ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN LÝ THUYẾT MÔ ĐUN 2 TÍN CHỈ (Tài liệu dành cho sinh viên ngành Đại học sư phạm Toán năm thứ 4)

1












ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN
LÝ THUYẾT MÔ ĐUN 2 TÍN CHỈ
(Tài liệu dành cho sinh viên ngành Đại
học sư phạm Toán năm thứ 4)
2

MỤC LỤC
CHƯƠNG 1. Môđun trên một vành 3
1.1. Định nghĩa môđun 3
1.2. Mô đun con 4
1.3. Giao của một họ các mô đun 4
1.4. Mô đun con sinh bởi một tập 4
1.5. Tổng của một họ các mô đun 5
1.6. Mô đun thương 6
1.7. Môđun con xoắn 6
CHƯƠNG 2. Đồng cấu môđun 9
2.1. Định nghĩa và các tính chất đơn giản 9
2.2. Ví dụ 10

2.3. Ảnh và tạo ảnh 10
2.4. Hợp thành các đồng cấu môđun 10
2.5. Các định lý về đồng cấu và đẳng cấu môđun 10
2.6. Các định lý về hạt nhân và đối hạt nhân 11
2.7. Nhóm cộng Hom
A
(M, N) 12
2.8. Hàm tử Hom 12
2.9. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp 14
CHƯƠNG 3. Dãy khớp. Dãy nửa khớp 19
3.1. Dãy khớp. Dãy khớp ngắn 19
3.2. Các định lý 20
3.3. Dãy nửa khớp 20
3.4. Tích tenxơ 21
CHƯƠNG 4. Một số môđun đặc biệt 26
4.1. Mô đun xyclic 26
4.2. Mô đun tự do 26
4.3. Mô đun phẳng. Mô đun chia được 27
4.4. Mô đun nội xạ 28
4.5. Mô đun xạ ảnh 29
CHƯƠNG 5. Một số vành số học và ứng dụng 33
5.1. Vành chính 33
5.2. Vành Gauxơ 34
5.3. Vành ơclít 34
5.4. Vành Nother 35
5.5. Vành Actin 36
5.6. Miền Đơđơkin 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

3

CHƯƠNG 1
Môđun trên một vành
Số tiết: 06 (Lý thuyết: 05; bài tập, thảo luận: 01)

A. MỤC TIÊU
- Sinh viên hiểu được một số tính chất cơ bản của các khái niệm: môđun, môđun con, môđun
thương, môđun sinh bởi một tập, tổng và giao một họ các môđun.
- Sinh viên biết vận dụng lý thuyết vào giải các bài toán được giới thiệu ở cuối chương.
- Qua nội dung của chương, sinh viên thấy được môđun là khái niệm khái quát của các cấu
trúc: không gian véctơ, vành, iđêan. Trên cơ sở đó, sinh viên nhận thức được lý thuyết môđun
đóng vai trò quan trọng của đại số hiện đại.

B. NỘI DUNG

1.1. Định nghĩa môđun
Định nghĩa 1.1.1. Cho
A
là một vành giao hoán có đơn vị
1 0
≠
và
M
là mộ
t nhóm c
ộ
ng
Abel, cùng v
ớ
i m

ộ
t ánh x
ạ

µ
t
ừ

A M
×
vào
,
M
t
ạ
o nên m
ộ
t phép toán nhân ngoài
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i:
. ( , )
a x a x
µ
=
v
ớ

i m
ọ
i
a A
∈
và m
ọ
i
.
x M
∈
V
ớ
i phép c
ộ
ng v
ố
n có trong
M
và
phép nhân ngoài
đ
ã
đượ
c xác
đị
nh, thì
M

đượ

c g
ọ
i là m
ộ
t
A
- môđun trái
n
ế
u các tiên
đề
sau
đượ
c th
ỏ
a mãn:
1
2
3
4
( ) : ( )
( ) :( )
( ):( ) ( )
( ) :1
M a x y ax ay
M a b x ax bx
M ab x a bx
M x x
+ = +
+ = +

=
=

v
ớ
i m
ọ
i
,
a b A
∈
và m
ọ
i
,
x y M
∈
.
Chú ý 1.1.2.

(i) N
ế
u tiên
đề
(
3
M
)
đượ
c thay b

ở
i
( ) ( )
ab x b ax
=
thì
M

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
A
- mô
đ
un
ph
ả
i. Và th
ấ
y ngay, n
ế
u vành
A
giao hoán thì hai khái ni
ệ
m mô
đ

un trái và mô
đ
un ph
ả
i là nh
ư

nhau. Toàn b
ộ
h
ọ
c ph
ầ
n này, ta ch
ỉ
xét các l
ớ
p mô
đ
un trái và ta s
ẽ
dùng t
ừ

“môđun”
thay
cho “mô
đ
un trái”.
(ii) Kí hi

ệ
u 0 là mô
đ
un ch
ỉ
có m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
duy nh
ấ
t
đọ
c là
“Môđun không”.

Ví dụ 1.1.3.
(i) M
ỗ
i ideal trái c
ủ
a vành
A
là m
ộ
t
A
- mô

đ
un.
Đặ
c bi
ệ
t, m
ỗ
i ideal c
ủ
a
A
là m
ộ
t
A
-
mô
đ
un và b
ả
n thân
A
c
ũ
ng là m
ộ
t
A
- mô
đ

un.
(ii)
K
là m
ộ
t tr
ườ
ng thì các
K
- mô
đ
un chính là các không gian vect
ơ
trên
K
.
(iii) M
ỗ
i nhóm aben c
ộ
ng
M

đề
u
đượ
c coi là
ℤ
- mô
đ

un v
ớ
i phép toán nhân ngoài
đượ
c xác
đị
nh nh
ư
sau: V
ớ
i m
ỗ
i
x M
∈
và
n
∈
ℤ
thì

nx x x x
= + + +
(t
ổ
ng g
ồ
m
n
ph

ầ
n t
ử

x
) v
ớ
i
n
nguyên d
ươ
ng,
0 0 ; ( )( )
M
x nx n x
= = − −
n
ế
u
n
nguyên âm.
Nhận xét 1.1.4.
Các ví d
ụ
v
ừ
a nêu ch
ứ
ng t
ỏ

r
ằ
ng khái ni
ệ
m mô
đ
un là m
ộ
t khái ni
ệ
m t
ổ
ng
quát c
ủ
a các khái ni
ệ
m: vành, i
đ
êan, không gian vect
ơ
và nhóm aben. Ngoài ra, m
ỗ
i mô
đ
un t
ự

nó luôn là m
ộ

t
ℤ
- mô
đ
un.
4

Định lý 1.1.5.
V
ớ
i m
ỗ
i
A
- mô
đ
un
M
, ta luôn có:
(i)

0 0
A M
x a
=
v
ớ
i m
ọ
i

x M
∈
và
a A
∈

(ii)

( ) ( )
a x ax a x
− = − = −
v
ớ
i m
ọ
i
x M
∈
và
a A
∈
.

1.2. Môđun con
Định nghĩa

1.2.1.
M
ộ
t t

ậ
p h
ợ
p con r
ỗ
ng
N
c
ủ
a m
ộ
t
A
- mô
đ
un
M
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
A
-
mô
đ
un con
c
ủ

a
M
n
ế
u b
ả
n thân
N
cùng v
ớ
i hai phép toán trong
M
thu h
ẹ
p vào
N
là m
ộ
t
A
- mô
đ
un. Khi
N
là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ

a mô
đ
un
M
thì ta nói r
ằ
ng
M
là m
ộ
t mô
đ
un m
ở

r
ộ
ng c
ủ
a
N
.
Nhận xét 1.2.2.
T
ừ

đị
nh ngh
ĩ
a ta th

ấ
y,
để
ki
ể
m tra m
ộ
t t
ậ
p con
N
c
ủ
a m
ộ
t
A
- mô
đ
un
M
có
là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a
M

hay không, ta c
ầ
n ki
ể
m tra ba
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau:
(i)
N
≠ ∅

(ii)
,
x y N x y N
∀ ∈
⇒
+ ∈
(
đ
óng kín v
ớ
i phép c
ộ
ng)
(iii)
,

x N a A
∀ ∈ ∈
thì
ax N
∈
(
đ
óng kín v
ớ
i phép nhân vô h
ướ
ng).
Ví dụ 1.2.3.
(i) M
ỗ
i
A
- mô
đ
un
M
luôn ch
ứ
a hai mô
đ
un con t
ầ
m th
ườ
ng là: mô

đ
un con không
{0}

và b
ả
n thân
.
M

(ii) Cho
A
- mô
đ
un
M
và
a
là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
.
M
Khi

đ
ó t
ậ
p h
ợ
p
{ }
Ax ax a A
= ∈

là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a
.
M
g
ọ
i là mô
đ
un con xyclic sinh b
ở
i
x
.
(iii) M
ọ

i nhóm con c
ủ
a m
ộ
t nhóm Abel
đề
u là m
ộ
t
ℤ
- mô
đ
un con c
ủ
a
.
M

(iv) M
ọ
i i
đ
êan c
ủ
a m
ộ
t vành
A
có
đơ

n v
ị

1 0
≠

đề
u là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a
A
khi
xem
A
là m
ộ
t mô
đ
un con trên chính nó.
(v) Cho
A
là m
ộ
t vành giao hoán, khi
đ
ó vành

đ
a th
ứ
c
[ , ]
A x y
là m
ộ
t
A
- mô
đ
un
nh
ậ
n
[ ]
A x
là m
ộ
t
A
- mô
đ
un con c
ủ
a nó.
Định lý 1.2.4.
M
ộ

t t
ậ
p con
N
c
ủ
a m
ộ
t
A
- mô
đ
un
M
là m
ộ
t
A
- mô
đ
un con c
ủ
a
M
n
ế
u và
ch
ỉ
n

ế
u
0
M
N
∈
và
ax by N
+ ∈
v
ớ
i m
ọ
i
,
x y N
∈
và m
ọ
i
,
a b A
∈
.

