Chuyen de 03 bai toan lien quan do thi

CHUYÊN ĐỀ 3 - BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐỒ THỊ
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Sự tương giao: Cho 2 đồ thị của hàm số:

y = f ( x) , y = g ( x)

f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) − g ( x) = 0

Phương trình hoành độ giao điểm:
là một phương trình đại số, tùy theo
số nghiệm mà có quan hệ tương giao. Vô nghiệm: không có điểm chung, 1 nghiệm (đơn): cắt nhau, 1
nghiệm kép: tiếp xúc, 2 nghiệm phân biệt: 2 giao điểm,…
Chú ý:
3
2
1) Phương trình bậc 3: ax + bx + cx + d , a ≠ 0

x − x0 ) ( Ax 2 + Bx + C ) = 0
(
x
=
x
0
Nếu có nghiệm
thì phân tích:
Nếu đặt hàm số

f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d

thì điều kiện: có 1 nghiệm: đồ thị không có cực trị hoặc

yC Ð . yCT > 0 , có 2 nghiệm: yC Ð . yCT = 0 , có 3 nghiệm phân biệt: yCÐ . yCT < 0 .
 yC Ð . yCT < 0

 xC Ð , xCT > 0
a. f 0 < 0
( )
Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm dương khi: 
2) Hai điểm trên 2 nhánh đồ thị

g ( x)
x − k , ta thường lấy hai hoành độ k − a và k + b với a, b > 0 .

y=

Góc và khoảng cách:

r r
cos u , v =

xx '+ yy '

( )

- Góc giữa 2 vectơ:

x 2 + y 2 . x '2 + y '2

r ur
cos α = cos n, n ' =

(

- Góc giữa 2 đường thẳng:
- Khoảng cách

AB =

- Khoảng cách từ

d=

( xB − x A )

M 0 ( x0 ; y0 )

2

đến

)

+ ( yB − y A )

AA '+ BB '
A2 + B 2 . A '2 + B '2

2

( ∆ ) : Ax + By + C = 0 :

Ax0 + By0 + C
A2 + B 2

- Đồ thị hàm bậc 3:

y = f ( x)

cắt trục hoành tại 3 điểm A, B, C theo thứ tự có khoảng cách AB = BC

tức là 3 nghiệm x1 , x2 , x3 lập cấp số cộng thì điểm uốn thuộc trục hoành.

www.LuyenThiThuKhoa.vn

1

Phone: 094 757 2201


4
2
- Phương trình trùng phương ax + bx + c = 0, a ≠ 0 có 4 nghiệm phân biệt lập cấp số cộng khi

0 < t1 < t2 , t2 = 9t1 .
Tiếp tuyến và tiếp xúc:
- Tiếp tuyến tại điểm

M ( x0 ; y0 )

y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 )
- Điều kiện 2 đồ thị

của đồ thị

f ' ( x ) = k = tan ( 0 x, t )

, hệ số góc:

y = f ( x)

và

( C ) : y = f ( x)

y = g ( x)

tiếp xúc là hệ phương trình:

 f ( x ) = g ( x )

 f ' ( x ) = g ' ( x ) có nghiệm
- Tiếp tuyến đi qua điểm
điểm

K ( a; b )

K ( a; b )

: Lập phương trình tiếp tuyến tại x0 bất kỳ rồi cho tiếp tuyến đi qua

thì tìm ra x0 .

Chú ý: Với hai đường thẳng d : y = ax + b, d ' : y = a ' x + b ' thì có: d ≡ d ' khi a = a ' , b = b ' ; d / / d '
khi a = a ' , b ≠ b ' ; d ⊥ d ' khi a.a ' = −1
Yếu tố đối xứng:

f ( −x) = f ( x)
- Hàm số chẵn: ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D và
Đồ thị hàm số chẵn đối xứng nhau qua trục tung.

f ( −x) = − f ( x)
- Hàm số lẻ: ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D và
Đồ thị hàm số lẻ đối xứng nhau qua gốc O.

uur
OI
- Công thức chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến
.
 x = X + x0
( Oxy ) → ( IXY ) với I ( x0 ; y0 ) :  y = Y + y0
- Điều kiện

y0 =

( C)

nhận

I ( x0 , y0 )

là tâm đối xứng.

f ( x0 − x ) + f ( x0 + x )
, ∀x0 − x, x0 + x ∈ D
2
, hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến đến gốc I nói

trên là hàm số lẻ.
- Điều kiện

( C)

nhận d : x = a làm trục đối xứng;

f ( a − x ) = f ( a + x ) , ∀a − x, a + x ∈ D

, hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến đến

S ( a;0 )

là hàm số

chẵn.
Quỹ tích điểm M:
Tìm tọa độ x, y của M, khử tham số giữa x và y.
Giới hạn: Chuyể ndk nếu có của tham số về điều kiện của x (hay y).
www.LuyenThiThuKhoa.vn

2

Phone: 094 757 2201

Đặc biệt: Nếu

M ( x; y ) ∈ ( V )

thì chỉ cần tìm x rồi rút tham số để thế, khử tham số.

2. CÁC BÀI TOÁN
4
2 2
Bài toán 3.1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = x + 2m x + 1 luôn cắt đường thẳng y = x + 1 tại đúng
hai điểm phân biệt với mọi giá trị m.

Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

x 4 + 2m 2 x 2 + 1 = x + 1 ⇔ x ( x3 + 2m 2 x − 1) = 0

⇔ x = 0 hoặc x3 + 2m 2 x − 1 = 0
Xét hàm số

f ( x ) = x3 + 2m 2 x − 1

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2m 2 ≥ 0

f ( 0 ) = −1 ≠ 0

. Ta có

nên hàm số này đồng biến trên ¡ .

Vì

lim f ( x ) = lim ( x 3 + 2m2 x − 1) = −∞

và

lim f ( x ) = lim ( x3 + 2m2 x − 1) = +∞

x →∞

và

x →−∞

x →+∞

x →+∞

nên phương trình

f ( x) = 0

luôn có nghiệm duy nhất x ≠ 0 : đpcm.

Bài toán 3.2: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt:
a)

y = x3 + ( 2m + 1) x 2 + ( 3m + 2 ) x + m + 2

.

3
b) y = x − 3mx + m + 1 .

Hướng dẫn giải
a) Cho

y = 0 ⇔ x3 + ( 2m + 1) x 2 + ( 3m + 2 ) x + m + 2 = 0

⇔ ( x + 1) ( x 2 + 2 mx + m + 2 ) = 0
2
⇔ x = −1 hoặc f ( x ) = x + 2mx + m + 2 = 0 ( 1)

Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai
nghiệm phân biệt khác −1.

m 2 − m − 2 > 0
∆ ' = 0
⇔
⇔ m < −1


−
m
+
3
≠
0

 f ( −1) ≠ 0

hoặc m > 2, m ≠ 3
2
2
b) D = ¡ . Ta có y ' = 3x − 3m, y ' = 0 ⇔ x = m .

Điều kiện

( Cm )

⇔ m > 0 và

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt là đồ thị có CĐ, CT và yC Ð . yCT < 0

(

) ( m) < 0

yC Ð . yCT < 0 ⇔ f − m . f

www.LuyenThiThuKhoa.vn

3

Phone: 094 757 2201


(

)(

)

⇔ m + 1 − 2m. m m + 1 + 2m m < 0 ⇔ ( m + 1) − 4m3 < 0
2

.

