SKKN Bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán casio

MỤC LỤC
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ ……………………………………......….
1.Lí do chọn đề tài...........................................................................
2.Mục đích nghiên cứu....................................................................
3.Đối tượng nghiên
cứu...................................................................
4.Nhiệm vụ nghiên cứu...................................................................
5.Phạm vi nghiên cứu......................................................................
6.Phương pháp nghiên cứu..............................................................

Trang 2
Trang 2
Trang 3
Trang 3
Trang 3
Trang 3
Trang 3
Trang 4
Trang 4
Trang 4
Trang 4
Trang 6
Trang 9
Trang 9
Trang 11
Trang14
Trang 16
Trang 24

PHẦN II. NỘI DUNG …………………………………. ..…….......
1.Cơ sở lí luận.................................................................................

2.Thực trạng vấn đề nghiên cứu......................................................
3.Các biện pháp giải quyết vấn
đề...................................................
Dạng toán tìm số dư.....................................................................
Dạng toán tính đúng....................................................................
Dạng toán tìm ƯCLN-BCNN......................................................
Dạng toán liên phân số.................................................................
Dạng toán lãi
kép..........................................................................
Dạng toán dãy số.......................................................................... Trang 29
Một vài đề thi huyện Vĩnh Tường................................................
PHẦN III. KẾT LUẬN…..........................................................……

1


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. LÝ do chän ®Ò tµi
Với xu thế phát triển của xã hội nói chung và sự phát triển của khoa học nói
riêng, con người cần phải có một tri thức, một tư duy nhạy bén để nắm bắt và sử
dụng những tri thức đó trong cuộc sống hàng ngày. Muốn có những tri thức đó
con người cần phải tự học, tự nghiên cứu tìm hiểu những kiến thức đó. Hơn nữa
việc đổi mới phương pháp dạy học đòi hỏi người giáo viên cần phải tích cực
nghiên cứu sử dụng đồ dùng dạy học để đáp ứng nhu cầu dạy học hiện nay.
Người giáo viên cần phải khai thác và sử dụng đồ dùng một cách triệt để và có
hiệu quả cao nhất. Đối với môn toán học thì đồ dùng dạy học không phải là
nhiều, nhưng để sử dụng thành thạo được thì thật là khó. Máy tính điện tử là một
công cụ hỗ trợ đắc lực cho giáo viên và học sinh trong việc giải toán. Nó giúp
cho giáo viên và học sinh giải toán được nhanh hơn, tiết kiệm được thời gian, nó
giúp giáo viên và học sinh hình thành thuật toán, đồng thời góp phần phát triển

tư duy cho học sinh. Có những dạng toán nếu không có máy tính điện tử thì việc
giải gặp rất nhiều khó khăn, có thể không thể giải được, hoặc không đủ thời gian
để giải.
Trong những năm gần đây, các cơ quan quản lý giáo dục cũng như các tổ
chức kinh tế tài trợ thiết bị giáo dục (nhất là các công ty cung cấp thiết bị điện tử
và máy văn phòng) rất chú trọng việc tổ chức các cuộc thi giải toán trên MTĐT
BT. Từ năm 2001, BGD& ĐT bắt đầu tổ chức cuộc thi “Giải toán trên MTĐT
BT”- cho HS THCS - đến cấp khu vực; báo Toán tuổi thơ2 tổ chức thi giải toán
bằng MTĐT BT qua thư - cho HS THCS- do tập đoàn CASIO tài trợ nhằm góp
phần phát huy trí lực của học sinh và tận dụng những tính năng ưu việt của
MTĐT BT để hỗ trợ học tốt các môn học khác nữa như Lý,Hoá, Sinh, Địa ...
Hòa chung với xu thế đó, phòng GD_ĐT Vĩnh Tường tổ chức thi giải toán
trên máy tính cầm tay trong vài năm vừa qua, nó còn mới mẻ nên giáo viên còn
bỡ ngỡ, gặp nhiều khó khăn trong việc phát hiện và bồi dưỡng HSG giải toán
Casio. Chính vì vậy mà nhiều giáo viên còn ngại khi được giao nhiệm vụ bồi
dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính điện tử. Mặt khác các tài
liệu để giáo viên tham khảo còn ít và khó tìm kiếm. Trong khi đó nhu cầu học
hỏi của học sinh ngày càng cao, các em thích tìm hiểu ham học hỏi, khám phá
những kiến thức mới lạ trên trên máy tính điện tử. Còn về phía giáo viên lại
không được đào tạo cơ bản về nội dung này. Hầu hết giáo viên tự tìm hiểu, tự
nghiên cứu các kiến thức về máy tính điện tử nên gặp rất nhiều khó khăn trong
việc bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính điện tử. Chính vì

2


vậy tôi đã mạnh dạn viết chuyên đề " Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi
giải toán trên máy tính casio” .Kinh nghiệm phát hiện HSG thì rất phong phú,
các dạng bài tập áp dụng máy tính điện tử để giải thì rất nhiều, trong chuyên đề
này mới chỉ thể hiện được kinh nghiệm cá nhân và một vài dạng nhỏ các bài tập

để trao đồi cùng các bạn đồng nghiệp. Rất mong được các bạn đồng nghiệp trao
đổi, đóng góp ý kiến để kinh nghiệm này hoàn thiện hơn và được áp dụng rộng
rãi hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
2.môc ®Ých nghiªn cøu
Tôi mạnh viết chuyên đề " Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán
trên máy tính casio” với mục đích là:
Để Giáo viên cũng như học sinh nắm được các dạng toán và biết thêm
nhiều bài tập giải bằng máy tính bỏ túi.
Để tất cả các em học sinh có điều kiện nắm được những chức năng cơ bản
nhất của MTĐT BT CASIO Fx-500MS, Fx- 570MS, từ đó biết cách vận dụng
các tính năng đó vào giải các bài toán tính toán thông thường rồi dần đến các
bài toán đòi hỏi tư duy thuật toán cao hơn.
Tạo không khí thi đua học tập sôi nổi hơn, nhất là giáo dục cho các em ý
thức tự vận dụng kiến thức đã được học vào thực tế công việc của mình và ứng
dụng những thành quả của khoa học hiện đại vào đời sống.
Tạo nguồn HSG Giải toán trên máy tính cho các năm tiếp sau.
3.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đề tài áp dụng cho học sinh khá giỏi lớp 8,9 Trường THCS
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
Nghiên cứu về vấn đề dạy và học vấn đề này ở trường học.
Hệ thống hoá một số dạng giải toán bằng máy tính bỏ túi từ lớp 6 đến lớp 9.
Tìm hiểu kết quả và mức độ đạt được khi triển khai sang kiến.
Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm.
5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
Các dạng bài toán giải bằng máy tính điện tử bỏ túi Fx500MS, FX570MS.
Áp dụng rộng rãi với các giáo viên dạy toán và các em học sinh giỏi lớp 8, 9.
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
hương pháp tổng kết kinh nghiệm.

