Luận văn sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu trong không gian banach phản xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN QUỲNH TRANG
Sự TỒN TẠI KHÔNG ĐIEM CỦA TOÁN
TỬ ĐƠN ĐIỆU
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
PHẢN XẠ
*
Chuyên ngành : T O Á N G I ẢI T Í C H Mã số : 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. NGUYỄN NĂNG TÂM
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS. Nguyễn Năng
Tâm, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành
luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn các Thầy cô của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua.
Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này .
Hà Nội, ngày 16 tháng 9 năm 2014 Tác giả
Nguyễn Quỳnh Trang
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm luận
văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài " Sự tồn tại không điểm của
toán tử đơn điệu trong không gian Banach phản xạ " đã được hoàn thành bởi
nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 16 tháng 9 năm 2014 Tác giả
Nguyễn Quỳnh Trang
BẢNG KÝ HIỆU
M đường thẳng thực

M
+
đường thẳng thực không âm
M
n
không gian Euclid n- chiều
E*

không gian đối ngẫu của E
E

+

không gian đối ngẫu đại số của E
E**

không gian đối ngẫu thứ hai của E
Ơ(E, E

*) tôpô yếu trong E
Ơ(E*, E

) tôpô yếu* trong E*
T : X —> 2

Y

ánh xạ đa trị từ X

vào Y

GPHT

đồ thị của T
DOMT

miền hữu hiệu của ánh xạ đa trị T

RGET

miền ảnh của ánh xạ đa trị T
B

R

(X

) hình cầu tâm X

bán kính r
ll-ll chuẩn trong không gian Banach
(x, /) giá trị của / tại X
DF

đạo hàm của hàm /
LỜI CAM ĐOAN
4
Mục lục
1.1. Không điểm của toán tử đơn điệu trong không gian Banach 16
1.1.1. Không điểm của toán tử trong không gian Banach 16

1.1.2. Không điểm của toán tử đơn điệu trong không gian
5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Các toán tử đơn điệu đóng vai trò quan trọng trong tối ưu hóa, giải
tích biến phân và phương trình vi phân. Việc nghiên cứu sự tồn tại không điểm
của toán tử đơn điệu dạng bao hàm:
0 e T{U),

(0.1)
trong đó E

là một không gian Banach, U

€ E

và T

: E

—»■ 2
B
* là toán tử đơn
điệu. Đây là một hình thức rất tổng quát của các bài toán tối ưu, bất đẳng thức
biến phân và một số bài toán khác. Nhiều tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại
nghiệm của (0.1); xem [5] và các tài liệu dẫn trong đó.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ
và những ứng dụng của toán giải tích, đặc biệt là Lý thuyết toán tử và ứng ứng
dụng, tôi chọn đề tài: “Sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu trong không
giãn Banach phản xạ” để nghiên cứu.

2. Mục đích nghiên cứu
Đạt được một sự hiểu biết tốt về sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu
trong không gian Banach phản xạ. Đặc biệt, những kiến thức và kĩ thuật chứng
minh sự tồn tại đó.
6
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu những toán tử đơn điệu trong không gian Banach phản xạ và
sự tồn tại không điểm của chúng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiền cứu
- Phạm vi nghiên cứu: Toán tử trong không gian Banach phản xạ.
- Đối tượng nghiên cứu: Sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu và
toán tử đơn điệu cực đại.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu tài liệu: Các bài báo đã được đăng và sách đã in liên quan
mật thiết đến toán tử đơn điệu và sự tồn tại không điểm của chúng.
- Sử dụng các phương pháp của Toán giải tích.
6. Những đóng góp mới
Một tổng quan về sự tồn tại không điểm của toán tử đơn điệu .
7
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản nhất về
không gian Banach và không gian Hilbert cùng những toán tử tuyến tính trên
chúng. Những kiến thức được trích chủ yếu từ các tài liệu [1],
[2], [3].
1.1. Không gian Banach và không gian Hilbert
1.1.1. Không gian Banach
Chúng ta bắt đầu từ khái niệm không gian định chuẩn thực.
Định nghĩa 1.1. Cho E là một không gian tuyến tính trên trường số thực R. Ta
gọi mỗi ánh xạ ||.|| : E —¥ M là một chuẩn trên E nếu

1. ||x|| > 0, Va: G E,

||x|| = 0 ^ X = 0,
2.


