Đề cương bài giảng mở rộng các tập hợp số

TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂN TRÀO
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC
----- -----

ĐỀ CƢƠNG BÀI GIẢNG

HỌC PHẦN: MỞ RỘNG CÁC TẬP HỢP SỐ
LỚP DẠY:
ĐH TIỂU HỌC K2

Họ và tên: LINH THỊ THANH LOAN
Bộ môn: TOÁN

Năm học: 2017 -2018


Chƣơng 1. Số nguyên
Số tiết: 10 (Lý thuyết: 7 tiết; Bài tập,thảo luận: 3 tiết)
A. Mục tiêu
1. Kiến thức: SV hiểu và biết:
- Lí do mở rộng tập hợp số tự nhiên N sang tập hợp số nguyên Z.
- Cách xây dựng tập hợp số nguyên Z từ tập hợp số tự nhiên N.
- Ghi số nguyên và thực hành các phép toán trong Z.
- Quan hệ thứ tự trong Z; Lực lượng của tập hợp Z.
2. Kỹ năng:
- Vận dụng được lí thuyết làm bài tập tương ứng.
- Có kỹ năng tính toán, chứng minh thành thạo.
- Có kỹ năng khai thác thông tin từ nhiều phương tiện khác nhau.
3. Thái độ:
- Tìm hiểu nội dung liên quan đến bài học trước khi lên lớp.
- Dành thời gian làm bài tập sau khi học xong lí thuyết.

B. Nội dung
1.1. Xây dựng tập hợp số nguyên từ tập số tự nhiên
1.1.1. Lí do mở rộng tập số
- Từ tự nhiên: Số tự nhiên ra đời do những yêu cầu của thực tiễn đời sống và sản
xuất. Nhưng số tự nhiên không đủ đáp ứng những yêu cầu của xã hội loài người
ngày càng phát triển.
- Từ nội tại Toán học:
+ Phép toán: Trong N thì “+” là phép toán nhưng “–”không phải phép toán.
+ Phương trình: Phương trình b  x  a không phải lúc nào cũng có nghiệm
trong N.
Từ đó, xuất hiện một yêu cầu mở rộng tập hợp N để được một tập hợp số mà trong
đó phép trừ luôn luôn thực hiện được, hay cũng vậy phương trình b  x  a luôn
luôn có nghiệm.
Như vậy, việc xây dựng tập hợp số nguyên được đặt ra như một yêu cầu nội tại của
Toán học.
1.1.2. Xây dựng tập hợp số nguyên
1. Xét tập tích Đềcác N  N   a, b  a, b  N .
Trên tập hợp này ta xác định một quan hệ hai ngôi, kí hiệu là

, như sau:


  a, b  ,  c,d   N  N :

 a, b   c,d   a  d  b  c .
Khi đó quan hệ là một quan hệ tương đương và do đó xác định trên N  N một
sự chia lớp tương đương.
2. Kí hiệu Z  N  N/ là tập thương của N  N theo quan hệ tương đương .
Phần tử của Z đại diện bởi cặp  a, b   N  N kí hiệu là  a, b  .
3. Phép cộng trên Z được định nghĩa như sau: Giả sử x   a, b , y   c,d   Z , ta định

nghĩa
x  y   a, b    c,d    a  c, b  d 

Tập hợp Z với phép cộng như trên lập thành một nhóm giao hoán.
- Phần tử trung hòa của nhóm này là 0   a, a , a  N .
- Phần tử đối của x   a, b   Z là x   b, a  .
4. Xét ánh xạ
f :NZ
a

f  a    a, 0 

- Dễ thấy f là một đơn ánh và là đơn cấu.
- Đặt a  f  a    a, 0  . Khi đó xem N là một bộ phận của Z.
 a, b   Z , ta có:

 a, b    a, 0    0, b    a, 0     b, 0  
 f  a    f  b    a    b 

- Qui ước: a + ( - b) = a – b. Khi đó  a, b   a  b .
- Nếu a  b thì a  b  N .
- Nếu b  a thì b  a  N , nhưng b  a   b, a  là phần tử đối của  a, b   a  b .
Vậy, nếu b  a thì  a, b   a  b thuộc vào một bộ phận của Z gồm các phần tử đối
của các phần tử của N. Cho nên ta ký hiệu -N là bộ phận đó.
Vậy: Z = N  (-N) với N  (-N) = {0}.
Ta gọi Z là tập hợp các số nguyên.
*) Phép nhân trên Z: Phép nhân trên Z được định nghĩa như sau:
Giả sử x   a, b , y  c,d   Z , ta định nghĩa
x.y   a, b 
. c,d    ac  bd,ad  bc 

Tập hợp Z với phép nhân như trên lập thành một vị nhóm giao hoán.
- T/c kết hợp: x, y, z  Z , x(yz)  (xy) z
- T/c giao hoán: x, y  Z , x y  yx
- Phần tử trung hòa là 1  1, 0  .
- Phép nhân phân phối đối với phép cộng: x, y, z  Z ,


x  y  z   xy  xz

 y  z  x  yx  zx
Định lí: Tập hợp Z cùng với phép cộng và phép nhân nêu trên lập thành một vành
giao hoán có đơn vị.
Định nghĩa: Vành Z được gọi là vành các số nguyên. Mỗi phần tử của Z được gọi
là một số nguyên.
Hệ quả(Luật giản ước): x, y, z  Z , x  0 , x y  xz suy ra y  z .
1.1.3. Phương trình b+x = a và phép trừ trong Z.
*Định lí: Phương trình b + x = a với a, b  Z luôn có nghiệm trong Z và nghiệm đó
là duy nhất.
Chứng minh: SV xem trong giáo trình
*Phép trừ trong Z
- Nghiệm của phương trình b + x = a gọi là hiệu của a và b.
Hiệu của a và b kí hiệu là a – b, đọc là a trừ b.
- Theo định lí trên, ta có hiệu a – b luôn tồn tại và chính là tổng của a với số đối
của b.
a – b = a + (-b)
Vậy a trừ b là tổng của a với số đối của b, và phép trừ trong Z luôn luôn thực hiện
được.
1.2. Ghi số nguyên và thực hành các phép toán trong Z
1.2.1. Ghi số nguyên