1.3. Giao của một họ các môđun
Định lý 1.3.1.
Giao c
ủ
a m

ộ
t h
ọ
b
ấ
t k
ỳ
nh
ữ
ng
A
- mô
đ
un con c
ủ
a
M
là m
ộ
t
A
- mô
đ
un con
c
ủ
a
.
M

Chú ý:
H
ợ
p c
ủ
a m
ộ
t h
ọ
b
ấ
t k
ỳ
nh
ữ
ng
A
- mô
đ
un con c
ủ
a
M
nhìn chung không ph
ả
i là m
ộ
t
A
- mô

đ
un con c
ủ
a
.
M


1.4. Môđun con sinh bởi một tập
Định lý 1.4.1.
Cho
A
- mô
đ
un
M
và
, .
S M S
⊂ ≠ ∅
Xét t
ậ
p h
ợ
p:
{ , 0
x x x
x S
S a x a A a x
∈

= ∈ =
∑
h
ầ
u h
ế
t tr
ừ
m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n}.
5

Khi
đ
ó
S
là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a

.
M

Mệnh đề 1.4.2.
S
là giao c
ủ
a t
ấ
t c
ả
các mô
đ
un con ch
ứ
a
S
c
ủ
a
M
.
Định nghĩa 1.4.3.
Gi
ả
s
ử

S
là m

ộ
t t
ậ
p con c
ủ
a m
ộ
t
A
- mô
đ
un
.
M
Khi
đ
ó giao c
ủ
a t
ấ
t c
ả
các
mô
đ
un con ch
ứ
a
S
c

ủ
a
M
c
ũ
ng là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a
M
. Mô
đ
un con này
đượ
c g
ọ
i là
mô
đ
un con c
ủ
a
M
sinh b
ở
i
S

. Kí hi
ệ
u :
.
S

N
ế
u mô
đ
un con sinh b
ở
i
S
chính là
M
thì ta nói
S
là m
ộ
t h
ệ
sinh c
ủ
a
.
M
H
ệ
sinh

S
c
ủ
a
M
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t h
ệ
sinh c
ự
c ti
ể
u n
ế
u
S
không ch
ứ
a th
ự
c s
ự
m
ộ
t h
ệ

sinh nào khác
c
ủ
a
.
M

N
ế
u
M
có m
ộ
t h
ệ
sinh h
ữ
u h
ạ
n, thì ta nói r
ằ
ng
M
là m
ộ
t mô
đ
un h
ữ
u h

ạ
n sinh. Khi
M
có m
ộ
t h
ệ
sinh ch
ỉ
g
ồ
m 1 ph
ầ
n t
ử
thì
M

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t mô
đ
un
đơ
n sinh (mô
đ
un xyclic)

Nhận xét 1.4.4.
N
ế
u
S
là t
ậ
p r
ỗ
ng thì mô
đ
un con sinh b
ở
i
S
= ∅
chính là mô
đ
un con 0. Cho
nên, t
ừ
nay v
ề
sau, khi nói
đế
n mô
đ
un con sinh b
ở
i t

ậ
p
S
thì ta luôn coi
S
khác r
ỗ
ng.
Gi
ả
s
ử

S
là m
ộ
t t
ậ
p con khác r
ỗ
ng c
ủ
a m
ộ
t
A
- mô
đ
un
.

M
Khi
đ
ó m
ỗ
i t
ổ
ng
1
n
i i
i
a x
=
∑

trong
đ
ó
1 2 1 2
, , , , , , ,
n n
a a a A x x x S
∈ ∈

đượ
c g
ọ
i là m
ộ

t t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
.
S

Định lý 1.4.5.
Cho
S
là m
ộ
t t
ậ
p con khác r
ỗ
ng c
ủ
a m
ộ
t

A
- mô
đ
un
.
M
Khi
đ
ó mô
đ
un con
sinh b
ở
i
S
chính là mô
đ
un con nh
ỏ
nh
ấ
t ch
ứ
a
S
c
ủ
a
M
và mô

đ
un con này c
ũ
ng là t
ậ
p t
ấ
t
c
ả
các t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
.
S

Định lý 1.4.6.
Cho

S
là m
ộ
t t
ậ
p con khác r
ỗ
ng c
ủ
a m
ộ
t
A
- mô
đ
un
,
M
và
I
là m
ộ
t t
ậ
p con
khác r
ỗ
ng c
ủ
a

.
A
Khi
đ
ó
IS
là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a
M
n
ế
u m
ộ
t trong các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau
đ
ây
đượ
c th
ỏ

a mãn :
(i)
I
là m
ộ
t ideal trái c
ủ
a
A
.

(ii)
Các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
I
là các hoán t
ử
c
ủ
a
A
và
S
là m
ộ

t mô
đ
un con c
ủ
a
.
M

Hệ quả 1.4.7.
Cho
S
là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a
A
- mô
đ
un
M
. Khi
đ
ó, n
ế
u
A
là m

ộ
t vành giao
hoán và
I
là m
ộ
t t
ậ
p khác r
ỗ
ng c
ủ
a
,
A
thì
IS
là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a
.
M


1.5. Tổng của một họ các môđun
Cho

I
là m
ộ
t t
ậ
p khác r
ỗ
ng và
{ }
I
N
α α
∈
là m
ộ
t h
ọ
tùy ý các mô
đ
un con c
ủ
a
A
-
mô
đ
un
M
. Kí hi
ệ

u
I
N
α α
∈
∑
là t
ậ
p g
ồ
m t
ấ
t c
ả
các t
ổ
ng h
ữ
u h
ạ
n các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
I
N
α α

∈
∪
:
{ , , , , , }.
I
N x x x N x N I
α α δ γ δ δ γ γ
δ γ
∈
∑ = + + ∈ ∈ ∈
T
ậ
p
I
N
α α
∈
∑

đượ
c g
ọ
i là
t
ổ
ng
c
ủ
a h
ọ

{ }
I
N
α α
∈
các mô
đ
un con c
ủ
a
.
M

Đinh lý 1.5.1.
Gi
ả
s
ử

{ }
I
N
α α
∈
là m
ộ
t h
ọ
tùy ý các mô

đ
un con c
ủ
a
A
- mô
đ
un
.
M
Khi
đ
ó ta
có:

(i)

I
N
α α
∈
∑
là m
ộ
t
A
- mô
đ
un con c
ủ

a
.
M


(ii)
N
ế
u h
ọ

{ }
I
N
α α
∈
l
ồ
ng nhau, t
ứ
c là v
ớ
i
,
I
α β
∈
b
ấ
t kì thì

N N
α β
⊆
ho
ặ
c
N N
β α
⊆

thì
I
N
α α
∈
∪
c
ũ
ng là m
ộ
t
A
- mô
đ
un con c
ủ
a
.
M

6


1.6. Môđun thương
Gi
ả
s
ử

N
là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a
A
- mô
đ
un
.
M
Khi
đ
ó nhóm th
ươ
ng c
ộ
ng Abel

( / , )
M N
+
cùng v
ớ
i phép nhân ngoài cho b
ở
i
( )
a x N ax N
+ = +

v
ớ
i m
ọ
i
a A
∈
và m
ọ
i
/
x N M N
+ ∈
l
ậ
p thành m
ộ
t

A
- mô
đ
un.
Định nghĩa 1.6.1.
Cho
N
là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a
A
- mô
đ
un
.
M
Khi
đ
ó
A
- mô
đ
un
/
M N

xác
đị
nh nh
ư
trên
đượ
c g
ọ
i là
mô
đ
un th
ươ
ng
c
ủ
a
M
theo
.
N

Nhận xét 1.6.2.
(i)
ax by ax by
+ = +
v
ớ
i m
ọ

i
,
a b A
∈
và m
ọ
i
,
x y M
∈

(ii)
P
là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a
M
ch
ứ
a
N
thì
A
- mô
đ
un th

ươ
ng
/
P N
là m
ộ
t
A
-
mô
đ
un con c
ủ
a
/ .
M N

Ví dụ 1.6.3.
(i) Vành th
ươ
ng c
ủ
a m
ộ
t vành
A
c
ũ
ng là m
ộ

t
A
- mô
đ
un th
ươ
ng c
ủ
a
.
A

(ii) Tr
ườ
ng các s
ố
h
ữ
u t
ỉ

ℚ
làm m
ộ
t
ℤ
- mô
đ
un và
ℤ

chính là
ℤ
- mô
đ
un con c
ủ
a
.
ℚ

Ta nh
ậ
n
đượ
c
ℤ
- mô
đ
un th
ươ
ng
/
ℚ ℤ
là m
ộ
t mô
đ
un ch
ỉ
bao g

ồ
m các ph
ầ
n l
ẻ
c
ủ
a các s
ố
h
ữ
u
t
ỷ
.

1.7. Môđun con xoắn
Định nghĩa 1.7.1.
Gi
ả
s
ử

A
là m
ộ
t mi
ề
n nguyên và
M

là m
ộ
t
A
- mô
đ
un. M
ộ
t ph
ầ
n t
ử

x

c
ủ
a
M

đượ
c g
ọ
i là
ph
ầ
n t
ử
xo
ắ

n
n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
0
a A
≠ ∈
sao cho
0
ax
=
. T
ậ
p các
ph
ầ
n t
ử
xo
ắ
n c

ủ
a
M

đượ
c kí hi
ệ
u là
( ).
M
τ

Mệnh đề 1.7.2.
Gi
ả
s
ử

A
là m
ộ
t mi
ề
n nguyên và
M
là m
ộ
t
A
- mô

đ
un. Khi
đ
ó
( )
M
τ
là m
ộ
t
mô
đ
un con c
ủ
a
M
.
Định nghĩa 1.7.3.
Gi
ả
s
ử

M
là m
ộ
t mô
đ
un trên mi
ề

n nguyên
A
. T
ậ
p
( )
M
τ
các ph
ầ
n t
ử

xo
ắ
n c
ủ
a
M

đượ
c g
ọ
i là
mô
đ
un con xo
ắ
n
c

ủ
a
.
M
N
ế
u
( ) {0 }
M
M
τ
=
thì
M

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
mô
đ
un không xo
ắ
n, còn n
ế
u
( )
M M

τ
=
thì
M

đượ
c g
ọ
i là mô
đ
un xo
ắ
n.

1.8. Cái triệt của môđun

Cho m
ộ
t mô
đ
un, ta
đ
ã bi
ế
t r
ằ
ng ngoài ph
ầ
n t
ử

không trong vành c
ơ
s
ở
nhìn chung còn
nhi
ề
u ph
ầ
n t
ử
làm tri
ệ
t tiêu mô
đ
un
đ
ã cho. Th
ự
c t
ế
nghiên c
ứ
u cho th
ấ
y nh
ữ
ng ph
ầ
n t

ử
này
không mang l
ạ
i nhi
ề
u
ứ
ng d
ụ
ng và còn gây c
ả
n tr
ở
vi
ệ
c nghiên c
ứ
u. Do
đ
ó ng
ườ
i ta th
ườ
ng
g
ộ
p chúng l
ạ
i thành m

ộ
t t
ậ
p riêng bi
ệ
t
để
d
ễ
ki
ể
m soát.
Định nghĩa 1.8.1.
Cho
M
là m
ộ
t
A
- mô
đ
un.
Cái tri
ệ
t
c
ủ
a
M

đượ
c kí hi
ệ
u là
( ),
Ann M
là
t
ậ
p t
ấ
t c
ả
các ph
ầ
n t
ử

a A
∈
sao cho
0
ax
=
v
ớ
i m
ọ
i
.

x M
∈

Mệnh đề 1.8.2.
V
ớ
i m
ỗ
i
A
- mô
đ
un
.
M
Cái tri
ệ
t c
ủ
a
M
là m
ộ
t i
đ
êan c
ủ
a
.
A

C. TÀI LIỆU HỌC TẬP
7

[3] Nguy
ễ
n Ti
ế
n Quang, Nguy
ễ
n Duy Thu
ậ
n (2001),
C
ơ
s
ở
lý thuy
ế
t mô
đ
un và vành
, NXB
Giáo d
ụ
c.
[6] D
ươ
ng Qu

ố
c Vi
ệ
t (2008),
C
ơ
s
ở
lý thuy
ế
t mô
đ
un
, NXB
Đạ
i h
ọ
c S
ư
ph
ạ
m.

D. CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN

1.1.
Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng tiên
đề

4
( ) :1
M x x
=
trong
đị
nh ngh
ĩ
a mô
đ
un
độ
c l
ậ
p v
ớ
i các tiên
đề

còn l
ạ
i.
1.2.
T
ậ
p con
I

c
ủ
a m
ộ
t vành
A
là m
ộ
t I
đ
êan trái c
ủ
a
A
khi và ch
ỉ
khi
I
là m
ộ
t
A
- mô
đ
un
con c
ủ
a
.
A

1.3.
Cho
A
- mô
đ
un
M
và
I
là m
ộ
t I
đ
êan c
ủ
a
A
ch
ứ
a trong
( ).
Ann M
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng có
th
ể

bi
ế
n
M
thành m
ộ
t
/
A I
- mô
đ
un sao cho m
ộ
t t
ậ
p con c
ủ
a
M
là
A
- mô
đ
un con c
ủ
a
M
n
ế
u và ch

ỉ
n
ế
u nó là m
ộ
t
/
A I
- mô
đ
un con c
ủ
a
.
M

1.4.
Cho
A
là m
ộ
t vành giao hoán có
đơ
n v
ị
và
M
là m
ộ
t

A
- mô
đ
un. V
ớ
i
,
V W
là các
A
-
mô
đ
un con c
ủ
a
,
M
còn
I
là m
ộ
t I
đ
êan c
ủ
a
A
, ta kí hi
ệ

u:
: { ax }
: {x ax }
V W a A V x W
V I M V a I
= ∈ ∈ ∀ ∈
= ∈ ∈ ∀ ∈

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
(i)
:
V W
là m
ộ
t I
đ
êan c
ủ
a
A
và
( ) 0 :
M
Ann M M
=

(ii) : =A
V W W V
⇔ ⊆

(iii)
:
V I
là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a
M
ch
ứ
a
V
.
(iv) :
V I V
=
n
ế
u
I A
=

(v)

: = ( / )
V I M I Ann M V
⇔ ⊆

1.5.
Cho
:
f A B
→
là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u vành có
(1 ) 1
A B
f
=
và
M
là m
ộ
t
B
- mô
đ
un. Ch
ứ

ng
minh r
ằ
ng quy t
ắ
c
:
A M M
µ
× →
xác
đị
nh b
ở
i
( ) ( ) , ,
ax f a x a A x M
µ
= ∀ ∈ ∈
là m
ộ
t
phép nhân ngoài các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
A

v
ớ
i
M
và v
ớ
i phép toán này thì
M
c
ũ
ng tr
ở
thành
m
ộ
t
A
- mô
đ
un.
1.6.
Ch
ứ
ng minh lu
ậ
t modular: N
ế
u
, ,
U V W

là nh
ữ
ng mô
đ
un con c
ủ
a m
ộ
t
A
- mô
đ
un
,
M

v
ớ
i
V W
⊆
, thì
( ) ( )
U V W U W V
+ ∩ = ∩ +

Cho ví d
ụ
ch
ứ

ng t
ỏ

đẳ
ng th
ứ
c
( ) ( ) ( )
U V W U W V W
+ ∩ = ∩ + ∩

nói chung không
đ
úng khi b
ỏ
gi
ả
thi
ế
t
.
V W
⊆

1.7.
Ch
ỉ
ra m
ộ
t mô

đ
un h
ữ
u h
ạ
n sinh nh
ư
ng có mô
đ
un con không h
ữ
u h
ạ
n sinh.
1.8.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
S
là m
ộ
t h
ệ
sinh c
ủ
a

A
- mô
đ
un
M
thì
s S
M As
∈
=
∑

1.9.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng m
ộ
t mô
đ
un có th
ể
không có m
ộ
t h
ệ
sinh c
ự
c ti

ể
u.
1.10.
Tìm m
ộ
t ví d
ụ
v
ề
m
ộ
t mô
đ
un có các h
ệ
sinh c
ự
c ti
ể
u không có cùng s
ố
ph
ầ
n t
ử
.
1.11.
Ch
ứ
ng minh r

ằ
ng t
ổ
ng c
ủ
a m
ộ
t h
ọ

{ )
I
N
α α
∈
các mô
đ
un con c
ủ
a m
ộ
t mô
đ
un
M
chính là
mô
đ
un c
ủ

a
M
sinh b
ở
i t
ậ
p
.
I
N
α
α
∈
∪

8

1.12.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng h
ệ
sinh c
ự
c ti
ể
u c
ả

m
ộ
t mô
đ
un h
ữ
u h
ạ
n sinh ch
ỉ
có h
ữ
u h
ạ
n ph
ầ
n t
ử
.
1.13.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng, n
ế
u
,
I J
là các i

đ
êan c
ủ
a vành
,
A
còn
,
S U
là t
ậ
p con khác r
ỗ
ng c
ủ
a
A
- mô
đ
un
M
thì
( )
I J S IS JS
+ = +
và
( ) .
I S U IS IU
∪ = +

9

CHƯƠNG 2
Đồng cấu môđun
S
ố
ti
ế
t: 09 ( Lý thuy
ế
t: 07; bài t
ậ
p, th
ả
o lu
ậ
n: 02)

A. MỤC TIÊU
-
Sinh viên hi
ể
u
đượ
c các khái ni
ệ
m:
đồ
ng c
ấ

u mô
đ
un, nhóm c
ộ
ng Hom, hàm t
ử
Hom, các
đị
nh lí v
ề
tính ch
ấ
t c
ủ
a
đồ
ng c
ấ
u mô
đ
un: tích tr
ự
c ti
ế
p, t
ổ
ng tr
ự
c ti
ế

p c
ủ
a h
ọ
mô
đ
un.
- Sinh viên bi
ế
t v
ậ
n d
ụ
ng lý thuy
ế
t vào gi
ả
i các bài t
ậ
p c
ủ
a ch
ươ
ng.
- Qua n
ộ
i dung c
ủ
a ch
ươ

ng sinh viên có
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đố
i chi
ế
u, so sánh
để
nh
ậ
n ra m
ố
i quan h
ệ

m
ậ
t thi
ế
t gi
ữ
a
đồ
ng c
ấ
u mô

đ
un và
đồ
ng c
ấ
u trên các c
ấ
u trúc
đạ
i s
ố
khác
đ
ã h
ọ
c (không gian
véct
ơ
, nhóm, vành, tr
ườ
ng). T
ừ

đ
ó, m
ộ
t m
ặ
t sinh viên có
đ

i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
ng c
ố
các ki
ế
n th
ứ
c
đ
ã
h
ọ
c, m
ặ
t khác th
ấ
y
đượ
c s
ự
liên quan, th
ố
ng nh
ấ
t, h

ệ
th
ố
ng gi
ữ
a các h
ọ
c ph
ầ
n thu
ộ
c l
ĩ
nh v
ự
c
đạ
i s
ố
hi
ệ
n
đạ
i.

B. NỘI DUNG

2.1. Định nghĩa và các tính chất đơn giản
Định nghĩa 2.1.1.
M

ộ
t ánh x
ạ

f
t
ừ

A
- mô
đ
un
M
vào
A
- mô
đ
un
'
M

đượ
c g
ọ
i là
đồ
ng c
ấ
u
A

- mô
đ
un hay ánh x
ạ
tuy
ế
n tính n
ế
u th
ỏ
a mãn hai tính ch
ấ
t sau:
(i) ( ) ( ) ( ) ,
f x y f x f y x y M
+ = + ∀ ∈

(ii)
( ) ( ) ,
f ax af x a A x M
= ∀ ∈ ∀ ∈

N
ế
u
đồ
ng c
ấ
u
f

là m
ộ
t
đơ
n ánh, toàn ánh, song ánh thì nó t
ươ
ng
ứ
ng
đượ
c g
ọ
i là
đơ
n
c
ấ
u, toàn c
ấ
u,
đẳ
ng c
ấ
u. N
ế
u
'
( ) {0 }
M
f M

=
thì
f

đượ
c g
ọ
i là
đồ
ng c
ấ
u không và
đượ
c vi
ế
t
là 0.
M
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u t
ừ

M
vào
M

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t t
ự

đồ
ng c
ấ
u c
ủ
a
M

Hai
A
- mô
đ
un
M
và
'
M

đượ
c g
ọ
i là

hai mô
đ
un
đẳ
ng c
ấ
u
, kí hi
ệ
u là
',
M M
≅
n
ế
u
t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u
A
- mô
đ

un t
ừ

M

đế
n
'.
M

Mệnh đề 2.1.2.
Ánh x
ạ

: '
f M M
→
là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u các
A
- mô
đ
un khi và ch
ỉ
khi

( ) ( ) ( )
f ax by af x bf y
+ = +

v
ớ
i m
ọ
i
,
a b A
∈
và m
ọ
i
,
x y M
∈

Mệnh đề 2.1.3.
N
ế
u các ánh x
ạ

: '
f M M
→
và
: ' ''

g M M
→
là hai
đồ
ng c
ấ
u các
A
-
mô
đ
un, thì ánh x
ạ

gf
c
ũ
ng là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u
A
- mô
đ
un t
ừ

M
vào
'.
M

Cho
M
và
N
là các
A
- mô
đ
un, kí hi
ệ
u
( , )
A
Hom M N
là t
ậ
p t
ấ
t c
ả
các
A
-
đồ
ng c

ấ
u
t
ừ

M
vào
N
. N
ế
u
A
là m
ộ
t vành giao hoán thì m
ọ
i
, ( , )
A
f g Hom M N
∈
và m
ọ
i
,
a b A
∈
, ta
xác
đị

nh
af bg
+
nh
ư
sau:
( )(x) ( ) ( )
af bg af x bg x
+ = +

v
ớ
i m
ọ
i
x M
∈

10
Khi
đ
ó
( , )
A
af bg Hom M N
+ ∈
và t
ậ
p
( , )

A
Hom M N
v
ớ
i các phép toán xác
đị
nh nh
ư
trên tr
ở

thành m
ộ
t
A
- mô
đ
un,
đượ
c g
ọ
i là mô
đ
un các
đồ
ng c
ấ
u t
ừ

M

đế
n
.
N
Chú ý r
ằ
ng, n
ế
u vành
A
không giao hoán,
( , )
A
Hom M N
ch
ỉ
là m
ộ
t nhóm aben v
ớ
i phép c
ộ
ng
đồ
ng c
ấ
u.

