Các bài toán ôn tập vào lớp 10 THPT

Tài liệu ôn thi vào 10
Căn bậc hai - hằng đẳng thức
2
A A
=
.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức - Kĩ năng:
- HS đợc củng cố đ/n, phân biệt cách tìm CBH, CBHSH của một số thực.
- Nắm vững và tìm đợc đkxđ của
A

- áp dụng khai triển HĐT
2
A A=
, vận dụng rút gọn đợc biểu thức.
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, chính xác.
II, Lí thuyết cần nhớ:
Căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho
2
x
= a.
Số a > 0 có hai CBH là
a
và
a
.
Số a

0 ,
a

đợc gọi là CBHSH của a.
a, b là các số không âm, a < b


a
<
b
.

A
xác định (hay có nghĩa)

A

0 (A là một biểu thức đại số).
III, Bài tập và h ớng dẫn:
Bài tập:
Tìm CBH, CBHSH của những số sau: 25; 3; 5; 17; 23, 81, 144; 225; 324; 289.
Bài 1. Tính:
a,
9
;
4
25
;
2
3
;
2
6

;
2
( 6)
;
25
16



;
9
25


.
b,
2
5
;
2
( 7)
;
2
3
4


ữ
ữ

;
2
3
4

ữ

.
c,
4
5
;
4
(2)
;
( Sử dụng HĐT
2
A A=
).
Bài 2. So sánh các cặp số sau:
a, 10 và
3
;
10
và 3;
3 5
và
5 3
;
b,

8 1
và 2; -2
5
và -5
2
;
3
và
16
2
.
( Sử dụng a, b là các số không âm, a < b


a
<
b
).
Bài 3 . Tính:
a,
2
(3 2)+
;
2
(2 3)
;
( )
2
2 3+
;

( )
2
3 2
.
b,
2
a
(a

0);
4
2 a
(a < 0) ;
2
2 x
;
6
3 x
;
2
(2 )x
;

2
6 9x x +
( x > 3);
2
2 1x x+ +
;
2

4( 2)a
(a < 2);
2
(3 11)
.

4
9( 5)x
;
2 2 2
( 2 )b a ab b+ +
(b > 0);
2 2 2
3 4
( )
( 0; 0; )
a b a b
b a a b
bc a

> <
.
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 1
Tài liệu ôn thi vào 10
c,
2
(2 5)+
;
2
(3 15)

;
3 2 2+
;
4 2 3+
;
11 6 2
;
28 10 3

.
( Chú ý ĐK của các chữ trong biểu thức )
Bài 4 . Tìm điều kiện xác định của các CTBH sau:
a,
3a
;
3a
;
2a
;
5 a
;
3 6a +
;
4 2a
;
2 5a
;
7 3a
.
b,

2
2 1a
;
4
3 b
;
2
2 1a


;
2
1 8 16b b +
;
3 4
5
a

.
c,
2
2x
;
2
2x
;
2
2 1x +
;
2

5
1x

+
.
d,
2
2 x
;
2
5 3
x
x
;
2
4 4 1x x +
;
2
1
2x x+
.
( Chú ý ĐK để biểu thức dới căn không âm, mẫu khác 0).
Bài 5. Tìm x biết:
a,
2
16 0x =
;
2
1
9

x =
;
2
16 0x + =
;
2
9 0x + =
.
b,
5x =
;
1
2
x =
;
5x =
;
3
2
x =
;
2 2 0x =
.
c,
3
2
x
=
;
2 0

3
x
+ =
;
2
4
x
=
;
1
0
2
x =
.
( Chú ý sử dụng định nghĩa CBH
2
0x
a x
x a


=

=

).
Bài 6. Phân tích thành nhân tử:
a,
2
5x

; 7 - x (x > 0); 3 + 2x (x < 0).
b,
2
3 16x
; x - 9 (x > 0).
c,
4 2 3
;
3 2 2
;
6 2 5
;
7 2 6
.
( Rút ra HĐT
2
( 1) 2 ( 1)a a a+ = +
)
Bài 7. Rút gọn:
a,
( , 0; )
a b
a b a b
a b

>

;
2 1
( 0; 1)

1
x x
x x
x
+


;
( Chú ý sử dụng HĐT
2 2
( )( )a b a b a b = +
và HĐT
2
A A=
).
b,
4 7 4 3+ +
;
5 3 5 48 10 7 4 3+ + +
;
13 30 2 9 4 2+ + +
.
c,
2 1 2 1( 1)x x x x x+ +
.
( Chú ý sử dụng HĐT
2
( 1) 2 ( 1)a a a+ = +
và HĐT
2

A A=
).
Bài 8. Giải các PT sau:
1,
2
4 4 3x x + =
;
2
12 2x =
;
x x=
;
2
6 9 3x x + =
;
2,
2
2 1 1x x x + =
;
2
10 25 3x x x + = +
.
3,
5 5 1x x + =
( Xét ĐK

pt vô nghiệm);
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 2
Tài liệu ôn thi vào 10

2
2 1 1x x x+ + = +
( áp dụng:
0( 0)A B
A B
A B


=

=

).
4,
2 2
9 6 9 0x x x + + =
(áp dụng:
0
0
0
A
A B
B
=

+ =

=

) .

5,
2 2
4 4 0x x + =
( ĐK, chuyển vế, bình phơng 2 vế).

2 2 2
4 5 4 8 4 9 0x x x x x x + + + + + =
(
1 4 5 3 5VT + + = +
;
2
( 2) 0 2x x= = =
)

2 2 2
9 6 2 45 30 9 6 9 8x x x x x x + + + = +
(
2 2 2
(3 1) 1 5(3 1) 4 9 (3 1)x x x + + + =
;
vt

3; vp
3


x = 1/3) .

2 2 2
2 4 3 3 6 7 2 2x x x x x x + + + = +

(đánh giá tơng tự).
6,
2 2
4 5 9 6 1 1x x y y + + + =
(x =2; y=1/3);
2 2
6 5 6 10 1y y x x + =
(x=3;
y=3).

Các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức
bậc hai.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức - Kĩ năng:
- HS đợc củng cố các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai .
Vận dụng tính toán,rút gọn đợc biểu thức chứa căn thức bậc hai.
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, chính xác, linh hoạt.
II, Lí thuyết cần nhớ:
Căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho
2
x
= a.
Số a > 0 có hai CBH là
a
và
a
.
Số a

0 ,

a
đợc gọi là CBHSH của a.
a, b là các số không âm, a < b


a
<
b
.

