Phương Trình Hàm Nguyễn Văn Mậu (Sách xuất bản năm 1997)

Nguyễn Văn Mậu

PHƯƠNG TRÌNH HÀM

NXBGD 1997


Mục lục
1 Một số tính chất cơ bản của hàm số
1.1

Hàm số chẵn hàm số lẻ

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.1

Hàm tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.2

Hàm phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Mối liên hệ giữa các hàm tuần hoàn cộng tính và nhân tính

1.5

Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp

. . . . . 10

. . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Phương trình hàm với cặp biến tự do

16

2.1

Hàm số chuyển đổi các phép tính số học . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2

Hàm số chuyển đổi các đại lương trung bình . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3

Hàm số sinh bởi các đặc trưng hàm của các hàm số luợng giác, Hyperbolic và lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4

Một số dạng khác của phương trình hàm với cặp biến tự do . . . . . 60

2.5

Phương trình với nhiều ẩn hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3 Phương trình hàm với phép biến đổi đối số

75

3.1

Hàm số xác định bởi các phép biến đổi tịnh tiến và đồng dạng . . . . 75

3.2

Hàm số xác định bởi các phép biến đổi phân tuyến tính . . . . . . . . 90

3.3

Hàm số xác định bởi các phép biến đổi đại số . . . . . . . . . . . . . 103

3.4

Phương trình trong lớp các hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . 116

2


Chương 1
Một số tính chất cơ bản của hàm
số
1.1

Hàm số chẵn hàm số lẻ

Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R và tập giá trị R(f ) ⊂ R

a) f (x) được gọi là hàm số chẵn trên M, M ∈ D(f ) (gọi tắt là

Định nghĩa 1.

hàm chẵn trên M ) nếu
∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f (−x) = f (x), ∀x ∈ M
b) f (x) được gọi là hàm số lẻ trên M (gọi tắt là hàm lẻ trên M ) nếu
∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M
Bài toán 1. Cho x0 ∈ R. Xác định tất cả các hàm số f (x) sao cho
f (x0 − x) = f (x),

Giải. Đặt x =

x0
2

− t suy ra t =

x0
2

∀x ∈ R

(1.1)

− x. Khi đó

x0 − x =

x0
+t
2

và (1.1) có dạng
f

x0
x0
+t =f
− t , ∀t ∈ R
2

2
3

(1.2)


4

Chương 1.Một số tính chất cơ bản của hàm số

Đặt g(t) = f

x0
2

+ t thì
x0
x2
− t , f (t) = g t −
2
2

g(−t) = f

Khi đó (2) có dạng g(−t) = g(t), ∀t ∈ R. Vậy g(t) là hàm chẵn trên R.

Kết luận.
f (x) = g x −

x0

,
2

trong đó g(x) là hàm chẵn tuỳ ý trên R.

Bài toán 2. Cho a, b ∈ R. Xác định tất cả các hàm số f (x) sao cho
f (a − x) + f (x) = b,
Giải. Đặt

∀x ∈ R

(1.3)

a
− x = t, khi đó
2
a
a
− t; và a − x = + t
2
2

x=
Khi đó (3) có dạng
f

a
a
+ t +f
−t =b

2
2

Đặt
f

a
b
+t
= g(t)
2
2

Khi đó có thể viết (4) dưới dạng
g(−t) + g(t) = 0,

∀t ∈ R

hay là
g(−t) = −g(t),

∀t ∈ R

Vậy g(t) là hàm số lẻ trên R.

Kết luận.
f (x) = g x −
trong đó g(x) là hàm lẻ tuỳ ý trên R.

a

b
+
2
2

(1.4)


1.2. Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn

5

Bài tập
1. Cho f (x) là một hàm số đồng thời vừa chẵn vừa lẻ trên R. Chứng minh rằng
f (x) ≡ 0.
2. Chứng minh rằng mọi hàm số xác định trên R đều có thể viết được dưới
dạng hiệu của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ, xác định trên R
3. Cho hàm số f (x) xác định trên R. Xác định hàm số g(x) biết rằng đồ thị của
hàm số này đối xứng với đồ thị của hàm số đã cho qua đường thẳng x = x0
cho trước.
4. Cho hàm số f (x) xác định trên R. Xác định hàm số g(x) biết rằng đồ thị
của hàm số này đối xứng với đồ thị của hàm số đã cho qua điểm M (x0 , y0 )
cho trước.
5. Biết rằng đồ thị của đa thức P (x) có tâm đối xứng. Chứng minh rằng đồ thị
của đa thức P (x) có trục đối xứng.
6. Biết rằng đồ thị của đa thức có trục đối xứng. Chứng minh rằng đồ thị của
đa thức P (x) có tâm đối xứng.
7. Cho đồ thị của hàm số bậc ba f (x) = x3 + ax2 + bx + c. Một đường thẳng cắt
đồ thị tại ba điểm A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ) sao cho |AB| = |BC|. Chứng
minh rằng

f (x2 − x) + f (x2 + x) = 2y2 , ∀x ∈ R

1.2

Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn

Định nghĩa 2.

