PP hai duong vuong goc

PHƯƠNG PHÁP HAI ĐƯỜNG VUÔNG GÓC
Trong chương này tôi trình bày bài toán gốc và phương pháp hai đường vuông góc
một cách chi tiết có phân tích các yếu tố trong quá trình thực hiện. Sau đó tôi trình bày một
ví dụ áp dụng đơn giản của phương pháp.
2.1. Bài toán gốc
Cho mặt phẳng    chứa đường thẳng AB. Đường thẳng SH vuông góc với    tại
H ( H �AB ). Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAB).
Lời giải
Kẻ HI  AB( I �AB ) . Khi đó AB  ( SHI ) . Suy
ra ( SAB)  (SHI ) theo giao tuyến SI.
Kẻ HK  SI ( K �SI ) � HK  (SAB) . Do đó
d ( H , ( SAB ))  HK .

Do SHI vuông tại H nên HK 
Vậy d ( H , ( SAB)) 

HS .HI
HS 2  HI 2

HS .HI
HS 2  HI 2

.

2.2. Phân tích bài toán gốc
Bài toán gốc trình bày ở trên là bài toán cơ bản nhất trong bài toán tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng. Hầu hết các bài toán tính khoảng cách trong các kỳ thi đại
học, cao đẳng, thi THPT Quốc gia đều được xuất phát và quy về bài toán gốc này. Bài toán
gốc và bài toán tính khoảng cách trong các đề thi thường có mối liên hệ như sau:
- Điểm S ở trong bài toán gốc chính là đỉnh của hình chóp hoặc một đỉnh nào đó của hình
lăng trụ.

- Đường thẳng AB chính là một cạnh đáy của hình chóp hoặc cạnh đáy của hình lăng trụ.
- Điểm H chính là chân đường cao của hình chóp hoặc hình lăng trụ.
- Mặt phẳng (SAB) chính là mặt bên của hình chóp hoặc là mặt bên của hình lăng trụ.


* Lưu ý: Nhận thấy rằng tất cả các bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng, hoặc thi THPT Quốc gia đều có dạng “Tính khoảng
cách từ 1 điểm nằm trên mặt phẳng đáy (điểm này có thể không phải chân đường cao)
đến một mặt bên nào đó của hình chóp hoặc hình lăng trụ”. Và mọi bài toán dạng này
đều được quy về bài toán gốc trên. Do đó việc nắm được cách giải bài toán gốc là cơ sở để
giải quyết các bài toán tính khoảng cách trong không gian.
2.3. Phương pháp hai đường vuông góc.
Với các dữ liệu cho như trong bài toán gốc, ta có phương pháp tính khoảng cách từ
một điểm đến mặt phẳng như sau:
Bước 1 (kẻ đường vuông góc thứ nhất): Từ chân đường cao (điểm H) kẻ đường thẳng
vuông góc với giao tuyến của mặt bên đang xét với mặt phẳng đáy (chính là cạnh AB). Khi
đó ta chứng minh được AB  ( SHI ) .
Bước 2 (kẻ đường vuông góc thứ 2). Từ điểm H kẻ đường thẳng HK vuông góc với giao
tuyến SI của hai mặt phẳng (SHI) và (SAB). Khi đó HK chính là khoảng cách cần tính.
Bước 3. Tính đoạn HK dựa vào tam giác vuông HIK.
2.4. Một số lưu ý khi thực hiện phương pháp hai đường vuông góc.
- Ở Bước 1 khi kẻ HI  AB , ta phải căn cứ vào tính chất
của mặt phẳng đáy để xác định chính xác vị trí điểm I để
tính HI trong Bước 3. Trong trường hợp đặc biệt điểm I có
thể trùng với điểm A hoặc điểm B.
- Phương pháp hai đường vuông góc còn được áp dụng để
� .
xác định góc giữa hai mặt phẳng  ( ), ( SAB)   SIH

2.5. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, BC=3a.
Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SB tạo với mặt đáy góc 45 0. Tinh khoảng cách
từ A đến mặt phẳng (SBC).
Lời giải


