sang kien kinh nghiem Phân dạng bài tập viết phương trình tiếp tuyến với một đường cong

SỞ GD&ĐT TUYÊN QUANG
TRƯỜNG THPT CHIÊM HOÁ

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - tự do - hạnh phúc
Chiêm hoá, ngày 20 tháng 5 năm 2015

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Chiến sỹ thi đua cấp cơ sở năm học 2014-2015

Họ và tên người thực hiện: Chu Thị Vinh
Môn dạy: Toán
Tổ chuyên môn: Toán
Đơn vị công tác: Trường THPT Chiêm Hóa
Nhiệm vụ được giao năm học 2014- 2015:
+ Chủ nhiệm lớp 12C10
+ Dạy toán các lớp : 12C10 , 12C8 , 12C6.
1.Tên sáng kiến kinh nghiệm:
“ Phân dạng bài tập viết phương trình tiếp tuyến với một đường cong giúp
học sinh Các lớp 12C10,12C8,12C6 giải tốt các bài tập”
2. Mô tả sáng kiến kinh nghiệm:
a. Hiện trạng và nguyên nhân chủ yếu của hiện trạng
Năm học 2014- 2015 là năm đầu tiên đổi mới về phương thức thi cử và xét tuyển
đối với học sinh THPT điều này không ít khó khăn học sinh lo lắng và bỡ ngỡ,
trước sự đổi mới này tôi nhận thấy trách nhiệm của người thầy vô cùng lớn lao, là
người góp phần vào kết quả cuối cùng của học sinh, bản thân tôi là một giáo viên
dạy bộ môn toán trường THPT Chiêm Hóa đã nhiều năm giảng dạy qua nhiều thế
hệ, thường xuyên tham gia các lớp dạy ôn, ôn phụ đạo học sinh yếu kém, ôn bồi
dưỡng học sinh khá giỏi, các lớp chọn, ôn luyện thi tốt nghệp và luyện thi đại
học, cao đẳng, từ những kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy kiến thức, nâng cao

chuyên môn tôi thấy bài toán viết phương trình tiếp tuyến với một đường cong là
một bài toán rất cơ bản, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp, cao
đẳng và đại học hàng năm theo nhận định của bản thân tôi nhiều học sinh làm bài
toán này chưa thật tốt, còn có những sai lầm đáng tiết chỉ vì còn thụ động và chưa
nắm vững được các dạng toán này chính vì vậy trong bản sáng kiến, kinh nghiệm
năm nay tôi chỉ có một lao động sáng tạo nhỏ là hệ thống lại các dạng phức tạp,
đưa ra phương pháp giải với từng dạng và chỉ ra những sai lầm mà học sinh
thường mắc phải, với nội dung này rất mong được sự góp ý của các đồng chí
đồng nghiệp đê, đề tài này ngày càng được hoàn thiện hơn.
b. Ý tưởng:


Trong thực tế khi giảng dạy học sinh về bài toán viết phương trình tiếp tuyến , tôi
thấy học sinh giải bài toán này một cách thụ động nhiều khi còn gặp khó khăn, từ
thực tế đó tôi đã có một ý tưởng giúp cho các em học tốt hơn về dạng bài toán
này, bằng cách hướng dẫn cụ thể cho học sinh cách giải :
+ Khi giải bài toán viết phương trình tiếp tuyến mà biết tọa độ của tiếp điểm
hoặc biết tung độ của tiếp điểm, hoành độ của tiếp điểm hoặc biết hệ số góc thì
học sinh phải biết tìm thêm những đại lượng nào thì mới viết được phương trình
tiếp tuyến đó.
+ Đối với lớp 12C10 là lớp chọn ban A của trường tôi dã mạnh dạn đưa thêm
dạng 3,4 là những bài toán mở rộng so với chương trình học phổ thông, không có
trong sách giáo khoa để các em có kiến thức vững vàng trong việc ôn luyện các
đề thi đại học.
Qua một năm thực hiện đề tài này học sinh cả ba lớp 12 mà tôi trực tiếp giảng
dạy đều đã có những chuyển biến , tiến bộ vượt bậc trong học tập về giải các bài
toán viết phương trình tiếp tuyến và các bài tóa liên quan đến phương trình tiếp
tuyến.
Dựa trên tình hình thực tế đó tôi đã nghiên cứu, tìm tòi, tích lũy và đưa ra phương
pháp chia thành bốn dạng toán về phương trình tiếp tuyến để mọi đối tượng học

