Rèn tư duy cho học sinh phổ thông qua dạy giải bài tập mặt cầu, hình học nâng cao lớp 12

BÁO CÁO SÁNG KIẾN
I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
- Năm học 2016 - 2017 là năm học đầu tiên Bộ Giáo dục tổ chức thi THPT
Quốc Gia môn toán dưới hình thức trắc nghiệm nên một số nội dung giảng dạy
theo phương pháp truyền thống không còn phù hợp, cần có hướng khai thác mới
phát huy tư duy học sinh để đạt hiệu quả cao nhất.
- Chuyên đề "Mặt cầu" là một nội dung quan trọng của môn hình học lớp 12.
Nếu hệ thống bài tập được khai thác và sử dụng hợp lý thì sẽ rèn luyện cho học
sinh khả năng phát triển tư duy biểu hiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi
mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết
quả mới (khai thác các kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau
của một bài toán), khả năng sáng tạo ra bài toán mới trên cơ sở những bài toán
quen thuộc.
- Nhận thức được tầm quan trọng của các vấn đề nêu trên nên tác giả chọn
đề tài: " Rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua dạy giải bài tập mặt cầu, hình
học nâng cao lớp 12" làm sáng kiến kinh nghiệm của mình.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Trước khi tạo ra sáng kiến chuyên đề được giảng dạy theo hướng tự luận,
tập trung nhiều vào các bài toán xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và
không có hệ thống, các bài tập rời rạc không khai thác được sự logic tính kế thừa
qua mỗi bài toán.
Ưu điểm: Học sinh hiểu rõ được phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp
Nhược điểm:
- Chuyên đề mặt cầu chưa khai thác được tính kế thừa trong mỗi bài toán,
mô hình nhỏ trong mô hình lớn và ngược lại
- Tập trung quá nhiều vào bài toán xác định tâm mặt cầu trong khi hình
thức thi mới chủ yếu tập trung vào các bài toán tính toán.
2

2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:
Sau khi tạo ra sáng kiến chuyên đề được giảng dạy theo hướng tự luận kết
hợp trắc nghiệm, các bài tập có tính hệ thống, khai thác được sự logic tính kế thừa
qua mỗi bài toán.
- Học sinh hiểu rõ được phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp
- Học sinh nắm được các công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp các
hình chóp cơ bản, từ đó mở rộng ra các hình khác, khai thác được tính kế
thừa trong mỗi bài toán, mô hình nhỏ trong mô hình lớn và ngược lại.

3


Phần 1: Cơ sở lý thuyết
1. Công thức tính thể tích khối cầu, diện tích mặt cầu bán kính R
4
) VKC   R 3.
3
) S MC  4 R 2 .

2. Khái niệm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
3. Điều kiện để một hình chóp nội tiếp một mặt cầu.
4. Cách xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.A1A 2 A n
- Xác định điểm I cách đều tất cả các điểm S, A1, A2, …,An. Khi đó I là tâm
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
- Gọi R là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Ta có:
R=SA1=SA2=…=SAn
Trong quá trình làm bài chúng ta có thể xác định điểm I bằng 2 phương pháp

sau :


Phương pháp 1
+ Bước 1 : Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy d (là đường thẳng đi
qua tâm đường tròn ngoại tiếp O của đáy và vuông góc với mặt đáy)
+ Bước 2 : Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên (Q) .
+ Bước 3 : Xác định I=d  (Q). Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp



Phương pháp 2
+ Bước 1 : Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy d1
+ Bước 2: Dựng trục đường tròn ngoại tiếp một tam giác ở một mặt
bên d2
+ Bước 3: Xác định I  d1  d2 . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp

Lưu ý:
+ Phương pháp 1: nếu có một cạnh bên đồng phẳng với d thì chỉ cần
dựng đường trung trực của cạnh bên đó thay cho (Q).
+ Phương pháp 2: chỉ dễ dàng thực hiện được nếu d1 và d2 nằm trong
cùng một mặt phẳng xác định.