a) Hàm số f (x) được gọi là hàm tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ

a, (a > 0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và
∀x ∈ M ⇒ x± ∈ M
f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M
b) Cho f (x) là một hàm tuần hoàn trên M . Khi đó T (T > 0) được gọi là chu kỳ
cơ cở của f (x) nếu f (x) tuần hoàn với chu kỳ T mà không là hàm tuần hoàn


6

Chương 1.Một số tính chất cơ bản của hàm số
với bất cứ chu kỳ nào bé hơn T .

Bài toán 3. Tồn tại hay không tồn tại một hàm số f (x) ≡ hằng số, tuần hoàn trên
R nhưng không có chu kỳ cơ sở.
Giải. Xét hàm Dirichle
f (x) =

0, khi x ∈ Q
1, khi x ∈
/Q

Khi đó f (x) là hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a ∈ Q∗ tuỳ ý. Vì trong Q∗ không có
số nhỏ nhất nên hàm f (x) không có chu kỳ cơ sở.

Bài toán 4. Cho cặp hàm f (x), g(x) tuần hoàn trên M có các chu kỳ lần lượt là a
a
và b với ∈ Q. Chứng minh rằng F (x) := f (x)g(x) cũng là những hàm tuần hoàn
b
trên M .
am
. Đặt T = na = mb, khi
Giải. Theo giả thiết ∃m, n ∈ N+ , (m, n) = 1 sao cho
bn
đó
F (x + T ) = f (x + na) + g(x + mb) = f (x) + g(x) = F (x),
G(x + T ) = f (x + na)g(x + mb) = f (x)g(x) = G(x),

∀x ∈ M
∀x ∈ M

Hơn nữa, dễ thấy ∀x ∈ M thì x ± M . Vậy F (x), G(x) là những hàm tuần hoàn trên
M.

Định nghĩa 3.

a) Hàm số f (x) được gọi là phản tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ

b, (b > 0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và
∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M
f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M

(1.5)

b) Nếu f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b0 trên M mà không là hàm phản
tuần hoàn với bất cứ chu kỳ nào bé hơn b0 trên M thì b0 được gọi là chu kỳ cơ
sở của hàm phản tuần hoàn f (x) trên M .
Bài toán 5. Chứng minh rằng mọi hàm phản tuần hoàn trên M cũng là hàm tuần
hoàn trên M .


1.2. Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn

7

Giải. Theo giả thiết, tồn tại b > 0 sao cho ∀x ∈ M thì x ± b ∈ M và
f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M
Suy ra với mọi x ∈ M thì x ± 2b ∈ M và
f (x + 2b) = f (x + b + b) = −f (x + b) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M
Vậy f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2b trên M .
Bài toán 6. Chứng minh rằng f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M khi
và chỉ khi f (x) có dạng
f (x) = g(x + b) − g(x)

(1.6)

với g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M

Giải. Thật vậy, với f (x) thoả mãn (6) ta có
f (x + b) = g(x + 2b) − g(x + b)
= g(x) − g(x + b)

= −(g(x + b) − g(x))
= −f (x), ∀x ∈ M
Hơn nữa, ∀x ∈ M thì x± ∈ M . Do đó f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M .

Ngược lại, với f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M chọn g(x) = − 21 f (x)
thì g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M (Bài toán 3) và
1
1
g(x + b) − g(x) = − f (x + b) − − f (x)
2
2
1
1
= − (−f (x)) + f (x)
2
2
= f (x), ∀x ∈ M


8

Chương 1.Một số tính chất cơ bản của hàm số

Bài tập
1. Chứng minh rằng hàm số f (x) = tan x không là hàm phản tuần hoàn trên
R { π2 + kπ, k ∈ Z}
2. Chứng minh rằng 2π là chu kỳ cơ sở của hàm số f (x) = cos x.
3. Cho f (x) là một hàm số phản tuần hoàn có chu kỳ cơ sở b trên R. Hỏi kết
luận sau đây có đúng không: f (x) là hàm tuần hoàn có chu kỳ cơ sở 2b trên
R?

