Điều kiện tối ưu toàn cục trong quy hoạch toàn phương_2

Header Page 1 of 54.

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷

◆●❯❨➍◆ ▲➊ ◗❯❹◆

✣■➋❯ ❑■➏◆ ❚➮■ ×❯ ❚❖⑨◆ ❈Ö❈
❚❘❖◆● ◗❯❨ ❍❖❸❈❍ ❚❖⑨◆ P❍×❒◆●

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❍➔ ◆ë✐ ✲ ✷✵✶✽

Footer Page 1 of 54.


Header Page 2 of 54.

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷

◆●❯❨➍◆ ▲➊ ◗❯❹◆

✣■➋❯ ❑■➏◆ ❚➮■ ×❯ ❚❖⑨◆ ❈Ö❈
❚❘❖◆● ◗❯❨ ❍❖❸❈❍ ❚❖⑨◆ P❍×❒◆●

❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤
▼➣ sè✿ ✽ ✹✻ ✵✶ ✵✷

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿

P●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ◆➠♥❣ ❚➙♠

❍➔ ◆ë✐ ✲ ✷✵✶✽

Footer Page 2 of 54.


Header Page 3 of 54.


ữủ t t trữớ ồ ữ ở ữợ
sỹ ữợ ừ P tọ ỏ t
ỡ s s tợ ữớ t t ữợ ú ù tr
sốt q tr ự õ t t
ụ tọ ỏ t ỡ t tợ qỵ t ổ trữớ
ồ ữ ở ú ù t õ
ồ ụ t ỡ ỗ
rữớ P ỗ Pữủ ở
ổ ở ú ù t ồ t
tr sốt q tr ồ t tỹ

ở t

Footer Page 3 of 54.


Header Page 4 of 54.

▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥✱ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛ P●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ◆➠♥❣ ❚➙♠✱
❧✉➟♥ ✈➠♥ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ ❚♦→♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ✈î✐ ✤➲ t➔✐✿

❝ö❝ tr♦♥❣ q✉② ❤♦↕❝❤ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ ❞♦ tæ✐ tü ❧➔♠✳

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ t♦➔♥

❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ tæ✐ ✤➣ ❦➳ t❤ø❛ ♥❤ú♥❣
t❤➔♥❤ q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈î✐ sü tr➙♥ trå♥❣ ✈➔ ❜✐➳t ì♥✳
❈→❝ ❦➳t q✉↔ tr➼❝❤ ❞➝♥ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr✉♥❣ t❤ü❝ ✈➔ ✤÷ñ❝ ❝❤➾ rã ♥❣✉ç♥
❣è❝✳

❍➔ ◆ë✐✱ ♥❣➔② ✷✽ t❤→♥❣ ✵✼ ♥➠♠ ✷✵✶✽

◆❣✉②➵♥ ▲➯ ◗✉➙♥

✷

Footer Page 4 of 54.


Header Page 5 of 54.

▼ö❝ ❧ö❝
▲❮■ ❈❷▼ ❒◆
▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
▲❮■ ▼Ð ✣❺❯
✶ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

✶
✷
✹
✻

✶✳✶

▼ët sè ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✷

❇➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶

✶✳✸

❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ❝❤♦ ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ✈➔ ✤➦❝ tr÷♥❣ ♥❤➙♥
tû ▲❛❣r❛♥❣❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹

✷ ✣■➋❯ ❑■➏◆ ❚➮■ ×❯ ❚❖⑨◆ ❈Ö❈ ❚❘❖◆● ◗❯❨ ❍❖❸❈❍
❚❖⑨◆ P❍×❒◆●
✶✾
✷✳✶

❚è✐ ÷✉ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ ✈î✐ ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾

✷✳✷

✣➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❇ê ✤➲ S ✈➔ ❝❤➼♥❤ q✉② ❤â❛ ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
❙❧❛t❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹

✷✳✸

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ❝❤♦ tè✐ ÷✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼

❑➌❚ ▲❯❾◆
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✹✷
✹✸

✸

Footer Page 5 of 54.


Header Page 6 of 54.

