Luận văn sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho một lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

HẠ KIM CƯƠNG

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM ĐỐI TUẦN HOÀN
CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH
TIẾN HÓA NỬA TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích

HÀ NỘI, 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

HẠ KIM CƯƠNG

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM ĐỐI TUẦN HOÀN
CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH
TIẾN HÓA NỬA TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 8 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS. ĐỖ LÂN

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của luận văn tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất
tới thầy giáo hướng dẫn TS. Đỗ Lân, người thầy đã định hướng chọn đề tài và tận
tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô
giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè luôn cổ vũ,
động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.
Hà Nội, ngày 15 tháng 6 năm 2018

Tác giả luận văn

HẠ KIM CƯƠNG


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của thầy giáo TS. Đỗ Lân, luận
văn chuyên ngành toán giải tích với đề tài: "Sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn
cho một lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính" được hoàn thành bởi
sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết
quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 15 tháng 6 năm 2018

Tác giả luận văn

HẠ KIM CƯƠNG

Mục lục

LỜI CẢM ƠN

1

LỜI CAM ĐOAN

1

MỞ ĐẦU

2

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Lí thuyết nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Nửa nhóm hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Các định lí điểm bất động

. . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4.1

Nguyên lí ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4.2

Định lí điểm bất động Schauder . . . . . . . . .

9

2 Sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn

10

2.1

Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2

Trường hợp tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . .

12

2.3

Trường hợp tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.4

Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

KẾT LUẬN

26

TÀI LIỆU THAM KHẢO

26


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong nghiên cứu định tính các hệ phương trình vi tích phân, cùng với
lí thuyết ổn định, việc tìm các lớp nghiệm đặc biệt, ví dụ như nghiệm
có tính chất tuần hoàn, đối tuần hoàn cũng là hướng nghiên cứu thu
hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Bài toán với nghiệm đối tuần
hoàn của các hệ vi phân được sinh ra từ các bài toán vật lí, trong đó,
nhiều quá trình vật lí được mô tả bởi một phương trình với nghiệm đối
tuần hoàn (có thể xem trong [3]).
Các kết quả đầu tiên về sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho các
phương trình tiến hóa là các nghiên cứu của Okochi (xem [6, 7, 8]), từ
đó, nhiều kết quả về sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho các lớp phương
trình tiến hóa tuyến tính và nửa tuyến tính đã được chứng minh. Trong
khoảng một thập kỉ trở lại đây, cách tiếp cận thường gặp nhất khi nghiên
cứu sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho các phương trình tiến hóa là
cách tiếp cận của lí thuyết nửa nhóm, trong đó, nghiên cứu của tác giả
Liu (xem [5]) là kết quả đầu tiên theo cách tiếp cận này. Trong luận văn
này chúng tôi trình bày lại một cách hệ thống các kết quả trong bài báo
[5] về chứng minh sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho lớp phương trình
tiến hóa nửa tuyến tính dạng

u (t) = Au(t) + f (t, u(t)), t ∈ R,
u(t + T ) = −u(t),
trong đó, phần tuyến tính sinh ra một nửa nhóm có tính chất lưỡng
phân.

2


2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho một lớp phương
trình tiến hóa nửa tuyến tính trong không gian Banach mà nửa nhóm
sinh bởi toán tử đóng có tính lưỡng phân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về lí thuyết nửa nhóm, nửa nhóm hyperbolic.
- Tìm hiểu về bài toán nghiệm đối tuần hoàn.
- Áp dụng lí thuyết tổng quát vào một phương trình đạo hàm riêng
cụ thể.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trong
không gian Banach.
- Phạm vi nghiên cứu: Tìm hiểu điều kiện đủ để bài toán tồn tại và
tồn tại duy nhất nghiệm.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng cách tiếp cận của lí thuyết nửa nhóm và các nguyên lí điểm
bất động.
Hà Nội, ngày 15 tháng 6 năm 2018

Tác giả luận văn

HẠ KIM CƯƠNG

3


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Các không gian hàm

Giả sử Ω là một tập con đo được, bị chặn trong Rn . Trong luận văn này,
chúng tôi sử dụng các không gian hàm sau (xem [2]).

• Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, là không gian các hàm khả tích Lebesgue bậc
p trên Ω. Chuẩn trên Lp (Ω) được định nghĩa như sau:
u

Lp (Ω)

|u(x)|p dx

:=

1
p

.

Ω

• L2 (0, π), là không gian các hàm khả tích Lebesgue bậc 2 trên (0, π).
Chuẩn trên L2 (0, π) được định nghĩa như sau:

u

L2 (0,π)

2

|u(x)| dx

:=

1
2

.

(0,π)

• L∞ (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm đo được và bị chặn
hầu khắp nơi trên Ω với chuẩn được xác định như sau

u

L∞ (Ω)

:= ess sup |u(x)|.
x∈Ω

4


Giả sử (X; .

X)

là một không gian Banach. Trong luận văn này chúng

tôi sử dụng các không gian hàm sau:

• L(X) là không gian Banach tất cả những toán tử bị chặn trên X
• C([a, b]; X) là không gian bao gồm tất cả các hàm u : [a, b] → X
liên tục từ [a, b] vào X với chuẩn

u

C([a,b];X)

= sup u(t)

X.

t∈[a,b]

• Lp (a, b; X) là không gian bao gồm tất cả các hàm u : (a, b) → X
sao cho
b

u

Lp (a,b;X)

u(t)

:=
a

p
X dt

1
2

< +∞.

• BC(R, X) là không gian Banach của tập tất cả các hàm liên tục
và bị chặn từ R vào X với chuẩn đều

u

∞

= sup { u(t) : t ∈ R} .

• Hàm số u ∈ BC(R, X) được gọi là thỏa mãn điều kiện T −đối tuần
hoàn nếu

u(t + T ) = −u(t), ∀t ∈ R.
Kí hiệu PT A (R, X) là tập tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện đối
tuần hoàn, khi đó PT A (R, X) là bất biến dưới tác động của phép
tịnh tiến. Được trang bị chuẩn đều, PT A (R, X) trở thành không
gian con đóng của BC(R, X).

5

1.2

Lí thuyết nửa nhóm

Trong mục này chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản về lí thuyết
nửa nhóm: toán tử sinh và một số nửa nhóm đặc biệt thường gặp. Các
kiến thức trong mục này chúng tôi tham khảo từ các tài liệu [1], [4].
Với X là một không gian Banach và L(X) là không gian các toán tử
tuyến tính bị chặn trên X , ta có các định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1. Một họ các ánh xạ S(t) ∈ L(X), 0 ≤ t < ∞, được
gọi là nửa nhóm các ánh xạ tuyến tính trên X nếu nó thỏa mãn:
(i) S(0) = I , I là toán tử đồng nhất trên X ,
(ii) S(t + s) = S(t)S(s) với mọi t, s ≥ 0.
Định nghĩa 1.2. Một toán tử tuyến tính A được gọi là toán tử sinh của
nửa nhóm {S(t)}t≥0 nếu nó được xác định như sau:

S(t)x − x
, ∀x ∈ D(A)
t→0
t

A(x) = lim

trong đó D(A) là miền xác định của A:

D(A) =

S(t)x − x
tồn tại trong X .
t→0
t

x ∈ X : lim

Định nghĩa 1.3. Nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là C0 -nửa nhóm (hay
nửa nhóm liên tục mạnh) nếu

lim S(t)x = x, ∀x ∈ X.
t→0

Định lí sau đây cho ta một điều kiện cần để toán tử tuyến tính A
sinh ra một C0 -nửa nhóm.