\/X

e E,

VA € M, 11Arc11 = ỊA| Ị|a:|Ị
;
3 . V x , y e E , \\x + y\\ < ||a;|| + \ \y\\.
Định nghĩa 1.2. Ta gọi mỗi không gian tuyến tính thực E cùng với một chuẩn
||.|| xác định trên nó là một không gian định chuẩn.
Không gian định chuẩn E

với chuẩn xác đinh ||.|| thường được kí hiệu là (E,
||.||) hoặc đơn giản là E.

Dễ thấy rằng, nếu ll-ll là một chuẩn trên E

thì công
thức P(X,Y

) = ||z — Y

II cho ta một metric trên E.

Do vậy, E

cùng với P(X,Y

) = ||
8
x — Y

II là một không gian metric. Trong luận văn này ta luôn hiểu không gian
định chuẩn là một không gian với metric như thế.
Định nghĩa 1.3. Dãy điểm (x
n
) của không gian định chuẩn E gọi là
hội tụ tới điểm X e E nếu l im | | a ;
n
— x || = 0 , kí hiệu l i m x
n
= X hay
n—>oc n—>oc
x
n
—> X ( n —>■ oo).
Định nghĩa 1.4. Dãy điểm ( x
n
) của không gian định chuẩn E gọi là dẫy cơ
bản (hoặc dẫy Cauchy) nếu lim \\x
n
— x
m
\ \ = 0.
n,m—¥ 00

Định nghĩa 1.5. Không gian định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu
mọi dẫy cơ bản trong E đều hội tụ.
Nhận xét 1.1. Từ những định nghĩa trên, ta có thể thấy rằng: không
gian định chuẩn E là một không gian Banach nếu nó cùng
với metric
p ( x , y ) = ỊỊíc — y\\ là một không gian đủ.
1.1.2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.6. Cho không gian tuyến tính E trên trường số thực R. Ta gọi
mỗi ánh xạ ị.,.) : E X E —»• M ỉà một tích vô hướng trên E nếu
1 . \ / x , y G E , ( y , x ) = ( x , y ) ,
2.Va;, y , z e E , ( x + y , z) = ( x , z) + ( y , z ) ,
3.\ỉx,y € E, VÀ € M, ( \ x , y ) = À( x , y ) ,
ị . \ / x G í?, { x , x } > 0 nếíí a: 7^ 0.
9
Định nghĩa 1.7. Không gian tuyến tính thực H được gọi là không gian
Hilbert nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
1.H được trang bị một tích vô hướng (•,•),
2.H là không gian Banach với chuẩn||:r|| = ^J(x,~x), \fx e H.
Không gian Hilbert H

với tích vô hướng xác định thường được kí hiệu là (H

,
(.,.)) hoặc đơn giản là H.
1.2. Toán tử tuyến tính liền tục
Cho hai không gian tuyến tính EI,E

2

trên trường số thực M. Nhắc lại rằng,

ánh xạ T : EỊ

—»■ E

2

được gọi là toán tử tuyến tính nếu Va: G EỊ,

Vy e E

2

,
VA, /lẽM thì T( XX + FIY)

= A T(X) + ỊIT(Y).
Định lý 1.1. Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn Eị, E
2
trên trường số
thực M và T : Eị E
2
là một toán tử tuyến tính. Các mệnh đề sau đây là tương
đương:
1.T là toán tử tuyến tính liên tục,
2.T ỉiên tục tại mọi điểm x
0
£ Eị,
T liên tục tại 0,
CHỨNG MINH.

1 2: Hiển nhiên luôn đúng.
2 =>- 3: Lấy X

N

—>• 0, suy ra X

N

+ X

0

—> X

Ữ

.