é
ố ữ t ữỡ ởt ở ừ q t ồ õ
ự ử tr ỵ tt ụ ữ tr ớ số tỹ t
ự t t t ụ ữ tt t ỳ
q t ữỡ ởt ừ ữủ t tr

ữợ q t s ữủ ồ ự ỳ
tự t t ợ ố t s ỡ ỳ
tự ồ ự ử ừ ú tổ ồ t ự


tố ữ t ử tr q t ữỡ

ự tố ữ t ử ừ ỳ
ợ t tr q t ữỡ õ t ữủ t q
trồ ừ ỳ tự ồ ự ử ừ ú ợ ở
ự ớ t t t
ữủ t ữỡ t q t tr tr ữỡ
ử t ữ s

ữỡ tự r ữỡ
tr ỳ tự tt t ỗ ỵ tt tố
ữ sỷ ử ữỡ t t ữ t ỗ ỗ ữợ
õ tr t tố ữ ũ ợ
ữủ ỹ t ữỡ ỹ t t ử

ữỡ tố ữ t ử tr q t
ữỡ r ữỡ trữợ t s tr tố ữ
t ữỡ ợ r ở t ữỡ õ t ữủ
ừ ụ ữ ừ ỹ t t ử õ
tr trữ ừ ờ S ố r


Footer Page 6 of 54.

Header Page 7 of 54.

tè✐ ÷✉ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ ♠ët r➔♥❣ ❜✉ë❝ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ t❤æ♥❣ q✉❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
❙❧❛t❡r✳ ❱➔ s❛✉ ✤â ❧➔ ❝❤➼♥❤ q✉② ❤â❛ ❇ê ✤➲ S ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❙❧❛t❡r✳ ❈✉è✐
❝❤÷ì♥❣✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ❝❤♦ tè✐ ÷✉ t♦➔♥ ❝ö❝
tr♦♥❣ q✉② ❤♦↕❝❤ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣✳

✺
Footer Page 7 of 54.


Header Page 8 of 54.

ữỡ

r ữỡ s tr ởt số
t q tt t ỗ ỵ tt tố ữ ử ử
ữỡ t ừ ữỡ


ởt số ở ỡ ừ t ỗ
r t ở t ỵ Rn ổ n
tr trữớ số tỹ R ộ tỡ x Rn s ỗ n tồ ở số tỹ
ợ tỡ x = (x1 , . . . , xn )T y = (y1 , . . . , yn )T tở Rn t
r

n

x, y :=

xi yi
i=1

ồ

t ổ ữợ ừ tỡ x y ừ tỷ x

ữủ ữ s

x, x .

x :=

ỵ Rn+ t tt tỡ ổ ừ Rn ợ tỡ

x, y Rn , x y ữủ xi yi ợ i = 1, . . . , n tr ỡ
(n ì n) ữủ ỵ In A
ữỡ

0 õ tr A ỷ

tr ợ tỷ ữớ 1, . . . , n ữủ ỵ

diag(1 , . . . , n )
ổ ừ tt tr ố ự (n ì n) ữủ ỵ

S n t A

B A

B tữỡ ự ữủ tr A B


Footer Page 8 of 54.


Header Page 9 of 54.

ỷ ữỡ ữỡ

õ ỷ ữỡ ữủ



S+n := {M S n : M

0}.

tr t ừ A B ữủ
n

n

A ã B = Tr[AB] =

aij bji ,
i=1 j=1

tr õ aij tỷ (i, j) ừ A bji tỷ (j, i) ừ B
K ởt õ tr S n

ừ A S n tứ A

õ K ữủ ữủt A = (A ã A)1/2

d(A, K) = inf A B .
BK

r ừ ởt tr A S n ữủ
KerA := {x Rn : Ax = 0}.

õ ừ D ữủ ỵ D ởt t
ởt õ K K ợ ồ 0 ỹ

ợ ởt t D Rn

K Rn ữủ ồ
t

r ừ K ỵ

K := {d : dT x 0 x K}.
ợ õ K1 , K2 Rn ổ tự ỹ s ữủ tọ

(K1 K2 ) = K1 + K2 .
n
t K1 = S+
K2 =

t0 tH2

tr õ H2 tr

õ tr S n t t ữủ

{X S+n : H2 ã X 0} = (K1 K2 )
= K1 + K2
= S+n +

tH2 .
t0


Footer Page 9 of 54.




Header Page 10 of 54.

