Hình học vào 10 hà nội qua các năm 1988

Hình học vào 10 Hà Nội qua các năm 1988-2017
Bài 1:1988 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn và P là trung điểm của cung AB
không chứa C và D. Hai dây PC và PD lần lượt cắt AB tại E và F. Các dây AD và PC kéo dài
cắt nhau tại I: các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:
a/ Góc CID bằng góc CKD.
b/ Tứ giác CDFE nội tiếp được.
c/ IK // AB.
d/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A
Bài 2: 1989 Cho hình vuông ABCD và một điểm E bất kỳ trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc
với AE cắt cạnh CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyến AI của tam giác AEF và kéo dài cắt cạnh
CD tại K.Đường thẳng qua E và song song với AB cắt AI tại G.
a/ Chứng minh AE = AF.
b/Chứng minh tứ giác EGFK là hình thoi.
c/ Chứng minh tam giác AKF và CAF đồng dạng và AF2 = KF.CF
d/Giả sử E chuyển động trên cạnh BC, chứng minh rằng FK = BE + DK và chu vi tam
giác ECK không đổi.
Bài 3:1990 Cho đường tròn (O), một dây AB và một điểm C ở ngoài tròn nằm trên tia AB.
Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn , cắt dây AB tại
D.Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I.Các dây AB và QI cắt nhau tại K.
a/ Cm tứ giác PDKI nội tiếp được.
b/ Cm CI.CP = CK.CD
c/ Cm IC là tia phân giác của góc ở ngoài đỉnh I của tam giác AIB
d/ Giả sử A,B,C cố định. Cmr khi đường tròn (O)thay đổi nhưng vẫn đi qua B thì
đường thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định
Bài 4:1991 Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A,B. Người ta kẻ trên nửa mặt
phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB và trên tia Ax lấy một điểm I. Tia vuông
góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.
a/ Cm tứ giác CPKB nội tiếp được .
b/ Cm AI.BK= AC.CB
c/ Cm tam giác APB vuông
d/ Giả sửA,B,I cố định. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích hình thang

vuông ABKI lớn nhất.
Bài 5: 1992 Cho nửa đường tròn đường kính AB. K là điểm chính giữa của cung AB. Trên
cung KB lấy M (M ≠ K,B ). Trên tia AM lấy N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP//KM. Gọi Q là
giao điểm của các đường thẳng AP, BM.
a/ So sánh các tam giác AKN và BKM.
1


b/ Cm tam giỏc KMN vuụng cõn.
c/ T giỏc ANKP l hỡnh gỡ? Ti sao?
d/ Gi R,S ln lt l giao im th 2 ca QA v QB vi ng trũn ngoi tip tam
giỏc OMP, chng minh khi M di ng trờn cung KB thỡ trung im I ca RS luụn nm trờn
ng trũn c nh.

Bi 6: 1993 Cho 2 ng trũn (O 1 ) v ( O 2 ) tip xỳc ngoi nhau ti A v tip tuyn chung
Ax. Mt ng thng d tip xỳc vi (O 1 ) , ( O 2 ) ln lt ti cỏc im B,C v ct Ax ti
M.K cỏc ng kớnh B O 1 D, C O 2 E.
a/ Cmr M l trung im ca BC.
b/ Cmr tam giỏc O1MO2 vuụng.
c/ Cmr B,A,E thng hng; C,A,D thng hng.
d/ Gi I l trung im ca DE. Cmr ng trũn ngoi tip tam giỏc IO1O2 tip xỳc vi ng
thng BC.

Bi 7: 1994 Cho tam gíac ABC cân tại A, A < 900, một cung tròn BC nằm
trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB,AC tại B và C. Trên cung BC lấy một
điểm M rồi hạ đờng vuông góc MI,MH,MK xuống các cạnh tơng ứng BC
,CA, BA. Gọi P là giao điểm của MB,IK và Q là giao điểm của MC,IH.
a)
b)
c)

d)

Chứng minh rằng các tứ giác BIMK,CIMH nội tiếp đợc
Chứng minh tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK
Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp đợc. Suy ra PQ//BC
Gọi (O1) là đờng tròn đi qua M,P,K,(O2) là đờng tròn đi qua M,Q,H;
N là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2) và D là trung điểm của BC.
Chứng minh M,N,D thẳng hàng.
Bi 8: 1995 Cho na ng trũn ng kớnh AB v 2 im C,D thuc na dng trũn sao
cho cung AC < 900 v gúc COD = 900. Gi M l mt im trờn na ng trũn, sao cho C l
im chớnh gia cung AM. Cỏc dõy AM v BM ct OC, OD ln lt ti E, F.
a/ T giỏc OEMF l hỡnh gỡ? Ti sao?
b/ Chng minh D l im chớnh gia cung MB.
c/ ng thng d tip xỳc vi na ng trũn ti M v ct cỏc tia OC, OD ln lt ti I v K.
Chng minh rng t giỏc OBKM v OAIM ni tip c.

