Một số kết quả về điểm bất động của hàm chỉnh trong không gian Banach và ứng dụng_2

Header Page 1 of 128.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

DƯƠNG MỸ NGỌC

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHÔNG
GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2018

Footer Page 1 of 128.


Header Page 2 of 128.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

DƯƠNG MỸ NGỌC

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHÔNG
GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Mã số: 60 46 01 02

Chuyên ngành: Toán Giải tích

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN VĂN HÀO

Hà Nội, năm 2018
2

Footer Page 2 of 128.


Header Page 3 of 128.

LỜI CẢM ƠN
Luận văn thạc sĩ Toán học chuyên ngành Toán giải tích được hoàn
thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Nhân dịp này, em xin
bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các cán bộ phòng Sau đại học, các
giảng viên chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư Phạm Hà
Nội 2 đã tổ chức và giảng dạy để em hoàn thành khóa học.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Nguyễn
Văn Hào, người đã định hướng chọn đề tài và cũng là người đã luôn
tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ, động viên em trong suốt quá
trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
Xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn ủng hộ và tạo điều
kiện tốt nhất để em có thể tập trung nghiên cứu và hoàn thành luận
văn. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót. Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các
nhà khoa học, của quý thầy cô và của bạn bè, đồng nghiệp để luận

văn của em được hoàn thiện hơn.
Em xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, tháng 6 năm 2018
Tác giả

Dương Mỹ Ngọc

Footer Page 3 of 128.


Header Page 4 of 128.

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào
luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Một số kết
quả về điểm bất động của hàm chỉnh hình trong không gian
Banach và ứng dụng” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân
tác giả.

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2018
Tác giả

Dương Mỹ Ngọc

Footer Page 4 of 128.

Header Page 5 of 128.

Mục lục

MỞ ĐẦU

1

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4

1.1

1.2

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Sự hội tụ trong không gian metric . . . . . . . .

7

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1

Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2 HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH

15

2.1

Ánh xạ đa tuyến tính trên không gian Banach . . . . .

15

2.2

Đa thức trên không gian Banach . . . . . . . . . . . .

27

2.3

Chuỗi lũy thừa trong không gian Banach . . . . . . . .

31

2.4

Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHÔNG GIAN
BANACH VÀ ỨNG DỤNG
1

Footer Page 5 of 128.

41


Header Page 6 of 128.

3.1

Một số định lý điểm bất động của hàm chỉnh hình . . .

3.2

Một số ứng dụng của định lý điểm bất động trong không

41

gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.2.1

Ảnh số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.2.2

Ảnh số chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.2.3

Định lý duy nhất của Cartan . . . . . . . . . .

54

KẾT LUẬN

57

TÀI LIỆU THAM KHẢO

57

Footer Page 6 of 128.


Header Page 7 of 128.

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động là một trong những chuyên ngành giải tích
hàm trong lĩnh vực Toán học. Lý thuyết này được hình thành từ những
năm đầu của thế kỷ XX. Ngay từ những năm đầu của sự hình thành
và phát triển, lý thuyết này đã đem lại nhiều ứng dụng thực tế, ta
có thể kể đến những vấn đề này như: lý thuyết tối ưu, lý thuyết trò
chơi và trong nhiều lĩnh vực khác của vật lý. Khởi đầu của lý thuyết
này được bắt nguồn từ “Nguyên lí điểm bất động Brouwer” vào năm
1912. Nguồn gốc của kết quả này, ta có thể tham khảo trong tài liệu
[6] được dịch sang ngôn ngữ tiếng việt như sau
Định lý(Điểm bất động Brouwer). Một ánh xạ liên tục f từ hình cầu
đóng đơn vị trong không gian Rn vào chính nó có điểm bất động duy
nhất, tức là tồn tại duy nhất x ∈ Rn sao cho f (x) = x”.

Đến năm 1922, giới toán học mới nhận được kết quả mang tính đột
phá trong lĩnh vực này từ công trình của nhà toán học Banach. Qua
việc xây dựng không gian metric, ông đã đạt được một kết quả mang
tính kinh điển nay được gọi là “Nguyên lý ánh xạ co Banach” . Trong
tài liệu tham khảo [2] nguyên lý này được trình bày như sau “Ánh xạ
co từ không gian metric đầy vào chính nó có điểm bất động duy nhất” .
Tiếp theo, ta có thể kể đến một số kết quả trong lĩnh vực này sang
một số lớp không gian khác như của các nhà toán học A. Tarski [20],

Footer Page 7 of 128.