⇔ −4m3 + m 2 + 2m + 1 < 0 ⇔ ( m − 1) ( 4m 2 + 3m + 1) > 0 ⇔ m > 1

.

2
(vì ∆ = 9 − 16 < 0 nên 4m + 3m + 1 > 0, ∀m ).

Bài toán 3.3: Tìm các giá trị của m để đường thẳng

thị của hàm số:

y=

( dm )

đi qua điểm

A ( −2;2 )

và có hệ số góc m cắt đồ

2x −1
x +1

a) Tại hai điểm phân biệt?
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?
Hướng dẫn giải
Phương trình của

( d m ) : y = m ( x + 2 ) + 2 = mx + 2m + 2 .

Phương trình hoành độ giao điểm của

mx + 2m + 2 =

( dm )

và đường cong:

2x −1
⇔ ( mx + 2m + 2 ) ( x + 1) = 2 x − 1, x ≠ −1
x +1

( 1)

⇔ mx 2 + 3mx + 2m + 3 = 0, x ≠ −1

(d )

a) Đường thẳng m cắt đường cong đã cho tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai
nghiệm phân biệt khác −1.

a ≠ 0
m ≠ 0
⇔ 2
⇔ m<0

m − 12m > 0
∆ > 0, g ( −1) ≠ 0
hoặc m > 12 .
b) Hai nhánh của đường cong đã cho nằm về hai bên của đường tiệm cận đứng x = −1 của đồ thị. Đường
thẳng

( dm )

cắt đường cong đã cho tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi phương trình (1)

có hai nghiệm x1 , x2 và x1 < −1 < x2 .
Đặt x = t − 1 thì x1 < −1 < x2 ⇒ t1 < 0 < t2 .

m ( t − 1) + 3m ( t − 1) + 2m + 3 = 0
2

Phương trình trở thành:

⇔ mt 2 + mt + 3 = 0 ( 2 )

.

ĐK phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0 ⇔ m < 0 .
Bài toán 3.4: Tìm tham số để đường thẳng

( C ) của hàm số y = x 4 − 3x 2 − 2 tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB
a) y = m, m > 0 cắt đồ thị
vuông tại gốc tọa độ O.

www.LuyenThiThuKhoa.vn

4

Phone: 094 757 2201


( C ) của hàm số
b) y = 3 x + m cắt đồ thị
đạt giá trị nhỏ nhất.

y=

x2
x − 1 tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 và x1 − x2

Hướng dẫn giải
a) Phương trình hoành độ giao điểm:

x 4 − 3 x 2 − 2 = m ⇔ x 4 − 3x 2 − 2 − m = 0

( C ) tại hai điểm phân biệt A ( x A ; m ) và B ( xB ; m ) đối
Với mọi m > 0 thì đường thẳng y = m cắt
xứng qua Oy, x A < xB .

uuu
r uuu
r
OA
.
OB
= 0 ⇔ x A .xB + m 2 = 0
Tam giác OAB vuông tại O nên
Mà x A + xB = 0 nên x A = −m; xB = m
Do đó

m 4 − 3m 2 − m − 2 = 0 ⇔ ( m − 2 ) ( m3 + 2m 2 + m + 1) = 0

⇔ m = 2 (vì m > 0 )
b) Phương trình hoành độ giao điểm:

x2
= 3x + m ⇔ 2 x 2 + ( m − 3) x − m = 0, x ≠ 1
x −1
.
Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt khác 1:

∆ > 0
 m 2 + 2m + 9 > 0
⇔

−1 ≠ 0
 g ( 1) ≠ 0
: Đúng ∀m
x1 − x2 =

Ta có:

− b + ∆ −b − ∆
∆
−
=
2a
2a
4

m 2 + 2m + 9 1
=
=
4
4
Vậy giá trị

x1 − x2

( m + 1)

2

+8 ≥

2
2

nhỏ nhất khi m = −1 .

Bài toán 3.5: Tìm các giá trị của m sao cho
a) Đồ thị của hàm số
dài bằng nhau.

y = x 4 − ( m + 1) x 2 + m

b) Đường thẳng d : y = − x + m cắt

( C) : y =

cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ

2x −1
x − 1 tại hai điểm A, B mà AB = 10 .

Hướng dẫn giải
a) Hoành độ giao điểm của đường cong và trục hoành là nghiệm phương trình:

x 4 − ( m + 1) x 2 + m = 0 ⇔ x 2 = 1
www.LuyenThiThuKhoa.vn

2
hoặc x = m .

5

Phone: 094 757 2201


Điều kiện m > 0 và m ≠ 1 . Khi đó, phương trình có 4 nghiệm

x = −1, x = 1, x = − m , x = m

Đường cong cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi:

m = 3 hoặc

1
1
⇔m=9
m=
3
9 (chọn).
hoặc

m=

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và

( C) :

 x 2 − ( m − 1) x + m − 1 = 0
2x −1
= −x + m ⇔ 
x −1
 x ≠ 1
Đường thẳng d cắt

( C)

tại 2 điểm A, B phân biệt khi phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 phân biệt khác 1.

∆ = ( m − 1) 2 − 4 ( m − 1) > 0
 m 2 − 6m + 5 > 0
m < 1
⇔
⇔

m > 5
1 ≠ 0, ∀m
1 − ( m − 1) + m − 1 ≠ 0
Khi đó

A ( x1 ; − x1 + m ) , B ( x2 ; − x2 + m )

AB = 10 ⇔ ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) = 10 ⇔ ( x2 − x1 ) = 5
2

Ta có

và x1 + x2 = m − 1; x1.x2 = m − 1
2

2

⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 5 ⇔ ( m − 1) − 4 ( m − 1) − 5 = 0
2

2

 m − 1 = −1  m = 0
⇔
⇔
m − 1 = 5
 m = 6 (thỏa mãn).
Vậy m = 0 hay m = 6 .

x 2 − 3x
( C ) : y = x − 1 tại 2 điểm M,
Bài toán 3.6: Chứng minh các đường thẳng d : y = m − x luôn cắt đồ thị
N và cắt 2 tiệm cận của

( C)

tại P, Q đồng thời hai đoạn MN, PQ có cùng trung điểm.
Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm d và

( C) :

x 2 − 3x
= m − x ⇔ 2 x 2 − ( m + 4 ) x + m = 0, x ≠ 1
x −1
.
2
( C ) tại 2 điểm phân biệt M, N.
Ta có x = 1 không là nghiệm và ∆ = m + 16 > 0 , ∀m nên d luôn cắt

www.LuyenThiThuKhoa.vn

6

Phone: 094 757 2201


Ta có

y=

x 2 − 3x
2
= x−2−
x −1
x − 1 nên TCĐ: x = 1 , TCX: y = x − 2 .

Do đó xP = 1 , hoành độ giao điểm Q của d với TCX: m − x = x − 2

⇒ xQ =

xP + xQ m + 4 xM + xN
m+2
=
=
2 . Do đó
2
2
2
: đpcm.

