ĐỀ THI VÀO 10 LAM SƠN (rất hay)

đề thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn (1)
môn: toán chung . thời gian: 150'
( Tham khảo " Đề thi học sinh giỏi Liên xô" )
Bài I: (2 điểm )
Cho
a, b,c
là ba số khác nhau từng đôi một,
c 0

.
Chứng minh rằng nếu các phơng trình:
2
x ax bc 0
+ + =
và
2
x bx ca 0
+ + =
có
đúng một nghiệm chung thì các nghiệm thứ hai của các phơng trình đó thỏa
mãn phơng trình
2
x cx ab 0
+ + =
Bài II: (2 điểm )
Gọi
n
S
=
1 1 1
...

1 2 2 3 n n 1
+ + +
+ + + +
,
n N, n 1
.
Tìm tất cả các giá trị của
n
sao cho
n



100
và
n
S
có giá trị nguyên
Bài III: (2 điểm )
Giải phơng trình nghiệm nguyên:
yz zx xy
3
x y z
+ + =
Bài IV: ( 1 điểm )
Cho a > 0 , chứng minh
n...so...a
a a a ... a+ + + +
1 4 4 44 2 4 4 4 43

<

1 4a 1
2
+ +

Bài V: ( 3 điểm )
Cho đờng tròn (O) nội tiếp tam giác ABC , các tiếp điểm tại D, E, F . Chứng
minh rằng tích các khoảng cách hạ từ một điểm M bất kỳ trên đờng tròn
xuống các cạnh của tam giác ABC bằng tích các khoảng cách từ M đến các
cạnh của tam giác DEF
1
đáp án thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn
môn toán chung ( Gồm 2 tờ )
Bài I: 2 điểm. ( Mỗi mục

tơng ứng cho 0,5 điểm )

Ta gọi
0
x
là nghiệm chung của hai phơng trình:
2
x ax bc 0
+ + =
,
( )
1
và
2

x bx ca 0
+ + =
,
( )
2
. Và
1
x
,
2
x
lần lợt là các nghiệm thứ hai của
( )
1
và
( )
2
, với
1 2
x x

. Khi đó ta có:
2
0 0
2
0 0
x ax bc 0
x bx ac 0

+ + =

+ + =





( ) ( )
0
x . a b c. a b 0
=

( ) ( )
0
a b . x c 0
=
,
a b

0
x c=
.

Mặt khác, áp dụng định lý Viét cho
( )
1
và
( )
2

ta có:
0 1
0 2
x .x b.c
x .x a.c
=


=

,
1
0
2
x b
x c 0
x a
=

=

=


1 2
x x a b+ = +
,
( )
3
.

Ngoài ra:
0 1
0 2
x x a
x x b
+ =


+ =

,
0
x c=



1 2
2c x x a b+ + =
,
( )
4

Kết hợp
( )
4
với
( )
3
ta đợc

c a b
=
. Nh vậy ta có:
1 2
x x c
+ =
và
1 2
x .x a.b=


1
x
và
2
x
là nghiệm của phơng trình
2
x cx ab 0
+ + =
.đpcm
Bài II: 2điểm. ( Mỗi phần

tơng ứng cho 0,5 điểm )

Chú ý rằng:
( ) ( )
1 k 1 k
k 1 k
k k 1

k k 1 k 1 k
+
= = +
+ +
+ + +
,
k N,k 1


Suy ra
n
S
=
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 3 2 ... n n 1 n 1 n + + + + +
=
n 1 1
+


n
S
nhận giá trị nguyên , khi
n 1
+
là một số chính phơng . Dạng
2
n k 1=

Kết hợp với điều kiện
n N,1 n 100

, suy ra tập các giá trị của n thỏa mãn
các yêu cầu của bài toán là:
{ }
3,8,15, 24,35, 48, 63,80,99
Bài III: 2điểm. ( Mỗi mục

tơng ứng cho 1,0 điểm )

Với điều kiện:
xyz 0


Ta có:
yz zx xy
3
x y z
+ + =
,
( )
1

2 2 2 2 2 2
2x y 2y z 2z x 6xyz+ + =
( )
, 2
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x y 2x yz x z x z 2xyz y z y z 2xy z x y
+ + + + +
=

2 2 2
6xyz 2x yz 2xy z 2xyz

( )
2
xy xz
+
( )
2
xz yz

+
( )
2
yz xy

=
( ) ( ) ( )
2xyz 1 x 1 y 1 z
+ +

( )
, 3
2

Nhận xét: Từ

( )
2



xyz 0
>
, vì vậy
( )
3


3 x y z 0
>
.Phơng trình có
nghiệm tự nhiên x = y = z = 1, lại do
xyz 0
>
suy ra các nghiệm nguyên của ph-
ơng trình
( )
1
là:
( )
x, y, z =
( )
1,1,1
,
( )
1, 1,1

,
( )
1, 1, 1

,
( )
1,1, 1

Bài IV: 1điểm. ( Mỗi mục

tơng ứng cho 0,5 điểm )

Ký hiệu: x
n
=
n...so...a
a a a ... a
+ + + +
1 4 4 44 2 4 4 4 43
, ta có x
n
> 0 với

n

1
Ta chứng minh x
n-1
< x

n
với

n > 1
+ Ta có:
a
<
a a
+


x
1
< x
2
+ Giả sử với n = k - 1 > 0, ta có x
k-1
< x
k
. Khi đó :
2 2
k 1 k k 1 k
x a x a x x
+
= + > + =

x
k+1
> x
k

. Theo nguyên lý quy nạp suy ra: x
n-1
< x
n


2
k k 1 k
x a x a x

= + < +

2
n n n n
1 4a 1 1 4a 1
x x a 0 x . x 0
2 2

+ + +
< <
ữ ữ
ữ ữ

n
1 4a 1 1 4a 1
x
2 2
+ + +
< <
. Vậy

n...so...a
a a a ... a
+ + + +
1 4 4 44 2 4 4 4 43
<

1 4a 1
2
+ +
. đpcm
Bài V: 3điểm ( Mỗi mục

tơng ứng cho 1,0 điểm )


Bổ đề: Khoảng cách từ một điểm trên đờng tròn đến đờng thẳng qua
hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến với đờng tròn là trung bình nhân khoảng
cách từ điểm ấy đến 2 tiếp tuyến .

Xét hai tiếp tuyến AB và AC , M

(O)
Hạ các đờng vuông góc MK, MH, ML
xuống các tiếp tuyến AB, AC và dây EF
MEN MFH
=
( chắn cung
ằ
MF
).

MFN MEK
=
(------------
ẳ
ME
)
Suy ra các tam giác MEN và MFH ,
MFN và MEK đồng dạng. Từ đó
MN MF MH
MK ME MN
= =

2
MN MH.MK
=
(1). Bổ
đề đợc chứng minh

áp dụng (1), gọi a, b, c, d, e, f lần lợt là khoảng cách từ M đến các đờng
thẳng chứa cạnh BC, CA, AB, EF, FD, DE của các tam giác ABC và DEF ta đ-
ợc:
2
d b.c,
=

2
e c.a,=

2
f a.b

=
. Nhân vế với vế của ba đẳng thức, suy ra điều phải
chứng minh.

3
A
B
C
O
E
D
F
M
H
N
K