MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG CÓ CẤU TRÚC ( LA tiến sĩ)

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
———————-

TRỊNH NGỌC HẢI

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG
CÓ CẤU TRÚC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018


BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
———————-

TRỊNH NGỌC HẢI

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG
CÓ CẤU TRÚC
Ngành: Toán học
Mã số: 9460101

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:
TS. Lê Quang Thủy
GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2018


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những kết quả trình bày trong luận án này, dưới sự hướng
dẫn của TS. Lê Quang Thủy và GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh, là trung thực và chưa
từng được công bố trong bất kỳ công trình của ai khác. Những kết quả viết chung
với thầy hướng dẫn và các cộng sự đã được sự đồng ý của các đồng tác giả khi
đưa vào luận án.

Hà nội, ngày 02 tháng 10 năm 2018
Nghiên cứu sinh

Thay mặt tập thể hướng dẫn

TS. Lê Quang Thủy

Trịnh Ngọc Hải

2


LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới hai thầy hướng
dẫn, TS. Lê Quang Thủy và đặc biệt GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh. Tôi vô cùng biết
ơn sự giúp đỡ tận tình, quý báu mà hai thầy đã dành cho tôi trong suốt thời gian
làm nghiên cứu sinh. Hai thầy đã từng bước dẫn dắt, truyền cho tôi niềm đam
mê nghiên cứu cùng nhiều kinh nghiệm, kỹ năng, kiến thức quý báu, đồng thời
luôn động viên khích lệ để tôi vượt qua những thử thách trên bước đường làm

khoa học.
Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng dụng và Tin học, Viện Sau đại học,
trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã tạo điều kiện cho tôi có nhiều thời gian tập
trung nghiên cứu để hoàn thành luận án và khóa học nghiên cứu sinh. Công tác
quản lý đào tạo và môi trường nghiên cứu của Trường đã góp phần không nhỏ
để cho luận án này được hoàn thành đúng dự định.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy, các anh chị và các bạn trong nhóm
Xêmina liên cơ quan Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Bách Khoa Hà Nội, Viện
nghiên cứu cao cấp về Toán. Nhóm đã tạo cho tôi nhiều cảm hứng trong nghiên
cứu khoa học và sự gắn bó với môi trường nghiên cứu. Đặc biệt, tôi xin gửi lời
cám ơn chân thành tới GS. TSKH. Lê Dũng Mưu. Thầy đã giúp đỡ tôi rất nhiều
về chuyên môn, gợi ý cho tôi những ý tưởng mới trong nghiên cứu.
Bản luận án này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự thông cảm, chia sẻ
và giúp đỡ của những người thân trong gia đình. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới bố mẹ, các anh chị em trong hai bên gia đình nội ngoại. Đặc biệt xin cảm
ơn vợ và hai con gái yêu quý, những người đã vì tôi mà phải chịu nhiều thiệt thòi
vất vả; đã luôn cảm thông và sẻ chia gánh nặng cùng tôi suốt những năm tháng
qua để tôi có thể hoàn thành luận án này.

3


MỤC LỤC
Trang
Lời cam đoan

2

Lời cảm ơn

3

Mục lục

4

Bảng kí hiệu

6

Bảng các chữ viết tắt

7

Mở đầu

8

.

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Các khái niệm và kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Bài toán cân bằng và mối liên hệ với các bài toán khác . . .
1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác
1.2.3 Bài toán điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng . . . .

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

Chương 2 Bài toán cân bằng với song hàm phân rã thành tổng hoặc hiệu
các song hàm thành phần
2.1 Phân rã song hàm thành tổng của hai song hàm thành phần . . . .
2.1.1 Thuật toán phân rã tuần tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Thuật toán phân rã song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Trường hợp song hàm chứa nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Thử nghiệm số và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Phân rã song hàm thành hiệu của hai song hàm thành phần . . . .
2.2.1 Thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Phương pháp phân rã kết hợp ergodic . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Phương pháp ergodic-phân rã tuần tự . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Phương pháp ergodic-phân rã song song . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

16
16
20
20
22

22
23

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

27
28
31
35
37
39
46
47
51
55
55
60
63

Chương 3 Bài toán cân bằng hai cấp
67
3.1 Phương pháp chiếu dưới đạo hàm cho bài toán cân bằng hai cấp . . . 68
4


3.1.1 Thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Áp dụng cho bài toán EP( f , Fix ( T )) . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Thử nghiệm số và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Phương pháp ánh xạ co cho bài toán EP( f , Fix ( T )) . . . . . . . . . .
3.2.1 Tính co của ánh xạ nghiệm Uλ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Thuật toán ánh xạ co cho bài toán cân bằng trên tập điểm bất
động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 4 Nghiệm chung của họ hữu hạn bài toán cân bằng và bài toán
điểm bất động
4.1 Tìm nghiệm chung của họ hữu hạn các bài toán cân bằng và điểm
bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Thuật toán Armijo lai ghép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Tìm nghiệm chung của họ hữu hạn các bài toán cân bằng và bài toán
điểm bất động của nửa nhóm không giãn . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Thuật toán đạo hàm tăng cường lai ghép . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

68
75
76
82
82

. 87
. 92

96
. 97
. 97
. 109
. 113
. 114
. 118

Kết luận

121

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án

122

Tài liệu tham khảo

123

5


BẢNG KÍ HIỆU

R
R+
H
⟨ x, y⟩
∥x∥
xn → x
xn ⇀ x
Rn
l2
PC ( x )
NC ( x )
∂g( x )
∂2 f ( x, x )
S:C→H
Fix (S)
VI( A, C )
Sol ( A, C )
EP( f , C )
Sol ( f , C )
EPS ( f , C )
EPD ( f , C )
∅
✷

Tập hợp các số thực

Tập hợp các số thực không âm
Không gian Hilbert thực
Tích vô hướng của hai véc tơ x và y
Chuẩn của vectơ x trong không gian Hilbert H
Dãy { x n } hội tụ mạnh tới x
Dãy { x n } hội tụ yếu tới x
Không gian Hilbert thực n chiều với tích vô hướng
⟨ x, y⟩ := ∑in=1 xi yi , trong đó x = ( x1 , . . . , xn ) , y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn
Không gian Hilbert thực các dãy khả tổng bậc hai với tích vô hướng
⟨ x, y⟩ := ∑i∞=1 xi yi , trong đó x = ( x1 , x2 , . . .), y = (y1 , y2 , . . .) ∈ l 2
Phép chiếu vuông góc của x ∈ H lên tập C, tức
PC ( x ) := argminy∈C ∥y − x ∥
Nón pháp tuyến ngoài của tập lồi C tại x, tức
NC ( x ) := {w ∈ H : ⟨w, y − x ⟩ ≤ 0 ∀y ∈ C }
Dưới vi phân của hàm g tại x, là tập
∂g( x ) := {w ∈ H : ⟨w, y − x ⟩ ≤ g(y) − g( x ) ∀y ∈ H }
Dưới vi phân của hàm f ( x, .) tại x
Ánh xạ S từ tập C vào H
Tập điểm bất động của ánh xạ S
Bài toán bất đẳng thức biến phân của toán tử A trên C
Tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân cho toán tử A trên C
Bài toán cân bằng của song hàm f trên C
Tập nghiệm của bài toán cân bằng cho song hàm f trên C
Bài toán cân bằng với song hàm được phân rã thành tổng
hai song hàm thành phần f = f 1 + f 2
Bài toán cân bằng với song hàm được phân rã thành hiệu
hai song hàm thành phần f = f 1 − f 2
Tập rỗng
Kết thúc chứng minh