Phương pháp thử nghiệm.

3


PHẦN II: NỘI DUNG
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Giải toán trên máy tính điện tử với các em học sinh tôi đảm nhiệm thì còn
mới mẻ, việc tiếp cận công nghệ thông tin với các em còn hạn chế, các em còn
bỡ ngỡ trong việc sử dụng máy tính bỏ túi để giải toán. Hơn nữa, các em vẫn
chưa hình dung rõ các dạng toán dùng máy tính để giải. Nhưng bên cạnh những
khó khăn đó vẫn còn nhiều em có niềm đam mê, và ham thích học toán.
Nhờ máy tính bỏ túi mà việc giải các bài toán thực tế được dễ dàng hơn
như các dạng toán về Tính lãi xuất ngân hàng. Các bài toán về tỉ số tỉ số phần
trăm và tỉ xích số.
Thực tế, không chỉ học sinh trung bình mà cả học sinh giỏi khi gặp một bài
toán cần có kỹ năng tính toán và phải hoàn thành trong một khoảng thời gian
nhất định, chắc chắc các em căng thẳng và ngại kiểm tra, tính toán (chẳng
hạn,kiểm tra xem số 2013 có là số nguyên tố không ?). Vì vậy, để giúp học sinh
cókỹ năng tính toán tốt và đỡ tốn nhiều thời gian, tôi khuyên các em nên dùng
MTCT để kiểm tra, với cách này các em thích thú và không ngán ngại làm
toán,tạo nên sự đam mê học toán.
2.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Được sự động viên, khích lệ to lớn của Ban Giám Hiệu, đặc biệt là sự giúp
đỡ tân tình của các anh em tron g tổ toán ủng hộ tôi trong công tác bồi dưỡng
học sinh giỏi giải toán trên MTCT.
Trong những năm gần đây, Sở Giáo Dục, Phòng Giáo Dục Vĩnh Tường đã
phát động mạnh mẽ phong trào thi giải toán trên MTCT. Điều này đã làm dấy
lên phong trào bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán trên MTCT, đồng thời thúc đẩy
giáo viên nghiên cứu nhiều dạng toán phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh

giỏi. Và sức nóng của phong trào này tiếp thêm sức mạnh cho tôi thực hiện đề
tài này.
Đội tuyển Học sinh giỏi MTCT đa số là những em trong đội tuyển học sinh
giỏi của nhà trường, vì vậy các em có khả năng tư duy rất tốt, rất phù hợp để
chọn bồi dưỡng giải toán trên MTCT.
Tuy nhiên, khi tiến hành công tác bồi dưỡng, bản thân tôi cũng gặp một số
khó khăn nhất định như sau:
Đây là bộ môn chưa đưa vào giảng dạy chính thức trên lớp, chưa có một tài
liệu chính thức về bộ môn. Đa số các dạng toán bồi dưỡng là do bản thân tự tìm
tòi là chính.
Một số phụ huynh chưa quan tâm đến việc học của con em. Họ cho rằng
đây không phải là bộ môn chính khóa, không cần đầu tư, và việc lĩnh hội tốt
kiến thức của bộ môn là dễ dàng , không có gì khó khăn.

4


3.CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Với thực trạng được phân tích như trên, để đạt được mục tiêu đề ra, tôi đưa
ra các giải pháp thực hiện như sau:
Đầu tiên, tôi chọn học sinh giỏi ở khối lớp 8, mở một cuộc họp, tư vấn,giới
thiệu chiếc MTCT và lợi ích của nó mang lại khi tham gia lớp bồi dưỡng học
sinh giỏi giải toán trên MTCT.
Phân loại các dạng toán rõ ràng, đầy đủ. Định hướng, dẫn dắt cho học sinh
tự tìm ra phư ơng pháp giải cho từng dạng toán đó. Để làm được điều này, tôi
luôn hướng học sinh phải bắt nguồn từ nền tảng toán học mà các em đã được
học tại lớp. Đây là khâu then chốt trong quá trình bồi dưỡng.
Định hướng ôn tập cho học sinh. Tôi cung cấp cho học sinh một hệ thống
các chuyên đề và các bài tập thuộc các dạng toán theo thứ tự từ dễ đến khó. Tôi
cũng trích các bài toán liên quan trong các đề thi các cấp. Tôi yêu

cầu học sinh mỗi bài giải đều phải trình bày lời giải rõ ràng và ghi quy trình ấn
phím nộp cho tôi, sau đó mỗi học sinh sẽ trình bày bài giải của mình, những học
sinh còn lại phân tích, so sánh với cách giải của bản thân rồi nhận xét, và cuối
cùng tôi chốt lại vấn đề .
Sau đây tôi trình bày cụ thể cách thực hiện giải pháp của mình khi dạy một
số chuyên đề về MTCT:
A. SƠ LƯỢC CÁCH SỬ DỤNG MÁY TÍNH fx – 570 MS
1. Mở, Tắt máy:
Mở máy : ấn ON
Tắt máy: ấn SHIFT

OFF

Xoá màn hình để thực hiện phép tính khác : ấn AC
Xóa kí tự cuối vừa ghi: ấn DEL Máy tự động tắt sau khoảng 6 phút
không được ấn phím
2. Mặt phím:
Các phím chữ trắng & DT : ấn trực tiếp
Các phím chữ vàng: ấn sau SHIFT
Các phím chữ đỏ: ấn sau
Hoặc
Hoặc

ALPHA
SHIFT

STO

RCL

3. Tính chất yêu tiên của máy và cách sử dụng:
- Máy thực hiện trước các phép tính có tính chất
yêu tiên ( ví dụ: Phép nhân, chia thì ưu tiên hơn cộng, trừ)

5


- Nên ấn liên tục để đến kết quả cuối cùng, tránh tối đa việc chép kết quả
trung gian ra giấy rồi ghi lại vào máy vì việc đó có thể dẫn đến sai số lớn ở kết
quả cuối.
- Máy có ghi biểu thức tính ở dòng trên màn hình, khi ấn phím nên nhìn
để phát hiện chỗ sai. Khi ấn sai thì dùng phím

REPLAY



hay



đưa con trỏ đến chỗ sai để sửa bằng cách ấn đè hoặc ấn chèn ( ấn SHIFT INS
trước).
- Khi đã ấn = mà thấy biểu thức sai ( đưa đến kết quả sai) ta dùng
hay



 đưa con trỏ lên dòng biểu thức để sửa sai và ấn = để tính lại.