Bài toán 3.7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
a) y =

x + 2 biết tung độ tiếp điểm là y0 = 2

1
3
y = − x3 − 2 x 2 − 3x + 1
d : y = x+9
3
4
b)
song song với
Hướng dẫn giải
a) Ta có phương trình tiếp tuyến tại điểm

( x , f ( x )) :
0

0

y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 )
Vì y0 = 2 ⇔

f '( x ) =

Thế vào:

x + 2 = 2 ⇔ x0 = 2

1
1
f ' ( x0 ) =
2 x + 2 nên
4.

y=

1
1
3
( x − 2) + 2 = x +
4
4
2.

b) y ' = − x − 4 x − 3 . Đường thẳng d có hệ số góc
2

Tiếp tuyến song song với nên

y' =

⇔ 4 x 2 + 16 x + 15 = 0 ⇔ x0 = −

Với
Với

k=

3
4.

3
3
⇔ −x2 − 4x − 3 =
4
4

5
3
x0 = −
2 hoặc
2.

x0 = −

5
29
3
37
f ( x0 ) =
y = x+
2 thì
24 nên có tiếp tuyến
4
12

x0 = −

3
5
3
1
f ( x0 ) = −
y = x−
2 thì
4 nên có tiếp tuyến
4
8.

Vậy có 2 tiếp tuyến

y=

3
1
3
37
x−
y = x+
4
8 và
4
12 .

Bài toán 3.8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị:
3
2
a) y = 2 x − 6 x + 3 và có hệ số góc bé nhất.

b)

y = f ( x)

thỏa mãn

f 2 ( 1 + 2x) = x − f 3 ( 1 − x )

www.LuyenThiThuKhoa.vn

7

tại x = 1
Phone: 094 757 2201


Hướng dẫn giải
a) Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm tại đó.

y ' = 6 x 2 − 12 x = −6 + 6 ( x − 1) ≥ −6
2

, dấu = khi x0 = 1

A ( 1; −1)
nên max y ' = −6 , do đó tiếp tuyến tại
là y = −6 x + 5 .
b) Lấy đạo hàm 2 vế, ta có:

4 f ( 1 + 2x) . f '( 1 + 2x ) = 1 + 3 f 2 ( 1 − x) . f '( 1 − x )
4 f ( 1) . f ' ( 1) = 1 + 3 f 2 ( x ) . f ' ( 1)
x
=
0
Thế
:

( *)

f 2 ( 1 + 2 x ) = x − f 3 ( 1 − x ) ⇒ f 2 ( 1) = − f 3 ( 1)
Thế x = 0 vào
⇒ f 2 ( 1) ( 1 + f ( 1) ) = 0 ⇒ f ( 1) = 0
Với

f ( 1) = 0

Với

f ( 1) = 1

( *) : −4 f ' ( 1) = 1 + 3 f ' ( 1) ⇒ f ' ( 1) =

Vậy phương trình tiếp tuyến

y=−

a)

−1

7 .

1
( x − 1)
7

Bài toán 3.9: Viết phương trình tiếp tuyến của

y=

.

( *) : 0 = 1 (loại)

thì
thì

f ( 1) = −1

hoặc

( C)

hàm số:

x−3
x + 1 biết khoảng cách từ tâm đối xứng của ( C ) đến tiếp tuyến bằng 2 2 .

3
2

b) y = x − 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao cho

OB = 9OA .
Hướng dẫn giải

y' =
a) Ta có

4

( x + 1)

2

, x ≠ −1

Phương trình tiếp tuyến d tại

y=

4

( x0 + 1)

2

( x − x0 ) +

M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) , x0 ≠ −1
x0 − 3

x0 + 1

⇔ 4 x − ( x0 + 1) y + ( x02 − 6 x0 − 3) = 0
2

nên

−4 − ( x0 + 1) + ( x02 − 6 x0 − 3 )
2

d ( I ,∆) = 2 2 ⇔

www.LuyenThiThuKhoa.vn

16 + ( x0 + 1)

4

8

=2 2

Phone: 094 757 2201


2

4
2
2

⇔ ( x0 + 1) − 8 ( x0 + 1) + 16 = 0 ⇔ ( x0 + 1) − 4  = 0



 x0 = 1
2
⇔ ( x0 + 1) = 4 ⇔ 
 x0 = −3
Với x0 = 1 ta có phương trình tiếp tuyến y = x − 2
Với x0 = −3 , ta có phương trình tiếp tuyến y = x + 6 .
2
b) Ta có y ' = 3x − 6 x .

Tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao cho OB = 9OA nên hệ số góc
của tiếp tuyến d là:

k = tan OAB = ±

OB
= ±9
OA

2
Do đó y ' = ±9 ⇔ 3 x − 6 x = ±9

 x2 − 2x − 3 = 0
 x0 = −1
⇔ 2
⇔
 x − 2 x + 3 = 0 ( VN )

 x0 = 3
Với x0 = 1 , phương trình của d là y = 9 x + 7
Với x0 = 3 , phương trình của d là y = 9 x − 25 .
Bài toán 3.10: Viết phương trình tiếp tuyến của

( C)

hàm số:

tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích

y=

S=

x +1
x − 2 tại điểm M có hoành độ âm, biết

1
6.

Hướng dẫn giải

y' =
Ta có

−3

( x − 2)

Tiếp tuyến d với

d:y=

2

,x ≠ 2

( C)

−3

( x0 − 2 )

2

tại

M ( x0 ; y0 ) , x0 < 0

( x − x0 ) +

x0 + 1
x0 − 2

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với Ox và Oy.

 x 2 + 2 x0 − 2   x02 + 2 x0 − 2 
÷
A 0

;0 ÷, B  0;
2
3
( x0 − 2 ) ÷

 
S=

. Ta có

1
1
1
1 x02 + 2 x0 − 2 x02 + 2 x0 − 2 1
⇔ OA.OB = ⇔
.
=
2
6
2
6
2
3
6
( x0 − 2 )

www.LuyenThiThuKhoa.vn

9

Phone: 094 757 2201


 x02 + x0 = 0
 x0 = −1 ∨ x0 = 0
⇔ 2
⇔
 x0 + 3 x0 − 4 = 0
 x0 = −4 ∨ x0 = 1
Chọn x0 < 0 nên có hai tiếp tuyến là:

d1 : y = −

1
1
1
( x + 1) ; d 2 : y = − x +
3
12
6.

Bài toán 3.11: Viết phương trình tiếp tuyến của

( C)

hàm số:

3
2
A ( 0; 2 )

a) y = x − 5 x + 2 và đi qua

b)

y=

( 1 − m) x + 2 − m , m ≠ 0
mx + m − 1

và đi qua

M ( −1; −1)
Hướng dẫn giải

2
M ( x0 ; y0 )
a) Ta có: y ' = 3x − 10 x . Phương trình tiếp tuyến tại điểm

y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0
y = ( 3x03 − 10 x0 ) ( x − x0 ) + ( x03 − 5 x02 + 2 )
2
3
2
A ( 0; 2 ) 2 = ( 3 x0 − 10 x0 ) ( 0 − x0 ) + ( x0 − 5 x0 + 2 )

Cho tiếp tuyến qua

:

⇔ 2 x03 − 5 x02 = 0 ⇔ x02 ( 2 x0 − 5 ) = 0 ⇔ x0 = 0

hoặc

x0 =

5
2

Với x0 = 0 thì có tiếp tuyến y = 2
Với

x0 =

5
25
y =− x+2
2 thì có tiếp tuyến
4

y' =
b) Ta có

−1

( mx + m − 1)

Gọi d là tiếp tuyến với

2

,x ≠

( Cm )

