Lý thuyết ổn định Lý thuyết phương trình vi phân

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Mục Lục
Mở đầu....................................................................................................... 3
Chương 1 ................................................................................................... 6
Cơ sở toán học ........................................................................................... 6
1.1

Bài toán ổn định và ổn định hóa.................................................... 6

1.1.1

Bài toán ổn định ..................................................................... 6

1.1.2

Phương pháp hàm Lyapunov.................................................. 8

1.1.3

Bài toán ổn dịnh hóa............................................................... 9

1.2

Bài toán ổn định và ổn định hóa có trễ ........................................ 10

1.2.1

Bài toán ổn định hệ có trễ..................................................... 10

1.2.2

Bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển có trễ........ 13

1.3

Một số bổ đề bổ trợ..................................................................... 13

Chương 2 ................................................................................................. 16
Tính ổn định của hệ phi tuyến không ôtônôm có trễ ................................. 16
Chương 3 ................................................................................................. 22
Tính ổn định của hệ tuyến tính không ôtônôm có trễ hỗn hợp .................. 22
Kết luận.................................................................................................... 32
Tài liệu tham khảo.................................................................................... 33

1


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Một số kí hiệu trong đề tài
   : tập các số thực không âm ;
  n : không gian véc tơ n – chiều với kí hiệu tích vô hướng là .,. và
chuẩn véc tơ là || . ||;
  nr : không gian các ma trận (n  r ) – chiều;
 C([a,b],  n ) :tập tất cả các hàm liên tục trên [a,b] và nhận giá trị trên

n ;
 AT : là ma trận chuyển vị của ma trận A;

 I :là ma trận đơn vị;
  (A): tập tất cả các giá trị riêng của A;
  max(A) : = max{Re  :    (A)};
 A  0: ma trận A xác định không âm;
 A > 0: ma trận A xác định dương;
 BM +(0,  ): tập các hàm ma trận đối xứng, xác định không âm và bị
chặn trên (0,  );
  (A) :=
  (A) :=

1
T
 max (A + A ) được gọi là độ đo của ma trận A;
2

max  AAT 

được gọi là chuẩn theo phổ của ma trận A.

2


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Mở đầu
Lý thuyết ổn định là một trong những tính chất định tính tiêu biểu
của lý thuyết phương trình vi phân và tích phân. Nói một cách hình tượng,
một hệ thống được gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu
các nhiễu bé trong các điều kiện ban đầu hoăc trong cấu trúc của hệ thống

không làm cho hệ thông đó thay đổi quá nhiều so với trạng thái cân bằng
đó. Được bắt đầu nghiên cứu từ những năm cuối thế kỷ 19 bởi nhà toán học
người Nga A. M. Lyapunov, đến nay lý thuyết ổn định đã có những bước
phát triển mạnh mẽ và thu được nhiều thành tựu rực rỡ. Đến những năm
của thập kỷ 60, cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển, người ta
cũng bắt đầu nghiên cứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi là
tính ổn định hóa của các hệ điều khiển, do đó lý thuyết ổn định mà
Lyapunov đề xướng trước tiên càng thể hiện tầm quan trọng của mình
trong sự phát triển liên tục của toán học. Vì những lý do vừa phân tích ở
trên mà cho đến nay tính ổn định đã được nghiên cứu và phát triển như một
lý thuyết toán học độc lập có rất nhiều ứng dụng hữu hiệu trong tất cả các
lĩnh vực từ kinh tế đến khoa học kĩ thuật.
Như chúng ta đã biết, có nhiều phương pháp nghiên cứu tính ổn định
hệ phương trình vi phân. Chẳng hạn như : phương pháp thứ nhất Lyapunov
(hay còn gọi là phương pháp mũ đặc trưng), phương pháp thứ hai
Lyapunov (hay còn gọi là phương pháp hàm Lyapunov), phương pháp xấp
xỉ, phương pháp so sánh, … Mỗi phương pháp đều có ưu điểm, nhược
điểm riêng. Trong đề tài này, chúng em nghiên cứu tính ổn định mũ của hệ
phi tuyến không ôtônôm có trễ và ổn định mũ của hệ tuyến tính không
ôtônôm có trễ hỗn hợp. Không những thế, đây cung là một lý thuyết quan
trọng trong lý thuyết định tính các hệ điều khiển, các hệ động lực. Ngoài ra,
vì hầu hết trong quá trình vật lý, hóa hoc, sinh học, kinh tế, kĩ thuật, …
3


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

thường liên quan đến độ trễ thời gian nên một cách tất nhiên, lớp hệ có trễ
đã thu hút được nhiều sự quan tâm của nhiều nhà toán học.