▼ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ✭❤❛✐ ✈➨❝ tì✮ a, b tr♦♥❣ Rn ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ t➜t
❝↔ ❝→❝ ✈➨❝ tì x ∈ Rn ❝â ❞↕♥❣

{x ∈ Rn : x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1}.
✣♦↕♥ t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ a, b tr♦♥❣ Rn ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✈➨❝ tì x ∈ Rn
❝â ❞↕♥❣

{x ∈ Rn : x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1}.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶

▼ët t➟♣ C ⊆ Rn ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët

t➟♣ ❧ç✐ ✭❬✶❪✮✱ ♥➳✉ C

❝❤ù❛ ♠å✐ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ✤✐ q✉❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ❦ý ❝õ❛ ♥â✳ ◆â✐ ❦❤→❝ ✤✐✱ t➟♣ C
❧➔ ❧ç✐ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷

✭❬✶✻❪✮

❈❤♦ h : Rn −→ R ∪ {−∞, +∞}✳

✭✐✮

dom h := {x ∈ Rn | h(x) < +∞} ❧➔

✭✐✐✮

❍➔♠ h ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

♠✐➲♥ ❤ú✉ ❞ö♥❣ ❝õ❛ h❀

❝❤➼♥❤ t❤÷í♥❣ ♥➳✉ h ❦❤æ♥❣ ❧➜② tr➯♥ ❣✐→ trà −∞

✈➔ dom h = ∅❀

❚r➯♥ ✤ç t❤à ✭❡♣✐❣r❛♣❤✮ ❝õ❛ h ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉✿

✭✐✐✐✮

epi h := {(x, r) ∈ Rn × R | x ∈ dom h, h(x) ≤ r};

❍➔♠ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✭❝♦♥❥✉❣❛t❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✮ ❝õ❛ h✱ h∗ : Rn −→ R ∪ {+∞}✱

✭✐✈✮

✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

h∗ (v) := sup{v(x) − h(x) | x ∈ dom h},
tr♦♥❣ ✤â v(x) := v T x✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸

✭❬✶❪✮

❈❤♦ C ⊆ Rn ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐✱ ❦❤→❝ ré♥❣ ✈➔ →♥❤

①↕ h : C −→ R✳ ◆➳✉ ❡♣✐ h ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐ tr♦♥❣ Rn+1 ✱ t❤➻ t❛ ♥â✐ h ❧➔ ♠ët

❤➔♠ ❧ç✐ tr➯♥ C ✳

✽
Footer Page 10 of 54.


Header Page 11 of 54.

❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ t❛ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ✈î✐ ❤➔♠ h : Rn −→ R ∪ {+∞}✱ t❤➻ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ tr➯♥ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ h ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ tr➯♥ C ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉

h(λx + (1 − λ)y) ≤ λh(x) + (1 − λ)h(y) ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1].

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✹

❈→❝ ✈➼ ❞ö ✈➲ ❤➔♠ ❧ç✐✳

❍➔♠ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ✤➳♥ t➟♣ ❧ç✐ ✤â♥❣ ❈ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

✭✶✮

dC (x) := min x − y ,
y∈C

❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧ç✐✳
✭✷✮

●å✐ C = ∅ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐✳ ◆➳✉ ✤➦t

h(x) :=

0

❦❤✐ x ∈ C,

+∞ ❦❤✐ x = C,

t❤➻ h ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧ç✐✳ ❍➔♠ ♥➔② ❝á♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❤➔♠ ❝❤➾

✈➔ t❤÷í♥❣ ✤÷ñ❝

❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ δC (x)✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺

✭❬✶✻❪✮

❈❤♦ h : Rn −→ R ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧ç✐ ❧✐➯♥ tö❝✱

❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ h t↕✐ x ∈ Rn ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

∂h(x) = {a ∈ Rn : aT (y − x) ≤ h(y) − h(x) ∀y ∈ Rn }.
❱î✐ ε ≥ 0✱ ε✲❞÷î✐

✭✶✳✷✮

✈✐ ♣❤➙♥ ✭ε✲ s✉❜❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ✮ ❝õ❛ h t↕✐ x ∈ Rn ✤÷ñ❝ ✤à♥❤

♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉✿

∂ε h(x) = {a ∈ Rn : aT (y − x) ≤ h(y) − h(x) + ε ∀y ∈ Rn }.

✭✶✳✸✮

❚❛ ❝â t❤➸ t❤➜② r➡♥❣ ∂h(x) ⊆ ∂ε h(x) ✈î✐ ♠å✐ ε > 0 ✈➔ ∂h(x) = {∇h(x)}

♥➳✉ h ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧ç✐ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝✳
❈❤♦ h : Rn −→ R✱ t❛ ❦þ ❤✐➺✉

[h ≤ 0] := {x ∈ Rn | h(x) ≤ 0}.
◆â♥ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ❝õ❛ [h ≤ 0] t↕✐ ✤✐➸♠ x ∈ [h ≤ 0] ❧➔

N[h≤0] (x) := {a ∈ Rn : aT (z − x) ≤ 0, ∀z ∈ [h ≤ 0]}.
✾
Footer Page 11 of 54.