Header Page 8 of 128.

2

E. Rakotch [19] và cho tới nay lý thuyết này vẫn đang được quan tâm
để đưa ra được nhiều các ứng dụng trong các vấn đề thực tiễn khác.
Với mong muốn tìm hiểu về lý thuyết điểm bất động của hàm chỉnh
hình trong không gian Banach và dưới sự định hướng của TS. Nguyễn
Văn Hào, em đã chọn đề tài “Một số kết quả về điểm bất động
của hàm chỉnh hình trong không gian Banach và ứng dụng”
để hoàn thành luận văn tốt Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về hàm chỉnh hình trong không gian Banach. Nghiên cứu
về một số kết quả về điểm bất động của hàm chỉnh hình trong không
gian Banach.

3. Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu về hàm chỉnh hình trong không gian Bnaach và một số
kết quả về điểm bất động trong không gian này và một số ứng dụng.

4. Phương pháp nghiên cứu
Tra cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến định hướng của
thầy hướng dẫn.

Footer Page 8 of 128.


Header Page 9 of 128.

3

5. Dự kiến đóng góp của đề tài
Luận văn được hoàn thành trên cơ sở chính với sự trình bày các vấn
đề sau:
• Hệ thống một số kiến thức căn bản vể không gian metric, không
gian Banach và hàm chỉnh hình trên không gian Banach.
• Giới thiệu một số kết quả về nguyên lý điểm bất động trên không
gian Banach và một số ứng dụng của các kết quả này.

Footer Page 9 of 128.


Header Page 10 of 128.

4

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN
BỊ
Trong toàn bộ luận văn ta thống nhất sử dụng các ký hiệu sau: K để
chỉ trường các số thực hoặc trường các số phức C; N để chỉ tập hợp
tất cả các số tự nhiên; N∗ để chỉ tập hợp các số nguyên dương.

1.1

Không gian metric

1.1.1

Một số khái niệm

Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp bất kỳ X = ∅. Một metric hay
khoảng cách trên X là ánh xạ d : X × X → R thoả mãn ba tiên đề
sau:
(i) d(x, y)

0; với mọi x, y ∈ X; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.

(ii) d(x, y) = d(y, x); với mọi x, y ∈ X (tiên đề đối xứng).
(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z); với mọi x, y, z ∈ X (bất đẳng
thức tam giác).
Tập hợp X cùng với metric d xác định trên đó được gọi là một không

4

Footer Page 10 of 128.

Header Page 11 of 128.

5

gian metric, ký hiệu là (X, d). Phần tử x ∈ X được gọi là điểm của
không gian. Ta cũng ký hiệu không gian metric chỉ bởi X khi metric
d đã được xác định rõ. Cho không gian metric (X, d) và M là một tập
con khác ∅ của X. Khi đó, nếu (M, d) cũng là một không gian metric
thì ta gọi nó là không gian metric con của không gian metric.
Ví dụ 1.1.2. Trên không gian R xét ánh xạ d : R × R → R được xác
định bởi công thức
d(x, y) = |x − y| .
Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra được (X, d) là một không gian metric.
Ví dụ 1.1.3. Xét không gian Rn = (x1 , x2 , ..., xn ) : xi ∈, i = 1, n .
Ta xác định khoảng cách giữa hai phần tử x = (x1 , x2 , ..., xn ) và
y = (y1 , y2 , ..., yn ) trong không gian này theo công thức
d(x, y) =

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + ... + (xn − yn )2 .

Việc kiểm tra các tiên đề (i) và (ii) là không khó khăn. Việc quan trọng
hơn cả là kiểm tra tiên đề (iii). Để làm được việc này, ta xét các phần
tử tuỳ ý x = (x1 , x2 , ..., xn ); y = (y1 , y2 , ..., yn ); z = (z1 , z2 , ..., zn )

Footer Page 11 of 128.


Header Page 12 of 128.