Để có thể ứng dụng nhiều hơn trong thực tiễn, người ta không chỉ
quan tâm đến việc đưa ra các tiêu chuẩn ổn định cho một lớp hệ có trễ mà
không thể đánh giá được “độ” ổn định của hệ có trễ đó. Một trong những
cách đánh giá ổn định của một hệ có trễ là đánh giá độ ổn định của một hệ
có trễ là đánh giá bằng hàm mũ. Vì vậy, tính ổn định mũ của các hệ có trễ
đã được quan tâm nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây. Đề tài trình
bày một hướng nghiên cứu về tính ổn định mũ. Bố cục của đề tài gồm phần
mở đầu, ba chương và phần tài liệu tham khảo.
Chương 1 là cơ sở toán học. Trong chương này, chúng em giới thiệu
bài toán ổn định và bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân
thường, hệ phương trình vi phân có trễ và một số bổ đề được sử dụng trong
những chương sau của đề tài.
Chương 2 chúng em xin trình bày tính ổn định mũ của hệ phi tuyến
không ôtônôm có trễ. Chương này chúng em tham khảo từ bài báo của các
thầy

P.Niamsup and K.Nlukdasai, V.N.Phat, improved exponential

stability for time-varying systems with nonlinear delayed perturbations,
được đăng trên tạp trí Appl. Math. Comput. 204, pp. 490-495, 2008.
Chương 3 là kết quả nghiên cứu của đề tài. Chương này nghiên cứu
tính ổn định của hệ tuyến tính không ôtônôm có trễ hỗn hợp, bằng cách cải
tiến hàm Laypunov cộng với một số kỹ thuật chứng minh mới, chúng em
đã đưa ra một điều kiện đủ mới cho tính ổn định mũ của hệ tuyến tính
không ôtônôm có trễ hỗn hợp, và ví dụ minh họa.
Cuối cùng chúng em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Mai
Viết Thuận đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo chúng em trong suốt quá trình
nhận và làm đề tài “tính ổn định của hệ phi tuyến không ôtônôm có trễ” tại
khoa Toán – Tin, trường Đại Học Khoa Học – ĐHTN. Đồng thời, chúng
em cũng bày tỏ lòng biết ơn tới những thầy, cô giáo ở khoa Toán – Tin,

4


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

ĐHKH – ĐHTN. Những người chỉ bảo và chuyền đạt những kiến thức và
kinh nghiệm trong những năm vừa qua. Măc dù chúng em đã cố gắng rất
nhiều nhưng vì thời gian và trình độ còn hạn chế nên đề tài này không tránh
khỏi những sai lầm và thiếu sót. Chúng em rất mong nhận được sự chỉ bảo
và những đóng góp của quý thầy cô và các bạn.

5


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Chương 1
Cơ sở toán học
Chương này chúng em xin trình bày một số khái niệm cơ bản về tính
ổn định và tính ổn định hóa được của các lớp hệ phương trình vi phân
thường và lớp hệ phương trình vi phân có trễ. Chúng em cũng nhắc lại một
số kết quả kinh điển và phương pháp nghiên cứu cơ bản.

1.1 Bài toán ổn định và ổn định hóa
1.1.1 Bài toán ổn định
Xét một hệ thống được mô tả bởi hệ phương trình vi phân

x  t   f  t , x  t   , t  0,

(1.1)

Trong đó x (t )   n là véc tơ trạng thái, f :     n   n là hàm véc tơ
cho trước. Xuyên suốt đề tài này ta giả thiết rằng hàm f () thỏa mãn điều
kiện sao cho với mọi  t0 , x0       n hệ (1.1) có nghiệm duy nhất đi qua
điểm  t0 , x0  và nghiệm kéo dài được với mọi t  t0 . Khi đó nghiệm này
được kí hiệu là x  t , t0 , x0  .
Với z  t  là một nghiệm của hệ (1.1), bằng phép đổi biến

y t   x t   z t  ,
Thì hệ (1.1) sẽ được đưa về dạng

y  t  = f  t , y  t   z  t    f  t , z  t   .