Do T

là toán tử liên tục tại X

Ữ
nên ta có:
T(X

N

+ Xq) = TX

N

+ TX

0 —> TX

0,
. Suy ra TX

N

—> 0 =>- T(0) = 0. Vậy T

liên tục tại 0.
1
0
3 =>■ 4: Do T

liên tục tại 0 nên tồn tại R

> 0 sao cho T[B

EL

(Ũ,R)]

с BE

2

(0,1), trong đó B

EL

(

0, r) là hình cầu mở trong EỊ

tâm 0 bán kính r. Nói
cách khác,
г € -El, II^IỊ < r =>• ||TzỊ| < 1. (1.1)
Lấy X £ EỊ,

X Ỷ

0 và đăt Z

= —— 77 ta có 1Ы1 =
° 211x1
(1.2)
Đặt с = -, ta có ||Tæ|| < cỊ|x|Ị.VỚi X = о (1.2) vẫn đúng. Vậy ta có điều cần
chứng minh.
4 =>- 1: Lấy æ G -El, từ (4) ta suy ra tồn tại số с > 0 sao cho
II TX

N

- TX

II = IIT(X

N

-

я)II < C\\X

N

-

ж||.
Từ đây suy ra T

liên tục và ta có (1).
Định nghĩa 1.8. Toán tử tuyến tính T được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng
số с sao cho: \\Tx\\ < с||ж||, Vx e Eị.
Như vậy, từ định lý vừa nêu ta có: T

bị chặn khi và chỉ khi nó liên
1
1
fIIfII
r
2\\x\\
=
2
<
x\
ГЖ

-||Тж|| < 1. Vậy
21Ы 21Ы
r =>■ ||Т;г|| < 1. Suy ra \\Tz\\ =
□
Định nghĩa 1.9. Cho T : Ei E
2
là một toán tử tuyến tính liên tục. Chuẩn của
toán tử T được định nghĩa như sau:
Il^ll
||T||= sup -ypyp
xtE 1,X^011*^11
Bổ đề 1.1. Giả sử EI
:
E
2 :
E
3
là ba không gian định chuẩn và Tị : Eị —¥ E
2
\
T
2
: E
2
—>■ E
3
các toán tử tuyến tính bị chặn. Khi đó T
2
Tị : Eị -ỳ- E
3

là toán
tử tuyến tính bị chặn và IIT2 T1II < IIĨ1 IIIIT2II.
CHỨNG MINH.

Vì Ti, T
2
là các toán tử tuyến tính liên tục nên T

2

TỊ : EI

—>■
E

3

là toán tử tuyến tính liên tục .
Mặt khác lấy X

€ EỊ

ta có
|piĩi0r)|| = ||r
2
(r
1
(
;
r))|| < llĩill.llTnll < II^II.IITill.Ilxll suy ra ||T

2
Ti|| < I|
Tj211.Ị 1^111- Điều phải chứng minh. □
1.3. Không gian đối ngẫu, tôpô yếu, tôpô yếu*
1.3.1. Không gian đối ngẫu
Định nghĩa 1.10. Cho E là không gian tuyến tính trên trường số thực M. Mỗi
ánh xạ tuyến tính f : E -ỳ- M được gọi là phiếm hàm tuyến tính xác định trên
E.
Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên E, nghĩa là f e E*, và X G E
thì giá trị của f tại X sẽ được kí hiệu bởi nghĩa là
{ x , f ) = f { x ) .
Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên E

với phép cộng ánh xạ và phép
nhân ánh xạ với số thông thường lập thành một không gian
1
2
tuyến tính trên trường số thực R. Ta gọi không gian tuyến tính này là không
gian đối ngẫu đại số của E

và kí hiệu là E

+

.
Cho không gian định chuẩn E

trên trường số thực M. Kí hiệu E*

là không

gian tuyến tính con của E

+

gồm tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác
định trên E.
Định nghĩa 1.11. Không gian E* tất cả các phiếm, hàm tuyến tính liên tục xác
định trên E được gọi là không gian đối ngẫu hay không gian liên hợp của
không gian E.
Ta ỉuôn hiểu trên E* có chuẩn xác định bởi 11/11 = sup{|/(a;)| : ||a;|| ^ 1}
với mọi f e E*.
Định lý 1.2. Cho E là không gian định chuẩn khỉ đó không gian đối ngẫu E*
của E là không gian Banach.
CHỨNG MINH.

Xét ánh xạ T : E

—»• R. Giả sử {T

N

}

là một dãy cơ bản trong
E*.

Điều đó có nghĩa là: với mọi Ve > 0, tồn tại n
0
, Vn > N

Ữ

, Vra > N

Ữ

ta có:
lỊX^ — T

M

\\ < £.

Từ đây suy ra
||T
n
:r — T

M

X

II < e||x|| \/X

e E.