6

thuộc không gian Rn . Ta có các đánh giá thông thường như sau
n

(xi − zi )2

2

d (x, z) =
i=1
n

(xi − yi + yi − zi )2

=
i=1
n

(|xi − yi | + |yi − zi |)2

≤
i=1
n

n

n

2

≤

(xi − yi ) + 2
i=1

i=1

n

i=1
n



i=1
n

i=1

2

n

i=1

(yi − zi )2

(yi − zi ) +
i=1

(xi − yi )2 +

=

n
2

(xi − yi )

(xi − yi ) + 2
i=1

n
2

2

≤

(yi − zi )2

|xi − yi | |yi − zi | +

(yi − zi )2 
i=1

= (d(x, y) + d(y, z))2 .
Từ đó, ta suy ra
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Khoảng cách d xác định trên Rn theo công thức đã cho, được gọi
là khoảng cách Euclide hay metric Euclide. Không gian Rn cùng với
metric Euclide cũng được ký hiệu bởi Rn .
Ví dụ 1.1.4. Cho tập hợp X = ∅ bất kỳ, chúng ta đặt

 1 nếu x = y
d(x, y) =
 0 nếu x = y
Dễ dàng kiểm tra d(x, y) là một metric trên X. Không gian metric

Footer Page 12 of 128.


Header Page 13 of 128.

7

(X, d) được gọi là không gian metric rời rạc.
1.1.2

Sự hội tụ trong không gian metric

Định nghĩa 1.1.5. Dãy điểm {xk }∞
k=1 trong không gian metric X
được gọi là hội tụ đến điểm x ∈ X nếu lim d(xk , x) = 0 . Khi đó,
k→∞

chúng ta viết
lim xk = x hoặc xk → x ; k → ∞.

k→∞

Định lý 1.1.6. Trong không gian metric, một dãy hội tụ chỉ có một
giới hạn duy nhất.
Chứng minh. Giả sử lim xk = x và lim xk = y. Khi đó, theo bất đẳng
k→∞

k→∞

thức tam giác, chúng ta có
0 ≤ d(x, y) ≤ d(x, xk ) + d(xk , y) → 0 ; k → ∞
Như vậy, theo định lý giới hạn kẹp ta nhận được d(x, y) = 0 hay
x = y.
Ví dụ 1.1.7. Trong không gian R các số thực với khoảng cách thông
thường
d(x, y) = |x − y| .
Sự hội tụ của dãy điểm {xk }∞
k=1 ⊂ R đến điểm x0 chính là sự hội tụ
của dãy số thực {xk }∞
k=1 đến số thực x0 .
Ví dụ 1.1.8. Trong không gian Rn với metric Euclide, sự hội tụ của
dãy điểm xk =

Footer Page 13 of 128.

(k)

(k)

(k)

x1 , x2 , ..., xn

; k = 1, 2, 3, ... đến điểm x0 =


Header Page 14 of 128.

8
(0)

(0)

(0)

x1 , x2 , ..., xn

có nghĩa là
2

n
(k)
xi

lim

k→∞

−

(0)
xi

= 0.

i=1

Điều đó, có nghĩa là với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương K sao cho
với mọi k ≥ K ta có
2

n
(k)
xi

−

(0)
xi

< ε.

i=1

Từ đó, ta suy ra
(k)

(0)

xi − xi

< ε; với mỗi i = 1, n.

Như vậy lim xk = x0 . Ngược lại, giả sử lim xk = x0 . Khi đó, với mọi
k→∞

k→∞

ε > 0 tồn tại Ki ; i = 1, n để với mọi k ≥ Ki ta có
(k)

(0)

xi − xi

ε
< √ ; với mỗi i = 1, n.
n

Chọn K = max Ki : i = 1, n thì với mọi k ≥ K chúng ta có
n
(k)
xi

−

(0)
xi

n

2

ε
√
n

<

i=1

i=1

2

= ε.

Nghĩa là
n
(k)

k→∞

(0)

xi − xi

lim

2

= 0.

i=1

Như vậy sự hội tụ trong không gian metric Rn chính là sự hội tụ theo

Footer Page 14 of 128.


Header Page 15 of 128.

