SKKN giải pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy mạch điện mắc phối hợp các phần tử r, l, c

CỘNG HÒA XÃ HỌI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh Phúc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên sáng kiến

GIẢI PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY
MẠCH ĐIỆN MẮC PHỐI HỢP CÁC PHÂN TỬ R, L, C

Tác giả: Th.S Trần Văn Kiên
Th.S Nguyễn Thị Phương Dung
Đơn Vị : Tổ Vật Lí
Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

Ninh bình, tháng 05 năm 2018


MỤC LỤC
Trang
PHẦN I: LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.........................................................................................2
PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI............................................................................................3
II.1. Trang bị kiến thức toán............................................................................................3
II.1.1. Phương trình vi phân cấp I....................................................................................3
II.1.2. Phương trình vi phân cấp II tuyến tính có hệ số không đổi thuần nhất.................4
II.2. Đặc tính của các linh kiện R, L, C...........................................................................5
II.2.1. Đặc tính của điện trở thuần R...............................................................................5
II.2.2. Đặc tính của cuộn cảm thuần L............................................................................5
II.2. Đặc tính của tụ điện C.............................................................................................6
II.3. Lý thuyết về các mạch điện cơ bản..........................................................................7
II.3.1. Lý thuyết về mạch điện LC..................................................................................7
II.3.1.a. Mạch dao động LC lí tưởng...........................................................................7

II.3.1.b. Cách nạp điện cho mạch dao động.................................................................7
II.3.1.c. Khảo sát định tính..........................................................................................7
II.3.1.d. Khảo sát định lượng.......................................................................................8
II.3.2. Lý thuyết về mạch điện RC...............................................................................8
II.3.2.a. Quá trình nạp điện cho tụ điện.......................................................................8
II.3.2.b. Sự phóng điện của tụ điện............................................................................10
II.3.3. Lý thuyết về mạch điện RL.............................................................................10
II.3.3.a. Quá trình đóng mạch....................................................................................10
II.3.3.b. Quá trình ngắt mạch.....................................................................................12
II.3.4. Lý thuyết về mạch điện RLC...........................................................................12
II.3.4.a. Mạch dao động tắt dần.................................................................................12
II.3.4.b. Phương trình dao động tắt dần.....................................................................12
II.4. Xây dựng và phát triển một số bài toán gốc.........................................................14
II.5. Các bài tập vận dụng..............................................................................................24
PHẦN III: KẾT LUẬN......................................................................................................25
I. KẾT QUẢ THỰC HIỆN.............................................................................................25
II. BÀI HỌC KINH NGHIỆM.......................................................................................25


CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: Hội đồng sáng kiến trường THPT chuyên Lương Văn Tụy.
Tôi ghi tên dưới đây:
Số
TT

Họ và tên

Ngày
tháng
năm sinh

Nơi công tác

Chức
danh

Trình độ
chuyên
môn

Tỷ lệ (%)
đóng góp
vào việc
tạo ra sáng

01

Trần Văn Kiên

10/3/1974

THPT chuyên
Lương Văn Tụy

Phó HT

Thạc sĩ

50 %

01

Nguyễn Thị
Phương Dung

10/1/1983 THPT chuyên
Lương Văn Tụy

Tổ phó

Thạc sĩ

50 %

- Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Giải pháp nâng cao hiệu quả
giảng dạy mạch điện mắc phối hợp các phần tử R, L, C.
- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục
- Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 12/9/2011.
- Mô tả bản chất của sáng kiến:
+ Về nội dung của sáng kiến:
PHẦN I: LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Vật lý là bộ môn khoa học tự nhiên nghiên cứu về các hiện tượng xảy ra có tính qui
luật trong tự nhiên. Những thành tựu của Vật lý được ứng dụng vào thực tiễn cuộc sống
và ngược lại chính thực tiễn cuộc sống đã thúc đẩy khoa học Vật lý phát triển. Vì vậy,
học Vật lý không chỉ đơn thuần là học lý thuyết Vật lý mà phải biết vận dụng kiến thức
ấy vào thực tiễn cuộc sống. Do đó trong quá trình giảng dạy môn Vật lí, người giáo viên
phải rèn luyện cho học sinh có được những kĩ năng, kĩ xảo và thường xuyên vận dụng

những hiểu biết đã học để giải quyết những vấn đề thực tiễn đặt ra.
Bộ môn Vật lý được đưa vào giảng dạy trong nhà trường phổ thông nhằm cung cấp
cho học sinh những kiến thức phổ thông, cơ bản, giúp học sinh có khả năng phân tích
tổng hợp và có phương pháp làm việc khoa học. Chính vì thế, để học sinh có thể hiểu