4


Phần 2: Nội dung
+ Năm học 2016-2017 môn Toán trong kì thi THPT quốc gia được thi

dưới hình thức trắc nghiệm, chính vì vậy các bài toán chủ yếu tập trung vào việc
tính toán bán kính mặt cầu, thể tích khối cầu, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp. Do đó trong SKKN này tác giả tập trung chủ yếu vào việc giải các bài toán
tính toán bán kính mặt cầu, thể tích khối cầu, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp để rèn luyện tư duy học sinh.
+ Muốn tính được thể tích khối cầu, diện tích mặt cầu ta phải tính
được bản kính mặt cầu; để giúp rèn luyện tư duy cho học sinh tác giả chia ra các
mô hình cơ bản; học sinh trước tiên phải hiểu được cách tính bán kính mặt cầu
trong các mô hình cơ bản này từ đó tác giả đưa ra các bài toán lớn có chứa đựng
các mô hình cơ bản để học sinh phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề đó bằng
nhiều cách khác nhau.
I. DẠNG 1. Hình chóp có trục đường tròn ngoại tiếp đáy đồng phẳng với ít
nhất một cạnh bên.
Bài toán 1. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy
S

M
I
C

A
O

B

Nhận xét: Trục đường tròn ngoại tiếp đáy d là đường thẳng đi qua tâm đường tròn
ngoại tiếp đa giác đáy và song song với cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Do đó:
-Tâm I là giao điểm của d và đường trung trực của cạnh bên vuông góc với
mặt đáy.
a2

-Bán kính mặt cầu: R  r 
4
2

5


(Trong đó:

r : bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy,
a : độ dài của cạnh bên vuông góc với mặt đáy)

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có SA  ( ABC ) , SA=2a. Tính thể tích khối cầu
ngoại tiếp hình chóp trong mỗi trường hợp sau
1) AB=5a, AC=8a, BAC  600
2) Tam giác ABC vuông tại C, AC= 2a , BAC  600
Lời giải
Trong ví dụ này ta thấy hình chóp có SA  ( ABC ) nên ta chỉ cần biết độ dài
cạnh SA và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là tính được bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABC, từ đó tính được thể tich khối cầu.
S

1)

C

A

B

Ta có BC 2  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos A = (5a) 2  (8a) 2  2.5a.8a.cos600 = 49a 2
Suy ra BC=7a.
Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC
ta có

7 3
BC
a
 2r nên r 
6
sin A

suy ra bán kính khối cầu ngoại tiếp S . ABC R 
4
61 183 3
Vậy VKC   R 3 
a
3
54

6

SA2
49
61
 r 2  a2  a2 
a
4
12
2 3

2)

S

Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC
Vì tam giác ABC vuông tại C nên bán r 

AB
 2a
2

SA2
R
 r 2  a 2  4a 2  a 5
4

C

A

4
20 5 3
Vậy VKC   R 3 
a
3
3

B

Lưu ý: Khi tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác chúng ta cần phải
kiểm tra xem tam giác đó có đặc biệt hay không.
Nhận xét: Như vậy ta đã biết cách tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có
cạnh bên vuông góc với đáy. Trong nhiều trường hợp hình chóp cho ban đầu cần
tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp không có dữ kiện cạnh bên vuông góc với đáy khi
đó ta cần tìm cách để chuyển về mô hình trên bằng cách vẽ lại hình hoặc mở rộng
hình ban đầu...
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, hai mặt
phẳng (SAD) và (SAB) cùng vuông góc với mặt đáy ; AB=BC=a, AD=SA=2a.
Gọi K là trung điểm của AD. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDK .
S

K

A

*Phân tích :

B

D

C

Ở đây ta dễ nhận thấy rằng hình chóp S.CDK không có cạnh bên nào vuông
góc với mặt đáy nhưng dựa vào hình vẽ chúng ta có thể chứng minh được
7

CK  ( SAD) . Do đó chỉ cần đổi đỉnh của hình chóp thành C ta có được bài toán

tương tự như ở ví dụ 1.Ta có hình vẽ như sau
C

K

Lời giải

D

S

Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp KSD
  SA  2a  2 ; SD  2 2a . Suy ra:
Ta có: sin S
KD  sin SKA
SK a 5
5

r

SD
a 10

2sin SKD
2

CK 2 a 11
Vậy bán kính mặt cầu là: Rmc  r 


4
2
2

Ví dụ 3. Cho hình chóp S . ABC

có đáy là tam giác vuông tại B,

  SCB
  900 , góc giữa AB và mp  SBC  bằng 300 . Tính bán kính
AB  2a, SAB
mặt cầu ngoại tiếp S . ABC .