1− m
m

tại điểm

T ( x0 ; y0 )

bất kỳ.

d : y = y ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0
y=

−1

( mx0 + m − 1)

x − x0 ) +
2 (

Tiếp tuyến d đi qua

−1 =

M ( −1; −1)

x0 + 1

( mx0 + m − 1)

2

+

( 1 − m ) x0 + 2 − m
mx0 + m − 1
nên ta có:

( 1 − m ) x0 + 2 − m

www.LuyenThiThuKhoa.vn

mx0 + m − 1

10

Phone: 094 757 2201


x0 + 1

⇔

( mx0 + m − 1)
m ( x0 + 1)

⇔

x0 + 1
=0
mx0 + m − 1

2

+

2

= 0 ⇔ x0 = −1

2

( mx0 + m − 1)

(vì m ≠ 0 )

Vậy phương trình tiếp tuyến d : y = − x − 2 .
Bài toán 3.12: Lập phương trình tiếp tuyến chung của 2 đồ thị:

( P1 ) : y = x 2 − 5x + 6 và ( P2 ) : y = − x 2 + 5 x − 11
Hướng dẫn giải

( P1 ) : y = f ( x ) = x 2 − 5 x + 6 ⇒ f ' ( x ) = 2 x − 5
( P2 ) : y = g ( x ) = − x 2 + 5 x − 11 ⇒ g ' ( x ) = −2 x + 5
M ( x ; f ( x1 ) ) M 2 ( x2 ; g ( x2 ) )
Gọi tiếp tuyến chung là y = ax + b và 1 1
,

là 2 tiếp điểm tương ứng. Ta có
hệ:

 f ( x1 ) = ax1 + b
 x12 − 5 x1 + 6 = ax1 + b


 f ' ( x1 ) = a
2 x1 − 5 = a
⇔ 2

 g ( x2 ) = ax2 + b
− x2 + 5 x2 − 11 = ax2 + b
g ' x = a

−2 x2 + 5 = a
 ( 2)
Do đó
và

2 ( x1 + x2 ) − 10 = 0

nên x2 = 5 − x1

x12 − 5 x1 + 6 − ( − x22 + 5 x2 − 11) = ( 2 x1 − 5 ) ( x1 − x2 )

x12 − 5 x1 + 17 + ( 5 − x1 ) − 5 ( 5 − x1 ) − ( 2 x1 − 5 ) = 0
2

nên

2

⇔ 2 x12 − 10 x1 + 8 = 0 ⇔ x1 = 1 hoặc x1 = 4 .
Với x1 = 1 thì a = −3, b = 5 . Với x1 = 4 thì a = 3, b = −10 .
Vậy có 2 tiếp tuyến chung: y = 3 x − 10 và y = −3 x + 5 .
Bài toán 3.13: Tìm điểm M trên đồ thị

( C)

hàm số:

y=

2x − 2
x − 2 sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai đường

tiệm cận của A, B với AB = 2 5 .
Hướng dẫn giải
Phương trình tiếp tuyến tại

d:y=

−2

( x0 − 2 )

2

M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) , x0 ≠ 2

( x − x0 ) +

www.LuyenThiThuKhoa.vn

2 x0 − 2
x0 − 2
11

Phone: 094 757 2201


 2 x0 
A  2;
÷
x0 − 2 

x
=
2
Giao điểm của d với tiệm cận đứng
là
;
B ( 2 x0 − 2;2 )
Giao điểm của d với tiệm cận ngang y = 2 là
2


2 x0 
AB = ( 2 x0 − 4 ) +  2 −

÷ =2
x0 − 2 


( x0 − 2 )

2

AB = 2 5 ⇔ ( x0 − 2 ) +
2

Ta có

4

( x0 − 2 )

2

+

4

( x0 − 2 )

2

=5

2

( x0 − 2 ) 2 = 1
 x0 = 1; x0 = 3
⇔ ( x0 − 2 ) − 5 ( x0 − 2 ) + 4 = 0 ⇔ 
⇔
 x = 0; x = 4
( x0 − 2 ) 2 = 4
0
 0

4

Vậy

2

M ( 0;1) , M ( 1;0 ) , M ( 3;4 ) , M ( 4;3)

.

y = f ( x ) = x4 − 2 x2

Bài toán 3.14: Cho hàm số

có đồ thị

( C ) . Trên đồ thị ( C )

và B có hoành độ lần lượt là a, b. Tìm điều kiện của a, b để tiếp tuyến của
song với nhau.

( C)

lấy điểm phân biệt là A

tại các điểm A và B song

Hướng dẫn giải
Ta có

( C)

f ' ( x ) = 4x3 − 4 x

. Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B, a ≠ b . Hệ số góc của tiếp tuyến của

tại A và B lần lượt là:

k A = f ' ( a ) = 4a 3 − 4 a,

k B = f ' ( b ) = 4b3 − 4b

Tiếp tuyến tại A và B lần lượt có phương trình là

y = f ' ( a ) ( x − a ) + f ( a ) = f ' ( a ) x + f ( a ) − af ' ( a )
y = f ' ( b ) ( x − b ) + f ( b ) = f ' ( b ) x + f ( b ) − bf ' ( b )

Hai tiếp tuyến này song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:

k A = k B ⇔ 4a 3 − 4a = 4b3 − 4b ⇔ ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 − 1) = 0

⇔ a 2 + ab + b 2 = 1
Hai tiếp tuyến của

( C)

tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi

2
2
a 2 + ab + b 2 = 1, a ≠ b
a + ab + b = 1, a ≠ b
⇔


4
2
4
2
−3a + 2a = −3b + 2b
 f ( a ) − af ' ( a ) = f ( b ) − bf ' ( b )

Giải hệ này, ta được nghiệm là

www.LuyenThiThuKhoa.vn

( a; b ) = ( −1;1) , ( 1; −1)

12

Phone: 094 757 2201


Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của

( C)

2
2
tại A và B song song với nhau là a + ab + b = 1 ,

a ≠ ±1 , a ≠ b .
Bài toán 3.15: Tiếp tuyến

(T)

của

1
x − 2 tại điểm M có hoành độ x = a ≠ 2 , cắt trục hoành Ox

( H) : y =

tại A và cắt đường thẳng d : x = 2 tại B. Chứng minh M là trung điểm của AB và diện tích tam giác giới hạn
bởi tiếp tuyến, Ox và d không đổi.
Hướng dẫn giải

y' =

y=

−1

( x − 2)

2

−1

( a − 2)

2

. Phương trình tiếp tuyến

( x − a) +

1
a−2

(T)

tại x = a :

.

Giao điểm A với trục hoành

x−a

( a − 2)
Cho y A = 0 thì

2

=

1
⇒ x A = 2a − 2
a−2

.