2.2. Ví dụ
(i) Cho
N
là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a
A
- mô
đ
un
M
, thì ta có mô
đ
un th
ươ
ng
/ .
M N
Khi
đ
ó quy t
ắ
c
: /
p M M N
→

cho
( )
p x x
=
là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u
A
- mô
đ
un. H
ơ
n n
ữ
a,
p
còn là
m
ộ
t toàn c
ấ
u,
đượ
c g
ọ
i là toàn c

ấ
u chi
ế
u chính t
ắ
c và
.
Ker p N
=

(ii) V
ớ
i m
ỗ
i mô
đ
un con
N
c
ủ
a m
ộ
t
A
- mô
đ
un
M
, ánh x
ạ

nhúng:
:
i N M
x x
→
֏

là m
ộ
t
đơ
n c
ấ
u, g
ọ
i là
đơ
n c
ấ
u chính t
ắ
c hay phép nhúng chính t
ắ
c t
ừ

N
vào
.
M

2.3. Ảnh và tạo ảnh
Định nghĩa 2.3.1.
Ánh x
ạ
:
f M N
→
là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u các
A
- mô
đ
un,
x
là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
tùy
ý c
ủ

a
M
,
'
M
là m
ộ
t b
ộ
ph
ậ
n tùy ý c
ủ
a
M
,
'
N
là m
ộ
t b
ộ
ph
ậ
n tùy ý c
ủ
a
.
N
Ta g

ọ
i:
-
( )
f x
là
ả
nh c
ủ
a
x
b
ở
i
f

-
( ') {
f M y N
= ∈
t
ồ
n t
ạ
i
'
x M
∈
sao cho
( ) }

f x y
=
là
ả
nh c
ủ
a
'
M
b
ở
i
f

-
1
( ') { ( ) '}
f N x M f x N
−
= ∈ ∈
là
t
ạ
o
ả
nh toàn ph
ầ
n c
ủ
a

'
N
b
ở
i
f

-
1
er { ( ) 0 } (0)
N
K f x M f x f
−
= ∈ = =
đượ
c g
ọ
i là
h
ạ
t nhân c
ủ
a
.
f


Đặ
c bi
ệ

t, v
ớ
i
1
, ({ }) { ' ( ) }
y N f y x M f x y
−
∈ = ∈ =
,
để

đơ
n gi
ả
n kí hi
ệ
u ta vi
ế
t
1
( )
f y
−

thay cho
1
({ })
f y
−
và g

ọ
i là t
ạ
o
ả
nh toàn ph
ầ
n c
ủ
a
y
b
ở
i
f
. M
ỗ
i ph
ầ
n t
ử

1
( )
x f y
−
∈ g
ọ
i là
m

ộ
t t
ạ
o
ả
nh c
ủ
a
y
b
ở
i
f
.

2.4. Hợp thành các đồng cấu môđun
Định nghĩa 2.4.1.
Cho
M
,
'
M
,
N
là nh
ữ
ng
A
- mô
đ

un và
: '
f M M
→
và
: '
g M N
→
là
các
đồ
ng c
ấ
u mô
đ
un. Khi
đ
ó, ánh x
ạ

:
( ) ( )( ) ( ( ))
h g f M N
x h x g f x g f x
= →
= =

֏ 

đượ

c g
ọ
i là
h
ợ
p thành c
ủ
a hai
đồ
ng c
ấ
u
f
và
.
g

Mệnh đề 2.4.2.
H
ợ
p thành c
ủ
a hai
đồ
ng c
ấ
u
A
- mô
đ

un là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u
A
- mô
đ
un.

2.5. Các định lý về đồng cấu và đẳng cấu môđun
Định lý 2.5.1.
Cho
: '
f M M
→
là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u các
A
- mô
đ
un. Khi
đ

ó ta có các kh
ẳ
ng
đị
nh sau:
(i)
N
ế
u
'
N
là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a
'
M
thì
1
( ')
f N
−
là m
ộ
t mô
đ
un con c

ủ
a
M
, tr
ườ
ng
h
ợ
p riêng,
Ker f
là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a
.
M

11
(ii)
N
ế
u
N
là m
ộ
t mô
đ

un con c
ủ
a
M
thì
( )
f N
là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a
',
M
tr
ườ
ng
h
ợ
p riêng,
Im
f
là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ

a
'.
M

(iii)
f
là
đơ
n c
ấ
u khi và ch
ỉ
khi
0.
Ker f
=

Định lý 2.5.2 (Định lý đồng cấu môđun).
Cho
:
f M N
→
là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u các
A

- mô
đ
un
và
: / er
p M M K f
→
là toàn c
ấ
u chính t
ắ
c. Khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ
t
đơ
n c
ấ
u:
: / er
( )
f M K f N
x f x

→
֏

sao cho bi
ể
u
đồ
sau giao hoán.

Hệ quả 2.5.3.
Cho
:
f M N
→
là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u các
A
- mô
đ
un. Khi
đ
ó ta có
/ er Im
M K f f
≅

và n
ế
u
f
là toàn c
ấ
u thì
/ er .
M K f N
≅

Hệ quả 2.5.4 (Định lý đẳng cấu Noether thứ nhất)
. Cho
P
là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a
N
và
N

là m
ộ
t mô
đ
un con c

ủ
a mô
đ
un
.
M
Khi
đ
ó
/ ( / ) / ( / )
M N M P N P
≅

Hệ quả 2.5.5 (Định lý đẳng cấu Noether thứ hai)
. N
ế
u
M
và
N
là hai mô
đ
un con c
ủ
a cùng
m
ộ
t mô
đ
un thì ta có:

( ) / / ( )
M N N M M N
+ ≅ ∩


2.6. Các định lý về hạt nhân và đối hạt nhân
Định nghĩa 2.6.1.
Gi
ả
s
ử

:
M N
ϕ
→
là
đồ
ng c
ấ
u
A
-mô
đ
un. Khi
đ
ó:
ker / Im
Co N
ϕ ϕ

=
là
đố
i h
ạ
t nhân
c
ủ
a
ϕ

/ er
Coim A K
ϕ ϕ
=
là
đố
i
ả
nh
c
ủ
a
.
ϕ

Nh
ư
v
ậ

y,
ker Im
Co
ϕ ϕ
≅
.
Định lý 2.6.2 (Định lý về tính phổ dụng của hạt nhân và đối hạt nhân).
(i)
Trong bi
ể
u
đồ
các
đồ
ng c
ấ
u
A
- mô
đ
un

N
ế
u
0
ϕψ
=
thì t
ồ

n t
ạ
i duy nh
ấ
t
đồ
ng c
ấ
u
': er
P K
ψ ϕ
→
sao cho
'
i
ψ ψ
=
v
ớ
i
i
là phép
nhúng chính t
ắ
c.
(ii)
Trong bi
ể
u

đồ
các
đồ
ng c
ấ
u
A
- mô
đ
un
12

N
ế
u
0
ρϕ
=
thì t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t
đồ
ng c
ấ
u
': ker

Co C
ρ ϕ
→
sao cho
'
p
ρ ρ
=
v
ớ
i
p
là
phép chi
ế
u chính t
ắ
c.

2.7. Nhóm cộng Hom
A
(M, N)

Gi
ả
s
ử

,
M N

là nh
ữ
ng
A
-mô
đ
un tùy ý trên vành có
đơ
n v
ị

.
A
G
ọ
i
( , )
A
Hom M N
là
t
ậ
p h
ợ
p t
ấ
t c
ả
các
đồ

ng c
ấ
u
A
-mô
đ
un t
ừ

M
vào
.
N
Rõ ràng,
( , )
A
Hom M N
là m
ộ
t t
ậ
p con
c
ủ
a nhóm aben
( , ).
Hom M N

Mệnh đề 2.7.1.

( , )
A
Hom M N
là m
ộ
t nhóm con c
ủ
a nhóm aben
( , ).
Hom M N

Nh
ư
v
ậ
y,
( , )
A
Hom M N
l
ậ
p thành m
ộ
t nhóm aben v
ớ
i phép c
ộ
ng các
đồ
ng c

ấ
u.
Gi
ả
s
ử

A
là m
ộ
t vành giao hoán có
đơ
n v
ị
, ta
đị
nh ngh
ĩ
a phép nhân vô h
ướ
ng nh
ư

sau: V
ớ
i
a A
∈
và
( , ),

A
f Hom M N
∈
ta
đị
nh ngh
ĩ
a m
ộ
t hàm:
:
af M N
→

xác
đị
nh b
ở
i:
( )( ) ( ( )) .
af x a f x x M
= ∀ ∈

Ta có m
ệ
nh
đề
sau:
Mệnh đề 2.7.2.
Gi

ả
s
ử

A
là m
ộ
t vành giao hoán có
đơ
n v
ị
, thì
af
là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
( , ).
A
f Hom M N
∈

Định lý 2.7.3.
N
ế

u
A
là m
ộ
t vành giao hoán có
đơ
n v
ị
thì t
ậ
p h
ợ
p
( , )
A
Hom M N
l
ậ
p thành
m
ộ
t
A
-mô
đ
un v
ớ
i phép c
ộ
ng và phép nhân vô h

ướ
ng các hàm.

2.8. Hàm tử Hom
Để

đơ
n gi
ả
n, t
ừ
nay n
ế
u không s
ợ
nh
ầ
m l
ẫ
n, ta s
ẽ
kí hi
ệ
u
( , )
A
Hom M N
là
( , ).
Hom M N

Mệnh đề 2.8.1.
Cho
X
là m
ộ
t
A
- mô
đ
un b
ấ
t kì. Khi
đ
ó
( , )
Hom A X X
≃
.
Chú ý 2.8.2.
Gi
ả
s
ử

: ', : '
f M M g N N
→ →
là các
đồ

ng c
ấ
u túy ý cho tr
ướ
c c
ủ
a các
A
-
mô
đ
un. Xét hàm :
: ( , ) ( ', ')
h Hom M N Hom M n
g f
φ φ
→
֏  

13

Rõ ràng,
h
là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u mô

đ
un và kí hi
ệ
u
h
là
( , ).
Hom f g

Mệnh đề 2.8.3.
(i)
( , ) : ( , ) ( , )
M N
Hom Id Id Hom M N Hom M N
→
chính là ánh x
ạ

đồ
ng nh
ấ
t c
ủ
a
( , )
Hom M N
, ngh
ĩ
a là
( , )

( , )
M N Hom M N
Hom Id Id Id
=
.
(ii)
Cho
: ' , ': '' ', : ', ': ' ''
f M M f M M g N N g N N
→ → → →
là nh
ữ
ng
đồ
ng c
ấ
u
mô
đ
un. Khi
đ
ó :
( ', ' ) ( ', ') ( , )
Hom f f g g Hom f g Hom f g
=
  


Hệ quả 2.8.4.
N

ế
u
: ' , : '
f M M g N N
→ →
là nh
ữ
ng
đẳ
ng c
ấ
u mô
đ
un thì
( , )
Hom f g
c
ũ
ng
là m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u mô
đ
un.
Định lý 2.8.5.
Cho

,
M N
là hai
A
- mô
đ
un.
I
M M
α
α
∈
= ⊕
∑
,
J
N N
β
β
∈
=
∏

Khi
đ
ó:
( , ) ( )
( , ) ( , )
I J
Hom M N Hom M N

α β
α β
∈ ×
∏
≃

Mệnh đề 2.8.6.
V
ớ
i nh
ữ
ng
đồ
ng c
ấ
u tùy ý
: '
f M M
→
và
: '
g N N
→
nh
ữ
ng mô
đ
un trên
,
A

h
ạ
t nhân c
ủ
a nh
ữ
ng
đồ
ng c
ấ
u
( , ) : ( , ) ( ', ')
h Hom f g Hom M N Hom M N
= →
là mô
đ
un con
K

c
ủ
a
( , )
Hom M N
xác
đị
nh b
ở
i:

[
]
{
}
( , ) Im er
K Hom M N f K g
φ φ
= ∈ ⊂

Hệ quả 2.8.7.
Cho
: '
f M M
→
là m
ộ
t toàn c
ấ
u và
: '
g N N
→
là m
ộ
t
đơ
n c
ấ
u. Khi
đ

ó
( , ) : ( , ) ( ', ')
h Hom f g Hom M N Hom M N
= →

là m
ộ
t
đơ
n c
ấ
u.
Định lý 2.8.8.
Cho
R
- mô
đ
un
M
và dãy kh
ớ
p
0
f g
A B C
→ → →
nh
ữ
ng
R