sinh dễ tiếp cận, dễ tiếp thu, chủ động, tích cực trong học tập...
3. Nội dung công việc:
Sau đây là một số bài toán về "phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = f(x)" và phương pháp giải mà tôi đã tích lũy được từ kinh nghiệm giảng dạy
và đã sử dụng để hướng dẫn học sinh thực hiện trong thời gian qua. Các bài tập
này được tôi phân ra thành 4 dạng từ dễ đến khó . Các dạng toán tôi đưa ra cho
học sinh như sau:
Dạng1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại một điểm
-Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; y0)
-Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x0
-Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có tung độ y0
Dạng2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) khi biết hệ số góc k của
tiếp tuyến
-Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết hệ số góc k cho
trước
-Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp tuyến đó song
song với một đường thẳng cho trước
-Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp tuyến đó
vuông góc với một đường thẳng cho trước
-Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết hệ số góc của tiếp
tuyến đó thỏa mãn điều kiện cho trước
Dạng 3 :Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tbiết tiếp tuyến đi qua
một điểm A (x; y)
Dạng4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) biết tiếp tuyến thỏa mãn
tính chất P cho trước và giải một số bài toán liên quan đến phương trình tiếp
tuyến.
Chú ý: các bài toán viết phương trình tiếp tuyến trên được dựa trên cơ sở lý
thuyết là :

- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng dạng y = kx + b, k là hệ số
góc.
- Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại tiếp điểm là k = f '  x0 
x0: là hoành độ tiếp điểm
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại tiếp điểm M 0 (x0; f (x0)) là:
y = f '  x0  (x - x0) + f(x0)
Đưa ra các dạng bài toán trên đồng thời lấy các ví dụ minh họa cho từng dạng ,
cuối cùng đưa ra các bài tập liên quan để học sinh về nhà làm thêm, cuối cùng
kiểm tra đánh giá kết quả.
4. Triển khai thực hiện:
NỘI DUNG THỰC HIỆN SÁNG KIẾN:
a, Thời gian thực hiện:
+ Thời gian thực hiện bắt đầu từ tháng 8/2014 đến tháng 4/2015
+ Sáng kiến này được thực hiện trong phạm vi lớp 12C10, 12C8, 12C6 Là những
buổi ôn tập bồi dưỡng nâng cao sau khi học song chương “ Đạo hàm” môn đại số
và giải tích lớp 11 và chương” Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của
hàm số “ trong phần các bài toán liên quan, các buổi ôn thi đại học và tốt nghiệp
khối 12 năm học 2014 -2015
b, Qui trình, cách thức:
+ Lần lượt đưa ra các dạng bài toán viết phương trình tiếp tuyến từ dễ đến khó.
+ Sau mỗi dạng đều đưa ra phương pháp giải.
+ Lấy ví dụ minh họa cho từng dạng .
+ Ra một số bài tập có liên quan cho học sinh về nhà làm thêm.
+ Kiểm tra đánh giá sau khi học xong mỗi dạng để nắm bắt được sự tiến bộ của
học sinh.
c, Nội dung thực hiện:
Sau đây là một số bài toán về "phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = f(x)" và phương pháp giải :
*Dạng 1:Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại một điểm
Trường hợp 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại

điểm M(x0; y0)
Cách giải:
+ Tính f '  x  , f '  x0  .
+ Thay x0; y0; f '  x0  vào y = f '  x0  (x - x0) + y0 ta được pt tiếp tuyến cần tìm.


Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

2x  5
tại điểm
x3

M(-4;13)
Giải
Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng : y = f '  x0  (x - x0) + y0
Ta có: x0 = -4 , y0 = 13
y'

11
=> y’(x0) = y’(-4)
( x  3) 2



11
(4  3) 2

= 11

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

y  11( x  4)  13 � y  11x  57

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3  6x2  9x
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2)
Giải
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2)
Phương trình tiếp tuyến có dạng : y = f '  x0  (x - x0) + y0
Ta có: x0 = 2 , y0 =2
y '  3 x 2  12 x  9, y '  2   3

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2) là:
y  3  x  2   2
� y  3 x  8

