilbert.
Nếu K = R thì H được gọi là không gian tiền Hilbert thực.
Nếu K = C thì H được gọi là không gian tiền Hilbert phức.
Định nghĩa 1.6.
Tập H = ∅ được gọi là không gian Hilbert nếu tập H thỏa mãn:
1. H là không gian tiền Hilbert.
6


2. H là không gian Banach với chuẩn x =

x, x , x ∈ H.

Định nghĩa 1.7.
Một không gian Hilbert được gọi là khả ly nếu nó chứa một tập con
đếm được và trù mật, tức là, tồn tại một dãy {xk }∞
k=1 của các phần tử
của H sao cho bao đóng của {xk }∞
k=1 bằng toàn bộ không gian.
Định nghĩa 1.8.
Cho hai không gian vectơ bất kỳ X và Y trên cùng một trường. Một
ánh xạ T : X → Y được gọi là một ánh xạ tuyến tính hay toán tử

tuyến tính nếu với mọi x, y ∈ X và mọi vô hướng α, ta có
T ( x + y ) = T (x) + T (y) ,
T (αx) = α T (x).
Định nghĩa 1.9.
Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn. Toán tử tuyến
tính T : X → Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số c > 0 sao
cho
||T x || ≤ c || x||, ∀x ∈ X.

(1.1)

Một toán tử T từ X vào Y được gọi là liên tục nếu xn → x0 luôn kéo
theo T xn → T x0 .
Định lý 1.1. Toán tử tuyến tính từ X vào Y là liên tục khi và chỉ khi
nó bị chặn.
Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y được kí
hiệu là B ( X, Y ) .
7


Khi X = Y thì B ( X, Y ) được kí hiệu là B (X) .
Chuẩn của T ∈ B (X, Y ) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa
mãn (1.1). Nói cách khác,
|| T || = sup {|| T x|| : x ∈ X, || x|| ≤ 1}
= sup {|| T x|| : x ∈ X, || x|| = 1}.
Mệnh đề 1.1. Giả sử H, K, L là các không gian Hilbert. Nếu T ∈
B (H, K) thì tồn tại duy nhất một phần tử T ∗ ∈ B(K, H) sao cho
T ∗ x, y

=

x, T y , ∀x ∈ K, ∀y ∈ H.

Hơn nữa,
(i) (aS + bT )∗ = a
¯S ∗ + ¯bT ∗ ;
(ii) (RS)∗ = S ∗ R∗ ;
(iii) (T ∗ )∗ = T ;
(iv) IH∗ = IH .
(v) Nếu T khả nghịch, thì T∗ cũng khả nghịch và T −1

∗

= (T ∗ )−1 ,

trong đó S, T ∈ B ( H, K) , R ∈ B ( K, L) và a, b ∈ C, IH là toán
tử đồng nhất thuộc B (H) .
Mệnh đề 1.2. Giả sử T ∈ B ( H, K) và S ∈ B (K, L) . Khi đó
(i)

Tx ≤ T

x , ∀x ∈ H;

(ii)

ST ≤ S

T ;

(iii)

T = T∗ ;
8


(iv)

T ∗T = T

2

.

Cho T ∈ B (H) . T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T ∗ = T, T
được gọi là dương ( ký hiệu T ≥ 0 ) nếu T x, x

≥ 0, ∀x ∈ H. Cho

T, K ∈ B (H) , T ≥ K nếu T − K ≥ 0. T được gọi là toán tử unita
nếu T ∗ T = T T ∗ = I.
Ta chú ý rằng với mỗi T ∈ B (H) thì ( T ∗ T x, x) = (T x, T x) ≥
0, ∀x ∈ H. Do đó T ∗ T dương.
Mệnh đề 1.3. Nếu T ∈ B (H) là toán tử tự liên hợp thì
T = sup | T (x) , x | .
x =1

Mệnh đề 1.4. Nếu T ∈ B (H) và || I − T || < 1 thì T khả nghịch.
Mệnh đề 1.5. Giả sử T ∈ B (H) . Khi đó
i. T là tự liên hợp nếu và chỉ nếu T x, x là thực với mọi x ∈ H . Đặc

biệt, toán tử dương là tự liên hợp.
ii. T là unita nếu và chỉ nếu T là ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương đương
bảo toàn tích vô hướng) từ H lên H.
Mệnh đề 1.6. Giả sử T ∈ B (H) . Khi đó các điều sau là tương đương
(i) T là dương.
(ii) T = S 2 trong đó S là toán tử dương.
(iii) T = V ∗ V trong đó V ∈ B (H) .
Toán tử S trong (ii) là duy nhất và được gọi là căn bậc hai của T , ký
1