Kẻ AI  BC ( I �BC ) � BC  ( SAI ) � ( SBC )  ( SAI ) theo giao
tuyến SI.
Kẻ AK  SI ( K �SI ) � AK  ( SBC ) . Do đó d ( A, ( SBC )  AK
Ta có AC  BC 2  AB 2  9a 2  a 2  2a 2
� AI 

AB. AC
AB 2  AC 2



a.2a 2
a 2  8a 2



2a 2
3

�  450 � SA  AB.tan 450  a .
Do ( SB, ( ABC ))  SBA

Vậy d ( A,( SBC )  AK 

2a 2
2a 2
3


17
AS 2  AI 2
8a 2
a2 
9
AS.AI

a.

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG
3.1. Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng
Trong mục này tôi trình bày một số bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt
phẳng bằng phương pháp hai đường vuông góc, có phân tích và hướng dẫn cụ thể.
Trở lại bài toán gốc, ta thấy rằng điều kiện để áp dụng được phương pháp hai đường
vuông góc là điểm H là chân đường cao của hình chóp hoặc hình lăng trụ. Trong trường
hợp H không phải là chân đường cao thì ta xử lý thế nào? Để giải quyết vấn đề này ta sẽ
tính gián tiếp thông qua chân đường cao bằng cách áp dụng thuật toán rời điểm như sau:
Thuật toán rời điểm
1.1. Rời điểm song song: Cho mặt phẳng    và đường
thẳng AB / /    . Khi đó d ( A,( ))  d ( B, ( ))

1.2. Rời điểm cắt nhau: Cho    và đường thẳng AB sao
d ( A, ( ))

IA

cho AB �    I . Khi đó d ( B, ( ))  IB


1.3. Nhận xét. Thuật toán rời điểm cho phép ta chuyển việc tính khoảng cách từ một điểm
không phải chân đường cao về tính khoảng từ điểm là chân đường cao. Trong một số bài
toán ta có thể kết hợp hai thuật toán rời điểm song song và rời điểm cách nhau để tính như
sau:
d ( A, ( ))  d ( B, ( ))
�
�
�d ( B, ( )) IB
�d (C , ( ))  IC
�

3.1.2. Một số bài tập áp dụng
Bài 1(Đề minh họa năm 2015): Cho hình chóp S.ABC có
đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2a, �
ACB  300 .
Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung
điểm của cạnh AC và SH  a 2 . Tính khoảng cách từ
điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Phân tích
- Bài toán có dạng “tính khoảng cách từ điểm C nằm trên
mặt đáy đến một mặt bên”.
- Do SC không vuông góc với (ABC) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về chân
đường cao H.
- Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt bên với mặt đáy (chính là
đường thẳng AB) ta thu được điểm I (I là trung điểm của AB).
- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt đường thẳng SI. Khi đó d ( H , ( SAB))  HK

d ( H ,( SAB)

AH

- Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra d (C , ( SAB)  AC . Tính d (C , ( SAB))
Lời giải.
* Tính d ( H , ( SAB))
Kẻ HI  AB( I �AB ) � AB  ( SHI ) � ( SAB)  (SHI ) theo giao tuyến SI.
Kẻ HK  SI ( K �SI ) � HK  ( SAB) . Do đó d ( H , ( SAB)  HK


Ta có BC  AC.cos �
ACB  2a.

� HK 

3
1
a 3
 a 3 � HI  BC 
2
2
2

a 3
2  a 66

11
HS 2  HI 2
3a 2

2a 2 
4
a 2.