- mô
đ
un.
Khi
đ
ó, dãy:
* *
0 ( , ) ( , ) ( , )
g f
Hom C M Hom B M Hom A M
→ → →

v
ớ
i
* *
( , ), ( , )
M M
f Hom f Id g Hom g Id
= =
c
ũ
ng là m
ộ
t dãy kh
ớ
p.
Định lý 2.8.9.
N
ế

u dãy sau nh
ữ
ng
đồ
ng c
ấ
u c
ủ
a các
R
- mô
đ
un:
0 0
f g
A B C
→ → → →

14
là m
ộ
t dãy kh
ớ
p ch
ẻ
ra thì dãy
* *
0 ( , ) ( , ) ( , ) 0
g f
Hom C M Hom B M Hom A M

→ → → →

c
ũ
ng là m
ộ
t dãy kh
ớ
p ch
ẻ
ra v
ớ
i m
ọ
i
R
- mô
đ
un
.
M

Định lý 2.8.10.
Cho
R
- mô
đ
un
M
và m

ộ
t dãy kh
ớ
p g
ồ
m nh
ữ
ng
R
- mô
đ
un và nh
ữ
ng
R
-
đồ
ng c
ấ
u:
0
A B C
→ → →
.
Khi
đ
ó, dãy:
* *
0 ( , ) ( , ) ( , )
f g

Hom M A Hom M B Hom M C
→ → →

v
ớ
i
*
( , )
M
f Hom Id f
=
và
*
( , )
M
g Hom Id g
=
c
ũ
ng là m
ộ
t dãy kh
ớ
p.
Định lý 2.8.11.
Cho dãy kh
ớ
p ng
ắ
n ch

ẻ
ra :
0 0.
f g
A B C
→ → → →

Khi
đ
ó v
ớ
i m
ọ
i
R
- mô
đ
un
M
, dãy
* *
0 ( , ) ( , ) ( , ) 0
f g
Hom M A Hom M B Hom M C
→ → → →

c
ũ
ng là m
ộ

t dãy kh
ớ
p ng
ắ
n ch
ẻ
ra.

2.9. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp
2.9.1. Xây dựng tổng trực tiếp và tích trực tiếp
Cho
I
là m
ộ
t t
ậ
p khác r
ỗ
ng. Gi
ả
s
ử

( )
I
M
α α
∈
là m
ộ

t h
ọ
các
A
-mô
đ
un
đượ
c ch
ỉ
s
ố
hóa
b
ở
i
I
. Kí hi
ệ
u
I
M M
α
α
∈
=
∏
là tích
đề
các c

ủ
a h
ọ

( )
I
M
α α
∈
. Khi
đ
ó ta có th
ể
xây d
ự
ng phép
c
ộ
ng trong
M
và phép nhân ngoài các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
A
v
ớ

i các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
M
nh
ư
sau:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
I I I
I I
x y x y
a x ax
α α α α α α α
α α α α
∈ ∈ ∈
∈ ∈
+ = +
=

v
ớ
i m
ọ
i
a A

∈
và m
ọ
i
( ) ,( ) .
I I
x y M
α α α α
∈ ∈
∈
Ta th
ấ
y ngay r
ằ
ng, hai phép toán v
ừ
a xác
đị
nh
làm cho
M
tr
ở
thành m
ộ
t
A
-mô
đ
un.

Định nghĩa 2.9.1.
A
-mô
đ
un
M

đượ
c xây d
ự
ng nh
ư
trên
đượ
c g
ọ
i là
tích tr
ự
c ti
ế
p
c
ủ
a h
ọ
các
A
-mô
đ

un
( )
I
M
α α
∈
. N
ế
u
M N I
α
α
= ∀ ∈
thì ta kí hi
ệ
u
I
M
α
α
∈
∏
b
ở
i
I
N
.
Bây gi
ờ

trong
I
M M
α
α
∈
=
∏
ta l
ấ
y t
ậ
p con
I
M
α
α
∈
⊕
bao g
ồ
m t
ấ
t c
ả
các ph
ầ
n t
ử

thu
ộ
c
M
v
ớ
i các thành ph
ầ
n b
ằ
ng 0 h
ầ
u h
ế
t, ch
ỉ
tr
ừ
h
ữ
u h
ạ
n ph
ầ
n t
ử
có th
ể
khác 0. Khi
đ

ó
I
M
α
α
∈
⊕
là m
ộ
t
A
-mô
đ
un con c
ủ
a
.
M

Định nghĩa 2.9.2.
A
-mô
đ
un
I
M
α
α
∈
⊕

đượ
c g
ọ
i là t
ổ
ng tr
ự
c ti
ế
p c
ủ
a h
ọ
các
A
-mô
đ
un con
( )
I
M
α α
∈
. N
ế
u
M N I
α
α

= ∀ ∈
thì ta kí hi
ệ
u
I
M
α
α
∈
⊕
b
ở
i
( )
.
I
N

Nhận xét 2.9.3.
N
ế
u h
ọ
các
A
-mô
đ
un
( )
I

M
α α
∈
ch
ỉ
g
ồ
m m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n các mô
đ
un thì tích
tr
ự
c ti
ế
p và t
ổ
ng tr
ự
c ti
ế
p c
ủ

a nó là trùng nhau.

2.9.2. Tính phổ dụng của tích và tổng trực tiếp
15

Gi
ả
s
ử

I
M
α
α
∈
∏
là tích tr
ự
c ti
ế
p c
ủ
a m
ộ
t h
ọ
các
A
-mô
đ

un
( )
I
M
α α
∈
. Khi
đ
ó v
ớ
i m
ỗ
i
I
β
∈
, quy t
ắ
c
:
I
p M M
β α β
α
∈
→
∏

cho b
ở

i
( )
I
x x
α α β
∈
֏
là m
ộ
t toàn c
ấ
u,
đượ
c g
ọ
i là phép chi
ế
u xu
ố
ng thành ph
ầ
n th
ứ

β
c
ủ
a
.
I

M
α
α
∈
∏

Định lý 2.9.4 (Định lý về tính phổ dụng của tích trực tiếp).
Cho
N
là m
ộ
t h
ọ

A
-mô
đ
un
cùng m
ộ
t h
ọ
các
đồ
ng c
ấ
u
:
q N M
β β

→
v
ớ
i m
ọ
i
I
β
∈
. Khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u
:
I
q N M
α
α
∈

→
∏

sao cho bi
ể
u
đồ
sau giao hoán


t
ứ
c là
p q q
β β
=
v
ớ
i m
ọ
i
.
I
β
∈

Gi
ả
s
ử

I
M
α
α
∈
⊕
là t
ổ
ng tr
ự
c ti
ế
p c
ủ
a m
ộ
t h
ọ
các
A
-mô
đ
un
( )
I
M
α α
∈
. Khi

đ
ó v
ớ
i m
ỗ
i
I
β
∈
và
,
x M
β β
∈
kí hi
ệ
u
[ ]
x
β
là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
I

M
α
α
∈
⊕
ch
ỉ
có thành ph
ầ
n th
ứ

β
là
,
x
β

còn t
ấ
t c
ả
các thành ph
ầ
n khác
đề
u b
ằ
ng 0. Khi
đ

ó quy t
ắ
c
:
I
M M
β β α
α
γ
∈
→
⊕

cho b
ở
i
[ ]
x x
β β
֏
v
ớ
i m
ọ
i
x M
β β
∈
là m
ộ

t
đơ
n c
ấ
u,
đượ
c g
ọ
i là phép tiêm vào thành ph
ầ
n
th
ứ

β
c
ủ
a
.
I
M
α
α
∈
⊕

Định lý 2.9.5 (Định lý về tính phổ dụng của tổng trực tiếp).
Cho
N
là m

ộ
t h
ọ

A
-mô
đ
un
cùng m
ộ
t h
ọ
các
đồ
ng c
ấ
u
:
s M N
β β
→
v
ớ
i m
ọ
i
I
β
∈
. Khi

đ
ó t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u
:
I
s M N
α
α
∈
→
⊕

sao cho bi
ể
u
đồ
sau giao hoán

t

ứ
c là
s s
β β
γ
=
v
ớ
i m
ọ
i
.
I
β
∈



2.9.3. Tổng trực tiếp trong
16
Định nghĩa 2.9.6.
Cho
{ }
I
N
α α
∈
là m
ộ
t h

ọ
tùy ý các mô
đ
un con c
ủ
a m
ộ
t
A
- mô
đ
un
.
M
Khi
đ
ó n
ế
u
{ }
0
I
N N
α β
α β
≠ ∈
 
=
 
 

∑
∩
v
ớ
i m
ọ
i
I
α
∈
thì
I
N
α
α
∈
∑

đượ
c g
ọ
i là t
ổ
ng tr
ự
c ti
ế
p trong c
ủ
a h

ọ
các mô
đ
un con
đ
ã cho, kí
hi
ệ
u là
.
I
N
α
α
∈
⊕
M
ộ
t mô
đ
un con
N
c
ủ
a
M

đượ
c g
ọ

i là m
ộ
t h
ạ
ng t
ử
tr
ự
c ti
ế
p c
ủ
a
M
n
ế
u
t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t mô
đ
un con
F
c
ủ
a

M

để

.
M N F
= ⊕

Định lý 2.9.7.
Gi
ả
s
ử

{ }
I
N
α α
∈
là m
ộ
t h
ọ
tùy ý các mô
đ
un con c
ủ
a m
ộ
t

A
- mô
đ
un
M
và
.
I
N N
α
α
∈
=
∑
Khi
đ
ó, các kh
ẳ
ng
đị
nh sau là t
ươ
ng
đươ
ng:
(i)
N
là t
ổ
ng tr

ự
c ti
ế
p trong c
ủ
a h
ọ

{ } .
I
N
α α
∈

(ii) M
ỗ
i ph
ầ
n t
ử

x
c
ủ
a
N

đề
u bi
ể

u di
ễ
n
đượ
c duy nh
ấ
t d
ướ
i d
ạ
ng
I
x x
α
α
∈
=
∑

Trong
đ
ó
x N
α α
∈
b
ằ
ng 0 h
ầ
u h

ế
t v
ớ
i các
.
I
α
∈

(iii)
Đẳ
ng th
ứ
c
0
I
x
α
α
∈
=
∑

trong
đ
ó
x N
α α
∈
b

ằ
ng 0 h
ầ
u h
ế
t v
ớ
i các
I
α
∈
, ch
ỉ
x
ả
y ra khi
0 .
x I
α
α
= ∀ ∈

Định lý 2.9.8.
N
ế
u h
ọ
các mô
đ
un

{ }
I
N
α α
∈
c
ủ
a m
ộ
t
A
- mô
đ
un
M
có t
ổ
ng tr
ự
c ti
ế
p trong thì
t
ổ
ng tr
ự
c ti
ế
p trong c
ủ

a nó
đẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i t
ổ
ng tr
ự
c ti
ế
p ngoài.
Định lý 2.9.9.
Cho
A
- mô
đ
un
M
và
N
là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a nó. Khi
đ

ó n
ế
u
N
là m
ộ
t
h
ạ
ng t
ử
tr
ự
c ti
ế
p c
ủ
a
M
thì
( / ).
M N M N
≅ ⊕


C. TÀI LIỆU HỌC TẬP
[3] Nguy
ễ
n Ti
ế

n Quang, Nguy
ễ
n Duy Thu
ậ
n (2001), C
ơ
s
ở
lý thuy
ế
t mô
đ
un và vành, NXB
Giáo d
ụ
c.
[6] D
ươ
ng Qu
ố
c Vi
ệ
t (2008), C
ơ
s
ở
lý thuy
ế
t mô
đ

un, NXB
Đạ
i h
ọ
c S
ư
ph
ạ
m.

D. CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN

2.1.
Cho
,W
V là các không gian vecto con c
ủ
a cùng m
ộ
t không gain vect
ơ
. Ch
ứ
ng minh
r
ằ
ng:
dim( W) dim dim W -dim(V W)
V V
+ = + ∩

2.2.
Gi
ả
s
ử

N
và
F
là các mô
đ
un con c
ủ
a
M
và
.
M N F
= +
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng thu h
ẹ
p các
đồ
ng c
ấ

u chi
ế
u chính t
ắ
c
: /
F
p F M N
→
là m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u khi và ch
ỉ
khi
F N
∩
là mô
đ
un
không.
2.3.
Gi
ả
s
ử

1 2
,
M M
,
N
là các mô
đ
un con c
ủ
a
A
- mô
đ
un
M
v
ớ
i
1 2
.
M M
⊆
Ch
ứ
ng minh
r
ằ
ng:
17
2 2

1 1 2
M N M
M N M M N
+
=
+ + ∩

2.4.
Cho
:
f M N
→
là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u
A
- mô
đ
un và
1
M
là m
ộ
t
A
- mô

đ
un con c
ủ
a
M
th
ỏ
a
mãn
1
er .
M K f
⊆
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u

1
: /
f M M N
→
sao cho
f p f
=

trong
đ
ó
1
: /
p M M M
→
là phép chi
ế
u chính t
ắ
c. Ch
ỉ
ra r
ằ
ng:
f
là m
ộ
t
đơ
n c

ấ
u n
ế
u và ch
ỉ

n
ế
u
1
er .
M K f
=

2.5.
Cho
:
f M N
→
là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u
A
- mô
đ
un. Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng: N
ế
u
1
N
là m
ộ
t
A
-
mô
đ
un con c
ủ
a
N
thì t
ươ
ng
ứ
ng
1
1 1
1
1 1
: / ( ) /
( ) ( )

f M f N N N
x f N f N N
−
−
→
+ +
֏

là m
ộ
t
đơ
n c
ấ
u
A
- mô
đ
un. H
ơ
n n
ữ
a, n
ế
u
f
là m
ộ
t toàn c
ấ

u thì
f
là m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u.
2.6.
Cho
A
là m
ộ
t vành giao hoán và m
ộ
t
A
- mô
đ
un
,
M
khi
đ
ó v
ớ
i m
ỗ
i

a A
∈
ta có m
ộ
t
ánh x
ạ
nhân
:
a
M M
λ
→
cho b
ở
i
( )
a
x ax
λ
=
v
ớ
i m
ọ
i
.
x M
∈
Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng:
(i)
a
λ
là m
ộ
t t
ự

đồ
ng c
ấ
u c
ủ
a
M
v
ớ
i m
ọ
i
.
a A
∈

(ii) N
ế

u
a
là ph
ầ
n t
ử
kh
ả
ngh
ị
ch thì
a
λ
là m
ộ
t t
ự

đồ
ng c
ấ
u.
(iii)
a
λ
là m
ộ
t
đơ
n c

ấ
u khi và ch
ỉ
khi
0 : 0 .
M M
aA
=

(iv) à
ab a b a b a b
v
λ λ λ λ λ λ
+
= = +
.
2.7.
Cho
A
là m
ộ
t vành giao hoán,
,
M N
là nh
ữ
ng
A
- mô
đ

un. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng quy t
ắ
c xác
đị
nh
af bg
+
v
ớ
i m
ọ
i
,
a b A
∈
và m
ọ
i
, ( , )
A
f g Hom M N
∈
s
ẽ
cho ta phép c
ộ

ng trong
( , )
A
Hom M N
và phép nhân ngoài các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
A
v
ớ
i các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
( , )
A
Hom M N
, làm
cho
( , )
A
Hom M N
tr

ở
thành m
ộ
t
A
- mô
đ
un. Ti
ế
p t
ụ
c ch
ứ
ng minh r
ằ
ng,
/
A AnnM

đẳ
ng c
ấ
u
A
- mô
đ
un v
ớ
i m
ộ

t mô
đ
un con c
ủ
a
( , ).
A
Hom M N

2.8.
Cho
A
là m
ộ
t vành giao hoán. Gi
ả
s
ử

: '
f M M
→
và
: '
g N N
→

là các
đố
ng c

ấ
u
A
- mô
đ
un. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng, quy t
ắ
c
( , ) : ( ', ') ( , )
A A
Hom f g Hom M N Hom M N
h ghf
→
֏

là
đồ
ng c
ấ
u
A
- mô
đ
un. H
ơ
n n

ữ
a ch
ỉ
ra r
ằ
ng n
ế
u có các
đồ
ng c
ấ
u
A
- mô
đ
un:
': ' '', ': ' ''
f M M g N N
→ →

thì ta có
( ' , ' ) ( , ) ( ', ').
Hom f f g g Hom f g Hom f g
=

2.9.
Cho
A
là m
ộ

t vành giao hoán và
M
là m
ộ
t
A
- mô
đ
un. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
( , ) .
A
Hom A M M
≅

2.10.
Cho m
ộ
t t
ậ
p khác r
ỗ
ng
I
và m
ộ
t h

ọ
các
A
- mô
đ
un
( )
I
M
α α
∈
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng t
ồ
n t
ạ
i
duy nh
ấ
t (sai khác m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u) m
ộ

t
A
- mô
đ
un
M
cùng v
ớ
i m
ộ
t h
ọ
các
đồ
ng c
ấ
u
( : )
I
p M M
β β β
∈
→
sao cho, v
ớ
i m
ỗ
i
A
- mô

đ
un
N
cùng m
ộ
t h
ọ
các
đồ
ng c
ấ
u
18
( : )
I
q N M
β β β
∈
→

đề
u t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ
t

đồ
ng c
ấ
u
:
q N M
→
sao cho
p q q
β β
=
v
ớ
i m
ọ
i
.
I
β
∈

2.11.
Cho t
ậ
p khác r
ỗ
ng
I
, và m
ộ

t h
ọ
các
A
- mô
đ
un
( )
I
M
α α
∈
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng t
ồ
n t
ạ
i duy
nh
ấ
t (sai khác m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u) m

ộ
t
A
- mô
đ
un
M
, cùng v
ớ
i m
ộ
t h
ọ
các
đồ
ng c
ấ
u
( : )
I
M M
β β β
γ
∈
→
sao cho , v
ớ
i m
ỗ
i

A
- mô
đ
un
N
cùng m
ộ
t h
ọ
các
đồ
ng c
ấ
u
( : )
I
s M N
β β β
∈
→

đề
u t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ

t
đồ
ng c
ấ
u
:
s M N
→
sao cho
s s
β β
γ
=
v
ớ
i m
ọ
i
.
I
β
∈

2.12.
Kí hi
ệ
u
n
ℤ
là vành các l

ớ
p th
ặ
ng d
ư
v
ớ
i modulo n, khi
đ
ó
n
ℤ
là m
ộ
t
ℤ
- mô
đ
un. Ch
ứ
ng
minh r
ằ
ng có
đẳ
ng c
ấ
u
ℤ
- mô

đ
un
p q pq
⊕ ≅
ℤ ℤ ℤ

khi và ch
ỉ
khi
à
p v q
nguyên t
ố
cùng nhau.
2.13.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
ℤ
không ph
ả
i là m
ộ
t h
ạ
ng t
ử
tr

ự
c ti
ế
p c
ủ
a
ℤ
- mô
đ
un
.
ℚ

2.14.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng m
ộ
t không gian con c
ủ
a m
ộ
t không gian vect
ơ

V

đề

u là m
ộ
t h
ạ
ng t
ử

tr
ự
c ti
ế
p c
ủ
a
V
.
2.15.
M
ộ
t mô
đ
un
0
M
≠

đượ
c g
ọ
i là không phân tích

đượ
c n
ế
u nó không có h
ạ
ng t
ử
tr
ự
c ti
ế
p
nào khác ngoài
{0} à .
v M
Ch
ứ
ng minh các kh
ẳ
ng
đị
nh sau:
(i) M
ộ
t không gian vect
ơ
là không phân tích
đượ
c n
ế

u và ch
ỉ
n
ế
u nó có chi
ề
u 1.
(ii) Các
ℤ
- mô
đ
un
à
v
ℤ ℚ
là không phân tích
đượ
c.
(iii) V
ớ
i m
ỗ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng
1
n
>

,
ℤ
- mô
đ
un
n
ℤ
là không phân tích
đượ
c n
ế
u và
ch
ỉ
n
ế
u
n
là l
ũ
y th
ừ
a c
ủ
a m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố

.
2.16.
Cho
( )
I
N
α α
∈
là m
ộ
t h
ọ
khác r
ỗ
ng tùy ý các
A
- mô
đ
un.
Đặ
t
I
N N
α
α
∈
= ⊕

và g
ọ

i
( )
I
α α
γ
∈
là h
ọ

đơ
n c
ấ
u tiêm vào
N
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
N
là t
ổ
ng tr
ự
c ti
ế
p trong h
ọ

(

)
(
)
.
I
N
α α
α
γ
∈
19
CHƯƠNG 3

Dãy khớp. Dãy nửa khớp
S
ố
ti
ế
t: 06 (Lý thuy
ế
t: 05; bài t
ậ
p, th
ả
o lu
ậ
n: 01)

A. MỤC TIÊU
-

Sinh viên hi
ể
u
đượ
c các khái ni
ệ
m: dãy kh
ớ
p, dãy n
ử
a kh
ớ
p, tích Tenx
ơ
và m
ộ
t s
ố
tính ch
ấ
t
c
ơ
b
ả
n c
ủ
a chúng.
- Sinh viên bi
ế

t v
ậ
n d
ụ
ng lý thuy
ế
t vào gi
ả
i các bài t
ậ
p.
- Qua n
ộ
i dung c
ủ
a ch
ươ
ng, sinh viên b
ướ
c
đầ
u th
ấ
y
đượ
c vai trò c
ủ
a dãy kh
ớ
p và dãy n

ử
a
kh
ớ
p trong nghiên c
ứ
u v
ề
c
ấ
u trúc mô
đ
un.