6


BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT

BEP
CDMA
DEP
EP
FP
NCP
OP
SP
VI

Bài toán cân bằng hai cấp
Mạng đa truy cập phân chia theo mã
Bài toán cân bằng đối ngẫu
Bài toán cân bằng
Bài toán điểm bất động
Bài toán bù phi tuyến
Bài toán tối ưu
Bài toán yên ngựa
Bài toán bất đẳng thức biến phân

7


MỞ ĐẦU

Cân bằng (equilibria) thường được hiểu như là một trạng thái đồng đều giữa
các quá trình hoặc lực lượng đối lập. Trong Cơ học, hệ vật đạt được trạng thái
cân bằng khi tổng các lực tác động vào hệ vật đó bằng 0. Trong Sinh học, một hệ
sinh thái ở trạng thái cân bằng khi số loài thú mồi và săn mồi đạt được tỉ lệ tương
đồng nhau. Cân bằng là một trạng thái rất quan trọng của vạn vật. Mọi sự tồn tại
trong tự nhiên muốn bền vững, phải đạt được trạng thái này.
Trong Toán học, mô hình cân bằng có thể được xem như mở rộng của mô hình
tối ưu hóa với nhiều chủ thể tham gia. Mỗi chủ thể có mục tiêu khác nhau, thậm
chí đối lập nhau. Do đó, rất khó tìm được một phương án tối ưu cho tất cả các
chủ thể. Trong tình huống này, mô hình cân bằng tỏ ra phù hợp, để giải quyết các
mâu thuẫn về lợi ích.
Cho C là tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, f : C × C →
R là song hàm thỏa mãn tính chất cân bằng f ( x, x ) = 0 với mọi x ∈ C. Xét bài
toán
tìm x ∗ ∈ C sao cho f ( x ∗ , y) ≥ 0 ∀y ∈ C.
(EP( f , C ))
Bài toán EP( f , C ) được H. Nikaido và K. Isoda [60] đề xuất lần đầu vào năm 1955
nhằm tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash. Năm 1972, nó tiếp tục được Ky Fan
nghiên cứu dưới dạng bất đẳng thức minimax [31]. Tên gọi Bài toán cân bằng
được GS. Lê Dũng Mưu và W. Oettli đưa ra vào năm 1992 [55]. Điểm lý thú của
bài toán này là nó bao hàm một loạt các bài toán riêng lẻ khác nhau trong một
thể thống nhất, chẳng hạn như bài toán tối ưu, bài toán cân bằng Nash, bài toán
điểm bất động, bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa . . . Ví dụ, khi
chọn f ( x, y) := g(y) − g( x ), trong đó g : C → R, bài toán EP( f , C ) sẽ trở thành
bài toán tối ưu
tìm x ∗ ∈ C sao cho g( x ∗ ) ≤ g(y)

∀y ∈ C.

(OP( g, C ))

Trong trường hợp f ( x, y) := ⟨ Fx, y − x ⟩, với F : C → C là một ánh xạ, bài toán
cân bằng sẽ trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân
tìm x ∗ ∈ C sao cho ⟨ Fx ∗ , y − x ∗ ⟩ ≥ 0
8

∀y ∈ C.

(VI( F, C ))


Mặt khác, các phương pháp giải và kết quả nghiên cứu của từng bài toán riêng
lẻ nói trên có thể được mở rộng và tổng quát hóa để áp dụng trở lại cho bài toán
cân bằng.
Các nghiên cứu về bài toán EP( f , C ) có thể tạm chia thành hai hướng: các
nghiên cứu định tính bao gồm nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm,
sự ổn định nghiệm [10, 12, 30, 45, 54] và các nghiên cứu định lượng, bao gồm đề
xuất các giải thuật, nghiên cứu tốc độ hội tụ của các thuật toán [6,7,15,28,32,44,57,
65,70], áp dụng bài toán cân bằng vào thực tế [36,38,64]. Trong các hướng nghiên
cứu trên, việc đề xuất các thuật giải cho bài toán cân bằng chiếm một tỉ trọng
lớn. Hai phương pháp chính để giải bài toán cân bằng là phương pháp điểm gần
kề [8] và phương pháp chiếu tổng quát [65]. Phương pháp điểm gần kề (PPM Proximal Point Method) bao gồm việc giải một bài toán cân bằng hiệu chỉnh tại
f
mỗi bước lặp. Giả sử tại bước lặp k, biết x k , ta tính xấp xỉ tiếp theo x k+1 = Jλ ( x k ),
f

trong đó, Jλ là giải thức của song hàm f với tham số λ > 0, được cho bởi:
{
}
1

f
Jλ ( x ) = z ∈ H : f (z, y) + ⟨y − z, z − x ⟩ ≥ 0 ∀y ∈ C , x ∈ H.
λ

(0.1)

Với giả thiết f đơn điệu, lồi và nửa liên tục dưới theo biến thứ hai, hê-mi liên tục
f
theo biến thứ nhất, ánh xạ Jλ là đơn trị và không giãn. Tuy nhiên, nếu f thuộc
lớp hàm đơn điệu tổng quát hơn, chẳng hạn f là giả đơn điệu, thì bài toán cân
f
bằng trong (0.1) không còn đơn điệu mạnh, và do đó, Jλ , nói chung, là không đơn
trị. Vì vậy, phương pháp PPM không thể áp dụng trong trường hợp này. Ngoài
ra, thao tác giải bài toán cân bằng phụ tại mỗi bước lặp khiến cho phương pháp
PPM khá phức tạp về mặt tính toán. Phương pháp chiếu tổng quát có thể khắc
phục các nhược điểm này của PPM. Tại bước lặp k, giả sử biết x k , ta tính xấp xỉ
f
f
tiếp theo x k+1 = Uλ ( x k ), trong đó, Uλ là ánh xạ nghiệm của song hàm f với tham
số λ > 0, được cho bởi
{
}
1
f
2
(0.2)
Uλ = argmin λ f ( x, y) + ∥y − x ∥ : y ∈ C .
2
Với giả thiết song hàm f lồi, nửa liên tục dưới theo biến thứ hai, bài toán tối ưu
f

f
trong (0.2) là lồi mạnh, và do đó, Uλ đơn trị. Hơn nữa, việc tính Uλ đơn giản hơn
f

rất nhiều so với tính Jλ . Trong trường hợp f ( x, y) = ⟨ Fx, y − x ⟩, với F là ánh xạ
trên C, phương pháp chiếu tổng quát cho bài toán cân bằng quay trở về phương
pháp chiếu truyền thống cho bài toán bất đẳng thức biến phân, có dạng
(
)
k +1
k
k
x
= PC x − λFx ,

trong đó, PC là phép chiếu lên C. Đây có thể coi là phương pháp cơ bản và đơn
giản nhất cho bài toán VI(F, C). Năm 2014, Phạm Duy Khánh và Phan Tú Vượng
[43] đã chứng minh phương pháp này hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất của
9


bài toán VI(F, C) với giả thiết F giả đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C.
Trong luận án, chúng tôi sẽ mở rộng kết quả này cho bài toán cân bằng.
Để giảm nhẹ điều kiện đặt lên song hàm f , các tác giả trong [65] đã đề xuất
phương pháp đạo hàm tăng cường cho bài toán cân bằng:

{
}
 yk = argmin λ f ( x k , y) + 1 ∥y − x k ∥2 : y ∈ C
2

}
{
 x k+1 = argmin λ f (yk , y) + 1 ∥y − x k ∥2 : y ∈ C .
2
Phương pháp này được tổng quát hóa từ phương pháp tương ứng cho bài toán
điểm yên ngựa [48]. Với giả thiết song hàm f giả đơn điệu, thỏa mãn điều kiện
Lipschitz, thuật toán đạo hàm tăng cường hội tụ yếu tới nghiệm của bài toán
EP( f , C ).
Đặc điểm chung của các phương pháp giải xấp xỉ bài toán cân bằng là chúng
sinh ra một dãy lặp hội tụ tới nghiệm của bài toán. Nói chung, trên mỗi bước lặp
của thuật toán, ta cần giải một bài toán phụ. Chi phí tính toán để giải các bài toán
phụ này là một trong những yếu tố chính ảnh hưởng đến tính hiệu quả và tốc
độ của thuật toán. Một trong những ý tưởng để giảm chi phí tính toán cho các
bài toán phụ là phân rã song hàm f ban đầu thành tổng hoặc hiệu các song hàm
thành phần: f = f 1 ± f 2 . Khi đó, thay vì xử lí song hàm f , ta chỉ cần làm việc
với từng song hàm thành phần. Ý tưởng này đặc biệt hữu ích khi song hàm f có
dạng phức tạp, trong khi các song hàm thành phần có các dạng đơn giản hoặc
đặc biệt. Phương pháp phân rã đã được áp dụng rộng rãi cho các bài toán tối ưu
và bất đẳng thức biến phân [9, 37] và thu được các kết quả rất đáng khích lệ. Tuy
nhiên, trong trường hợp của bài toán cân bằng, các kết quả thu được của phương
pháp này vẫn còn rất hạn chế. Năm 2009, để giải bài toán cân bằng EP( f , C) với
f = f 1 + f 2 , Moudafi [53] đã đề xuất phương pháp phân rã sau:

n
n n
n+1 theo công thức


Giả sử biết x , tính y , z và x



f1 n

n

y = Jrn ( x ),
f

zn = Jrn2 ( x n ),




n
n


 x n +1 = y + z ,
2

trong đó, rn > 0 thỏa mãn điều kiện
∞

∞

n =0

n =0

∑ rn = ∞, ∑ rn2 < ∞.

Với giả thiết các song hàm f 1 , f 2 đơn điệu, tác giả đã chứng minh dãy ergodic
của { x n } hội tụ yếu tới nghiệm của bài toán. Có thể thấy nhược điểm chính của
phương pháp này là tại mỗi bước lặp, ta cần tính giải thức của hai song hàm f 1
và f 2 . Như đã phân tích ở trên, đây là các thao tác rất đắt về mặt tính toán, do đó,
10


ảnh hưởng nhiều đến tốc độ của thuật toán. Để khắc phụ nhược điểm này, chúng
tôi sẽ đề xuất các phương pháp phân rã kiểu mới cho bài toán cân bằng. Khác với
các thuật toán phân rã đã có trong [15, 53], tại mỗi bước lặp, thay vì phải tính giải
thức của các song hàm thành phần, chúng tôi chỉ cần giải các bài toán quy hoạch
lồi mạnh, có chi phí tính toán rẻ hơn rất nhiều. Hơn nữa, do không sử dụng giải
thức của các song hàm thành phần, nên điều kiện đơn điệu đặt lên các song hàm
này cũng được loại bỏ.
Khi áp dụng bài toán cân bằng vào trong thực tế, ta có thể gặp tình huống
tập ràng buộc của bài toán không được cho dưới dạng hiển. Chẳng hạn, trong
[38–40], các tác giả nghiên cứu bài toán điều khiển công suất của mạng viễn
thông CDMA. Mô hình này được miêu tả bởi bài toán cân bằng với tập ràng buộc
cho bởi tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T:
tìm x ∗ ∈ Fix ( T ) sao cho f ( x ∗ , y) ≥ 0

∀y ∈ Fix ( T ),

(EP( f , Fix ( T )))

trong đó Fix ( T ) := {t ∈ C : T (t) = t}. Bài toán nói trên chính là một trường hợp
riêng của bài toán cân bằng hai cấp, tức là bài toán cân bằng với tập ràng buộc là
tập nghiệm của một bài toán cân bằng khác
tìm x ∗ ∈ Sol ( g, C ) sao cho f ( x ∗ , y) ≥ 0

với Sol ( g, C ) := {t ∈ C : g(t, y) ≥ 0

∀y ∈ Sol ( g, C ),

(BEP( f , g, C ))

∀y ∈ C } ,

trong đó f , g là các song hàm cân bằng trên C. Mặc dù bài toán cân bằng hai cấp
rất thú vị và có nhiều ứng dụng trong thực tế, việc giải nó còn gặp nhiều khó
khăn. Một số trường hợp riêng của BEP( f , g, C) khi các bài toán cân bằng có dạng
bất đẳng thức biến phân, đã được xét đến trong [4,5,50]. Năm 2014, PGS. Nguyễn
Văn Quý [66] nghiên cứu bài toán:
Tìm x ∗ ∈ S := Sol ( g, C )

∩

Fix ( T ) sao cho

f ( x∗ , y) ≥ 0

∀y ∈ S,

(BEP( f , g, T, C ))

với T : C → C là ánh xạ giả co và đề xuất giải bài toán này bằng phương pháp
điểm gần kề kết hợp với phép lặp Halpern:

g


uk = Jrk ( x k );




 tính wk ∈ ∂ f ( x k , .)( x k );







ξ k = x k − ρwk ;
x k +1

= αk

ξk

[

+ (1 − α k ) (1 − t k

)uk

+ tk

T (uk )

]
,

trong đó ρ > 0, {αk }, {tk }, {rk } ⊂ (0, ∞) là các dãy tham số. Với giả thiết song
hàm f đơn điệu mạnh, song hàm g đơn điệu, vi phân đường chéo theo biến thứ
hai của song hàm f liên tục Lipschitz trên C, PGS. Nguyễn Văn Quý đã chứng
11


minh dãy { x k } hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán BEP( f , g, T, C). Tuy
g
nhiên, do phải tính giải thức Jrk tại mỗi bước lặp, phương pháp trên khá phức
tạp về mặt tính toán. Dựa trên các ý tưởng từ bài báo [50,70], chúng tôi sẽ đề xuất
một thuật toán mới, hiệu quả hơn để giải bài toán cân bằng hai cấp. Thay vì phải
tính giải thức của các song hàm f và g, chúng tôi chỉ cần tính các vectơ dưới đạo
hàm của chúng và thực hiện các phép chiếu lên tập ràng buộc C. Các thao tác này
g
có chi phí tính toán thấp hơn nhiều so với việc sử dụng ánh xạ Jλ .
f