(1.3)
Vậy với mọi \/X

€ E, {T

N

X}

là dãy cơ bản trong R. Vì R là không gian Banach
nên {T

N

X

} có giới hạn lim T

N

X

trong M. Ta xác định ánh xạ T

: E —>

M bởi
công thức:
T x = lim T
n
x ị x E E ) .
Lấy X,Y

e E

và các số A ,fiỄ R, khi đó :
T { \ x + ụ,y) — lim T
n
( X x + ị i y )
n—>00
1
3
= lim (ATx +/iTy)
n—>00
= A lim (T

N

X)

+ ỊẤ

lim (T

N

Y)
n—>00 n—¥ 00
= XTx + ỊiTy.
Vậy T

là toán tử tuyến tính .
Trong (1.3) cho M

—>• 00 ta có: \\T

N

X — TX\\ <

e||a:||(Vx GE,MN

> n
0
).
Như vậy, với N > N

0

toán tử tuyến tính T

N

— T

bị chặn và
l|T„ -T|| <e(Vn >n„ ). (1.4)
Suy ra T

= T

N

— (T

n
— T

) bị chặn. Vậy T

là giới hạn của dãy {T

N

}

trong E*.

Ta
đã chỉ ra mọi dãy cơ bản trong E*

đều có giới hạn. Do đó E

là không gian
Banach. □
Định nghĩa 1.12.
a ) D ã y { f
n
} c E* được gọi là dãy hội tụ theo chuẩn đến f € E* nếu lim
IIf
n
- /II = 0.
n—>00
b) Dãy { f
n

} c E* được gọi là hội tụ tại từng điểm đến f €
nếu vói
mọi X thuộc E dẫy số { f n ( x )} h ộ i t ụ đ ế n f { x ) .
Định nghĩa 1.13. Cho E là một không gian định chuẩn, E* ỉà không gian đối
ngẫu của không gian E. Không gian đối ngẫu của E* được gọi là không gian
đối ngẫu thứ hai của không gian E và kí hiệu là E**.
Định nghĩa 1.14. Không gian định chuẩn E được gọi ỉà không gian phản xạ
nếu E = E**.
1
4
Vậy ta có nhận xét: không gian phản xạ là không gian Banach. Từ đây trở
đi, nếu không có giả thiết khác đi, chỉ xét các không gian Banach phản xạ.
1.3.2. Tôpô yếu và tôpô yếu*
Định nghĩa 1.15. Tôpô T
w
trong E được gọi là tôpô yếu và kí hiệu là ơ ( E , E * )
nếu hệ thống các lăn cận của 0 trong E là các tập có dạng {x e E \ ịx, fi) < s, i
= 1, , A;} trong đó fi G E*, với i = 1, , к và £ > 0.
Định nghĩa 1.16. Tôpô T* trong E* gọi ỉà tôpô yếu* và kí hiệu là ơ ( E * , E )
nếu hệ thống các lăn cận của 0 của E* là các tập mở có dạng: {/ G E* : { x ị ,
/) < £ , i — 1 , 2 , . . . , k } trong đó X ị G E, ỉ — 1, 2,. . . , k.
Định nghĩa 1.17. Tập А с E là đóng (compact, bị chặn) theo tôpô yếu trong E
gọi là tập đóng (tương ứng, compact, bị chặn) yếu. Tập A đóng theo tôpô
yếu* trong không gian liên hợp E* của E thì gọi là tập đóng yếu*.
1.4. Ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.18. Cho X, Y là hai tập hợp bất kì, kí hiệu 2
y
là tập hợp tất cả
các tập con của Y. Một ánh xạ đa trị T đi từ tập X vào tập Y là một ánh xạ đi
từ X vào 2