A
xác định (hay có nghĩa)

A

0 (A là một biểu thức đại số).
Các công thức biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai.(GV cùng HS nhắc
lại).
III, Bài tập và h ớng dẫn:
Bài 1. Tính.
1,
20 5
;
12 27
;
3 2 5 8 2 50+
;
2 5 80 125 +
;
3 12 27 108 +

;

2 45 80 125+
;
75 48 300+
;
8 50 18 +
;
32 50 98 72 +
;

1
2 20 18 6 200
2
+
;
0,09 0,64 0,81 0,01 0,16 0,25+ +
.
2,
10. 40
;
5. 45
;
52. 13
;
2. 162
;
5 18
.
8 5

;
8. 18. 98
;
2 3
. 6
3 2

+
ữ
ữ

.
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 3
Tài liệu ôn thi vào 10
3,
45.80
;
75.48
;
90.6,4
;
2,5.14,4
.
4,
( 12 27 3) 3+
;
( )
20 45 5 5 +
;
9 1

2 2
2 2

+
ữ
ữ

;
5,
( ) ( )
2 1 2 1+
;
7 4. 4 7+
;
4 3 2. 4 3 2+
;
3 5 2 . 3 5 2 + + +
.
6,
3
3
;
2
2 1
;
3 3
3
+
;
5

3 20
;
3 2
2 1


;
5 3
5 2

+
;
2 3
2 3

+
;
3 2
3 2

+
.
7,
2 2
2 1


;
10 2
1 5

;
15 6
2 5


;
3 2 2 3
2 3


.
8,
8 2 15+
;
12 2 35+
;
8 60+
;
17 12 2
;
9 4 2+
;
(Chú ý rút ra HĐT:
( )
2
2a ab b a b + =
)
Bài 2. Rút gọn

1,
3
9
a
a


;
2 1
1
a a
a
+

;
4 4
4
a a
a
+

;
5 4
1
a a
a
+

;
5 6

3
a a
a
+

;
2,
6 24 12 8 3+ + +
;
5 3 29 12 5
;
6 2 2 12 18 128 + +
.
3,
a a b b
ab
a b
+

+
(a > o; b > 0).
4,
x y y x
xy
+
(x > 0; y > 0).
5,
1
:
a b b a

ab a b
+


( )
, 0;a b a b>
.
6,
1 1
1 1
a a a a
a a

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+


( )
0; 1a a
.
7,
1 1 4
4
2 2
x
x x
+

+
(
0; 4x x
).
rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức - Kĩ năng:
- HS đợc củng cố các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai .
Vận dụng tính toán,rút gọn đợc biểu thức có chứa căn thức bậc hai.
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, chính xác, linh hoạt.
II, Lí thuyết cần nhớ:
* Cách tìm ĐKXĐ của các căn thức, phân thức.
- Biểu thức dới căn không âm.
- Mẫu thức khác 0.
* Phân tích đa thức thành nhân tử thành thạo.
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 4
Tài liệu ôn thi vào 10
* Nắm vững thứ tự thực hiện các phép tính.
( )
[ ]
{ }
.
;
,: ,
n
a ì +

và các phép tính về đơn thức, đa thức, phân thức, căn thức.
* Vận dụng linh hoạt các HĐT:

2
( 1) 2 ( 1)a a a
+ = +
;
( )
2
2a ab b a b
+ =

( ) ( )
a a b b a b a ab b = +m
;
( ) ( )
a b a b a b = +
.
III, Bài tập và h ớng dẫn:
* Ph ơng pháp: - Tìm ĐKXĐ(BT dới căn có nghĩa, mẫu

0).
- Rút gọn từng phân thức trong biểu thức (Nếu có thể).
- Biến đổi, rút gọn cả biểu thức.
- Kết luận.
* Bài tập. Rút gọn các biểu thức sau:
1
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 1
A
x x x x x

= + +
ữ ữ
+ +

kq:
1
x x
2
1 1 2
:
2
a a a a a
A
a
a a a a

+ +
=
ữ
ữ

+

kq:
2 4
2
a
a

+

3
1 2
1 :
1
1 1
x x
A
x
x x x x x

= +
ữ ữ
ữ ữ
+
+

kq:
1
1
x x
x
+ +

4
1 1 2
:
1
1 1
x
A

x
x x x x


= +
ữ
ữ
ữ

+


kq:
1x
x

( )
5
2
:
a a b b b
A a b
a b a b
+
= +
+ +
kq:
a ab b
a b
+

6
:
2
a a a a a
A
b a
a b a b a b ab

= +
ữ ữ
ữ ữ

+ + + +

kq:
( )
a b
a b a
+

7
1
1 1 :
1 1 1
a a a a a
A
a a a

+ +

= +
ữ ữ
ữ ữ
+

8
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
A
x
x x x


= +
ữ ữ
ữ ữ

+ +

kq:
3 1
x x
x
+

9
2 9 3 2 1

5 6 2 3
x x x
A
x x x x
+ +
=
+
kq:
1
3
x
x
+

10
:
x x y y
x y
A xy
x y x y

+

=
ữ
ữ
+ +

* Các dạng toán có sử dụng kết quả của bài toán rút gọn.
1. Tính giá trị của biểu thức sau khi rút gọn.

+ Hớng dẫn: - Nếu biếu thức đã rút gọn chứa căn, giá trị của biến chứa căn, ta biến đổi
giá
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 5
Tài liệu ôn thi vào 10
trị của biến về dạng HĐT.
- Nếu giá trị của biến chứa căn ở mẫu, ta trục căn thức ở mẫu trớc khi
thay vào
biểu thức.
+ Ví dụ: Tính
1
A
khi
7 4 3x = +
. ( ta biến đổi
( )
2
7 4 3 2 3+ = +
rồi hãy thay vào tính).
2. Tìm giá trị của biến để biểu thức đã rút gọn bằng một số.
+ Hớng dẫn: - Thực chất là giải PT A = a.
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
+ Ví dụ: Tìm x để
4
5A =
. (Ta giải PT:
1
5
x
x

=
. ĐK:
0; 1x x>
).
3. Tìm giá trị của biến để biểu thức đã rút gọn lớn hơn, hoặc bé hơn một số (
một biểu thức).
+ Hớng dẫn: - Thực chất là giải BPT A > a(P) ( hoặc A < a(P)).
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
+ Ví dụ: Tìm x để
4
1A >
. (Ta giải BPT:
1
5
x
x

>
. ĐK:
0; 1x x>
).
4. Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức đã rút gọn nhận giá trị nguyên.
+ Hớng dẫn: - Tách phần nguyên, xét ớc.
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
+ Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của biến x để biểu thức
9
A
nhận giá trị nguyên.
( Ta có
9

1 4
1
3 3
x
A
x x
+
= =

.
9
A
nguyên


3x
là ớc của 4. Sau đó xét ớc của 4,
rồi
đối chiếu với ĐK để KL).
5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đã rút gọn.
+ Hớng dẫn: Có thể đánh giá bằng nhiều cách, tuỳ bài toán cụ thể mà ta chọn cách nào
đó
cho phù hợp.
6. So sánh biểu thức đã rút gọn với một số hoặc một biểu thức.
+ Hớng dẫn: Xét hiệu A - m
- Nếu A - m > 0 thì A > m.
- Nếu A - m < 0 thì A < m.
- Nếu A - m = 0 thì A = m.
+ Ví dụ: So sánh
4

A
với 1. ( Lập hiệu
1
1
x
x


, rồi xét xem hiệu này > 0; < 0; = 0


KL).
Bài tập tổng hợp.
Bài 1. Cho biểu thức:
1 1 3
: 1
1
x x x x x
A
x x x x x

+
=
ữ ữ
ữ ữ
+ +

kq:
1
1

x
x
+


Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 6
Tài liệu ôn thi vào 10
1, Tìm ĐK XĐ của biểu thức A.
2, Rút gọn A.
3, Tính giá trị của biểu thức A khi
1
6 2 5
x =

4, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A bằng -3.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A nhỏ hơn -1.
7, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A lớn hơn
2
1x

+
8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A - 1 Max
9, So sánh A với
1x +