(1.2)

Đặt F  t , y  t   = f  t , y  t   z  t    f  t , z  t   thì F  t ,0  = 0 và nghiệm

y  t   0 của hệ (1.2) sẽ tương ứng với nghiệm z  t  của hệ (1.1). Vì vậy,
thay vì nghiên cứu tính ổn định của nghiệm z  t  của hệ (1.1) thì ta nghiên
cứu tính ổn định của nghiệm y  t   0 của hệ (1.2). Chính vì lý do này nên
không mất tính tổng quát ta có thể giả sử f  t ,0  = 0, tức là giả sử hệ (1.1)

6


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

luôn có nghiệm không (nghiệm đồng nhất bằng 0 ). Khi đó, ta có cách định
nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1 [3].
Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định nếu với mọi bất kỳ
, tồn tại số    , t0   0 sao cho với mọi

số   0, t0  0

nghiệm x  t , t0 , x0  của hệ với x0   , thì ta có   0, t0  0 .

Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là
ổn định và tồn tại số  0  0 (phụ thuộc vào

t0 ) sao cho mọi nghiệm

x  t , t0 , x0  với x0   thì lim x  t , t0 , x0  = 0.
x

Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại số

N  0 và số  > 0 sao cho

x  t , t0 , x0   N

   t  t0 

(1.3)

x0 , t  t0

Khi đó N được gọi là hệ số ổn định Lyapunov,  được gọi là số mũ
ổn định. Và  , N được gọi chung là chỉ số ổn định Lyapunov.
Để ngắn gọn, thay vì nói nghiệm không của hệ (1.1) là ổn định (ổn
định tiệm cận ,ổn định mũ) ta sẽ nói hệ (1.1) là ổn định (ổn định tiệm cận ,
ổn định mũ).
Ngay từ những công trình đầu tiên, Lyapunov đã đưa ra một tiêu
chuẩn quan trọng trong tính toán ổn định mũ của hệ tuyến tính ôtônôm

x  t  = x  t  ,

t  0,

7

(1.4)


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

dựa vào các giá trị riêng của  . Cụ thể là hệ (1.4) ổn định mũ khi và chỉ
khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của ma trận A là âm. Một tiêu
chuẩn cổ điển khác là hệ (1.4) ổn định mũ khi và chỉ khi với bất kỳ một ma
trận Q đối xứng, xác định dương, phương trình Lyapunov AT   A = - Q
có nghiệm  đối xứng, xác định dương. Hai kết quả quan trọng này tiêu
biểu cho hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi
phân.
Đó là phương pháp phổ và phương pháp hàm Lyapunov. Trong đề
tài này chúng em sẽ sử dụng phương pháp hàm Lyapunov là phương pháp

chính để nghiên cứu bài toán ổn định và ổn định hóa.

1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov
Ta nhắc lại hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân

x  t  =

f t, x t ,

t 0

(1.5)

Trong đó x  t   n là các véc tơ trạng thái của hệ, f :     n   n là
hàm véc tơ cho trước và giả thiết f  t ,0   0, t  0. kí hiệu  là tập các
hàm tăng chặt a . :      , a  0   0 .

Định nghĩa 1.2.

Hàm V  t , x  :     n   n ,V  t ,0   0, t  0 , khả vi

liên tục được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.5) nếu:
i) V  t , x  là hàm xác định dương theo nghĩa

a .   : V  t , x   a || x || ,   t , x       n ,

ii)

V V
V  t , x  t   :

f  t , x  t    0, với mọi nghiệm

t x

x  t  của hệ (1.5).

8


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Nếu hàm V  t , x  thỏa mãn thêm các điều kiện

iii) b .   : V  t , x   b  || x || ,   t , x       n ,

c .   : V  t , x   c  || x || , với mọi nghiệm x  t  của

iv)

hệ (1.5) thì ta gọi hàm V  t , x  là hàm Lyapunov chặt của hệ
(1.5).
Sau đây là hai định lý ổn định của Lyapunov được nhắc lại trong[14].

Định lý 1.1.

Nếu hệ (1.5) có hàm Lyapunov thì hệ là ổn định. Hơn

nữa, nếu ham Lyapunov là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận.

Định lý 1.2.