HS .HI

* Mặt khác ta có

d ( H ,( SAB) AH 1
2a 66

 � d (C ,( SAB)  2d ( H , ( SAB ) 
d (C , ( SAB) AC 2
11

Bài 2(Khối A năm 2014): Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SD 

3a
. Hình
2

chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy (ABCD) là
trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách từ A đến
mặt phẳng (SBD)
Phân tích
- Bài toán thuộc dạng “tính khoảng cách từ một điểm
trên mặt đáy tới một phẳng đi qua đỉnh S và một
đường thẳng nằm trên mặt phẳng đáy”.
- Do SA không vuông góc với (ABCD) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về chân

đường cao H.
- Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đang xét với mặt đáy
1
4

(chính là đường thẳng BD) ta thu được điểm I (trong đó BI  BD ).
- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt đường thẳng SI tại K. Khi đó d ( H , ( SAB))  HK
d ( H ,( SBD)

BH

- Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra d ( A, ( SBD)  BA . Tính d ( A, ( SBD))
Lời giải
* Tính d ( H , ( SBD))
Kẻ HI  BD( I �BD) � BD  ( SHI ) � ( SBD)  ( SHI ) theo giao tuyến SI.


Kẻ HK  SI ( K �SI ) � HK  ( SBD) . Do đó d ( H , ( SBD)  HK
+ HD  AH 2  AD 2 
1
4

+ HI  AC 

� HK 

a2
a 5
9a 2 5a 2
 a2 

� SH  SD 2  HD 2 

a
4
2
4
4

a 2
4

a 2
4 a

HS 2  HI 2
a2 3
a2 
8
a.

HS .HI

d ( H , ( SBD)

BH

1

2a

* Mặt khác ta có d ( A, ( SBD))  BA  2 � d ( A, ( SBD)  2d ( H , ( SBD)  3
Bài 3(Khối B năm 2014): Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có
đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB,
góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng đáy bằng 60 0.
Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’).
Phân tích
- Bài toán thuộc dạng “tính khoảng cách từ một điểm
trên mặt đáy tới một mặt bên của hình lăng trụ”.

- Điểm A’ đóng vai trò tương tự như điểm S trong bài bài toán gốc. AC là giao tuyến của
mặt phẳng đang cần xét với mặt đáy.
- Do A’B không vuông góc với (ABC) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về chân
đường cao H.
- Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đang xét với mặt đáy
(chính là đường thẳng AC) ta thu được điểm I.
- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt đường thẳng A’I tại K. Khi đó
d ( H , ( ACC ' A '))  HK
d ( H , ( ACC ' A ')

AH

- Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra d ( B, ( ACC ' A ')  AB . Tính d ( B, ( ACC ' A '))
Lời giải


* Tính d ( H , ( ACC ' A '))
Kẻ HI  AC ( I �AC ) � AC  ( A ' HI ) � ( ACC ' A ')  ( A ' HI ) theo giao tuyến A’I.
Kẻ HK  A ' I ( K �A ' I ) � HK  ( ACC ' A ') . Do đó d ( H , ( ACC ' A ')  HK
a 3 a 3


2 2
4

�  .
+ HI  AH .sin IAH

+ A ' H  CH .tan �
A ' CH 

� HK 

HA '.HI
HA '2  HI 2

* Mặt khác ta có



a 3
3a
. 3
2
2
a 3 3a
.
4 2  3a 13
26
3a 2 9a 2


16
4

d ( H , ( ACC ' A ') AH 1
3a 13

 � d ( B,( ACC ' A ')  2d ( H , ( ACC ' A ') 
d ( B, ( ACC ' A ')) AB 2
13

Bài 4(Khối A năm 2013): Cho hình chóp S.ABC có đáy
là tam giác vuông tại A, �
ABC  300 , SBC là tam giác
đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính
theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ
điểm C đến mặt phẳng (SAB)
Phân tích
- Bài toán thuộc dạng “tính khoảng cách từ một điểm
trên mặt đáy tới một phẳng đi qua đỉnh S và một đường
thẳng nằm trên mặt phẳng đáy”.
- Do SC không vuông góc với (ABC) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về chân
đường cao H.
- Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đang xét với mặt đáy
(chính là đường thẳng AB) ta thu được điểm I (I là trung điểm AB ).
- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt đường thẳng SI tại K. Khi đó d ( H , ( SAB))  HK
d ( H ,( SAB)

BH

- Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra d (C , ( SAB)  BC . Tính d (C , ( SAB))