- Gọi kết quả cũ ấn ASN

=

- Trước khi tính toán phải ấn MODE

1

( chọn COMP )

- Nếu màn hình có hiện chữ : FIX , SCI muốn trở lại tính toán thông
thường thì ấn MODE MODE MODE MODE MODE 3 và ấn thêm 1
( NORM 1) hoặc

2 ( NORM 2), thông thường ta chọn (NORM 1).

- Nếu màn hình có chữ M hiện lên thì ấn O

SHIFT STO M

- Trong chương trình toán THCS khi tính toán màn hình hiện chữ D
( ấn MODE

MODE

MODE MODE 1

)

B . CÁC DẠNG TOÁN

I/ DẠNG 1 : TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ A CHO SỐ B.
1/ Trường hợp số A có tối đa không quá 10 chữ số.

 Phương pháp :
Số dư của số A chia số B là :

A
 A
 A
= A − B.   trong đó   là phần nguyên của
B
B
B

A
B

 Thao tác trên máy :
A

÷

B = kết quả là số thập phân, ta dùng

lên sửa phép chia A

÷

<

của phím REPLAY đưa con trỏ

 A
B thành A − B.   =
B

 Ví dụ : Tìm số dư của phép chia số 246813579 cho số 234

6


Giải :
246813579

÷

234= 1054758,885 dùng

<

của phím REPLAY đưa con trỏ sửa lại

như sau : 246813579 – 234 × 1054758=207.
Vậy Số dư tìm được là 207
2/ Trường hợp số A có nhiều hơn10 chữ số.

 Phương pháp : Trong trường hợp này số bị chia A có nhiều hơn 10
chữ số ta ngắt số A ra thành nhóm tối đa có 10 chữ số (tính từ bên trái sang). Ta
tìm số dư của nhóm đó khi chia cho số B (cách tìm số dư như phần a) được dư
bao nhiêu gắn vào đầu của nhóm còn lại, nếu nhóm còn nhiều hơn 10 chữ số ta

tiếp tục chia ra thành nhóm mới có tối đa 10 chữ số, rồi tiếp tục tìm số dư của
phép chia của nhóm mới cho số B được dư bao nhiêu gắn vào đầu của phần còn
lại, ... cứ thực hiện như thế cho đến khi nhóm cuối cùng không quá 10 chữ số.
Số dư của phép chia nhóm cuối cùng cho số B chính là số dư cần tìm của phép
chia.

 Ví dụ : Tìm số dư của phép chia số 12345678987654321 cho số
123456
Giải :
Ta tìm số dư của phép chia 1234567898 (nhóm đầu tiên) cho 123456 được dư là
7898
Ta tìm số dư của phép chia 7898765432 (nhóm thứ hai) cho 123456 được dư là
50552
Ta tìm số dư của phép chia 505521 (nhóm cuối cùng) cho 123456 được dư là
11697.
Vậy số dư của phép chia số 12345678987654321 cho số 123456 là 11697
3/ Trường hợp số A cho dưới dạng lũy thừa quá lớn.

 Phương pháp : Ta dùng đồng dư thức
* Khái niệm : a ≡ b (mod m) ⇔ ( a − b ) Mm
* Tính chất :

7


n.a ≡ n.b ( mod m )


+ a ≡ b (mod m) ⇒  n n
 a ≡ b ( mod m )

 a ≡ b ( mod m )

 a ± c ≡ b ± d ( mod m )

+ c ≡ d mod m ⇒  a.c ≡ b.d mod m
(
) 
(
)


 Ví dụ : Tìm số dư của phép chia số 20112012 cho số 1975
Giải :
Theo (mod 1975) ta có :
2011 ≡ 36
20112 ≡ 1296
20113 ≡ 1231
20115 ≡ 1926.1231≡ 906
201110 = ( 20115 ) ≡ 9062 ≡ 1211
2

201120 = ( 201110 ) ≡ 12112 ≡ 1071
2

201140 = ( 201120 ) ≡ 10712 ≡ 1541
2

201180 = ( 201140 ) ≡ 15412 ≡ 731
2

2011100 = 201180.201120 ≡ 731.1071≡ 801

(

)

3

(

)

2

2011300 = 2011100 ≡ 8013 ≡ 1726
2011600 = 2011300

(

)

≡ 17262 ≡ 776

3

20111800 = 2011600 ≡ 7763 ≡ 1601
20112000 = 20111800.2011100.2011100 ≡ 1601.801.801≡ 1751
20112012 = 20112000.201110.20112 ≡ 1751.1211.1296 ≡ 1731

Vậy số dư của phép chia số 20112012 cho số 1975 là 1731

4/ Bài tập: Tìm dư của các phép chia sau:
a) Số 28102007 cho 2511
c) Số 12345678987654321 cho 123456

b) Số 1621200869 cho 12
d) Số12345678986423579 cho

4657

8


e) Số 282011 cho 11

f) Số 20112012 cho 100.

II/ DẠNG 2 : TÍNH TÍCH ĐÚNG MÀ KẾT QUẢ TRÀN MÀN HÌNH

 Phương pháp : Kết hợp giữa tính trên máy và trên giấy.
 Ví dụ : Tính tích sau : A=2222255555 × 3333344444
Giải :
Ta viết số 2222255555 = 22222.105 + 55555 và
3333344444 = 33333.105 + 44444
5
5
Ta có A = ( 22222.10 + 55555) × ( 33333.10 + 44444 )

= 22222 × 33333.1010 + 22222 × 44444.105 + 55555 × 33333.105 + 55555 × 44444

Tính trên máy và ghi kết quả ra giấy như sau :

22222 × 33333.1010 = 7407259260000000000
22222 × 44444.105 =

98763456800000

55555 × 33333.105 =
55555 × 44444
=

185181481500000
2469086420

A = 7407543207407386420

 Bài tập: Tính đúng các tích sau:
a) 20112012 × 20122013

b) 2222233333 × 4444455555

c) 30041969 × 19052012

d) 9753102468 × 1098765432

III/ DẠNG 3 : TÌM ƯCLN VÀ BCNN

 Phương pháp : Để tìm ƯCLN; BCNN của hai số A và B, ta làm như
sau :
Tối giản

A a

= . Khi đó ƯCLN ( A, B ) = A ÷ a ; BCNN ( A, B ) = A × b
B b

 Ví dụ : Tìm ƯCLN, BCNN của 209865 và 283935
Giải :
Ghi vào màn hình 209865 ┘283935 = 17 ┘23 sau đó dời con trỏ lên
dòng biểu thức và sửa lại 209865

÷

17 = 12345

Vậy ƯCLN : 12345
Tương tự dời con trỏ lên dòng biểu thức sửa lại 209865

×

23 = 3567705

9


Vậy BCNN : 3567705
Trong trường hợp tìm BCNN mà kết quả tràn màn hình thì xử lí như dạng
2.