6


Định lý 1.1. Toán tử sinh của một C0 -nửa nhóm phải là một toán tử
tuyến tính đóng và xác định trù mật.
Định lý 1.2 sau đây giới thiệu một tính chất cơ bản của C0 -nửa nhóm.
Định lý 1.2. Giả sử {S(t)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm. Khi đó tồn tại các
hằng số ω ≥ 0 và M ≥ 1 sao cho

S(t) ≤ M eωt , với mọi t ≥ 0.
Trong trường hợp ω < 0 thì nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là ổn định
mũ; nếu ω ≤ 0, M = 1 thì nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm
co.
Định nghĩa 1.4. Cho {S(t)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên X . Nửa nhóm

{S(t)}t≥0 được gọi là:
(a) nửa nhóm liên tục theo chuẩn nếu ánh xạ t → S(t) liên tục tại
mọi t > 0 theo chuẩn trong L(X);
(b) nửa nhóm khả vi nếu với mỗi x ∈ X thì ánh xạ t → S(t)x khả
vi tại mọi t > 0;
(c) nửa nhóm compact nếu với ∀t > 0 toán tử S(t) là toán tử compact
với mọi t > 0.

1.3

Nửa nhóm hyperbolic

Định nghĩa 1.5. Một nhóm {S(t)}t≥0 trên X được gọi là hyperbolic
nếu X có thể viết được dưới dạng tổng trực tiếp X = Xs ⊕ Xu của hai
không gian con đóng Xs , Xu và {S(t)}t≥0 −bất biến, sao cho các nửa
nhóm hạn chế {Ss (t)}t≥0 trên Xs và {Su (t)}t≥0 trên Xu của {S(t)}t≥0
thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Nửa nhóm {Ss (t)}t≥0 là ổn định mũ đều trên Xs ;
(ii) Các toán tử Su (t) là khả nghịch trên Xu và Su (t)−1
định mũ đều trên Xu .
7

t≥0

là ổn


Trong [1] đã chỉ ra, một nửa nhóm liên tục mạnh {S(t)}t≥0 là hyperbolic nếu và chỉ nếu tồn tại phép chiếu P ∈ L(X) giao hoán với

{S(t)}t≥0 sao cho Xs = RgP , Xu = KerP . Hơn nữa, tồn tại các hằng
số N, δ > 0 sao cho

Ss (t)P x ≤ N e−δt x , ∀t ≥ 0, x ∈ X,

(1.1)

Su (t)Qx ≤ N eδt x , ∀t ≤ 0, x ∈ X,

(1.2)

ở đây Q = I − P .
Đặc biệt, trong trường hợp P = I thì nửa nhóm hyperbolic chính là nửa
nhóm ổn định mũ.
Ta cũng có một điều kiện cần và đủ để {S(t)}t≥0 là một nửa nhóm hyperbolic đó là σ(S(t))∩Γ = ∅ với mọi t > 0, trong đó Γ = {z ∈ C : |z| = 1}
(xem [1]).
Chi tiết hơn về đặc trưng phổ của tính hyperbolic, có thể xem trong [1]
và [4].

1.4
1.4.1

Các định lí điểm bất động
Nguyên lí ánh xạ co

Định nghĩa 1.6. Ánh xạ

f :X → Y
x → f (x)
từ không gian metric (X, dX ) vào không gian metric (Y, dY ) được gọi là

ánh xạ co nếu tồn tại số k : 0 ≤ k < 1 sao cho

dY (f (x1 ), f (x2 )) ≤ kdX (x1 , x2 ), ∀xj ∈ X.
8


Định lý 1.3. Mỗi ánh xạ co từ không gian metric đủ (X, d) vào chính
nó đều có duy nhất một điểm bất động.

1.4.2

Định lí điểm bất động Schauder

Định lý 1.4. Giả sử M là một tập lồi, compact khác rỗng của không
gian Banach X . Giả sử T : M → M là ánh xạ liên tục. Khi đó T có
điểm bất động.

9


Chương 2
Sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn
2.1

Đặt bài toán

Trong chương này, với (X, . ) là một không gian Banach, chúng tôi
nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán

u (t) = Au(t) + f (t, u(t)), t ∈ R,

(2.1)

u(t + T ) = −u(t),

(2.2)

trong đó, A là một toán tử tuyến tính đóng trên X , sinh ra nửa nhóm

S = {S(t)}t≥0 , f : R × X → X là một hàm nhận giá trị trong X .
Định nghĩa 2.1. Hàm u ∈ BC(R, X) được gọi là nghiệm của bài toán

(2.1) − (2.2) nếu với mọi t > s,
t

u(t) = S(t − s)u(s) +

S(t − ξ)f (ξ, u(ξ))dξ.
s

Bổ đề 2.1. Giả sử nửa nhóm S là hyperbolic. Xét hàm g : R → X thỏa
mãn các điều kiện sau:
(i) với mọi t ∈ R, g(t + T ) = −g(t);
(ii) hạn chế của g trên đoạn [0,T] là hàm khả tích.
10


Ta đặt
t

+∞

S(t − s)P g(s)ds −

[Φg](t) :=

S(t − s)Qg(s)ds, t ∈ R.