Nếu hệ (1.5) có hàm thỏa mãn:

i) 1 , 2  0 : 1 || x || V  t , x   2 || x ||,   t , x       n ,
ii)   0 : V  t , x  t    2V  t , x  t   với mọi nghiệm x  t  của hệ
(1.5), thi hệ (1.5) là ổn định mũ với  , N 

2
là các chỉ số ổn định
1

Lyapunov.

1.1.3 Bài toán ổn định hóa
Xét một hệ điều khiển được mô tả bởi hệ phương trình vi phân

x  t   f  t , x  t  , u  t   , t  0,

9

(1.6)


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Trong đó x  t    n là véc tơ trạng thái, u  t    m là véc tơ điều khiển.
Hàm điều khiển u . thuộc lớp hàm khả tích bậc hai trên các đoạn hữu hạn

[0,s], s  0 và lấy giá trị trong  m . Hàm f :     n   m   n là hàm
véc tơ cho trước được giả thiết thỏa mãn f  t ,0,0   0, t  0.

Định nghĩa 1.3

Hệ điều khiển (1.6) được gọi là ổn định hóa được nếu

như tồn tại hàm g :  n   m sao cho hệ phương trình vi phân sau (thường
gọi là hệ đóng, closed – loop system)





x  t   f t , x  t  , g  x  t   , t  0,

(1.7)

Là ổn định tiệm cận. Hàm u  t   g  x  t   được gọi là hàm điều khiển
ngược của hệ.

Định nghĩa 1.4.

Hệ điều khiển (1.6) được gọi lầ ổn định hóa được dạng

mũ nếu như tồn tại hàm g :  n   m sao cho hệ phương trình vi phân (1.7)
là ổn định mũ.
Nếu một hệ ổn định mũ (hoặc ổn định hóa được dạng mũ) với tốc độ hội tụ
mũ  cho trước thì hệ đó được gọi là hệ  - ổn định (hoặc  - ổn định hóa
được).

1.2 Bài toán ổn định và ổn định hóa có trễ
1.2.1 Bài toán ổn định hệ có trễ
Chúng em thấy rằng hệ phương trình vi phân thường (1.1) mô tả mối
quan hệ giữa biến thời gian t , trạng thái của hệ thống x  t  và vận tốc thay

10


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

đổi của trạng thái x  t  tại cung một thời điểm t . Song trên thực tế, các quá
trình xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên quan tới quá khứ, đều mang ít
nhiều tính di truyền. Vì vậy khi mô tả các quá trình này, chúng sẽ được
biểu diễn bằng các phương trình vi phân có trễ.
Giả sử một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ  0  h    .
Với x . là một hàm liên tục trên   , nhận giá trị trong  n , chúng ta xây
dựng hàm xt  C : C  h,0 ,  n  như sau xt  s   x  t  s  , s   h,0.
Như vậy, xt là một đoạn quỹ đạo trên t  h, t  của hàm x . với chuẩn
trong C được xác định bởi || xt || sup || x  t  s  || . Khi đó hệ phương trình
s  h ,0 

có trễ
mô tả sự phụ thuộc của vận tốc thay đổi tại thời điểm t vào trạng thái của
hệ thống trong khoảng thời gian trước đó t  h, t  được cho dưới dạng

x  t   f  t , xt  , t  0,

(1.8)

Trong đó f :    C   n . Một nghiệm x . của hệ (1.8) đi qua
điểm  t0 ,      C được ký hiệu x  t ,  . Khi đó, hàm giá trị ban đầu của
nghiệm này trong khoảng

xt0  t0 ,   s   x  t0  s     s 

t0  h, t0 .

chính là hàm  , tức là

s    h,0. Ta cũng giả thiết rằng hàm

f  . thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi điểm  t0 ,      C hệ (1.8) có
nghiệm duy nhất đi qua điểm này và nghiệm kéo dài được với mọi t  0 .
Tương tự như các hệ phương trình vi phân thường, ta cũng giả thiết

f  t ,0   0 , tức là hệ (1.8) có nghiệm không. Khi đó, ta cũng có các khái
niệm ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ cho hệ (1.8) như sau:

11


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Định nghĩa 1.5
Nghiệm không của hệ (1.8) được gọi là ổn định nếu với mọi

  0 ,với mọi t0    ,tồn tại số     t0 ,    0 sao cho với mọi nghiệm

x  t ,  với   C thỏa mãn ||  ||  thì x  t ,    , t  t0 .