Lời giải
* Tính d ( H , ( SAB))
Kẻ HI  AB( I �AB ) � AB  ( SHI ) � ( SAB)  (SHI ) theo giao tuyến SI.
Kẻ HK  SI ( K �SI ) � HK  ( SAB) . Do đó d ( H , ( SAB)  HK
+ BC  a � SH 

a 3
2
1
2

a
2

1
2

ABC  a.  � HI  AC 
+ AC  BC.sin �

� HK 

HS .HI
HS 2  HI 2

* Mặt khác ta có



a
4

a 3 a
.
2 4  a 39
26
3a 2 a 2

4 16

d ( H , ( SAB) BH 1
a 39

 � d (C , ( SAB)  2d ( H , ( SAB) 
d (C , ( SAB)) BC 2
13

Bài 5(Khối B năm 2013): Cho hình chóp S.ABCD
cóđáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt
phẳng đáy. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(SCD) theo a.
Phân tích
- Bài toán thuộc dạng “tính khoảng cách từ một điểm
trên mặt đáy tới một phẳng đi qua đỉnh S và một
đường thẳng nằm trên mặt phẳng đáy”.
- Do SA không vuông góc với (ABCD) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về chân
đường cao H.

- Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đang xét với mặt đáy
(chính là đường thẳng CD) ta thu được điểm I
- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt đường thẳng SI tại K. Khi đó d ( H , ( SCD))  HK
- Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra d ( A, ( SCD))  d ( H , ( SCD)) . Tính d ( A, ( SCD))


Lời giải
* Tính d ( H , (SCD))
Kẻ HI  CD( I �CD) � CD  ( SHI ) � ( SCD)  ( SHI ) theo giao tuyến SI.
Kẻ HK  SI ( K �SI ) � HK  ( SCD) . Do đó d ( H , ( SCD)  HK
+ HI  a
+ AB  a � HS 

� HK 

a 3
2

a 3
HS .HI
a 21
2


2
2
2
7
HS  HI
3a

a2 
4
a

* Mặt khác ta có AH / /(SCD) � d ( A, SCD)  d ( H ,( SCD)) 

a 21
7

3.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
3.2.1. Nhận xét:
Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong
không gian là bài toán thường gặp trong các kỳ thi Đại học, Cao
đảng, THPT Quốc gia. Để giải bài toán này ta thường dùng các
phương pháp sau:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng độ dài
đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
d (a, b)  MN

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến
mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó
d (a, b)  d (a, ( ))  d ( M , ( ))  MH


- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song với
nhau và chứa hai đường thẳng đó
Tuy nhiên trong thực tế, các bài toán tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong các kỳ thi
Đại học, Cao đẳng, THPT Quốc gia chủ yếu sử dụng cách thứ hai để tính. Bài toán được

phát biểu dưới dạng tổng quát như sau: Cho đường thẳng b �( ) , a �( )  A , a và b chéo
nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b. Vấn đề đặt ra là “Hãy trình bày
quy trình thực hiện cách thứ hai để áp dụng chung cho các bài toán” thì hầu như chưa
ai đưa ra quy trình cả. Sau đây tôi trình bày quy trình thực hiện để tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau theo cách thứ 2.
3.2.2. Quy trình tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Với các dữ kiện như trên, ta có quy trình để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a
và b như sau:
Bước 1: Từ điểm A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng b. Khi đó b / /(a; Ax) .
Bước 2: d (a, b)  d (b;(a; Ax))  d ( H ;(a; Ax))
Bước 3: Tính d ( H ;(a; Ax)) theo phương pháp hai đường vuông góc.

3.2.3. Nhận xét
- Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau thực chất là bài toán mở rộng của bài toán
tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Tuy
nhiên nó cho dưới dạng ẩn mà ta phải đi làm thêm Bước
1 và Bước 2 để đưa về bài toán tính khoảng cách từ 1
điểm đến mặt phẳng.
- Mối liên hệ giữa bài toán tổng quát và các bài toán tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau trong đề thi:
+ Đường thẳng b chính là một cạnh nằm trên mặt phẳng đáy.