9

toạ độ.
Định nghĩa 1.1.9. (Dãy Cauchy). Cho (X, d) là một không gian
metric. Ta nói dãy {xn }∞
n=1 ⊂ X là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0 tồn
tại số nguyên dương N sao cho với mọi m, n ≥ N ta có
d(xn , xm ) < ε.
Lưu ý Điều dễ dàng thấy rằng mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy.
Tuy nhiên, dãy Cauchy chưa chắc đã hội tụ. Ta có thể chỉ ra điều này
qua ví dụ đơn giản sau: Xét không gian là khoảng (0, 1) với metric
giữa hai phần tử x và y được xác định bởi khoảng cách thông thường
d(x, y) = |x − y| .
Trên không gian này ta dễ dàng thấy rằng dãy

xn =

1

n

là dãy

Cauchy. Tuy nhiên dãy không hôị tụ trong không gian này. Từ đó,
ta đưa ra khái niệm sau
Định nghĩa 1.1.10. (Không gian metric đầy). Không gian metric X
được gọi là đầy nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ.
Kết quả được đánh giá quan trọng nhất trong lý thuyết trên không
gian metric phải được kể đến là định lý ánh xạ co Banach. Trước khi
trình bày định lý này chúng tôi giới thiệu khái niệm về ánh xạ co.
Định nghĩa 1.1.11. Cho hai không gian metric M1 = (X, d1 ) và
M2 = (Y, d2 ). Ánh xạ A từ không gian M1 vào không gian M2 được
gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số thực α mà 0 ≤ α < 1 sao cho
d2 (Ax, Ax ) ≤ αd1 (x, x ); với mọi x, x ∈ X.
Footer Page 15 of 128.


Header Page 16 of 128.

10

Định lý 1.1.12. (Nguyên lý ánh xạ co Banach). Mọi ánh xạ co A từ
không gian metric đầy M + (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động
x¯ duy nhất. Điều đó, có nghĩa là tồn tại duy nhất điểm x¯ ∈ X thỏa
mãn hệ thức A¯
x = x¯.
Chứng minh. Lấy một điểm bất kì x0 ∈ X và lập dãy được xác định
quy nạp như sau
xn = Axn−1 ; n = 1, 2, 3, ...

Như thế, ta xác định được các đánh giá sau
d (x2 , x1 ) = d(Ax1 , Ax0 ) ≤ αd(x1 , x0 ) ≤ αd(Ax0 , x0 )
d(x3 , x2 ) = d(Ax2 , Ax1 ) ≤ αd(x2 , x1 ) ≤ α2 d(Ax0 , x0 )
.......
d(xn+1 , xn ) = d(Axn , Axn−1 ) ≤ αd(xn , xn−1 ) ≤ αn d(Ax0 , x0 );
với mọi n = 1, 2, 3, .... Từ đó suy ra, với mọi số nguyên dương n, p =
1, 2, 3, ... ta có
p

d(xn+p , xn ) ≤

p

k=1
n

=

αn+k−1

d(xn+k , xn+k−1 ) ≤ d(Ax0 , x0 )
k=1
n+p

α −α
1−α

n

d(Ax0 , x0 ) ≤

α
d(Ax0 , x0 ).
1−α

Bởi vì 0 ≤ α < 1 nên lim αn = 0. Do đó lim d(xn+p , xn ) = 0; với mọi
n→∞

n→∞

∗

p ∈ N . Nghĩa là dãy (xn ) là dãy cơ bản trong không gian metric đầy
M. Từ đó tồn tại lim xn = x¯ ∈ X. Để chứng minh x¯ là điểm bất động
n→∞

Footer Page 16 of 128.


Header Page 17 of 128.

11

của ánh xạ A ta có đánh giá sau
d(A¯
x, x¯) ≤ d(A¯
x, xn ) + d(xn , x¯) = d(A¯
x, Axn−1 ) + d(xn , x¯)
≤ αd(¯
x, xn−1 ) + d(xn , x¯);

với mọi n = 1, 2, 3, ... . Cho n → ∞ ta được d(A¯
x, x¯) = 0 hay A¯
x = x¯.
Điều đó có nghĩa là x¯ là điểm bất động của ánh xạ A. Để chứng minh
điểm bất động trên là duy nhất, ta giả sử rằng còn điểm y¯ ∈ X cũng
là điểm bất động của ánh xạ A. Khi đó, ta có đánh giá sau
d(¯
x, y¯) = d(A¯
x, A¯
y ) ≤ αd(¯
x, y¯).
Từ đó, ta suy ra
(1 − α)d(¯
x, y¯) ≤ 0.
Bởi vì hằng số 0 ≤ α < 1 nên ta nhận được
d(¯
x, y¯) = 0.
Điều đó có nghĩa là hai điểm trùng nhau, tức là x¯ ≡ y¯. Như vậy, x¯ là
điểm bất động duy nhất của ánh xạ A.