Nghiệm không của hệ (1.8) được gọi là ổn định tiệm cận nếu no là
ổn định và tồn tại số    0  t0   0

sao cho với mọi nghiệm x  t , 

với   C thỏa mãn ||  ||  0 thì lim || x  t ,  || 0 .
t 

Nghiệm không của hệ (1.8) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại một
số N  0 và số   0 sao cho mọi nghiệm x  t ,  của hệ thỏa mãn

|| x  t ,  || Ne

   t  t0 

||  || ,

t  t0 .

Để ngắn gọn, thay vì nói là nghiệm không của hệ (1.8) là ổn định (ổn
định tiệm cận, ổn định mũ) ta sẽ nói hệ (1.8) là ổn định (ổn định tiệm
cận,ổn định mũ).
Tương tự như với hệ vi phân thường, ta cũng có phương pháp hàm
Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.8). Cho V :    C   là
một hàm khả vi liên tục và x  t ,  là nghiệm của hệ (1.8). khi đó, trong [6]
đưa ra một tiêu chuẩn ổn định cho sự ổn định hệ (1.8) như sau:

Định lý 1.3.

Giả sử f :    C   n đi từ    (tập bị chặn trong

C) vào tập bị chặn trong  n . Nếu tồn tại hàm khả vi V :    C   sao
cho
i) 1 , 2  0 : 1 || x  t  ||2  V  t , xt   2 || xt ||2 ,
ii) V  t , xt   0 , với mọi nghiệm x  t  của hệ (1.8), thì hệ (1.8) là ổn
định và nghiệm của nó là bị chặn, tức là

12


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

N  0 : x  t ,   N  ,

t  t0 .

Nếu điều kiện ii) được thay bằng điều kiện
iii) 3  0 : V  t , xt   23V  t , xt  , với mọi nghiệm x  t  của hệ
(1.8), thì hệ (1.8) là ổn định mũ và các chỉ số ổn định mũ là   3 và

N

2
.
1

1.2.2 Bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển có trễ

Xét hệ điều khiển có trễ

x  t   f  t , xt , u  t   ,

t  0,

(1.10)

Trong đó x  t   n là véc tơ trạng thái, u  t    m là véc tơ điều khiển,

xt  C , f :    C   m   n là hàm véc tơ cho trước thỏa mãn điều kiện,

f  t ,0,0   0, t  0 . Hàm điều khiển u . thuộc lớp hàm khả tích bậc hai
trên các đoạn hữu hạn  o.s  , s  0 và lấy giá trị trong  m .

Định nghĩa 1.6.

Cho trước   0 . Hệ điều khiển (1.10) được gọi là  -

ổn định hóa được nếu tồn tại hàm g :  n   m sao cho hệ phương trình vi
phân đóng (closed – loop system)



x  t   f t , xt , g  x  t  



(1.11)

Là  - ổn định mũ.

1.3 Một số bổ đề bổ trợ
Chúng em đưa ra một số bổ đề, hệ quả, được trình bày lại trong [2], sẽ
được sử dụng để chứng minh các kết quả chính trong các chương tiếp theo.

13


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Bổ đề 1.1. (bất đẳng thức ma trận Cauchy) Giả sử S   nn là một ma
trận đối xứng, xác định dương. Khi đó với mọi ma trận Q   nn , ta có

2 Qy, x  Sy, y  QS 1QT x, x ,

x, y   n .

Hệ quả 1.1. ta có

x, y   n ,   0 ,

i) 2 x, y   x, x   1 y , y ,

x, y   n , Q   nn .

ii) | 2 Qy, x ||| y ||2  || Qx ||2

Bổ đề 1.2. Giả sử M   mn là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi

đó với mọi   0 và với mọi hàm khả tích  :  0,    n , ta có
T






T
    s  ds  M     s  ds       s  M   s  ds .
0

0

0

Bổ đề 1.3. (Bổ đề Schur). Các điều kiện sau là tương đương

Q
i)  T
S

S 
 0,
 R 

với Q  QT , R  RT ;

ii) R  0, Q  SR 1S T  0 .