Header Page 12 of 54.

◆➳✉ h ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧ç✐ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ Rn ✱ t❤➻ ✈î✐ ♠é✐ x ∈ [h ≤ 0]✱ t❛
❝â

N[h≤0] (x) =

a ∈ Rn : (a, aT x) ∈

epi (λh)∗

✭✶✳✹✮

λ≥0

✈➔

{λ∇h(x)} =

✭✶✳✺✮

λ≥0

λ≥0,λh(x)=0

❉♦ ✤â✱ ♥➳✉

epi (λh)∗ .

a ∈ Rn : (a, aT x) ∈

λ≥0 epi

(λh)∗ ❧➔ ✤â♥❣✱ t❤➻
{λ∇h(x)}

N[h≤0] (x) =

✭✶✳✻✮

λ≥0,λh(x)=0

✈î✐ ♠é✐ x ∈ [h ≤ 0]✳
❈❤♦ f ❧➔ ♠ët

❤➔♠ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ ✭q✉❛❞r❛t✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥✮ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛

❜ð✐

f (x) = xT Ax + aT x + α,
tr♦♥❣ ✤â A ∈ S n ✱ a ∈ Rn ✈➔ α ∈ R✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ Hf ❜ð✐

Hf =

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✻

A

a/2

aT /2

α

.

✭✶✳✼✮

n+1
❱î✐ ♠å✐ x ∈ Rn ✱ f (x) ≥ 0 ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ Hf ∈ S+
✳

❍❛✐ ❦➳t ❧✉➟♥ s❛✉ ✤➙② ✭①❡♠ ❬✶✻❪✱ ❇ê ✤➲ ✷✳✶ ✈➔ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✮ ❝â ✈❛✐ trá
q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ✈➲ ❝❤➼♥❤ q✉② ❤â❛ ❇ê ✤➲ S ♠➔ t❛ s➩ ✤➲ ❝➟♣ tr♦♥❣
❈❤÷ì♥❣ ✷✳

❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✼ ◆➳✉ f, g : Rn −→ R (n ≥ 3) ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ t❤✉➛♥
♥❤➜t✱ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

f (x) = xT Ax ✈➔ g(x) = xT Bx,

tr♦♥❣ ✤â A, B ∈ S n✱ t❤➻
V := {(f (x), g(x)) | x = 1} ⊂ R2
✶✵
Footer Page 12 of 54.


Header Page 13 of 54.

ởt t t ỗ
ờ ờ A, B tr ố ự tỹ
ù 2 ì 2 K = {(xT Ax, xT Bx) : x R2} õ
K = {(A ã X, B ã X) : X S+2 }

K ởt t ỗ

t tố ữ
t tố ữ r ở t õ tờ qt ữ s

min

xRn

s

f (x)

gi (x) = 0, i = 1, . . . , me ;



gi (x) 0, i = me + 1, ã ã ã , m,



tr õ ử t f (x) r ở gi (x) ợ i = 1, . . . , m
trỡ tỹ tr Rn t t ởt tr số õ
t me m số ổ ợ 0 me m ồ

E = {1, . . . , me } I = {me + 1, ã ã ã , m}
ữủt t số ừ r ở ữỡ tr r ở t
ữỡ tr


ổ õ t t
ởt



t tố ữ ổ r ở

me = m = 0 t t ữủ ồ ởt

tố ữ r ở ữỡ tr

t

tt gi (x) ợ i = 1, . . . , m t t t
t ữủ ồ ởt

t tố ữ r ở t

t ởt t tố ữ r ở t t ợ ử t t
ữỡ f (x) ữủ ồ ởt t q t ữỡ

Footer Page 13 of 54.


Header Page 14 of 54.



x Rn ữủ ồ ởt

ữủ

tọ tt ữủ
ữủ ồ ởt

t ữủ

r t ữủ ồ
r ở ứ ữủ
tọ tt r ở t t ữủ X ữ s

X=

x Rn

gi (x) = 0,

i = 1, . . . , me ;

gi (x) 0,

i = me + 1, . . . , m





X = {x Rn | gi (x) = 0, i E; gi (x) 0, i I}.



õ t õ t ữủ t ữ s

minf (x).
xX



õ t ừ t tố ữ r ở
q t ởt x tr t ữủ X s
ử t f (x) t ỹ t

t s



ỹ t ữỡ ỹ t t ử

x X

f (x) f (x ),
t x ữủ ồ

x X,



ỹ t t ử r ừ t

x X

f (x) > f (x ),
t x ữủ ồ

x X, x = x ,



ỹ t t ử t strt r

x X tỗ t ởt B(x , ) ừ

x s
f (x) f (x ),

x X B(x , ),


Footer Page 14 of 54.