4. Chứng minh rằng sin x2 không phải là một hàm tuần hoàn trên R.
5. Cho f (x), g(x) là các hàm số liên tục và tuần hoàn có chu kỳcơ sở a và b,
tương ứng, trên R. Biết rằng F (x) := f (x) + g(x) cũng là một hàm tuần hoàn
trên R. Chứng minh rằng

1.3
1.3.1

a
b

∈ Q.

Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính
Hàm tuần hoàn nhân tính

Định nghĩa 4. f (x) được gọi là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a (a ∈
/ {0, 1, −1})
trên M nếu M ⊂ D(f ) và
∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M
f (ax) = f (x), ∀x ∈ M
Ví dụ 1. Xét f (x) = sin(2π log2 x). Khi đó f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu
kỳ 2 trên R+ .
Thật vậy, ta có ∀x ∈ R+ thì 2±1 x ∈ R+ và
f (2x) = sin(2π log2 (2x))
= sin(2π(1 + log2 x))
= sin(2π log2 x)
= f (x), ∀x ∈ R∗

1.3. Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính

9

Bài toán 7. Cho f (x), g(x) là hai hàm số tuần hoàn nhân tính chu kỳ a và b, tương
ứng trên M và
ln |a|
m
= , m, n ∈ N+
ln |b|
n
Chứng minh rằng F (x) := f (x) + g(x) và G(x) := f (x)g(x) là những hàm tuần
hoàn nhân tính trên M .
Giải. Từ giả thiết suy ra |a|n = |b|m . Ta chứng minh T := a2n = b2m là chu kỳ của
F (x) và G(x). Thật vậy, ta có
F (T x) = f (a2n x) + g(b2m x) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M
G(T x) = f (a2n x)g(b2m x) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M
Hơn nữa, ∀x ∈ M thì T ±1 x ∈ M . Do đó F (x) và G(x) là những hàm tuần hoàn
nhân tính trên M .

1.3.2

Hàm phản tuần hoàn nhân tính

Định nghĩa 5. f (x) được gọi là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ a (a ∈
/
{0, 1, −1}) trên M nếu M ⊂ D(f ) và
∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M
f (ax) = −f (x), ∀x ∈ M
Bài toán 8. Chứng minh rằng mọi hàm phản tuần hoàn nhân tính trên M cũng là

hàm tuần hoàn nhân tính trên M .
Giải. Theo giả thiết, ∃b ∈
/ {0, ±1} sao cho ∀x ∈ M thì b±1 ∈ M và
f (bx) = −f (x), ∀x ∈ M
Suy ra ∀x ∈ M thì (b2 )±1 x ∈ M và
f (b2 x) = f (bbx) = −f (bx) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M
Như vậy, f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M .


10

Chương 1.Một số tính chất cơ bản của hàm số

Bài toán 9. Chứng minh rằng f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ
b, (b ∈
/ {0, ±1}) trên M khi và chỉ khi f (x) có dạng
1
f (x) = (g(bx) − g(x))
2

(1.7)

trong đó g(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M .
Giải. Thật vậy, nếu f (x) có dạng (7) thì
1
f (bx) = {g(b2 x) − g(bx)}
2
1
= {g(x) − g(bx)}
2

1
= {(g(bx) − g(x))}
2
= −f (x), ∀x ∈ M
Hơn nữa, ∀x ∈ M thì b±1 x ∈ M . Do đó f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu
kỳ b trên M .
Ngược lại, giả sử f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên M . Khi
đó g(x) = −f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M (Bài toán 2) và
1
1
(g(bx) − g(x)) = (−f (bx) − (−f (x)))
2
2
1
= (−(−f (x)) + f (x))
2
= f (x), ∀x ∈ M

1.4

Mối liên hệ giữa các hàm tuần hoàn cộng tính
và nhân tính

Bài toán 10. Cho a = 0, a = ±1. Xác định các hàm f (x) sao cho
f (ax) = f (x), ∀x ∈ R

(1.8)

Giải. Xét các trường hợp a > 0 và a < 0.
(i) Với a > 0.

