D26 e+DA thi thu DH-CD 2009

Sở GD & ĐT Thanh Hóa
Trờng THPT Lê Văn Hu
đề thi thử vào đại học cao đẳng lần 26
Môn thi: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút)
Ngày thi: /2009
Họ và tên thí sinh: ....................................................................................
A. Phần chung cho tất cả các thí sinh (8,0 điểm)
CU I:
Cho hm s
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= + + + +
(1)
a. Kho sỏt hm s (1) khi m=1
b. Chng minh rng ,
m
hm s (1) luụn t cc tr ti
1
x
,
2
x
vi
1 2
x x

khụng ph thuc m
CU II:
a. Gii h phng trỡnh
2 2
2 2
2 3 9

2 13 15 0
x xy y
x xy y

+ =


+ =


b. Tam giỏc ABC cú 3 cnh l a , b, c v p l na chu vi.Chng minh rng:
1 1 1 1 1 1
2( )
p a p b p c a b c
+ + + +

CU III:
a. Gii phng trỡnh :
2 2
cos3 2 cos 3 2(1 sin 2 )x x x+ = +
b. Chng minh rng nu a,b,c l 3 cnh ca tam giỏc ABC v
( )
2
C
a b tg atgA btgB+ = +
thỡ tam giỏc ABC cõn
CU IV:
a. Cú th tỡm c bao nhiờu s gm 3 ch s khỏc nhau ụi mt?
b. T cỏc ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lp c bao nhiờu s chn cú 5 ch s ụi
mt khỏc nhau?

B. PHN T CHN (2 điểm) (Thớ sinh c chn mt trong 2 cõu sau)
CU Va:
a. Nu Elip
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
nhn cỏc ng thng 3x-2y-20=0 v x+6y-20 =0 lm
tip tuyn, hóy tớnh
2
a
v
2
b
b. Cho Elip
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
(E).Tỡm quan h gia a, b, k, m (E) tip xỳc vi ng
thng y=kx+m
CU Vb:
Trong khụng gian, cho on OO= h v 2 na ng thng Od, Od cựng vuụng
gúc vi OO v vuụng gúc vi nhau. im M chy trờn Od , im N chy trờn Od sao
cho ta luụn cú
2 2 2

'OM O N k+ =
, k cho trc.
a.Chng minh rng on MN cú di khụng i
b.Xỏc nh v trớ ca M trờn Od, N trờn Od sao cho t din OOMN cú th
tớch ln nht.
Giáo viên: Phạm Đình Huệ - THPT Lê Văn Hu
ĐÁP ÁN
• CÂU I:
a) Khảo sát (1) khi m= 1:
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1 (1)y x m x m m x= − + + + +
3 2
1: 2 9 12 1m y x x x= = − + +
• TXĐ: D= R
2
' 6 18 12
1 6
' 0
2 5
'' 12 18
3 11 3 11
'' 0 ,
2 2 2 2
y x x
x y
y
x y
y x
y x y
= − +

= ⇒ =

= ⇔

= ⇒ =

= −
 
= ⇔ = ⇒ = ⇒
 
 
ñieåm uoán I
• BBT:
• Đồ thị:
b) Chứng minh rằng
∀
m hàm số (1) luôn đạt cực trị tại x
1
, x
2
với x
1
- x
2
không phụ
thuộc vào m.
Ta có:
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
2

' 6 6(2 1) 6 ( 1)
2
' 0 (2 1) ( 1) 0 (*)
2
(2 1) 4 ( 1) 1 0
y x m x m m x
y x m x m m
y x m x m m
m m m
= − + + + +
= − + + +
= ⇔ − + + + =
∆ = + − + = >
Gi¸o viªn: Ph¹m §×nh HuÖ - THPT Lª V¨n Hu

(*) luụn cú 2 nghim phõn bit
1 2
,x x
.