S

C

A

B
8


*Phân tích : Ta dễ nhận thấy rằng hình chóp S.ABC không có cạnh bên nào vuông
góc với mặt đáy nhưng dựa vào hình vẽ chúng ta có thể nhận thấy S.ABC là một
phần của hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình vuông SD   ABCD  . Ta có
hình vẽ
S

D

C
M

A

B

Ví dụ 4. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O trên SC và SD. Tính bán kính mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp O.CDKH
S
K
A

H

D

O
B

C

* Phân tích: Ta thấy hình chóp O.CDKH không có cạnh bên vuông góc với đáy
nhưng hình chóp C.ODK có CO   ODK  và mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

O.CDKH cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C.ODK . Như vậy ta quy về tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C.ODK .

Cách 1: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O.CDKH cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp C.ODK mà hình chóp C.ODK có CO   ODK  quy về bài toán cơ bản.
Cách 2: Chứng minh 3 điểm O, H, K cùng nhìn CD một góc 900
9


Bài toán 2: Hình chóp có một mặt phẳng (P) chứa ít nhất một cạnh bên và
vuông góc với mặt phẳng đáy đồng thời tâm đường tròn ngoại tiếp đáy nằm trên
giao tuyến  của (P) và mặt đáy
* Nhận xét
- Dựa vào tính chất của hai mặt phẳng vuông góc ta có đường thẳng  ' đi
qua đỉnh và vuông góc với  thì vuông góc với mặt đáy
- Trục đường tròn ngoại tiếp đáy cắt một cạnh bên hoặc hai cạnh bên của hình
chóp
- Cách xác định tâm và tính bán kính:
+ Trên  xác định điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. Từ đó kẻ Ox
song song với  ' suy ra: Ox là trục đường tròn ngoại tiếp đáy
+ Giả sử (P) chứa SA: Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua O. Khi đó tâm
mặt cầu ngoại tiếp I trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAA’ và
bán kính mặt cầu bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAA’.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB=a,
BC= a 3 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy trùng với trọng tâm G của tam
giác ABC, biết góc giữa SB và mặt đáy bằng 600 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp.
Lời giải

x

S

A

B
G

O

C
10


*Phân tích: (P) là mặt phẳng chứa cạnh bên SB và vuông góc với mặt đáy đồng
thời tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên đường thẳng giao tuyến GB
nên ta có thể giải bài toán trên như sau
Gọi O là trung điểm của AC. Do tam giác ABC vuông tại B suy ra O là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Kẻ Ox song song với SG suy ra: Ox  (ABC) nên Ox là trục đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.

S

x

Gọi D là điểm đối xứng của B qua O

M

Trong SBD kẻ My là trung trực của SB.
Gọi I  Ox  My . Suy ra: I là tâm mặt cầu

I
D

O

y
Từ giả thiết ta có: SBG  600 , SG  GB tan 600 
SD  SG 2  GD 2 

Suy ra : Rmc  SI 

G

B

2a
,
3

2 7a
3

SD
2 21a

0
2sin 60
9

Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng 2a, (SAC)

vuông góc với mặt đáy. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp trong mỗi trường hợp sau :
a) ASC  1200
b) ASC  900

S

A

D
O

B

C
11


*Phân tích : Trong ví dụ này (P) chứa hai cạnh bên SA, SC và vuông góc với mặt
đáy đồng thời tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là trung điểm của AC. Khi đó tâm
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC
Lời giải
a)Tâm mặt cầu I là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ASC và Rmc 