B. NỘI DUNG

3.1. Dãy khớp. Dãy khớp ngắn
Định nghĩa 3.1.1.
M
ộ
t dãy
đồ
ng c
ấ
u các
A
- mô
đ
un:
1

1 2

i i
f f
i i i
M M M
+
+ +
→ → → →

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t dãy kh
ớ
p n
ế
u
1
Im er
i i
f K f
+
=
v
ớ
i m
ọ

i ch
ỉ
s
ố

i
xu
ấ
t hi
ệ
n trong dãy.
M
ộ
t dãy kh
ớ
p có d
ạ
ng:
0 0
f g
M N P
→ → → →

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t dãy kh
ớ

p ng
ắ
n.
Định nghĩa 3.1.2.
Dãy kh
ớ
p

f g
N M P
→ → → →

đượ
c g
ọ
i là ch
ẻ
ra t
ạ
i
M
n
ế
u
Im er
f K g
=
là m
ộ
t h

ạ
ng t
ử
tr
ự
c ti
ế
p c
ủ
a
.
M
N
ế
u m
ộ
t dãy
kh
ớ
p ch
ẻ
ra t
ạ
i m
ọ
i mô
đ
un không
ở
hai

đầ
u c
ủ
a dãy thì ta nói r
ằ
ng dãy kh
ớ
p
đ
ó ch
ẻ
ra.
Ví dụ 3.1.3.
(i) V
ớ
i
N
là m
ộ
t
A
- mô
đ
un con c
ủ
a
M
thì ta luôn có m
ộ
t kh

ớ
p ng
ắ
n :
0 / 0
i p
N M M N
→ → → →

trong
đ
ó
i
là ánh x
ạ
nhúng, còn
p
là phép chi
ế
u chính t
ắ
c. Nói riêng, v
ớ
i m
ỗ
i s
ố
nguyên
d
ươ

ng
,
n
ta có dãy kh
ớ
p sau :
0 0
i p
n
n
→ → → →
ℤ ℤ ℤ

(ii)
M
và
N
là các
A
- mô
đ
un, thì dãy
0 0
i p
M M N N
→ → ⊕ → →

v
ớ
i

( ) ( ,0)
i x x
=
, còn
( , )
p x y y
=
v
ớ
i m
ọ
i
,
x M y N
∈ ∈
là m
ộ
t dãy kh
ớ
p ng
ắ
n.
Nhận xét 3.1.4.
(i)
0 0
f g
N M P
→ → → →
là m
ộ

t dãy kh
ớ
p ng
ắ
n khi và ch
ỉ
khi
f
là
đơ
n
c
ấ
u,
g
là toàn c
ấ
u và
Im er .
f K g
=

(ii) M
ỗ
i dãy kh
ớ
p ng
ắ
n
đề

u có th
ể
coi có d
ạ
ng:
0 / 0,
i p
M X X M→ → → →
20
trong
đ
ó
M
là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a
,
X

i
là ánh x
ạ
bao hàm hay còn g
ọ
i là ánh x
ạ

nhúng,
p

là ánh x
ạ
chi
ế
u.
(iii) Cho
:
f X Y
→
là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u mô
đ
un. Khi
đ
ó ta có dãy kh
ớ
p:
0 er / Im 0
i f p
K f X Y Y f
→ → → → →

hay ta có th
ể
vi
ế
t:
0 er ker 0
i f p
K f X Y Co f
→ → → → →


3.2. Các định lý
Định lý 3.2.1.
Cho dãy kh
ớ
p:
f g h
A B C D
→ → →
. Khi
đ
ó các m
ệ
nh
đề
sau t
ươ
ng
đươ
ng:

(i)
f
là toàn c
ấ
u.
(ii)
g
là
đồ
ng c
ấ
u t
ầ
m th
ườ
ng.
(iii)
h
là
đơ
n c
ấ
u.
Hệ quả 3.2.2.
Cho dãy kh
ớ
p
f g h k
A B C D E
→ → → →

. Khi
đ
ó,
0
C
=
khi và ch
ỉ
khi
f
là toàn c
ấ
u và
k
là
đơ
n c
ấ
u.
Hệ quả 3.2.3.
N
ế
u m
ộ
t dãy
0 0
C
→ →
là kh
ớ

p thì
0.
C
=

Hệ quả 3.2.4.
N
ế
u dãy
0 0
X Y
→ → →
là kh
ớ
p thì
.
X Y
≃

Hệ quả 3.2.5.
Cho m
ộ
t dãy kh
ớ
p tùy ý:
.
d f g h k
A B C D E F
→ → → → →

Khi
đ
ó các phát bi
ể
u sau
đ
ây là t
ươ
ng
đươ
ng:
(i)
g
là
đẳ
ng c
ấ
u
(ii)
f
và
h
là
đồ
ng c
ấ
u t
ầ
m th
ườ

ng.
(iii)
d
là toàn c
ấ
u và
k
là
đơ
n c
ấ
u.
Định lý 3.2.6.
N
ế
u dãy kh
ớ
p

f g
N M P
→ → → →

ch
ẻ
ra t
ạ
i
M
thì

Im Im
M f g
≅ ⊕

Hệ quả 3.2.7.
N
ế
u dãy kh
ớ
p ng
ắ
n
0 0
f g
N M P
→ → → →

ch
ẻ
ra thì
M N P
≅ ⊕

Định lý 3.2.8.
Dãy kh
ớ
p ng
ắ
n:
0 0

f g
N M P
→ → → →

ch
ẻ
ra n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u m
ộ
t trong hai
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau
đượ
c th
ỏ
a mãn:
(i) T
ồ
n t
ạ
i m

ộ
t
đồ
ng c
ấ
u
':
f M N
→
sao cho
' .
N
f f id
=

(ii) T
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u
':
g P M
→
sao cho

' .
P
gg id
=


3.3. Dãy nửa khớp
Định nghĩa 3.3.1.
M
ộ
t dãy
đồ
ng c
ấ
u các
A
- mô
đ
un:
21
1
1 2

i i
f f
i i i
M M M
+
+ +
→ → → →

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t dãy n
ử
a kh
ớ
p n
ế
u
1
Im er
i i
f K f
+
⊆
v
ớ
i m
ọ
i ch
ỉ
s
ố

i
xu

ấ
t hi
ệ
n trong dãy.

3.4. Tích tenxơ

3.4.1. Xây dựng tích tenxơ
Cho
, ,
M N P
là các
A
- mô
đ
un. Khi
đ
ó ánh x
ạ

:
g M N P
× →

đượ
c g
ọ
i là ánh x
ạ
song tuy

ế
n tính n
ế
u nó th
ỏ
a mãn các tiêu chu
ẩ
n sau:
1 2 1 2
1 2 1 2
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
g x x y g x y g x y
g x y y g x y g x y
+ = +
+ = +

(ax, ) ( , )
( , ) ( , )
g y ag x y
g x ay ag x y
=
=

v
ớ
i m
ọ
i
1 2 1 2

, , , , , ,
a A x x x M y y y N
∈ ∈ ∈
.
Định nghĩa 3.4.1.
Cho
M
và
N
là hai
A
- mô
đ
un. Tích tenx
ơ
c
ủ
a
M
và
N
là c
ặ
p
( , )
T
θ

ở

đ
ó
T
là m
ộ
t
A
- mô
đ
un và
:
M N T
θ
× →
là m
ộ
t ánh x
ạ
song tuy
ế
n tính có tính ch
ấ
t là : v
ớ
i
m
ỗ
i
A
- mô

đ
un
'
T
và m
ộ
t ánh x
ạ
song tuy
ế
n tính
: '
f M N T
× →
t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ
t
đố
ng
c
ấ
u
A
- mô

đ
un

: '
f T T
→ sao cho

f f
θ
=
, t
ứ
c là bi
ể
u
đồ


giao hoán.
Tích tenx
ơ
c
ủ
a hai mô
đ
un cho tr
ướ
c luôn t
ồ
n t

ạ
i và duy nh
ấ
t (sai khác m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u).
Sau
đ
ây là cách xây d
ự
ng tích tenx
ơ
c
ủ
a hai mô
đ
un
đ
ã cho.
Gi
ả
s
ử

M
và

N
là nh
ữ
ng
A
- mô
đ
un
đ
ã cho. L
ấ
y
S M N
= ×
là tích
Đề
các c
ủ
a các
t
ậ
p
M
và
.
N
G
ọ
i
C

là
A
- mô
đ
un t
ự
do co c
ơ
s
ở

,
S
nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
C
là nh
ữ
ng t
ổ
ng
hình th
ứ

c có d
ạ
ng
( , )
( , ),
x y S xy
a x y
∈
∑
trong
đ
ó
,
xy
a A
∈
b
ằ
ng 0 h
ầ
u h
ế
t
( , ) ,
x y S
∈
G
ọ
i
D

là
mô
đ
un con c
ủ
a
C
sinh b
ở
i t
ấ
t c
ả
các ph
ầ
n t
ử
có d
ạ
ng :
( ', ) ( , ) ( ', ),
( , ') ( , ) ( , '),
(ax, ) ( , ),
( , ) ( , )
x x y x y x y
x y y x y x y
y a x y
x ay a x y
+ − −
+ − −

−
−

v
ớ
i
, , ' , , '
a A x x M y y N
∈ ∈ ∈
. Khi
đ
ó mô
đ
un th
ươ
ng
/
T C D
=
chính là tích tenx
ơ
c
ủ
a
M

v
ớ
i
,

N
kí hi
ệ
u là
,
A
M N
⊗
ho
ặ
c
M N
⊗
khi vành
A

đ
ã rõ.
Ả
nh c
ủ
a ph
ầ
n t
ử

( , )
x y S
∈
trong

đ
ó
M N
⊗

đượ
c ký hi
ệ
u
x y
⊗
và
đọ
c là
x
tenx
ơ
v
ớ
i
.
y

22
Mệnh đề 3.4.2.
Cho
,
M N
là các
A

- mô
đ
un. Khi
đ
ó v
ớ
i m
ọ
i
a A
∈
và m
ọ
i
, ' , , '
x x M y y N
∈ ∈
, ta có :
(i)
( ') '
x x y x y x y
+ ⊗ = ⊗ + ⊗

(ii)
( ') '
x y y x y x y
⊗ + = ⊗ + ⊗

(iii)
( ) ( )

ax y a x y
⊗ = ⊗

(iv)
( ) ( )
x ay a x y
⊗ = ⊗


Nh
ư
v
ậ
y, ánh x
ạ

:
g M N M N
× → ⊗

cho b
ở
i
( , )
g x y x y
= ⊗
th
ỏ
a mãn
( ', ) ( , ) ( ', ),

( , ') ( , ) ( , ')
g x x y g x y g x y
g x y y g x y g x y
+ = +
+ = +


( , ) ( , )
( , ) ( , )
g ax y ag x y
g x ay ag x y
=
=

v
ớ
i m
ọ
i
a A
∈
và m
ọ
i
, ' , , ' ,
x x M y y N
∈ ∈
t
ứ
c là

g
là m
ộ
t ánh x
ạ
song tuy
ế
n tính. Ta g
ọ
i
g

là ánh x
ạ
tenx
ơ
.