Bài 2. Cho biểu thức:
4 1 2
1 :
1 1

1
x x x
B
x x
x


= +
ữ
ữ



kq:
3
2
x
x


1, Tìm x để biểu thức B xác định.
2, Rút gọn B.
3, Tính giá trị của biểu thức B khi x =
11 6 2
4, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B bằng -2.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B âm.
7, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B nhỏ hơn -2.
8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B lớn hơn
1x

Bài 3. Cho biểu thức:
3
3
2 1 1
1 1
1
x x x
C x
x x x
x


+ +
=
ữ
ữ
ữ
ữ
+ + +



kq:
1x

1, Biểu thức C xác định với những giá trị nào của x?
2, Rút gọn C.
3, Tính giá trị của biểu thức C khi x =
8 2 7

4, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C bằng -3.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C lớn hơn
1
3

.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C nhỏ hơn
2 3x +
.
7, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C nhỏ nhất.
8, So sánh C với
2
x

.
Bài 4. Cho biểu thức:
2 4 2 3
1 :
4
6 3 2
x x x x x
D
x
x x x x


=
ữ ữ
ữ ữ

+

kq:
2
3x

1, Tìm ĐK XĐ của biểu thức D.
2, Rút gọn D.
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 7
Tài liệu ôn thi vào 10
3, Tính giá trị của biểu thức D khi x =
13 48
.
4, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D bằng 1.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D âm.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D nhỏ hơn -2 .
7, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức D nhận giá trị nguyên.
8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D lớn nhất.
9, Tìm x để D nhỏ hơn
1
x
.
Bài 5. Cho biểu thức:
1 1 8 3 1
:
1 1
1 1 1
a a a a a
E
a a

a a a

+
=
ữ ữ
ữ ữ

+

kq:

1, Tìm a để biểu thức E có nghĩa.
2, Rút gọn E.
3, Tính giá trị của biểu thức E khi a =
24 8 5
4, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E bằng -1.
5, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E dơng.
6, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ hơn
3a +
.
7, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ nhất.
8, So sánh E với 1 .
Bài 6. Cho biểu thức:
1 1 1
4
1 1
a a
F a a
a a a

+

= +
ữ
ữ
ữ
+


kq: 4a
1, Tìm ĐK XĐ của biểu thức F.
2, Rút gọn F.
3, Tính giá trị của biểu thức F khi a =
6
2 6+
4, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức F bằng -1.
5, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ hơn
1a
.
6, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ nhất.
7, Tìm giá trị của a để
F F>
. (
2
1
0 0
4
F F a > < <
).
8, So sánh E với

1
a
.
Bài 7. Cho biểu thức:
2
2 2 2 1
1 2
2 1
x x x x
M
x
x x

+ +
=
ữ
ữ

+ +

kq:
x x +

1, Tìm x để M tồn tại. 2, Rút gọn M.
3, CMR nếu 0 <x < 1 thì M > 0. (
1 0; 0 0x x M > > >
)
3, Tính giá trị của biểu thức M khi x = 4/25.
4, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M bằng -1.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M âm ; M dơng.

6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M lớn hơn -2 .
7, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 8
Tài liệu ôn thi vào 10
8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M lớn nhất.
9, Tìm x để M nhỏ hơn -2x ; M lớn hơn
2 x
.
10, Tìm x để M lớn hơn
2 x
.
bài tập Bổ SUng
Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau
1.
;
4
44
);
1
12
);
9
3
)
a
aa
c
a
aa
b

a
a
a

+

+



;
3
65
);
1
45
)

+

+
a
aa
e
a
aa
d
g)
4
65

+
x
xx
;
2.a)A=
xx
x
x
x
x
x











+


+
4
1
:

4
14
22
b) B =
1
:
1
1
22
1
22
1
2
2
+









+


+
+
a

a
a
a
aa
c) C=
:
2
xy
( )
2
2
11
yx
yx
yx

+










d) D=
( )
y

yxx
yxx
yxx
yxx
yxx









+



+
4
:
Bài9: 1. Cho biểu thức: A =
22
:
1
2
12
2

+
+
a
a
a
a
aa
a
a) Rút gọn A; b)Tìm các giá trị nguyên của a để A nguyên; c) Tìm a để A < -1
Bài10 . Cho biểu thức B =
4
4
2
1
2
1


+
+

x
xx
a)Tìm x để B có nghĩa; b) Rút gọn B; c)Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên
Bài11 . Cho biểu thức C=
12
1
:
1
11
+
+







+

aa
a
aaa

a) Rút gọn C; b)Tính C với a =3 - 2
2
Bài 12. Cho biểu thức D =

+










+
+
1
2
1
1
:
1
1
aaaa
a
a
a

a
a) Rút gọn D; b)Tìm a để D > 1; c) Tìm a nguyên để D nhận giá trị nguyên.
Bài 13. Cho biểu thức E =








+










+
1
2
1
1
:
1
aaaa

a
a
a
a
Bài 14. Cho biểu thức F
2
)1(
2
:
12
2
1
2
a
aa
a
a
a









++
+

=

aaFKQ
=
:

a) Rút gọn F ; b) Tìm GTLN của F
Bài 15. Cho biểu thức G








+










+

+=
1
2
1
1
:
1
1
aaaa
a
a
a
a

1
1
:

++
=
a
aa
GKQ
a) Rút gọn G; Tìm a sao cho G > 1;c)Tính giá trị của G với
3819
=
a
Bài 16. Cho biểu thức H
:
2

x x y y x x y y
x y
x y
x y x y xy



+


=
ữ

ữ

+ +




x 0
Với y 0
x y
a) Rút gọn H (
:
xy
KQ H
x xy y
=
+

); b) Chứng minh : 0 <H<1 (So sánh
H Hvới
)
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 9
Tài liệu ôn thi vào 10
Bài 17. Cho biểu thức
xx
x
x
x
x
x
x
x
K












+

+
=
2
3
:
4
4
2
2
2
2

3
4
:

=
x
x
KKQ
a) Rút gọn K; b)Tìm x để K > 0; c) Tìm x để K = 1
Bài 18. Cho biểu thức
21
3


=
x
x

L
. a) Rút gọn L; b)Tìm GTNN của L
Bài 19. Cho biểu thức








+











+
+



=
13

23
1:
19
8
13
1
13
1
x
x
x
x
xx
x
M

13
:

+
=
x
xx
MKQ
a) Rút gọn M; b)Tìm x để
5
6
=
M
Bài 20. Cho biểu thức

+




+
+












=
3
2

2
3
6
9
:1
9
3
x
x
x
x
xx
x
x
xx
N

2
3
:

=
x
NKQ
a) Rút gọn N; b) Tìm x để N <1; c)Tìm x Z để N Z
Bài 21. Cho biểu thức

+
+
+
+

+












=
3
5
5
3
152
25

:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
P
3
5
:
+
=
x
PKQ
a) Rút gọn P; b)Tìm x Z để P Z
Bài 22. Cho biểu thức








+

=

+
+








+

+=
ỹy
yx
xxy
y
yxy
x
yx
xyy
xQ :
xyQKQ
=
:
a) Rút gọn Q; b)Tính giá trị của Q với
324,3
+==

yx
Bài 23. Cho biểu thức










+



+









+

+
=

4
2
2
2
2
2
:
2
1
4
7
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
R
;
a
a
RKQ
6
9
:
+
=

a) Rút gọn R; b) So sánh
R
R
1
Với
Hàm số bậc nhất- đồ thị hàm số bậc nhất.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức - Kĩ năng:
- HS đợc củng cố khái niệm HSBN, đk để một hàm số là hàm số bậc nhất.
- HS xác định đợc tính đồng biến, nghịch biến, hình dạng, cách vẽ đồ thị
HSBN.
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, chính xác, linh hoạt.
II, Lí thuyết cần nhớ:
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 10
Tài liệu ôn thi vào 10
* Dạng HSBN y = ax + b (a