Bổ đề 1.4. Cho trước các ma trận với số chiều thích hợp E , F , H trong
đó || F || 1 . Khi đó ta có mệnh đề sau
i)

với mọi   0 ta có

EFH  H T F T E T   EE T   1H T H .
ii)

với mọi ma trận P  0 và một số   0 thỏa mãn

 I  HPH T  0 ta có
T

 A  EFH  P  A  EFH 

1

 APAT  APH T   I  HPH T  HPAT   EE T .

14


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

iii)

với mọi ma trận P  0 và một số   0 thỏa mãn

P   EE T  0 thì
T

 A  EFH 

1

P 1  A  EFH   AT  P   EE T  A   1H T H .

15


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Chương 2
Tính ổn định của hệ phi tuyến không ôtônôm có trễ

Trong chương này, chúng em xin trình bày lại một số kết quả mới
trong việc nghiên cứu tính ổn định của hệ phi tuyến không ôtônôm có trễ.
Đây chính là cơ sở cho những mở rộng ở chương 3.

Xét hệ có nhiễu phi tuyến không ôtônôm có trễ sau





x  t   A  t  x  t   f t , x  t  h  t   ,

x t    t  ,

t  0,

(2.1)

t   h.0 ,

Trong đó x  t    n là các véc tơ trạng thái của hệ, A  t    n là ma trận
hàm liên tục và bị chặn trên   ,   t   C  h,0 ,  n  là hàm điều kiện ban
đầu với chuẩn ||  || sup ||   s  || ; h  t  là hàm trễ khả vi liên tục cho trước
s  h .0

thỏa mãn điều kiện

0  h  t   h , h  t     1 ,

t  0 ,

Và nhiễu phi tuyến f  . thỏa mãn

  0 :

|| f  t , y  ||  || y || ,

t  0, y   n .

Cho các số dương  ,  ,  i , i  1, 2,3 . Ta đặt

P  t   P  t    I ,

  A  sup  A  t   ,
t

1
2

  A  t    max  A  t   AT  t   ,
p  sup || P  t  ||,
t 

16

(2.2)


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

N

p    h 2  2h 2 3e2 h



,   1   2  2   3he 2 h .

Khi đó ta có định lý sau:

Định lý 2.1. Giả sử điều kiện (2.2) được thỏa mãn, và tồn tại các số dương

 ,  , 1,  2 ,  3 ,

P  t   BM   0,   , 1  2   A  0 thỏa mãn hệ phương

trình vi phân Lyapunov sau

P  t   AT  t  P  t   P  t  A  t   2 P  t    I  0

 LDE 

Khi đó hệ (2.1) là ổn định mũ nếu





 2 1     1  2  A
h

 p   e

 . (2.3)

Hơn nữa, nghiệm x  t ,   của hệ thỏa mãn điều kiện

|| x  t ,   || N ||  || e t ,

t   .

Chứng minh. Xét hàm Lyapunov cho hệ (2.1)

V  t , xt   V1  t , x  t    V2  t , xt   V3  t , xt  ,
Trong đó

V1  t , x  t    P  t  x  t  , x  t    || x  t  ||2
t

V2  t , xt    2



e

2  s t 

|| x  s  ||2 ds

t  h t 

0

t

V3  t , xt    3 




e

2  s  h  t 

|| x  s  ||2 dsd

 h t   h t  

Dễ dàng thấy rằng

 || x  t  ||2  V  t , xt  ,

t   .

Ta sử dụng công thức tính đạo hàm

17

(2.4)


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

0

d0 t

f  s  dsd   hf  t    u  t  s  f  u  t  s   ds

dt  h u t 

h


Ta lấy đạo hàm của V  t , xt  theo t dọc theo nghiệm x  t  của hệ ta được:

V1  t , x  t   
 P  t   AT  t  P  t   P  t  A  t   x  t  , x  t   2 P  t  f t , x  t  h  t   , x  t 





  P  t   AT  t  P  t   P  t  A  t   x  t  , x  t   2  p     || x  t  h  t   |||| x  t  ||

(2.5)
2 h t
V2  t , xt   2V2  t , xt    2 || x  t  ||2  2 e   1  h  t  || x  t  h  t   ||2





 2V2  t , xt    2 || x  t  ||2  2 e2 h 1    || x  t  h  t   ||2 (2.6)
0

V3  t , xt   2V3  t , xt    3he2 h || x  t  ||2  3he2 h 1     || x  t  s  h  t  s   || ds
h

 2V3  t , xt    3he

2 h

2

|| x  t  || ,

(2.7)