+ Đường thẳng a chính là một cạnh nào đó của hình chóp hoặc hình lăng trụ.
+ Điểm A chính là giao điểm của cạnh hình chóp và mặt phẳng đáy.
- Ở bước thứ nhất khi kẻ đường thẳng Ax ta cần dựa vào tính chất của mặt đáy để
xác định chính xác vị chí đường thẳng này. Trong trường hợp đặc biệt đường thẳng Ax có
sẵn không cần kẻ thêm.
3.2.4. Bài toán áp dụng

Bài 1(THPT QG năm 2015): Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SC và (ABCD) bằng 45 0. Tính khoảng
cách giữa SB và AC.
Phân tích
- Bài toán thuộc dạng “Tính khoảng giữa một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một cạnh
bên của hình chóp.”
- Từ giao điểm B kẻ đường thẳng Bx song song với đường thẳng nằm trong mặt đáy. Khi
đó AC / /( SB, Bx ) .
- Khi đó ta quy về d ( SB, AC )  d ( AC , ( SB, Bx)  d ( A, ( SB, Bx)) .
- Tính d ( A, ( SB, Bx)) theo phương pháp hai đường vuông góc.
Lời giải
Kẻ Bx / / AC � AC / /( SB, Bx) .
Khi đó d ( SB, AC )  d ( AC, ( SB, Bx)  d ( A, ( SB, Bx))
* Tính d ( A, ( SB, Bx))
Kẻ AI  Bx( I �Bx) � Bx  ( SAI ) � ( SB, Bx)  ( SAI ) theo giao tuyến SI.
Kẻ AK  SI ( K �SI ) � AK  ( SB, Bx) . Do đó d ( A, ( SB, Bx))  AK
+ HI  AB.sin 450 
+ AS  AC  a 2

a 2
2


� AK 

a 2
2  a 10

5
AS 2  AI 2

a2
2a 2 
2
AS . AI

Do đó d ( A, ( SB, Bx)) 

a 2

a 10
a 10
. Vậy d ( SB, AC ) 
5
5

Bài 2(Khối D năm 2014): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,
mặt phẳng bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng
đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA,
BC.
Phân tích
- Bài toán thuộc dạng “Tính khoảng giữa một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một cạnh
bên của hình chóp.”
- Từ giao điểm A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng nằm trong mặt đáy. Khi
đó BC / /(SA, Ax ) .
- Khi đó ta quy về d ( SA, BC )  d ( BC ,( SA, Ax)  d ( H , ( SA, Ax)) .
- Tính d ( H , ( SA, Ax)) theo phương pháp hai đường vuông góc.
Lời giải
Kẻ Ax / / BC � BC / /(SA, Ax ) .
Khi đó d ( SA, BC )  d ( BC ,( SA, Ax)  d ( H ,( SA, Ax))
* Tính d ( H , ( SA, Ax ))

Do ABC vuông cân tại A nên HA  Ax � Ax  ( SHA) � ( SA, Ax)  ( SHA) theo giao tuyến
SA.
Kẻ HK  SA( K �SA) � HK  ( SA, Ax ) . Do đó d ( H , ( SA, Ax))  HK
1
2

+ HA  BC 
+ HS 

a 3
2

a
2


� HK 

HS .HA



HS 2  HA2

Do đó d ( H , (SA, Ax)) 