 Lưu ý : Nếu trường hợp ta không tối giản được

A
khi đó muốn tìm

B

ƯCLN ta dùng thuật toán Euclide theo hai mệnh đề sau :
+/ a = b.q ⇒ ƯCLN ( a, b ) : b
+/ a = b.q + r

( a, b ) =

( r ≠ 0)

⇒ ƯCLN ( a, b ) = ƯCLN ( b, r ) ; BCNN

a.b
UCLN ( a, b )

 Ví dụ : Tìm ƯCLN, BCNN của A=11264845 và B=33790075.
Giải:
Ta thấy A < B nên A=B.0 +A do đó tìm ƯCLN (A, B)=ƯCLN (B, A).
Ta có: B=A.Q1 + R1 hay 33790075=11264845.2 + 11260385
⇒ ƯCLN (A, B)= ƯCLN (B, A)= ƯCLN (A, R 1)= ƯCLN (11264845;

11260385)
Ta có: A= R1.Q2 + R2 hay 11264845=11260385.1 + 4460
⇒ ƯCLN (A, B)= ƯCLN (A, R1)= ƯCLN (R1, R2)=ƯCLN (11260385; 4460)

Ta có: R1=R2.Q3 + R3 hay 11260385=4460.2524 + 3345
⇒ ƯCLN (A, B)= ƯCLN (R1, R2)= ƯCLN (R2, R3)=ƯCLN (4460; 3345)

Ta có: R2=R3.Q4 + R4 hay 4460 = 3345.1 + 1115
⇒ ƯCLN (A, B)= ƯCLN (R2, R3)= ƯCLN (R3, R4)=ƯCLN ( 3345; 1115)

Ta thấy R3=R4.Q5 hay 3345=1115.3
Vậy ƯCLN (R3, R4)=R4 hay ƯCLN ( 3345; 1115) =1115
Suy ra ƯCLN(A,B)=R4 hay ƯCLN(11264845; 33790075)=1115.
A.B

11264845 × 33790075
BCNN ( A, B ) = UCLN ( A, B ) =
kết quả tràn màn hình, ta
1115

làm tương tự như dạng 2. BCNN(A, B)=341381127725

 Bài tập: Tìm UCLN và BCNN của các số sau:
a) A=2419580247 và B= 3802197531

10


b) A=90756918 và B=14676975
c) A=40096920 ; B=9474372 và C=51135438
d) A=14696011 và B=7362139
e) A= 12081839 và B= 15189363
IV/ DẠNG 4: LIÊN PHÂN SỐ
1/ Tính liên phân số kết quả được viết dưới dạng phân số.

 Phương pháp: Có hai cách tính.
Cách 1: Tính từ trên xuống.
Cách 2: Tính từ dưới lên

 Ví dụ: Biểu diển số sau dưới dạng phân số

1

M = 1+
2+

1
3+

1
2

Giải:
Cách 1: Nhập vào màn hình như sau: 1+1 ÷ (2+1 ÷ (3+1 ÷ 2)) =
Cách 2: Ấn 2 x-1

×

1+3=

x-1

×

1+2=

x-1

×

1 + 1 = ấn tiếp shift ab/c kết quả M =

23
16

23
16

2/ Biểu diễn phân số dưới dạng liên phân số:

 Phương pháp:
Cho a, b ( a > b ) là hai số tự nhiên. Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b, thì
b
a
1
= a0 + 0 = a0 +
a
b.
b
phân số có thể viết dưới dạng: b
b
b0
Vì b0 là phần dư của a khi chia cho b, nên b > b0. Lại tiếp tục biểu diễn
b
a
1
b1
= a0 + 0 = a0 +
b

1
= a1 +
=a +
1
b
b
a1 +
b0 1 b0 ⇒
dưới dạng phân số: b0
b0
b1
b1

11


Tiếp tục quá trình này sẽ kết thúc sau n bước và ta được:
b
a
= a0 + 0 = a0 +
b
b
a+
1

1
1
...an−1 +

1

an

Cách biểu diển này gọi là cách biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng liên phân số,
nó được viết gọn là: a0,a1,...,an 

 Hướng dẫn cách bấm máy:
Ghi vào màn hình: a ┘b = a0 ┘b0 ┘b
-a0 = b0 ┘b = x-1 = a1 ┘b1 ┘b0
-a1= b1 ┘b0 = x-1 = a2 ┘b2 ┘b1
-a2= b2 ┘b1 = x-1 = a3 ┘b3 ┘b2
...............................................
................................................
................................................
................................................
-an-2= bn-2 ┘bn-3 = x-1 = an-1 ┘1 ┘an

 Ví dụ 1: Biểu diễn phân số sau dưới dạng liên phân số.

32
17

Giải:
32
15
1
1
1
1
= 1+ = 1+

= 1+
= 1+
= 1+
17
2
1
1
17
17
1+
1+
1+
15
1
15
15
7+
2
2

 Ví dụ 2: Tìm a, b, c, d, e, f biết:
A=

1761
= a+
382

5
4

b+

5

c+
d+

4
e+

5
f

12


Giải:
Ta có:
1761
615
5
5
5
5
5
= 3+
= 3+
= 3+
= 3+
= 3+

= 3+
382
136
4
4
4
382
382
2+
2+
2+
2+
123
55
5
123
123
2+
2+
34
34
34
11

A=

5

=3+

4

2+
2+

5

= 3+

4

2+

5
12
2+
11

5

2+

4
11
3

2+

4

2+

5

2+

5

= 3+

2+

4
2+

5
3

Vậy a = 3; b = c= d = e = 2; f = 3.
3/ Bài tập:
a) Biểu diễn các số sau dưới dạng phân số:
A = 1+

B = 3+

1
2+

1
3+

1
2

5
2+

4
2+

2+

C = 7+
5

4

2+

5
3

1
3+

3+

1
1
3+

1
4

b) Tìm a, b, c, d biết:
A=

329
=
1051 3+

1
1
5+

B=
1

a+

1
b

1360
20
=
1
157 2+
a+

C=
1

b+

1
c

700
=
1807 a+

2
1

b+

1
1
c+
d

c) Giải phương trình sau:

13


4+

1+

x
1
2+

=
1

3+

x
4+

1
4

1
3+

y
y
+
=1
1
1
1+
2+
1
1
3+

4+
5
6

;
1

2+

1
2

V/ DẠNG 5: LÃI KÉP

 Dạng 1: Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng với lãi suất hàng tháng là
r%. Hỏi sau n tháng thì có được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu ?
Giải:
Gọi Tn là tiền có được cả vốn lẫn lãi sau n tháng, ta có:
Tháng 1 (n = 1) : T1 = a + ar = a (1+r)
Tháng 2 (n = 2) : T2 = T1+T1r = T1(1+r) = a (1+r)2
Tháng 3 (n = 3) : T3 = T2+T2r =T2 (1+r) = a (1+r)3
...................................................................................
: Tn = a (1+r)n .