AC
2 6a

0
2sin120

3

b)Tâm mặt cầu I trùng O (Vì tam giác ASC vuông tại S)
*Một số lưu ý : Khi (P) chứa hai cạnh của hình chóp thì tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có hai cạnh bên và một
cạnh nằm trên giao tuyến của (P) và mặt đáy.
  600 ,
Ví dụ 7. Cho hình chóp S . ABCD , đáy là hình thoi cạnh a, DCB
SA  SB  SD  a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S .BCD .
S

C

D
I
H
A

B

Phân tích: Ta có mặt phẳng (SAC) chứa SC vuông góc với đáy và chứa tâm
đường tròn ngoại tiếp BCD nên mp (SAC) chứa tâm mặt cầu ngoại tiếp S .BCD
mà H thuộc đường tròn ngoại tiếp BCD nên tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp
S .BCD chính là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp SHC .

12


Bài toán 3. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc các cạnh bên cùng tạo
với mặt đáy các góc bằng nhau)

Nhận xét:
- Trục đường tròn là đường thẳng đi qua đỉnh và tâm đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy
- Cách xác định tâm và tính bán kính:
Giả sử trục d là SO, cạnh bên SA. Trong (SAO) dựng trung trực My
của SA cắt SO tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
SA2
Ta có : SI.SO=SM.SA nên SI=
2SO
l2
*Công thức tổng quát : Rmc 
2h

(Trong đó

S

M
I

O

A

l: độ dài một cạnh bên;
h: độ dài chiều cao của hình chóp)

 Một số lưu ý:
- Nếu SO=OA thì I trùng O
- Nếu SO > OA thì I nằm trong đoạn SO

- Nếu SO < OA thì I nằm ngoài đoạn SO (trên tia đối của tia OS)
- Hình chóp đều là một trường hợp đặc biệt của loại này.
Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB  a 3 , AD  a .
Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp trong mỗi trường hợp sau:
a) SB  2a
b) SB  a 2
c) SB  a 3

13


Lời giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD.

S

Suy ra: OA=OB=OC=OD
Dễ dàng CM được SO  ( ABCD)
M

Vậy SO là trục đường tròn ngoại tiếp đáy

I

A

a) SB  2a  SO  a 3

D

O
B

C

SB 2 2 3
=
a (I nằm trong đoạn SO)
Rmc =
3
2SO

b) SB  OB  a 2 suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và Rmc 

a 2
2

c) SB  a 3  SO  a
SB 2 3a
=
( I nằm ngoài đoạn SO (trên tia đối của tia OS))
Rmc =
2SO 2

Ví dụ 9. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB=a, góc giữa hai mặt phẳng
(A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a?
C'

A'

*Phân tích: Bài toán yêu cầu tính bán kính mặt cầu ngoại
B'

tiếp một hình tứ diện nằm trong hình lăng trụ do đó
chúng ta cần dựa vào đề bài để xác định tính chất của

G

hình vẽ sau đó vẽ hình chóp đó ra bên ngoài để thuận tiện
A

cho việc xác định và tính toán sau này.

C
D
B

Chúng ta có thể dễ dàng chứng minh được G.ABC là một hình chóp đều
Từ đó ta vẽ hình chóp đều G.ABC và có lời giải như sau

14


G

A

C

O
B

Gọi O là tâm của tam giác ABC. Ta có GO là trục đường tròn ngoại tiếp hình
chóp G.ABC.
GA2
Rmc 
2GO

Ta có: GH 

7a
7a 2
AA ' a
a 3
; GA2 
. Do đó: Rmc 
 ; AH 
12
12
3
2
3

Ví dụ 10. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD cạnh đáy bằng a,
a 6
d  O,  SAD   
. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S . ABCD .
6
S

H

A

D
M

O
B

C

Như vậy trong bài toán 2 bằng cách xác định tính chất của hình chóp có các
cạnh bên bằng nhau (hoặc các cạnh bên cùng hợp với mặt đáy một góc bằng nhau)
chúng ta đã đưa ra được phương án tìm tâm và công thức tổng quát để tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
15


II. DẠNG 2 Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy
 Phương pháp:
Giả sử ta có (SAB) vuông góc với mặt đáy
+ Gọi O1 , O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và SAB ; H là
trung điểm của AB. Suy ra: O1H  AB và O2 H  AB
Mặt khác ta có: (SAB) vuông góc với mặt đáy nên:
O1H  ( SAB) và O2 H  mặt đáy.