1.2

Không gian Banach

1.2.1

Một số khái niệm

Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian vector X trên trường K. Ánh xạ
: X → K được gọi là một chuẩn trên X nếu với mọi x, y ∈ X và

mọi λ ∈ .K thỏa mãn ba tiên đề sau

Footer Page 17 of 128.


Header Page 18 of 128.

12

(i) x ≥ 0; x = 0 khi và chỉ khi x = 0;
(ii) λx = |λ| x ;
(iii) x + y ≤ x + y .
Không gian vector X trên đó xác định một chuẩn được gọi là không
gian tuyến tính định chuẩn hay gọi ngắn gọn không gian định chuẩn.
Ta cũng thường ký hiệu không gian định chuẩn bởi X. Trên không
gian tuyến tính định chuẩn ta có thể xác định một khoảng cách theo
công thức
d(x, y) = x − y ; với mọi x, y ∈ X.
Ta dễ dàng kiểm tra khoảng cách d được xác định như trên thoả mãn
các tiên đề về khoảng cách và nó được gọi là metric sinh bởi chuẩn đã
cho.
Nếu không gian định chuẩn X đầy theo nghĩa metric này, ta nói X là
một không gian Banach. Tính đầy được hiểu theo nghĩa nếu dãy {xn }
các phần tử của X sao cho
lim

m,n→∞

xm − xn = 0.

Khi đó, tồn tại một phần tử x trong X sao cho
lim x − xn = 0.

n→∞

1.2.2

Một số ví dụ

Ví dụ 1.2.2. Không gian R với chuẩn của phần tử x được xác định
bởi x = |x| . Theo Định lý Cauchy, không gian R với chuẩn này là
không gian Banach.

Footer Page 18 of 128.


Header Page 19 of 128.

13

Ví dụ 1.2.3. Ký hiệu C[a, b] là không gian các hàm thực liên tục trên
đoạn hữu hạn [a, b] . Bởi vì mọi hàm f liên tục trên một đoạn là bị
chặn nên ta có thể xác định chuẩn của hàm này như sau
f = sup {|f (x)| : x ∈ [a, b]} ;
với mọi f ∈ C[a, b]. Dễ thấy rằng f → f xác định như trên là một
chuẩn trên không gian C[a, b]. Như vậy C[a, b] là một không gian định
chuẩn.
Sự hội tụ trong C[a, b] đối với chuẩn này chính là sự hội tụ đều của
dãy hàm thực. Ta sẽ kiểm tra lại C[a, b] là một không gian Banach,
nghĩa là mọi dãy Cauchy trong đó đều hội tụ. Giả sử {fn } là một dãy

Cauchy trong C[a, b]. Khi đó, với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương
n0 sao cho với mọi n, m ≥ n0 ta có
|fn (x) − fm (x)| < ε; với mọi x ∈ [a, b].

(1.1)

Như vậy, dãy {fn (x)} là một dãy Cauchy trên R. Bởi vì R là không
gian định chuẩn đầy nên tồn tại giới hạn
f (x) = lim fn (x); với mọi x ∈ [a, b].
n→∞

Ta sẽ chỉ ra rằng f ∈ C[a, b], nghĩa là f liên tục trên đoạn [a, b] và
fn → f trong C[a, b]. Trong biểu thức (1.1) bằng cách cố định phần
tử x ∈ [a, b] và với mỗi n ≥ n0 cho m → ∞ ta được
|fn (x) − f (x)| < ε; với mọi x ∈ [a, b].

Footer Page 19 of 128.

(1.2)


Header Page 20 of 128.