được một cách sâu sắc và đầy đủ những kiến thức, đồng thời áp dụng được các kiến thức
đó vào thực tiễn cuộc sống thì cần phải rèn luyện cho học sinh những phương pháp, kĩ
năng, kĩ xảo trong việc giải bài tập, đo lường, quan sát …
Phần mạch điện mắc phối hợp các phần tử R, L, C thường xuyên xuất hiện trong các
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia và Quốc tế. Tôi nhận thấy học sinh
thường rất lúng túng và gặp nhiều khó khăn khi giải quyết các bài tập về dạng toán này.
Trong thời gian giảng dạy phần mạch điện, bản thân tôi đã rút ra được một số giải pháp
để nâng cao hiệu quả giảng dạy nội dung này. Đó là lí do tôi lựa chọn đề tài “ Giải pháp
nâng cao hiệu quả giảng dạy mạch điện mắc phối hợp các phần tử R, L, C” để chia
sẽ cùng các thày cô đồng nghiệp.
PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
Để giảng dạy phần mạch điện mắc phối hợp các phần tử R, L, C có hiệu quả, theo
bản thân tôi cần thực hiện các giải pháp sau:
- Trang bị kiến thức toán.
- Trang bị kỹ những đặc tính của từng linh kiện R, L, C.
- Trang bị kỹ lý thuyết cho từng loại mạch điện (mạch LC, RC, RL, RLC).
- Xây dựng và phát triển bài toán gốc.
- Xác định điều kiện biên của mạch điện.
- Đánh giá sai số để làm đơn giản hóa bài toán.
- Xây dựng các bài toán để học sinh luyện tập, vận dụng.
- Kiểm tra đánh giá.
Sau đây tôi xin trình bày từng nội dung cụ thể:
II.1. Trang bị kiến thức toán.
II.1.1. Phương trình vi phân cấp I.

Phương trình vi phân cấp I là phương trình có dạng: x ' ax  b

 I .1 .


Trong đó x là biến số theo thời gian.
Phương
y  x

trình

này

được

viết

lại

như

dx
� b�
  a �x  �
,
dt
� a�

sau:

đặt

b
dy dx
�
 , ta có:
a
dt dt
dy
dy
 ay �
  adt  I .2 
dt
y

Lấy tích phân hai vế phương trình (I.2):
ln

Thay y  x 

y
 at  C � y  y0 e  at C  Ae  at
y0

 I .3 .

b
b
vào phương trình trên, ta được: x  Ae  at 
a

a

 I .4  .

Ở đây A là hằng số được xác định từ điều kiện ban đầu của bài toán.
II.1.2. Phương trình vi phân cấp II tuyến tính có hệ số không đổi thuần
nhất.
Phương trình này có dạng: x " a1 x ' a2 x  0

 II .1 .

* Nghiệm riêng của phương trình (II.1) có dạng x  e t ,  là một số thực cần
được xác định.
Ta có: x '   e t , x"   2 e t , thay x, x’ và x” vào phương trình (II.1):



2

 a1  a2  e t  0 �  2  a1  a2  0

 * .

Phương trình (*) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (II.1).
Giải (*) ta được hai nghiệm 1 ,  2 .
Ta có các trường hợp:
a. 1 ,  2 là hai số thực khác nhau (Phương trình có hai nghiệm phân biệt):
t
 t
Nghiệm của (II.1) là: x  C1e  C2e , trong đó C1, C2 là các số thực tùy ý.

1

2


b. 1 ,  2 là hai số thực bằng nhau (Phương trình có nghiệm kép): Nghiệm của
t
(II.1) có dạng: x  e  C1  C2t  , trong đó C1, C2 là các số thực tùy ý.
1

c. 1 ,  2 là hai số phức liên hợp: 1    i  ,  2    i . Khi đó nghiệm của
t
t
phương trình (II.1) là: x  e  C1 cos  t  C2 sin  t   I 0e .sin   t    , C1, C2 là các số thực

tùy ý.
* Chú ý:
- Phương trình x "  2 x  0 là trường hợp riêng của phương trình (II.1), với
a1  0, a2   2  0 . Phương trình này có nghiệm dạng: x  A cos  t    .

- Phương trình vi phân cấp hai không thuần nhất: x " a1 x ' a2 x  a3

 II .2  .

Để tìm nghiệm của phương trình (II.2), trước hết ta tìm nghiệm của phương
trình thuần nhất:
x " a1 x ' a2 x  0 (đã trình bày ở trên).

Giả sử nghiệm của phương trình trên là: x = f(x), khi đó nghiệm của (II.2) là:
X  x

a3
a
 f  x  3 .
a2
a2

Thật vậy: X’ = x’, X” = x”. Thay X, X’, X” vào phương trình (II.2):
� a
x " a1 x ' a2 �x  3
� a2

�
x " a1 x ' a2 x  a3  a3 (đpcm).
� a3 � 1
44 2 4 43
�
0

II.2. Đặc tính của các linh kiện R, L, C.
II.2.1. Đặc tính của điện trở thuần R.
- Điện trở thuần ngăn cản đồng thời cả dòng điện một chiều và xoay chiều khi
đi qua nó. Điện áp hai đầu điện trở và cường độ dòng điện chạy qua điện trở luôn luôn
cùng pha.
- Định luật Ôm viết cho điện trở thuần R: i 

uR
.
R

II.2.2. Đặc tính của cuộn cảm thuần L.
- Cuộn dây thuần cảm cho dòng điện không đổi đi qua và không cản trở, cho
dòng điện xoay chiều đi qua nhưng có cản trở. Cảm kháng: Z L   L  2 fL. Dòng điện
có tần số càng nhỏ đi qua cuộn cảm càng dễ, tần số càng lớn đi qua cuộn cảm càng bị
cản trở nhiều.
- Khi có dòng điện xoay chiều chạy qua cuộn dây, trong cuộn dây xuất hiện một
suất điện động cảm ứng làm cho nó đóng vai trò như một máy điện (nguồn điện hoặc
máy thu).
- Khi i tăng điện năng được tích lại trong cuộn dây dưới dạng năng lượng của từ
trường. Cuộn dây đóng vai trò của nguồn thu, suất điện động tự cảm đóng vai trò như
suất phản điện sinh ra một dòng điện tự cảm ngược chiều để chống lại sự tăng của i.
- Khi i giảm, năng lượng của từ trường giảm chuyển thành năng lượng của
dòng điện. Cuộn dây đóng vai trò như một nguồn phát, suất điện động tự cảm đóng vai
trò suất điện động của nguồn điện làm phát sinh dòng điện cùng chiều với i đang giảm
làm i giảm chậm lại.
Do có thể áp dụng được công thức u = ri – e cho cuộn dây.
uL = ri – ec (với i > 0); ec = - L