Header Page 15 of 54.

t❤➻ x∗ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝ü❝

t✐➸✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✭❧♦❝❛❧ ♠✐♥✐♠✐③❡r ✮ ✭❬✷✻❪✮ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥

✭✶✳✽✮✲✭✶✳✶✵✮✱ tr♦♥❣ ✤â

B(x∗ , δ) = {x : x − x∗

2

≤ δ}

✭✶✳✶✼✮

✈➔ δ > 0✳

◆➳✉ x∗ ∈ X ✈➔ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ B(x∗ , δ) ❝õ❛ x∗ s❛♦ ❝❤♦

f (x) > f (x∗ ),
t❤➻ x∗ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

∀x ∈ X ∩ B(x∗ , δ), x = x∗ ,

✭✶✳✶✽✮

❝ü❝ t✐➸✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ♥❣➦t ✭str✐❝t ❧♦❝❛❧ ♠✐♥✐♠✐③❡r ✮✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✹

◆➳✉ x∗ ∈ X ✈➔ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ B(x∗ , δ) ❝õ❛

x∗ s❛♦ ❝❤♦ x∗ ❝❤➾ ❧➔ ❝ü❝ t✐➸✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ X ∩ B(x∗ , δ)✱ t❤➻ x∗ ✤÷ñ❝ ❣å✐
❧➔ ♠ët

❝ü❝ t✐➸✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝æ ❧➟♣✳

●✐↔ sû r➡♥❣ x∗ ❧➔ ♠ët ❝ü❝ t✐➸✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✽✮✲✭✶✳✶✵✮✳
◆➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët ❝❤➾ sè i0 ∈ I = [me + 1, m] s❛♦ ❝❤♦

gi0 (x∗ ) > 0,

✭✶✳✶✾✮

❦❤✐ ✤â✱ ♥➳✉ t❛ ①â❛ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t❤ù i0 t❤➻ x∗ ✈➝♥ ❧➔ ❝ü❝ t✐➸✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛
❜➔✐ t♦→♥ t❤✉ ✤÷ñ❝ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ①â❛ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t❤ù i0 ✳ ❉♦ ✤â✱ t❛ ♥â✐ r➡♥❣ r➔♥❣
❜✉ë❝ t❤ù i0 ❧➔

❦❤æ♥❣ ❤♦↕t ✭✐♥❛❝t✐✈❡ ✮ t↕✐ x∗✳

❇➙② ❣✐í✱ t❛ s➩ ✤÷❛ r❛ ❝→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❤♦↕t ✈➔ r➔♥❣ ❜✉ë❝
❦❤æ♥❣ ❤♦↕t✳ ❚r÷î❝ ❤➳t✱ t❛ ✤➦t

I(x) = {i | gi (x) = 0, i ∈ I}.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✺

✭❬✷✻❪✮

✭✶✳✷✵✮

❱î✐ ♠é✐ x ∈ Rn ✱ t➟♣

A(x) = E ∪ I(x)

✭✶✳✷✶✮

t➟♣ ❝❤➾ sè ❤♦↕t ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✭✐♥❞❡① s❡t ♦❢ ❛❝t✐✈❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ✮ t↕✐ x❀
gi (x)(i ∈ A(x)) ❧➔ ♠ët r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❤♦↕t ✭❛❝t✐✈❡ ❝♦♥str❛✐♥t ✮ t↕✐ x❀ gi (x)(i ∈
/
A) ❧➔ ♠ët r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❦❤æ♥❣ ❤♦↕t ✭✐♥❛❝t✐✈❡ ❝♦♥str❛✐♥t ✮ t↕✐ x✳
❧➔ ♠ët

✶✸
Footer Page 15 of 54.