aa 3
a 3
2 2


4
a 2 3a 2

4
4
a 3
a 3
. Vậy d ( SA, BC ) 
4
4

Bài 3(Khối A năm 2012): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình
chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB.. Góc
giữa hai đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích của khối chóp
S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a
Phân tích
- Bài toán thuộc dạng “Tính khoảng giữa một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một cạnh
bên của hình chóp.”
- Từ giao điểm A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng nằm trong mặt đáy. Khi
đó BC / /(SA, Ax ) .
- Khi đó ta quy về d ( SA, BC )  d ( BC , ( SA, Ax)  d ( B, ( SA, Ax)) .
- Tính d ( B, ( SA, Ax)) theo phương pháp hai đường vuông góc.
Lời giải
Kẻ Ax / / BC � BC / /(SA, Ax ) .
Khi đó d ( SA, BC )  d ( BC, ( SA, Ax)  d ( B, ( SA, Ax))
* Tính d ( H , ( SA, Ax ))
Kẻ HI  Ax ( I �Ax ) � Ax  ( SHI ) � ( SA, Ax)  ( SHI ) theo giao tuyến SI.
Kẻ HK  SI ( K �SI ) � HK  ( SA, Ax ) . Do đó d ( H , ( SA, Ax))  HK
+ HI  AH .sin 600 

2a 3 a 3
.

3 2
3

+ HS  HC.tan 600 

a 7
a 21
3
3
3


� HK 

a 21 a 3
3
3  a 42

12
HS 2  HI 2
21a 2 3a 2

9
9
HS .HI

Do đó d ( H , ( SA, Ax)) 

Mặt khác

a 42
.
12

d ( H , (SA, Ax)) AH 2
3
a 42

 � d ( B, ( SA, Ax))  d ( H ,( SA, Ax)) 
d ( B, ( SA, Ax)) AB 3
2
8

Vậy d ( SA, BC ) 

a 42
.
8

Bài 4(Khối A năm 2011): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi
M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB
và SN theo a.
Phân tích
- Bài toán thuộc dạng “Tính khoảng giữa một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một cạnh
bên của hình chóp.”
- Từ giao điểm N kẻ đường thẳng Nx song song với đường thẳng nằm trong mặt đáy. Khi

đó AB / /(SN , Nx ) .
- Khi đó ta quy về d ( AB, SN )  d ( AB, ( SN , Nx))  d ( A, ( SN , Nx)) .
- Tính d ( A, (SN , Nx)) theo phương pháp hai đường vuông góc.

Lời giải
Kẻ Nx / / AB � AB / /( SN , Nx) .
Khi đó d ( SN , AB)  d ( AB, ( SN , Nx)  d ( A, ( SN , Nx))
Kẻ AI  Nx (I �Nx ) � Nx  ( SAI ) � ( SN , Nx)  ( SAI ) theo giao tuyến SI.
Kẻ AK  SI ( K �SI ) � AK  ( SN , Nx) . Do đó d ( A, ( SN , Nx))  AK


+ SA  AB.tan 600  2a. 3  2a 3
1
2

+ AI  BC  a
� AK 

AS . AI
AS 2  AI 2



Do đó d ( A, ( SN , Nx)) 

2a 3.a
12a 2  a 2



2a 39
13

2a 39
2a 39
. Vậy d ( AB, SN ) 
.
13
13

Bài 5(Khối A năm 2010): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM.
Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH  a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường
thằng DM và SC theo a.
Phân tích
- Bài toán thuộc dạng “Tính khoảng giữa một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một cạnh
bên của hình chóp.”
- Từ giao điểm C kẻ đường thẳng Cx song song với đường thẳng nằm trong mặt đáy DM.
Khi đó DM / /( SC , Cx) .
- Khi đó ta quy về d ( DM , SC )  d ( DM , ( SC , Cx))  d ( H , (SC , Cx)) .
- Tính d ( H , ( SC , Cx)) theo phương pháp hai đường vuông góc.

Lời giải
Kẻ Cx / / DM � DM / /( SC , Cx) .
Khi đó d ( DM , SC )  d ( DM , ( SC , Cx))  d ( H , ( SC , Cx))
Do CN  DM � HC  Cx � Cx  ( SHC ) � ( SC , Cx)  ( SHC )
theo giao tuyến SC.
Kẻ HK  SC ( K �SC ) � HK  ( SC , Cx) . Do đó d ( H , ( SC , Cx))  HK
�  DC. DC  a. a  2a 5
HC  DC .cos HCD

+
NC
5
a 5
2


+ SH  a 3

� HK 

2a 5
5  2a 57

19
HS 2  HC 2
4a 2
3a 2 
5
HS .HC

Do đó d ( H , ( SC , Cx)) 

a 3.