Việc ghi số nguyên được thực hiện nhờ định lí sau:
*Đlí: Mỗi số nguyên hoặc là một số tự nhiên hoặc là số đối của một số tự nhiên.
C/m:
Giả sử x là một số nguyên tùy ý, x   a, b  , với a, b  N . Có 2 khả năng xảy ra:
a) Nếu a  b thì a  b  N . Dễ thấy  a, b   a  b,0  (vì a  0  b   a  b  )
Đặt n  a  b ta có x   a, b    n,0   n  N .
b) Nếu a  b thì b  a  N . Dễ thấy  a, b   0, b a  (vì a  (b  a)  b  0 )
Đặt n  b  a ta có x   a, b    0, n  .
Mặt khác, số nguyên  0, n  là số đối của số nguyên  n, 0   n  N .
Vậy x là số đối của số tự nhiên n. (đpcm)
* Ghi số nguyên:
Ta biết số tự nhiên trong hệ thập phân được kí hiệu là 0; 1; 2; …còn phần tử đối
của x kí hiệu là –x, do đó theo định lí trên tất cả các phần tử của Z là:
0; - 0; 1; - 1; 2; - 2; 3; -3; …
Chú ý rằng 0 là phần tử trung hòa của phép cộng, đó là phần tử duy nhất có số đối
của nó bằng chính nó: - 0 = 0.
Vậy ta có Z  ...; 3; 2; 1;0;1;2;3;...


Các số 1; 2; 3;… còn gọi là các số nguyên dương, các số -1; -2; -3; … gọi là các số
nguyên âm, đọc là trừ một, trừ hai, trừ ba, … hay âm một, âm hai, âm ba,…
Như vậy, để ghi số nguyên, ngoài các kí hiệu để ghi số tự nhiên, ta dùng thêm dấu
“-”.
1.2.2. Thực hành các phép toán trong Z
Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của số nguyên x, kí hiệu là |x|, được xác định như sau:
x nÕu x  0
x 
x nÕu x<0

Chú ý: - Giá trị tuyệt đối của một số nguyên luôn luôn là một số tự nhiên:

x  N, x  Z .
- Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau. Ví dụ: 2  2  2
*Thực hành phép cộng trong Z
Giả sử x, y  Z , ta xét phép cộng x  y trong các trường hợp sau:
+ Với x, y đều là các số tự nhiên.
Giả sử x  n   n,0 , y  m   m,0  , n, m  N .
Khi đó
x  y   n,0    m,0    n  m,0   n  m

Vậy: Nếu x và y là hai số tự nhiên thì ta cộng chúng như cộng hai số tự nhiên đã
biết.
+ Với x, y là hai số nguyên âm.
Giả sử x  n   0, n , y  m   0, m  , n, m  N . Khi đó x  n  n, y  m  m
Và
x  y   0, n    0, m    0, n  m 
   n  m    x  y 

Vậy: Để cộng hai số nguyên âm ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng và đặt dấu
“-” trước kết quả nhận được.
+ Với x là số tự nhiên, y là số nguyên âm
Giả

sử

x  n   n,0 , y  m   0, m  .

x  y   n,0    0, m    n, m  .

Có 2 khả năng xảy ra:
a) x  y hay n  m .

Khi đó  n, m   n  m, 0  n  m
và do đó x  y  n  m  x  y

Khi

đó

x  n, y  m

và


b) x  y hay n < m.
Khi đó  n, m    0, m n     m  n 
và do đó x  y    m  n     y  x  .
Vậy: Để cộng số tự nhiên x với một số nguyên âm y ta thực hiện phép trừ x  y
nếu x  y , hoặc thực hiện phép trừ y  x rồi đặt trước kết quả nhận được dấu “” nếu x  y .
Chú ý: Trong cả 2 trường hợp trên, phép trừ x  y hay y  x là phép trừ hai số tự
nhiên và đều thực hiện được. Từ đó ta nhận được quy tắc cộng hai số nguyên đã
học ở phổ thông.
*Thực hành phép nhân trong Z
Giả sử x, y  Z , ta xét tích x.y trong các trường hợp sau:
+ Với x, y đều là các số tự nhiên.
Giả sử x  n   n,0 , y  m   m,0  , n, m  N . Khi đó
x.y   n,0 
. m,0    n.m,0   n.m

Vậy: Nếu x và y là hai số tự nhiên thì ta nhân chúng như nhân hai số tự nhiên đã
biết.
+ Với x, y là hai số nguyên âm.

Giả sử x  n   0, n , y  m   0, m  , n, m  N . Khi đó x  n  n, y  m  m
và x.y   0, n . 0, m    n.m,0   n.m  x . y .
Vậy: Tích của hai số nguyên âm là tích của hai giá trị tuyệt đối của chúng.
+ Với x là số tự nhiên, y là số nguyên âm
Giả sử x  n   n,0 , y  m   0, m  .
Khi đó x  n, y  m
và x.y   n,0. 0, m    0, n.m   n.m    x . y  .
Vậy: Để nhân một số tự nhiên với một số nguyên âm ta nhân hai giá trị tuyệt đối
của chúng và đặt dấu “-” trước kết quả nhận được.
Từ đó ta nhận được quy tắc nhân hai số nguyên đã biết ở phổ thông.
1.3. Quan hệ thứ tự trong Z
Ta đã biết, theo quan hệ thứ tự  đã xác định trên N, với x, y  N , y  x  N khi và
chỉ khi x  y . Điều đó là cơ sở cho định nghĩa quan hệ thứ tự sau đây trên Z.
*Đ/N: Cho x, y  Z , ta nói x nhỏ hơn hoặc bằng y và viết là x  y nếu y  x  N .
Khi có x  y , ta cũng nói y lớn hơn hoặc bằng x và viết là y  x .