Ánh xạ Uλ được định nghĩa trong (0.2) đóng vai trò là ánh xạ nghiệm của
bài toán cân bằng, theo nghĩa, x ∗ là nghiệm của EP( f , C ) khi và chỉ khi nó là
điểm bất động của ánh xạ này. Rất nhiều tác giả đã sử dụng nó để đề xuất các
thuật toán cho bài toán cân bằng [2, 3, 36, 56, 64, 65]. Tuy nhiên, theo hiểu biết
của tác giả, các nghiên cứu về ánh xạ này vẫn còn rất hạn chế. Trong trường hợp
f
f ( x, y) = ⟨ Fx, y − x ⟩ với F là ánh xạ trên C, Uλ có dạng
GλF :C → C
x → PC ( x − λFx ) .
Năm 2001, Yamada [82] đã chứng minh GλF là ánh xạ co với giả thiết F là đơn điệu

mạnh và liên tục Lipschitz. Từ đây, nảy sinh câu hỏi: "Liệu kết quả này có thể mở
f
rộng cho trường hợp của bài toán cân bằng? Liệu Uλ có là ánh xạ co khi song
hàm f thỏa mãn điều kiện đơn điệu mạnh và Lipschitz?" Câu trả lời sẽ được đưa
f
ra trong luận án. Cụ thể, chúng tôi sẽ chứng minh tính co của ánh xạ Uλ với các
giả thiết song hàm f đơn điệu mạnh và thỏa mãn điều kiện Lipschitz kiểu mới
và trên cơ sở đó, đề xuất thuật toán ánh xạ co cho bài toán EP( f , Fix ( T )).
Ngoài ra, việc kết hợp bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động cũng là
một đề tài lý thú. Trong khi bài toán cân bằng mới chỉ được nghiên cứu tập trung
trong khoảng 20 năm gần đây, bài toán điểm bất động đã có lịch sử phát triển trên
100 năm. Có rất nhiều phương pháp lặp đã được đề xuất để tìm điểm bất động
của một hoặc một họ ánh xạ không giãn, ví dụ phương pháp lặp kiểu Halpern,
phương pháp lặp kiểu Mann [17]. . . . Bằng việc kết hợp hai bài toán nói trên, ta
tận dụng được các kĩ thuật đã có trong lý thuyết điểm bất động để đề xuất và
chứng minh tính hội tụ của các thuật toán mới cho bài toán cân bằng. Một trong
những chủ đề nhận được sự quan tâm của rất nhiều nhà khoa học là bài toán tìm
nghiệm chung của bài toán cân bằng và điểm bất động [2, 3, 36, 69]. Trong luận
án, chúng tôi nghiên cứu hai dạng mở rộng của bài toán này, đó là:

) 
(
∗

tìm x ∈

n
∩

Sol ( f i , C )

∩



m
∩

j =1

i =1

12

Fix ( Tj )

(0.3)


(

và
tìm x ∗ ∈

n
∩

)
Sol ( f i , C )

i =1

∩

(

∩

)
Fix ( Ts ) ,

(0.4)

s ≥0

trong đó, f i , i = 1, . . . , n là các song hàm cân bằng trên C, Tj , j = 1, . . . , m là các
ánh xạ không giãn và { Ts }s≥0 là nửa nhóm không giãn trên C. Một số trường
hợp riêng của hai bài toán (0.3), (0.4) đã được nhiều tác giả khác nhau nghiên
cứu. Chẳng hạn, với m = n = 1, bài toán (0.3) trở thành
tìm x ∗ ∈ Sol ( f , C ) ∩ Fix ( T ).
Đây là bài toán đã được xét trong [3, 74]. Trong trường hợp các song hàm f i đồng
nhất bằng 0, hai bài toán nói trên trở thành bài toán tìm điểm bất động chung của
họ ánh xạ không giãn [1, 17, 72, 76]. Khó khăn chính khi đề xuất thuật toán cho
hai bài toán (0.3) và (0.4) là tại mỗi bước lặp, ta cần giải nhiều bài toán phụ của
các song hàm khác nhau, sau đó cần xử lý kết quả của các bài toán phụ này để
xây dựng giá trị xấp xỉ tiếp theo. Để giải quyết vấn đề này, kĩ thuật chiếu song
song tỏ ra đặc biệt có hiệu quả. Chúng tôi sẽ thực hiện các phép chiếu tổng quát
tương ứng với từng song hàm, trong số các kết quả thu được, ta chọn phần tử
cách xa giá trị xấp xỉ hiện tại nhất để làm cơ sở tính xấp xỉ tiếp theo. Kỹ thuật này
đã được sử dụng trong các công trình của GS. Phạm Kỳ Anh và cộng sự [1,35,36].

Chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu các nội dung sau:
• Xây dựng thuật toán cho bài toán cân bằng với song hàm được phân rã thành
tổng hoặc hiệu các song hàm thành phần.
• Xây dựng thuật toán cho bài toán cân bằng hai cấp cùng các trường hợp riêng
của nó.
• Xây dựng thuật toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán
điểm bất động của các ánh xạ không giãn.
Tất cả các thuật toán đề xuất trong luận án đều được chứng minh là hội tụ. Chúng
tôi cũng tiến hành một vài thử nghiệm số để so sánh các thuật toán mới với các
thuật toán đã có đồng thời áp dụng chúng vào một số mô hình thực tế. Ngoài
phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình đã công bố của tác giả có liên
quan đến luận án và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương. Các
kết quả chính được tập trung trong các Chương 2, 3 và 4.
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ được sử dụng
trong luận án. Cụ thể, chương này nhắc lại các khái niệm và kết quả cơ bản của
giải tích lồi. Sau đó, các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm cũng như cấu
trúc tập nghiệm của bài toán cân bằng được trình bày một cách sơ lược. Để thấy
được vai trò của bài toán cân bằng, chúng tôi trình bày mối liên hệ của bài toán
này với một số bài toán quan trọng khác trong giải tích phi tuyến như: bài toán
13


bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash, bài
toán tối ưu,. . .
Chương 2 đề cập tới bài toán cân bằng với song hàm được phân rã thành tổng
hoặc hiệu các song hàm thành phần. Trong phần đầu, chúng tôi đề xuất hai thuật
toán phân rã tuần tự và phân rã song song cho bài toán cân bằng giả đơn điệu
mạnh. Tiếp theo, phương pháp phân rã hiệu được áp dụng để giải một lớp bài
toán cân bằng không lồi và không đơn điệu. Trong phần cuối Chương 2, nhằm
giảm nhẹ điều kiện đặt lên song hàm của bài toán, chúng tôi sẽ kết hợp phương