Chú ý:
-Đối với hai ví dụ trên chỉ cần tìm hệ số góc f '  x0  của tiếp tuyến rồi dùng
công thức y = f '  x0  (x - x0) + y0 sẽ được tiếp tuyến cần tìm.
- Vì y = f (x) nên y' (x 0) = f '  x0  . Do đó từ nay có thể dùng y' (x 0) hay
f '  x0  đều được.
Trường hợp 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại
điểm có hoành độ x0
Cách giải: + Tính f '  x   f '  x0 
+ Thay x0 vào hàm số y = f(x) tìm y0
+ Thay x0; y0; f '  x0  vào phương trình y = f '  x0  (x - x0) + y0 rồi kết
luận
x2
Ví dụ 1 : Cho hàm số y 
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
x 1

Tại điểm có hoành độ x0 = 2
Giải.
2

x  2x
= f ' x 
 x  1 2
Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng : y = f '  x0  (x - x0) + y0
Tại x0 = 2 => y0 = 4 khi đó y'(2) = f '  2  = 0; Vậy phương trình tiếp tuyến cần
tìm là: y = 4
Ta có y ' 

Ví dụ 2 : Cho hàm số y = -x4 +2x2 +3 (C)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -2
Giải
Tại x = -2 => y = -5; Ta có y’ = f '  x  = - 4x3 +4x cho nên f '(2)  24
=> phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là y = 24 (x + 2) - 5
Hay y = 24x + 43.
Chú ý: Đối với hai ví dụ trên ta phải tìm thêm hai đại lượng là y0 và f '  x0  thì
mới viết được phương trình tiếp tuyến.
Trường hợp 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại
điểm có tung độ y0
Cách giải: + Thay y0 vào hàm số y = f(x) tìm x0.
+ Tính y' = f '  x  , f '  x0 
+ Thay x0; y0; f '  x0  vào y = f '  x0  (x - x0) + y0 ta được kết quả.
Ví dụ 1: (Bài tập 7 trang 44 SGK GT12)
1
4

1
2

Cho hàm số: y  x 4  x 2  1 (C ) .Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm
có tung độ bằng

7
.
4

Giải
Gọi xo là hoành độ tiếp điểm  ta có

7 1 4 1 2
 x0  x0  1  xo 1 .
4 4
2

7

Với xo 1  f ' (1) 2  phương trình tiếp tuyến tại M 1   1;  là:


y

4

7
1
2( x  1)  y 2 x 

4
4

7

Với xo  1  f ' ( 1)  2  phương trình tiếp tuyến tại M 2   1;  là:


y  2( x  1) 

7
1
� y  2 x 
4
4

4


2x  3
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
x 1
thị (C) tại điểm có tung độ bằng 1.
Giải.
2 x0  3
5
Từ giả thiết, ta có y0 = 1 
= 1  x0 = 4. f '  x  =
( x  1) 2
x0  1

1
1
1
1
 f '  4  = . Phương trình tiếp tuyến là y = (x - 4) + 1  y = x +
5
5
5
5
Chú ý: Qua hai ví dụ trên khi biết y 0 phải tìm thêm hai đại lượng nữa là x0 ,
f '  x0 
* Dạng 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) khi biết hệ số góc
k của tiếp tuyến
Trường hợp1 : Biết hệ số góc k cho trước
Cách giải:
* Cách 1: Tìm hoành độ tiếp điểm x0
+ Tính y' = f '  x  . Giải phương trình f '  x  = k tìm được x0
+ Thay x0 vào phương trình y = f(x) tìm y0
+ Thay x0; y0; k vào phương trình y = k(x - x0) + y0 ta được tiếp tuyến cần tìm.
* Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc
+ Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = kx + b
(1)

+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)
Hệ phương trình sau có nghiệm:
 f  x  kx  b
(Nghiệm x của phương trình là hoành độ tiếp điểm)
 '
f


x


k

+ Giải phương trình f ' ( x) k tìm x thế vào phương trình f ( x) kx  b tìm b
+ Thế b vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = - x4 - x2 + 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 6.
Giải.
3
* Cách 1. Ta có y' = - 4x - 2x
Giải phương trình - 4x3 - 2x = - 6  x = 1, Thay x = 1 vào (C),được y(1) = 0
Phương trình tiếp tuyến là y = - 6(x - 1) + 0  y = - 6x + 6.
* Cách 2. Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = kx + b
+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)  Hệ phương trình sau có nghiệm:
  x 4  x 2  2  6 x  b
. Giải hệ phương trình tìm được x = 1, b = 6