Giao điểm B với đường thẳng d : x = 2 .
Cho xB = 2 thì

yB =

−( 2 − a)

( a − 2)

2

+

1
2
=
a−2 a−2

.

x A + xB 2a − 2 + 2
y + yB
1
=
= a = xM , A
=
= yM
2
2
2
a−2
Vì:
nên tiếp điểm M là trung điểm của AB.
Gọi I là giao điểm của Ox và d thì
tích:

S=

I ( 2;0 )

. Tam giác cần xác định là tam giác ABI vuông tại I có diện

1
1
2
IA.IB = 2a − 2 − 2
−0 = 2

2
2
a−2
: không đổi

x 2 − 3x + 3
y=
x − 1 . Chứng minh rằng qua điểm M ( 3; −1) vẽ được hai tiếp tuyến
Bài toán 3.16: Cho hàm số
với đồ thị và hai tiếp tuyến đố vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
Phương trình đường thẳng qua
với đồ thị khi hệ sau có nghiệm:

www.LuyenThiThuKhoa.vn

M ( 3; −1)

hệ số góc là a là

13

y = a ( x − 3) − 1

, đường thẳng là tiếp tuyến

Phone: 094 757 2201


 f


 f

 x 2 − 3x + 3
= a ( x − 3) − 1

( x) = g ( x)
 x −1
⇔ 2
'( x) = g '( x )
 x − 2 x2 = a
 ( x − 1)

( 1)
( 2)

2
Thay (2) vào (1) và rút gọn ta được: x − x − 1 = 0

PT có 2 nghiệm thỏa mãn: x1 + x2 = 1, x1.x2 = −1 .

y ' ( x1 ) . y ' ( x2 ) =
Ta có:

(xx )
= 1 2

2

x12 − 2 x1 x22 − 2 x2

.
2
2
( x1 − 1) ( x2 − 1)

− 2 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 4 x1 x2

( x1x2 − x1 − x2 + 1)

2

=

1+ 2 − 4

( −1 − 1 + 1)

2

= −1

Vậy 2 tiếp tuyến qua M vuông góc với nhau.
Bài toán 3.17: Cho hàm số
tiếp tuyến với

y = − x 3 + 3x 2 − 2 ( C )

. Tìm trên

( C)

những điểm mà qua đó chỉ kẻ được một

( C) .
Hướng dẫn giải

Giả sử

M ( x0 ; y0 )

N ( x1 ; y1 )
Vì

( t)

( C ) . Giả sử tiếp tuyến ( t )

( t)
. Khi đó phương trình của

đi qua M nên ta có:

Và N thuộc
Suy ra

là một điểm trên

( C)

nên ta có:

có dạng:

kẻ từ M đến

( C)

tiếp xúc với

( C)

y − y1 = ( −3 x12 + 6 x1 ) ( x − x1 )

y0 − y1 = ( −3 x12 + 6 x1 ) ( x0 − x1 )

y1 = x13 + 3 x12 − 2

2 x13 − 3 ( x0 + 1) x12 + 6 x0 x1 − 2 − y0 = 0

3
2
3
2
2
nên 2 x1 − 3 x0 x1 + x0 − 3 x1 + 6 x0 x1 − 3x0 = 0

⇔ ( x1 − x0 )

2

( 2 x1 + x0 − 3) = 0 ⇔ x1 = x0 hay

x1 =

3 − x0
2

Điều kiện có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

3 − x0
= x0 ⇔ x0 = 1
2
. Từ đó tính được y0 = 0 .
Vậy

M ( 1;0 )

là điểm duy nhất trên

( C)

mà qua đó có thể kẻ đúng một tiếp tuyến với

( C) .

x2 + 2 x + 2
( C) : y =
x +1
Bài toán 3.18: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị
đi qua giao điểm của 2 tiệm cận.

Hướng dẫn giải

www.LuyenThiThuKhoa.vn

14

Phone: 094 757 2201

tại


Ta có

y = x +1+

1
, x ≠ −1
x +1
nên có TCĐ: x = −1 ,

I ( −1;0 )
TCX: y = x + 1 , giao điểm 2 tiệm cận
Phương trình đường thẳng

( d)

Giả sử d là tiếp tuyến của

( C)

qua I với hệ số góc k là

y = k ( x + 1)

.

thì hệ sau có nghiệm.

1

k ( x + 1) = x + 1 + x + 1

1 
1

⇒ ( x + 1) 1 −
= x +1+

2 ÷
1
 ( x + 1) ÷
x +1
k = 1 −


2

( x + 1)
⇒−

1
1
2
=
=0
( x ≠ −1) ⇒
x +1 x +1
x +1
: vô lý

Vậy không một tiếp tuyến nào của

( C)

Bài toán 3.19: Chứng minh tiếp tuyến tại
của đồ thị này tại một điểm B khác A nữa.

đi qua I.

A ( −1;0 )

của đồ thị

( C ) : y = − x4 + 2x2 + x

cũng là tiếp tuyến

Hướng dẫn giải
3
Ta có y ' = −4 x + 4 x + 1 .

A ( −1;0 )
f ' ( x0 ) = 1
Với x0 = −1, y0 = 0 thì
nên tiếp tuyến tại
là y = x + 1 .
Đặt

y = f ( x ) = − x 4 + 2 x 2 + x; y = g ( x ) = x + 1

.

Để tiếp tuyến tại A cũng là tiếp tuyến tại B khác A thì hệ sau có nghiệm x0 ≠ −1 :

 f ( x ) = g ( x )
− x 4 + 2 x 2 + x = x + 1
⇔


3
−4 x + 4 x + 1 = 1
 f ' ( x ) = g ' ( x )
( x 2 − 1) 2 = 0
− x 4 + 2 x 2 − 1 = 0

⇔
⇔
⇔ x = ±1
3
2

−
4
x
+
4
x
=
0

4 x ( x − 1) = 0
.

B ( 1; 2 )
Chọn nghiệm x0 = 1 ≠ −1 nên
: đpcm.
Chú ý: Đây là tiếp tuyến đi qua 2 tiếp điểm.

x2 3
3x
y = f ( x) = + x
y = g ( x) =
2 2 và
x + 2 . Viết
Bài toán 3.20: Chứng minh hai đồ thị sau tiếp xúc nhau:
phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm.
Hướng dẫn giải
Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong là nghiệm của hệ phương trình:
www.LuyenThiThuKhoa.vn

15

Phone: 094 757 2201


 x2 3
 x2 3
3x
3x
+
x
=
+ x=


x+2
x+2
2 2
2 2
⇔
 2
3
6
 x + 3 x  =  3 x 
x + =

÷ 
2 ( x + 2) 2
 2 2 ÷
  x+2


( 1)
( 2)

x = 0
x = 0
x = 0
⇔
( 1) ⇔  x + 3 3 ⇔  2
=
 x = −5
 x + 5x = 0
2
x
+
2

Ta có
.
Suy ra hệ phương trình có một nghiệm duy nhất x = 0 . Vậy hai đường cong tiếp xúc với nhau tại gốc
tọa độ O.
Ta có

y '( 0) =

3
3
y= x
2 nên phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm chung là
2 .

Bài toán 3.21: Tìm tham số để đồ thị hàm số
a)

( C ) : y = x3 − 1 − k ( x − 1)

tiếp xúc với trục hoành

x 2 + ( m + 2 ) x + 2m + 2
( C) : y =
3
2
x+2
b)
có tiệm cận tiếp xúc với đường cong: y = x − 3 x − 8 x .
Hướng dẫn giải
a) Đồ thị

( C)

tiếp xúc với trục hoành ứng với k sao cho:

k = 3
3

y = 0
 x − 1 − k ( x − 1) = 0
⇔ 2
⇔


k = 3
y' = 0

3x − k = 0

4
b) Ta có

y=

( x + 2) ( x + m) + 2 = x + m +
x+2

2
x + 2 nên tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = x + m .