di
di
; uL = ri + L .
dt
dt

Nếu cuộn dây có điện trở không đáng kể (cuộn thuần cảm) thì ta có: u L = L

di
.
dt

Trong đó uL là hiệu điện thế hai đầu cuộn cảm tính theo chiều dòng điện đi qua
cuộn cảm tại thời điểm đang xét.
- Điện áp xoay chiều tức thời hai đầu cuộn cảm thuần nhanh pha hơn cường độ
dòng điện tức thời

U

. Do đó định luật Ôm chỉ viết được cho giá trị hiệu dụng: I  L .
ZL
2


II.2. Đặc tính của tụ điện C.
- Tụ điện ngăn cản hoàn toàn không cho dòng điện không đổi đi qua, cho dòng
điện xoay chiều đi qua nhưng có cản trở. Dung kháng: Z C 

1
1

. Dòng điện có
C 2 fC

tần số càng lớn càng dễ dàng đi qua tụ điện, dòng điện có tần số càng nhỏ càng khó đi
qua tụ điện.
- Điện dung của tụ phụ thuộc vào hình dạng, kích thước và điện môi của tụ, tuy
nhiên ta có thể tính điện dung của tụ thông qua điện tích và hiệu điện thế của tụ: C =
qA
qB
q

=
= .
u AB
u BA uc

Trong đó q là điện tích của một bản tụ điện và u c luôn cùng dấu với q (là hiệu
điện thế của bản đó đối với bản còn lại).
- Khi dòng điện có cường độ i chạy qua tụ thì i 
tụ mà dòng điện đang chạy vào nó) hoặc i  

dq
(nếu q là điện tích của bản
dt

dq
(nếu q là điện tích của bản tụ mà dòng
dt

điện đang chạy từ nó đi ra).
- Điện áp xoay chiều tức thời hai đầu tụ điện chậm pha hơn cường độ dòng điện
tức thời

UC

.
. Do đó định luật Ôm chỉ viết được cho giá trị hiệu dụng: I 
ZC
2

II.3. Lý thuyết về các mạch điện cơ bản.

II.3.1. Lý thuyết về mạch điện LC.
II.3.1.a. Mạch dao động LC lí tưởng.
Một tụ điện mắc vào hai đầu của một cuộn thuần cảm L (r = 0)

L

làm thành một mạch dao động lí tưởng.

C

1
2

E, r


II.3.1.b. Cách nạp điện cho mạch dao động.
Ban đầu đóng khóa K vào vị trí 2, sau khi tụ điện tích điện đến giá trị Q 0 nào
đó, ta đóng khóa K sang vị trí 1. Khi đó trong mạch LC bắt đầu xảy ra dao động điện từ.
II.3.1.c. Khảo sát định tính.
Giả sử t = 0, tụ điện được tích điện Q 0 và khoá K chuyển từ 2 sang 1. Tụ lập tức
phóng điện vào cuộn cảm và dòng điện i qua cuộn cảm tăng lên. Trong cuộn dây xuất
hiện suất điện động tự cảm có tác dụng chống lại sự tăng của i làm i không tăng đột ngột
đến giá trị cực đại. Cuộn dây đóng vai trò như một nguồn thu. Khi điện tích của tụ điện
giảm xuống bằng không thì dòng điện qua cuộn cảm đạt đến giá trị cực đại. Sau đó dòng
điện qua cuộn cảm bắt đầu giảm. Suất điện động tự cảm của cuộn dây sinh ra dòng điện
tự cảm cùng chiều với i đang giảm để chống lại sự giảm đột ngột của dòng điện. Cuộn
dây đóng vai trò nguồn phát nạp điện cho tụ điện nhưng ngược với trước. Khi dòng điện
giảm đến 0 thì tụ điện nạp điện cực đại Q 0 như lúc đầu. Quá trình nạp và xã điện của tụ
sau đó được lặp đi lặp lại quá trình trên. Như vậy trong mạch dao động LC xuất hiện

một dòng điện xoay chiều cao tần. Điện tích q của bản cực của tụ cũng như dòng điện
qua cuộn cảm biến thiên một cách điều hoà theo thời gian.
II.3.1.d. Khảo sát định lượng.
Xét mạch tại một thời điểm t bất kỳ, giả sử dòng điện

B

i

chạy qua cuộn dây có giá trị i và chiều chạy từ B đến A như hình
vẽ.
* TH1: Chọn q = q A là điện tích của bản tụ mà dòng điện đi vào nó.
Ta có: uBA  u AB  0 � uL + uC = 0.
q
dq
� di � di
ir-e tc  ir  �
L �
’
”
C
i = dt = q ; uC = ; uL =
� dt �= L dt = Lq .
q
1
”
”
C
Suy ra: + Lq = 0  q + LC q = 0.

q” +  2q = 0;  =

1
LC

.