2a 57
2a 57
. Vậy d ( DM , SC ) 
.
19

19

Bài 6(Khối D năm 2008): Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam
giác vuông, AB=BC=a , cạnh bên AA '  a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C
Phân tích
- Bài toán thuộc dạng “Tính khoảng giữa một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một cạnh
thuộc mặt bên của hình lăng trụ.”
- Từ giao điểm C kẻ đường thẳng Cx song song với đường thẳng nằm trong mặt đáy AM.
Khi đó AM / /( B ' C , Cx) .
- Khi đó ta quy về d ( AM , B ' C )  d ( AM , ( B ' C , Cx))  d ( M , ( B ' C , Cx)) .
- Tính d ( B, ( B ' C , Cx)) theo phương pháp hai đường vuông góc.
Lời giải
Kẻ Cx / / AM � AM / /( B ' C , Cx) .
Khi đó d ( AM , B ' C )  d ( AM , ( B ' C , Cx)  d ( M , ( B ' C , Cx))
* Tính d ( B, ( B ' C , Cx))
Kẻ BI  Cx (I �Cx ) � Cx  ( B ' BI ) � ( SA, Ax)  (SHA) theo giao tuyến B’I.
Kẻ BK  B ' I ( K �B ' I ) � BK  ( B ' C , Cx) . Do đó d ( B,( B ' C , Cx))  BK
+ BB '  AA '  a 2
AB
a
2a 5
�  BC .sin �
BI  BC .sin ICB
AMB  BC.
 a.

+
BM
5

a 5
2


� BK 

2a 5
5  2a 7

7
BB '2  BI 2
4a 2
2a 2 
5
BB '.BI

a 2.

Do đó d ( B, ( B ' C , Cx)) 
Mặt khác

2a 7
.
7

d ( M , ( B ' C , Cx)) CM 1
1
a 7

 � d ( M , ( B ' C , Cx))  d ( B, ( B ' C , Cx )) 

d ( B, ( B ' C , Cx )) CB 2
2
7

Vậy d ( AM , B ' C ) 

a 7
7

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA ^ ( ABC ) ,
góc giữa mp( SBC ) và mp( ABC ) bằng 300 . Gọi M là trung điểm của cạnh SC .
a/ Tính khoảng cách từ M đến mp( ABC ) .
b/ Gọi G là trọng tâm D SAC . Tính khoảng cách từ G đến mp( SBC ) .
c/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SC và AB .
� = 300, SA = AC = a và
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BAC
SA vuông góc với mp( ABC ) .

a/ Tính khoảng cách từ A đến mp( SBC ) .
b/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC .
c/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC .
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a , SA ^ ( ABCD )
và mặt bên ( SCD ) hợp với mặt phẳng đáy ABCD một góc 600 .
a/ Tính khoảng cách từ điểm O đến mp( SCD ) .
b/ Gọi G là trọng tâm D ABC . Tính khoảng cách từ G đến mp( SCD ) .
c/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SO và CG .


Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD có SO vuông góc với đáy vớiO là

giao điểm của AC và BD . Giả sử SO = 2 2, AC = 4, AB = 5 và M là trung điểm của SC .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM .
Bài 5: Hình chóp S.ABC có BC = 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại C , SAB là tam giác
vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết mp( SAC ) hợp với
mp( ABC ) một góc 600 .

a/ Tính khoảng cách từ B đến mp( SAC ) .
b/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC .
c/ Tính góc hợp bởi 2 đường thẳng SB và IK với I , K là trung điểm của đoạn AB và
AC .

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , cho AB = a, AC = a 3 ,
mặt bên ( SBC ) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.
a/ Tính khoảng cách từ B đến mp( SAC ) .
b/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CB và SA .
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, D SBC có đường cao SH = a
và mp(SBC ) vuông góc với mp( ABC ) . Biết rằng SB hợp với mp( ABC ) một góc 300 .
a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABC .
c/ Lấy điểm E trên cạnh AB thỏa:

BF
1
= . Tính khoảng cách từ điểm E đến
BC
3

mp( SAC ) .