+Trong (O1HO2 ) : kẻ O1 x song song O2 H và O2 y song song O1H
Suy ra : O1 x  mặt đáy và O2 y  ( SAB)

Vậy O1 x và O2 y là trục đường tròn ngoại tiếp đáy và SAB
+Gọi I  O1x  O2 y . Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
và Rmc  r12  r22 

AB 2
(trong đó : r1 , r2 là bán kính đường tròn
4

ngoại tiếp đáy và SAB )
x
S

y

O2
I

B

C
O1

H

A

Lưu ý
- Nếu tâm O1 nằm trên AB thì O1 trùng H và khi đó tâm I là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác SAB
- Nếu đáy là một tam giác thì đổi vị trí mặt đáy và mặt bên ta cũng có

các kết quả tương tự.
16


Ví dụ 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên
(SAB) vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trong
mỗi trường hợp sau :
a) ASB đều.

b) AS
B  900 .

Lời giải
a) Rmc  r12  r22 

AB 2
4

b)Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là O, Rmc 

a 2
2

Ví dụ 12. Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  AB  AC  a và cạnh SC 

 SBC    ABC  . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

a 6
,
3

S . ABC .

A

S

B
M
C

* Phân tích: SA  AB  AC  a nên chân đường cao trùng tâm đường tròn ngoại
tiếp đáy mà

 SBC    ABC 

nên tâm mặt cầu trùng tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC và SBC vuông tại S.

17


Ví dụ 13. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAB vuông tại
S, SCD đều. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S . ABCD .
S

D

A

B

C

I

Cách 1: Mặt cầu ngoại tiếp S . ABCD cũng là mặt cầu ngoại tiếp D.SAC mà hình
chóp D.SAC có DS  DA  DC  a nên ta quy về mô hình cơ bản để làm
Cách 2: Chứng minh được  SAB    SCD  nên có thể làm bằng cách xác định trục
đường tròn ngoại tiếp 2 tam giác SAB và SCD .

III. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Ví dụ 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB  a 7 ,
BC  3a . Tam giác SBD vuông tại S. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp ?
*Phân tích : Ở ví dụ này ta thấy rằng không có dấu hiệu để sử dụng hai dạng ở
trên đồng thời cũng chưa dựng được trục đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó chúng
ta có thể đi tim một điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp bằng cách sử dụng
các kiến thức lớp dưới đã học và một trong những kiến thức rất quan trọng khi học
về đường tròn ngoại tiếp đa giác là các điểm cùng nhìn một cạnh dưới một góc
vuông.
Lời giải
18


S

A

D
O

B

C

Gọi O là giao điểm của AC và BD
Vì ABCD là hình chữ nhật và tam giác SBD vuông tại S nên
ta có : OA  OB  OC  OD  OS
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính mặt cầu là :
Rmc 

AC
 2a
2

Ví dụ 15. Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  , SA  a , AB  a, AC  2a ,
  600 , H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC. Tính thể tích khối
BAC

cầu ngoại tiếp A.BCKH .
S

K

H
A

C
O
B

D

* Hướng dẫn: Gọi D đối xứng A qua O khí đó ta chứng minh được A.BCKH nội
tiếp mặt cầu đường kính AD
19


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Gọi R là bán kính , S là diện tích và V là thể tích của khối cầu. Công
thức nào sau sai?
A. S   R 2 .

4
C. V   R 3 .
3

B. S  4 R 2 .

D. 3V  S .R.

Câu 2. Cho mặt cầu  S1  có bán kính R1 , mặt cầu  S2  có bán kính R2 và
R2  2 R1 . Tỉ số diện tích của mặt cầu  S2  và mặt cầu  S1  bằng
1
1
A. .
B. 2.