Từ (2.5),(2,6),(2,7) ta có

V  t , xt   2V  t , xt 
  P  t   AT  t  P  t   P  t  A  t   2 P  t     2   3he 2 h  I  x  t  , x  t 







2  p     || x  t  h  t   |||| x  t  ||  2e 2 h 1    || x  t  h  t   ||2 .
Theo Bổ đề 1.1, ta có

2  p     || x  t  h  t   |||| x  t  ||  2e 2 h 1    || x  t  h  t   ||2
2

 p     2 e 2 h
|| x  t  ||2 ,

 2 1   
Do đó

V  t , xt   2V  t , xt 

18


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

  P  t   AT  t  P  t   P  t  A  t   2 P  t     2   3he 2 h  I  x  t  , x  t 







2

p     2e2 h


|| x  t  ||2 .
 2 1   
Vì P  t  là nghiệm của  LDE  và



 A  t   A t   x  t  , x  t 
T

   A || x  t  ||2 ,

Ta có
2 2 2 h

p

 e 



V  t , xt   2V  t , xt     1  2   A  
 || x  t  ||2 .
 2 1    


Theo giả thiết, ta có

V  t , xt   2V  t , xt  ,

t  0,

Suy ra

V  t , xt   V  0, x0  e2t ,

t  0.

Vì

 || x  t  ||2  V  t , xt  ,

t  0,

Nên

|| x  t ,   ||

V  0, x0 



e  t ,

t  0.

Mặt khác ta cũng có
0

0

V  0, x0    p    h 2  ||  ||  3 




2

e

2  s  h 

|| x  s  ||2 dsd

 h h  t 

  p    h 2  ||  ||2 2h2 3e 2 h ||  ||2
Từ đó, suy ra điều phải chứng minh.

19


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Ví dụ 2.1.
Xét hàm có nhiễu phi tuyến không ôtônôm có trễ (2.1) với hàm điều
kiện ban đầu   t   C  2,0 ,  2  , hàm trễ

h  t   2sin  0.45 t ,
Và



f t, x t  h t 







 
,
 

  sin  t  x2  t  h  t  

  cos  t  x  t  h  t  
1


 a t 
1 
At   

 1 a  t  
Trong đó

a  t   0.5cos t  10e

 sin t  4

 5.1e sin t  1 .

1
Từ   A   sup max  A  t   AT  t   ,bằng tính toán, ta thu được
t  2





  A   sup 0.5cos t  10e  sin t 4  5.1e sin t  1  203,731
t 

Cho   0,1, 1  10e4 ,  2  10,  3  5, và   1 . Khi đó với những ký hiệu
như trong Định lý 2.1 , ta có h  2,   0,9 và   0,5 . Khi đó

  20e 4  10,2 và  1  10e4  2   A   2  0,1 203,731  40,7462
Chúng ta có thể kiểm tra được rằng nghiệm P  t  của phương trình  LDE 
là:

 esin t
P t   
 0

0 
,
e 
sin t

Ta có p  sup || P  t  ||  và
t 



 2 1    1  2  A

 p    e h



10 1  0,9  10e4  2  0,1 203,731 

  0,1 e 2

 63,5

Ta rễ dàng kiểm tra được tất cả các điều kiện trong Định lý 2.2 được
thỏa mãn. Do đó hệ là ổn định mũ và nghiệm của hệ được thỏa mãn

20


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

|| x  t ,  || N ||  || e t ,
Với

N

p    h 2  2h2 3e 2 h



21

.

t   ,


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Chương 3
Tính ổn định của hệ tuyến tính không ôtônôm có trễ
hỗn hợp
Trong chương này, là một số kết quả nghiên cứu về tính ổn định mở
rộng cho các hệ tuyến tính không ôtônôm có trễ hỗn hợp.

Xét hệ tuyến tính không ôtônôm có trễ hỗn hợp
t

x  t   A  t  x  t   A1  t  x  t  h  t    A2  t 

 x  s  ds

(3.1)

t k  t 

x  t     t  , t    h,0  ; h  max h, k  ,
Trong đó x  t   n là véc tơ trạng thái, A  t  , A1  t  A2  t  là các hàm ma





trận liên tục ( cho trước ) trên   và   t   C   h,0  ,  n là hàm điều
kiện ban đầu với chuẩn cho bởi

||  || sup ||   s  || .
s h ,0 

Các hàm h  t  , k  t  là những hàm trễ khả vi liên tục thỏa mãn

0  h  t   h,

h  t     1 ,

t  0,

0  k t   k .
Cho các số dương  ,  , 1 ,  2 , h, k , ta đặt .