Tháng n

Vậy số tiền có được sau n tháng cả vốn lẫn lãi là: T = a (1+r)n (*)
(*) ⇒ a =

T

(1+ r )

n

;

T
a
n=
ln ( 1 + r )
ln

r=

n

T
−1
a

 Ví dụ 1: Ông An gửi tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền 58.000.000 đ
với lãi suất 0,7%/ tháng. Hỏi sau 18 tháng ông An có tất cả số tiền là bao nhiêu ?
Giải:
Số tiền ông An có được sau 18 tháng là: T = 58.000.000 ( 1+0,007) 18
=65.759.494 đ

 Dạng 2: Mỗi tháng gửi vào ngân hàng với số tiền a đồng với lãi suất r
%/tháng. Hỏi sau n tháng có được tất cả bao nhiêu ?
Giải:

Gọi Tn là số tiền có được sau n tháng, ta có:
Đầu tháng 1: T1 = a

14


Cuối tháng 1: T1’ = a +ar = a (1+r)
a
2
Đầu tháng 2: T2 = a + a ( 1 + r ) = a ( 1 + r ) + 1 = ( 1 + r ) − 1
r

Cuối tháng 2: T2’= T2 + T2r = T2 (1+r) =

a
2
( 1 + r ) − 1 ( 1 + r )
r

Đầu tháng 3: T3 =
a+

a
a
a
2
3
3
( 1 + r ) − 1 ( 1 + r ) = ( 1 + r ) − ( 1 + r ) + r  = ( 1 + r ) − 1
r

r
r

a
3
Cuối tháng 3: T3’= T3+T3r = T3 (1+r) = ( 1 + r ) − 1 ( 1 + r )
r

................................................................................................................
a
n
Cuối tháng n: Tn’ = ( 1 + r ) − 1 ( 1 + r )
r

a
n
Vậy số tiền có được là: T = ( 1 + r ) − 1 ( 1 + r ) (*,*)
r

 rT

ln 
+ 1÷
÷
a ( 1+ r )

n= 
ln ( 1 + r )

rT

(*,*) ⇒ a = ( 1 + r ) n − 1 ( 1 + r )




 Ví dụ 2: Ông An hàng tháng gửi tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền
500.000 đ với lãi suất 0,7%/ tháng. Hỏi sau 60 tháng ông An có tất cả số tiền là
bao nhiêu ?
Giải:
Số tiền ông An có được là: T
=

500.000 
60
( 1 + 0, 007 ) − 1 ( 1 + 0, 007 ) = 37.383.887 đ
0, 007

 Dạng 3: Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng với lãi suất hàng tháng là
r%. Mỗi tháng rút ra b đồng để chi tiêu trong gia đình. Hỏi sau n tháng thì còn
lại là bao nhiêu ?
Giải:
Gọi Tn là tiền còn lại sau n tháng, ta có:
Sau tháng 1 (n = 1) : T1 = a + ar - b= a (1+r) - b
Sau tháng 2 (n = 2) : T2 = T1(1+r) – b = [a (1+r) – b] (1+r) - b

15


= a (1+r)2- b[(1+r)+1]

b
2
2
= a ( 1 + r ) − ( 1 + r ) − 1


r


Sau tháng 3 (n = 3) : T3 = T2 (1+r) - b = a ( 1 + r ) − ( 1 + r ) − 1  ( 1 + r ) − b
r


b

2

2

b
b
3
2
3
3
= a ( 1 + r ) − ( 1 + r ) − 1 ( 1 + r ) − b = a ( 1 + r ) − ( 1 + r ) − 1


r
r

...................................................................................
Tháng n

b

: Tn = a ( 1 + r ) − ( 1 + r ) − 1 .
r
n

n

b

Vậy số tiền còn lại là: T = a ( 1 + r ) − ( 1 + r ) − 1 .
r
n

n

 Ví dụ: Ống An gửi tiết kiệm 2000 đôla với lãi suất 0,5%/tháng. Giả sử
mỗi tháng ông An rút ra 50 đôla để trả tiền điện, nước ... Hỏi số tiền còn lại sau
30 tháng ?
Giải:
50

Số tiền còn lại sau 30 tháng là: T = 2000 ( 1 + 0, 005 ) − 0, 005 ( 1 + 0, 005 ) − 1 =709
30

30

đôla.

 Bài tập:
a) Muốn có 100.000.000 đ sau 3 năm thì cần gửi tiết kiệm mỗi tháng bao
nhiêu với lãi suất 0,75%/ tháng.
b) Một người gửi vào ngân hàng 10.000.000 đ với lãi suất 0,65%/tháng thì
18 tháng người đó nhận được bao nhiêu cả vốn lẫn lãi ?
c) Bạn cần vay 5000 đôla để mua xe với lãi suất kép 12% / năm. Bạn phải
trả tiền hàng quý và trả hết trong vòng 4 năm. Vậy mỗi quý bạn trả bao nhiêu ?
V/ DẠNG 6: MỘT VÀI DÃY SỐ
* Dạng 1 - Dãy Phi - bô - na - xi
(Fibonacci - là dãy số có dạng u1=1; u2 = 1; un+1= un + un-1(n = 1, 2, 3…)
Ta có công thức tổng quát:

16


n
n
1   1 + 5   1 − 5  ÷
un =

÷ − 
÷
÷÷
2
5   2 ÷
 
 



- Quy trình tính trên máy tính Casio fx-500 MS.
Bấm
1 SHIFT STO A
+ 1 SHIFT STO B Và lặp lại dãy phím:
+ ALPHA A SHIFT STO A
+ ALPHA B SHIFT STO B Bằng phím ∆ =

Khi bấm 1 SHIFT STO A đưa u2 = 1 vào A
Khi bấm + 1 SHIFT STO B nghĩa là cộng u2 = 1 với u1 = 1 được u3 = 2 và
ghi vào B .
Khi bấm + ALPHA A SHIFT STO A cộng u3= 2 với u2 = 1
được u4 = u3 + u2 = 3 và ghi vào A .
Khi bấm + ALPHA B SHIFT STO B nghĩa là cộng u4 = 3 với u3 = 2 trong
B được u5 = u4 + u3 = 5 và ghi vào B . Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử
dụng hai ô A và B để lần lượt tính các giá trị un bằng cách bấm liên tiếp phím
∆ = ta sẽ được u6= 8; u7 =13; u8 = 21...
- Quy trình tính trên máy tính Casio fx-570 MS
+ Quy trình 1: Bấm 1 SHIFT STO A
+ 1 SHIFT STO B Và lặp lại dãy phím:
+ ALPHA A SHIFT STO A
+ ALPHA B SHIFT STO B Bằng phím COPY =

Giải thích:
Khi bấm 1 SHIFT STO A đưa u2 = 1 vào A
Khi bấm + 1 SHIFT STO B nghĩa là cộng u2=1 với u1=1 được u3= 2 và ghi
vào B .
Khi bấm + ALPHA A SHIFT STO A cộng u3= 2 với u2 = 1 được
u4 = u3 + u2 = 3 và ghi vào A .