Mệnh đề 3.4.3.
Cho
,
M N
là các
A
- mô
đ
un. Khi
đ
ó
(i)

0 0 0 ,
x y x M y N
⊗ = ⊗ = ∀ ∈ ∈

(ii)
M N
⊗

đượ
c sinh b
ở
i các ph
ầ
n t
ử
d
ạ
ng
, , .
x y x M y N
⊗ ∈ ∈

Hệ quả 3.4.4.
N
ế
u
,
M N
là các
A

- mô
đ
un h
ữ
u h
ạ
n sinh thì
M N
⊗
c
ũ
ng là m
ộ
t mô
đ
un h
ữ
u
h
ạ
n sinh.
Định lý 3.4.5.
Gi
ả
s
ử

,
M N
là các

A
-mô
đ
un và :
g M N M N
× → ⊗
là m
ộ
t ánh x
ạ
tenx
ơ
.
Khi
đ
ó v
ớ
i m
ỗ
i ánh x
ạ
song tuy
ế
n tính
:
f M N P
× →
v
ớ
i

P
là m
ộ
t
A
-mô
đ
un, t
ồ
n t
ạ
i duy
nh
ấ
t m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u
A
-mô
đ
un :
h M N P
⊗ →
sao cho
.
f hg

=


3.4.2. Một số tính chất cơ bản của tích tenxơ
Định lý 3.4.6.
Cho
M
là m
ộ
t
A
- mô
đ
un. Khi
đ
ó
A A
A M M M A
⊗ ≅ ≅ ⊗

Gi
ả
s
ử

: '
M M
ϕ
→
và

: '
N N
ψ
→
là nh
ữ
ng
đồ
ng c
ấ
u
A
- mô
đ
un. Khi
đ
ó t
ươ
ng
ứ
ng
: ' '
( , ) ( ) ( )
M N M N
x y x y
λ
ϕ ψ
× → ⊗
⊗
֏

là m
ộ
t ánh x
ạ
song tuy
ế
n tính. Theo
đị
nh lý 3.4.1.5, t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u
: ' '
M N M N
µ
⊗ → ⊗

sao cho
( ) ( ) ( )
x y x y

µ ϕ ψ
⊗ = ⊗
v
ớ
i m
ọ
i
, .
x M y N
∈ ∈
D
ễ
th
ấ
y, khi
đ
ó
1 1
( ) ( )
n n
i i i i
i i
x y x y
µ ϕ ψ
= =
 
⊗ = ⊗
 
 
∑ ∑

đồ
ng c
ấ
u này
đượ
c g
ọ
i là tích tenx
ơ
c
ủ
a hai
đồ
ng c
ấ
u
ϕ
và
ψ
và
đượ
c ký hi
ệ
u là
.
ϕ ψ
⊗

23

Định lý 3.4.7.
Gi
ả
s
ử

: '
M M
ϕ
→
và
: '
N N
ψ
→
là nh
ữ
ng
đồ
ng c
ấ
u
A
- mô
đ
un. Khi
đ
ó ta
có kh
ẳ

ng
đị
nh sau :
(i) T
ươ
ng
ứ
ng
: ' '
M N M N
ϕ ψ
⊗ ⊗ → ⊗

cho b
ở
i
1 1
( ) ( )
n n
i i i i
i i
x y x y
ϕ ψ ϕ ψ
= =
 
⊗ ⊗ = ⊗
 
 
∑ ∑

là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u.
(ii) N
ế
u
ϕ
và
ψ
là các toàn c
ấ
u thì
ϕ ψ
⊗
c
ũ
ng là m
ộ
t toàn c
ấ
u.
(iii) Cho thêm các
đồ
ng c
ấ
u

A
- mô
đ
un
': ' ''
M M
ϕ
→
và
': ' ''
N N
ψ
→

thì ta có
' ' ( ' ')( ).
ϕ ϕ ψ ψ ϕ ψ ϕ ψ
⊗ = ⊗ ⊗

Đinh lý 3.4.8.
Cho
M
và
N
là nh
ữ
ng là nh
ữ
ng
A

- mô
đ
un. Gi
ả
s
ử

M
phân tích
đượ
c thành
t
ổ
ng tr
ự
c ti
ế
p
i I i
M M
∈
= ⊕
. Khi
đ
ó ta có

( )
i
i I
M N M N

∈
⊗ ≅ ⊕ ⊗
và
( )
i
i I
N M N M
∈
⊗ ≅ ⊕ ⊗


C. TÀI LIỆU HỌC TẬP
[3] Nguy
ễ
n Ti
ế
n Quang, Nguy
ễ
n Duy Thu
ậ
n (2001), C
ơ
s
ở
lý thuy
ế
t mô
đ
un và vành, NXB
Giáo d

ụ
c.
[6] D
ươ
ng Qu
ố
c Vi
ệ
t (2008), C
ơ
s
ở
lý thuy
ế
t mô
đ
un, NXB
Đạ
i h
ọ
c S
ư
ph
ạ
m.
[7] Sze – Tsen Hu (1973), Nh
ậ
p môn
đạ
i s

ố

đồ
ng
đ
i
ề
u, Nhà in Minh – Sang, Hà N
ộ
i (Tài li
ệ
u
l
ư
u hành n
ộ
i b
ộ
).

D. CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN

3.1.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng dãy
1
1 2

i i
f f
i i i
M M M
+
+ +
→ → → →

là dãy kh
ớ
p n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u các dãy
1
1 1
0 Im Im 0
i i
f
i i i
f M f
µ
+
+ +
→ → → →

V
ớ
i
i
µ
là phép nhúng chính t
ắ
c, là kh
ớ
p ng
ắ
n v
ớ
i m
ọ
i ch
ỉ
s
ố

i
xu
ấ
t hi
ệ
n trong dãy ban
đầ
u.
3.2.
Cho bi

ể
u
đồ
các
A
- mô
đ
un và các
đồ
ng c
ấ
u các
A
- mô
đ
un

Gi
ả
s
ử

, ,
α β γ
là nh
ữ
ng
đẳ
ng c
ấ

u, còn các hình vuông giao hoán t
ứ
c là
'
f f
β α
=
và
' .
g g
γ β
=
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng dòng trên c
ủ
a s
ơ

đồ
là dãy kh
ớ
p khi và ch
ỉ
khi dòng d
ướ
i là
kh

ớ
p.
24
3.3.
Hàm th
ự
c
C
xác
đị
nh trên l
ớ
p các
A
- mô
đ
un
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t hàm c
ộ
ng tính n
ế
u v
ớ
i m
ỗ

i
dãy kh
ớ
p ng
ắ
n các
A
- mô
đ
un
0 0
N M P
→ → → →

Ta luôn có
( ) ( ) ( )
C M C N C P
= +
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
C
là m
ộ
t hàm c
ộ

ng tính và
0 1
0 0
n
M M M
→ → → → →

là m
ộ
t dãy kh
ớ
p các
A
- mô
đ
un thì
0
( 1) ( ) 0
n
i
i
i
C M
=
− =
∑

3.4.
Ch
ứ

ng minh r
ằ
ng dãy kh
ớ
p

f g
N M P
→ → → →

ch
ẻ
ra t
ạ
i
M
n
ế
u m
ộ
t trong hai
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau
đượ
c th
ỏ

a mãn:
(i)

T
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u
':
f M N
→
sao cho
'
f f
là m
ộ
t t
ự

đẳ
ng c
ấ
u c
ủ

a
N
.
(ii)

T
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u ':
g P M
→
sao cho
'
gg
là m
ộ
t t
ự

đẳ
ng c
ấ
u c

ủ
a
P
.
3.5.
Cho bi
ể
u
đồ
giao hoán v
ớ
i các dòng là kh
ớ
p các
A
- mô
đ
un

(i) V
ớ
i m
ỗ
i
er ( )
x K w
∈
. Ch
ứ
ng minh r

ằ
ng t
ồ
n t
ạ
i
y M
∈
và
'
z N
∈

để

( )
g y x
=
và
( ) ( ).
v y z
φ
=

Đồ
ng th
ờ
i quy t
ắ
c

: er( ) ker( ) '/ Im( )
K w Co u N u
δ
→ =
cho b
ở
i
( ) Im( )
x z u
δ
= +

là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u.
(ii) Xác
đị
nh
đồ
ng c
ấ
u
* *
: er( ) er( ), : er( ) er( )
f K u K v g K v K w
→ →

* *
: er( ) er( ), : er( ) er( )
cok u cok v Cok v Cok w
φ ψ
→ →

c
ả
m sinh t
ươ
ng
ứ
ng t
ừ

, , , .
f g
φ ψ

(iii) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng khi n
ố
i các
đồ
ng c
ấ
u

* * * *
, , , ,
f g
δ φ ψ
ta nh
ậ
n
đượ
c dãy kh
ớ
p sau:
Ker( ) er( ) er( ) ker( ) ker( ) ker( )
u K v K w Co u Co v Co w
→ → → → →

3.6.
Cho
, ,
M N P
là nh
ữ
ng
A
- mô
đ
un. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng :

(i)
M N N M
⊗ ≅ ⊗

(ii) ( ) ( )
M N P M N P
⊗ ⊗ ≅ ⊗ ⊗

3.7.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
[ ] [ ] [ , ]
A
A X A Y A X Y
⊗ ≅
.
3.8.
Cho
,
M N
là nh
ữ
ng
A
- mô
đ
un và

I
là m
ộ
t i
đ
êan c
ủ
a
A
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
(i)
/ / .
A
A I M M IM
⊗ ≅

(ii)
/
/ / ( ) / ( ).
A I A A
M IM N IN M N I M N
⊗ ≅ ⊗ ⊗

3.9.
Cho
K

là m
ộ
t tr
ườ
ng và
,
m n
là hai s
ố
nguyên d
ươ
ng. Hãy tính
25
[ ]
à [ ]/ ( ) [ ] / ( )
m n
m n K x
v K X X K X X
⊗ ⊗
ℤ
ℤ ℤ
.
3.10.
Cho
K
là m
ộ
t tr
ườ
ng và

,
m n
là hai s
ố
nguyên d
ươ
ng. V
ớ
i
1 2 1 2
( , , , ) ; ( , , , )
m n
m n
x x x x K y y y y K
= ∈ = ∈

Ta xác
đị
nh
1 1 1 2 1 2
( , , , , , , )
mn
n n m n
x y x y x y x y x y x y K
⊗ = ∈

và
:
( , )
m n mn

g K K K
x y x y
× →
⊗
֏

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
mn
K
là tích tenx
ơ
c
ủ
a hai
K
- không gian vect
ơ

m
K
và
,
n
K
còn
g

chính là
ánh x
ạ
tenx
ơ
.
3.11.
Cho
: '
f M M
→
và
: '
g N N
→
là nh
ữ
ng toàn c
ấ
u
A
- mô
đ
un. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
( )
Ker f g

⊗

đượ
c sinh ra b
ở
i nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
d
ạ
ng
x y
⊗
v
ớ
i
er
x K f
∈
ho
ặ
c
er .
y K g
∈
T
ừ

đ
ó
suy ra n
ế
u
f
và
g
là nh
ữ
ng
đẳ
ng c
ấ
u thì
f g
⊗
c
ũ
ng là m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u.
3.12.
Gi
ả

s
ử

M
và
N
là nh
ữ
ng
A
- mô
đ
un có s
ự
phân tích thành t
ổ
ng tr
ự
c ti
ế
p
,
i I i j J j
M M N N
∈ ∈
= ⊕ = ⊕
.
Ch
ứ
ng minh r

ằ
ng :
( , )
( )
i j
i j I J
M N M N
∈ ×
⊗ ≅ ⊗
⊕

3.13.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
M
và
N
là nh
ữ
ng
A
- mô
đ
un t
ự

do thì
M N
⊗
c
ũ
ng là m
ộ
t
A
-
mô
đ
un t
ự
do và
( ) ( ) ( )
r M N r M r N
⊗ =
.
3.14.
Cho
, ,
M N P
là nh
ữ
ng
A
- mô
đ
un. Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng :
( , ) ( , ( , ))
A A A
Hom M N P Hom M Hom N P
⊗ ≅