3

4
x

2
x


6


+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = - 6x + 6.
x 2  3x  4
Ví dụ 2:Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C): y 
, biết
x 1
hệ số góc của tiếp tuyến bằng -1.
Giải.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) =


x02  2 x0  1
x 2  2x  1
 y ' ( x0 ) 
* Cách 1. Ta có y ' 
= -1
( x  1) 2
 x0  1 2
x 2  2 x0  1
 x0 0  y 0  4 . Tiếp tuyến là y = -x - 4, y = -x + 4.
 0


1

 x 2  y 2
( x 0  1) 2
0
 0
* Cách 2. Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = - x + b
+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)  Hệ phương trình sau có nghiệm:

 x 2  3x  4
 x  b

x 1

Giải hệ phương trình tìm được: x = 0; b = - 4
 2
x

2
x

1

 1
 ( x  1) 2
x = 2; b = 4
+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = - x - 4 và y = - x + 4.
Chú ý: Khi biết hệ số góc k có hai cách để tìm x0; y0 nhưng làm bằng cách 1
nhanh mà ít nhầm lẫn.
Trường hợp 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết
tiếp tuyến đó song song với một đường thẳng y =a x + b cho trước
* Cách giải :
+ Ta có hệ số góc k = a
+ Tính y' = f '  x  . Giải phương trình f '  x  = a tìm được x0
+ Thay x0 vào phương trình y = f(x) tìm y0
+ Thay x0; y0; k vào phương trình y = k(x - x0) + y0 ta được tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

2x  5

biết rằng tiếp
x3

tuyến đó song song với đường thẳng y  11x  2
Giải
Đường thẳng y  11x  2 có hệ số góc là 11  Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k
= 11
Xét phương trình y’(x0) = k 

x0  2
�
11
 11 � x02  6 x0  8  0 � �
2
x0  4
( x0  3)
�

+ Khi x0 = - 2 ta có y0 = - 9
Phương trình tiếp tuyến là : y  9  11( x  2) � y  11x  13
+ Khi x0 = - 4 ta có y0 = 13 .Phương trình tiếp tuyến là :
y  13  11( x  4) � y  11x  57


Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3  6x2  9x

(C)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với
đường thẳng y = -6x + 1

Giải
Vì tiếp tuyến song song Với đường thẳng y = -6x + 1
x  5
�
x0  1
�

0
2
nên k = y’(x0) = -6 � 3x0  12x0  9  6 � �

Với x0 = -5 => y0 = -320. Phương trình tiếp tuyến là: y = -6x – 350
Với x0 = -1 => y0 = - 16. Phương trình tiếp tuyến là: y = -6x – 22
Chú ý: Tiếp tuyến (T) // đường thẳng d  kT = kd .
Trường hợp 3 :
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp tuyến đó
vuông góc với một đường thẳng y =a x + b cho trước
Cách giải :
+ Ta có hệ số góc k . a = -1 � k = 

1
a

+ Tính y' = f '  x  . Giải phương trình f '  x  = 

1
a

tìm được x0

+ Thay x0 vào phương trình y = f(x) tìm y0
+ Thay x0; y0; k vào phương trình y = k(x - x0) + y0 ta được tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y  2x  2 .

2x  4
biết rằng
x1

Giải :
Đường thẳng y  2x  2 có hệ số góc là -2
 Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k =
Xét phương trình y’(x0) = k 

1
2

x0  1
�
2
1
2

�
x

2x

3


0
�
�
0
0
x0  3
(x0  1)2 2
�

+ Khi x0 = 1 ta có y0 = -3
1
2

1
2

7
2

1
2

1
2

1
2

Phương trình tiếp tuyến là : y  3  (x  1) � y  x 
+ Khi x0 = - 3 ta có y0 = -1

Phương trình tiếp tuyến là : y  1 (x  3) � y  x 
Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x) 

3x  2
có đồ thị (C).
x 1

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường
thẳng y 4 x  10 .


Giải
1

D = R \ {1}; y '  ( x  1) 2 .
Gọi M o ( xo ; yo )  (C ) tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y 4 x  10 , có hệ
1
4

số góc k: k . 4  1  k  .
 x o  1
1
1
  

 xo là nghiệm phương trình
2
4
( x o  1)
 y o 3

5

x o  2

y  7
 o 2

5
1
9

Tại M 1   1;  có tiếp tuyến là y  x  .


2

4

4

1
17
 7
Tại M 2  3;  có tiếp tuyến là y  x  .