  A   sup   A  t   ,   A1   sup  A1  t   ,
t 

t

  A2   sup  A2  t   ,

p  sup P  t  ,

P  t   P  t    I ,

A t   A  t    I ,

t 

t 

22


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

1

R  t   11 1    e2 h A1  t  A1T  t    2 1ke2 k A2  t  A2T  t 

Q  t   1   2 k  I ,

k2
p     1h   2
2 ,

N



Khi đó ta có định lý sau:

Định lý 3.1. Cho trước số   0 . Hệ (3.1) là   ổn định nếu tồn tại số

  0 , ma trận P  t  đối xứng ,xác định không âm và bị chặn đều,và các

số dương  1,  2 , sao cho phương trình Riccati sau được thỏa mãn:
T

P  t   P  t  A  t   A  t  P  t   P  t  R  t  P  t   Q  t   0  RDE1
Hơn nữa, nghiệm x(t ,  ) của hệ thỏa mãn

|| x(t , ) || N ||  || e t , t    .

Chứng minh:

V  t , xt   V1  t , x  t    V2  t , xt   V3  t , xt   V4  t , xt  ,
Trong đó

V1  t , x  t    xT  t  P  t  x  t  ,

V2  t , xt   xT  t   x  t  ,
t

V3  t , xt   1

e



2  s  t 

|| x  s  ||2 ds ,

t  h t 

0

V4  t , xt    2 

t

e

2   t 

|| x   ||2 d ds ,

k t s

Dễ thấy

1 || xt ||2  V  t , xt   2 || xt ||2 ,

23


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Trong đó

1   ,
k2
2  p    h1   2 ,
2

Lấy đạo hàm của V1  t , x  t   ,V2  t , xt  dọc theo quỹ đạo x  t  của hệ,
Ta có:
V1  t , x  t    V2  t , xt   P  t  x  t  , x  t   2 P  t  x  t  , x  t   2  x  t  , x  t 

 P  t  x  t  , x  t   2 P  t  A  t  x  t  , x  t   2 P  t  A1  t  x  t  h  t   , x  t 
t

2 P  t  A2  t 

 x  s  ds, x  t 

 2 A  t  x  t  , x  t 

t kt 

t

2 A1  t  x  t  h  t   , x  t   2 A2  t 

 x  s  ds, x  t 

t k  t 

 P  t  x  t  , x  t   2 P  t  A  t  x  t  , x  t   2 P  t  A1  t  x  t  h  t   , x  t 
t

2 P  t  A2  t 

 x  s  ds, x  t 

t k  t 

Trong đó

P  t   P  t    I ,
Ta có

2 P  t  A  t  x  t  , x  t    P  t  A  t   AT  t  P  t   x  t  , x  t  ,
Sử dụng Hệ quả 1.1 :

2 x, y   0 x, x   0 1 y, y , x, y   n ,  0  0

24

,


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Ta có
t

2 P  t  A2  t 



t

x  s  ds, x  t   2 xT  t  P  t  A2  t 

t k t 

 x  s  ds

t  k t 

  2 1ke2 k xT  t  P  t  A2  t  A2T  t  P  t  x  t 
T

1 2 k

 2 k e

 t

  x  s  ds 
 t k t 




 t

  x  s  ds  ,
 t  k t 




Ta có
T

 t

  x  s  ds 
 t kt 




t
 t

  x  s  ds   k  t   xT  s  x  s  ds
 t k  t 

t k  t 


t

 k t 



|| x  s  ||2 ds

t k  t 

0

k



|| x  t  s  ||2 ds

 k t 
0

 k  || x  t  s  ||2 ds .
k

Suy ra
t

2 P  t  A2  t 

 x  s  ds, x  t 

  2 1ke2 k xT  t  P  t  A2  t  A2T  t  P  t  x  t 

tkt 

0
1 2 k

 2 k e

k  || x  t  s  ||2 ds
k
0

1

  2 ke

2 k

T

T

x  t  P  t  A2  t  A2  t  P  t  x  t    2e

2 k

 || x  t  s  ||
k

Suy ra

25

2

ds .