3
2
Đường thẳng này tiếp xúc với y = x − 3 x − 8 x khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

 x + m = x 3 − 3x 2 − 8 x
m = x 3 − 3 x 2 − 9 x
⇔ 2

2
1 = 3 x − 6 x − 8
 x − 2 x − 3 = 0

 m = x3 − 3 x 2 − 9 x
⇔

 x = −1 ∨ x = 3
Với x = −1 , ta có m = 5 và với x = 3 thì m = −27
Vậy có hai giá trị m cần tìm là m = 5 , m = −27 .
Bài toán 3.22: Cho hàm số

y = x 3 − 3x + 2 ( C )

. Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng và thuộc

( C ) . Gọi

A ', B ', C ' là giao điểm của ( C ) với tiếp tuyến của ( C ) tại A, B, C. Chứng minh rằng A ', B ', C ' thẳng
hàng.

www.LuyenThiThuKhoa.vn

16

Phone: 094 757 2201


Hướng dẫn giải

( C)

Phương trình tiếp tuyến của

tại điểm

A ( xA ; y A )

có dạng:

y = ( 3 x A2 − 3) ( x − x A ) + y A

( C)

Phương trình hoành độ giao điểm của

( 3x

2
A

và tiếp tuyến có dạng:

− 3) ( x − x A ) + y A = x 3 − 3 x + 2

⇔ ( 3x A2 − 3) ( x − x A ) + x A3 − 3x A + 2 = x3 − 3x + 2

⇔ ( x − xA )

2

( x + 2 xA ) = 0

Do đó tiếp tuyến của

( C)

tại A cắt

( C)

tại 2 điểm có hoành độ x A chính là A và điểm có hoành độ

−2 x A là điểm A ' , tức là x A ' = −2 x A .
Tương tự xB ' = −2 xB , xC ' = −2 xC .
Ta chứng minh nhận xét: A, B, C thuộc

( C)

thẳng hàng khi và chỉ khi x A + xB + xC = 0 .

Thật vậy, giả sử A, B, C nằm trên đường thẳng có phương trình y = ax + b .
Khi đó x A , xB , xC là nghiệm của phương trình.

x3 − 3 x + 2 = ax + b ⇔ x 3 − ( 3 + a ) x + ( 2 − b ) = 0
Áp dụng định lý Viet, ta suy ra x A + xB + xC = 0
Ngược lại, giả sử x A + xB + xC = 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, B cắt C ' thì theo phần
thuận ta có x A + xB + xC = 0 suy ra xC ' = xC suy ra C ' trùng với C và có nghĩa là A, B, C thẳng hàng.
Nhận xét được chứng minh.
Áp dụng do A, B, C thẳng hàng nên ta có x A + xB + xC = 0 .
Mà

x A ' + xB ' + xC ' = −2 ( x A + xB + xC ) = 0

Bài toán 3.23: Cho hàm số

y=

nên suy ra A ', B ', C ' thẳng hàng (đpcm).

mx 2 + ( 3m 2 − 2 ) x − 2
x + 3m

. Tìm m để góc giữa 2 tiệm cận bằng 45°.

Hướng dẫn giải
Ta có:

y = mx − 2 +

6m − 2
1
,m ≠
x + 3m
3

Khi m = 0 thì đồ thị có TCĐ và TCN vuông góc: loại
Khi m ≠ 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng: x = −3m và tiệm cận xiên: y = mx − 2 .
Hai tiệm cận hợp nhau góc 45° khi tiệm cận xiên hợp với trục hoành một góc 45° ⇔ m = ±1 .

www.LuyenThiThuKhoa.vn

17

Phone: 094 757 2201

Bài toán 3.24: Tìm m để đường thẳng y = 2m cắt đồ thị hàm số
M và N sao cho OM vuông góc với ON.

y=

x 2 + 2mx − 1
x −1
tại hai điểm phân biệt

Hướng dẫn giải
Đường thẳng y = 2m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm M và N khi phương trình hoành độ có 2 nghiệm
phân biệt x1 , x2 khác 1:

x 2 + 2mx − 1
1
= 2m ⇔ x 2 − 1 + 2 m = 0
m < ,m ≠ 0
x −1
2
. Do đó:
.

Ta có

( 2 x + 2m ) ( x − 1) − ( x 2 + 2mx − 1)
y' =
2
( x − 1)

⇒ y ' ( xi ) =

2m
xi

2m 2m
4m 2
OM ⊥ ON ⇔
.
= −1 ⇔
= −1
x
x
x
x
1
2
1
2
Điều kiện
⇔ 4m 2 + 2m − 1 = 0 ⇔ m =

−1 ± 5
4
(chọn).

4x2 + 5x − 4
( C) : y =
x+2
Bài toán 3.25: Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M bất kỳ thuộc đồ thị
đến

2 tiệm cận là một hằng số.
Hướng dẫn giải

y=

4 x2 + 5x − 4
2
= 4x − 3 +
x+2
x + 2 nên TCĐ ∆ : x = −2 ,

TCX: ∆ ' : y = 4 x − 3 ⇔ 4 x − y − 3 = 0

2 

M  x; 4 x − 3 +
÷∈ ( C )
x+2

Với
, khoảng cách đến 2 tiệm cận:

d ( M , ∆ ) .d ( M , ∆ ' ) = x + 2 .

2
2
=
16 + 1. x + 2
17

: không đổi.

3
2
Bài toán 3.26: Tìm m để đồ thị hàm số: y = x − 3 x + mx + 1 có cực đại, cực tiểu và hai điểm đó cách đều

đường thẳng d : y = −2 x .
Hướng dẫn giải
2
D = ¡ . Ta có y ' = 3 x − 6 x + m .

Điều kiện có CĐ và CT là ∆ ' = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3

www.LuyenThiThuKhoa.vn

18

Phone: 094 757 2201


1
1
1
1

y =  x − ÷ y '+ 2  m − 1÷x + m + 1
3
3
3
3


nên đường thẳng qua 2 điểm CĐ, CT là

Ta có

1
1

d ' : y = 2  m − 1÷x + m + 1
3
3

.
Điều kiện CĐ, CT cách đều d : y = −2 x là d ' hoặc song song với d hoặc d đi qua trung điểm

I ( 1; m − 1)

của đoạn nối CĐ, CT.

1
1

2  m − 1÷ = −2, m + 1 ≠ 0
3
3

hoặc m − 1 = −2

⇔ m = 0 hoặc m = −1 (chọn)
Bài toán 3.27: Chứng minh tiếp tuyến tại điểm M bất kỳ thuộc đồ thị

Oy tại một điểm A cách đều gốc O và tiếp điểm M.