Bi 9 :1996 Cho tam giác ABC(AB>AC ; BAC >900). I,K thứ tự là các trung
điểm của AB,AC. Các đờng tròn đờng kính AB,AC cắt nhau tại điểm thứ
hai D; tia BA cắt đờng tròn (K) tại điểm thứ hai E, tia CA cắt đờng tròn
(I) tại điểm thứ hai F.
a) Chứng minh bai điểm B,C,D thẳng hàng
b) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.
c) Chứng minh ba đờng thẳng AD,BF,CE đồng quy
Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đờng tròn ngoại tiếp tam giác
AEF. Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH,DE

2


Bi 10 : 1997 Tt nghip Cho ng trũn (O;r) v dõy cung AB (AB<2r). Trờn tia

AB ly im C sao choAC>AB. T C k hai tip tuyn vi ng trũn ti P,K. Gi I l
trung im AB.
a)
b)
c)
d)

Chng minh t giỏc CPIK ni tip c trong ng trũn.
Chng minh 2 tam giỏc ACP v PCB l ng dng. T ú suy ra: CP2 = CB.CA
Gi H l trc tõm ca tam giỏc CPK. Hóy tớnh PH theo r.
Gi s PA// CK, chng minh rng tia i ca tia BK l tia phõn giỏc ca gúc CBP

Bi 11: 1997 Cho đờng tròn (O) bán kính R và một dây BC cố định. Gọi
A là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Lấy điểm M trên cung nhỏ
AC,kẻ tia Bx vuông góc với tia MA ở I và cắt tia CM tại D.
1) Chứng minh gúc AMD= gúc ABC và MA là tia phân giac của góc BMD.
2) Chứng minh A là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và góc
BDC có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
3) Tia DA cắt tia BC tại E và cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai F,
chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoai tiếp tam giác
BEF.
Chứng minh tích P=AE.AF không đổi khi M di động. Tính P theo bán
kính R và ABC =
Bi 12: 1998 Tt nghip Cho ng trũn (O;R ), mt dõy CD cú trung im l H. Trờn tia i
ca tia DC ly mt im S v qua S k cỏc tip tuyn SA, SB vi ng trũn. ng thng
AB ct cỏc ng thng SO; OH ln lt ti E v F.
a/ Chng minh t giỏc SEHF ni tip.
b/Chng minh OE.OS = R2
c/ OH.OF = OE.OS.
d/ Khi S di ng trờn tia i ca tia DC hóy chng minh ng thng AB luụn i qua

mt im c nh.
Bi 13: 1998 Cho ng trũn O bỏn kớnh R, mt dõy AB c nh (AB< 2R) v mt im M
tựy ý trờn cung ln AB (M khỏc A,B). Gi I l trung im ca dõy AB v (O) l ng trũn
qua M v tip xỳc vi AB ti A. ng thng MI ct (O), (O)ln lt ti cỏc giao im th
hai l N,P.
1/ Cm IA2 = IP.IM
2/ Cm t giỏc ANBP l hỡnh bỡnh hnh.
2/ Cm IB l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc MBP.
4/ Cm khi M di chuyn thỡ trng tõm G ca tam giỏc PAB chy trờn 1 cung trũn c
nh.
Bi 14: 1999 Tt nghip Cho tam giác ABC vuông tại A,đờng cao AH. Đờng tròn đờng kính AH cắt các cạnh AB,AC lần lợt tại E và F.
1) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật
2) Chứng minh: AE.AB = AF.AC
3) Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt cạnh BC tại I. Chứng
minh I là trung điểm của BC.
3


4) Chứng minh rng: nếu diện tích tam giac ABC gấp đôi diện
tích hình chữ nhật AEHF thì tam giác ABC vuông cân.
Bi 15: 2000 Cho đờng tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đờng
tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC và cát tuyến AMN với đờng
tròn( B,C,M,N thuộc đờng tròn; AMhai của đờng thẳng CE với đờng tròn (E là trung điểm của MN).
a)
b)
c)
d)

Chứng minh 4 điểm A,O,E,C cùng nằm trên một đờng tròn.

