lý thuyết kỳ 2 môn toán 12

1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀHỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
MỘT ẨN
Điều kiện: Nếu đề bài cho các hàm số như sau thì điều kiện tương ứng sẽ là:
+

y = f (x)

khơng cần điều kiện.

y = f ( x)

+
g(x)>0

điều kiện

f (x)

là các hàm đa thức ví dụ
y=

f (x) ≥ 0

+

f (x)
g( x )

f ( x) = x + 1

f (x)

g( x )

y=

điều kiện g(x)≠0

+

điều kiện

Lưu ý: căn bậc chẵn điều kiện giống căn bậc 2 căn bậc lẻ khơng cần điều kiện.
2. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT

Xét

f (x ) = ax + b

việc xét dấu f(x) ta thực hiện như sau:

Dạng bài tìm m để

Vơ nghiệm
từng bài.

f ( x) ≥ 0

−b
a

trái dấu a

cùng dấu a

vơ nghiệm, vơ số nghiệm,... ta nhớ:

a = 0
⇔
b < 0

vơ số nghiệm

a = 0
⇔
b ≥ 0

Trường hợp khác nghiệm là nửa khoảng tùy

Các dạng <0 ; >0 ; ≤0 làm tương tự
3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Việc tìm min hoặc max của bài tốn thực chất là tìm các giao điểm bằng đồ thị và thay số vào thơi.
4. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
f ( x) = ax + bx + c ( a ¹ 0) .
2

Cho

a < 0
f (x) ≤ 0 ⇔ 
∆ ≤ 0

điều kiện để

Trường hợp

∆>0

a > 0
f (x) > 0 ⇔ 
∆ < 0

5. CUNG VÀ GÓC LƯNG GIÁC
10 =

p
rad
180

và

ỉ
ư
180÷
1rad = ç
.
÷
ç
÷
ç
èp ø

;

a > 0
f (x) ≥ 0 ⇔ 
∆ ≤ 0

;

ta tìm nghiệm của phương trình f(x)=0 rồi nhớ câu trong trái

ngồi cùng. Ok
0

;

a < 0
f ( x) < 0 ⇔ 
∆ < 0

Góc phần tư
Giá trị lượng
giác

I

II

III

IV

cosa

+

-

-

+

sina

+

+

-

-

tana

+

-

+

-

cota

+

-

+

-


l = Ra.

với l là độ dài cung tròn bán kính R có số đo α rad

6. GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau
2

1+ tan2 a =

2

sin a + cos a = 1

1
,
cos2 a

1+ cot2 a =

Nhớ câu cos đối, sin bù, phụ chéo, tan cot hơn kém

1
,
sin2 a tan a.cot a = 1,

π

sin2a = 2sin acosa

7. CÔNG THỨC LƯNG GIÁC

cos2a = cos2 a- sin2 a = 2cos2 a- 1= 1- 2sin2 a
2tan a
tan2a =
.
1- tan2 a

cos( a- b) = cosacosb+ sin asin b
cos( a+ b) = cosacosb- sin asin b
sin( a- b) = sin acosb- cosasin b
sin( a + b) = sin acosb+ cosasin b
tan a- tan b
1+ tan atan b
tan a+ tan b
tan( a + b) =
.
1- tan atan b

tan( a- b) =

u +v
u- v
cos
2
2
u +v
u- v
cos u - cos v = - 2 sin
sin
2
2
u +v
u- v
sin u + sin v = 2sin
cos
2
2
u +v
u- v
sin u - sin v = 2 cos
sin
.
2
2
cos u + cos v = 2 cos

1
cosacosb = é

cos( a- b) + cos( a + b) ù
û
2ë
1
sin asin b = é
cos( a- b) - cos( a + b) ù
û
2ë
1
sin acosb = é
sin( a- b) + sin( a + b) ù
û.
2ë

Một số mẹo bấm máy tính.
sinx = a;cosx = a;tanx = a

Khi đề bài cho
bắt tìm các yếu tố liên quan tới góc a ta chỉ
việc bấm shift sin, cos, tan tương ứng rồi lưu lại bằng shift Sto A. sau đó nhập
hàm cần tính là ok
Lưu ý bài tốn cho cotx=a trước hết ta chuyển về tanx=1/a rồi bấm như
trên
Cẩn trọng với những bài cho ở góc phần tư thứ 2 trước khi lưu biến ta phải
lấy 180 trừ đi cái mình vừa bấm shift sin, cos, tan
Đối với các bài tốn cho 3 góc trong 1 tam giác ta chỉ việc chọn góc sao cho
tổng bằng 180 là ok
Với các bài tốn rút gọn biểu thức ta chỉ việc bấm máy nếu bài cho số trước
nếu bài có ẩn ta chọn ẩn là 1 số( thường chọn số 1)
A

8. CÁC HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM
b
c
GIÁC
B

a

C


ABC

Cho tam giác

có

BC = a, AC = b

và

AB = c

.