2

4

4

Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = - x4 - x2 + 6, biết
1
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y  x  1 .
6
Giải
1
6

Đường thẳng y  x  1 có hệ số góc là

1
6

 Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k = - 6
Xét phương trình y’(x0) = k 

4x03  2x0

 6 �

4x30  2x0  6 

x0  1
�
�
0�
1

�
x0 
�
2

+ Khi x0 = 1 ta có y0 = 4
Phương trình tiếp tuyến là : y  4  6(x  1) � y  6x  10
+ Khi x0 = -

1
91
ta có y0 =
2
16
1
2

Phương trình tiếp tuyến là : y  6(x  ) 

91
139
� y  6x 
16
16

Ví dụ 4 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y 
tuyến: a) Song song với đường thẳng d: 3x - y + 4 =0;
b) Vuông góc với đường thẳng d': x + 27y - 2 = 0.
Giải.
3

Ta có: y ' 
 x  1 2

x 2
, biết tiếp
x 1


a) Vì tiếp tuyến song song với d, nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 3;
* Cách 1: Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:

3

 x  1

2

k , x  1

 x  2  y 4
 
. Phương trình tiếp tuyến là y = 3x + 10 và y = 3x - 2.
 x 0  y  2
* Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = 3x + b (1)
+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)  Hệ phương trình sau có nghiệm:
x 2
 x  1 3 x  b
, ( x  1 ). Giải hệ phương trình tìm được:x = 0; b = - 2,
 3


3
x = - 2; b = 10,
 ( x  1) 2
+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3x + 10 và y = 3x - 2.
b) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d', nên có hệ số góc là k = 27.
3
27 , x  1
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
 x  1 2
2

 x  3  y  8
. Phương trình tiếp tuyến là y = 27x + 10, y = 27x + 46.
 
 x  4  y 10

3
* Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = 27x + b (1)
+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)  Hệ phương trình sau có nghiệm:
2
x 2
x  ; b = 10,
 x  1 27 x  b
3
, ( x  1 ). Giải hệ phương trình ta được
 3

27
4
 ( x  1) 2

x  ; b = 46,
3
+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 27x + 10 và y = 27x + 46.
Chú ý: Tiếp tuyến (T)  đường thẳng d  kT.kd = - 1;
*Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), biết tiếp
tuyến đi qua (xuất phát, kẻ từ) điểm A (x0; y0)
Cách giải:
* Cách 1: Tìm tiếp điểm
+ Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm và tiếp tuyến d là: y = f '  x0  (x - x0) + y0 (1);
+ Tiếp tuyến d qua A  Tọa độ điểm A là nghiệm của phương trình (1)
 y1 = f '  x0  (x1 - x0) + y0
(2);
+ Giải phương trình (2) tìm x0, tính y0 và f '  x0  ;
+ Thay các kết quả tìm được vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
* Cách 2: Tìm hệ số góc
+ Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm;
+ Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(x1; y1) có hệ số góc k là phương trình
dạng: y = k(x - x1) + y1
(1)


+ Điều kiện để đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)  Hệ phương
 f  x  k ( x  x1 )  y 1
trình sau có nghiệm:  '
 f  x  k
+ Giải hệ phương trình tìm x, rồi thay vào tìm k;
+ Thay giá trị k vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 - 3x2 +2
(C).
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) kẻ từ điểm A(0; 2);

Giải.
2
* Cách 1: Ta có y' = 3x - 6x
+ Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm và tiếp tuyến d là y = f '  x0  (x - x0) + y0
 y (3x 02  6 x 0 )( x  x 0 )  x03  3 x02  2 (1)
+ Tiếp tuyến d qua A  Tọa độ điểm A là nghiệm của phương trình (1)
 2 (3x 02  6 x0 )(0  x0 )  x03  3x02  2   2 x 03  3x 02 0
 x0 0  y 0 2; f ' ( x0 )  f ' (0) 0
 
;
 x0  3  y 0  11 ; f ' ( x0 )  f ' ( 3 )  9
2
8
2
4

9
+ Vậy có hai phương trình tiếp tuyến là: y = 2 và y  x  2 .
4
* Cách 2: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm;
+ Lập phương trình đường thẳng d qua A(0; 2) có hệ số góc k là : y = kx + 2
+ Điều kiện để đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)  Hệ sau có
 x 3  3x 2  2 kx  2
 f  x  kx  2
  2
nghiệm:  '
. Giải hệ ta được:
 3 x  6 x k
 f  x  k
 x 0  k 0