Header Page 16 of 54.

sỷ r A(x ) ởt t số t r ở ừ t
t x õ ữợ r ở ổ t
ừ t õ t t tố ữ r ở


min f (x)
s

gi (x) = 0, i A(x ).



t r ở ữỡ tr tữớ t ỡ s ợ
t ố

ừ ỹ t t ử
trữ tỷ r
r ử tr t q tố ữ t ử
tỷ r t tố ữ r ở ổ ỗ s
t ợ ởt số ỡ ú ỵ q trồ s ữủ sỷ
ử ữỡ s

Lữợ

L ởt t

tr tỹ l : Rn R f : Rn R ởt tỷ l L ữủ
ồ ởt Lữợ

rt ừ f t ởt x0 Rn

f (x) f (x0 ) + l(x) l(x0 ), x Rn .
L f (x0 ) ừ tt Lữợ rt ừ f t x0 ữủ ồ Lữợ

Lsrt ừ f t x0

ú ỵ r L ữủ ồ ữ t tt t t
ữủ tr Rn t õ ợ ồ ỗ tr tỹ f
ữủ tr Rn t õ L f (x) = f (x) tr õ f (x) ữợ
t t ỗ
t t tố ữ r ở t ữỡ tr

min

xRn

s

P

f (x)
gi (x) 0, i = 1, ã ã ã , m,


Footer Page 16 of 54.


Header Page 17 of 54.

tr õ f, gi : Rn R, i = 1, ã ã ã , m ữủ ừ (P )
ữủ ỵ

S := {x Rn | gi (x) 0, i = 1, ã ã ã , m}.



ừ ỹ t t ử

sỷ L ởt t tr tỹ ữủ tr Rn
s l L ợ l L r t (P ) x S sỷ r
m

(

Rm
+)

0 L f (x) + L

i gi (x)



m

i gi (x) = 0.
i=1

i=1



õ x ởt ỹ t t ử ừ (P )

ự

t tỗ t i 0, i = 1, ã ã ã , m

l L s
i gi (x) = 0 (i = 1, ã ã ã , m), l L f (x)


m

l L

i gi (x).
i=1

ợ ộ x Rn t ừ Lữợ t õ

f (x) f (x) l(x) + l(x)
= f (x) [l(x) l(x)]
m

f (x)

m

i gi (x)
i=1

i gi (x)
i=1

m

= f (x)

i gi (x).
i=1

r f (x) f (x) ợ ồ x S ứ õ t õ x ởt ỹ t t
ử ừ (P )

sỷ L ởt t tr tỹ ữủ

tr Rn s l L ợ l L r t (P )


Footer Page 17 of 54.


Header Page 18 of 54.

x S

sỷ r f L õ tọ

m

(

Rm
+)

f L

i gi (x)



i gi (x) = 0.



i=1

i=1

ự

m

f L f L f (x) t õ s r

ữủ sỷ tọ õ ữ tr ự
ừ t õ
m

i gi (x) ợ ồ x Rn .

f (x) f (x)
i=1

ứ õ ợ ồ x Rn t ữủ
m

m

i gi (x)
i=1

i gi (x) f (x) + f (x),
i=1



m

i gi (x) = 0.
i=1

r

m

f L

i gi (x).
i=1

ữủ tọ ữủ ự
r õ t ừ ởt t rộ D tr Rn ố
ợ L ữủ

NL,D (x) :=

{l L : l(y) l(x) 0, y D} x D
x
/ D.



t r L t tt t t ữủ
tr Rn D ởt t ỗ t NL,D (x) = ND (x) õ t ừ

D t ừ t ỗ ỡ ỳ ợ S ữủ ữ tr
t s ổ ữủ tọ
m

NL,S (x)

L
àRm
+

m

ài gi (x)
i=1

i=1


Footer Page 18 of 54.

ài gi (x) = 0 .




Header Page 19 of 54.

ữ t s t tr ữỡ tr tr õ trỏ
t q trồ tr trữ ừ tố ữ t ử tổ q
tỷ r

tS

r ở ữủ ồ tọ

t tS S rrt

m

NL,S (x) =

L

àRm
+

m

ài gi (x)
i=1

ài gi (x) = 0 ,



i=1

ợ ồ x S
õ t tS tọ t x tọ t x t
r t tS õ trỏ ữ

t ữủ st rrt ợ

g1 , ã ã ã , gm , l L R t t s


gi (y) 0, i = 1, . . . , m = l(y)



( Rm
+ ) l(y) +

m
i=1 i gi (y)

, y Rn .

õ t t r s r tứ
r tr trữớ ủ t s r ữủ tọ
t {g1 , . . . , gm , l, } ữủ ồ

tọ t ữủ

L t t t gi t
tọ t ữủ s r tứ ỵ ữủ
t ữủ ồ ờ rs ữỡ tỹ tr trữớ ủ
gi ỗ tr gi (x0 ) < 0, i = 1, 2, . . . , m ợ x0 Rn
õ t r tọ t ữủ

t

ợ ồ l L ợ ộ x Rn {g1 , . . . , gm , l, l(x)}

tọ t ữủ r ở tọ t t

S r trữớ ủ L t tt t t f, g1 , g2 , . . . , gm
ỗ t t tS t r ở t
trữ tỷ r ừ tố ữ ố ợ t (P ) r
trữớ ủ tr t ữủ ừ ỗ

L ởt t tr tỹ ữủ

tr Rn s l L ợ l L r t (P ) x S


Footer Page 19 of 54.


