Một số dạng toán về phương trình bậc hai

Một số dạng toán về phương trình bậc hai cơ bản
Dạng 1: Giải và biện luận phương trình bậc hai
Phương pháp: Cho phương trình
1)
.
2)
:
+

phương trình có hai nghiệm phân biệt

+
+

phương trình có nghiệm kép
phương trình vô nghiệm.

\\

Ví dụ 1: Giải các phương trình:
a)
b)
.
c)
Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình:
a)
b)
.
c)
d)
Dạng 2: Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm}

Phương pháp: Cho phương trình:
. Tìm điều kiện của tham số sao cho:
Loại 1:Phương trình vô nghiệm
Loại 2: Phương trình nhận mọi x làm nghiệm

\\

Loại 3: Phương trình có nghiệm
Loại 4: Phương trình có nghiệm duy nhất
Loại 5: Phương trình có nghiệm kép
Loại 6: Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
Ví dụ 3: Cho phương trình
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu
là độ dài 3 cạnh của tam giác thì phương
trình
vô nghiệm.


Dạng 3: Định lý Viet và ứng dụng
Định lý Viet: Nếu phương trình bậc hai

có hai nghiệm

thì ta

có

Bài toán 1: Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng.}
Phương pháp: Nếu hai số

có

thì

là nghiệm của phương trình

Chú ý: Nếu (1) có hai nghiệm
thì ta được
$\left[\begin{array}{l} u=t_1 \& v=t_2\\ u=t_2 \& v=t_1 \end{array}\right.$
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình
Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm
Ví dụ 4: Gọi
là các nghiệm của phương trình
thức:

. Tính giá trị của các biểu

a)
b)
latex
c)
Ví dụ 5: Tìm m để phương trình
có hai nghiệm
thỏa mãn điều
kiện

.
Bài toán 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số}
Phương pháp:
Bước 1: Tìm đk của m để pt có nghiệm.
Bước 2: Áp dụng định lý Viet tính
Bước 3: Khử m từ hệ trên được hệ thức cần tìm.
Ví dụ 6: Cho phương trình
.
a) Tìm để phương trình có nghiệm.
b) Với m tìm được ở câu a), hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm
vào .
Ví dụ 7: Cho phương trình
.
a) Chứng minh rằng với mọi
phương trình luôn có nghiệm.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc vào m.

không phụ thuộc


Bài toán 4: Xác định dấu các nghiệm của phương trình
Phương pháp:
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu:
\\
b) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu:

c) Phương trình có hai nghiệm dương:

.\\

.\\

d) Phương trình có hai nghiệm âm:
.
Ví dụ 8: Cho phương trình
. Tìm m để phương trình:
a) có hai nghiệm trái dấu
b) có hai nghiệm cùng dấu
c) có hai nghiệm cùng dương
d) có hai nghiệm cùng âm
e) có hai nghiệm cùng âm
f) có đúng một nghiệm dương
g) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số để nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều
kiện K cho trước
Phương pháp:
Bước 1: Tìm đk để pt có nghiệm
.
Bước 2: Áp dụng định lý Viét ta được:
Bước 3: Biểu diễn điều kiện K thông qua hệ (I).

(I).

Dạng 4: Một số bài toán khác
Bài toán 1: Lập phương trình bậc hai
Ví dụ 9: Cho biết
là nghiệm của phương trình bậc hai
trình bậc hai có hai nghiệm là:
a)
và

b)
và
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau:
a)
b)
c)
e)
Bài 2:

. Hãy lập phương


Cho phương trình
a) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3:Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn có hai nghiệm phân
biệt
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:
a)
b)