9

3
9 . Vậy có hai tiếp tuyến là: y = 2 và y  x  2
 x   k 
4

2
4
2x 1
Ví dụ2 : Cho hàm số y 
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
x 1
số (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(1; 8).
Giải.
3
* Cách 1: Ta có: y ' 
 x  1 2
M(x0; y0)  (C), x0 1
2 x0  1
3


x

x

+ Pt tiếp tuyến d: y = f '  x0  (x - x0) + y0  y 
, (1)
0

x0  1
 x0  1 2
+ Tiếp tuyến d qua M  Tọa độ điểm M là nghiệm của phương trình (1)
2 x0  1
3

1

x


 8
, x0 1  x0 2  y 0 5; y '  2  3 .
0
x0  1
 x0  1 2
+ Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -3x + 11.
* Cách 2: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm;


+ Lập phương trình d qua M(1; 8) có hệ số góc k là: y k  x  1  8
 f  x  k  x  1  8
+ d là tiếp tuyến của (C)  Hệ sau có nghiệm:  '
 f  x  k
Giải hệ, ta được: x = 2; k = - 3. Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = - 3x + 11.
Chú ý: Dạng toán này chỉ được thực hiện ở lớp chọn
*Dang 4 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), biết tiếp
tuyến thỏa mãn tính chất P cho trước, giải các bài toán liên quan đến tiếp
tuyến
Cách giải:

*+ Phương trình tiếp tuyến d tại điểm M(x0; y0) có dạng: y = f '  x0  (x - x0) + y0 ,
+ Từ giả thiết lập hệ thức tiếp tuyến d thỏa mãn tính chất P, tìm x0; y0; f '  x0  ;
+ Thay x0; y0; f '  x0  vào y = f '  x0  (x - x0) + y0 ta được tiếp tuyến cần tìm.
*Tùy theo giả thiết kết luận của bài toán mà dựa và kiến thức về tiếp tuyến để
giải bài

1
3

3
2
Ví dụ 1: Cho hàm số: y  x  x  2 x

(C).

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bé nhất.
Giải.
Gọi tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc là k.
Khi đó: k = y' = x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1  1,  x .
 x  1
 x  1
1


Dấu bằng xảy ra  
4  kmin = 1  
4 . Tiếp tuyến là y x 
3
 y  3
 y  3

x2
Ví dụ 2: Cho hàm số y 
(1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
2x  3
số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt
A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ. (Trích đề thi ĐH-CĐkhối A-2009).
Giải.
1
3
Ta có: y ' 
2 . Gọi M(x0; y0)  (1), x 0  
 2 x0  3
2
Phương trình tiếp tuyến d tại M có dạng: y  f '  x 0  x  x0   y 0 (*).
d  Ox  A 

d  Oy  B   Tiếp tuyến d song song với đường phân
Từ giả thiết, ta có:
OAB cân tại O 
giác của góc phần tư thứ nhất và thứ hai lần lượt có phương trình y = x; y = - x,
1
 x   2  y 0 0
1   0
 k 1  f '  x0  . Ta có:
.
2
 2 x 0  3
 x 0  1  y 0 1
* Với x0 = - 1; y0 = 1, phương trình y = - x (loại)
* Với x0 = - 2; y0 = 0, phương trình tiếp tuyến là y = - x - 2.

Vậy có một tiếp tuyến cần tìm là y = - x - 2.


1 3
2
Ví dụ 3 : Cho hàm số y  x  2 x  3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của
3
đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y ''  x0  = 0 và chứng
minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Giải.
* Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (C) tại điểm I có hoành độ là
nghiệm của phương trình y ''  x0  = 0
Ta có y' = x2 - 4x +3
y’’ = 2 x – 4
giải phương trình : y ''  x0  = 0  2x0 – 4 = 0 � x0  2
8
 2
� I  2;  , y'(2) = - 1. Pt tiếp tuyến d là y  x  .
3
 3
* Chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Gọi k1 là hệ số góc của tiếp tuyến d  k1 = -1.
Gọi k2 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại mọi x
 k2 = y'(x) = x2 - 4x + 3
Xét hiệu k1 - k2 = - 1 - (x2 - 4x + 3) = - (x - 2)2  0, x  k1  k2, x .
Dấu " " xảy ra  x = 2 (là hoành độ tiếp điểm)  k1 là bé nhất.
Vậy tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = x4 - x2 + 1
(C). Tìm những điểm trên Oy sao cho từ
những điểm đó kẻ được ba tiếp tuyến với (C).