Y
. Như vậy với mỗi X thuộc X, T(x) là tập con của Y. Ta thường sử
dụng kí hiệu T : X —¥ 2
y
hoặc T : X =£ Y để chỉ ánh xạ đa trị đi từ X vào Y.
Ví dụ 1.1. Xét phương trình đa thức
X
й
+ C Li X
n
~
l
+ a
2
x
n
~
2
+ . . . + a
n
= 0. ( 1- 5)
Trong đó n € N là các số nguyêndương, flj € R, (i =l , n ) là cáchệ số
thực. Qui tắc cho tươngứng với mỗi véc tơ a =(ữi, a
2
, ■ , a
n
) gK" với
1
5
tập nghiệm kí hiệu l à T ( a ) của (1.5) cho ta một ánh xạ đa trị T : M

n
—> 2
C
từ
không gian Euclid vào tập số phức c.
Định nghĩa 1.19. Đồ thị GphT, miền hữu hiệu DomT và miền ảnh RgeT của
ánh xạ đa trị T đi từ tập X vào tập Y tương ứng được xác định bởi công thức:
GphT = {(x,y) G X X Y : y £ т ( х ) } .
DomT = {ĩGl: T(X) Ỷ 0}- RgeT = {y G Y, э X
G X : y £ т(ж)}.
Với T

là ánh xạ đa trị trong ví dụ 1.1 ta có
GphT = {(a, x ) G K
n
X С : x
n
+ CL iX
n
~
l
+ a
2
x
n
~
2
+ + a
n
= 0}. DomT = W

1
.
RGET

= c.
1.5. Toán tử đơn điệu
1.5.1. Các định nghĩa về toán tử đơn điệu
Nhắc lại rằng, với / ẽ E* và X £ E, giá trị của / tại X được kí hiệu là {X , /),
nghĩa là {X, F ) = F(X).
Định nghĩa 1.20. Toán tử T : E —»■ E* được gọi là toán tử đơn điệu nếu (и
— v , T ( u ) — т(г>)) > 0 Mu, V G E .
Ví dụ 1.2. Cho toán tử T đơn trị xác định trên R như sau: T(ù) = u, Mu € R.
Khi đó T là toán tử đơn điệu vì với mọi Vw, V € Ш ta có:
1
6
( и — v , T ( u ) — T ( v ) ) — ( и — V , и — г>) = (и — г>)
2
> о, Vw, г) € м.
Định nghĩa 1.21. Toán tử đa trị т : E —> 2
E
* được gọi là toán tử đơn điệu
nếu: (х — y,u — г>) > 0, Vx,y €E DomT, Vu ẽ т(ж), Vi! ẽ ^(y); trong đó DomT
xác định bởi DomT = {z £ E : T ( z ) Ỷ 0 } -
Ví dụ 1.3. Xét toán tử đa trị T trong R:
Hiển nhiên ta có: (х — у, и — v) = 0 vói mọi \/x, у E DomT, Mu G T ( x ) , Vi!
ẽ T ( y ) . Khi đó toán tử T~
l
: E —»• 2
E
được xác định như sau:

T-\Y) =

{* e E

: У

e r(i)}Vy e B.
Định nghĩa 1.22. Toán tử đa trịT : E —»■ 2
E
* được gọi là đơn điệu chặt nếu:
(х — у, и — v) >0, Vx, y e DomT; X Ф y, Vw e T(æ); Vu G т(у).
Định nghĩa 1.23. Toán tử đa trị T : E —»• 2
B
* được gọi là đơn điệu mạnh nếu
với hằng số X G M, Л > 0, Vx, y ẽ DomT, Vm g T(æ), Vv G т(у) ía có; ịx —
y,u — v') > A||æ — y||
2
.
Bổ đề 1.2. Toán íứ tuyến tính T : E —»■ E* là toán tử đơn điệu khi và chỉ khi
(.г,т(.г)) > 0 Wz G E.
CHỨNG MINH.

Hiển nhiên miền hữu hiệu của toán tử T

là DOMT

= E.

Theo
định nghĩa về toán tử đơn điệu thì \/X,

Y

€ E

luôn có
(x - y , T ( x ) - T { y ) ) > 0 { x - y , T ( x - y ) ) > 0.
Đặt X — Y = Z suy ra (Z,TZ ) > 0, VZ € E. Điều phải chứng minh.
Bổ đề 1.3. Cấc tính chất sau luôn đúng:
1
7
0 khi X =
0
{1} khi X >
0
(ỉ) Toán tử T : E —> 2
e
* là đơn điệu khi và chỉ khi toán tử T~
l
: E —)■ 2
E
*
ỉà đơn điệu,
(ỈỈ) NẾU TỊ

: E

—>■ 2

E

\ T

2

: E

—)■ 2
B
’ /ồ các íoán TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ NẾU

Ai,
л
2
THỎA MẪN

Ai > о, л
2
> 0 THÌ

AiTi + Л
2
Т
2
сгш<7 /à các íoán TỬ ĐƠN
ĐIỆU,
(ỉỉi) Nếu А : E —»■ E
1
/à các toán tử tuyến tính, b & E và nếu T : E ^ E* là
toán tử đơn điệu thì S(x) = A*T(Ax + b) cũng là toán tử đơn điệu.