a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A;
b2 = c2 + a2 - 2ca.cos B;
2

2

2

c = a + b - 2ab.cosC.

cos A =

b2 + c2 - a2
c2 + a2 - b2
a2 + b2 - c2
; cos B =
; cosC =
.
2bc
2ca
2ab

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sinC

ma2 =

b 2 + c 2 a 2 2 a 2 + c 2 b2 2 a 2 + b 2 c 2
; mb =
; mc =

.
2
4
2
4
2
4

1
1
1
1
1
1
abc
S = aha = bhb = chc = bc sin A = ca sin B = ab sin C =
= pr = p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) .
2
2
2
2
2
2
4R

9. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG
Đường thẳng

D

đi qua điểm

tham số của đường thẳng
thẳng

D

r
u = ( a;b)

có VTCP

Đường thẳng

D

D

có dạng

và có VTCP
ïìï x = x0 + at
í
ïïî y = y0 + bt

thì có hệ số góc

đi qua điểm

quát của đường thẳng

M 0 ( x0 ; y0 )

D

M 0 ( x0 ; y0 )

có dạng

r
u = ( a;b) ¾¾
®

phương trình

tÎ ¡ .

Nhận xét. Nếu đường

b
k= .
a

và có VTPT

r
n = ( A; B) ¾¾
®

A ( x - x0 ) + B ( y- y0 ) = 0

phương trình tổng

Ax + By +C = 0

hay

với

C = - Ax0 - By0.

Nhận xét. ● Nếu đường thẳng
● Nếu
x y
+ =1
a0 bo

A, B, C

đều khác

a0 =-

với

C
C
, b0 = A
B

0

D

có VTPT

r
n = ( A; B)

k =-

thì có hệ số góc

A
.
B

thì ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng

.

Phương trình này gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường


thẳng này cắt

Ox

và

Oy

tại

M ( a0 ;0)

N ( 0;b0 ) .

và

D1 : a1x + b1 y + c1 = 0

Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát là
D 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0

.

Tọa độ giao điểm của
Cho hai đường thẳng

uu
r
n2 = ( a2 ;b2 )

và

D1

và

D2

là nghiệm của hệ phương trình:

D1 : a1x + b1 y + c1 = 0

có VTPT

ïìï a1x + b1 y + c1 = 0
.
í
ïïî a2 x + b2 y + c2 = 0

ur
n1 = ( a1;b1) D 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0

;

có VTPT

.
uu
ruu
r
n1.n2
ur uu
r
a1.a2 + b1.b2
cosa = cos n1, n2 = ur uu
.

r = 2
a1 + b12 . a22 + b22
n1 . n2

(

)

Khi đó
Khoảng cách từ
d ( M 0, D ) =

M 0 ( x0 ; y0 )

ax0 + by0 + c
a2 + b2

đến đường thẳng

D : ax + by + c = 0

được tính theo công thức

.

D1 : a1x + b1 y + c1 = 0

D 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0

Nhận xét. Cho hai đường thẳng

và
cắt nhau thì
phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:
a1x + b1y + c1
2
1

2
1

a +b

=±

a2x + b2 y + c2
a22 + b22

.

10. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG TROØN
Trong mặt phẳng
2

Oxy

, đường tròn

( C)

tâm

I ( a;b) ,

bán kính

R

có phương trình:

2

( x - a) +( y- b) = R 2.

Phương trình

x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0

là phương trình của đường tròn

( C)

khi


a2 + b2 - c > 0.

Khi đó, đường tròn

Cho đường tròn
với

( C)

( C)

có tâm

có tâm

I ( a;b)

I ( a;b) ,

bán kính

và bán kính

R.

R = a2 + b2 - c.

Đường thẳng

D

là tiếp tuyến

( x0 – a) ( x – x0 ) +( y0 – b) ( y – y0 ) = 0.

M 0 ( x0 ; y0 )

tại điểm

( C)

.

11. PHÖÔNG TRÌNH ELIP
Cho hai điểm cố định

F1

và

F2

với

F1F2 = 2c ( c> 0)

. Tập hợp các điểmy

MF1 + MF2 = 2a
a

( không đổi và
●
●

F1, F2

a> c> 0

F1

) là một đường Elip.

O

F2

là tiêu cự của Elip.

( E) :
● Phương trình chính tắc cuae elip
● Trục đối xứng
● Tâm đối xứng

Ox

O

● Độ dài trục lớn

(chứa trục lớn),

Oy

x2 y2
+ =1

a2 b2

A1 ( - a;0) , A2 ( a;0) , B1 ( 0;- b) , B2 ( 0;b)

2a

. Độ dài trục bé

F1 ( - c;0) , F2 ( c;0)

. ●Tiêu cự

với

a2 = b2 + c2

(chứa trục bé).

.

● Tọa độ các đỉnh

● Tiêu điểm

thỏa mãn

M ( x; y)

là hai tiêu điểm.

F1F2 = 2c

M

2b

.

2c

.

.

.

x