C. .
D. 4.
2
4
Câu 3. Cho hình cầu có bán kính R. Tính diện tích mặt cầu đã cho.

A. 4 R 2 .

B. 2 R 2 .

C.  R 2 .

D. 6 R 2 .

Câu 4. Cho hình cầu có bán kính R. Tính thể tích khối cầu đã cho.
A.

4 R 3
.
3

B.

3 R3
.
4

C.

2 R 3

.
3

D.

3 R 3
.
2

Câu 5. Gọi  S  là mặt cầu có tâm O và bán kính R ; d là khoảng cách từ O đến
mặt phẳng (P) , với dA. Vô số.

B.1.

C. 2.

D. 0.

8 a 2
Câu 6. Cho mặt cầu có diện tích bằng
. Tính bán kính mặt cầu đã cho.
3

A.

a 6
.
3

B.

a 3
.
3

C.

a 6
.
2

D.

a 2
.
3

8 a 3 6
Câu 7. Cho khối cầu có thể tích bằng
. Tính bán kính mặt cầu đã cho.
27

A.

a 6
.
3

B.

a 3
.
3

C.

a 6
.
2

D.

a 2
.
3

Câu 8. Cho tứ diện DABC , đáy ABC là tam giác vuông tại B, DA vuông góc
với mặt đáy. Biết AB = 3a, BC = 4a, DA = 5a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp D.ABC.
A.

5a 2
.
2

B.

5a 2
.

3

C.

5a 3
.
2

D.

5a 3
.
3

Câu 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
a . Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A. 2 a 2 .

B. 4 a 2 .

C.  a 2 .

D. 6 a 2 .

Câu 10. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ
diện ABCD.
20


A.

 a3 6
8

B.

.

 a3 6
6

C.

.

 a3 6
4

D.

.

3 a 3 6
.
8

Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt
bên và đáy bằng 450 . Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A.

9 a 2
.
4

B.

4 a 2
.
3

3 a 2
.
4

C.

D.

2 a 2
.
3

Câu 12. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có AB  BC , BC  CD,
CD  AB và AB = a, BC = b, CD = c bằng
1 2
1
C. abc.
D.  a 2  b 2  c 2  .
a  b2  c2 .
2

2
Câu 13. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh
đáy và cạnh bên cùng bằng a bằng

A. a 2  b 2  c 2 .

B.

A. a 2.

B.

2
a.
2

C. a 3.

D.

3
a.
3

Câu 14. Bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh
đáy và cạnh bên cùng bằng a bằng
A.

2



2 1 3



a.

B.

2



4 1 3



3

C.

a.



2 1 3



a.

D.

3



4 1 3



a.

Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông với đường cao AB =
a, BC = a, AD = 2a, SA   ABCD  và SA  a 2 . Gọi E là trung điểm của AD. Kẻ
EK  SD tại K. Bán kính mặt cầu đi qua sáu điểm S, A, B, C, E, K theo a bằng
3
6
1
C. a.
D.
a.
a.
2
2
2
Câu 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có cạnh
BC  2a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA  2a . Diện tích của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng

A. a.

A. 16 a 2 .

B.

B. 4 a 2 .

C. 8 a 2 .

D. 12 a 2 .

Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a ,
SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA  a 3 . Diện tích của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S.ABCD bằng
A. 7 a 2 .

B. 11 a 2 .

C.

33 2
a .
16

D. 44 a 2 .

Câu 18. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a 3 và cạnh bên là
2a . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là

21


A. a 3.

B. a.

C.

a 3
.
2

D.

2a 3
.
3

Câu 19. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và cạnh bên là 2a.
Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng
7 7 a 3
A.
.
9 12

4 a 3
B.
.

3

2 a 3
C.
.
3 2

64 14 a 3
.
D.
147

Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh là 2a cạnh,
mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng
16 a 2
.
A.
3

4 a 2
.
B.
3

4 a 2
.
C.
9

D. 4 a 2 .

Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh là
AB  a; AD  2a , mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng
A.