CHỨNG MINH,

(i) Theo định nghĩa toán tử T

là toán tử đơn điệu khi và chỉ khi
(х — у, и — v) >0, Vx, y G DomT, Mu G T { x ) , ' i v ẽ T { y )
hay
(И

— г>, X

— у) >0, Vií, V

G DOMT

-1
, Vx G T
_1
(w), Vy G т
_1
(г>). Khi đó
T
-1
là toán tử đơn điệu.
(ii)Hiển nhiên ta có:
DOMT

= {Z

€ E :

(AiXi 4- A
2
T
2
)(2;) Ф

0}
Do đó S

là toán tử đơn điệu.
□
1
8
1.5.2. Toán tử đơn điệu cực đại
Định nghĩa 1.24. Toán tử đa trị T : E 2
E
* là toán tử đơn điệu cực đại nếu T là
toán tử đơn điệu và đồ thị của nó không là tập con thực sự của đồ thị của bất
kì một toán tử đơn điệu nào khác.
Ví dụ 1.4. Xét toán tử: Tị : M —»• 2
R
,T
2
: R —> 2
R
lần lượt cho bởi công thức :
VÀ T

2

= {1} \/X

e M.
Tị,T
2
là các toán tử đơn điệu nhưng Ti không
phải toán tử đơn điệu cực đại vì GphTị chứa thực
sự trong GphT
2
.
Kết luận chương
Trong chương này chúng ta đã trình bày định nghĩa, một số tính chất cơ bản
của toán tử liên tục, toán tử đơn điệu, ánh xạ đa trị, tôpô yếu, và tôpô yếu*.
Những nội dung của chương này sẽ được dùng như là những kiến thức cơ bản
chuẩn bị cho chương sau.
1
9
0, khi X < 0
{1}, khi X > 0
Chương 2
Sự tồn tại không điểm của toán tử đơn
điệu trong không gian Banach phản xạ
Trong chương này, tác giả đã trình bày các khái niệm và tính chất liên quan
đến không điểm của toán tử đơn điệu và sự tồn tại của nó trên không gian
Banach phản xạ. Đồng thời nghiên cứu thêm về sự tồn tại không điểm của toán
tử đơn điệu kiểu trễ và toán tử đơn điệu Lyapunov. Kiến thức của chương này
chủ yếu được lấy từ các tài liệu [4], [5], [6],
[7].
2.1. Không điểm của toán tử đơn điệu trong không gian

Banach
2.1.1. Không điểm của toán tử trong không gian Banach
Cho E

là không gian Banach thực, phản xạ. E*

là không gian tôpô liên hợp
cùng với tôpô yếu* và (U,V)

là một cặp cho bởi lí Ễ £ và
V e E*.
Định nghĩa 2.1. ([5],pp.55) Cho T là toán tử đi từ E vào E*. Toán tử T được
gọi là liên tục trên không gian con hữu hạn chiều nếu nó liên tục trên mỗi
không gian con hữu hạn chiều Ư của E.
2
0
Cho không gian M

là không gian con nào đó của E, P

M

biểu thị phép chiếu
từ M

vào E

và P^Ị

là đối ngẫu của P

M

■

Kí hiệu B

R

(X

) là hình cầu tâm X

bán
kính R

trong E.
Cho G

là tập con của E,

khi đó G

là bao đóng của G.
Định lý 2.1. ([5], theorem 1, pp.55) Giả sử rằng các điều kiện sau thỏa mãn:
i) T liên tục trên không gian con hữu hạn chiều,
ii) Mỗi dãy {a^
n
} hội tụ yếu đến X , lim inf (y, T x
n

) < ( y , T x ) v ớ i
n-¥ 00
mọiVy G E ,
U i ) ( x — y , T x — T y ) ^ 0 v ớ i m ọ i ' i x Ỷ y ,
i v ) Tồ n t ạ i x
0
G E s a o c h o lim inf Ị(a^o, T x ) \ > 0,
||x||—>00
v) Không gian con hữu hạn chiều M của E chứa x
ữ:
||T:e|m1| —ì oo khi
||
a;|| —»• oo
và X £ M .
Khi đó tồn tại X G E sao cho Tx = 0.
CHỨNG MINH.