Khi có x  y và x  y , ta nói x nhỏ hơn y và viết là x < y.
*Đlí: Quan hệ  xác định như trên là một quan hệ thứ tự toàn phần trong Z.
Hd c/m:
Kiểm tra 3t/c phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu  Quan hệ  là quan hệ thứ tự trên
Z.
x, y  Z , ta có x  y  Z . Do đó x  y  N hoặc y  x  N . Như vậy x, y  Z ta luôn

có x  y hoặc y  x (Đpcm)
*Số dương, số âm:
- Số nguyên dương là các số nguyên lớn hơn 0.
- Số nguyên âm là các số nguyên nhỏ hơn 0.
* Tính chất:
i) Tính chất tương thích giữa thứ tự và phép cộng: Giả sử x, y, z  Z , nếu x  y thì

x  z  y z.
Hệ quả 1: x, y, z  Z , x  z  y suy ra x  y  z .
ii) Tính chất giữa thứ tự và phép nhân: Giả sử x, y  Z , nếu x  0 và y  0 thì x.y  0 .
Hệ quả 2: Nếu x  y và z  0 thì xz  yz .
Hệ quả 3: Nếu x  y và z  0 thì xz  yz .
*Đlí: Với mọi số nguyên x, không tồn tại số nguyên nào nằm giữa x và x + 1, nghĩa
là không tồn tại số nguyên y nào sao cho: x  y  x  1 .
Chứng minh:
Giả sử y  Z sao cho x  y  x  1 . Khi đó y  x  N và 0  y  x  1
Vậy tồn tại số tự nhiên y – x nằm giữa 0 và 1 (vô lý).
Vậy điều giả sử là sai  đpcm.
*Đ/N: Số nguyên x + 1 gọi là số liền sau của số nguyên x.
*Bộ phận bị chặn: Xem GT
1.4. Lực lƣợng của tập hợp Z
Ta đã mở rộng tập N thành tập Z, trong đó phép trừ luôn thực hiện được và N là
một bộ phận thực sự của Z. Tuy nhiên, lực lượng của tập Z vẫn là một vô hạn đếm
được, nghĩa là bằng lực lượng của tập N.
*Đlí: card Z = card N.
Chứng minh: Để c/m định lí ta cần thiết lập một song ánh từ Z lên N. Xét tương
ứng f từ Z đến N xác định cụ thể như sau:
Z : 0 -1 1 -2 2 -3 3 -4 4...
        
N: 0 1 2 3 4 5 6 7 8...

Tổng quát, ta có:


f :Z N
x

2n nÕu x = n  N
f x  
*
2n  1 nÕu x = -n  N

Dễ thấy tương ứng f là một ánh xạ và là một song ánh (xem trong Giáo
trình).
Bài tập
Bài 1: Kiểm tra xem trong các cặp số sau, những cặp số nào tương đương với
nhau: (3, 5); (19, 17); (51, 53); (132, 130).
Bài 2: Thực hiện các phép tính
x + y và x.y với:
a) x   9, 4  , y  12,5

b) x  10,3 , y  1,7 

c) x   4,0  , y  14,0 

d) x   0,5 , y   0,9 

Bài 3: a) Chứng minh 0.x  0 , với mọi x  Z .
b) Kí hiệu 1   0,1 . Chứng minh 1.x  x , với mọi x  Z .
Bài 4: Chứng minh rằng trong Z:
a) x  x  0  x  0
b) a  b  a3  b3
Bài 5: Giả sử x và y là hai số nguyên âm. Chứng minh rằng x  y  y  x .
Bài 6: Chứng minh rằng với mọi x,y,z  Z ta luôn có:
a)  x  .y  x.  y   xy
b)  x  .  y   xy
c) x  y  z   xy  xz .









Bài 7: Đặt Z   n, 0 n  N và Z   0, n  n  N
Chứng minh rằng:
a) Z  Z  Z ; 0  Z  Z .

b) Tổng và tích của hai số thuộc Z+ là một số thuộc Z+
c) Tổng của hai số thuộc Z- là một số thuộc ZTích của hai số thuộc Z- là một số thuộc Z+
Bài 8: Giả sử tập con A của Z khác rỗng và đóng kín đối với phép trừ. Chứng minh
rằng A đóng kín đối với phép cộng.
HD: Với x, y  A , ta có x  x  A , nghĩa là 0  A .
Khi đó 0  x  A , nghĩa là x  A .


Từ đó y  x  y   x   A . Vậy A đóng kín đối với phép cộng.
C. Câu hỏi, hƣớng dẫn học tập, thảo luận
1. Hãy xây dựng vành số nguyên Z từ vị nhóm cộng và vị nhóm nhân các số tự
nhiên N.
2. C/m rằng:
a) x, y, z  Z , x(yz)  (xy) z (T/c kết hợp)
b) x, y  Z , x y  yx (T/c giao hoán)
c) x, y, z  Z , x  y  z   xy  xz
d) x, y, z  Z ,  y  z  x  yx  zx

3. Dựa vào quy tắc cộng các số nguyên, hãy giải thích, trong những trường hợp
nào của hai số nguyên a và b ta có kết quả của phép cộng a + b như sau:
a) a  b    a  b 
b) a  b  a  b
c) a  b    a  b 
----------------------------------------------------------------------------------Chƣơng 2. Số hữu tỉ
Số tiết: 4 (Lý thuyết: 2 tiết; Bài tập,thảo luận: 2 tiết)
A. Mục tiêu
1. Kiến thức: SV hiểu và biết:
- Lí do mở rộng tập hợp số nguyên Z sang tập số hữu tỉ Q.
- Cách xây dựng trường số hữu tỉ Q.
- Phân số: K/n phân số, hai phân số bằng nhau…
2. Kỹ năng:
- Vận dụng được lí thuyết làm bài tập tương ứng.
- Có kỹ năng liên hệ với chương trình học ở phổ thông.
- Có kỹ năng tính toán, chứng minh thành thạo.
3. Thái độ:
- Tìm hiểu nội dung liên quan đến bài học trước khi lên lớp.
- Liên hệ với toán Tiểu học.
- Dành thời gian làm bài tập sau khi học xong lí thuyết.
B. Nội dung


2.1. Trƣờng số hữu tỉ
2.1.1. Lí do mở rộng tập Z
- Từ tự nhiên.
- Từ nội tại Toán học: mở rộng tập Z để được một tập hợp số mới trong đó phép
chia cho một số khác 0 luôn thực hiện được và phương trình bx = a ( b  0 ) luôn có
nghiệm.
2.1.2. Xây dựng trường số hữu tỉ Q