( C)

:

y=

1
x − 4x2
2
cắt trục tung

Hướng dẫn giải

Với điều kiện

x − 4x2 > 0 ⇔ 0 < x <

Phương trình tiếp tuyến tại

y=

1 − 8x

( x − x0 ) +
2

4 x0 − 4 x0

1 − 8x
1
y' =
4 x − 4x2
4 thì:

M ( x0 ; y0 )

là:

1
x0 − 4 x02
2


x0
A  0;
 4 x − 4 x2
0
0
Tiếp tuyến cắt Oy tại 


÷
÷


1
x0
AM = ( x0 − 0 ) + 

x0 − 4 x02 −
2
4 x0 − 4 x02

Ta có:
2

=

x02
= AO
16 ( x0 − 4 x02 )

: đpcm

Bài toán 3.28: Tìm các điểm M thuộc
tiệm cận của

( C)

2


÷
÷


( C) : y =

x +1

x − 1 sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường

ngắn nhất.
Hướng dẫn giải

www.LuyenThiThuKhoa.vn

19

Phone: 094 757 2201


Đồ thị

( C) : y =

x +1
x − 1 có TCĐ: x = 1 , TCN: y = 1 nên giao điểm 2 tiệm cận là I ( 1;1) . Ta có

 x +1
M  x;
÷∈ ( C )
 x −1 
nên khoảng cách:
2

 x +1 
IM = ( x − 1) + 
− 1÷ =
 x −1 

2

( x − 1)

2

=

Dấu = xảy ra khi
Vậy

(

( x − 1)

4

4

+

( x − 1)

2

≥4

⇔ ( x − 1) = 2 ⇔ x = 1 ± 2
2

( x − 1)

)

2

2

.

(

M 1 1 + 2;1 + 2 , M 2 1 − 2;1 − 2

).

x +1
x − 1 có đồ thị ( C ) . Tìm điểm M trên đồ thị ( C ) sao cho tổng khoảng
Bài toán 3.29: Cho hàm số:
cách từ M đến các đường thẳng ∆1 : 2 x + y − 4 = 0 và ∆ 2 : x + 2 y − 2 = 0 là nhỏ nhất.
y=

Hướng dẫn giải

 x +1
M  x0 ; 0 ÷∈ ( C ) , x0 ≠ 1
 x0 − 1 
Giả sử
. Tổng khoảng cách là
2 x0 +

d=

2
−3
x0 − 1
5

x0 +
+

4
x0 − 1
5

=

1 
2
4 
− 3 + x0 +
 2 x0 +
÷
x0 − 1
x0 − 1 ÷
5


≥

1

2
4
3
2
2 x0 +
− 3 + x0 +
=
x0 − 1 +
x0 − 1
x0 − 1
x0 − 1
5
5

=

3 
2  6 2
 x0 − 1 +
÷≥
x0 − 1 ÷
5
5


 x0 = 1 + 2
2
⇔ x0 − 1 = 2 ⇔ 
 x0 = 1 − 2
Dấu đẳng thức xảy ra

Vậy điểm M thỏa mãn

(

) (

M 1 + 2;1 + 2 , M 1 − 2;1 − 2

Bài toán 3.30: Tìm điểm M thuộc đồ thị

( C) : y =

)

4x − 3
x − 3 có tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận bé nhất.

Hướng dẫn giải
www.LuyenThiThuKhoa.vn

20

Phone: 094 757 2201


Đồ thị

y=

4x − 3

x − 3 có TCĐ ∆ : x = 3 , TCN ∆ ' : y = 4 .

 4x − 3 
M  x;
÷∈ ( C )
d ( M ; ∆ ) + d ( M ; ∆ ')
 x −3 
Gọi
, ta có
= x−3 +

4x − 3
9
−4 = x−3 +
≥2 9=6
x−3
x −3

x−3 =
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
Bài toán 3.31: Tìm điểm M thuộc đồ thị

9
2
⇔ ( x − 3) = 9
x −3

( C) : y =

, do đó có 2 điểm

M ( 6;7 )

và

M ' ( 0;1)

.

x −1
x + 1 có tổng khoảng cách đến 2 trục bé nhất.

Hướng dẫn giải

x −1
 x −1 
M  x;
d= x+
, x ≠ −1
÷∈ ( C )
x
+
1
x
+
1


Gọi
, tổng khoảng cách đến 2 trục là

.
x −1
≤1
A ( 0;1) ∈ ( C )
x ≤ 1 x +1
d
=
1
min
d
≤
1
Xét điểm
thì
nên
, khi đó chỉ xét các điểm có:
,
nên
0 < x < 1 , khi đó:
d = x+

x −1
2
2
= x −1 +
= −2 + ( x + 1) +
≥ −2 + 2 2
x +1
x +1
x +1

Dấu = xảy ra khi
Vậy có 2 điểm

x +1 =

2
2
⇔ ( x + 1) = 2 ⇔ x = −1 ± 2
x +1

(

)

(

M −1 − 2;1 + 2 , M ' −1 + 2;1 − 2

)

x2 − 3
( C) : y =
x − 2 có tổng khoảng cách đến 2 trục bé nhất.
Bài toán 3.32: Tìm điểm M thuộc đồ thị
Hướng dẫn giải

 x2 − 3 
x2 − 3
M  x;

∈
C
d
=
x
+
,x ≠ 2
÷ ( )
x
−
2
x
−
2


Gọi
thì tổng khoảng cách đến 2 trục
.
 3
3
3
3
A  0; ÷∈ ( C )
d=
min d ≤
x≤
2.
2 , do đó
2 nên chỉ xét các điểm có hoành độ

Xét điểm  2 
thì

x2 − 3
x2 − 3
>0
d= x+
x−2 .
Khi đó x − 2
nên
x2 − 3
2 x2 − 8x + 7
3
d
=
f
x
=
x
+
,
f
'
x
=
(
)
(
)
2

0≤ x≤
x−2
x − 2)
(
2
Nếu
thì
www.LuyenThiThuKhoa.vn

21

Phone: 094 757 2201


f '( x ) = 0 ⇔ x = 2 −

Lập BBT thì

2
2 .

min d = f ( 0 ) =

3
2.

x2 − 3
−1
3
d

=
g
x
=
−
x
+
,
g
'
x
=
<0
(
)
(
)
2
− ≤x<0
x
−
2
x
−
2
(
)
Nếu 2
thì
3

 3 
 − 2 ;0 ÷ ⇒ g ( x ) > g ( 0 ) = 2
Do đó g nghịch biến trên
.

So sánh thì

min d =

 3
3
M ≡ A  0; ÷
 2.
2 tại

Bài toán 3.33: Tìm hai điểm trên 2 nhánh đồ thị

y=

( C) :

x2 − x − 1
x − 2 có khoảng cách bé nhất.
Hướng dẫn giải

x2 − x − 1
1
y=
= x +1+
,x ≠ 2

x−2
x−2
Hàm số
1 
1

A  2 + a;3 + a + ÷, B  2 − b;3 − b − ÷
a 
b  là 2 điểm thuộc 2 nhánh với a, b > 0 . Ta có:
Gọi 
2
2
1 1
1  
2 


BA = ( a + b ) +  a + b + + ÷ = ( a + b ) 1 +  1 + ÷ 
a b

  ab  
2

2

2
1 
2
1 
2


= ( a + b)  2 +
+ 2 2 ÷ ≥ 4ab  2 +
+ 2 2÷
ab a b 
ab a b 


1 

= 8 + 4  2ab + ÷ ≥ 8 + 4.2 2
ab 

.
Dấu = xảy ra khi a = b và

2ab =

1
1
⇔a=b= 4
ab
2

1
1 
1
1 



A  2 + 4 ;3 + 4 2 + 4 ÷ B  2 − 4 ;3 − 4 2 − 4 ÷
2
2  và 
2
2
Vậy 
Bài

toán

3.34:

Tìm

y = g ( x ) = x 2 + 8 x + 13

điểm

M

( P ) : y = f ( x ) = −3x 2 + 8 x − 9

thuộc

và

N

thuộc

( P ') :

sao cho MN bé nhất.
Hướng dẫn giải

www.LuyenThiThuKhoa.vn

22

Phone: 094 757 2201


Ta có khoảng cách MN bé nhất khi 2 tiếp tuyến tại M và N song song với nhau và chúng vuông góc với
đoạn MN.
Gọi

M ( x; f ( x ) ) , N ( x1; g ( x1 ) )

thì

f ' ( x ) = g ' ( x1 )

⇔ −6 x + 8 = 2 x1 + 8
⇔ x1 = −3 x
MN 2 = 4 ( 36 x 4 − 192 x3 + 392 x 2 − 352 x + 121) = h ( x )

Do đó
Ta có

h ' ( x ) = 64 ( 9 x 3 − 36 x 2 + 49 x − 22 )

= 64 ( x − 1)

h '( x ) = 0 ⇔ x = 1
Khi đó

2

( 9x

− 27 x + 22 )

. Lập BBT thì

M ( 1;4 ) , N ( −3; −2 )

N ( −3; −2 )

2

min h ( x ) = h ( 1) = 5

.