Bài 8: Cho tứ diện ABCD có D ABC và D BCD là những tam giác đều lần lượt nằm trong
hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Biết AD = a 2 .

a/ Tính thể tích của khối tứ diện này.
b/ Gọi G là trọng tâm D BCD . Tính khoảng cách của điểm G đến mp( ACD ) .
Bài 9: Cho tứ diện ABCD có D ABC là tam giác đều, D BCD là tam giác vuông cân tại D .
Mặt phẳng ( ABC ) vuông góc với mặt phẳng mp( BCD ) và AD hợp với mp( BCD ) một góc
600 , biết AD = a .


a/ Gọi G là trọng tâm tam giác VBCD . Tính khoảng cách từ G đến mp( ACD ) .
b/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CB và SA .
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a , hai
mp( SAB ) và mp( SAC ) cùng vuông góc với mp( ABC ) . Gọi M là trung điểm AB , mặt phẳng

qua SM và song song với BC , cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mp( SBC ) và mp( ABC ) bằng
600 .

a/ Tính thể tích của khối chóp S.BCNM
b/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a .
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A . Hai mặt phẳng

( SAB ) và ( SAC ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) , cho

BC = a 2 , mặt bên ( SBC )

tạo với đáy ( ABC ) một góc 600 .
a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABC .
2
3

b/ Trên cạnh AC lấy điểm D thỏa mãn: AD = AC . Tính khoảng cách của điểm D đến
mp( SBC ) .

Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a , các mặt ( SAC )
và ( SBD ) cùng vuông góc với mặt đáy ( ABCD ) , mặt bên ( SCD ) tạo với đáy một góc 600 .
a/ Gọi G là trọng tâm VSAB . Tính khoảng cách của điểm G đến mp( SAD )
b/ Tính khoảng cách 2 đường thẳng SA và BC .
� = 600 , I �BC và I B = 2IC .
Bài 13: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , BSA

a. Tính thể tích khối chóp S.ABC và thể tích khối chóp S.ABI .
b. Tính khoảng cách từ điểm C đến mp( SAB )
c. Tính khoảng cách 2 đường thẳng SA và BC .
Bài 14: Cho hình chóp đều S.ABC có chiều cao h , góc ở đỉnh của mặt bên bằng 600 .
a/ Tính thể tích của khối chóp.
b/ Tính khoảng cách hình chiếu của điểm S trên mp( ABC ) đến mp( SAB )
Bài 15: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3a .


Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . Tính khoảng cách từ A đến mp( SBC ) .
Bài 16: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Gọi I là trung
điểm của cạnh BC .
a/ Chứng minh: SA ^ BC .
b/ Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a .
c/ Tính khoảng cách từ I đến mp( SAB ) .
Bài 17: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC .A 'B 'C ' có cạnh đáy bằng a . Biết khoảng cách
giữa hai đường thẳng AB và A 'C bằng a 15 .
5

a/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC .A 'B 'C ' .
b/ Tính khoảng cách từ A đến mp( A 'BC ) .
Bài 18: Cho lăng trụ đứng ABC .A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết rằng

AB ' hợp với mặt bên ( BCC 'B ') một góc 300 .

a/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC .A 'B 'C ' .
b/ Tính khoảng cách từ C đến mp( AB 'C ') .
Bài 19: Cho hình lăng trụ đứng ABC .A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 4( cm)
và biết diện tích của tam giác A 'BC bằng 8( cm) .
a/ Tính thể tích khối tứ diện A 'CB 'C '
b/ Gọi G là trọng tâm VAA 'C ' . Tính khoảng cách từ G đến mp( BB 'C ) .
Bài 20: Cho hình lăng trụ đứng ABC .A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a ,
cạnh bên AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm cạnh BC .
a/ Mặt phẳng ( AMB ') chia khối lăng trụ ABC .A 'B 'C ' thành 2 phần. Tính tỉ số 2 phần
đó.
b/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , B 'C .