1. Xét tập hợp Z  Z   a,b  a,b  Z,b  0 , Z  Z  0
Trên tập hợp này ta xác định một quan hệ tương đương ~ như sau:
  a,b  ,  c,d   Z  Z :  a, b   c,d   ad  bc .
2. Quan hệ tương đương ~ xác định trên tập hợp Z  Z một sự chia lớp tương
đương.
Kí hiệu: Q  Z  Z /
tức Q là tập thương của Z  Z theo quan hệ tương đương ~. Mỗi phần tử của Q đại
diện bởi cặp  a, b  kí hiệu là  a, b  . Như vậy:  a,b    c,d   ad  bc .
3. Phép toán trên Q: Trên tập hợp Q xác định hai phép toán cộng và nhân như sau:
Giả sử x   a,b , y   c,d   Q ta định nghĩa:
x  y   a, b    c,d   ad  bc, bd 
x.y   a, b . c,d   ac, bd 

4. Trường số hữu tỉ Q: Tập hợp Q cùng với hai phép toán cộng và nhân xác định
như trên lập thành một trường.
Phần tử trung hòa của phép cộng là 0   0, n , n  Z
Phần tử đối của x   a, b  là x    a, b 
Phần tử trung hòa của phép nhân là 1   n, n , n  Z
Phần tử nghịch đảo của x   a, b   0 là x 1   b,a 
Trường Q được gọi là trường số hữu tỉ. Mỗi phần tử của Q gọi là một số hữu tỉ.
*Phép trừ và phép chia trong Q:
+ Phép trừ: Giả sử x,y  Q , ta gọi là hiệu của x và y, kí hiệu là x  y , tổng của x và
số đối của y: x  y  x   y  . Phép toán tìm hiệu của hai số gọi là phép trừ.
Vì mọi số hữu tỉ đều có số đối, nên phép trừ x  y luôn luôn thực hiện được. Nếu
x   a, b , y   c,d  thì y   c,d  . Do đó

x  y  x   y    a, b    c,d    ad  bc, bd 


+ Phép chia: Giả sử x,y  Q,y  0 , ta gọi là thương của x và y, kí hiệu là x : y hay

x
,
y

x
y

tích của x và nghịch đảo của y: x : y   x.y1 . Phép toán tìm thương của hai số
hữu tỉ gọi là phép chia.
Vì mọi số hữu tỉ y  0 đều có nghịch đảo, nên phép chia một số hữu tỉ x cho số hữu
tỉ y  0 luôn luôn thực hiện được.
Nếu x   a,b , y   c,d   0 thì y1   d,c  .
Do đó
x : y  x.y1   a, b . d,c    ad, bc  .
2.2. Phân số
2.2.1. Quan hệ giữa Z và Q
1. Xét ánh xạ
f :ZQ
a

f  a    a,1

Dễ dàng kiểm tra các tính chất sau của ánh xạ f:
a) f là một đơn ánh
b) f bảo toàn các phép toán cộng và nhân các số nguyên, nghĩa là
f  a1  a 2   f  a 1   f  a 2 
f  a1a 2   f  a1  .f  a 2 

2. Các tính chất trên của ánh xạ f cho phép ta có thể đồng nhất mỗi số

nguyên a với ảnh f  a    a,1 , thay cho cách viết x   a,1 ta viết x  a , và mỗi số
nguyên a  Z cũng là một số hữu tỉ. Như vậy, Z là một tập hợp con của Q và các
phép toán của Q hạn chế trên Z cùng phù hợp với các phép toán trong Z.
* Nghịch đảo của một số nguyên khác 0: Giả sử a  Z,a  0 . Như trên ta đã thấy, a
cũng là một số hữu tỉ và ta có a   a,1 . Vì a  0 nên có nghịch đảo trong Q và
a 1  1, a  .

2.2.2. Định lí
Mỗi số hữu tỉ x đều viết được dưới dạng x  a.b1 với a, b  Z, b  0 .
Chứng minh
Giả sử x  Q, x   a, b  , a, b  Z, b  0 .
Theo đ/n phép nhân trên Q, ta có thể viết x   a,1.1, b 


Đặt a   a,1 , b   b,1 . Khi đó b1  1, b  là nghịch đảo của b.
Vậy x  a.b1 (đpcm)
2.2.3. Phân số
*Khái niệm phân số:
a
b

Mỗi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng x  . Ta nói đó là sự biểu diễn số hữu tỉ x
dưới dạng phân số .
Kí hiệu

a
với a,b  Z,b  0 , gọi là một phân số, a gọi là tử số, b gọi là mẫu số của
b

phân số.

*Phân số bằng nhau:
Chú ý rằng một số hữu tỉ x được đại diện bởi vô số các cặp số khác nhau và do đó
x viết được dưới dạng phân số bằng nhiều cách khác nhau.
a
b

Nếu x   a, b    c,d  thì theo cách viết phân số ta có: x  
Nhưng khi đó ta có  a,b   c,d  hay ad  bc . Vậy
*Phân số tối giản: Phân số

c
d

a c
  ad  bc .
b d

a
gọi là tối giản nếu UCLN  a,b   1 .
b

*Phân số đối, phân số nghịch đảo:
a
a
( x  ) thì x   a, b   x   a, b 
b
b
a a
Khi đó x   a, b    a, b  , nghĩa là: x   .
b b

a
a
a
a
a a
Phân số
hay
gọi là phân số đối của . Ta viết      .
b
b
b
 b  b b

- Nếu số hữu tỉ x đại diện bởi phân số

- Nếu x 

a
b
và x  0 thì x   a, b  . Khi đó x có nghịch đảo và x 1   b,a  hay x 1 
b
a
1

Phân số

b
a
a
b

gọi là nghịch đảo của phân số , ta có    .
a
b
a
b

*Các phép toán trên phân số:
a c ad  bc
;
 
b d
bd

a c ac
;
 
b d bd

a c ad  bc
;
 
b d
bd

a c ad
.
: 
b d bc

Bài tập

Bài 1: Viết tất cả các cặp số tương đương với cặp số sau:
a) (3, 5)
b) (45, 21)
HD: Dựa vào điều kiện tương đương, viết dưới dạng tổng quát.
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:


b)  9, 4   11,3

a)  2,7    4, 3

c)  3,7    4,5

Bài 3: Giải phương trình sau trong Q:
a)  3,2 .x   9,11   7,13
b)  4,3   7,5.x   6,9 
Bài 4: Chứng minh rằng:
a) 0.x  0, x  Q
b) x.y  0  x  0 hoặc y  0
Bài 5: Thực hiện các phép tính sau:
a)