Khi bấm + ALPHA B SHIFT STO B nghĩa là cộng u4 = 3 với u3 = 2 trong
B được u5 = u4 + u3 = 5 và ghi vào B . Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử
dụng hai ô A và B để lần lượt tính các giá trị un bằng cách bấm liên tiếp phím
COPY = ta sẽ được u6= 8; u7 =13; u8 = 21...
Quy trình 2: Bấm 1 SHIFT STO A
+ 1 SHIFT STO B
+ ALPHA A SHIFT STO A
+ ALPHA B SHIFT STO B ∆ SHIFT

COPY

Lặp lại phím =
Giải thích:
Khi bấm 1 SHIFT STO A đưa u2 = 1 vào A

17


Khi bấm + 1 SHIFT STO B nghĩa là cộng u2 =1 với u1=1 được u3=2 và ghi
vào B .
Khi bấm + ALPHA A SHIFT STO A cộng u3= 2 với u2 = 1 được
u4 = u3 + u2 = 3 và ghi vào A .
Khi bấm + ALPHA B SHIFT STO B nghĩa là cộng u4 = 3 với u3 = 2 trong
B được u5 = u4 + u3 = 5 và ghi vào B .
Khi bấm ∆ SHIFT COPY lấy lại quy trình và tính tiếp nhờ phím = .
Quy trình 3: Tính só Phi - bô - na - xi un trên máy Casio fx - 570 MS nhờ
công thức nghiệm:
( ( (1+
5 ) ÷ 2 ) ^ ALPHA X
− ( (1−

5 ) ÷ 2 ) ^ ALPHA X ÷

5

Bấm CALC máy hiện X ?
Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta được các un tương ứng.
Lời bình: Máy tính Casio fx - 570 MS tiện hơn máy tính Casio fx - 500 MS
vì chỉ cần khai báo công thức một lần, sau đó, mỗi lần bấm phím CALC chỉ cần
thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta được các u tương ứng.
* Dạng 2. Dãy Lu - ca (Lucas - là dãy số tổng quát của dãy
Phi - bô - na - xi với u1 = a; u2 = b; un+1= un + un-1 với mọi n ≥ 2 a và b là hai
số nào đó.
Quy trình 1:
Bấm b SHIFT STO A .
+ a SHIFT STO B và lặp lại dẫy phím
+ ALPHA A SHIFT STO A .
+ ALPHA B SHIFT STO B Bằng phím COPY = .
Giải thích
Bấm b SHIFT STO A nghĩa là đưa u2 = b vào A .
Bấm + a SHIFT STO B nghĩa là cộng u2 =b với u1 =a được u3=a + b và ghi
vào B .
Khi bấm + ALPHA A SHIFT STO A cộng u3= a + b với u2 = b được
u4 = u3 + u2 = a + 2b và ghi vào A .
Khi bấm + ALPHA B SHIFT STO B nghĩa là cộng u4 = a + 2b với
u3 = a + b trong B được u5 = u4 + u3 = 2a + 3b và ghi vào B . Tiếp tục sử
dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô A và B để lần lượt tính các giá trị un
bằng cách bấm liên tiếp phím COPY = ta sẽ được u6; u7; u8 ...
Quy trình 2: : Bấm b SHIFT STO A
+ a SHIFT STO B

+ ALPHA A SHIFT STO A
+ ALPHA B SHIFT STO B ∆ SHIFT

COPY

Lặp lại phím =

18


Giải thích:
Khi bấm b SHIFT STO A đưa u2 = 1 vào A
Khi bấm + 1 SHIFT STO B nghĩa là cộng u2 =1 với u1=1được u3=2 và ghi
vào B
Khi bấm + ALPHA A SHIFT STO A cộng u3= 2 với u2 = 1 được
u4 = u3 + u2 = 3 và ghi vào A .
Khi bấm + ALPHA B SHIFT STO B nghĩa là cộng u4 = 3 với u3 = 2 trong B
được u5 = u4 + u3 = 5 và ghi vào B .
Khi bấm ∆ SHIFT COPY lấy lại quy trình và tính tiếp un nhờ phím = .
Ví dụ 1:
Cho dãy số u1 = 8; u2 =13; un+1= un + un-1 ( n = 2, 3, 4…).
1) Hãy lập một quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un+1 với mọi
n ≥ 2.
2) Sử dụng quy trình trên để tính giá trị u13; u17.
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 570 MS.
Ta thấy rằng đây chính là dãy Lu - ca có a = 8; b = 13
Sử dụng quy trình trên để tính un+1 với mọi n ≥ 2 như sau:
13 SHIFT STO A (gán u2 = 13 vào A )
+ 8 SHIFT STO B (gán u3 = 21 vào B )
+ ALPHA A SHIFT STO A (gán u4 = 34 vào A )

+ ALPHA B SHIFT STO B (gán u5 = 55 vào B )
∆ SHIFT

COPY

Lặp lại phím =
Để tính tiếp u13 ta ấn tiếp liên tiếp phím = 8 lần được số 2584 nghĩa là
u13 = 2584.
Sau khi tính được u13 để tính tiếp u17 ta ấn tiếp 4 phím = được số 17711
nghĩa là u17 =17711.
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS.
13 SHIFT STO A (gán u2 = 13 vào A )
+ 8 SHIFT STO B (gán u3 = 21 vào B )
+ ALPHA A SHIFT STO A (gán u4 = 34 vào A )
+ ALPHA B SHIFT STO B (gán u5 = 55 vào B )
Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím ∆ = ta được các un
tương ứng.
Ví dụ 2: Cho dãy số u1 = 144; u2 = 233; un+1 = un + un-1 (n = 2, 3, 4..)
a) Lập một quy trình bấm phím để tính un+1.
b) Tính u12; u20; u25, u30.
c) Tính chính xác đến 5 chữ số sau dấu phẩy các tỉ số:

u 2 u3 u 4 u6
.
u1 u 2 u 3 u 5

Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS.