−∞

t

Khi đó, Φg ∈ PT A (R, X).
Chứng minh. Từ điều kiện (i),(ii) và (1.1) ta có
t

t

S(t − s)P g(s)ds ≤M
−∞

e−δ(t−s) g(s) ds

−∞

M
1 − e−δT
M
≤
1 − e−δT

M
=
1 − e−δT

t

≤

g(s) ds
t−T
t

g(s) ds
t−T
T

g(s) ds.
0

Tương tự, ta có
+∞

M
1 − e−δT

S(t − s)Qg(s)ds ≤
t

T

g(s) ds.
0

Do đó, Φ xác định và Φg là bị chặn.
Mặt khác, với mỗi t, h ∈ R, ta có:

t+h

[Φg](t + h) − [Φg](t) ≤

S(t + h − s)P g(s)ds
−∞
t

−

S(t − s)P g(s)ds
−∞
+∞

S(t + h − s)Qg(s)ds

+
t+h

11


+∞

−

S(t − s)Qg(s)ds
t
t

S(t − s)P (g(s + h) − g(s)ds

=

−∞
+∞

S(t − s)Q(g(s + h) − g(s)ds

+
t

≤

2M
1 − e−δT

T

g(s + h) − g(s) ds,
0

do đó Φg liên tục.
Cuối cùng, từ điều kiện (i) với mỗi t ∈ R, ta có

t+T

+∞

S(t + T − s)P g(s)ds −

[Φg](t + T ) =
−∞
t

S(t + T − s)Qg(s)ds
t+T
+∞

S(t − τ )P g(τ + T )dτ −

=
−∞

t
+∞

t

=−

S(t − τ )Qg(τ + T )dτ

S(t − τ )P g(τ )dτ +
−∞

S(t − τ )Qg(τ )dτ
t

= − [Φg](t).
Do đó, Φg thỏa mãn điều kiện đối tuần hoàn.

2.2

Trường hợp tồn tại duy nhất nghiệm

Để chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán (2.1) − (2.2),
ta xét các giả thiết sau:
(H1) Nửa nhóm S = {S(t)}t≥0 là nửa nhóm hyperbolic.
(H2) Hàm f : R × X → X thỏa mãn những điều kiện sau:
(i) Với mọi t ∈ R, x ∈ X thì f (t + T, −x) = −f (t, x).
(ii) Với mỗi x ∈ X thì f (·, x) là đo được. Mặt khác, tồn tại hàm

α ∈ L([0, T ], R+ ) và một hàm số không giảm Ω : R+ → R+ sao cho
f (t, x) ≤ α(t)Ω( x ), hầu khắp t ∈ [0, T ], ∀x ∈ X .
12


(iii) Tồn tại hằng số L > 0 sao cho

f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y , hầu khắp t ∈ [0, T ],∀x, y ∈ X .
(H3) 2LM < δ .
Bây giờ ta chứng minh định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài
toán (2.1) − (2.2).

Định lý 2.1. Giả sử rằng các giả thiết (H1)-(H3) thỏa mãn. Khi đó,
bài toán (2.1) − (2.2) có duy nhất một nghiệm T-đối tuần hoàn.
Chứng minh.
Bước 1. Ta định nghĩa ánh xạ Λ trên PT A (R, X)
t

+∞

S(t − s)P f (s, u(s))ds −

[Λu](t) =
−∞

S(t − s)Qf (s, u(s))ds,
t

t ∈ R.
Từ (H2) với u ∈ PT A (R, X) bất kì, hàm g(·) := f (·, u(·)) thỏa mãn
điều kiện trong Bổ đề 2.1. Do đó ánh xạ Λ là xác định đúng và đi từ

PT A (R, X) vào chính nó.
Tiếp theo ta chứng minh u ∈ PT A (R, X) là nghiệm của (2.1) − (2.2)
khi và chỉ khi u là một điểm bất động của Λ. Thật vậy, nếu u là nghiệm
của (2.1) − (2.2), khi đó với mọi t > s,
t

P u(t) = S(t − s)P u(s) +

S(t − ξ)P f (ξ, u(ξ))dξ,

(2.3)

S(t − ξ)Qf (ξ, u(ξ))dξ.