1
1
1
1


 ... 
1.2 2.3 3.4

n.(n  1)

1
1  1   1 
b) 1  
 1   1   ...  1  


2 

3 

4 

n

c)

1
1
1
1


 ... 
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n.(n  1).(n  2)

d)

1
1
1
1


 ... 
3.8 8.13 13.18
(5n  2).(5n  3)

1
1 
1 
1 
e) 1  2 
1  2  1  2  ...  1  2 

2
3
4
n






 



Bài 6: Chứng minh rằng các phân số
a,

n 1
2n  3

( n  N )

15n 2  8n  6
b,
( n  Z )
30n 2  21n  13

là phân số tối giản.
C. Câu hỏi, hƣớng dẫn học tập, thảo luận
- Xem lại các bài tập đã chữa.
- Ôn tập kiểm tra chương 1, 2.

d) 13,6  :  4,15


Kiểm tra giữa kì
Số tiết: 1
A. Mục tiêu
- Kiểm tra kỹ năng: Tìm tất cả các cặp số tương đương với cặp số cho trước trong
Z; Thực hiện các phép tính trong Z và Q; Giải phương trình trong Q; Chứng minh
phân số tối giản; Tính giá trị của biểu thức.
- Y/c SV nghiêm túc làm bài.
B. Đề bài

Câu 1 (4 điểm)
Câu 2 (3 điểm)
Câu 3 (3 điểm)
---------------------------------------------------------------------------------------Chƣơng 2. Số hữu tỉ (tiếp)
Số tiết: 5 (Lý thuyết: 3 tiết; Bài tập,thảo luận: 2 tiết)
A. Mục tiêu
1. Kiến thức: SV hiểu và biết:
- Quan hệ thứ tự trên Q: Định nghĩa, tính chất,…
- Lực lượng của tập hợp Q: Dãy số hữu tỉ.
- Số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn.
2. Kỹ năng:
- Có kỹ năng đọc tài liệu, nắm bắt được những kiến thức trọng tâm của bài
học.
- Vận dụng được lí thuyết làm bài tập tương ứng.
- Có kỹ năng liên hệ với chương trình học ở phổ thông.
3. Thái độ:
- Tìm hiểu nội dung liên quan đến bài học trước khi lên lớp.
- Dành thời gian tự học để củng cố kiến thức.
B. Nội dung
2.3. Quan hệ thứ tự trên Q
2.3.1. Khái niệm:


a
b

*Đ/N1: Giả sử x  Q,x  ,a, b  Z, b  0 . Ta nói x lớn hơn hoặc bằng 0 và viết là
x  0 nếu ab  0 .

Chú ý: 1. Một số hữu tỉ x có thể được đại diện bởi các phân số khác nhau nên t/c

x  0 không phụ thuộc vào việc chọn phân số đại diện của x.
a
và a.1  0 trong Z khi và chỉ khi a  0 .
1
Vậy khi x là một số nguyên thì khái niệm x  0 trong Q và trong Z phù hợp với

2. Nếu x  a  Z thì có thể viết x 

nhau.
*Đ/N2: Giả sử x,y  Q .
+ Ta nói x nhỏ hơn hoặc bằng y, viết là x  y , nếu y  x  0 .
+ Khi có x  y ta cũng nói y lớn hơn hoặc bằng x và viết là y  x .
+ Nếu x  y và x  y ta viết x  y và nói x nhỏ hơn y.
*Đ/N3: Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương. Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số
hữu tỉ âm.
2.3.2. Định lí
Quan hệ  xác định theo định nghĩa trên là một quan hệ thứ tự toàn phần trên Q.
HD C/m:
- Kiểm tra 3t/c phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu  Quan hệ  là quan hệ thứ tự
trên Q.
- C/m x,y  Q ta luôn có x  y hoặc y  x .
2.3.3. Tính chất
i) x,y,z  Q , nếu x  y thì x  z  y  z
Hệ quả: x, y, z  Q , x  z  y suy ra x  y  z .
ii) x,y  Q , nếu x  0,y  0 thì xy  0
iii) x,y,z  Q , x  y thì:
xz  yz nếu z  0
xz  yz nếu z  0

2.3.4. Tính trù mật của tập Q

*Đlí: x,y  Q,x  y tồn tại số hữu tỉ z sao cho x  z  y .
Chứng minh:
Từ giả thiết x  y suy ra x  x  x  y và x  y  y  y .
Hay 2x  x  y  2y .


Từ đó suy ra x 
Đặt z 

xy
y.
2

xy
ta được đpcm.
2

*Hệ quả: Giữa hai số hữu tỉ phân biệt bất kì bao giờ cũng tồn tại vô số số hữu tỉ
khác.
Chứng minh: GT
Chú ý: Tính chất trên thể hiện sự khác biệt căn bản giữa tính sắp thứ tự của tập hợp
số nguyên và tập hợp số hữu tỉ.
Trong tập hợp số nguyên giữa hai số nguyên a và a +1 không có số nguyên
nào khác và từ đó có thể suy ra giữa hai số nguyên phân biệt chỉ có hữu hạn số
nguyên khác chúng. Người ta nói tập hợp số nguyên sắp thứ tự rời rạc.
Còn trong tập hợp số hữu tỉ, giữa hai số hữu tỉ phân biệt bất kì bao giờ cũng
có vô số số hữu tỉ. Người ta nói tập hợp số hữu tỉ sắp thứ tự trù mật.
2.3.5. Tính sắp thứ tự acsimet
*Đlí: x, y  Q , nếu x  0 thì tồn tại số tự nhiên n sao cho nx  y .
Chứng minh:

- Nếu y  0 ta chỉ cần đặt n  1 thì y < x = 1.x.
a
b

- Nếu y > 0 thì có thể viết x  , y 

c
trong đó a,b,c,d là những só nguyên dương.
d

Đặt n  b(c  1) thì n  N và ta có
nx  a(c  1)  c  1  c 

c
 y (đpcm)
d

2.4. Lực lƣợng của tập hợp Q
Từ tính chất trù mật của tập hợp Q ta dễ hình dung rằng Q có “rất nhiều”
phần tử, tuy nhiên định lí dưới đây cho hấy lực lượng của Q cũng chỉ bằng lực
lượng của tập hợp số tự nhiên N.
*Đlí: Tập hợp Q có lực lượng đếm được: Card Q = Card N
*Dãy số hữu tỉ:
Để đánh số các số hữu tỉ, ta viết tập hợp số hữu tỉ như sau:


...  3






 2  1





5
2

4
3


1  2



3
1
2
2

2
1

3
3



0 




3  ...