L
A
C

i


Nghiệm của phương trình có dạng: q  Q0 cos  t    .
* TH2: Chọn q = qB là điện tích của bản tụ mà dòng điện đi ra khỏi nó.
Ta có: uBA  uBA  0 � u L  uC  0.
q
dq
� di � di
ir-e tc  ir  �
L �

’
”
C
i = dt = -q ; uC = ; uL =
� dt �= L dt = -Lq .
q
1

”
”
Suy ra: C + Lq = 0  q + LC q = 0.

q” +  2q = 0;  =

1
LC

.

Nghiệm của phương trình có dạng: q  Q0 cos  t    .
Kết luận: Từ các trường hợp trên, ta thấy khi mạch hoạt động, điện tích trên
một bản của tụ điện biến thiên điều hòa. Do đó, hiệu điện thế của tụ (và cuộn cảm) và
cường độ dòng điện trong mạch cũng biến thiên điều hòa (cùng tần số với điện tích).
II.3.2. Lý thuyết về mạch điện RC.
II.3.2.a. Quá trình nạp điện cho tụ điện.
Mắc tụ điện có điện dung C vào mạch

a
● K
b●

điện có sơ đồ như hình vẽ; nguồn điện có suất
điện động E và điện trở trong không đáng kể. Ban
đầu tụ điện chưa được tích điện. Để tích điện cho

R

E

C

tụ ta gạt khóa K vào điểm a để nối acqui vào
mạch điện gồm tụ điện C và điện trở R. Ta xét sự
thay đổi của dòng điện i chạy trong mạch theo thời gian t trong khi tích điện cho tụ.
Xét mạch điện tại thời điểm t, khi dòng điện chạy trong mạch có giá trị i, điện
tích và hiệu điện thế trên tụ lần lượt là q và u. Áp dụng định luật Ôm cho toàn mạch:
E  iR  u  0 � R

dq q
1
E
  E � q '
q
dt C
RC
R

 1.1 .


- Phương trình (1.1) được viết lại:

dq
1 �q
q
dq
dx
�

  �  E�
, đặt x   E �
C ,
dt
R �C
C
dt
dt
�

ta được:
C

dx
x
dx
dt
 �

 1.2  .
dt
R
x
RC

t

t
RC
� x  x0 e

Lấy tích phân hai vế phương trình (1.2): ln x  ln x0 
RC

Thay x 

 1.3 .

q
 E vào phương trình trên, ta được:
C
q  Cx0 e



t
RC

 CE  ae



t
RC

 CE

 1.4  .

Để tìm a trong (1.4), ta sử dụng điều kiện ban đầu: t = 0 thì q = 0 � a  C.E .
�

1 e
Vậy: q  C.E �
�



t
RC

�
�
�

 1.5 .

E  RCt
Cường độ dòng điện trong mạch: i  q '  .e
R

Hiệu điện thế trên tụ điện: uC 

�  RCt �
q
 E�
1 e �
C
�
�

Hiệu điện thế hai đầu điện trở R: u R  i.R  E.e



t
RC

 1.6  .
 1.7  .
 1.8 .

Nhận xét:
 Tại một thời điểm t bất kì: u R  uC  E .
 Đại lượng:   RC được gọi là hằng số thời gian; đó là thời gian mà
1
điện tích của tụ điện tăng lên một thừa số  1  e  hay gần bằng 63% của giá

trị cực đại của nó (khi được tích điện hoàn toàn, còn gọi là giá trị cân bằng
của điện tích tụ điện). Như vậy nếu R rất nhỏ thì  cũng rất nhỏ. Tức là nếu
nối tụ điện vào nguồn điện (không có điện trở trong) thì tụ điện gần như ngay
lập tức được nạp điện đến giá trị cực đại.


 Tại t = 0 � q  0; uC  0 � uR  E ; iR 
; uC �
 u R ; iR
 Khi t tăng q ���

E
.

R

; và iR  0 khi tụ điện được nạp điện

hoàn toàn, nghĩa là khi hiệu điện thế của tụ bằng suất điện động của nguồn.
Khi đó không có dòng điện trong mạch nữa.
II.3.2.b. Sự phóng điện của tụ điện.
Giả sử khi tụ điện đã được tích đầy điện đến hiệu điện thế bằng E. Ở thời điểm t
= 0, ta lại gạt khóa K từ a sang b để cho tụ điện có thể phóng điện qua điện trở R và xét
sự biến thiên của dòng điện i theo thời gian.
Ta có uC 

q
dq
1
; uR  i.R; uC  u R ; i  
� q '
q 0
C
dt
RC

Phương trình (2.1) ta có thể viết lại:
Lấy

tích

phân

t


t
RC
ln q  
 ln d � q  d .e
RC

hai

 2.1 .

dq
1
dq
1

q�

dt
dt
RC
q
RC

vế

phương

 2.2  .

trình

(2.2):

 2.3 .

Trong đó d là một hằng số được xác định từ điều kiện ban đầu:
t  0; q  q0  C.E � d  CE.

Vậy: q  CE.e



t
RC

 2.4  .

E  RCt
Cường độ dòng điện qua điện trở R: i  q '  .e
R

 2.5  .

Nhận xét:
 Sau thời gian t    RC , điện tích của tụ điện giảm xuống còn
C.E.e1 , nghĩa là cỡ gần 37% điện tích ban đầu của nó.

 Sau thời gian t  RC ln 2  0, 69 thì điện tích của tụ điện chỉ còn lại
một nửa giá trị ban đầu của nó.