hiệu là T 2 .
9


Mệnh đề 1.7. Nếu A là toán tử tự liên hợp trên H và A ≤ 1 thì
A≤I .
Chứng minh.
Nếu A ≤ 1 thì Af, f ≤ A

f

2

≤ f, f = If, f với mọi

f ∈ H . Từ đó A ≤ I.
Định lý 1.2. Cho A, B ∈ B (H) là hai toán tử dương, giao hoán với
nhau. Khi đó AB dương.
Chứng minh.
Không mất tổng quát ta có thể giả sử A = 0 . Ta định nghĩa dãy

các toán tử A1 =
A∗
A

A∗1 =

=

A
A

A
A

, An+1 = An − A2n với n = 1, 2, 3, . . . Ta thấy rằng

= A1 . Do đó A1 là tự liên hợp. Giả sử An tự liên hợp.

Ta chứng minh rằng An+1 cũng tự liên hợp. Ta có A∗n+1 = An − A2n

∗

=

A∗n − (A∗n )2 = An − A2n = An+1 . Vậy các toán tử An là tự liên hợp. Ta
có thể kiểm tra được rằng An Am = Am An với mọi m, n ∈ N. Bây giờ ta
sẽ chỉ ra bằng quy nạp rằng
0 ≤ An ≤ I

(1.2)

với mọi n ∈ N. Với n = 1 thì do A ≥ 0 nên
và

A
A

= 1 nên ta có

A
A

A
A

≥ 0 . Do Mệnh đề 1.7

≤ I hay A1 ≥ I. Giả sử (1.2) đúng với k nào

đó thuộc N . Khi đó
A2k (I − Ak ) f, f = Ak (I − Ak ) f, Ak f = (I − Ak ) Ak f, Ak f ≥ 0

10


và
Ak (I − Ak )2 f, f = Ak (I − Ak ) (I − Ak ) f, f
= (I − Ak ) Ak (I − Ak ) f, f
= Ak (I − Ak ) f, (I − Ak ) f ≥ 0

tức là, A2k (I − Ak ) ≥ 0 và Ak (I − Ak )2 ≥ 0.
Do đó Ak+1 = A2k (I − Ak )+Ak (I − Ak )2 ≥ 0 và I −Ak+1 = I −Ak +A2k ≥
0.
Điều này chỉ ra rằng (1.2) đúng với k + 1 . Do đó theo qui nạp (1.2)
đúng với mọi n ∈ N.
Ta có A1 = A21 + A2 = A21 + A22 + A3 = ... =

n
2
k=1 Ak

+ An+1

và do đó
n

A2k = A1 − An+1 ≤ A1 .
k=1

Do đó

n

Ak f, Ak f ≤ A1 f, f .
k=1

∞
n=1

Điều này chỉ ra rằng chuỗi

nữa

n
2
k=1 Ak

An f

2

hội tụ và An f

f = A1 f − An+1 f → A1 f khi n → ∞,

hay nói một cách tương đương
∞

A2n f = A1 f.
n=1

11

→ 0 . Hơn


Do B giao hoán với A nên B giao hoán với A1 . Giả sử B giao hoán với
Ak . Khi đó
BAk+1 = B Ak − A2k = BAk − BA2k = Ak B − BAk Ak
= Ak B − Ak BAk = Ak B − Ak Ak B = Ak B − A2k B
= Ak − A2k B = Ak+1 B.

Từ đó theo quy nạp B giao hoán với Ak với mọi k ∈ N. Do B giao
hoán với An với mọi n ∈ N , ta có
∞

ABf, f = A

BA2n f, f

BA1 f, f = A
n=1
∞

BAn f, An f ≥ 0

= A
n=1

1.2

Cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert

Cơ sở trực chuẩn là một trong những khái niệm chính trong không
gian Hilbert. Chúng là phiên bản trừu tượng ( vô hạn chiều) của cơ sở
chính tắc trong Cn và có nhiều tính chất tương tự. Cơ sở trực chuẩn
được sử dụng rộng rãi trong toán học, vật lý, xử lý tín hiệu và nhiều lĩnh
vực khác.
Định nghĩa 1.10.
Một dãy {ek }∞
k=1 trong H là một hệ trực chuẩn nếu ek , ej = δk,j ,
1,k=j

trong đó δk,j =
.
0,k=j
12


Một cơ sở trực chuẩn là một hệ trực chuẩn {ek }∞
k=1 mà là cơ sở của
H.
Định nghĩa 1.11.
Dãy {ek }∞
k=1 trong H được gọi là dãy Bessel nếu tồn tại B > 0 sao
cho