Header Page 20 of 54.

sỷ r f L t tS tọ t x õ x ởt ỹ
t t ử ừ (P ) tọ

ự

ứ x ởt ỹ t t ử ừ (P ) t

t õ f NL,S (x) õ ớ t tS t õ tọ ỷ
ử t õ ự
ỵ s s r r t tS t t trữ
ỹ t t ử tổ q tỷ r

ỵ trữ tỷ r ừ t tS sỷ

r L ởt t tr tỹ ữủ tr Rn s
l L ợ l L õ s tữỡ ữỡ
r ở tọ t tS
ợ ồ f L ợ ộ ỹ t t ử x ừ f tr S
m

(

Rm
+)

f L

i gi (x)



i=1

ự

m

i gi (x) = 0.
i=1

= ữủ s r tứ

= sỷ r x S l L õ l NL,S (x) t t
õ L t Lr t õ x ởt ỹ t
t ử ừ l tr S tỗ t Rm
+ s
m

m

i gi (x)

l L
i=1

i gi (x) = 0.
i=1

r
m

m

NL,S (x)

ài gi (x)

L
àRm
+

ài gi (x) = 0 .
i=1

i=1

ứ õ t õ t tS tọ õ ụ õ
ỵ ữủ ự t


Footer Page 20 of 54.

Header Page 21 of 54.

❈❤÷ì♥❣ ✷
✣■➋❯ ❑■➏◆ ❚➮■ ×❯ ❚❖⑨◆ ❈Ö❈
❚❘❖◆● ◗❯❨ ❍❖❸❈❍ ❚❖⑨◆
P❍×❒◆●
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ tr÷î❝ t✐➯♥✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ s➩ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ tè✐ ÷✉ t♦➔♥
♣❤÷ì♥❣ ✈î✐ ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣✳ ◗✉❛ ✤â✱ t❤✉ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
✤õ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ❝❤♦ ❝→❝ ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ö❝✳ ❚✐➳♣ ✤â✱ ❧✉➟♥
✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❇ê ✤➲ S ✈➔ ✤è✐ ♥❣➝✉ ▲❛❣r❛♥❣❡ ❝❤♦ tè✐ ÷✉
t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ ♠ët r➔♥❣ ❜✉ë❝ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ t❤æ♥❣ q✉❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❙❧❛t❡r✳
❱➔ s❛✉ ✤â ❧➔ ❝❤➼♥❤ q✉② ❤â❛ ❇ê ✤➲ S ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❙❧❛t❡r✳ ❈✉è✐ ❝❤÷ì♥❣✱
❧✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ❝❤♦ tè✐ ÷✉ t♦➔♥ ❝ö❝ tr♦♥❣ q✉②
❤♦↕❝❤ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣✳ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝❤➼♥❤ ❝❤♦ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❧➔ ❬✸❪✱ ❬✶✺❪
✈➔ ❬✶✻❪✳

✷✳✶ ❚è✐ ÷✉ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ ✈î✐ ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t♦➔♥
♣❤÷ì♥❣
❑þ ❤✐➺✉ Sn ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ n × n✳
❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣✿

min

s❛♦ ❝❤♦

1 T
x A0 x + aT0 x
2
1 T

x Ai x + aTi x + ci ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m,
2

✶✾

Footer Page 21 of 54.

✭◗P✮


Header Page 22 of 54.

tr♦♥❣ ✤â Ai ∈ Sn , ai ∈ Rn ✈➔ ci ∈ R, i = 0, 1, . . . , m✳ ❚❛ ✤➦t

1
f (x) := xT A0 x + aT0 x;
2
1
gi (x) := xT Ai x + aTi x + ci , ✈î✐ ♠å✐ i = 1, 2, . . . , m;
2
S := {x ∈ Rn | gi (x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m};
1
L := l : Rn −→ R | l(x) = xT Ax + bT x, A ∈ Sn , b ∈ Rn .
2

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✶ ❈❤♦ h(x) =
c∗ ∈ R

✈➔ x ∈ Rn✳ ❑❤✐ ✤â✱

∂L h(x) =

1 T
x A∗ x + aT∗ x + c∗ , A∗ ∈ Sn , a∗ ∈ Rn ✱
2

1 T
x Ax + bT x A = A∗ − B, b = a∗ + Bx, B ∈ Sn , B
2

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✳

0 .