II.3.3. Lý thuyết về mạch điện RL.
II.3.3.a. Quá trình đóng mạch.
Mắc cuộn cảm thuần có độ tự cảm L vào

a
● K
b●

mạch điện có sơ đồ như hình vẽ; nguồn điện có
suất điện động E và điện trở trong không đáng kể.
Ban đầu đóng khóa K vào điểm a để nối nguồn

R

E

L

vào mạch điện gồm cuộn cảm thuần L và điện trở
R. Ta xét sự thay đổi của dòng điện i chạy trong mạch theo thời gian t.
Xét mạch điện tại thời điểm t, khi dòng điện chạy trong mạch có giá trị i. Áp
dụng định luật Ôm cho toàn mạch:
 E  iR  u L  0

Mặt khác: u L  i.r  etc  L

di
dt

Từ (1.1) và (1.2), suy ra:

di
R� E�
 �
i  � * .
dt
L� R�

Đặt: x  i 
Lấy

tích

E
R

 1.2  .

E
dx di
dx
R
dx
R
�
 , thay vào (*):
 x�
  .dt

R
dt dt
dt
L
x
L

� E
t
�i  R
dx
R
 �
dt � ln �
�
E
L0
E x
�

R
� R

i

 1.1 .

phân

�

� R
�  .t
� L
�

hai

vế

phương

 *** .

E
R
R
 .t �
R  e  L .t � i  E �
L
�
1

e
Phương trình (***)
�
�  1.3 .
E
R
�
�


R
i

Nhận xét:

 ** .
trình

(**):


- Từ phương trình

i

(1.3), ta thấy dòng

điện chạy trong mạch thay đổi

E
R

theo thời gian. Khi

thời gian t đủ lớn để

R
.t tiến ra
L

tiến đến 0. Khi đó dòng điện

R

vô cùng thì e L .t

0

t

mạch

I max  I 0 

đến trạng thái ổn định:
- Sau thời gian  

trong

đạt

E
.
R

L
E
1
thì dòng điện đạt đến giá trị I   1  e  , bằng khoảng

R
R

63% dòng điện cực đại trong mạch. Đại lượng  được gọi là hằng số thời gian của
mạch.
II.3.3.b. Quá trình ngắt mạch.
Giả sử sau một thời gian dài, dòng điện trong mạch đã ổn định đến giá trị I 0. Ở
thời điểm t = 0, ta lại gạt khóa K từ a sang b và xét sự biến thiên của dòng điện i theo
thời gian.
Xét mạch tại thời điểm t, dòng điện trong mạch là i. Ta có:
u R  uL  0 � i.R  L

Lấy
i

tích

t

phân

R
 .t
di
R
E  RL .t
L
dt � i  I 0 e
 e
�i   L �

R
I0
0

di
di
R
di
R
 0 �   i �   .dt  2.1 .
dt
dt
L
i
L

hai

vế

phương

trình

(2.1):

 2.2  .

Nhận xét:
- Cường độ dòng điện trong mạch giảm theo thời gian. Sau thời gian đủ

lớn để

R
.t tiến ra vô cùng thì dòng điện trong
L

mạch bằng 0.

i

E
R
0

t


- Sau thời gian t   

L
1
, dòng điện trong mạch còn I  I 0 e , bằng cỡ
R

gần 37% dòng điện cực đại ban đầu của nó.
II.3.4. Lý thuyết về mạch điện RLC.
II.3.4.a. Mạch dao động tắt dần.
Mạch dao động điện từ tắt dần có dạng:
Khi nạp điện cho tụ điện C, sau đó cho tụ điện này phóng
điện qua điện trở R và cuộn dây L. Ở đây có sự chuyển hóa giữa năng lượng điện trường

của tụ điện C và năng lượng từ trường của cuộn dây. Nhưng khác với mạch dao động lí
tưởng, bây giờ năng lượng của mạch bị giảm dần do sự tỏa nhiệt trên điện trở R. Chính
vì vậy mà sự biến thiên theo thời gian của cường độ dòng điện xoay chiều trong mạch,
cũng như điện tích của tụ, hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện … không tuân theo quy luật
hình sin (cosin) nữa, mà biên độ của chúng giảm dần theo thời gian, và khi đó dao động
điện từ trong mạch là dao động điện từ tắt dần.
II.3.4.b. Phương trình dao động tắt dần.
Trong quá trình dao động của mạch, một phần năng lượng điện từ được chuyển
hóa thành nhiệt năng. Giả sử trong khoảng thời gian dt, năng lượng điện từ giảm đi một
lượng – dW và nhiệt lượng tỏa ra trên điện trở R là RI 2dt. Theo định luật bảo toàn năng
lượng ta có:
dW  Ri 2 dt

 1

q 2 Li 2

Mặt khác: W  Wd  Wt 
, nên phương trình (1) được viết thành:
2C
2
�q 2 Li 2
d � 
2
�2C

Vì i 

� 2
d �q 2 Li 2 �

q dq
di
2
2

RI
dt
hay
�
� 
�  Ri � .  Li   Ri .
dt �2C
2 �
C dt
dt
�

dq
q
di
q
di
2
nên có thể viết: i  Li   Ri hay  L   Ri.
dt
C
dt
C
dt

Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian ta được:


L

d 2i
di i
d 2i
di

R


0
hay
 2   02i  0 � i " 2  i ' 02  0
2
2
dt
dt C
dt
dt

Trong đó ta đặt

 2 .

R
1
 2 , 02 

, với 02 là tần số góc riêng của mạch dao động
L
LC

lí tưởng.
* Giải phương trình (2):
2
2
+ Phương trình đặc trưng của (2) là   2  0  0 .