Xét x > 0. Đặt x = at và f (at ) = h1 (t). Khi đó t = loga x và (1) tương đương với
h1 (t + 1) = h1 (t), ∀t ∈ R


1.4. Mối liên hệ giữa các hàm tuần hoàn cộng tính và nhân tính

11

Xét x < 0, đặt −x = at và f (−at ) = h2 (t). Khi đó t = loga |x| và (1) tương đương
với
h2 (t + 1) = h2 (t), ∀t ∈ R
(ii) Với a < 0.
Khi đó f (a2 x) = f (x) và mọi nghiệm của (1) được cho bởi công thức
1
f (x) = {g(x) + g(ax)}
2
trong đó
g(a2 x) = g(x), ∀x ∈ R

(1.9)

Thật vây, nếu f (x) có dạng (2) thì ta có
1
f (ax) = {g(ax) + g(a2 x)}
2
1
= {g(ax) + g(x)}
2
= f (x), ∀x ∈ R
Tiếp theo, áp dụng kết quả nhận được trong (2).

Kết luận.
Với a > 0



khi x > 0,
h1 (loga x)
f (x) = c tuỳ ý
khi x = 0,

h (log |x|) khi x < 0.
2
a

trong đó h1 (t), h2 (t) là các hàm tuần hoàn cộng tính tuỳ ý chu kỳ 1 trên R.
1
Với a < 0 : f (x) = {g(x) + g(ax)}, trong đó
2

1


h
loga x
khi x > 0,
3


2
g(x) = d tuỳ ý

khi x = 0,



h4 1 loga |x| khi x < 0.
2
trong đó h3 (t), h4 (t) là các hàm tuần hoàn công tín tuỳ ý chu kỳ 1 trên R.

Bài toán 11. Cho a < 0, a = −1. Xác định các hàm số f (x) sao cho
f (ax) = −f (x), ∀x ∈ R

(1.10)


12

Chương 1.Một số tính chất cơ bản của hàm số

Giải. Từ (3) suy ra f (a2 x) = f (x) với mọi x ∈ R. Vậy mọi nghiệm của (3) có dạng
1
f (x) = {g(x) − g(ax)}
2
trong đó
g(a2 x) = g(x), ∀x ∈ R
Thật vậy, nếu f (x) có dạng đó thì ta có
1
f (ax) = {g(ax) − g(a2 x)}
2
1
= {g(ax) − g(x)}

2
= −f (x), ∀x ∈ R
Ngược lại, với mỗi f (x) thoả mãn (10), chọn g(x) = f (x). Khi đó
g(a2 x) = g(x), ∀x ∈ R
và
1
1
{g(x) − g(ax)} = {f (x) − f (ax)}
2
2
1
= {f (x) + f (x)}
2
= f (x), ∀x ∈ R
Từ kết quả của Bài toán 1 suy ra nghiệm của (3) có dạng
1
f (x) = {g(x) − g(ax)}
2
trong đó

1


h
loga x
khi x > 0,
1


2

g(x) = d tuỳ ý
khi x = 0,


1

h2
loga |x| khi x < 0.
2
với h1 (t), h2 (t) là các hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ 1 trên R.

Nhận xét. Nếu f (x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ a > 0 trên R thì
g(t) = f (ln t), t > 0 là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ ea trên R∗ .
Ngược lại, nếu f (x) là hàm tuần hoàn công tính chu kỳ a, 0 < a = 1 trên R∗ ,
thì g(t) = f (et ) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ ln a trên R.


13

1.5. Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp

Bài tập
1. Cho a > 0, a = 1. Xác định tất cả các hàm f (x) sao cho
f (ax) = f (x) + 2f (−x), ∀x ∈ R
2. Cho a > 0, a = 1. Xác định tất cả các hàm f (x) sao cho
f (ax) = f (x) + f (−x), ∀x ∈ R
3. Cho a > 0, a = 1. Xác định tất cả các hàm f (x) sao cho
f (ax) = 1, ∀x ∈ R
4. Cho hàm số g(x) xác định trên R. Xác định tất cả các hàm số f (x) thoả
mãn điều kiện

f (x) + f (2x) = g(x) + g(2x)
5. Cho hàm số
f (x) =


0

2

1 + tan2 x

khi x = π/2 + kπ, k ∈ Z,
khi x = π/2 + kπ, k ∈ Z

Chứng minh rằng hàm số g(x) = f (x) + f (ax) là hàm tuần hoàn cộng tính
trên R khi và chỉ khi a ∈ Q.