(2.4)

s
t

Qu(t) = S(t − s)P u(s) +
s

13


Từ (1.1) và (1.2), cho s → −∞ trong (2.1) và s → +∞ trong (2.2) ta
được

t

S(t − ξ)P f (ξ, u(ξ))dξ,

P u(t) =
−∞

+∞

Qu(t) = −

S(t − ξ)Qf (ξ, u(ξ))dξ.

t

Do đó, u(t) = [Λu](t) (∀t ∈ R), tức là u là điểm bất động của Λ. Ngược
lại, nếu u = Λu thì hiển nhiên u là một nghiệm của (2.1) − (2.2).
Bước 2. Bây giờ ta chứng minh Λ có điểm bất động duy nhất trong

PT A (R, X). Xét hai hàm u, v ∈ PT A (R, X), ta có
t

[Λu(t)] − [Λv(t)] ≤

S(t − s)P [f (s, u(s)) − f (s, v(s))]ds
−∞
+∞

S(t − s)Q[f (s, u(s)) − f (s, v(s))]ds .

+
t

Từ (1.1), (1.2) và (H2)(iii), ta thu được

t

[Λu(t)] − [Λv(t)] ≤M L u − v

e

∞

−δ(t−s)

−∞

=

2M L
u−v
δ

+∞

eδ(t−s) ds

ds +
t

∞.

Từ (H3), ta có Λ là ánh xạ co, nên theo nguyên lí ánh xạ co Banach, Λ
có điểm bất động duy nhất u ∈ PT A (R, X). Vậy bài toán (2.1) − (2.2)
tồn tại duy nhất một nghiệm T-đối tuần hoàn.

14


2.3

Trường hợp tồn tại nghiệm

Ta xét trường hợp hàm f không thỏa mãn điều kiện Lipschitz với biến
thứ hai. Với số dương r bất kì, ta kí hiệu:

B r := {x ∈ X : x ≤ r} ,
Yr := {φ ∈ PT A (R, X) : φ

∞

≤ r} .

Ta xét các giả thiết sau:
(H2’) Hàm f : R × X → X thỏa mãn các điều kiện sau.
(i) Với mọi t ∈ R, x ∈ B r , f (t + T, −x) = −f (t, x).
(ii) f thỏa mãn điều kiện Carathéodory, tức là với mọi x ∈ X, f (·, x)
là đo được và với mỗi t ∈ R, f (t, ·) là liên tục. Hơn nữa, tồn tại hàm

α ∈ L([0, T ], R+ ) sao cho
f (t, x) ≤ α(t), hầu khắp t ∈ [0, T ], ∀x ∈ B r .
(H3’)

2M
1 − e−δT

T

α(t)dt ≤ r.
0

(H4) S = {S(t)}t≥0 là C0 -nửa nhóm compact.
Từ (H4), ta có S là liên tục trong theo tôpô đều với mọi t > 0, tức là

lim S(t + η) − S(t) = 0, ∀t > 0.

η→0

(2.5)

Bây giờ, ta chứng minh định lí sau về sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn
của bài toán (2.1) − (2.2) dưới các giả thiết

15


Định lý 2.2. Giả sử tồn tại hằng số r > 0 thỏa mãn các điều kiện (H1),
(H2’), (H3’) và (H4). Khi đó (2.1) − (2.2) có ít nhất một nghiệm trong