Giải.

Gọi M là điểm bất kì thuộc Oy
M(0; b).
Đường thẳng d qua M với hệ số góc k có dạng: y = kx + b.
 x 4  x 2  1 kx  b
Từ M kẻ được ba tiếp tuyến  Hệ phương trình 
có ba
3
k

4
x

2
x

nghiệm phân biệt. Giải ra ta đ ược b = 1  M(0; 1).
Ví dụ 5: Cho hàm số y = x3 - 3x2 - 1 (C). Chứng minh rằng qua mỗi điểm thuộc
đường thẳng x = 1 kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Giải.
Gọi M là điểm bất kì thuộc đường thẳng x = 1  M(1; b).
Phương trình d qua M với hệ số góc k có dạng: y = k(x - 1) + b
 x 3  3x 2  1 k ( x  1)  b
d là tiếp tuyến của (C)  Hệ sau có nghiệm: 
2
 k 3x  6 x
 - 2x3 + 6x2 - 6x + 1 = b có nghiệm.
 đường thẳng y = b cắt đồ thị g(x) = - 2x3 + 6x2 - 6x + 1 .
Ta có: g ' ( x)  6 x 2  12 x  6  6( x  1) 2 0, x . Hàm g(x) là hàm nghịch biến

 đường thẳng y = b luôn cắt đồ thị g(x) tại một điểm duy nhất  Hệ có
nghiệm duy nhất. Vậy qua M(1; b) chỉ kẻ được duy nhất một tiếp tuyến với (C).


2x
(1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
x 2
số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A, B và tam giác
OAB thỏa mãn AB OA 2 .
Giải.
 4
Ta có: y ' 
. Gọi M(x0; y0)  (1) , x 0  2 .
 x  2 2
2x
 4
 x  x0   0 .
Phương trình tiếp tuyến d tại M có dạng: y 
2
x0  2
 x0  2
Ví dụ 6: Cho hàm số y 

d  Ox  A
* Cách 1: Theo giả thiết: d  Oy  B



  OAB vuông cân tại O.


OAB : AB OA 2 
d  y x
Do đó: 
.
 d  y  x
 4
.1  1   x0  2  2 4 .
+ Nếu d  d1 : y  x thì k d .k d1  1 
2
 x0  2
Giải ra ta được: x0 = 0  phương trình d: y = - x (loại)
x0 = 4  phương trình d: y = - x + 8.
 4
.  1  1 (vô lí).
+ Nếu d  d 2 : y  x thì k d .k d 2  1 
 x0  2 2
Vậy có một tiếp tuyến d cần tìm là y = - x + 8.

OA
1


sin
* Cách 2: Vì tam giác OAB vuông tại O nên sin ABO 
AB
4
2
2
x


 Tam giác OAB vuông cân tại O; d  Ox  A  A 0 ;0  ; d  Oy  B
 2 

x02
2 x02
2 x 02 



 B 0;
 x0 = 0, x0 = 4.
2
2  . Giả thiết OA = OB
2


x

2


x

2
0

0

Tương tự như trên ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = - x + 8.
Chú ý: Dạng toán này chỉ được thực hiện ở lớp chọn

Một số bài tập liên quan
Bài 1: Cho hàm số y  x4  8x2  10 (C)
.Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực đại của đồ thị (C)
Bài 2: Cho hàm số y = x3  6x2  9x (1)
a.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với
đường thẳng y = -6x + 1


Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

x 2
2x  1

a) Tại điểm có hoành độ bằng 1.
b) Tại điểm có tung độ bằng

4
.
5

Bài 4: Cho hàm số y = -x3+3x-2 (2)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc k =-9
3
2
Bài 5 : Cho hàm số y  2 x  3x  1 (2)

a, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 0
b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với
1

2

đường thẳng y = - x + 3
x
(H). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H),
x 1
biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi bằng 2(2  2 ) .
ĐS: Có hai tiếp tuyến cần tìm là y = - x; y = - x + 4.
3x  2
Bài 7: Cho hàm số y 
(C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận
x 1
của đồ thị. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến
đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa mãn cos

5
BAI 
.
ĐS: Tiếp tuyến là y = 5x - 2; y = 5x + 2.
26
Bài 6: Cho hàm số y 

Bài 8: Cho hàm số y 

2x
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết
x2

rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
ĐS: y = x và y = x + 8.