1
3

2
2

5
2

1
2
4

 
3
3
3









...

...





Ta thấy các số nguyên được viết ở dòng thứ nhất, dòng thứ hai viết các phân số tối
giản có mẫu là 2, dòng thứ ba viết các phân số tối giản có mẫu số là 3, … còn việc
đánh số thứ tự các số hữu tỉ được tiến hành theo mũi tên. Như vậy, tập hợp số hữu
tỉ được viết thành một dãy như sau:
3 1 1
3 2 1 1
0;1;2; ; ;  ; 1; 2;  ;  ;  ; ;...
2 2 2
2 3 3 3

2.5. Số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn
2.5.1. Số thập phân hữu hạn
a. Phân số thập phân
- Số hữu tỉ x được gọi là phân số thập phân nếu nó được đại diện bởi một phân số
với mẫu số là một lũy thừa của 10.
Ví dụ:
1) x 

47
là phân số thập phân
10

2) x 

7
14
là phân số thập phân, vì x cũng được đại diện bởi phân số .
5
10

3) Mọi số nguyên n đều là phân số thập phân vì n được đại diện bởi phân số
n
với 1 = 100.
1

Nhận xét: Một số hữu tỉ là phân số thập phân khi và chỉ khi hoặc nó là một số
nguyên, hoặc phân số tối giản đại diện cho nó có mẫu số không chứa ước nguyên
tố nào khác ngoài 2 và 5.
b. Số thập phân hữu hạn

- Mọi phân số thập phân dương đều biểu diễn được dưới dạng x  N, a1a 2 ...a n
- Mọi phân số thập phân âm đều biểu diễn được dưới dạng x   N,a1a 2 ...a n
Trong đó N là một số tự nhiên, a1 ,..., a n là những chữ số ( 0  a i  9,i  1, 2,..., n )


Ta nói N,a1a 2 ...a n (hoặc  N, a1a 2 ...a n ) là một số thập phân hữu hạn, N (-N) gọi là
phần nguyên, a1 ,..., a n gọi là phần thập phân.
Như vậy, mọi phân số thập phân đều biểu diễn được dưới dạng một số thập phân
hữu hạn.
Ví dụ: 1) Biểu diễn x 

1725
dưới dạng số thập phân.
100

1725 1.103  7.10 2  2.101  5.10 0

 1.101  7.100  2.10 1  5.10 2  17, 25
2
100
10
32
2) Biểu diễn x 
dưới dạng số thập phân.
1000

x

32
3.101  2.100

x

 3.102  2.103  0.100  0.101  3.102  2.103  0, 032
3
1000
10

Chú ý: Trong thực hành, để viết phân số thập phân

a
, với a có m chữ số, dưới
10n

dạng số thập phân ta làm như sau:
- Nếu m > n ta đặt dấu phẩy vào trước chữ số thứ n của a kể từ phải sang trái.
- Nếu m  n ta bổ sung n – m + 1 chữ số 0 vào bên trái của a rồi đặt dấu phẩy trước
chữ số thứ n kể từ phải sang trái.
2.5.2. Số thập phân vô hạn tuần hoàn
Một số thập phân vô hạn tuần hoàn là biểu diễn thập phân của một số có phần thập
phân lặp lại (lặp lại giá trị của nó ở các khoảng đều đặn) và phần lặp lại vô hạn
không phải là số không.
x  N,a1...a i  a i 1...a i n 

Dãy chữ số viết trong ngoặc được lặp lại vô hạn lần. Ta gọi số thập phân trên là số
thập phân vô hạn tuần hoàn, ( a i1 ,...,a in ) gọi là chu kì của nó.
Ví dụ: x 

367
 3,3  36 
110

Bài tập
a
b

Bài 1: Cho x, y  Q,x  , y 

c
, a,b,c,d  Z,b  0,d  0 .
d

Chứng minh rằng: x  y  ad  bc .
c
d

a
b

Giải: Ta có x  y  y  x  0   

cb  ad
0
bd

  cb  ad  bd  0  cb  ad  0  ad  bc (vì b  0,d  0 nên bd  0 )


Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số hữu tỉ x đều tồn tại số nguyên m duy nhất sao
cho: m  x  m  1 .
Số nguyên m gọi là phần nguyên của x và kí hiệu m  x .

a
b

Giải: Giả sử x  Q,x  ,a, b  Z . Hơn nữa có thể coi b>0. Theo định lý về phép chia
với dư trong Z ta có a  bq  r,0  r  b
Suy ra bq  a  b  q  1 (1)
a
b

Nhân tất cả (1) với b1  0 , ta có: q   q  1 .
a
b

Đặt m  q ta có m   m  1 hay m  x  m  1 .
Bài 3: Tìm [x], biết:
a) x 

17
5

b) x 

Bài 4: Giả sử

35
4

c)

12

43
x
5
17

d)

14
21
x
3
5

a c
ac
là hai phân số với mẫu số dương, khi đó phân số
gọi là
,
b d
bd

phân số trung gian của hai phân số trên. Chứng minh:
Nếu

a ac c
a c
 .
 thì 
b bd d
b d

Chứng minh:
c a
a c
 thì   0 .
d b
b d
cb  ad
Suy ra
 0  bc  ad  0 (vì b, d  0 )
bd
a  c a bc  ad
Khi đó
 
0
b  d b b(b  d)

Nếu

và

c a  c bc  ad


0
d b  d d(b  d)

Từ đó suy ra

a ac c


 (đpcm)
b bd d

Bài 5: Chứng tỏ các số hữu tỉ sau là những phân số thập phân và biểu diễn chúng
dưới dạng số thập phân hữu hạn:
35 41 1372
; ;
8 25 160

Bài 6: Biểu diễn các số hữu tỉ sau dưới dạng số thập phân:
41 53 1 37
;
; ;
11 15 19 7