Chứng minh :góc AOC = gócBIC;
Chứng minh : BI//MN
Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tich tam giác AIN lớn
nhất.
Bi 16: 2001 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R, dây MN vuông
góc với dây AB tại I sao cho IA< IB. Trên đoạn MI lấy điểm E( E
khác M và I).Tia AE cắt đờng tròn tại điểm thứ hai K.
a)
b)
c)
d)

Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp.
C/m tam giác AME,AKM đồng dạng và AM2 =AE.AK
C/m: AE.AK+BI.BA=4R2
Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi tam giác MIO đạt
GTLN.
Bi 17: 2002 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB cố định và một đờng kính EF bất kì (E khác A,B). Tiếp tuyến tại B với đờng tròn
cắt các tia AE,AF lần lợt tại H,K . Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc
với EF cắt HK tại M.
a)
b)
c)
d)

Chứng minh tứ giác AEBF là hình chữ nhât
Chứng minh tứ giác EFKH nội tiếp đờng tròn
Chứng minh AM là trung tuyến của tam giác AHK
Gọi P,Q là trung điểm tơng ứng của HB,BK,xác định vị trí
của đờng kính EF để tứ giác EFQP có chu vi nhỏ nhất.

Bi 18: 2003 Cho ng trũn (O), mt ng kớnh AB c nh, mt im I nm
2
gió A v O sao cho AI = 3 AO. K dõy MN vuụng gúc vi AB ti I. Gi C l im
tựy ý thuc cung ln MN, sao cho C khụng trựng vi M,N v B. Ni AC ct MN
ti E.
a/ Chng minh t giỏc IECB ni tip c trong ng trũn.
b/ Chng minh VAME ng dng vi
ACM v AM2 = AE.AC
2
c/ Chng minh AE.AC AI.IB = AI
d/ Hóy xỏc nh v trớ ca im C sao cho khong cỏch t N n tõm ng
trũn ngoi tip tam giỏc CME l nh nht.
Bi 19: 2004 Cho đờng tròn (O;R) , đờng thẳng d không qua O cắt
đờng tròn tại hai điểm phân biệt A,B. Từ một điểm C trên d(C
nằm ngoài đờng tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN tới đờng
4


tròn(M,N thuộc O) . Gọi H là trung điểm của AB, đờng thẳng OH
cắt tia CN tại K.
1) C/m 4 điểm C,O,H,N thuộc một đờng tròn
2) C/m : KN.KC=KH.KO
3) Đoạn thẳng CO cắt (O) tại I, chứng minh I cách đều
CM,CN,MN.
4) Một đờng thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia
CM,CN lần lợt tại E và F.Xác định vị trí của điểm C trên d sao
cho diện tích tam giác CEF nhỏ nhất.
Bi 20: 2005 Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. Ly im M tựy ý gia A v B. ng trũn
ng kớnh BM ct ng thng BC ti im th hai l E. Cỏc ng thng CM, AE ln lt
ct ng trũn ti cỏc iờmt th 2 l H v K.

a/ Cm t giỏc AMEC l t giỏc ni tip.
b/ cm gúc ACM bng gúc KHM.
c/ cm cỏc ng thng BH, EM v AC ng quy.
d/Gi s ACBi 21: 2006 Cho (O) đờng kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây
MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là
giao điểm của AK và MN.
a) CMR: BCHK là tứ giác nội tiếp.
b) Tính AH . AK theo R.
c) Xác định vị trí của điểm K để (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn nhất và
tính giá trị lớn nhất đó.
Bi 22: 2007

Cho đờng tròn (O; R) tiếp xúc với đờng thẳng d tại A. Trên d

lấy điểm H không trùng với điểm A và AH < R. Qua H kẻ đờng thẳng
vuông góc với d, đờng thẳng này cắt đờng tròn tại hai điểm E và B ( E
nằm giữa B và H ).



1/ Chứng minh ABE EAH và ABH : EAH.
2/ Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn thẳng AC, đờng
thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp.
3/ Xác định vị trí điểm H để AB = R 3 .
Bi 23: 2008 Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB = 2R và E là điểm bất
kì trên đờng tròn đó ( E khác A và B ). Đờng phân giác góc AEB cắt
đoạn thẳng AB tại F và cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là K.
1/ Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA.
5