Cho A là họ tất cả các không gian con hữu hạn chiều của E
chứa X

Ữ

được sắp thứ tự bởi bao hàm. Mỗi tập Me A ta có:
T
M
= P*
M
TP
M
: M M*

là liên tục. Vì DỈMM <

00, không mất tính tổng quát ta giả sử M

là một không
gian Euclid và coi M*

như M.
Cho X, Y

thuộc M,X ^ Y

ta có:
|(a; - Y,T

M

X - T

M

Y

)I = 1(2; -Y,TX- TY

)I > 0.
2
1
TM

là ánh xạ một- một và là ánh xạ mở. Nhưng ánh xạ TM

là ánh xạ đóng với
điều kiện thứ (V).

Do đó T

M

là ánh xạ lên M*

và có duy nhất XM

ẽ M

sao cho
T

M

XM —

0.
Cho E

M

= {XY : M

c V

ẽ A}. Kí hiệu WCLE

M

là bao đóng, yếu của EM-

Khi đó
họ tất cả các bao đóng, yếu {WCLE

M

: M € A} có giao hữu hạn.
Thật vậy, cho u , v € A ta có M € A sao cho u u V c M . Khi đó
0 Ỷ W C Ỉ E
M
c wcỉEụ n W C Ỉ E
V
.
Với mỗi M € A, từ T

M

X

M

= 0 ta có:
0 = \ { x
0

, T
M
x
M
} \ = \ { x
0
, T x
M
) \ -
Vì vậy điều kiện (IV

) khi đó tồn tại R >

0 không phụ thuộc vào Mg A SAO CHO
II^MII < R VM

E A.

DO ĐÓ

W C Ỉ E
M
C -B

R

(0) VỚI MỌI VM E A, VÌ E

là
không gian Banach phản xạ B

R

(

0) là tập compact yếu, do đó
CHO X E r \ M e Ấ W c l E
M
V Ớ I u G E , C Ố Đ Ị NH ME A SA O C H O x , u E M .
DO X G W C L E
M
, theo định lý Alaoglu có một dãy {X
N
} G E
M
sao cho X
N
hội tụ
yếu đến X.
Cho M

N

e A sao cho X

N

e M

N

.

Vì T

M

X

N

=

0 'IN.

Theo điều kiện (IỈ

) ta có:
0 = lim inf (U

— X, T

M

X

N

)
n—> 00

71
= lim inf (U — X, TX
N
)
n—> 00
< (u — X, T x ) .
Do đó (U —

X, TX)

> 0 Vw €E E.

Vậy Tx = 0. Ta có điều phải chứng minh. □
2
2
Hệ quả 2.1. ([5], corollary 2, pp.56) Giả sử rằng các điều kiện sau đây thỏa
mãn:
i) T là toán tử liên tục trên không gian con hữu hạn chiều,
ii) Mỗi dãy {x
n
} hội tụ yếu đến X , lim inf (y
:
T x
n
) < ( y , T x ) , v Ó i m ọ i
n-¥ 00
Vy € E ,
iii) (x — y, Tx — Ty) Ỷ 0 } với rnọỉ Va; Ỷ Vĩ
\ { x
0

, T x ) \
iv) Tồn tai X Q £ E, a > 0 sao cho lim inf —rr—r > 0.
IMI->00 ||a;||
Q
Khi đó T ỉà ánh xạ ỉên E*.
Hệ quả 2.2. ([5], corollary 3, pp.56) Giả sử rằng các điều kiện sau thỏa mãn:
i) Mỗi dãy {a;
n
} hội tụ yếu đến X sao cho
lim inf ( y , T x
n
) < ( y , T x ) y € E ,
n-> 00
ũ ) H à m X I—( x , T x } là hàm nửa liên tục dưới trong E,
2
3
I) {x - y , T x - T y ) Ỷ
0
^
X
Ỷ V ,
\ ( x
0 :
T x ) \
iv) Ton tại x
ữ
g E và a > 0 sao cho liminf —rr—r > 0.
||a:||—>00 |p||“
Khi đó T là ánh xạ lên E.
Định lý 2.2. ([5], theorem ị, pp.56) Giả sứ các điều kiện sau thỏa mãn: ỉ) T là

toán tử liên tục trên không gian con hữu hạn chiều,
ii) Mỗi dãy { x
n
} h ộ i t ụ y ế u đ ế n x , lim inf ( y , T x
n
) < ( y , T x ) \ f y G E ,
n—>00
( x — x
0
, T x — T x
0
)
CHỨNG MINH.