0)
Là đờng thẳng song song với đờng thẳng y = ax , cắt trục tung tại b, cắt trục hoành tại
-
b
a
* T/ c đồng biến, nghịch biến của HSBN.
- Đồng biến khi a > 0.
- Nghịch biến khi a < 0.
* Cách vẽ đồ thị HSBN.
- Cho x = 0

y = b. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại b.
- Cho y = 0

x= -
b
a
. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại -
b
a
.
- Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm vừa tìm ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b.
III, Bài tập và h ớng dẫn:
Bài 1. Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số bậc nhất? Xác định a, b và tính đồng
biến, nghịch biến của hàm số đó.
y = 2 - 0,3 x; y = 3 - 2
2
x
; y =
2( 2)x
; y = -2,5x; y =
( 2 1) 3x +
;
y +
5
= x -
3
; y=
2 3x
; y = 2
x
+ 3; y =
1

x
x
+
;
y = x
2
- 1; y = (x + 1)(x + 2).
Bài 2. Tìm ĐK của tham số để một hàm số là hàm số bậc nhất.
1. y = (m - 3)x +5; y = (2 - 4m)x - 1; y = (1 - 2m)x +
1
2
; y = mx -
2
x + 3;
2. y =
7 m
(x -1); y =
2
100
2
m
x
m
+


; y =
2
4 4 3m m x + +
; y =

2
2
4,5
1
x
m

+

.
Bài 3. Cho các hàm số y = (m + 1)x - 5; y = (6 - 2m)x + 2
a. Tìm m để hàm số đồng biến.
b. Tìm m để hàm số nghịch biến.
Bài 4. Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng toạ độ:
a. Có tung độ là 5.
b. Có tung độ là 0.
c. Có hoành độ là -2.
d. Có hoành độ là 0.
e. Có hoành độ bằng tung độ.
f. Có hoành độ và tung độ đối nhau.
g. Có hoành độ gấp đôi tung độ.
Bài 5. a. Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, vẽ các đồ thị hàm số sau: y = -2x; y =
1
2
x; y
= 2x +3
b. Qua điểm (0;2), vẽ đờng thẳng song song với 0x cắt hai đờng thẳng trên lần lợt tại
A, B. CMR tam giác AOB vuông.
Bài 6. Cho hàm số
( )

3
x
g x b
= +
. Xác định b nếu:
a.
(1)
4g
=
; b.
( 2 )
2 2g
=
; c.
( 8)
3g

=
.
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 11
Tài liệu ôn thi vào 10
đờng thẳng song song- đờng thẳng cắt nhau.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức - Kĩ năng:
- HS đợc củng cố khái niệm HSBN, ĐTHS BN.
- Củng cố kiến thức về đờng thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau, vuông
góc nhau trên măt phẳng toạ độ.
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, chính xác, linh hoạt. Khả năng suy luận chặt chẽ.
II, Lí thuyết cần nhớ:
* Dạng HSBN y = ax + b (a

0)
Là đờng thẳng song song với đờng thẳng y = ax , cắt trục tung tại b, cắt trục hoành tại
-
b
a
* T/ c đồng biến, nghịch biến của HSBN.
- Đồng biến khi a > 0.
- Nghịch biến khi a < 0.
* Cách vẽ đồ thị HSBN.
- Cho x = 0

y = b. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại b.
- Cho y = 0

x= -
b
a
. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại -
b
a
.
- Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm vừa tìm ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b.
* ĐK để hai đờng thẳng song song (
,
a a=
;
,
b b
), cắt nhau(

,
a a
), trùng nhau(
,
a a=
;
,
b b=
), vuông góc nhau(
,
. 1a a =
).
III, Bài tập và h ớng dẫn:
Bài 1. Cho hàm số y = (m - 1)x + m.
a, m =? Thì hàm số đồng biến? nghịch biến?
b, m =? Thì đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 3x?
c, m =? Thì đồ thị hàm số đi qua A(-1; 5)
d, m =? Thì đồ thị hàm số cắt tung độ tại 6?
e, m =? Thì đồ thị hàm số cắt hoành độ tại -3?
f, m =? Thì đồ thị hàm số cắt đồ thị y = mx + 3?
g, m =? Thì đồ thị hàm số vuông góc với đồ thị y = -mx + 1?
h, Vẽ các đồ thị tìm đợc ở các câu trên? tìm toạ độ giao điểm của nó (nếu có)
Bài 2. Xác định hàm số y = ax + b biết:
a, ĐTHS song song với đờng thẳng y = 2x, cắt trục hoành tại diểm có tung độ là 3.
b, ĐTHS song song với đờng thẳng y = 3x - 1, đi qua diểm A(2;1)
c, ĐTHS đi qua B(-1; 2) và cắt trục tung tại -2.
d, ĐTHS đi qua C(
1
2

; -1) và D(1; 2).
Bài 3. Cho hàm số y = 3x + m (m- tham số). CMR: họ đờng thẳng
2
2 1
y mx m
mx m
= +


+

luôn đi
qua 1 điểm cố định.
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 12
Tài liệu ôn thi vào 10
Bài 4. Cho đờng thẳng y = 3x + 6
a, Tính diện tích tạo bởi đờng thẳng ấy với 2 trục toạ độ.
b, Viết PT đờng thẳng qua gốc toạ độ và vuông góc với đờng thẳ ng đã cho.
Bài 5. Cho hàm số y = (m-1)x + (m +1) (1)
a, Xác định hàm số y khi đờng thẳng (1) đi qua gốc toạ độ.
b, m =? để đờng thẳng (1) cắt trục tung tại -1.
c, m =? để đờng thẳng (1) song song với đờng thẳng y =
3
x + 2
d, m =? để đờng thẳng (1) vuông góc với đờng thẳng y = 2mx - 2.
e, CMR: Đờng thẳng(1) luôn đi qua 1điểm cố định.
Bìa 6: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết:
a) (d) đi qua A(1 ; 2) và B(- 2 ; - 5)
b) (d) đi qua M(3 ; 2) và song song với đờng thẳng () : y = 2x 1/5.
c) (d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đờng thẳng (d): y = -1/2x + 3.

d) (d) đi qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dơng trục Ox một góc 30
0
.
e) (d) đi qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đờng thẳng
f) (): y = 2x 3; (): y = 7 3x tại một điểm.
g) (d) đi qua K(6 ; - 4) và cách gốc O một khoảng bằng 12/5 (đơn vị dài).
Bài 7: Gọi (d) là đờng thẳng y = (2k 1)x + k 2 với k là tham số.
a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6).
b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y 5 = 0.
c) Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y = 0.
d) Chứng minh rằng không có đờng thẳng (d) nào đi qua điểm A(-1/2 ; 1).
e) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
Bi 8: Cho ng thng (d) y = (m 2)x + n (m 2). Tỡm cỏc giỏ tr ca m, n trong
mi trng hp sau:
a) ng thng (d) i qua hai im A(1 ; 2) v B(3 ; 4)
b) ng thng (d) ct trc tung ti im cú tung bng
1 2
v ct trc
honh ti im cú honh bng
2 2+
c) ng thng (d) ct ng thng (d
1
): 2y + x 3 = 0
d) ng thng (d) song song vi ng thng(d
2
): 3x + 2y = 1
e) ng thng (d) trựng vi ng thng (d
3
): y 2x + 3 = o
BI TP Bổ SUNG HM S BC NHT