+ Ta có:  '   2  02 .
+

Nếu

 '  0 �   0 � R  2

L
� 1      ',  2      ' ,
C

với

 '   2  02 . Khi đó ta có nghiệm của (2) là:

 3 (không có tính chất dao động).

i  C1e1t  C2 e 2t

Trong đó C1 và C2 là các số thực tùy ý, phụ thuộc vào điều kiện ban đầu.

L
� 1   2    . Khi đó nghiệm của phương
C

+ Nếu  '  0 �   0 � R  2
trình (2) là:
i  e   t  C1  C2t 

 4  (không có tính chất dao động).

+ Khi  '  0 �   0 � R  2

L
� 1     i ',  2     i ' , nghiệm của
C

phương trình (2) có dạng:
i  I 0e   t sin   ' t   

 5 .

Phương trình này là phương trình dao động điện từ tắt dần. Các đại lượng I 0 , 
được xác định từ điều kiện ban đầu, còn  ' là tần số góc của dao động tắt dần và có giá
trị:
2

'   
2
0

2

1 �R �
� �
LC �2 L �

 6 .


Từ đó, chu kì của dao động điện từ tắt dần bằng:
T

2

'

2
2

1 �R �
� �
LC �2 L �

 7

.

Đại lượng I 0 e   t trong biểu thức (3) chính là biên độ của dao động tắt dần. Ta
thấy biên độ của dao động tắt dần giảm theo quy luật hàm số mũ.
Để đặc trưng cho mức độ tắt dần của dao động điện từ người ta đưa vào đại

lượng gọi là giảm lượng logarit, kí hiệu là  , có giá trị bằng logarit tự nhiên (cơ số e)
của tỉ số giữa hai trị số liên tiếp của biên độ cách nhau một khoảng thời gian bằng một
chu kì T, nghĩa là:
� I e  t �
R
  ln I 0  t   lnI0  t  T   ln � 0   t T  �  T 
.
2
L
I
e
�0
�

2
2

1 �R �
� �
LC �2 L �

 8

.

II.3.4.c. Chú ý.
- Dao động điện từ trong mạch LCR ghép nối tiếp chỉ xảy ra khi
0   hay R  2

R �2

L
L
. Trị số: R  2
được gọi là điện trở tới hạn của mạch. Nếu
C
C

L
thì trong mạch không xảy ra dao động (cường độ dòng điện biến thiên theo
C

quy luật hàm số mũ).
- Nếu R rất nhỏ thì  ' �0 , nghĩa là tần số dao động của mạch xấp xỉ bằng tần
số dao động riêng của mạch.
- Để thiết lập phương trình dao động, ta có thể dùng định luật Ôm cho từng
đoạn mạch.


II.4. Xây dựng và phát triển một số bài toán gốc.
Bài 1: Cho mạch dao động LC như hình vẽ. Tụ điện có

C

điện dung C, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L, nguồn
điện có suất điện động E và điện trở trong không đáng kể.

L
E

K

Khi đóng khóa K thì dòng điện trong mạch biến thiên theo
qui luật nào?
Bài giải
Xét mạch tại thời điểm t, giả sử dòng điện trong
mạch có giá trị là i và có chiều như hình vẽ. Gọi q là

C

M
●

điện tích của bản tụ nối với điểm M.
Ta có: uMN  uMP  uPN  0 �
Mặt khác: i 

i

q
 Li ' E  0
C

E

L

P
●
+

 1 .

dq
 q '  2 .
dt

Đạo hàm hai vế phương trình (1):
Đặt  

N
●

q'
1
 Li "  0 � i "
i0
C
LC

 3 .

1
, phương trình (3) được viết lại: i "  2i  0  4  .
LC

Phương trình (4) có nghiệm: i  I 0 cos  t  i 

 5 .


Tại t = 0, dòng điện bằng 0 sau đó tăng dần lên � i   .
2

Bình luận: Bài tập này giúp các em vận dung ngay lí thuyết về mạch điện LC, tuy
nhiên khác với lí thuyết chung ở chỗ “mạch có thêm nguồn điện”. Qua bài tập này, học
sinh nhận thấy rằng về mặt phương pháp, thực chất là áp dụng định luật ôm cho từng
loại đoạn mạch mà thôi!.
Bài 2: Cho mạch dao động như hình vẽ. Cuộn dây thuần cảm, có
độ tự cảm L; các tụ điện có điện dung C 1 = C2 = C. Tại thời điểm ban
đầu khoá K mở và tụ điện C1 có điện tích Q0, còn tụ điện C2 không tích


điện. Hỏi sau khi đóng khoá K thì điện tích các tụ điện và cường độ dòng điện trong
mạch biến đổi theo thời gian như thế nào?
Bài giải
- Xét tại thời điểm t, giả sử dòng điện có chiều và các tụ tích điện như hình vẽ.
i = - q1/ = q2/
e=-L

(1)

di
= - Li/ (2)
dt

q1 + q2 = Q0

(3)

- Áp dụng định luật Ôm :
Q
q1 q 2
2q1

- Li/ = 0 
+ Lq1// - 0 = 0
C
C
C
C
Q
q1
 0
 q1 + LC
LC = 0
2
//

(4)

//
Q
q1
q1
LC //
LC //
 0
Đặt x = LC LC  x// = LC  q1// =
x thay vào (4) :