●✐↔ sû l0 ∈ L✱ ✈î✐

1
l0 (x) = xT Ax + bT x.
2
❑❤✐ ✤â✱ l0 ∈ ∂L h(x) ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉

l0 (x) − l0 (x) ≤ h(x) − h(x),
✈î✐ ♠å✐ x ∈ Rn ✳ ✣➦t

φ(x) = h(x) − l0 (x).
❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â

1
φ(x) = xT (A∗ − A)x + (a∗ − b)T x + c∗ .
2

❚❤❡♦ ✭✷✳✶✮✱ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ Rn ✱ t❛ ❝â

φ(x) ≥ φ(x).
❙✉② r❛

A∗ − A

0.

◆➳✉ ❦❤æ♥❣✱ tç♥ t↕✐ x0 ∈ Rn s❛♦ ❝❤♦

xT0 (A∗ − A)x0 < 0.
✷✵
Footer Page 22 of 54.

✭✷✳✶✮


Header Page 23 of 54.

ớ ợ k R t õ

1
(kx0 ) = (kx0 )T (A A)(kx0 ) + (a b)T (kx0 ) + c
2
k2
= u + kv + c ,
2
tr õ

u := xT0 (A A)x0 < 0 v := (a b)T x0 .
ứ u < 0 t s r

(kx0 ) < (x)
ợ k õ |k| ừ ợ ởt t A A ởt tr
ỷ ữỡ ởt ỗ tr Rn ỡ ỳ t
ữủ ỹ t ừ õ t x (x) = 0 ự

b = a + (A A)x.
õ l0 L h(x)

A A

0 b = a + (A A)x.

t B = A A õ l0 L h(x)

B

b = a + Bx.

0, B Sn , A = A B

ữủ ự
ừ ỹ t t ử ừ t q t ữỡ
P ữủ ổ t ỵ ữợ

ỵ ừ ỹ t t ử

ợ t P sỷ x S tỗ t i 0, i = 1, . . . , m s

m

i Ai + A0
i=1
m

m

i Ai + A0 x +

i ai + a0
i=1

i=1


Footer Page 23 of 54.

0,
= 0,


Header Page 24 of 54.


m

i gi (x) = 0.

i=1

t x ởt ỹ t t ử ừ t q t ữỡ P

ự

r
m

f L

i gi (x)
i=1



m

i gi (x) = 0.
i=1

õ t t s r x ởt ỹ t
t ử ừ t q t ữỡ P ỵ ữủ ự

t t s t r ừ tố ữ
t ử ữợ t tS

ỵ ừ ỹ t t ử

ợ t q t ữỡ P x S sỷ r r
ở tọ t tS t x õ x ởt ỹ t t ử ừ
t P ữủ tọ

ự

t r tữỡ ữỡ

ợ t t õ tọ tỗ t Rm
+
ợ

m

i gi (x) = 0
i=1

s

m

f L

i gi (x).
i=1
m
i=1 i gi

f L

C Sn ợ C

(x) tỗ t

0 s
m

A0 =

i Ai C
i=1


Footer Page 24 of 54.


Header Page 25 of 54.


m

a0 =

i ai + Cx.
i=1

ứ õ tọ t ró r ụ tọ
ữủ sỷ õ õ tứ
m

A0 =

m

i Ai A0 +
i=1

i Ai
i=1


m

a0 =

m

i ai + A0 +
i=1

i Ai x,
i=1

t õ
m

m

i gi (x) = 0

f L

i gi (x).
i=1

i=1

r ữủ tọ ỵ ữủ ự t

t

ứ ỵ t t r r ở tọ

t tS tọ ợ ộ f L ợ ồ ỹ
t x ừ f tr S
ởt ổ ử rt q trồ tr ỵ tt tr
t tố ữ õ õ ờ S õ ữ r
t tS ởt trữớ ủ t ữỡ ổ ỗ

ờ ờ S ổ t t

f, g1 : Rn R t ữỡ ữủ
1
f (x) = xT Ax + aT x + c0 ,
2
1
g1 (x) = xT Bx + bT x + c1 ,
2

ợ A, B Sn; a, b Rn c0, c1 R sỷ r tỗ t x0 Rn s

g1(x0) < 0 õ s tữỡ ữỡ

Footer Page 25 of 54.