∞

| f, fi |2 ≤ B f

2

, ∀f ∈ H.

i=1

Khi đó B được gọi là cận Bessel của {fi }∞
.
i=1
Chú ý rằng, một hệ trực chuẩn là một dãy Bessel. Thật vậy, nếu
2
{ck }∞

k=1 ∈ l (N) và m, n ∈ N, n > m thì

ck ek −
k=1

Do

∞
2
k=1 |ck |

2

m

n

ck ek

=

ck e k

k=1

n

|ck |2 .

=

k=m+1

n
2
k=1 |ck |

< ∞ nên

2

n

k=m+1

∞

hội tụ. Từ đó
n=1

n
2
k=m+1 |ck |

→0

khi m, n → ∞ .
Vì vậy {
Do đó {

∞
n
k=1 ck ek }n=1
∞
n
k=1 ck ek }n=1

là dãy Cauchy.
hội tụ tức là chuỗi

∞
k=1 ck ek

hội tụ. Theo Hệ quả

1.2, {ek }∞
k=1 là dãy Bessel.
Định lý 1.3. Cho một hệ trực chuẩn {ek }∞
k=1 , những mệnh đề sau tương
đương:
(a) {ek }∞
k=1 là một cơ sở trực chuẩn.
(b) f =
(c)

∞
k=1

f, g =

f, ek ek , ∀f ∈ H.
∞
k=1

f, ek

ek , g , ∀f, g ∈ H.
13


(d)

∞
k=1 |

f, ek |2 = f

2

, ∀f ∈ H.

(e) span {ek }∞
k=1 = H.
(f) Nếu f, ek = 0, ∀k ∈ N thì f = 0.
Chứng minh.
(a) ⇒ ( b) Giả sử f ∈ H. Nếu {ek }∞
k=1 là một cơ sở trực chuẩn, tồn tại
các hệ số {ck }∞
k=1 sao cho f =

∞
k=1 ck ek

Với bất kỳ j ∈ N, ta có f, ej =

.
∞
k=1 ck ek , ej

=

∞
k=1 ck δk,j

= cj

trong đó δk,j là kí hiệu Kronecker. Từ đó suy ra ( b).
(b) ⇒ (c) Giả sử ta có (b) . Lấy tích vô hướng của cả 2 vế của (b) với g
và sử dụng tính chất của tích vô hướng ta suy ra (c).
(c) ⇒ (d), (d) là một trường hợp đặc biệt của (c) với g = f.
(d) ⇒ (e) Giả sử ta có (d).Nếu span {ek }∞
k=1 = H thì tồn tại 0 = f ∈ H
⊥

sao cho f ∈ (span {ek }∞
k=1 ) . Từ đó f, ek = 0 với mọi k ∈ N. Từ đó
∞
k=1 |

f, ek |2 = 0 = f

2

.

Ta suy ra mâu thuẫn.
(e) ⇒ (f ) Giả sử f, ek = 0, ∀k ∈ N, do đó f ⊥span {ek }∞
k=1 = H. Do
đó f, f = 0 hay f = 0 .
Để chứng minh ( f ) ⇒ (a) , giả sử f ∈ H.Do{ek }∞
k=1 là một dãy Bessel,
ta biết g =

∞
k=1

f, ek ek hoàn toàn xác định.

Hơn nữa f − g, ej = 0, ∀j ∈ N vì thế theo (f ) f = g =

∞
k=1

f, ek ek .

Để chứng minh rằng {ek }∞
k=1 là một cơ sở ta chỉ cần chỉ ra không có tổ
hợp tuyến tính nào khác của {ek }∞
k=1 có thể bằng f . Giả sử f =
14

∞
k=1 ck ek


thế thì với bất kì j ∈ N ta có
∞

∞

ck ek , ej

f, ej =

ck δk,j = cj .

=

k=1

k=1

Ta được điều phải chứng minh.
Đẳng thức (d) trong Định lý 1.3 được gọi là đẳng thức Parseval.

1.3
1.3.1

Khung trong không gian Hilbert
Một số kiến thức cơ sở về khung trong không gian

Hilbert

Ở phần này tác giả trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản
trong lý thuyết khung. Từ nay về sau ta sẽ kí hiệu H là không gian
Hilbert khả ly với tích vô hướng ·, · . Gọi I là tập chỉ số (vô hạn nhưng
đếm được hoặc hữu hạn).
Định nghĩa 1.12.
Một dãy {fi }i∈I của các phần tử trong H là một khung của H nếu
tồn tại hai hằng số 0 < A ≤ B <∞ sao cho
A f

2

| f, fi |2 ≤ B f

≤

2

, ∀f ∈ H.