Bi 1 : Cho hm s : y = ( m 1).x + m (d)
a) Tỡm m hm s ng bin, nghch bin ?
b) Tỡm m hm s song song vi trc honh.
c) Tỡm m th hm s i qua im A( - 1 ; 1)
d) Tỡm m th hm s song song vi ng thng cú phng trỡnh :
x 2y = 1
e) Tỡm m th hm s ct trc honh ti im A cú honh
2
3
2
=
x
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 13
Tµi liÖu «n thi vµo 10
f) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi
Bài 2 : Cho hàm số y = ( m – 2).x + n (d’) trong đó m, n là tham số
a) Tìm m, n để (d’) đi qua hai điểm A(1 ; - 2) ; B(3 ; - 4 )
b) Tìm m, n để (d’) cắt trục tung tại điểm M có tung độ
21
−=
y
và cắt trục
hoành tại điểm N có hoành độ
22
+=
x
Bài 3 :
a) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(x
0
, y

0
), hệ số góc là k.
b) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M(x
1
, y
1
) và N( x
2
, y
2
)
c) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm B( - 1 ; 3) và :
• Song song với đường thẳng : 3x – 2y = 1.
• Vuông góc với đường thẳng : 3y – 2x +1 = 0
Bài 4: Cho hàm số : y =
1
2
2
x
−
+

a , Xác định giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành ?
b , Gọi A , B là thứ tự các giao điểm nói trên . Tính diện tích tam giác OAB ( O là
gốc tọa độ )
Bài 5 : Trong các hàm số sau hàm số nào là bậc nhất ? Với các hàm số bậc nhất xác
định các hệ số a , b của chúng và cho biết hàm số đó đồng biến hay nghịch biến ?
a )
3 2y x= +
b ,

1 2y x= −
c )
1
2
y x
−
=
d )
1
3y
x
= +
e )
( )
2 3 4y x x= + −
g )
( )
3 1 3y x x= − −
Bài 6 : Vẽ tam giác ABC trên mặt phẳng tọa độ biết A ( 1;3 ) , B ( -2;0 ) , C ( 2;0 ) .
Tính diện tích tam giác ?
Bài 7 : Cho điểm A ( 2;1) . Xác định tọa độ các điểm :
a ) B đối xứng với A qua trục tung
b ) C đối xứng với A qua trục hoành
c ) D dối xứng với A qua O
Bài 8 : Tìm trên mặt phẳng tọa độ các điểm :
a ) Có tung độ bằng -1
b) Có hoành độ bằng 2
c) C tung độ gấp đôi hoành độ.
Bài 9 : Cho hàm số y = 2x
a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Điểm A thuộc đồ thị hàm số có khoảng cách đến gốc tọa độ bằng
3 5
. Xác
định tọa độ điểm A ?
NguyÔn V¨n TuÊn Trêng THCS TrÞnh x¸ 14
Tµi liÖu «n thi vµo 10
Bài 10 : Cho các hàm số y= -2x (d
1
) ,
1
2
y x=
(d
2
)
a) Vẽ đồ thị các hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ ?
b) xác dịnh điểm B thuộc (d
1
) và điểm C thuộc (d
2
) sao cho hoành độ của chúng đều
bằng 2 ?
c) Giải thích vì sao các đường thẳng (d
1
) và (d
2
) vuông góc với nhau ?
Bài 11 : Xác dịnh hàm số y =ax+b biết rằng đồ thị của nó song song với đường thẳng
y = -2x và đi qua điểm A ( 1 ; -4 ) . Vẽ đồ thị hàm số với a,b tìm được?
Bài 12 : Xác định hàm số y = ax +b biết rằng đồ thị của nó cát trục tung tại điểm có

tung độ bằng -2 , cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 ?
Bài 12 : Xác dịnh hàm số y =ax+b biết rằng đồ thị của nó song song với đường thẳng
2
1
3
y x
−
= +
và đi qua điểm A ( 3 ; -1 )
Bài 13 : Cho điểm A ( 2;3 ) . xác định hàm số y =ax+b biết rằng đồ thị của nó đi qua
điểm B ( 2 ;-1 ) và song song với đường OA ( O là gốc tọa độ )
Bài 14 : Cho hàn số y=ax có đồ thị đi qua điểm A ( 3 ;
3
) . xác định hệ số a và tính
góc tạo bởi đường thẳng và tia Ox ?
Bài 15 : Cho hàm số y = x -2
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Gọi a là góc tạo bởi đường thẳng y = x -2 và tia Ox . tính a ?
Bài 16 : Xác dịnh hàm số y =ax+b biết rằng đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có
tung độ bằng -3 và tạo với tia Ox góc a = 60
0
Bài 17: Cho các đường thẳng

2 2y x= +
(d
1
)

1
2

2
y x
−
= +
(d
2
)

2 6y x= −
(d
3
)
Không vẽ các hàm số đó cho biết các đường đó có vị trí như thế nào với nhau ?
Bài 18 : Cho các hàm số sau , hàm số nào là bậc nhất ? Với các hàm số bậc nhất
hãy xác định các hệ số a ,b và cho biết hàm số nào đồng biến , hàm số nào nghịch
biến ?
a) y = 3x -7
b)
1
y x
x
= +
c ) 5 3( 1)y x= − − +
Bài 19 : Cho hàm số y = f(x) =3x+6 và y=g(x) = 6-3x , hãy tính f(1) ,f(2) ,f(3) ,f(4) ,
f(5) và g(1) , g(2) ,g(3) ,g(4), g(4)
Có nhận xét gì về giá trị của các hàm số f(x) và g(x) với cùng một giá trị biến x ?
Bài 20: Trên mặt phẳng tọa độ oxy , vẽ tam giác ABC biết A( 1;2) , B ( -1;0) , C(2;0)
NguyÔn V¨n TuÊn Trêng THCS TrÞnh x¸ 15
Tµi liÖu «n thi vµo 10
a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Tính chu vi tam giác ABC
Bài 21: Cho hàm số
( )
3 2 2 2 1y x= − + −

a) Chứng tỏ hàm số đã cho là hàm số bậc nhất . Hàm số đã cho là hàm số đồng
biến hay nghịch biến ?
b) Tìm giá trị của biến x để y = 0
Bài 22 : Trong mặt phẳng tọa độ 0xy ,cho điểm A
1
( 2 ; 2) . Vẽ A
2
đối xứng A
1
qua
Ox A
4
đối xứng A
1
qua trục Oy , A
3
đối xứng A
1
qua gốc tọa độ .
a) Chứng minh tứ giác A
1
A
1
A
1

A
4
là hình vuông và điểm O là tâm hình vuông đó
b) Tính chu vi và diện tích hình vuông A
1
A
1
A
1
A
4