; kiểm tra MN vuông góc với 2 tiếp tuyến tại M, N: đúng. Vậy

M ( 1;4 )

,

.

Bài toán 3.35: Chứng minh đồ thị

( C) :

x2 − 2 x + 2
y=
x−3
a)
có tâm đối xứng.
4
3
2
b) y = x + 4 x + 4 x có trục đối xứng.

Hướng dẫn giải
a) Ta có

y = x +1+

5
x − 3 nên ( C ) có TCĐ: x = 3 và TCX: y = x + 1 , do đó giao điểm 2 tiệm cận

uur  x = X + 3
OI : 
I ( 3;4 )
 y = Y + 4 . Thế vào ( C ) thì được:
. Chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ
Y + 4 = X + 3 +1+

Vì
b)

5
5
⇔Y = X +
X +3−3
X

Y = F( X) = X +

5
X là hàm số lẻ ⇒ đpcm.

y ' = 4 x3 + 12 x 2 + 8 x = 4 x ( x 2 + 3 x + 2 )
y ' = 0 ⇔ x = −2 hoặc x = −1 hoặc x = 0 .

x = X −1
uur 
I ( −1;1)
y = Y +1
Xét điểm
. Chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến theo vectơ OI : 
. Thế và hàm số:

Y + 1 = ( X − 1) + 4 ( X − 1) + 4 ( X − 1) ⇔ Y = X 4 − 2 X 2
4

www.LuyenThiThuKhoa.vn

3

2

23

là hàm số chẵn ⇒ đpcm.
Phone: 094 757 2201


Bài toán 3.36: Tìm hai điểm E, F thuộc đồ thị hàm số

y=

x2 + x + 2
x − 1 đối xứng nhau qua điểm

 5
I  0; ÷
 2 .

Hướng dẫn giải
Ta có

y = x+2+

4
x − 1 . Gọi E ( x1; y1 ) , F ( x2 ; y2 ) theo đề bài:

 x1 + x2 = 0

 x1 + x2 = 0
 x1 + x2 = 0

⇔
⇔
4
4

 y1 + y2 = 5
 x1 x2 = −9
 x1 + x2 + 4 + x − 1 + x − 1 = 5
1
2

2
E ( −3; −2 )
F ( 3;7 )
Do đó x1 = − x2 , x1 = −9 nên
và
.

Bài toán 3.37: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số

y=

x2 − 2x + 2
x −1
đối xứng nhau qua đường thẳng

d : y = x + 3.

Hướng dẫn giải
Xét đường thẳng d ' vuông góc với d thì d ' : y = − x + b .

x2 − 2x + 2
= − x + b, x ≠ 1
( C) :
x −1
PT hoành độ giao điểm của d ' và
.
⇔ 2 x 2 − ( b + 3) x + 2 + b = 0

.

∆ = ( b + 3) − 8 ( 2 + b ) = b 2 − 2b − 7 > 0
2

Điều kiện

Hoành độ giao điểm I của d và d ' :
I là trung điểm đoạn AB:

⇔

xI =

x + 3 = − x + b ⇒ xI =

b−3
2

x A + xB
2

b−3 b+3
=
⇔b=9
2
4
(chọn).


14
14  
14
14 
A 3 −
;6 +
;6 −
÷, B  3 +
÷
2
2  
2
2 

Vậy
.
x2 + ( m + 2) x − m
y=
x +1

Bài toán 3.38: Tìm m để đường thẳng y = − x − 4 cắt đồ thị hàm số
tại hai điểm
đối xứng nhau qua y = x .
Hướng dẫn giải
Điều kiện PT hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt khác −1:

www.LuyenThiThuKhoa.vn

24

Phone: 094 757 2201


x2 + ( m + 2) x − m
= − x − 4 ⇔ 2 x 2 + ( m + 7 ) x + 4 − m = 0 ( 1)
x +1
.

Đk:

1

2 ( −1) 2 − ( m + 7 ) + 4 − m ≠ 0
m ≠ −
2
⇔

2
∆ = ( m + 7 ) − 8 ( 4 − m ) > 0
m < −11 − 104 hay m > −11 + 104



Gọi x1 , x2 là hoành độ hai giao điểm, ta có x1 , x2 là nghiệm của (1) theo định lí Viet:

x1 + x2 = −

m+7
2 .

Hai giao điểm đối xứng qua đường thẳng y = x vuông góc với đường thẳng y = − x − 4 nên tung độ
của hai giao điểm lần lượt là x2 , x1 .
Do đó x2 = − x1 − 4 ⇔ x1 + x2 = −4 ⇔ m + 7 = 8 ⇔ m = 1 (thỏa mãn).

( C ) : y = x 3 − 4 x − 1 đối xứng với nhau qua đường thẳng

Bài toán 3.39: Tìm những cặp điểm nguyên trên
y = x và không nằm trên đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải
Nếu gọi

A ( x; y )

( y; x ) . Vì thế yêu cầu
thì điểm đối xứng của A qua đường thẳng y = x có tọa độ là

của bài toán tương đương với việc tìm nghiệm nguyên

( x; y )

với x ≠ y của hệ phương trình

 y = x 3 − 4 x − 1

3
 x = y − 4 y − 1

x − y ) ( x 2 + xy + y 2 − 3) = 0 ⇔ x 2 + xy + y 2 = 3
(
nên
2
2
( 2; −1) , ( −1; 2 ) , ( −2;1) , ( 1; −2 ) .
Phương trình x + xy + y = 3 có nghiệm nguyên x ≠ y là

Thử lại vào hệ, ta chọn 2 nghiệm

( 2; −1) , ( −1;2 )

Vậy cặp điểm nguyên duy nhất đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x và không nằm trên đường
thẳng đó là

( 2; −1)

Bài toán 3.40: Cho
và chỉ khi:

và

f ( x)

f '( a ) = 0

và

( −1;2 ) .
là hàm đa thức bậc 4. Chứng minh đồ thị của

f ''' ( a ) = 0

f ( x)

có trục đối xứng x = a khi

.
Hướng dẫn giải

Ta khai triển

f ( x)

theo x − a :

f ( x ) = a4 ( x − a ) + a3 ( x − a ) + a2 ( x − a ) + a1 ( x − a ) + a0
4

www.LuyenThiThuKhoa.vn

3

2

25

Phone: 094 757 2201