1.5

Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp

Để mô tả bức tranh mang tính định hướng, gợi ý và dự đoán công thức nghiệm
của các bài toán liên quan, chúng ta xét một vài tính chất hàm tiêu biểu của một
số dạng hàm số quen biết.
1. Hàm bậc nhất: f (x) = ax + b, (a = 0, b = 0) có tính chất
f

x+y
1
= {f (x) + f (y)}, ∀x, y ∈ R

2
2


14

Chương 1.Một số tính chất cơ bản của hàm số
2. Hàm tuyến tính: f (x) = ax, (a = 0) có tính chất
f (x + y) = f (x) + f (x), ∀x, y ∈ R
3. Hàm mũ: f (x) = ax , a > 0, a = 1 có tính chất f (x + y) = f (x)f (y),
∀x, y ∈ R.
4. Hàm Logarit: f (x) = loga |x| (a > 0, a = 1) có tính chất
f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R \ {0}
5. Hàm luỹ thừa: f (x) = |x|a có tính chất
f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R \ {0}
6. Hàm lượng giác: Hàm f (x) = sin x có tính chất
f (3x) = 3f (x) − 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R
Hàm f (x) = cos x có các tính chất
f (2x) = 2[f (x)]2 − 1, ∀x ∈ R
và
f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), ∀x ∈ R
Cặp hàm f (x) = sin x, g(x) = cos x có tính chất
f (x + y) = f (x)g(x) + f (y)g(x), ∀x, y ∈ R
g(x + y) = g(x)g(y) − f (x)f (y), ∀x, y ∈ R
Hàm f (x) = tan x có tính chất
f (x + y) =

f (x) + f (y)
1 − f (x)f (y)

(2k + 1)π
, (k ∈ Z).
2
Hàm f (x) = cot x có tính chất

với x, y x + y =

f (x + y) =
với x, y x + y = kπ (k ∈ Z).

f (x)f (y) − 1
f (x) + f (y)


15

1.5. Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp

7. Hàm lượng giác ngược:

a) Hàm f (x) = arcsin x có tính chất
√
f (x) + f (y) = f (x 1 − y 2 + y 1 − x2 ), ∀x, y ∈ [−1, 1]
b) Hàm g(x) = arccos x có tính chất
g(x) + g(y) = g(xy −

√

1 − x2

1 − y 2 ), ∀x, y ∈ [−1, 1]

c) Hàm h(x) = arctan x có tính chất
h(x) + h(y) = h

x+y
, ∀x, y : xy = 1
1 − xy

d) Hàm p(x) = arctan x có tính chất
p(x) + p(y) = p

xy − 1
, ∀x, y : x + y = 0
x+y

8. Các hàm hyperbolic
1
a) Hàm f (x) = sh x := (ex − e−x có tính chất
2
f (3x) = 3f (x) + 4f 3 (x), ∀x ∈ R
1
b) Hàm g(x) = ch x := (ex + e−x ) có tính chất
2
g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y), x, y ∈ R
c) Hàm h(x) = tanh x :=

ex − e−x
có tính chất
ex + e−x

h(x + y) =

h(x) + h(y)
, ∀x, y ∈ R
1 + h(x)h(y)

ex + e−x
d) Hàm q(x) = coth x := x
có tính chất
e − e−x
q(x + y) =

1 + q(x)q(y)
, x, y, x + y = 0
q(x) + q(y)


Chương 2
Phương trình hàm với cặp biến tự
do
2.1

Hàm số chuyển đổi các phép tính số học

Trong § này, ta giải các bào toán xác định các hàm chuyển đổi các phép tính
số học đơn giản (cộng trừ, nhân, chia) của đối số sang phép tính đối với các giá trị
hàm tương ứng.
Ta sẽ giải quyết các bài tpán trên trong lớp các hàm xác định và liên tục trên toàn
trục thực.

Bài toán 12. (Phương trình hàm Cauchy). Xác định tất cả các hàm số f (x) liên
tục trên R thoả mãn điều kiện
f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x ∈ R

(2.1)

Giải. Từ (1) suy ra f (0) = 0, f (−x) = −f (x) và với y = x thì

f (2x) = 2f (x), ∀x ∈ R

Giả sử với k nguyên dương, f (kx) = kf (x), x ∈ R. Khi đó
16

(2.2)


17

2.1. Hàm số chuyển đổi các phép tính số học

f ((k + 1)x) = f (kx + x)
= f (kx) + f (x)
= kf (x) + f (x)
= (k + 1)f (x), ∀x ∈ R, n ∈ N
Từ đó, theo nguyên lí quy nạp, ta có
f (nx) = nf (x), ∀x ∈ R
Kết hợp với tính chất f (−x) = −f (x) ta được
f (mx) = mf (x), ∀m ∈ Z, ∀x ∈ R
Từ (2.2) ta có

f (x) = 2f

x
x
= 22 f 2
2
2

= · · · = 2n f

x
,
2n

(2.3)

Từ đó suy ra
x
2n

f

=

1
f (x), ∀x ∈ R, ∀n ∈ N
2n

(2.4)

Kết hợp (3) và (4) ta được
f

m
2n

=

m
f (1), ∀m ∈ Z, ∀n ∈ N+
2n

Sử dụng giả thiết liên tục của hàm f (x) suy ra
f (x) = ax, ∀x ∈ R, a = f (1)
Thử lại, ta thấy hàm f (x) = ax thoả mãn phưương trình (2.1).