19

233 SHIFT STO A (gán u2 = 233 vào A )
+ 144 SHIFT STO B (gán u3 = 377 vào B )
+ ALPHA A SHIFT STO A (gán u4 = 610 vào A )
+ ALPHA B SHIFT STO B (gán u5 = 987 vào B )
Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím ∆ = ta được các un
tương ứng.
Để tính u12 ta ấn liên tiếp 7 lần cặp phím ∆ = được u12=28657
Để tính tiếp u20 ta ấn liên tiếp 8 lần cặp phím ∆ = nữa được u20= 1346269
Để tính tiếp u25 ta ấn liên tiếp 5 lần cặp phím ∆ = nữa được
u25= 14930352
Để tính tiếp u30 ta ấn liên tiếp 5 lần cặp phím ∆ = nữa được
u30= 165580141.
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 570 MS:
233 SHIFT STO A (gán u2 = 233 vào A )
+ 144 SHIFT STO B (gán u3 = 377 vào B )
+ ALPHA A SHIFT STO A (gán u4 = 610 vào A )
+ ALPHA B SHIFT STO B (gán u5 = 987 vào B )
∆ SHIFT

COPY

Lặp lại phím =
Lặp lại phím = ta tính tiếp được u6= 1597; u7 = ; 2584....
Đến đây dễ dàng tính được các tỉ số theo yêu cầu của đề bài:

u
u 2 233
377
=

≈ 1, 61805; 3 =
≈ 1, 61802
u1 144
u 2 233
u
u 4 610
1597
=
≈ 1, 61803; 6 =
≈ 1, 61803
u 3 377
u 5 987
*Dãy Lu - ca suy rộng dạng u1=a; u2 = b; un = aun + bun-1.
- Quy trình bấm phím trên máy tính Casio fx - 570 MS:
+ Quy trình 1:
b SHIFT STO A × a + b × a SHIFT STO B

Lặp lại dãy phím × a + ALPHA A × b SHIFT STO A
× a + ALPHA B × b SHIFT STO B

Giải thích: Bấm b SHIFT STO A × a + b × a SHIFT STO B đưa b = u2 vào
ô nhớ A , tính u3 = au2 + bu1 và gán u3 vào ô nhớ B .
Dãy phím × a + ALPHA A × b SHIFT STO A tính u4 = au3 + bu2 và gán u3
A , còn trong ô nhớ
B
vào ô nhớ
là u3. thực hiện
× a + ALPHA B × b SHIFT STO B ta có u5 trên màn hình và trong ô nhớ B .
Tiếp tục vòng lặp lại được các số hạng của un+1=aun + bun-1
b SHIFT STO A × a + b × a SHIFT STO B

+ Quy trình 2:

20


× a + ALPHA A × b SHIFT STO A
× a + ALPHA B × b SHIFT STO B
∆ SHIFT

COPY

Lặp lại phím =
Giải thích: Tương tự như quy trình 1 nhưng ở quy trình 2 ta sử dụng các
phím ∆ SHIFT COPY để lặp lại quy trình.
Ví dụ 1: Cho dãy u1 = 2, u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n = 2, 3, ….)
a) Tính u3 , u4 , u5 , u6 , u7.
b) Viết quy trình bấm phím để tính un.
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500MS:
20 SHIFT STO A × 2 + 20 × 2 SHIFT STO B (gán u3 = 80 vào B )
× 2 + ALPHA A × 20 SHIFT STO A
(gán u4 = 560 vào A )
× 2 + ALPHA B × 20 SHIFT STO B
(gán u5 = 2720 vào B )
Lặp lại quy trình trên bằng phím ∆ = ta tính được u6 = 16640, u7 =
87680 ...
Hướng dẫn giải trên mãy tính Casio fx - 570 MS:
20 SHIFT STO A × 2 + 20 × 2 SHIFT STO B (gán u3 = 80 vào B )
× 2 + ALPHA A × 20 SHIFT STO A
(gán u4 = 560 vào A )
× 2 + ALPHA B × 20 SHIFT STO B

(gán u5 = 2720 vào B )
∆ SHIFT

COPY

Lặp lại phím =
Như vậy sử dụng máy tính Casio fx - 570 MS để lặp lại một quy trình chỉ
cần ấn liên tiếp phím = , còn đối với máy tính Casio fx - 500 MS để lặp lại một
quy trình thì phải ấn liên tiếp cặp phím ∆ = .
(2 + 3) n − (2 − 3) n
Ví dụ 2: Cho dãy số u n =
2 3

a) Tìm 8 số hạng đầu tiên của dãy.
b) Lập một công thức truy hồi để tính un+2 theo un + 1 và un.
c) Lập một quy trình để tính un?
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS:
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy theo công thức tổng quát
( (2+
3) ^ 1 − ( 2 −
3 ) ^ 1 ) ÷ 2×
3=
(u1= 1)
REPLAY
Sử dụng phím
để sửa công thức trên di chuyển con chỏ tới
vị trí số mũ là 1 sửa thành số mũ là 2 rồi bấm = , tiếp tục sửa số mũ là 2 thành 3
... ta sẽ tìm được 8 số hạng đầu của dãy.
b) Đặt a = (2 + 3); b = (2 − 3) ta có a+ b = 4 và ab = 1

a n − b n (a + b)(a n −1 − b n −1 ) − a n −1b + ab n −1
=
2 3
4(a n −1 − b n −1 ) − ab(a n − 2 − b n − 2 )
un =
2 3
un =

21


4(a n −1 − b n −1 ) (a n − 2 − b n − 2 )
un =
−
=4un-1 - un-2
2 3
2 3
Vậy un = 4un- 1 - un-2 hay un+2 =4un+1 - un
c) Lập quy trình tính un.
Có u1 = 1, u2 = 4
4 SHIFT STO A (gán u2 = 4 vào A )
× 4 − 1 SHIFT STO B (tính và gán u3 = 15 vào B )
× 4 − ALPHA A SHIFT STO A
(gán u4 = 56 vào A )
× 4 − ALPHA B SHIFT STO B
(gán u5 = 209 vào B )
Lặp lại quy trình trên bằng phím ∆ = ta tính được u6 = 780, u7 = 2911 ...
Hướng dẫn giải trên máytính Casio fx - 570 MS
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy theo công thức tổng quát
( (2+

3 ) ^ ALPHA X − ( 2 −
3 ) ^ ALPHA X ) ÷ 2 3
Bấm CALC máy hiện X ?
Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 8 ta được các un tương ứng.
u1= 1, u2= 4, u3= 15, u4= 56, u5= 209, u6= 780, u7= 2911, u8= 10864.
c) Lập quy trình tính un.
4 SHIFT STO A (gán u2 = 4 vào A )
× 4 − 1 SHIFT STO B (tính và gán u3 = 15 vào B )
× 4 − ALPHA A SHIFT STO A
(gán u4 = 56 vào A )
× 4 − ALPHA B SHIFT STO B
(gán u5 = 209 vào B )
∆ SHIFT