2x  1
Bài 9: Cho hàm số y 
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
x 1
số (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng 2 .
ĐS: y = - x + 1 và y = - x + 5.
2x 1
Bài 10: Cho hàm số y 
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
x 1
số (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(- 4; - 2).
1
5
ĐS: Có ba phương trình tiếp tuyến là y = x + 1; y = x + 5; y  x  .
4
4

x2
(C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận,
x 1
 là một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C), d là khoảng cách từ I đến  . Tìm giá

Bài 11:Cho hàm số y 
trị lớn nhất của d.


Bài 12: Cho hàm số y = x4 - 2x2. Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành
độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A
và B song song với nhau.
Bài 13: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 1 (C). Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao

cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 .
1 3
2
Bài 14:Cho hàm số y  mx  (m  1) x  (4  3m) x  1 (Cm). Tìm các giá trị
3
của m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp
tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d: x + 2y - 3 = 0.
Bài 15: Cho hàm số y  x 3  (1  2m) x 2  (2  m) x  m  2 (Cm). Tìm tham số
m để đồ thị hàm số (Cm) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc
1
 , biết cos  
.
26
Chú ý: các bài này giáo viên đều hướng dẫn cho học sinh phương pháp giải
khi gặp khó khăn ở nội dung nào học sinhcó thể trực tiếp trao đổi với giáo
viên.
5.Kết quả đạt được. Kết quả thu được ở lớp12C10 kiểm nghiệm qua làm đề thi
thử ĐH - CĐ khối A, B, D
Kết quả thu được ở lớp12C18,12C6 kiểm nghiệm qua làm đề thi thử tốt nghiệp
Năm học 2013 - 2014.
Đối với lớp đại trà
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Sĩ
Lớp
số SL % SL
%

SL
%
SL
%
SL %
12C6 39
0
0,0
5 12,8% 19 48,8% 15 38,4% 0
0
12C7 37
0
0,0
8
21,6
18
48,6
11
29.8
0
0
Đối với lớp chọn
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Sĩ
Lớp
số SL

%
SL
%
SL % SL
%
SL %
12C10 38
5 13,2% 12 31,6% 16 42% 5 13,2% 0
0
Năm học 2014 - 2015.
Đối với lớp đại trà
Giỏi
Sĩ
Lớp
số
SL
%
12C6 39
2
5,1
12C8 35
3
8,6
Đối với lớp chọn
Giỏi
Sĩ
Lớp
số
SL
%

12C10 36
12 33,3

Khá
SL
%
16 41,0
14
40
Khá
SL
%
18 50,0

TB
SL
20
16

%
51,3
45,7
TB

SL
6

%
16,7

Yếu
SL
%
1
2,6
2
5,7

Kém
SL
%
0
0
0
0

Yếu
SL
%
0
0

Kém
SL
%
0
0


Với những biện pháp nêu trên, tôi thật sự vui mừng vì sự đầu tư của mình đạt kết

tiến bộ vượt bậc về học tập viết phương trình tiếp tuyến với một đường cong .
* Về thi đua :
+ Cuối năm học kết quả có nhiều học sinh đạt khá , giỏi về bộ môn toán.
+ Học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2014-2015 : 4 giải (2 giải KK, 2 giải Ba )
6. Khả năng tiếp tục phát huy, mở rộng nội dung sáng kiến kinh nghiệm đã
được thực hiện:
Năm học 2014 – 2015 về sáng kiến kinh nghiệm tôi đã lựa chọn nội dung:
" Phân dạng bài tập viết phương trình tiếp tuyến với một đường cong giúp
học sinh trung học phổ thông giải tốt các bài tập" Chất lượng học tập của học
sinh đã được nâng cao và chuyển biến rõ rệt .Trong quá trình giảng dạy, nghiên
cứu. Bản thân tôi đã đúc rút và tích lũy được một số kinh nghiệm. Thông qua đề
tài này rất mong hội đồng khoa học và các đồng chí, đồng nghiệp kiểm định, xây
dựng và góp ý để đề tài này được hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong quá
trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh, làm tài liệu tham khảo tin cậy cho Thầy và
trò, phục vụ tốt cho ôn luyện trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT và Đại học - Cao
đẳng một cách vững vàng, tự tin và thành công.
Tôi xin trân trọng cảm ơn.

Người viết

Chu Thị Vinh