Kết luận.
f (x) = ax, với a ∈ R tuỳ ý
Nhận xét 1. 1) Từ điều kiện (2.1), ta thấy chỉ cần giả thiết f (x) là hàm liên tục
tại một điểm x0 ∈ R cho trước là đủ. Khi đó, f (x) thoả mãn (2.1) sẽ liên tục trên
R. Thật vậy, theo giả thiết thì
lim f (x) = f (x0 )

x→x0


18

Chương 2.Phương trình hàm với cặp biến tự do

và với mỗi x1 ∈ R ta đều có
f (x) = f (x − x1 + x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ), ∀x ∈ R
Từ đó suy ra
lim f (x) = lim f (x − x1 + x0 ) + f (x1 ) − f (x0 )

x→x1

x→x0

= f (x0 ) + f (x1 ) − f (x0 )
= f (x1 )
2) Kết quả của Bài toán 1. sẽ không thay đổi nếu ta thay đổi nếu ta thay R bằng
[α, +∞) hoặc (−∞, β] tuỳ ý.

Bài toán 13. Xác định các hàm f (x) liên tục trên R thoả mãn điều kiện
f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R

(2.5)

Giải. Nhận xét rằng f (x) ≡ 0 là một nghiệm của (2.5). Xét trường hợp f (x) = 0.
Khi đó tồn tại x0 ∈ R sao cho f (x0 ) = 0. Theo (2.5) thì
f (x0 ) = f (x + (x0 − x)) = f (x)f (x0 − x) = 0, ∀x ∈ R
Suy ra f (x) = 0, ∀x ∈ R và
f (x) = f

x x
x
+
= f
2 2

2

2

> 0, ∀x ∈ R

Đặt ln f (x) = g(x) (f (x) = eg(x) ). Khi đó g(x) liên tục trên R và
g(x + y) = ln f (x + y)
= ln[f (x)f (y)]
= ln f (x) + ln f (y)
= g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R
Theo Bài toán 1. thì g(x) = bx, b ∈ R tuỳ ý. Vậy f (x) = ebx = ax với a > 0 tuỳ ý.

Kết luận.
f (x) ≡ 0 hoặc f (x) = ax (a > 0)


19

2.1. Hàm số chuyển đổi các phép tính số học

Bài toán 14. Xác định các hàm f (x) liên tục trên R thoả mãn điều kiện

f (x − y) = f (x) , x, y ∈ R
f (y)

f (x) = 0, ∀x ∈ R

(2.6)

Giải. Đặt x − y = z thì x = z + y và (2.6) tương đương với
f (z) =

f (z + y)
, ∀z, y ∈ R
f (y)

Do đó
f (z + y) = f (z)f (y), z, y ∈ R
f (x) = 0, ∀x ∈ R
Từ kết quả của Bài toán 2. và do f (x) = 0 suy ra f (x) = ax với a > 0 tuỳ ý.

Kết luận.
f (x) = ax , trong đó a > 0 tuỳ ý
Bài toán 15. Xác định các hàm f (x) liên tục trên R \ {0} thoả mãn điều kiện
f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R \ {0}

(2.7)

Giải. Thay y = 1 vào (2.7) ta được
f (x)(1 − f (1)) = 0 ∀x ∈ R}
Nếu f (1) = 1 thì từ (2.8) suy ra f (x) ≡ 0 và nghiệm này thoả mãn (2.7).

Xét f (1) = 1. Khi đó
f (1) = f

x

1
x

= f (x)f

1
x

, ∀x ∈ R \ {0}

Vậy f (x) = 0 với mọi x ∈ R \ {0} và do đó
f (x2 ) = f (x)f (x) = [f (x)]2 > 0, ∀x ∈ R \ {0}
a) Xét x, y ∈ R+ .