COPY

Lặp lại phím =
Tìm được các un tương ứng
* Dãy Phi - bô - na - xi bậc ba
Dạng u1 = u2 = 1, u3 = 2, un+1 = un + un-1 + un-2 (n=3, 4, 5,..)
- Quy trình trên máy tính Casio fx 570 - MS:
1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B
ALPHA B + ALPHA A + 1 SHIFT STO C

Lặp lại dãy phím + ALPHA B + ALPHA A SHIFT STO A
+ ALPHA C + ALPHA B SHIFT STO B
+ ALPHA A + ALPHA C SHIFT STO C

Bằng cách bấm tiếp: ∆ SHIFT COPY và bấm liên tiếp phím =
Giải thích:

Bấm: 1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B nghĩa là gán u1 = 1 vào A ,
gán u3 = 2 vào B .
Bấm: ALPHA B + ALPHA A + 1 SHIFT STO C tính u4 và gán vào C
+ ALPHA B + ALPHA A SHIFT STO A tính u5 và gán vào A
+ ALPHA C + ALPHA B SHIFT STO B tính u6 và gán vào B

22


+ ALPHA A + ALPHA C SHIFT STO C tính u7 và gán vào C

Ta được dãy 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, ...
2
2
* Dãy phi tuyến dạng: u1 =a, u2 = b, un+1 = un +un-1
- Quy trình trên máy tính Casio fx - 570 MS:
Bấm: b SHIFT STO A
x 2 + a x 2 SHIFT STO B

Lặp lại dãy: x 2 + ALPHA A x 2 SHIFT STO A
x 2 + ALPHA B x 2 SHIFT STO B

Bằng cách phím ∆ SHIFT COPY và bấm liên tiếp phím =
- Giải thích:
Bấm b SHIFT STO A gán u2= b vào A
x 2 + a x 2 SHIFT STO B tính u3 = b2 + a2 và gán vào B
2
2
Lặp lại dãy: x 2 + ALPHA A x 2 SHIFT STO A tính u4 = u3 +u2 và gán
vào A

2

2

x 2 + ALPHA B x 2 SHIFT STO B tính u5 =u4 +u3 và gán

vào B
* Một số dãy số khác
Bài 1: Cho dãy số a1 = 3....a n +1 =

a 3n + a n
1 + a 3n

a) Lập quy trình bấm phím tính an+1
b) Tính an với n = 2, 3, 4, ..., 10
Hướng dẫn giải trên máy Casio fx - 500 MS, Casio fx - 570 MS
( Ans ^ 3 + Ans ) ÷ ( 1 + Ans ^ 3 )
a) Bấm 3 =
Lặp lại phím = ta được :
0,195615199; 0,447318398; 0,672491028; 0,757778244; 0,761046838;
0,760889819; 0,76089781; 0,760897404; 0,760897425; 0,760897424;
0,760897424; 0,760897424,0,760897424....
Giải thích:
Bấm 3 = gán a1 = 3 vào ô nhớ Ans
Bấm

( Ans ^ 3 + Ans ) ÷ ( 1 + Ans ^ 3 ) tính a2

Bấm = gán u2 vào ô nhớ Ans
(Mỗi lần bấm phím = thì giá trị trên màn hình được gán vào ô nhớ Ans )

Bài 2:Cho dãy số

x n +1 =

3x n − 1
, n = 1, 2,3...
xn + 3

a) Hãy tính xn với n = 1, 2,..., 15 với x0 = 1; x0 = 3

23


b) Chứng minh rằng dãy số trên là tuần hoàn với mọi x 0 cho trước bất kỳ,
tức là tồn tại mọt số N nguyên dương sao cho với mọi x 0 dãy {xn} xác định như
trên ta có:
xn+N =xn với mọi n= 1, 2, 3, ...
Hướng dẫn giải trên máy Casio fx - 500 MS, Casio fx - 570 MS:
a) Khai báo giá trị đầu: x0 = 1
Bấm: 1 =
Khai báo công thức
Bấm tiếp: (

x n +1 =

3x n − 1
xn + 3

3 × Ans − 1 ÷ ( Ans +

3 ) (1)

Liên tiếp bấm phím = được xn.
Khai báo lại giá trị đầu x'0 = 3 Bấm 3 =
Dùng phím V để đưa về dòng công thức (1) và liên tiếp bấm phím = được
x'n
x1= 0,267949192
x2= - 0,267949192
x3= - 1
x4= - 3,732050808
x5= 3,732050808
x6= 1
x7= 0,267949192
x1= - 0,267949192
......
Tính theo công thức truy hồi ta được:

x1 =
x4 =

3x 0 − 1
x0 + 3
x0 + 3
1 − 3x 0

; x2 =
; x5 =

x0 − 3
3x 0 + 1

; x3 = −

3x 0 + 1
3 − x0

x'1= 0,886751345
x'2= 0,204634926
x'3= - 0,333333333
x'4= - 1,127711849
x'5= - 4,886751346
x'6= 3
x'7= 0,886751345
x'8= 0,204634926
.....

1
x0

; x6 = x0

Vậy {xn} tuần hoàn chu kỳ là N = 6

C. MỘT SỐ ĐỀ THI HUYỆN VĨNH TƯỜNG
Đề 1: ( Năm 2010-2011)
Câu 1: a) Thực hiện phép tính:
1 1
+
7 2 3 90 .
A = 0,3(4) + 1, (62) :14 −

:
11 0,8(5) 11

b) Cho Cosx = 0, 7651(00 < x < 900 ) . Tính B =

Cos 3 x − Sin 2 x − 2
.
Cosx + Sin 2 x

24


A=

B=

Câu 2: Tìm ƯCLN(A,B) biết A = 10101010; B = 10102010.
ƯCLN(A,B)=
Câu 3: Tính và ghi kết quả ở dạng phân số:
A = 3+

5
2+

4
2+

5
2+

4
2+

5
3

A=
Câu 4: Cho đa thức P( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c . Tìm hệ số a, b, c biết:
a + b + c = 0; P (2) = 3; P (−1) = 3 .
a=
b=
c=
Câu 5: 1) Một người vào bưu điện để gửi tiền cho người thân ở xa, trong túi có
5 triệu đồng. Chi phí dịch vụ hết 0,9% tổng số tiền gửi đi. Hỏi người thân nhận
được tối đa bao nhiêu tiền ?
2) Dân số một nước là 65 triệu người, mức tăng dân số trong một năm
bình quân là 1,2%.
a) Viết công thức tính dân số sau n năm ?
b) Tính dân số nước đó sau 20 năm ?
c) Dân số nước đó sau n năm sẽ vượt qua 100 triệu người. Tìm số n
bé nhất ?
1) Người thân nhận được tối đa số tiền là:
2)
a)
b)
c)

25