.x + x = 0
2
2
2
2

Hay x// +

2
2
.t   )
x = 0  x = X0.sin(
LC
LC


Q0 LC
2
X 0 . sin(
.t   )
 q1  
2
2
LC
 
 i  q /  LC . X . cos( 2 .t   )
1
0

2

LC
 q1 (0) Q0
 i 0

Áp dụng điều kiện ban đầu: t = 0  


Q0 LC

 Q0 LC
 Q0  2  2 X 0 . sin 


X 0 . sin 
 
  2
2
 0  LC X 0 . cos 
 0 X 0 cos 

2

Vậy: q1 =



  2
 
Q
 X0  0

LC


Q0
Q
2
+ 0 .sin(
.t +  2 )
2
2
LC

 i = - q1/ = -

Q0
2
2
.
cos(
+ 2)=
2
LC
LC

Q0
2 LC

sin(

2

.t ).
LC

Bình luận: Bài tập này mở rộng cho trường hợp hai tụ mắc nối tiếp, trên cơ sở của
bài toán này học sinh có thể xét trường hợp hai cuộn cảm thuần mắc nối tiếp. Chốt của
bài toán nằm ở chỗ tổng điện tích của hai tụ điện luôn không đổi.
Bài 3: Cho mạch điện có sơ đồ như hình vẽ. Hai tụ điện

A

C1 ; C2 giống nhau có cùng điện dung C. Tụ điện C1 được tích

điện đến hiệu điện thế U 0 , cuộn dây có độ tự cảm L , các
khóa k1 ; k2 ban đầu đều mở. Điện trở của cuộn dây, của các
dây nối và của các khóa là rất nhỏ, nên có thể coi dao động

+

U0 -

K1
C1

K2
C2

L
B

điện từ trong mạch là điều hòa.

1. Đóng khóa k1 tại thời điểm t  0 . Hãy tìm biểu thức phụ thuộc thời gian t của:
a. Cường độ dòng điện chạy qua cuộn dây.
b. Điện tích q1 trên bản tụ nối với A của tụ C1 .
2. Gọi T0 là chu kì dao động của mạch LC1 và q2 là điện tích của bản tụ nối với
khóa k 2 của tụ C2 . Đóng khóa k2 ở thời điểm t1  T0 . Tìm biểu thức phụ thuộc thời gian t
của cường độ dòng điện chạy qua cuộn dây L và của q2 .
Bài giải
1. Giả sử dòng điên chay trong mạch như hình vẽ.
Ta có: i  q ' và uAB Li ' Lq"


Xét mắt mạng A(L)B(C1)A:

q
q
 Lq" q"
0
C
LC
 1

 q Q0 sin
t 
 LC


 Q0 sin  CU 0
 q (0) CU 0

 


1
Tại t 0:  
 i (0) 0
  Q0 LC cos  0


 Q0 CU 0



   2

Vậy:
�
�1
t  �(1)
2�
� LC

q1  q  CU 0 sin �

i  q' CU 0

2. Theo câu 1: T0 

1

C  1 
 1

cos
t   U 0
sin
t (2)
2
L  LC 
LC
 LC

2
2 LC (3)


* Tại t  T0 thì q  Q0  CU 0 và i 0 ; đóng khóa k 2 .
Sau đó một khoảng ∆t rất nhỏ giữa hai tụ C1;C2 phóng
điện

trao

Q01 Q02 

đổi

điện

Q0 CU 0

(vì
2
2

tích

và

C1 // C2 và

đạt

đến

giá

trị:

C1  C2 ).

* Tại t  T0 , dòng điện trong mạch chạy như hình vẽ:
+ Mắt mạng A(L)B(C1)A :

q1
Li '1 (1)
C

+ Mắt mạng A(C2)B(L)A :

q2
Li '2 (2)
C

+ Tại A : i l i1  i 2  i'l i'1i'2 (3)
Thay (3) vào (1), (2) ta được:
q1

 q"1q"2  LC 0  q"1 q"2  q1 0
 
LC

q
2
 q" q" 

q

q
0  1
2
2
 1
LC
q1

0
 q"1 
 T

 
 q1 q2 Q02 sin
  '

2LC
 2LC

 q1 q2

với T t  T0

Lúc T 0 t T0 

Vậy q 2 q1 

CU 0


 q1 0 Q01 
2   '
thì : 
2
 i1 0 0


CU 0
 t
 t

2  
C
sin

   i L 2i1 U 0

sin
  2 
2
2 L  2 LC
2 2
 2 LC


Bình luận: Bài tập này mở rộng cho trường hợp hai tụ điện mắc song song, rèn
luyện cho học sinh dùng các định luật Kiêc – sôp để giải bài toán. Qua bài tập này, học
sinh phải phân tích được điều kiện biên của bài toán: Khi đóng khóa k, hai tụ điện sẽ
trao đổi điện tích với nhau trước, và trong thời gian này dòng điện qua cuộn cảm gần
như không đổi.
Bài

4:

Cho

mạch

điện

như

hình

vẽ:

E  20V ; R  300; r  100; C  600  F . Bỏ qua điện trở của

K

dây nối và khóa K. Lúc đầu khóa K mở và tụ điện chưa tích

E, r

điện.
a. Tìm thời gian t1 kể từ lúc đóng khóa K đến lúc hiệu

A

● ●

R

C
B

điện thế u AB  10V .
b. Ngay khi u AB  10V người ta mở khóa K, tìm thời gian t 2 kể từ khi mở khóa K
đến khi u AB  1V .
Bài giải


a. Xét mạch điện tại thời điểm t sao cho tụ điện đang được nạp điện với hiệu điện
thế uC và điện tích q, dòng điện trong mạch chính là i, dòng điện qua điện trở R là i R,
dòng điện nạp cho tụ là iC.
Ta có: i  iR  iC

 1 .