Yr .
Chứng minh. Để chứng minh định lí này, ta chia thành bốn bước.
Bước 1: Tương tự như chứng minh bước 1 ở Định lí 2.1.
Ta có ánh xạ Λ trên PT A (R, X) là xác định đúng và đi từ PT A (R, X) vào
chính nó. Với u ∈ PT A (R, X) bất kì khi đó u là nghiệm của (2.1) − (2.2)
khi và chỉ khi u là điểm bất động của Λ.
Bước 2: Ta chứng minh ánh xạ Λ đi từ Yr vào chính nó,
t

+∞

[Λu](t) ≤

S(t − s)P f (s, u(s)) ds +

−∞

S(t − s)Qf (s, u(s)) ds
t

t

≤M

−δ(t−s)

e

+∞

eδ(t−s) f (s, u(s)) ds

f (s, u(s)) ds + M

−∞

M
1 − e−δT
2M
=
1 − e−δT
2M
=
1 − e−δT

t
t+T

t

≤

f (s, u(s)) ds +
t−T
T

f (s, u(s)) ds
t

f (s, u(s)) ds
0
T

α(s)ds.
0

Từ (H3’), ta có Λu ∈ Yr .
Bước 3: Tiếp theo, ta chứng minh Λ là liên tục trong Yr . Xét u, v ∈ Yr ,
ta có

t

[Λu(t)] − [Λv(t)] ≤

S(t − s)P [f (s, u(s)) − f (s, v(s))]ds

−∞
∞

S(t − s)Q[f (s, u(s)) − f (s, v(s))]ds

+
t

16


t

≤M

e−δ(t−s) f (s, u(s)) − f (s, v(s)) ds

−∞
∞

eδ(t−s) f (s, u(s)) − f (s, v(s)) ds

+M
t

T

2M
≤
1 − e−δT

f (s, u(s)) − f (s, v(s)) ds.
0

Từ điều kiện (H2’)(ii), ta có Λ là liên tục.
Bước 4: Bây giờ ta chứng minh ΛYr là compact. Xét {uk : k ≥ 1} ⊂ Yr .
Ta cần chứng minh {Λuk : k ≥ 1} là compact tương đối trong BC(R; X).
Đầu tiên chúng ta chứng minh {Λuk : k ≥ 1} là liên tục đồng bậc. Đặt
t

S(t − s)P f (s, uk (s))ds, t ∈ R,

φk (t) :=
−∞
∞

S(t − s)Qf (s, uk (s))ds, t ∈ R.

ψk (t) :=
t

Khi đó φk , ψk ∈ BC(R, X) và Λuk = φk − ψk . Với mỗi t ∈ R, h, η ∈

(0, 1),

t+h

φk (t + h) − φk (t) =

S(t + h − s)P f (s, uk (s))ds

−∞
t

−

S(t − s)P f (s, uk (s))ds
−∞
t+h

S(t + h − s)P f (s, uk (s))ds

=
t
t

+

(S(t + h − s) − S(t − s))P f (s, uk (s))ds
t−η
t−η

(S(t + h − s) − S(t − s))P f (s, uk (s))ds

+

t−N
t−N

(S(t + h − s) − S(t − s))P f (s, uk (s))ds

+
−∞

≡I1 + I2 + I3 + I4 .
17


Lại đặt α(t) là mở rộng trên R của hàm α(t) với α(t + T ) = α(t), với

t∈R
Khi đó với mọi K , từ (H2’) ta có:

f (t, uk (t)) ≤ α(t), t ∈ R.

(2.6)

Với > 0 bất kì, ta có thể tìm được hằng số θ ∈ (0, 1), không phụ thuộc
vào k và t, sao cho I1 , I2 <

với điều kiện h, η < θ. Mặt khác, với

I4 , ta có
t−N

I4 ≤

(S(t + h − s) − S(t − s))P f (s, uk (s)) ds
−∞
t−N

≤M

e−δ(t+h−s) + e−δ(t−s) α(s)ds

−∞
−δN

2M e
≤
1 − e−δT

T

α(s)ds.
0

Khi đó, với N đủ lớn và độc lập với k, t, ta có I4 < . Bây giờ, ta cố
định η và N với N − η = nT , n ∈ N∗ , sao cho I2 , I4 < . Khi đó
t−η