Bài 23 : Cho hàm số
2y x=

a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Xác định tung độ các điểm A , B ,C thuộc đồ thị có hoành độ lần lượt là -1 ;1 ; 2
c) Tính khoảng cách từ A, B ,C đến gốc tọa độ
d) Gọi a là góc hợp bởi đồ thị với trục Ox . tính tga từ đó suy ra góc a
Bài 24 : Cho hàm số y = | x |
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Vẽ đường thẳng y = 2 cắt đồ thị y = |x | tại A và B . chứng minh tam giác OAB là
tam giác vuông . Tính diện tích tam giác OAB.
Bài 25: a) Biết đồ thị hàm số y = ax +7 đi qua điểm M ( 2 ; 11 ) tìm a ?
b) Biết rằng khi x = 3 thì hàm số y = 2x + b có giá trị bằng 8 . Tìm b ?
Bài 26 : Cho hàm số y = 2x và y = -3x +5
a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ ,đồ thị hai hàm số trên ?
b) Tìm tọa độ giao điểm M của hai hàm số nói trên . goi A , B lần lượt là giao điểm
của đường thẳng y = -3x +5 với trục hoành và trục tung . Tính diện tích tam giác
OAB và tam giác OMA

Bài 27 : Cho hàm số y = -x +1 , y = x+1 , y = -1
a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ , đồ thị các hàm số đó.
b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 là A, giao điểm của
đường thẳng y = -1 với hai đường thẳng trên là B , C . Chứng tỏ tam giác ABC
là tam giac cân . Tính chu vi và diện tích tam giác ?
Bài 28 : Một đường thẳng đi qua gốc tọa độ và có hệ số góc bằng 5
a) Viết phương trình đường thẳng đó
b) Các điểm M ( 2;5) , N(1;5) , P ( 3;5 ) có thuộc đường thẳng đã cho không ?
c) Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng song song với đường thẳng nói
trong câu a
Bài 29 : Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = -2x + 5 và
thỏa mãn một trong các điều kiện :
NguyÔn V¨n TuÊn Trêng THCS TrÞnh x¸ 16
Tµi liÖu «n thi vµo 10
a) Đi qua gốc tọa độ
b) Đi qua diểm M ( 1; 1 )
c) Đi qua điểm N ( -1 ;10)
Bài 30 : a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A ( 4 ; -5 ) và có hệ số góca =
-2
b)Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm B ( 0 ;1 ) và C ( 8 : -1)
c) Ba điểm sau đây có thẳng hàng hay không : M ( -2 ; -3 ) , N ( -6 ; -5 ) , P ( 1 ; 1 )
Bài 31 : Chứng tỏ ba điểm A ( 2;3) , B ( -1;-3) , C ( 0 ; -1 ) là ba điểm thẳng hàng
Bài 32 : Chứng minh rằng các đường thẳng y = 2x +4 , y = 3x + 5 , và y = -2x cùng đi
qua một điểm ?
Bài 33 : Với giá trị nào của k thì hai đường thẳng y = ( k+2 )x +1 ; y = 3x -2
a) Song song với nhau.
b) Cắt nhau.
c) Vuông góc với nhau.
Bài 34 : Chứng minh rằng khi k thay đổi thì các đường thẳng sau luôn đi qua một
điểm cố định

a) kx – 2y =6
b) k( x-1) +3y =1
Bài 35 :
a) Vẽ tam giác ABC trong mặt phẳng tọa độ biết A ( 3 ; 4) , B ( -5 ;0) , C ( 0 ;7)
b) Tìm khoảng cách từ các đỉnh của tam giác đến gốc tọa độ
c) Tìm tọa độ các điểm đối xứng của đỉnh A qua Ox , Oy và gốc O
Bài 35 : Xác định các hệ số a , b của hàm số y = ax + b biết rằng :
a) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 và cắt trục hoành tại điểm A có
hoành độ là 2
b) Đồ thị là một đường thẳng có hệ số góc là -3 và đi qua điểm C ( 1 ; 2)
Bài 36: Xác định các hệ số a , b của hàm số y = ax + b biết rằng
a) Đồ thị nó đi qua hai điểm M ( 1;3) , N ( 2 ; 1)
b) Đồ thị của nó là một đường thẳng song song với đường thẳng y = -3x +1 và đi
qua điểm P ( 2 ;-2)
c) Đồ thị của nó là một đường thẳng đi qua điểm Q ( 1 ; 4 ) và song song với đường
thẳng chứa phân giác của góc phần tư thứ nhất ?
Bài 37 : a) Không vẽ đồ thị hãy nhận xét rằng ba đường thẳng : y = 3x + 1 ; y = 1 –
x ;
1
2
x
y = +
đồng quy tại một điểm . Tìm tọa độ điểm đó ?
b)Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = 5x + m đồng quy với hai đường thẳng
y = 3x + 1 ; y = x -1
Bài 38 : Tìm các giá trị của m để các đường thẳng mx - 2y + 1 = 0 và x + y – 2 = 0
a) Cắt nhau
NguyÔn V¨n TuÊn Trêng THCS TrÞnh x¸ 17
Tµi liÖu «n thi vµo 10
b) Song song nhau

c) Trùng nhau
Bài 39 : a) Vẽ đồ thị hàm số
3y x=

b)Tìm tung độ các điểm M ,N ,P thuộc đồ thị có hoành độ là -1 ; 2 ; 3
a) Gọi a là góc tạo bởi đường thẳng
3y x=
với tia Ox . tính tg a , suy ra số đo góc
a ?
Bài 40 : a) Cho hàm số y = 2x -3 ; y = 3 -2x ;
4
2
3
y x= −
trên cùng một hệ trục tọa độ .
có nhận xét gì về đồ thị của các hàm số này ?
b) Cũng hỏi như thế với các hàm số : y = x - 2 ; y = -3x - 2 ;
1
2
2
y x= −
Bài 41 : Xác định hàm số y = ax + b biết
a) a = 2 đô thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3.
b) a = 3 đồ thị hàm số đi qua điểm ( 2;1 ).
c) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = x và đi qua điểm ( 1 : 3 )
d) Có nhận xét gì về góc của ba đường thẳng trong các câu a )b)c ) tạo với tia Ox ?
Bài 42 : Vẽ đồ thị các hàm số y1 = x +1 ; y2 =
1
3
3

x +
;
3 3 3y x= −
gọi
, ,
α β δ
lần
lượt là các góc tạo bởi các đường thẳng trên với tia Ox . CMR :
1
1; ; 3
3
tg tg tg
α β δ
= = =
và suy ra
0 0 0
45 ; 30 ; 60
α β δ
= = =
Bài 43 : Biết tọa độ ba đỉnh hình vuông A(-2 ; 0 ) ; B ( 0;2) ; C( 2 ; 0 )
a) Hãy xác định tâm I của hình vuông và đỉnh thứ tư D của nó
b) Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình vuông
Bài 44 : Gọi (d) là đường thẳng y = 2x + 2 cắt trục hoành tại C và trục tung tại D
a) Viết phương trình đường thẳng (d
1
) // (d) và qua điểm A ( 1 ; 0).
b) (d
1
) cắt trục tung tại B tứ giác ABCD là hình gì ?
c) Viết phương trình đường thẳng (d