Hm s luụn t cc tr ti
1 2
,x x
.
Ta cú:
2 1 1 2
1
2 1 1 2 2
2
2 2 2 2

2 1
x m m
x m m
x x m m
= + =
= + + = +
= + = (haống soỏ)
Vy:
2 1
x x
khụng ph thuc m.
CU II:
a) Gii:
2 2
2 2
2 3 9 (1)
2 13 15 0 (2)
x xy y
x xy y

+ =


+ =


Cỏch 1:
Vỡ x = 0 khụng l nghim ca h nờn t y= kx.
Khi ú h tr thnh:
2 2

(1 2 3 ) 9 (3)
2 2
(2 13 15 ) 0 (4)
x k k
x k k

+ =



+ =

Ta cú: (4)
2
15 13 2 0k k + =
(vỡ x = 0 khụng l nghim)
1
5
2
3
k
k

=




=

theỏ vaứo (3) ta ủửụùc :
5 2 2
2 2
25
2
5 2 2
2
2 2
2
9
3 2
3 2
x y
x
x y
x
x y
x y

= =



=



= =

=

= =


= =

Vy h cú 4 nghim
5 2 2 5 2 2
, , , ,(3, 2),( 3, 2)
2 2 2 2





.
Cỏch 2: Vỡ
0x
nờn chia 2 v ca (2) cho
2
x
ta c:
2
(2) 2 13 15 0
1 1
5 5

2 2
3 3
y y
x x
y
y x
x
y
y x
x

+ =



= =




= =


Th y vo (1) ta c ỏp s trờn.
b) Chng minh:
1 1 1 1 1 1
2( )
p a p b p c a b c
+ + + +

Nhn xột: Nu M, N > 0 thỡ:
Giáo viên: Phạm Đình Huệ - THPT Lê Văn Hu
2M N MN+ ≥
1 1 1
2
M N MN
+ ≥
1 1
( ) 4
1 1 4
M N
M N
M N M N
 
⇒ + + ≥
 
 
⇒ + ≥
+
Do đó:
1 1 4 4
2
1 1 4 4
2
1 1 4 4
2
p a p b p a b c
p b p c p b c a
p c p a p a c b
+ ≥ =

− − − −
+ ≥ =
− − − −
+ ≥ =
− − − −
Cộng vế với vế ta được điều phải chứng minh.
• CÂU III:
a) Giải:
2 2
cos3 2 cos 3 2(1 sin 2 )x x x+ − = +
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki, ta có:
VT =
( )
2 2 2
1.cos3 1. 2 cos 3 1 1. cos 3 2 cos 3 2x x x x+ − ≤ + + − =
Mặt khác: VP
2≥
Do vậy:
Phương trình
( )
2
cos3 2 cos 3 2
2
2 1 sin 2 2
2
2 cos 3 2 cos3
sin 2 0
cos3 1
sin 2 0
2

3
2
2 ( )
x x
x
x x
x
x
x
x k
x k
x k k
π
π
π

+ − =

⇔

+ =




− = −
⇔

=



=

⇔

=


=


⇔


=


⇔ = ∈ ¢
Gi¸o viªn: Ph¹m §×nh HuÖ - THPT Lª V¨n Hu
b) Ta có:
( )
2
( )cot
2
( )
2
2 2
sin sin
2 2
cos cos cos .cos

2 2
sin .sin sin .sin
2 2
cos cos
sin (sin cos sin cos )
2
C
a b tg atgA btgB
C
a b g atgA btgB
A B
a b tg atgA btgB
A B A B
a tg tgA b tgB tg
A B B A
a b
A B A B
A B
A B A B
A B
A B
A B
A B B A
+ = +
⇒ + = +
+
⇒ + = +
+ +
   
⇒ − = −

 ÷  ÷
   
− −
⇒ =
+ +
− −
⇒ =
−
⇒ − = 0
sin sin( ) 0
2
sin 0
2
sin( ) 0
A B
A B
A B
A B ABC cân
A B
−
⇒ − =
−

=

⇒ ⇒ = ⇒ ∆

− =

• CÂU IV:

a) Gọi số cần tìm có dạng
1 2 3
a a a
Số cách chọn
1
a
: 9 (vì
0
1
a ≠
)
Số cách chọn
2
, :
2 3 9
a a A
Vậy các số cần tìm là:
2
9. 648
9
A =
(số).
b) Từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác
nhau.
Gọi số cần tìm có dạng
1 2 3 4 5
a a a a a
Gi¸o viªn: Ph¹m §×nh HuÖ - THPT Lª V¨n Hu