I3 ≤

(S(t + h − s) − S(t − s))P f (s, uk (s)) ds
t−N
t−η

≤

(S(t + h − s) − S(t − s))P α(s)ds
t−N

t−η

(S(η + h) − S(η))S(t − η − s)P α(s)ds

=
t−N
t−η

≤

(S(η + h) − S(η)) e−δ(t−η−s) α(s)ds

t−N
T

≤M n (S(η + h) − S(η))

α(s)ds.
0

Từ (2.3), suy ra tồn tại hằng số θ1 ∈ (0, θ), không phụ thuộc với k và

18


t, sao cho I3 < . Do đó, với mọi k ,
φk (t + h) − φk (t) < 4 , ∀t ∈ R, h ∈ (0, θ1 ).

Vậy {φk : k ≥ 1} là liên tục đồng bậc.
Xét tập {ψk : k ≥ 1}. Với t ∈ R, h ∈ (0, θ1 )

∞

ψk (t − h) − ψk (t) =

S(t − h − s)Qf (s, uk (s))ds
t−h
∞

−

S(t − s)Qf (s, uk (s))ds
t
t

S(t − h − s)Qf (s, uk (s))ds

=

t−h
t+N

(S(t − h − s) − S(t − s))Qf (s, uk (s))ds

+
t

∞

(S(t − h − s) − S(t − s))Qf (s, uk (s))ds

+
t+N

≡J1 + J2 + J3 .
> 0, có hằng số λ ∈ (0, 1) không phụ thuộc vào k

Tương tự, với mỗi
và t, sao cho J1 <

với mọi h < λ. Bây giờ, ta đánh giá J3

∞

J3 ≤

(S(t + h − s) − S(t − s))Qf (s, uk (s)) ds
t+N

∞

eδ(t−h−s) + eδ(t−s) α(s)ds

≤M
t+N
−δN

≤

2M e
1 − e−δT

T

α(s)ds.
0

Như vậy, với N đủ lớn không phụ thuộc k và t thì J3 < . Bây giờ ta
cố định N với N = nT với n ∈ N, sao cho J3 < . Khi đó
19


t+N

J2 ≤

(S(t − h − s) − S(t − s))Qf (s, uk (s)) ds
t
t+N

(S(1 − h) − S(1))S(t − s − 1)Qf (s, uk (s)) ds

=
t

t+N

≤ (S(1 − h) − S(1))

S(t − s − 1)Q

f (s, uk (s)) ds

t
t+N

eδ(t−s−1) α(s)ds

≤M (S(1 − h) − S(1))
t
T

≤M n (S(1 − h) − S(1))

α(s)ds.
0

Từ (3.3), ta có thể tìm hằng số λ1 ∈ (0, λ) không phụ thuộc với k và t,
sao cho J2 <

với mọi h < λ1 . Do đó với mọi k ,

ψk (t − h) − ψk (t) < 3 , ∀t ∈ R, h ∈ (0, λ1 ).

Vậy ta có {ψk : k ≥ 1} là liên tục đồng bậc nên {Λuk : k ≥ 1} cũng là
liên tục đồng bậc.
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh họ {Λuk : k ≥ 1} có một dãy con Cauchy
trong BC(R, X). Thật vậy, với mỗi k ≥ 1, ta có

t−

1
n

∞

S(t − s)P f (s, uk (s))ds −

[Λuk ] (t) =

S(t − s)Qf (s, uk (s))ds

−∞
t−

20

1
n


t−

t

1
n

S(t − s)P f (s, uk (s))ds −

+

t−

S(t − s)Qf (s, uk (s))ds
t

1
n
t

=S

1
1
[Λuk ] t −
n
n

S(t − s)f (s, uk (s))ds.

+
t−

(2.7)

1
n

Từ (2.4) ta suy ra tồn tại hằng số c > 0 sao cho
t

t

S(t − s)f (s, uk (s))ds ≤ C
t−

1
n

α(s)ds, ∀t ∈ R, k ≥ 1.
t−

1
n

Đặt










t





ρn = sup C
α(s)dx .








1



 t−
n

Do α là hàm T-đối tuần hoàn và α ∈ L([0, T ], R+ ), ta có ρn < ∞ và

ρn → 0
khi

n → ∞.
21

(2.8)