2
) qua điểm D và vuông góc với (d).
d) (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại M .Tìm tọa độ của M và tính diện tích tứ giác BCDM
Bài 45 : Xét các đường thẳng (d) có phương trình ( m +2 ) x +(m - 3)y – m + 8 = 0 .
CMR với mọi m , các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A ( -1 ; 2 )
Bài 46 : CMR khi m thay đổi , các đường thẳng 2x + ( m - 1)y = 1 luôn luôn đi qua
một điểm cố định
Bài 47 : Cho đường thẳng ( m - 2)x+(m - 1)y = 1 ( m là tham số )
NguyÔn V¨n TuÊn Trêng THCS TrÞnh x¸ 18
Tài liệu ôn thi vào 10
a) CMR ng thng luụn i qua mt im c nh vi mi giỏ tr ca m
b) Tớnh giỏ tr ca m khong cỏch t gc O n ng thng l ln nht .
Bi 48: Xột cỏc ng thng (d) cú phng trỡnh : ( 2m + 3)x +(m + 5)y + (4m - 1) =
0
( m l tham s )
a) V th ng thng (d) ng vi m = -1
b) Tỡm im c nh m mi ng thng (d) u i qua
Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức: HS nắm vững các khái niệm về HPT BN hai ẩn. Các cách giải HPTBN hai
ẩn.
* Kĩ năng: Giải thành thạo các HPTBN hai ẩn. Tránh đợc các sai sót hay mắc phải:
Thiếu ĐK, trình bày tắt, kết luận nghiệm không rõ ràng
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, chính xác, lô gíc chặt chẽ, rõ ràng.
II, Lí thuyết cần nhớ:
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 19

Tài liệu ôn thi vào 10
* HPTBN hai ẩn có dạng
, , ,
ax by c
a x b y c
+ =


+ =

trong đó
ax by c
+ =
và
, , ,
a x b y c
+ =
là các
PTBN hai ẩn.
* KN nghiệm của HPTBN hai ẩn.
* Nghiệm của PTBN hai ẩn.
* Các phơng pháp giải HPT BN hai ẩn: Dùng đồ thị, PP cộng, PP thế, PP đặt ẩn phụ.
III, Bài tập và h ớng dẫn:
VD : Giải các HPT sau:
a.
2 3
3 7
x y
x y
=

+ =

b.
2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ =


+ =

c.
2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ =

+

+ =

+

Giải:
a. Dùng PP thế:
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


2 3 2 3 2 2
3 2 3 7 5 10 2.2 3 1
y x y x x x
x x x y y
= = = =



+ = = = =

Vậy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x

y
=


=

Dùng PP cộng:
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


5 10 2 2
3 7 3.2 7 1
x x x
x y y y
= = =



+ = + = =

Vậy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1

x
y
=


=


b. Để giải loại HPT này ta thờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi.

2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ =


+ =


10 15 10 11 22 2 2
10 4 12 5 2 6 5 2.( 2 6) 2
x y y y x
x y x y x y
+ = = = =



+ = + = + = =

Vậy HPT có nghiệm là
2
2
x
y
=


=

c. Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai cách giải sau đây:
+ Cách 1: Sử dụng PP cộng. ĐK:
1, 0x y
.

2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ =

+

+ =

+


2
2
1 1
1 3
1
2 2
2 5 2
2 5
1 4
1 1
1
1 1 1
1
y y
y
x x
y y
x x
x y

=
= =

+ = =



+ = =

= =
+ =
+ +



+


Vậy HPT có nghiệm là
3
2
1
x
y

=



=

+ Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ. ĐK:
1, 0x y

.
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 20
Tài liệu ôn thi vào 10
Đặt
1
1
a
x
=
+
;
1
b
y
=
. HPT đã cho trở thành:

2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2
2 5 1 2 2 1 1
a b a b a a
a b b b b
+ = + = + = =



+ = = = =


1
2

3
1
2
1
1
1
x
x
y
y

=


=
+




=
=



(TMĐK)
Vậy HPT có nghiệm là
3
2
1

x
y

=



=

Lu ý: - Nhiều em còn thiếu ĐK cho những HPT ở dạng này.
- Có thể thử lại nghiệm của HPT vừa giải.
Bài tập. Giải các hệ phơng trình sau:
1,
2 4
3 1
x y
x y
+ =


=

;
1
3 2 3
x y
x y
=

+ =

;
2 5
3 1
x y
x y
+ =


=

;
3 5 0
3 0
x y
x y
=


+ =

;
0,2 3 2
15 10
x y
x y
=

=

;

3 2
2 4 2007
x y
x y
=


+ =

;
3 2
3 9 6
x y
y x
=


+ =

;
5
2
2 6
y
x
x y

=



=

;
2 3 6
5 5
5
3 2
x y
x y
+ =



+ =


;
2 5
3 3 15
2 4 2
x y
x y
+ =

+ =


;
2,
3 5
1
x y
x y

+ =


+ =


;
2 1 3
2 5
y x
x y

= +


=


;

6 6 5
4 3
1
x y xy
x y
+ =



=


;
( )( 2 ) 0
5 3
x y x y
x y
+ =


=

;
2 3 5
2 2 3 3 5
x y

=

+ =



3 3 3 2 3
2 3 6 2
x y
x y

=


+ = +


;
( 1) 2( 2) 5
3( 1) ( 2) 1
x y
x y
+ + =


+ =

;
( 5)( 2) ( 2)( 1)
( 4)( 7) ( 3)( 4)
x y x y
x y x y

+ = +


+ = +

.

( 1)( 2) ( 1)( 3) 4
( 3)( 1) ( 3)( 5) 1
x y x y
x y x y
+ + =


+ =

;
3( ) 5( ) 12
5( ) 2( ) 11
x y x y
x y x y
+ + =


+ + =

;
( )( 1) ( )( 1) 2
( )( 1) ( )( 2) 2
x y x x y x xy

y x y y x y xy
+ = + +


+ = +

3,
1 1 4
5
1 1 1
5
x y
x y

+ =




=


;
1 2
2
5 4
3
x y x y
x y x y

=

+



=

+


1 5 5
2 3 3 8
3 5 3
2 3 3 8
x y x y
x y x y

+ =

+



=

+

PHƯƠNG TRìNH BÂC HAI Và Hệ THứC VIET
A. M U

Trong mt vi nm tr li õy thỡ trong cỏc thi vo lp 10 trung hc
ph thụng , cỏc bi toỏn v phng trỡnh bc hai cú s dng ti h thc Vi- Et xut
hin khỏ ph bin . Trong khi ú ni dung v thi lng v phn ny trong sỏch
giỏo khoa li rt ớt, lng bi tp cha a dng .
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 21
Tài liệu ôn thi vào 10
Ta cng thy gii c cỏc bi toỏn cú liờn qua n h thc Vi Et,
hc sinh cn tớch hp nhiu kin thc v i s , thụng qua ú hc sinh cú cỏch
nhỡn tng quỏt hn v hai nghim ca phng trỡnh bc hai vi cỏc h s.
Vy nờn nhúm toỏn chỳng tụi xõy dng chuyờn ny ngoi mc ớch
giỳp hc sinh nõng cao kin thc cũn giỳp cỏc em lm quen vi mt s dng toỏn
cú trong thi vo lp 10 trung hc ph thụng
Ni dung chớnh ca chuyờn gm :
I. ng dng 1
II. ng dng 2
III. ng dng 3
IV. ng dng 4
V. ng dng 5
VI. ng dng 6
VII. ng dng 7
VIII. ng dng 8
Nhm nghim ca phng trỡnh bc hai mt n
Lp phng trỡnh bc hai
Tỡm hai s bit tng v tớch ca chỳng
Tớnh giỏ tr ca biu thc nghim ca phng trỡnh
Tỡm h thc liờn h gia hai nghim ca phng trỡnh sao
cho hai nghim ny khụng ph thuc vo tham s
Tỡm giỏ tr tham s ca phng trỡnh tha món biu thc
cha nghim