(1.3)

i∈I

Các số A, B được gọi là các cận khung. Chúng không là duy nhất,
cận khung dưới tối ưu là cận trên đúng trên tất cả các cận khung dưới
và cận khung trên tối ưu là cận dưới đúng trên tất cả các cận khung
trên. Lưu ý rằng các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự.
15

Thật vậy, gọi A và B là cận dưới tối ưu và cận trên tối ưu của khung.
Theo định nghĩa thì A = sup M với
M=

A>0:A x

2

| x, fi |2 , ∀x ∈ H

≤
i∈I

và B = inf N với N = B > 0 : B x

2

≥

i∈I

| x, fi |2 , ∀x ∈ H .

Theo định nghĩa của khung thì M = ∅, N = ∅ . Hiển nhiên A > 0
và B > 0 . Do A = sup M nên tồn tại một dãy {Aj }∞
j=1 ⊂ M sao cho
A = lim Aj .
j→∞

Gọi x là một phần tử tùy ý thuộc H.
Do Aj x
i∈I

2

≤

i∈I

| x, fi |2 nên cho j → ∞, ta cũng có A x

| x, fi |2 . Do x tùy ý nên A x

Tương tự ta chứng minh được

2

≤
i∈I

i∈I

2

≤

| x, fi |2 , ∀x ∈ H .

| x, fi |2 ≤ B x

2

, ∀x ∈ H.

Khung được gọi là khung Parseval nếu A = B = 1 và được gọi là chặt
nếu A = B. Khi ta nói về khung chặt, ta muốn nói giá trị chính xác A
cùng lúc là cận trên và cận dưới của khung. Chú ý rằng điều này hơi
khác với thuật ngữ của khung tổng quát, ở đó ví dụ một cận khung trên
chỉ là một số nào đó mà bất đẳng thức vế phải của (1.3) được thỏa mãn.
Một dãy {fi }i∈I được gọi là một dãy khung nếu nó là khung chỉ cho
span {fi }i∈I . Ở đây span (A) ký hiệu là bao tuyến tính của A và B
ký hiệu là bao đóng của B. Một dãy {fi }i∈I được gọi là một dãy khung
Parseval nếu nó là khung Parseval chỉ cho span {fi }i∈I .
Nhận xét 1.1.
Từ các Định nghĩa 1.11 và 1.12 ta suy ra một khung là một dãy Bessel.
16


Tuy nhiên một dãy Bessel không nhất thiết là một khung.
Ta xem xét ví dụ sau.
Ví dụ 1.1.
Trên R2 cho f1 = (1, 0)T , f2 = (2, 0)T , f3 = (3, 0)T . Khi đó {f1 , f2 , f3 }
là một dãy Bessel của R2 .
Thật vậy, cho x = (x1 , x2 )T . Ta có
3

| x, fj |2 = x21 + 4x21 + 9x21 = 14x21 ≤ 14 x21 + x22 = 14 x

2

j=1

Tuy nhiên {f1 , f2 , f3 } không phải là khung của R2 vì span {f1 , f2 , f3 } =
R2 .
m
Mệnh đề 1.8. Cho một dãy {fj }m
j=1 trong H . Khi đó {fj }j=1 là một

khung của span{fj }m
j=1 .
Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các fj đều bằng
0. Từ Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta thấy điều kiện khung trên là
thỏa mãn với

m

B=

fj

2

j=1

Bây giờ ta đặt W = span {fj }m
j=1 và xem xét ánh xạ liên tục Φ : W → R
m

| f, fj |2

Φ (f ) =
j=1

Mặt cầu đơn vị trong W là compact, vì vậy ta có thể tìm g ∈ W với
g = 1 sao cho
m

m
2

| f, fj |2 : f ∈ W, f = 1

| g, fj | = inf

A :=
j=1

j=1

17


Rõ ràng là A > 0 . Bây giờ ta lấy f ∈ W , f = 0. Ta có
m

m
2

| f, fj | =
j=1

j=1

2

f
, fj
f

f

2

≥A f

2

.