2/ Gọi I là giao điểm của đờng trung trực đoạn EF với OE, chứng minh đờng tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đờng tròn (O) tại E và tiếp xúc với đờng thẳng AB tại F.
3/ Chứng minh MN // AB, trong đó M và N lần lợt là giao điểm thứ hai của
AE, BE với đờng tròn (I).
4/ Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển
động trên đờng tròn (O), với P là giao điểm của NF và AK; Q là giao
điểm của MF và BK.
Bi 24: 2009 Cho đờng tròn (O; R) và A là một điểm nằm bên ngoài đờng
tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn ( B, C là các tiếp điểm ).
1/ Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.
2/ Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và
OE.OA=R2.
3/ Trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O; R) lấy điểm K bất kì ( K khác B và
C ). Tiếp tuyến tại K của đờng tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự tại các
điểm P và Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K
chuyển động trên cung nhỏ BC.
4/ Đờng thẳng qua O, vuông góc với OA cắt các đờng thẳng AB, AC theo
thứ tự tại các điểm M, N. Chứng minh PM + QN MN.
Bi 25: 2010 Cho (O;R) đờng kính AB =2R và điểm C thuộc đờng tròn
đó( C khác A,B). D thuộc dây BC (D khác B,C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại
E,tia AC cắt BE tại F.
1) Chứng minh tứ giác FCDE nội tiếp
2) Chứngminh DA.DE = DB.DC
3) Chứng minh CFD = OCB . Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác
FCDE , chứng minh IC là tiếp tuyến của (O).
4) Cho biết DF =R, chứng minh tanAFB = 2.
Bi 26: 2011 Cho ng trũn tõm O, ng kớnh AB = 2R. Gi d1 v d2 ln lt l hai tip
tuyn ca ng trũn (O) ti hai im A v B. Gi I l trung im ca OA v E l im thuc
ng trũn (O) (E khụng trựng vi A v B). ng thng d i qua im E v vuụng gúc vi

EI ct hai ng thng d1, d2 ln lt ti M, N.
1) Chng minh AMEI l t giỏc ni tip.
2) Chng minh gúc ENI = gúc EBI v gúc MIN = 900 .
3) Chng minh AM.BN = AI.BI.
4) Gi F l im chớnh gia ca cung AB khụng cha E ca ng trũn (O). Hóy tớnh
din tớch ca tam giỏc MIN theo R khi ba im E, I, F thng hng
Bi 27: 2012 Cho ng trũn (O;R)ng kớnh AB. Bỏn kớnh CO vuụng gúc vi AB, M l
im bt k trờn cung nh AC (M khỏc A v C ), BM ct AC ti H . Gi K l hỡnh chiu ca
H trờn AB.
1)Chng minh t giỏc CBKH l t giỏc ni tip.


2) Chng minh ACM = ACK .

6


3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là
tam giác vuông cân tại C.
4) Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn tại (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên
AP.MB
R
d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và MA
. Chứng
minh đường thẳng PB đi đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.
Bài 28: 2013 Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM,
AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt
đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB < AC, d không đi qua tâm O).
1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.
2) Chứng minh AN2 = AB.AC. Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm.

3) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T.
Chứng minh MT // AC.
4) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Chứng minh K thuộc
một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài 29: 2014 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN
của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B
cắt cắt các đường thẳng AM, An lần lượt tại các điểm Q, P.
1.
Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.
2.
Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
3.
Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt
PQ tại F. Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF.
4.
Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài,
xác định vị trí của đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ
nhất
Bài 30: 2015 Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB . Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO
( C khác A,O) Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là
một điểm bất kì trên cung KB ( M khác K,B) .Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM,BM
lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ 2 là N.
1) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh CA.CB= CH.CD
3) Chứng minh 3 điểm A,M,D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua
trung điểm của DH.
4) Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố
định.
Bài 31: 2016 Cho đường tròn tâm O và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB
với đường tròn, B là tiếp điểm và đường kính BC. Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I sao cho I

khác C và O. Đường thẳng CO cắt đường tròn tâm O tại 2 điểm D và E( D nằm giữa A và E).
Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng DE.
1) Chứng minh 4 điểm A,B,O,H cùng nằm trên 1 đường tròn
2) Chứng minh AB/AE = BD/BE.
3) Đường thẳng d đi qua điểm E và song song với AO, d cắt BC tại điểm K. Chứng minh
HK//DC

7


4) Tia CD cắt AO tại điểm P, tia EO cắt BP tại điểm F. Chứng minh tứ giác BECF là hình
chữ nhật.
Bài 32: 2017 Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm
chính giữa của cung nhỏ AB, BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại I. Dây MN cắt các cạnh AB,
BC lần lượt ở H và K.
1) Chứng minh 4 điểm C,N,K.I cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh NB2 = NK. NM
3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi
4) Gọi P,Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK và MCK . Và E là
trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của (O) . Chứng mình 3 điểm D,E,K thẳng
hàng.

8