Xỏc nh du cỏc nghim ca phng trỡnh bc hai
Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca biu thc nghim

Cho phng trỡnh bc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a0) (*)
Cú hai nghim
1
2
b
x
a

= ;
2
2
b
x
a
+
=
Suy ra:
1 2
2
2 2
b b b b
x x
a a a
+
+ = = =

2
1 2
2 2 2
( )( ) 4
4 4 4
b b b ac c
x x
a a a a
+
= = = =
Vy t : - Tng nghim l S : S =
1 2
b
x x
a

+ =
- Tớch nghim l P : P =
1 2
c
x x
a
=
Nh vy ta thy gia hai nghim ca phng trỡnh (*) cú liờn quan cht ch vi
cỏc h s a, b, c. õy chớnh l ni dung ca nh lớ VI-ẫT, sau õy ta tỡm hiu mt s
ng dng ca nh lớ ny trong gii toỏn.
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 22
Tµi liÖu «n thi vµo 10
I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1. Dạng đặc biệt:

Xét phương trình (*) ta thấy :
a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*)  a.1
2
+ b.1 + c = 0  a + b + c = 0
Như vây phương trình có một nghiệm
1
1x =
và nghiệm còn lại là
2
c
x
a
=
b) Nếu cho x =
−
1 thì ta có (*)  a.(
−
1)
2
+ b(
−
1) + c = 0  a
−
b + c = 0
Như vậy phương trình có một nghiệm là
1
1x = −
và nghiệm còn lại là
2
c

x
a
−
=
Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
1)
2
2 5 3 0x x+ + = (1) 2)
2
3 8 11 0x x+ − = (2)
Ta thấy :
Phương trình (1) có dạng a
−
b + c = 0 nên có nghiệm
1
1x = −
và
2
3
2
x
−
=
Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm
1
1x =
và
2
11
3

x
−
=
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
1.
2
35 37 2 0x x− + = 2.
2
7 500 507 0x x+ − =
3.
2
49 50 0x x− − = 4.
2
4321 21 4300 0x x+ − =
2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại
và chỉ ra hệ số của phương trình :
Vídụ: a) Phương trình
2
2 5 0x px− + =
. Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.
b) Phương trình
2
5 0x x q+ + =
có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
c) Cho phương trình :
2
7 0x x q− + =
, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai
nghiệm của phương trình.
d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình :

2
50 0x qx− + =
, biết phương trình có 2
nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Bài giải:
a) Thay
1
2x =
v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc :
1
4 4 5 0
4
p p− + = ⇒ =
T ừ
1 2
5x x =
suy ra
2
1
5 5
2
x
x
= =
b) Thay
1
5x =
v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc
25 25 0 50q q+ + = ⇒ = −
T ừ

1 2
50x x = −
suy ra
2
1
50 50
10
5
x
x
− −
= = = −
NguyÔn V¨n TuÊn Trêng THCS TrÞnh x¸ 23
Tµi liÖu «n thi vµo 10
c) Vì vai trò của x
1
và x
2
bình đẳng nên theo đề bài giả sử
1 2
11x x− =
và theo VI-ÉT ta có
1 2
7x x+ =
, ta giải hệ sau:
1 2 1
1 2 2
11 9
7 2
x x x

x x x
− = =
 
⇔
 
+ = = −
 
Suy ra
1 2
18q x x= = −
d) Vì vai trò của x
1
và x
2
bình đẳng nên theo đề bài giả sử
1 2
2x x=
và theo VI-ÉT ta có
1 2
50x x =
. Suy ra
2
2 2 2
2 2
2
5
2 50 5
5
x
x x

x
= −

= ⇔ = ⇔

=


Với
2
5x = −
th ì
1
10x = −
Với
2
5x =
th ì
1
10x =
II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm
1 2
;x x
Ví dụ : Cho
1
3x =
;
2
2x =

lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Theo hệ thức VI-ÉT ta có
1 2
1 2
5
6
S x x
P x x
= + =


= =

vậy
1 2
;x x
là nghiệm của phương trình có dạng:
2 2
0 5 6 0x Sx P x x− + = ⇔ − + =
Bài tập áp dụng:
1. x
1
= 8 vµ x
2
= -3
2. x
1
= 3a vµ x
2
= a

3. x
1
= 36 vµ x
2
= -104
4. x
1
=
1 2+
vµ x
2
=
1 2−
2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của
một phương trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình :
2
3 2 0x x− + =
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;x x
. Không giải phương
trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : 1 2
1
1
y x
x
= +
và 2 1
2

1
y x
x
= +
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1 2
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 3 9
( ) ( ) 3
2 2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x
 
+
= + = + + + = + + + = + + = + =
 ÷
 
1 2 2 1 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 9
( )( ) 1 1 2 1 1
2 2
P y y x x x x
x x x x
= = + + = + + + = + + + =
Vậy phương trình cần lập có dạng:
2
0y Sy P− + =

hay
2 2
9 9
0 2 9 9 0
2 2
y y y y− + = ⇔ − + =
Bài tập áp dụng:
NguyÔn V¨n TuÊn Trêng THCS TrÞnh x¸ 24
Tµi liÖu «n thi vµo 10
1/ Cho phương trình
2
3 5 6 0x x+ − =
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;x x
. Không giải phương trình,
Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm 1 1
2
1
y x
x
= +
và 2 2
1
1
y x
x
= +
(Đáp số:
2

5 1
0
6 2
y y+ − =
hay
2
6 5 3 0y y+ − =
)
2/ Cho phương trình :
2
5 1 0x x− − =
có 2 nghiệm
1 2
;x x
. Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y
thoả mãn
4
1 1
y x=
và
4
2 2
y x=
(có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình
đã cho).
(Đáp số :
2
727 1 0y y− + =
)
3/ Cho phương trình bậc hai:

2 2
2 0x x m− − =
có các nghiệm
1 2
;x x
. Hãy lập phương trình
bậc hai có các nghiệm
1 2
;y y
sao cho :
a)
1 1
3y x
= −
và
2 2
3y x= −
b)
1 1
2 1y x
= −
và
2 2
2 1y x= −
(Đáp số a)
2 2
4 3 0y y m− + − =
b)
2 2
2 (4 3) 0y y m− − − =

)
III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương
trình :
2
0x Sx P− + =
(điều kiện để có hai số đó là S
2

−
4P ≥ 0 )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =
−
3 và tích P = ab =
−
4
Vì a + b =
−
3 và ab =
−
4 n ên a, b là nghiệm của phương trình :
2
3 4 0x x+ − =
giải phương trình trên ta được
1
1x =
và
2
4x = −
Vậy nếu a = 1 thì b =

−
4
nếu a =
−
4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P
1. S = 3 và P = 2
2. S =
−
3 và P = 6
3. S = 9 và P = 20
4. S = 2x và P = x
2

−
y
2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a
2
+ b
2
= 41
2. a
−
b = 5 và ab = 36
3. a
2
+ b
2

= 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI-
ÉT thì cần tìm tích của a v à b.
T ừ
( )
( )
2 2
2
2 2
81
9 81 2 81 20
2
a b
a b a b a ab b ab
− +
+ = ⇒ + = ⇔ + + = ⇔ = =
NguyÔn V¨n TuÊn Trêng THCS TrÞnh x¸ 25