14

Bởi vì fn0 liên tục tại x0 nên tồn tại số δ > 0 sao cho
|fn0 (x) − fn0 (x0 )| < ε;
với |x − x0 | < δ và với mọi x ∈ [a, b].
Từ biểu thức (1.2) ta có đánh giá sau
|f (x) − f (x0 )| ≤ |f (x) − fn0 (x)|+|fn0 (x) − fn0 (x0 )|+|fn0 (x0 ) − f (x0 )|

Ta suy ra
|f (x) − f (x0 )| < 3ε;
với mọi |x − x0 | < δ và mọi x ∈ [a, b].
Như vậy, hàm f là liên tục. Cũng từ biểu thức (1.2) suy ra dãy
{fn (x)}∞
n=1 hội tụ đến f trong C[a, b]. Như vậy C[a, b] là không gian
Banach.
Ví dụ 1.2.4. Không gian vector thực Rn là không gian định chuẩn
với chuẩn Euclide được xác định trên đó như sau
x =

x21 + x22 + ... + x2n ;

với mọi x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn .
Metric sinh bởi chuẩn trên được xác định bởi
d(x, y) =

(x1 − y1 )2 + ( x2 − y2 )2 + ... + (xn − yn )2

và nó chính là khoảng cách hay metric Euclide.

Footer Page 20 of 128.


Header Page 21 of 128.

15

Chương 2
HÀM CHỈNH HÌNH TRONG

KHÔNG GIAN BANACH
Để chuẩn bị cho việc trình bày một số kết quả về điểm bất động của
hàm chỉnh hình trên không gian Banach, trước hết xin được giới thiệu
một số khái niệm về hàm chỉnh hình trên không gian này

2.1

Ánh xạ đa tuyến tính trên không gian Banach

Định nghĩa 2.1.1. Cho E và F là hai không gian Banach trên cùng
trường K và m là một số nguyên dương. Một ánh xạ L : E m → F
được gọi là m− tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến, mỗi khi
cố định các biến còn lại. Ký hiệu La (m E; F ) là tập hợp tất cả các ánh
xạ m− tuyến tính từ E m vào F và ta đặt
L(m E; F ) := {f ∈ La (m E; F )}

15

Footer Page 21 of 128.


Header Page 22 of 128.

16

và f liên tục. Với mỗi ánh xạ m− tuyến tính A ∈ La (m E; F ) từ E vào
F , ta định nghĩa
A(x1 , ..., xm ) : xj ∈ E, max xj ≤ 1 .

A = sup

1≤j≤m

Khi m = 1 thì ta viết La (1 E; F ) = La (E; F ) và L(1 E; F ) = L(E; F ).
Khi F = K ta viết La (m E; K) = La (m E) và L(m E; K) = L(m E).
Cuối cùng khi m = 1 và F = K thì ta thường viết La (E) = E ∗ và
L(E) = E .
Mệnh đề 2.1.2. Với mỗi A ∈ La (m E, F ) các điều kiện sau là tương
đương
(i) A là liên tục;
(ii) A là liên tục tại điểm gốc;
(iii) A < ∞.
Chứng minh. Sự kéo theo (i) ⇒ (ii) là hiển nhiên. Để chứng minh
(ii) ⇒ (iii) ta giả sử phản chứng rằng (iii) không đúng. Tức là tồn
tại một dãy điểm (xk1 , xk2 , ..., xkm ) trong E m sao cho max xj ≤ 1 mà
j

A(xk1 , xk2 , ..., xkm )

≥k

m

với mọi k = 1, 2, 3, .... Khi đó, ta thấy rằng
xkj
1
max
≤
j
k

k

và
xk1
xkm
A
, ...,
k
k

≥1

với mọi k = 1, 2, 3, .... Điều này mâu thuẫn với (ii) Vậy (iii) là đúng.
(iii) ⇒ (i). Cho a = (a1 , ..., am ) ∈ E m và x = (x1 , ..., xm ) ∈ E m sao

Footer Page 22 of 128.


Header Page 23 of 128.

17

cho
max aj ≤ c và max xj ≤ c.
j

j

Khi đó, ta có đánh giá
A(x1 , ..., xm ) − A(a1 , ..., am )

m

[A(a1 , ..., aj−1 , xj , ..., xm ) − A(a1 , ..., aj , xj+1 , ...xm )]

=
j=1
m

≤

A(a1 , ..., aj−1 , xj − aj , aj+1 , ..., am )
j=1
m

A cm−1 xj − aj → 0.