Áp dụng định luật Ôm cho mạch kín chứa nguồn điện và điện trở R, ta được:
E  i.r  iR .R   iR  iC  r  iR .R  r.iC   R  r  iR

Mặt khác ta có: iR 

uR uC
q


; iC  q '
R
R RC

Từ (2) và (3): r.q '  R  r  .

 3 .

q
Rr
E
 E � q '
.q 
RC
RrC
r

Phương trình (4) có nghiệm: q  d .e



Rr
.t
RrC



 2 .

RCE
Rr

 4 .
 5 .

Trong đó d là hằng số được xác định từ điều kiện ban đầu: t  0; q  0 � d  

Vậy: q 

RCE
.
Rr

r
.t �
RCE �  RRrC
1

e

�
�  5 .
Rr�
�

Hiệu điện thế hai đầu tụ điện:
uC 

Khi u AB

300 100
r
t �
q
RE �  RRrC
300.20 �  300.100.6.104 .t � �  2009 t �

1

e

1

e
1 e
�
�
�
�
�

�
� 15 �
C Rr �
300

100
�
�
�
� �

 6 .

�  2009 t1 �  2009 t1
10 1
 uC  10  V  � 10  15 �
1 e
 1  .
�� e
15 3
�
�

Lấy ln hai vế:

200t1
 ln 3 � t1  4,5.10 2.ln 3  s  .
9

b. Sau khi mở khóa K, mạch điện còn lại tụ điện C và điện trở R. Xét mạch điện tại

thời điểm dòng điện trong mạch là i, điện tích trên tụ là q.


u AB  i.R
�
q
�
0
Ta có: �
q �i
RC
u AB  uC 
�
C
�

Mặt khác: i   q ' � q '

q
0
RC

 1 .
 2 .

Phương trình (2) có nghiệm dạng: q  d .e



t

RC

 3 .

Trong đó d là hằng số được xác định từ điều kiện ban đầu.
Hiệu điện thế trên tụ điện: uC  u AB 
Với d ' 

t

q d  RCt
 e
 d ' e RC
C C

 4 .

d
0
; tại thời điểm t  0; uC  10V � d '.e  10  V  � d '  10  V  .
C

Vậy: u AB  10e



t
RC

 5 .

Tại thời điểm u AB  1 V  � 1  10e



t2
RC

� t  RC ln10  s  .

Bình luận: Bài tập này giúp học sinh vận dụng lí thuyết về mạch RC, tuy nhiên
mạch điện được mở rộng cho trường hợp có cả nguồn điện. Qua bài tập này, học sinh
thấy rằng thực chất của bài toán là vận dụng định luật ôm cho các loại đoạn mạch và
dùng kĩ thuật đổi biến để giải phương trình vi phân.
Bài 5: Một cuộn dây có độ tự cảm L mắc song song với điện trở R rồi mắc vào một
nguồn điện có suất điện động là E và điện trở trong r. Xác định điện lượng chạy qua điện
trở R khi đóng K. Bỏ qua điện trở thuần của dây.
Bài giải
Tại thời điểm đóng khóa K, dòng điện qua điện trở R
có độ lớn:
I0 

E
Rr

 1 .

Tại thời điểm đó dòng điện qua L bằng 0.

Trong thời gian tiếp theo dòng điện qua L tăng dần đến giá trị I K 

E
, thì dòng
r

điện không tăng nữa. Lúc này hiệu điện thế giữa hai điểm A và B sẽ giảm về 0.
Xét mạch điện tại thời điểm dòng điện qua R có giá trị i 1 và đang giảm, dòng điện
qua L có giá trị i2 và đang tăng, lúc này cuộn dây L đóng vai trò là máy thu điện có suất
điện động e.
Áp dụng định luật Kiếc – Sop:
i1R  e  0 � e  i1R � L

di2
L
 i1R � Ldi2  Rdq � dq  di2
dt
R
E
r

q

Lấy tích phân 2 vế phương trình (3): dq  L di2 � q  EL
� �
0

R

 4 .

Rr

0

 3 .

Bình luận: Khi giải bài tập này, học sinh phải đánh giá được cường độ dòng điện
chạy qua từng phần tử tại thời điểm đóng khóa K _ đây là chốt của bài toán!
Bài 6: Cho mạch điện như hình 6. Hai cuộn dây L 1 và L2 là thuần cảm và đều có độ
tự cảm là L, các điện trở R 1 và R2 đều bằng R, nguồn có suất điện động E và điện trở
trong không đáng kể. Lúc đầu khoá K mở. Chọn mốc thời gian t = 0 kể từ thời điểm bắt
đầu đóng khóa K.

K

1. Đóng khoá K, xác định cường độ dòng
điện qua các cuộn dây theo thời gian t và vẽ phác

E

R1

R2
L1

L2

dạng đồ thị biểu diễn các dòng điện ấy theo t.
2. Thay cuộn dây L1 bằng một tụ điện có điện

Hình 6.

dung C (ban đầu tụ điện chưa tích điện). Đóng khoá K, tính cường độ dòng điện qua tụ
điện theo thời gian t.

Bài giải
1. Gọi i1 và i2 là cường độ dòng qua các cuộn dây:
i = i1 + i 2 (1);