Bài 7: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản:
1,3425 ; -42,0302
Bài 8: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số tối giản:
13, (5) ; -13,1(5)
Giải:
a
b

a
b

 Giả sử 13, (5)  , a, b  N . Ta có a  13b  r,0  r  b   13 
r

b

Ta lại có 10r  5b  r  9r  5b  
Vậy

r
b

5
9

a
5 122
 13  
b
9
9

a
b

a
b

 Giả sử 13,1(5)  , a, b  N . Ta có a  13b  r,0  r  b   13 

r
b

Ta lại có 10r  b  r ',0  r'  b

10r '  5b  r '  r ' 

5b
9

5b
r 7
 
9
b 45
a
7 592
Và  13  
b
45 45
592
Vậy 13,1(5)  
45

Từ đó 10r  b 

C. Câu hỏi, hƣớng dẫn học tập, thảo luận
- Trình bày phương pháp hình thành khái niệm số thập phân ở Tiểu học.
-----------------------------------------------------------------------------------Chƣơng 3. Số thực
Số tiết: 5 (Lý thuyết: 3 tiết; Bài tập,thảo luận: 2 tiết)
A. Mục tiêu
1. Kiến thức: SV hiểu và biết:
- Sự hạn chế của tập hợp số hữu tỉ Q.
- Cách xây dựng tập hợp số thực R.
- Quan hệ thứ tự trên R và các phép toán trên R.

2. Kỹ năng:
- Vận dụng được lí thuyết làm bài tập tương ứng.


- Có kỹ năng khai thác thông tin từ nhiều phương tiện khác nhau.
- Có kỹ năng chứng minh thành thạo, biết cách tính tổng và tích gần đúng
cấp n của hai số thực x và y cho trước.
3. Thái độ:
- Có thái độ nghiêm túc trong học tập.
- Tìm hiểu nội dung liên quan đến bài học trước khi lên lớp.
- Bồi dưỡng niềm say mê học toán, nâng cao ý thức tự học.
B. Nội dung
3.1. Xây dựng trƣờng các số thực R
3.1.1. Sự hạn chế của tập số hữu tỉ Q
Ta xét bài toán: “Cho hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị độ dài. Tìm số đo của
đường chéo hình vuông đó”.
Nếu gọi x là số đo của đường chéo hình vuông này, thì theo định lí Pitago ta có:
x2  12  12  2 .
Nhưng không có một số hữu tỉ x nào mà x2  2 . Thật vậy, giả sử x  Q,x2  2 . Viết
x dưới dạng phân số tối giản x 

a
b

 a, b  Z, b  0  ,

UCLN a,b   1 , ta có:

2

a
2
2
 b   2 hay a  2b
 

Đẳng thức trên chứng tỏ a phải là một số chẵn. Giả sử a  2a1 , khi đó a 2  4a12 và ta
được 2a12  b2 .
Đẳng thức cuối cùng lại chứng tỏ b là một số chẵn. Như vậy, a và b cùng là số
chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết UCLN  a,b   1 .
Vậy số đo đường chéo của hình vuông đã cho không thể là số hữu tỉ.
Tương tự, nếu dừng lại ở tập số hữu tỉ thì các phương trình x2  3  0;x2  5  0; …
đều không có nghiệm.
Trong khi đó, trong khoa học và kĩ thuật ta thường xuyên phải biểu diễn số đo
của những đoạn thẳng, hoặc phải tìm nghiệm của những phương trình trên đây. Vì
vậy cần phải mở rộng tập số hữu tỉ thêm những số mới để khắc phục những hạn
chế nêu trên.
3.1.2. Xây dựng tập số thực


Trong toán học người ta có thể xây dựng tập số thực bằng nhiều phương
pháp khác nhau, chẳng hạn: xây dựng từ số thập phân vô hạn, phương pháp nhát
cắt Dedekin, phương pháp làm đầy,…
Trước hết ta trình bày phương pháp dưới đây được xem như là phương pháp đơn
giản.
+ Số thập phân vô hạn và số thực: trong chương 2 chúng ta đã nghiên cứu hai loại
số thập phân:
- Số thập phân (hữu hạn)
- Số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì khác 9 (những số hữu tỉ không phải là
số thập phân).

Trong thực tế ta còn gặp một loại “số thập phân” thứ ba: những số thập phân có vô
số chữ số phần thập phân nhưng các chữ số ở phần thập phân không lặp lại theo
một quy luật nào. Chẳng hạn: 1,4142135…; 1,7320508…;…
Những số thập phân như thế gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Mỗi số
thập phân vô hạn không tuần hoàn ta gọi là một số vô tỉ.
Tập tất cả các số hữu tỉ và số vô tỉ ta gọi là tập các số thực, kí hiệu là R.
Như vậy:
Số thập phân (hữu hạn)
Số hữu tỉ
Số thực

Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Số thập phân vô hạn không tuần hoàn

Số vô tỉ = Số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Nếu ta coi mỗi số thập phân hữu hạn là một số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu
kì bằng 0 thì ta có thể nói mỗi số thực là một số thập phân vô hạn (tuần hoàn hoặc
không).
Như vậy mỗi số thực có dạng: x  a,a1a 2 ...a i ... trong đó a là số nguyên dương, còn a i
với i =1, 2, 3,… là một trong các chữ số 0, 1, 2, …, 9 và các số được kí hiệu như
trên với dấu (-) đằng trước: x  a,a1a 2 ...a i ...
Số thực x khác 0 mà dạng thập phân vô hạn của nó không mang dấu trừ (-) gọi là
số thực dương, trong trường hợp ngược lại gọi là số thực âm.


Số thực y gọi là số đối của số thực x, kí hiệu là y = -x, nếu ở dạng thập phân vô
hạn x và y chỉ khác nhau về dấu.
Chẳng hạn: 2,15321431… và -2,15321431… là hai số đối của nhau, trong đó số
thứ nhất là số thực dương, còn số thứ hai là số thực âm.