Cho A là họ tất cả các không gian con hữu hạn chiều của E
chứa X

Ữ

được sắp thứ tự bởi bao hàm .
Mỗi tập M

e A,T

M

= P^TPM : M

—>■ M*

là toán tử liên tục. Vì dimM < 00,
không mất tính tổng quát, ta giả sử nếu M

là không gian Euclid và coi M*

như
M.

Với X

bất kì, X

G M

ta có
{x - X
0
,T
M
X - T
M
X
0
) _ (x - x
0
,Tx - Tx
0
)
—> OO khi X —> 00.
||x — ÍColl ll^

— x
o||
Khi đó tồn tại XM € M sao cho (X — X M ,T
M
X M) > 0, với mọi \/ X G M. Vì vậy,
T
M
X
M
=0.
Cho EM

= {%V '■ M C V

G A} và kí hiệu WCỈE

M

là bao đóng yếu của EM-
Khi đó, rõ ràng họ các tập {WCIEM

: M e A} có giao hữu hạn.
Với mỗi M € A từ T
M
XM = 0 ta CÓ
( X M — X Q , TM X M — T M X Q ) (X M — x
ữ
, Tx
ữ
)

II _ II
=
li _ ũ ~ -
Tx
° •
\\x
M
- x
0
\\ II^M-^oll
2
4
I ll
Theo điều kiện (Ỉ Ỉ I ) tồn tại R > 0 không phụ thuộc vào Me A sao cho || Z
M
|| <
R VM E A.
Do đó W C ỈE
M
c 5
r
(0)VM € A.
Do -E
1
là không gian Banach phản xạ, -S
r
(0) là tập compact yếu suy ra
QAIVCỈEM

^ 0.

I |s| |—>OO

I \X

— XQ

11
Khi đó, T là ánh xạ lên E*.
2.1.2. Không điểm của toán tử đơn điệu trong không gian Banach
Cho E

là không gian Banach thực với chuẩn IỊ.ỊI, E*

là không gian đối
ngẫu của E.

Kí hiệu giá trị của hàm / ẽ E*

tại X

ẽ E

là (x,/).
Ánh xạ đối ngẫu J: E

—>• 2

E

*

xác định bởi J(X

) = {x* € E* :

(X, X*) =

||x||
2
= ||^*||
2
} với X e E . Cho u = { x e E : ||x|| = 1} là hình cầu đơn vị của E .
Định nghĩa 2.2. ([4], pp.1355) Cho tập u = {x € E ||a;|| = 1}
là hình cầu đơn vị của E. Khi đó E được gọi là trơn nếu giới hạn
||a; + t y \ \ — 11x11 V , _
lim t ôn t ại , vớ i mô i x, y G u.
t—¥ 0 ị
Định nghĩa 2.3. ([ị], pp.1355) Không gian Banach E được gọi là lồi ngặt nếu
II——^11 < 1 với mọi Vx, y e E, ||x|| = ||y|| = 1, X Ỷ y-
Ví dụ 2.1. Cho không gian vectơ E — R
2
vối chuẩn Euclid Ị|:r*Ị| = \JX
2
+ y
2
.
Kí hiệu U(E) là mặt cầu tâm 0 bán kính r = 1 trong E, U(E
) = {æ* g
E
: lia;*II < 1}.

Khi
đó (E,
Ị|:z*Ị|)
là kh ông gian Banach lồi ngặt.
T h ậ t v ậ y , ' i x ^ y G U ( E ) ||:c|| = \ \ y \ \ = 1 t h ì — l à t r u n g điểm của đoạn
X + y X + y
[x,y] do đó —-— năm trong đường tròn U( E) s uy ra II—-—II < 1. Vậ y
2
5