(2.8)


20

Chương 2.Phương trình hàm với cặp biến tự do

Đặt x = eu , y = ev và f (et ) = g(et ). Khi đó ta có
g(u + v) = g(u)g(v) ∀u, v ∈ R}

(2.9)

Theo Bài toán 2 thì (2.9) tương đương với g(t) = at ∀t ∈ R (a > 0 tuỳ ý) và do đó
f (x) = f (eu ) = g(u) = au = aln x = (eln a )ln x = xln a = xα ∀x ∈ R+

(2.10)

trong đó α = ln a.

b) Khi x, y ∈ R− thì xy ∈ R+ . Với y = x, từ (2.7) và theo kết quả phần a), ta có
[f (x)]2 = f (x2 ) = (x2 )β = (|x|β )2 , ∀ ∈ R− , β ∈ R
tuỳ ý. Do f (x) là hàm liên tục trên R− nên
f (x) = |x|β , ∀x ∈ R+ ,
hoặc
f (x) = −|x|β , ∀x ∈ R− .
Kết hợp a) và b) và thử lại các kết quả, ta có

Kết luận.
Nghiệm của (2.7) là một trong các hàm số sau

1) f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R \ {0},
2) f (x) = |x|α , z; ∀x ∈ R \ {0} α ∈ R tuỳ ý

3)
f (x) =

xβ , ∀x ∈ R+
−|x|β , ∀x ∈ R− , β ∈ R tuỳ ý

Bài toán 16. Xác định các hàm f (x) liên tục trên R \ {0} thoả mãn điều kiện
f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R \ {0}

(2.11)


21

2.1. Hàm số chuyển đổi các phép tính số học

Giải.
a) Trước hết x, y ∈ R+ ,
Đặt x − eu , y = ev và f (et ) = g(t). Khi đó (2.11) có dạng
g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ R

(2.12)

Theo Bài toán 1 thì (2.12) tương đương với g(t) = bt và do đó
f (x) = a ln x, ∀x ∈ R+ , a ∈ R tuỳ ý
b) Khi x, y ∈ R− thì x, y ∈ R+ . Với y = x, từ (2.11) và theo kết quả phần a) ta
có
1
1
f (x) = f (x2 ) = b ln(x2 ) = b ln |x|, ∀x ∈ R− , với b ∈ R tuỳ ý
2
2
Thử lại, ta thấy hàm f (x) = b ln |x| với b ∈ R tuỳ ý, thoả mãn các điều kiện của bài
toán đặt ra.

Kết luận
f (x) = b ln |x|, ∀x ∈ R \ {0} với b ∈ R tuỳ ý
Bài toán 17. Xác định các hàm f (x) liên tục trên R thoả mãn các điều kiện
f (xy) = f (x) − f (y), ∀x, y ∈ R
Giải. Từ (2.13) với x = y = 0, ta có
f (0) = f (0) − f (0) = 0
và với mọi x ∈ R và y = 0 ta được
f (0) = f (x) − f (0)
hay f (x) ≡ 0. Ngược lại, hàm f (x) ≡ 0 thoả mãn (2.13).

Kết luận.

f (x) ≡ 0

(2.13)


22

Chương 2.Phương trình hàm với cặp biến tự do

Bài toán 18. Xác định các hàm f (x) liên tục trên R+ thoả mãn điều kiện
f
Giải. Đặt

x
= f (x) − f (y), ∀x, y ∈ R+
y

(2.14)

x
= t. Khi đó x = ty và (2.14) tương đương với
y
f (t) = f (ty) − f (y)

hay
f (ty) = f (t) + f (y), ∀t, y ∈ R+
Theo kết quả của Bài toán 5, thì
f (x) = b ln x, ∀x ∈ R+ , b ∈ R tuỳ ý
Kết luận.
f (x) = b ln x, ∀x ∈ R+ , b ∈ R tuỳ ý

Nhận xét. Lời giải của các Bài toán 1-7 dựa vào giả thiết liên tục các hàm số
cần tìm. Nếu ta thay giả thiết liên tục bằng giả thiết khả vi thì lớp hàm nhận đưựơc
vẫn không thay đổi và phương pháp giả sẽ ngắn gọn hơn nhiều.

Bài toán 19. Tìm các hàm số f (x) xác định và có đạo hàm trên R thoả mãn điều
kiện
f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R

(2.15)

Giải. Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của (2.15) theo biến x và y ta được
f (x + y) = f (x), ∀x, y ∈ R

(2.16)

f (x + y) = f (y), ∀x, y ∈ R

(2.17)

Các đẳng thức (2.16) và (2.17) cho ta f (x) = f (y) với mọi x, y ∈ R. Do vậy,
f (x) ≡const hay f (x) = ax + b. Thế vào (2.15), ta được f (x) = ax với a ∈ R tuỳ ý
(b = 0).