≤
j=1

Vậy A là liên tục.
Mệnh đề 2.1.3. L(m E; F ) là một không gian Banach với chuẩn A →
A .
Chứng minh. Dễ thấy rằng ánh xạ
L(m E; F ) → R
,

A→ A

xác định một chuẩn trong L(m E; F ). Ta chỉ cần chỉ ra tính đầy đủ của
không gian L(m E; F ). Cho {Aj } là một dãy Cauchy trong L(m E; F ).

Khi đó, với mỗi phần tử (x1 , x2 , ..., xm ) thuộc E m ta có đánh giá
Aj (x1 , ..., xm ) − Ak (x1 , ..., xm ) ≤ Aj − Ak

x1 ..... xm . (2.1)

Do đó {Aj (x1 , x2 , ..., xm )}j là một dãy Cauchy trong F Bởi vì F là

Footer Page 23 of 128.


Header Page 24 of 128.

18

không gian Banach nên tồn tại giới hạn
A(x1 , x2 , ..., xm ) = lim Aj (x1 , x2 , ..., xm ).
j→∞

(2.2)

Từ đó, ta thiết lập được ánh xạ
A : Em → F
(x1 , x2 , ..., xm ) → lim Aj (x1 , x2 , ..., xm )
j→∞

Dễ thấy rằng ánh xạ này là m− tuyến tính. Hơn nữa, bởi vì {Aj } là
dãy Cauchy trong L(m E; F ) nên tồn tại một hằng số C > 0 sao cho
Aj ≤ C; với mọi j.
Từ đó theo công thức (2.1) ta cũng có A ≤ C . Vậy A là liên tục
theo Mệnh đề 2.1.2. Mặt khác từ công thức (2.1) ta có Aj − A → 0

khi j → ∞. Vậy mọi dãy Cauchy đều hội tụ và L(m E; F ) là không
gian đầy đủ.
Mệnh đề 2.1.4. Tồn tại một đẳng cấu chính tắc giữa các không gian
vector La (m+n E; F ) và La (m E; L(n E; F )). Đẳng cấu này cảm sinh một
phép đẳng cự giữa hai không gian L(m+n E; F ) và L(m E; L(n E; F )).
Chứng minh. Ta dễ dàng kiểm tra rằng ánh xạ tự nhiên
A ∈ La (m+n E; F ) → A˜ ∈ La (m E; La (n E; F ))
được xác định bởi
˜ 1 , x2 , ..., xm )(y1 , y2 , ..., yn ) = A(x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn )
A(x

Footer Page 24 of 128.


Header Page 25 of 128.

19

là một đẳng cấu.
Với mỗi m ∈ N ta ký hiệu Sm là nhóm các hoán vị của m phần tử.
Nếu σ ∈ Sm thì (−1)σ được ký hiệu là dấu của hoán vị σ.
Định nghĩa 2.1.5. Với mỗi m ∈ N và A ∈ La (m E; F ). Ta nói A là
đối xứng nếu
˜ 1 , x2 , ..., xm )(y1 , y2 , ..., yn ) = A(x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn )
A(x
với mọi x1 , x2 , ..., xm ∈ E và σ ∈ Sm .
Ký hiệu Lsa (m E; F ) = {A ∈ La (m E; F )} với A là đối xứng. Không
gian vector này chính là không gian con của không gian La (m E; F ).
Tương tự như trên ta ký hiệu Lsa (n E; F ) là không gian vector con của
La (m E; F ) gồm tất cả các phần tử A ∈ La (m E; F ) là thay phiên hoặc

đối xứng, tức là
A(xσ(1) , xσ(2) , ..., xσ(m) ) = (−1)σ A(x1 , x2 , ..., xm );
với mọi x1 , x2 , ..., xm ∈ E và σ ∈ Sm . Ta định nghĩa
Ls (m E; F ) = Lsa (m E; F ) ∩ L(m E; F )
và
La (m E; F ) = Laa (m E; F ) ∩ L(m E; F ).
Khi F = K thì ta viết
Lsa (m E; ) = Lsa (m E); Laa (m E; ) = Laa (m E).

Footer Page 25 of 128.