Mệnh đề được chứng minh.
Hệ quả 1.1. Một dãy {fj }m
j=1 trong H là một khung của H khi và chỉ
khi
span {fj }m
j=1 = H.
m
Chứng minh. Giả sử span {fj }m
j=1 = H . Theo Mệnh đề 1.8 {fj }j=1

là một khung của H. Ngược lại, giả sử {fj }m
j=1 là một khung của H
và cận dưới, trên tương ứng là A, B và span {fj }m
j=1 = H . Khi đó
tồn tại 0 = f ∈ H sao cho f, fj
m
j=1 |

= 0 với mọi j = 1, m . Từ đó

f, fj |2 = 0.

Mặt khác do A > 0, f > 0 và A f

2

≤

m
j=1 |

f, fj |2 = 0 nên ta

suy ra mâu thuẫn.
Vậy span {fj }m
j=1 = H.
Hệ quả trên chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần
tử cần thiết để là cơ sở. Đặc biệt, nếu {fj }kj=1 là một khung của H và
k

m
{gj }m
j=1 là một tập hữu hạn tùy ý các vectơ trong H thì {fj }j=1 ∪ {gj }j=1

cũng là một khung của H.
Ví dụ 1.2.
2

√

T

3 1
2 ;2

Lấy H = R , e1 = (0, 1) , e2 =

√

T

, e3 =

{e1 , e2 , e3 } là một khung chặt với cận khung là 32 .
18

3
1
2 ; −2

T

. Khi đó


Thật vậy, với x = (x1 , x2 )T ∈ H bất kỳ, ta có:
√

3

1
3
x1 + x2
2
2

2

| x, ej | = x22 +
j=1

=

√

2

1
3
x1 − x2

2
2

+

3 2
3
x1 + x22 =
x
2
2

2

2

.

Ví dụ 1.3.
Giả sử {ek }∞
k=1 là một cơ sở trực chuẩn của H.
(i) {ek }∞
k=1 là khung Parseval của H. Thật vậy, theo Định lý 1.2
f

2

∞
k=1 |

f, ek |2 =

với mọi f .

(ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {ek }∞
k=1 hai lần ta thu được
∞
{fk }∞
k=1 = {e1 , e1 , e2 , e2 , ...} . Khi đó {fk }k=1 là khung chặt với cận khung

A = 2. Thật vậy, ta có
∞

∞
2

| f, ek |2 = 2 f

| f, fk | = 2
k=1

2

, ∀f ∈ H.

k=1

(iii) Nếu chỉ e1 được lặp lại ta thu được {fk }∞
k=1 = {e1 , e1 , e2 , e3 , ...} . Khi
đó {fk }∞

k=1 là khung với cận A = 1, B = 2. Thật vậy, ta có
∞

∞
2

2

| f, ek |2

| f, fk | = | f, e1 | +
k=1

≤

k=1
∞
k=1 |

=2
=2 f
Mặt khác

∞
k=1 |

f, ek |2 +

∞
k=1 |

∞
k=1 |

f, ek |2

f, ek |2

2

f, fk |2 ≥

∞
k=1 |

f, ek |2 = f
19

2

.


Do đó f

2

∞
k=1 |

≤

f, fk |2 ≤ 2 f

2

, ∀f ∈ H .

Vì vậy {fk }∞
k=1 là một khung với một cận khung dưới là 1 và một cận
khung trên là 2.
∞
√1
√1
√1
√1
√1
(iv) Giả sử {fk }∞
k=1 := e1 , 2 e2 , 2 e2 , 3 e3 , 3 e3 , 3 e3 , ... nghĩa là {fk }k=1

là dãy mà mỗi vectơ
có

√1 ek
k

được lặp lại k lần. Khi đó với mỗi f ∈ H ta
∞

∞

2

| f, fk | =

k
k=1

k=1

2

1
f, √ ek
k

= f

2

Vì thế {fk } là một khung chặt của H với cận khung A = 1.
Ký hiệu l2 (N) = {ck }∞
k=1 ⊂ C :

∞
2
k=1 |ck |

<∞ .

∞

Định lý 1.4. Giả sử {fk }∞
k=1 là một dãy trong H. Khi đó {fk }k=1 là một

dãy Bessel với cận Bessel B khi và chỉ khi
∞

T :

{ck }∞
k=1

→

ck fk
k=1

là toán tử hoàn toàn xác định, tuyến tính, bị chặn từ l2 (N) vào H và
√
T ≤ B .
Chứng minh.
∞
Trước hết, giả sử {fk }∞
k=1 là dãy Bessel với cận Bessel B và {ck }k=1 ∈

l2 (N) . Ta cần chỉ ra T {ck }∞
k=1 là hoàn toàn xác định, tức là

20

∞

k=1 ck fk