3.2. Quan hệ thứ tự trên R và các phép toán trên R
Đ/N1: Cho x  R . Ta gọi số thực
x, nÕu x lµ sè thùc d­¬ng

x  0, nÕu x = 0
x, nÕu x lµ sè thùc ©m


là giá trị tuyệt đối của x.
Từ định nghĩa dễ dàng suy ra:
1) Giá trị tuyệt đối của số thực x luôn luôn là số thực dương hoặc bằng 0 (số
thực không âm)
2) Hai số thực đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau. (ví dụ: 1,32  1,32 ;
1,32  1,32 )

*Để so sánh hai số thực x và y bất kì ta thực hiện quy tắc dưới đây:
1) Trường hợp x và y đều không âm, giả sử x  a0 ,a1a 2 ...a n ... và
y  b0 ,b1b2 ...bn ...

Ta nói rằng x nhỏ hơn y, viết là x < y, nếu tồn tại số tự nhiên k sao cho a i  bi với
i  0,1,2,3,..., k  1 và a k  b k .

2) Mọi số thực không âm đều lớn hơn một số thực âm bất kì.
3) Số thực âm x gọi là nhỏ hơn số thực âm y, nếu y  x .
Ta nói x nhỏ hơn hoặc bằng y, kí hiệu x  y , nếu x < y hoặc x = y.
*Nhận xét: - Bằng quy tắc 1, chúng ta đưa việc so sánh hai số thực dương về so
sánh hai số thập phân không âm; Trước hết ta so sánh a 0 và b0 . Nếu a 0 < b0 (hoặc
b0 < a 0 ) thì x < y (hoặc y < x); Nếu a 0 = b0 thì ta so sánh a1 và b1 theo nguyên tắc

trên và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi gặp chỉ số k mà a k < b k (hoặc b k < a k ). Nếu

a k = b k với mọi k ta kết luận x = y.

- Từ quy tắc 1 và 2 suy ra mọi số thực dương đều lớn hơn 0 và mọi số thực âm đều
nhỏ hơn 0.


Đ/N2: Giả sử x  a0 ,a1a 2 ...a n ... là một số thực. Ta gọi số hữu tỉ xn  a0 ,a1a 2 ...a n là xấp xỉ
cấp n của số thực x.
Đ/N3: Giả sử x  a0 ,a1a 2 ...a n ... và y  b0 ,b1b2 ...bn ... là hai số thực, x n và y n là hai xấp
xỉ cấp n của chúng. Ta gọi:
sn  x n  yn là tổng gần đúng cấp n của hai số thực đó.
p n  xn .yn là tích gần đúng cấp n của hai số thực đó.

Ví dụ: Cho x  2 và y   . Ta có:
Tổng gần đúng cấp 1 của x và y là 1,4 + 3,1 = 4,5
Tổng gần đúng cấp 4 của x và y là 1,4142 + 3,1416 = 4,5558
Tích gần đúng cấp 1 của x và y là 1,4 . 3,1 = 4,34
Tích gần đúng cấp 3 của x và y là 1,414 . 3,141 = 4,441374 ~ 4,44.
Nhận xét: Bằng cách trên ta đã đưa việc tính toán trên các số thực về thực hành
tính toán trên các số hữu tỉ. Kết quả của các phép toán xấp xỉ này đều là số hữu tỉ.
Với n đủ lớn thì sai số của phép tính xấp xỉ sẽ không đáng kể.
Bài tập
Bài 1: Chứng minh rằng các phương trình sau không có nghiệm hữu tỉ:
a) x 2  5  0
b) x 2  2x  2  0
c) x 2  4x  3  0
HD:
b) x 2  2x  2  0  (x 1)2  3  0
Đặt y = x – 1. Khi đó bài toán trở thành “chứng minh rằng pt y2  3  0 không có
nghiệm hữu tỉ”

2
c) x 2  4x  3  0   x  2  7  0
Tương tự ý b).
Bài 2: a) Cho x là số hữu tỉ, y là số vô tỉ. Hỏi x + y, x.y là số vô tỉ hay hữu tỉ?
b) Cho x và y là số vô tỉ. Hỏi x + y, x.y là số hữu tỉ hay vô tỉ?
Giải:
a) Cho x  Q, y  R \ Q .
Khi đó x  y  Q . Vì nếu x  y  Q thì  x  y   x  y  Q .
Nếu x  Q, y  R \ Q thì xy  Q . Vì nếu xy  Q thì  xy  x 1  y  Q .
b) Nếu x, y  R \ Q thì x  y, xy có thể thuộc Q hoặc không thuộc Q.


Ví dụ: x   2  Q, y  2  2  Q nhưng





x  y   2  2  2  2Q

+) x 

2
2
 Q, y  2  Q nhưng xy 
. 2  1 Q .
2
2

Bài 3: Viết phần nguyên và 5 chữ số thập đầu tiên của số vô tỉ x mà:

a) x 2  15
b) x3  21
Giải: a)Ta có 32  15  42
14, 44  (3,8) 2  15  (3,9) 2  15, 21
14,9769  (3,87) 2  15  (3,88) 2  15, 0544
14,992384  (3,872) 2  15  (3,873) 2  15, 000129
14,999354  (3,8729) 2  15  (3,8730) 2
14,999974  (3,87298) 2  15  (3,87299) 2  15, 000051

Vậy phần nguyên của 15 là 3 và năm chữ số thập phân đầu của nó là 87298.
b) Tương tự.
Bài 4: Tìm tổng và tích gần đúng cấp 2 và cấp 3 của x và y, biết rằng:
a) x  3; y 
b) x 

7
11

21
; y 2
22

Bài 5: Tính x + y, x. y, x – y, x : y với độ chính xác đến 10-4 với
a) x = 1,3 (12)
y = 0,4324432…
b) x = -3,04215…
y = 2,37 (41)
C. Câu hỏi, hƣớng dẫn học tập, thảo luận
CH: CMR nếu m không phải là bình phương của một số tự nhiên thì m là số vô
tỉ.

C/m: Giả sử m có dạng phân tích tiêu chuẩn m  p1m .pm2 ...psm , trong đó pi là những
1

2

s

số nguyên tố khác nhau. Do m không là số chính phương nên phải có một thừa số
p i có số mũ mi lẻ.
Không mất tính tổng quát, giả sử p1 có số mũ m1 lẻ.
2

Giả sử có

a
a
m   Q, a, b  N, b  0 và  a, b   1 . Khi đó ta có    m hay
b
b

a2
 p1m1 .pm2 2 ...psms  a 2  b2 .p1m1 .pm2 2 ...psms
b2

(1)