Kết luận.
f (x) = ax, ∀x ∈ R, a ∈ R tuỳ ý


2.1. Hàm số chuyển đổi các phép tính số học

23

Bài toán 20. Tìm các hàm số f (x) xác định và khả vi trên R thoả mãn điều kiện
f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R

(2.18)

Giải. Nhận xét rằng f (x) ≡ 0 là một nghiệm của (2.18). Xét trường hợp f (x) = 0.
Khi đó tông tại x0 ∈ R để f (x0 ) = 0. Theo (2.18) thì
f (x0 ) = f (x + (x0 − x)) = f (x)f (x0 − x) = 0, ∀x ∈ R
Suy ra f (x) = 0, ∀x ∈ R.

Mặt khác, từ (2.18) ta có
x
f (x) = (f ( ))2 ≥ 0, ∀x ∈ R
2
Vậy f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R.

Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của (2.18) theo biến x và y ta được
f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R

(2.19)

f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R

(2.20)

Các đẳng thức (2.19) và (2.20) cho ta
f (x)
f (y)
=

, ∀x, y ∈ R
f (x)
f (y)
hay
(ln f (x)) ≡ a ⇔ f (x) = eax+b
Thế vào (2.18), ta được f (x) = eax , (b = 0).

Kết luận.
f (x) ≡ 0, hoặc f (x) = eax , ∀x ∈ R
Bài toán 21. Tìm các hàm f (x) xác định và khả vi trên R+ thoả mãn điều kiện
f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R+

(2.21)


24

Chương 2.Phương trình hàm với cặp biến tự do

Giải. Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của (2.21) theo biến x và y ta được
yf (xy) = f (x), ∀x, y ∈ R+

(2.22)

xf (xy) = f (y), ∀x, y ∈ R+

(2.23)

Các đẳng thức (2.22) và (2.23) cho ta
xf (x) = yf (y)

Do đó
xf (x) ≡ c, ∀R+
Thế nên
f (x) = c ln x + d
Thế vào (2.21) ta có
f (x) = c ln x, ∀x > 0
Kết luận.
f (x) = c ln x, ∀x > 0, với c tuỳ ý
Nhận xét. Ngoài các giả thiết quen biết về tính liên tục và tính khả vi của hàm
cần tìm, trong phương pháp trình hàm còn có rất nhiều giả thiết dạng khác như
tìm nghiệm của các phương trình hàm trên một tập tuỳ ý của R và chỉ đòi hỏi hàm
số cần tìm giới nội (bị chặn), đơn điệu hoặc liên tục một phía trên các tập đó,. . .

Bài toán 22. Tìm các hàm f (x) xác định và đồng biến trên R thoả mãn điệu kiện
f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R

(2.24)

Giải. Lần lượt thay y = 0 và y = x vào (2.24) ta được f (0) = 0 và f (2x) =
2f (x), ∀x ∈ R. Từ đó suy ra f (x) > 0 khi x > 0 và
f (mx) = mf (x), ∀x ∈ R, m ∈ N+
Trong (2.25) thay x bởi x/m, ta được
f

x
1
= f (x), ∀x ∈ R, ∀m ∈ N+
m
m

(2.25)


25

2.1. Hàm số chuyển đổi các phép tính số học

Do f (x) đồng biến trên R nên
f (−1/n) < f (x) < f (1/n)
hay là
−

1
1
n
n

Suy ra
1
1
− f (1) < f (x) < f (1)
n
n
hay
−

1
1

n
n

Do đó
lim f (x) = 0 = f (0)

x→0

Tóm lại, f (x) là hàm liên tục tại x = 0 và ∀x ∈ R
lim [f (x + y) − f (x)] = lim f (y) = 0

x→0

y→0

do đó f (x) liên tục tại mọi điểm x ∈ R. Theo Bài toán 1, f (x) = ax, a > 0.

Kết luận.
f (x) = ax, ∀x ∈ R, với a > 0 tuỳ ý
Bài toán 23. Xác định các hàm f (x) đồng biến trên R+ thoả mãn các điều kiện
f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R+

(2.26)

Giải. Đặt x = eu , y = ev và f (et ) = g(t). Khi đó g(t) là hàm đồng biến trên R và
(2.26) có dạng
g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ R

(2.27)

Theo bài toán 11 thì (2.27) tương đương với g(t) = bt, b > 0 tuỳ ý và do đó ta có
f (x) = b ln x, ∀x ∈ R+ , b > 0
Kết luận.
f (x) = b ln x, ∀x ∈ R+ , b > 0 tuỳ ý