pháp phân rã với kỹ thuật ergodic để giải một lớp bài toán cân bằng giả đơn điệu
và không thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Nhìn chung, các phương pháp phân rã tỏ
ra đặc biệt hiệu quả khi song hàm gốc có dạng phức tạp, trong khi các song hàm
thành phần có dạng đặc biệt hoặc đơn giản hơn. Điều này đã được kiểm chứng
bằng một vài thử nghiệm số và so sánh sơ bộ ở cuối chương.
Trong phần đầu tiên của Chương 3, chúng tôi sử dụng phương pháp chiếu
dưới đạo hàm để giải bài toán cân bằng hai cấp với song hàm cấp trên đơn điệu
mạnh và song hàm cấp dưới para-giả đơn điệu. Tại mỗi bước lặp, thay vì phải
tính giải thức của các song hàm hoặc giải các bài toán quy hoạch lồi mạnh, thuật
toán chỉ đòi hỏi tính các vectơ dưới đạo hàm và thực hiện một phép chiếu lên tập
ràng buộc C. Điều này giúp cho phương pháp mới có chi phí tính toán thấp hơn
nhiều so với các phương pháp khác. Tiếp theo, thuật toán kể trên được áp dụng
cho bài toán cân bằng trên tập điểm bất động. Chúng tôi chỉ ra tập nghiệm của bài
toán cân bằng với song hàm para-đơn điệu trùng với tập điểm bất động của ánh
xạ không giãn. Bài toán này được nghiên cứu trong phần tiếp theo của chương
ở một hướng tiếp cận khác. Chúng tôi chứng minh một điều kiện đủ cho tính co
của ánh xạ nghiệm Uλ , trên cơ sở đó, đề xuất thuật toán ánh xạ co cho bài toán
cân bằng trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn. Phần cuối chương trình
bày một vài thử nghiệm số và so sánh với các thuật toán của các tác giả khác. Đặc
biệt, chúng tôi sẽ áp dụng thuật toán của mình để giải bài toán cân bằng Nash
cho thị trường sản xuất điện bán độc quyền. Khác với mô hình đã được xét trong
các bài báo [64, 65], mô hình mới có thêm yếu tố bảo hộ doanh nghiệp. Điều này
dẫn đến bài toán cân bằng với tập ràng buộc được cho dưới dạng tập điểm bất
động của ánh xạ không giãn.
Trong Chương 4, chúng tôi xét bài toán

) 
(
m
n

∩ ∩
∩
 Fix ( Tj ) ,
Sol ( f i , C )
tìm x ∗ ∈
j =1

i =1

(

và
tìm x ∗ ∈

n
∩

)
Sol ( f i , C )

i =1

14

∩

(

∩
s ≥0

)
Fix ( Ts ) ,


trong đó, f i : C × C → R, i = 1, . . . , n là các song hàm cân bằng, Tj : C → C,
j = 1, . . . , m là ánh xạ không giãn và { Ts }s>0 là nửa nhóm không giãn trên C. Để
giải quyết bài các toán này, chúng tôi kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường
và kỹ thuật tìm kiếm theo tia kiểu Armijo [65, 73] với các phương pháp lặp kiểu
Mann và Halpern. Đây đều là các kỹ thuật quen thuộc của bài toán cân bằng và
lý thuyết điểm bất động, nhưng đã được chúng tôi phát triển cho lớp bài toán
tổng quát hơn. Ngoài ra, thuật toán dựa trên các kỹ thuật này chỉ sinh ra các dãy
lặp hội tụ yếu tới nghiệm của bài toán. Trong các phương pháp được đề xuất, sử
dụng thêm các phép chiếu lên nửa không gian chứa tập nghiệm, chúng tôi thu
được các dãy lặp hội tụ mạnh tới hình chiếu của xuất phát điểm lên tập nghiệm.
Các kết quả chính của luận án được công bố trong 7 bài báo trên các tạp chí
thuộc danh mục ISI: Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y
Naturales. Serie A. Matemáticas, Numerical Algorithms, Optimization, Numerical Functional Analysis and Optimization, Journal of Optimization Theory and
Applications, Journal of Fixed Point Theory and Applications, Miskolc Mathematical Notes và được báo cáo tại:
• 7th International Conference on High Performance Scientific Computing, Hà
Nội, 19-23/3/2018;
• Hội thảo Tối ưu và tính toán khoa học lần thứ 13, Ba Vì, Hà Nội, 23-25/4/2015;
• Hội thảo Tối ưu và tính toán khoa học lần thứ 16, Ba Vì, Hà Nội, 19-21/4/2018;
• Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, 12-13/11/2016;
• Hội nghị khoa học khoa Toán - Cơ - Tin học tại Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc Gia Hà Nội, 01/10/2016;
• Xêmina "Bài toán cân bằng và các vấn đề liên quan", Viện Nghiên cứu Cao
cấp về Toán, 27/09/2016;
• Xêmina "Lý thuyết tối ưu và ứng dụng", Bộ môn Toán ứng dụng, Viện Toán
ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, 22/10/2015;

• Xêmina "Bài toán cân bằng, bài toán điểm bất động và các vấn đề liên quan",
Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, 09/01/2018.

15


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở cần thiết cho các
chương tiếp theo. Chương gồm ba phần. Phần đầu tiên trình bày một số khái
niệm và kết quả cơ bản của giải tích lồi. Hai phần tiếp theo dành để giới thiệu
bài toán cân bằng và các trường hợp riêng của nó cùng các điều kiện về sự tồn tại
và duy nhất nghiệm của bài toán này. Nội dung của chương chủ yếu được tham
khảo từ các tài liệu [8, 67, 78].

1.1

Các khái niệm và kết quả cơ bản

Một không gian vectơ thực H được trang bị tích vô hướng ⟨., .⟩ và đầy đủ đối với
chuẩn
√
∥ x ∥ := ⟨ x, x ⟩
được gọi là không gian Hilbert thực. Từ đây đến hết luận án, ta luôn kí hiệu H
là không gian Hilbert thực. Không gian Rn là một không gian Hilbert (hữu hạn
chiều) với tích vô hướng
n

∑ xi yi

⟨ x, y⟩ :=

i =1

và chuẩn

(

∥ x ∥ :=

)1/2

n

∑ xi2

i =1

với mọi x = ( x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn .
Không gian l 2 các dãy khả tổng bậc hai là một không gian Hilbert (vô hạn
chiều) với tích vô hướng

⟨ x, y⟩ :=

∞

∑ xi yi

i =1

16


và chuẩn

(

∞

)1/2

∑ xi2

∥ x ∥ :=

i =1

với mọi x = ( xi ), y = (yi ) ∈
Tập

l2.

Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng, khác rỗng, x0 ∈ C.
⟨

NC ( x ) := {w ∈ H : w, y − x
0

0

⟩

≤ 0 ∀y ∈ C }

được gọi là nón pháp tuyến (ngoài) của C tại x0 . Hiển nhiên NC ( x0 ) là một nón lồi,
đóng khác rỗng. Giả sử x ∈ H. Khi đó
dC ( x ) := inf ∥y − x ∥
y∈C

được gọi là khoảng cách từ x đến tập C. Nếu tồn tại điểm x0 ∈ C thỏa mãn dC ( x ) =
x0 − x , ta gọi x0 là hình chiếu của x lên C, kí hiệu x0 = PC ( x ). Ánh xạ PC : H →
C được gọi là phép chiếu (vuông góc) lên C. Ánh xạ này là công cụ sắc bén, đóng
vai trò quan trọng trong việc xây dựng các thuật toán giải bài toán cân bằng và
bất đẳng thức biến phân.
Mệnh đề 1.1. Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó,
(a) Với mọi x ∈ H, PC ( x ) luôn tồn tại duy nhất, đồng thời x0 = PC ( x ) khi và chỉ khi
⟨
⟩
0
0
y − x , x − x ≤ 0 ∀y ∈ C.
(b) Ánh xạ PC có tính chất không giãn vững (hoặc 1-đơn điệu mạnh ngược), tức là,

∥ PC ( x ) − PC (y)∥2 ≤ ⟨ PC ( x ) − PC (y), x − y⟩ ∀ x, y ∈ H.
(c) Với mọi x ∈ H, x0 = PC ( x ) khi và chỉ khi x − x0 ∈ NC ( x0 ).
Định nghĩa 1.1. Cho f : H → R, x0 ∈ H. Khi đó,
• Hàm f được gọi là hê-mi liên tục tại x0 nếu
lim f (tz + (1 − t) x0 ) = f ( x0 )

t →0+

∀z ∈ H.

• Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 nếu

∀{ x k } ⊂ H, x k → x0 ⇒ lim inf f ( x k ) ≥ f ( x0 ).
k→∞

• Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới yếu tại x0 nếu

∀{ x k } ⊂ H, x k ⇀ x0 ⇒ lim inf f ( x k ) ≥ f ( x0 ).
k→∞

• Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (tương ứng1 yếu) trên C nếu nó nửa liên
tục dưới (t.ư. yếu) tại mọi điểm thuộc C.
1

Từ sau đây đến hết luận án, cụm từ "tương ứng" sẽ được viết tắt là "t.ư.".

17


• Hàm f được gọi là nửa liên tục trên (t.ư. yếu) nếu − f nửa liên tục dưới (t.ư.
yếu). Hàm f được gọi là liên tục nếu nó vừa liên tục trên vừa liên tục dưới.
Định nghĩa 1.2. Cho f : H → R ∪ {∞}, x0 ∈ H. Nếu tập
{
⟨
⟩
0

0
∂ f ( x ) := w ∈ H : w, y − x ≤ f (y) − f ( x0 )

∀y ∈ H

}

khác rỗng thì f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 , ∂ f ( x0 ) được gọi là dưới vi phân,
mỗi vectơ w thuộc ∂ f ( x0 ) được gọi là dưới đạo hàm của f tại x0 . Hàm f được gọi
là khả dưới vi phân trên một tập nếu nó khả dưới vi phân tại mọi điểm thuộc tập
đó.
Chú ý 1.1. Trong trường hợp f : C ⊂ H → R, bằng việc mở rộng hàm số này ra
toàn bộ không gian

 f ( x ) nếu x ∈ C,
f¯( x ) :=
 ∞ nếu x ∈
/ C,
ta có thể định nghĩa hàm f khả dưới vi phân trên C tương tự như trong Định
nghĩa 1.2.
Định nghĩa 1.3. Cho f : C → R ∪ {∞}, x0 ∈ C. Ta nói
• f ( x ) đạt cực tiểu (t.ư. cực đại) địa phương tại x0 trên C nếu tồn tại lân cận U
của x0 sao cho
f ( x ) ≥ f ( x0 ) ∀ x ∈ U ∩ C

(t.. f ( x ) ≤ f ( x0 ) ∀ x ∈ U ∩ C )
• f ( x ) đạt cực tiểu (t.ư. cực đại) toàn cục tại x0 trên C nếu
f ( x ) ≥ f ( x0 )

∀x ∈ C

(t.. f ( x ) ≤ f ( x0 ) ∀ x ∈ C )
Định lý 1.1. [8, Mệnh đề 26.5] Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng, có miền trong khác rỗng,
f : C → R là hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên C. Khi
đó, x ∗ là điểm cực tiểu của f trên C khi và chỉ khi
0 ∈ ∂ f ( x ∗ ) + NC ( x ∗ ).
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số bổ đề về dãy số, cần thiết cho việc chứng
minh kết quả ở các chương tiếp theo.
Bổ đề 1.1. [81, Bổ đề 2.5] Cho {αk }, { β k }, {λk } là các dãy số dương thỏa mãn
αk+1 ≤ (1 − λk )αk + λk γk + β k ∀k ≥ 1.
∞
Giả sử λk ∈ (0, 1) với mọi k ≥ 1, ∑∞
k =1 λk = ∞, lim supk→∞ γk ≤ 0 và ∑k =1 β k < ∞.
Khi đó limk→∞ αk = 0.

18


Bổ đề 1.2. [76] Giả sử { an } và {bn } là hai dãy số dương thỏa mãn điều kiện
an+1 ≤ an + bn ∀n ∈ N,

∞

∑ bn < ∞.

n =1

Khi đó limn→∞ an tồn tại và hữu hạn.
Bổ đề 1.3. [16] Cho { an } và {λn } là các dãy số dương thỏa mãn
lim an = a ∈ R và

n→∞

Khi đó, ta có

∞

∑ λn = ∞.

n =1

∑nk=1 λk ak
= a.
lim
n→∞ ∑n
k =1 λ k

Bổ đề 1.4. [49, Bổ đề 3.1] Cho {ζ k } ⊂ R là một dãy số thỏa mãn: tồn tại dãy con
{ζ ki } ⊂ {ζ k } sao cho
ζ ki < ζ ki +1 ∀i ≥ 0.
Xét dãy chỉ số {τ (k )} cho bởi
τ (k ) := max{i ≤ k : ζ i < ζ i+1 }.
Khi đó {τ (k )} là một dãy không giảm, thỏa mãn limk→∞ τ (k ) = ∞, ζ τ (k) < ζ τ (k)+1 và
ζ k ≤ ζ τ (k)+1 với mọi k ≥ 0.
Bổ đề 1.5. [49, Bổ đề 2.1] Cho {λk }, {γk } ⊂ (0, ∞) là hai dãy số thỏa mãn
∞

∑

λk = ∞,

k =0

∞

∑

λ2k < ∞ và

k =0

∞

∑ λk γk < ∞.

k =0

Khi đó,
• Tồn tại một dãy con {γki } ⊂ {γk } sao cho limi→∞ γki = 0.
• Nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho γk+1 − γk ≤ Mλk với mọi k ≥ 0, thì
limk→∞ γk = 0.
Bổ đề 1.6. [80] Giả sử Br (0) ⊂ H là hình cầu đóng, tâm tại gốc tọa độ, bán kính r.
Khi đó, với mọi hệ vectơ { x1 , x2 , . . . , x N } ⊂ Br (0) và các số thực dương λ1 , λ2 , . . . , λ N
thỏa mãn ∑iN=1 λi = 1, tồn tại hàm lồi, tăng ngặt, liên tục g : [0, 2r ) → [0, ∞) thỏa mãn
g(0) = 0, đồng thời với mọi i, j ∈ {1, 2, . . . , N }, i < j, ta có
N

∑ λk xk

k =1

2

≤

N

∑ λk ∥ xk ∥2 − λi λ j g(∥ xi − x j ∥).

k =1

19


1.2

Bài toán cân bằng và mối liên hệ với các bài toán khác

Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng, khác rỗng, f : C × C → R là song hàm cân bằng, tức
là, f ( x, x ) = 0 với mọi x ∈ C. Bài toán cân bằng của song hàm f trên tập C được
phát biểu như sau
tìm x ∗ ∈ C sao cho f ( x ∗ , y) ≥ 0 ∀y ∈ C.