52 a 2
.
9

B.

 a2
3

C. 5 a 2 .

.

D. 4 a 2 .

Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh là a , mặt
bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Diện tích mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng
A.  a 2 .

B.

7 a 2
.
9

C. 4 a 2 .

D.

7 a 2
.
3

Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , đường chéo
AC  a , tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc

giữa (SCD) và (ABCD) bằng 450 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối
chóp S.ABD.
A. R  a

13
.
12

B. R 

a 3
.
2

C. R  a 2.

D. R  a.

Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. AB = BC
  SCB
  900 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 2 .
= a 3 , góc SAB
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
A. 2a 2
B. 8a 2
C. 16a 2
D. 12a 2

22


Câu 25. Cho hình chóp S.ABC có SA = a 2 , AB = a , AC = a 3 , SA vuông góc
với đáy và đường trung tuyến AM của tam giác ABC bằng

a 7
.Gọi (S) là mặt
2

cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu (S) là:
A. V   6a3
B. V  2 2a3
C. V  2 3a3
D. V  2 6a3
Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB  AC  a.
Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính

theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A.

a 3
54

B.

21a 3
54

C.

a 3
3

D.

7 21a 3
54

Câu 27. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và
SA  2a, SA   ABCD  . Kẻ AH vuông góc với SB và AK vuông góc với SD. Mặt
phẳng (AHK) cắt SC tại E. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK.
A.

a 3 2
3

B.

4a 3 2
3

C.

8a 3 2
3

D.

a 3 2
6

Câu 28. Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a và nằm
trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD theo a.
11 2
4
C. 2a 2
D. a 2
a
3
3
Câu 29. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của BC và CD . Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN .
a 37
a 93
a 29

5a 3
A. R 
B. R 
C. R 
D. R 
.
.
.
.
6
12
8
12

A.

5 2
a
3

B.

23


III. HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI
1. Hiệu quả về mặt kinh tế
Rèn luyện tư duy học sinh sẽ giúp tạo ra những con người toàn diện, phát
huy được các điểm mạnh, các năng lực cần thiết : năng lực làm việc sáng tạo, khoa
học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác,... giúp tạo ra

một nguồn nhân lực chất lượng cao, phát huy tối đa sức sáng tạo của con người
trong công cuộc xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Đó là lợi ích gián tiếp đối với hiệu
quả về mặt kinh tế.
2. Hiệu quả về mặt xã hội
- Rèn luyện tư duy giúp phát triển năng lực học sinh, phát triển tư duy, định
hướng được phương pháp làm các bài toán hình học không gian, giúp học sinh học
hình không gian hứng thú, đặc biệt có hiệu quả đối với học sinh lớp 12 và các học
sinh đang ôn thi THPT quốc gia.
- Sáng kiến kinh nghiệm giúp cho giáo viên tiếp cận với các phương pháp
dạy học mới, kết hợp với phương pháp dạy học truyền thống, là tài liệu để tham
khảo khi soạn kế hoạch dạy học theo định hướng rèn luyện tư duy học sinh,...
- Đối với nhà trường, sáng kiến kinh nghiệm bổ sung vào hệ thống tài liệu
tham khảo, góp phần nhỏ giải quyết vấn đề mới trong dạy học theo định hướng rèn
luyện tư duy học sinh.
Năm học 2016 - 2017 tôi đã dạy thử nghiệm ở lớp 12B6 trường THPT Giao Thủy
kết quả đạt được như sau:
Lớp

Sĩ số

Số học sinh Số học sinh có cách Số học sinh có kĩ
đạt điểm >=8

12B6

38

giải hay, mạch lạc.

25

15

năng làm bài tốt
25

Đối với lớp 12B3 trường THPT Giao Thủy không được dạy thử nghiệm kết quả
đạt như sau:
Lớp

Sĩ số

Số học sinh Số học sinh có cách Số học sinh có kĩ
đạt điểm >=8

12B3

36

giải hay, mạch lạc.

8

2
24

năng làm bài tốt
7