(EP( f , C ))

Ký hiệu Sol ( f , C ) là tập nghiệm của bài toán cân bằng EP( f , C ). Như đã biết, bài
toán này bao hàm một loạt các bài toán quan trọng trong tối ưu, chẳng hạn:
1.2.1

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho F : C → C là một ánh xạ, bài toán bất đẳng thức biến phân của ánh xạ F trên
tập C được phát biểu dưới dạng
tìm x ∗ ∈ C sao cho ⟨ Fx ∗ , y − x ∗ ⟩ ≥ 0 ∀y ∈ C.

(VI( F, C ))

Ký hiệu Sol ( F, C ) là tập nghiệm của VI( F, C ). Dễ thấy bài toán này chính là trường
hợp riêng của EP( f , C ) với f ( x, y) := ⟨ Fx, y − x ⟩. Bản thân bài toán VI( F, C )
cũng là một đề tài lý thú, thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của đông đảo
các nhà khoa học trong và ngoài nước [2, 9, 13, 18, 33, 39, 40, 43, 46, 62, 73]. Rất
nhiều phương pháp giải bài toán cân bằng được mở rộng trực tiếp từ các phương
pháp tương ứng dành cho bài toán bất đẳng thức biến phân, chẳng hạn, phương
pháp đạo hàm tăng cường [65], phương pháp tìm kiếm theo tia kiểu Armijo [79],
phương pháp phân rã [53] là kết quả mở rộng của các thuật toán tương ứng
trong [9, 48, 73]. Cần lưu ý rằng bản thân bài toán bất đẳng thức biến phân cũng
bao hàm một loạt các bài toán khác như:
• Bài toán bù phi tuyến
tìm x ∗ ∈ C sao cho Fx ∗ ∈ C ∗ và ⟨ Fx ∗ , x ∗ ⟩ = 0,

(NCP( F, C ))

trong đó C ⊂ H là một nón lồi, đóng và
C ∗ := { x ∈ H : ⟨ x, y⟩ ≥ 0

∀y ∈ C }

là nón đối ngẫu của C ∗ .
Định lý 1.2. [47] Cho C ⊂ H là một nón lồi, đóng. Khi đó, x ∗ là nghiệm của
NCP( F, C ) khi và chỉ khi nó là nghiệm của VI( F, C ).

• Bài toán điểm bất động.
tìm x ∗ ∈ C sao cho Tx ∗ = x ∗ ,

(FP( T, C ))

trong đó, T : C → C là ánh xạ trên C. Đặt
Fx := x − Tx.
20

(1.1)


Định lý 1.3. [47] Giả sử F là ánh xạ xác định bởi (1.1). Khi đó x ∗ ∈ C là nghiệm
của FP( T, C ) khi và chỉ khi nó là nghiệm của VI( F, C ).
Ở chiều ngược lại, ta có thể chuyển bài toán bất đẳng thức biến phân về bài toán
tìm điểm bất động thông qua định lý sau.
Định lý 1.4. [47] Cho C ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng, F : C → C, λ > 0. Khi
đó, x ∗ là nghiệm của VI( F, C ) khi và chỉ khi nó là điểm bất động của ánh xạ
Φ:H→C
x → PC ( x − λFx ).
Từ Định lý 1.4 suy ra Φ đóng vai trò là ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân, theo nghĩa, bất cứ điểm bất động nào của Φ cũng sẽ là nghiệm
của bài toán VI( F, C ). Câu hỏi đặt ra là: liệu ta có thể xây dựng một ánh xạ nghiệm
tương tự cho bài toán cân bằng? Để tìm câu trả lời, ta hãy bắt đầu bằng nhận xét
sau:
Nếu đặt f ( x, y) := ⟨ Fx, y − x ⟩, thì
{
}
1
Φ( x ) = argmin λ f ( x, y) + ∥y − x ∥2 : y ∈ C .

2
}
{
Thật vậy, giả sử x ∗ := argmin λ f ( x, y) + 21 ∥y − x ∥2 : y ∈ C , theo Định lý 1.1,
điều này tương đương với
0 = λFx + x ∗ − x + q,
với q ∈ NC ( x ∗ ). Áp dụng định nghĩa của NC ( x ∗ ), ta có

⟨ x − x ∗ − λFx, y − x ∗ ⟩ ≤ 0 ∀y ∈ C
⇔ x ∗ = PC ( x − λFx ).
Nhận xét trên chính là gợi ý để ta mở rộng Định lý 1.4 cho trường hợp bài toán
cân bằng.
Định lý 1.5. [51] Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng, có miền trong khác rỗng, f : C × C → R
là song hàm cân bằng trên C thỏa mãn điều kiện: với mọi x ∈ C, hàm số f ( x, .) lồi, khả
dưới vi phân trên C. Giả sử λ > 0. Khi đó, x ∗ là nghiệm của bài toán EP( f , C ) khi và
chỉ khi nó là điểm bất động của ánh xạ
Uλ :C → C

{

}
1
x → argmin λ f ( x, y) + ∥y − x ∥2 : y ∈ C .
2

Ánh xạ Uλ là công cụ sắc bén để ta xây dựng các thuật toán giải EP( f , C ).
21


1.2.2

Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác

Lý thuyết trò chơi hiện đại được cho là "con đẻ" của nhà toán học John von Neumann và nhà kinh tế học Oskar Morgenstern. Đây là hai đồng tác giả của cuốn
sách có tựa đề "Theory of Games and Economic Behaviour" được xuất bản năm
1944. Đến đầu những năm 1950, Nash đưa ra khái niệm "điểm cân bằng Nash"
trong trò chơi không hợp tác [59]. Cân bằng Nash đạt được khi không một người
chơi nào có thể tăng được lợi ích bằng cách thay đổi chiến lược của mình trong
khi các đối thủ khác vẫn giữ nguyên chiến lược của họ. Một cách tổng quát, giả
sử có n người tham gia một trò chơi không hợp tác. Người chơi thứ i có tập chiến
lược là Ci và có hàm lợi ích là f i : C → R với C = C1 × . . . Cn . Mục tiêu của mỗi
người chơi là tìm kiếm một chiến lược cho riêng mình để tối đa hóa lợi ích f i .
Điểm x ∗ ∈ C được gọi là điểm cân bằng Nash nếu với mọi y = (y1 , . . . , yn ) ∈ C,
f i ( x1∗ , . . . , xn∗ ) ≥ f i ( x1∗ , . . . , xi∗−1 , yi , xi∗+1 , . . . , xn∗ )

∀i = 1, . . . , n.

Bằng cách đặt
n

f ( x, y) :=

∑ [ fi (x1, . . . , xi , . . . , xn ) − fi (x1, . . . , yi , . . . , xn )]

∀ x, y ∈ C,

(1.2)

i =1

bài toán tìm điểm cân bằng Nash có thể đưa về bài toán cân bằng EP( f , C ). Song
hàm f được định nghĩa ở trên gọi là song hàm Nikaido-Isoda [60].
Định lý 1.6. [60] Giả sử f là song hàm Nikaido-Isoda được định nghĩa bởi (1.2). Điểm
x ∗ ∈ C là điểm cân bằng Nash khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán cân bằng
EP( f , C ).
1.2.3

Bài toán điểm yên ngựa

Xét hai không gian Hilbert thực H1 , H2 . Giả sử C ⊂ H1 , D ⊂ H2 là hai tập lồi,
đóng, khác rỗng, L : C × D → R là song hàm. Bài toán điểm yên ngựa (Saddle
point problem) được phát biểu như sau
tìm ( x ∗ , y∗ ) ∈ C × D sao cho L( x ∗ , y) ≤ L( x ∗ , y∗ ) ≤ L( x, y∗ ) ∀ x ∈ C, y ∈ D
(SP( L, C, D ))
Bài toán trên có thể được đưa về bài toán EP( f , K ) với K = C × D, f (u, v) :=
L( x, y′ ) − L( x ′ , y) với mọi u = ( x ′ , y′ ), v = ( x, y) ∈ K.
Định lý 1.7. [47] Điểm u∗ ∈ K là nghiệm của SP( L, C, D ) khi và chỉ khi nó là nghiệm
của EP( f , K ) .

22


1.3

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng

Trong mục này, chúng ta sẽ xét một số điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của bài toán cân bằng. Một số tính chất miêu tả cấu trúc của tập nghiệm
của EP( f , C ) cũng được trình bày.
Định lý 1.8. [11] Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng, khác rỗng, f : C × C → R là song hàm

cân bằng, giả đơn điêu, thỏa mãn điều kiện: với mọi x ∈ C, hàm số f (., x ) hê-mi liên tục
và hàm số f ( x, .) lồi, nửa liên tục dưới trên C. Giả sử điều kiện bức sau được thỏa mãn:
tồn tại một tập compắc B sao cho: ∀ x ∈ C \ B, ∃y ∈ C : f ( x, y) < 0.
Khi đó, bài toán cân bằng EP( f , C ) có ít nhất một nghiệm.
Để xét tính duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng, ta cần một số khái niệm
về tính đơn điệu và Lipschitz của song hàm f . Các khái niệm này được tổng quát
hóa từ các khái niệm tương ứng dành cho ánh xạ.
Định nghĩa 1.4. [65] Ánh xạ F : C → H được gọi là
1. γ-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C,

⟨ F ( x ) − F ( y ), x − y ⟩ ≥ γ ∥ x − y ∥2 ;
2. đơn điệu chặt trên C nếu với mọi x ̸= y ∈ C,

⟨ F ( x ) − F (y), x − y⟩ > 0;
3. đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C,

⟨ F ( x ) − F (y), x − y⟩ ≥ 0;
4. γ-giả đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C,

⟨ F ( y ), x − y ⟩ ≥ 0 ⇒ ⟨ F ( x ), x − y ⟩ ≥ γ ∥ x − y ∥2 ;
5. giả đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C,

⟨ F (y), x − y⟩ ≥ 0 ⇒ ⟨ F ( x ), x − y⟩ ≥ 0.
6. liên tục L-Lipschitz trên C nếu với mọi x, y ∈ C,

∥ F ( x ) − F (y)∥ ≤ L∥ x − y∥.
Trong trường hợp L = 1, ánh xạ F được gọi là không giãn và nếu L ∈ (0, 1), F
được gọi là ánh xạ co.
7. không giãn vững trên C nếu với mọi x, y ∈ C,

∥ F ( x ) − F (y)∥2 ≤ ⟨ F ( x ) − F (y), x − y⟩ .
23


Song hàm f : C × C → R được gọi là
1. γ-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C,
f ( x, y) + f (y, x ) ≤ −γ∥ x − y∥2 ;
2. đơn điệu chặt trên C nếu với mọi x ̸= y ∈ C,
f ( x, y) + f (y, x ) < 0;
3. đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C,
f ( x, y) + f (y, x ) ≤ 0;
4. γ-giả đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C,
f ( x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x ) ≤ −γ∥ x − y∥2 ;
5. giả đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C,
f ( x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x ) ≤ 0.
6. thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu tồn tại hai hằng số c1 , c2 > 0 sao cho
f ( x, y) + f (y, z) ≥ f ( x, z) − c1 ∥ x − y∥2 − c1 ∥y − z∥2 .
Nhận xét 1.1.
(a) Nếu đặt f ( x, y) := ⟨ Fx, y − x ⟩ thì song hàm f đơn điệu (t.ư. đơn điệu mạnh,
đơn điệu chặt, giả đơn điệu, giả đơn điệu mạnh) khi và chỉ khi ánh xạ F đơn điệu
(t.ư. đơn điệu mạnh, đơn điệu chặt, giả đơn điệu, giả đơn điệu mạnh).
(b) Các điều kiện đơn điệu trong Định nghĩa 1.4 quan hệ với nhau theo sơ đồ
sau: (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (5); (1) ⇒ (4) ⇒ (5). Các mũi tên theo chiều ngược lại
nói chung không đúng. Thật vậy,
Chọn C := [1/2; 1], f ( x, y) := x ( x − y). Dễ thấy, f giả đơn điệu nhưng không
đơn điệu trên C.
Chọn C := (−∞, 0], f ( x, y) := e x (y − x ). Khi đó, f đơn điệu chặt nhưng không
đơn điệu mạnh trên C.
(c) Tổng của hai song hàm đơn điệu là một song hàm đơn điệu. Tương tự, tổng
của song hàm đơn điệu và song hàm đơn điệu mạnh là một song hàm đơn điệu

mạnh. Tuy nhiên, tổng của hai song hàm giả đơn điệu có thể không giả đơn điệu.
Điều này được minh họa bởi ví dụ sau.
Chọn C := R2 , f ( x, y) := ( x1 y2 − x2 y1 )e x1 ; g( x, y) := (y1 x2 − y2 x1 )e x2 . Dễ thấy
f và g đều giả đơn điệu trên C tuy nhiên hàm f + g không giả đơn điệu trên tập
này.
(d) Giả sử f ( x, y) := ⟨ F ( x ), y − x ⟩ trong đó F : C → C là ánh xạ liên tục LLipschitz trên C. Khi đó, f cũng thỏa mãn điều kiện Lipschitz với các hằng số
c1 = c2 = L2 [65].
24