Bài giảng hàm số mũ và hàm số logarit

CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
BÀI GIẢNG: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
THẦY GIÁO: NGUYỄN CAO CƯỜNG
A. LÍ THUYẾT
I, Hàm số mũ y  a x
1) TXĐ: D = R
2) Tập giá trị :  0; 
3) Tính đơn điệu
db  a  1
y  ax
nb  0  a  1
4) Đạo hàm

y  a x  y'  a x ln a
y  a u  y'  a u .ln a.u '
VD: Tính y’

a) y   x 2  x  1 2 x

 y '   x 2  x  1 '.2 x   x 2  x  1 2 x  '
 y '   2x  1 .2 x   x 2  x  1 2 x ln 2
b) y  2sinx
 y '  2sinx.ln 2. sinx  '
 y '  2sinx.ln 2.cosx
5) Đồ thị hàm số: y  a x

a>1

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –

Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


0II, Hàm số logarit: y  log a x
1) TXĐ: D   0;  
2) Tập giá trị: R
3) Tính đơn điệu
db  a  1
y  log a x
nb  0  a  1
4) Đạo hàm

) y  log a x  y ' 

1
 x  0
x ln a

) y  ln x  y ' 

1
 x  0
x

) y  log a u  y ' 

1
.u '
u ln a

1
) y  ln u  y '  .u '
u
VD: Tính y’
a) y  log 2 x
1
x ln 2
b) y  x ln x

 y' 

 y '  x '.ln x  x.  ln x  '  1.ln x  x.
c) y  ln  x 2  1
 y' 

2

1
 ln x  1
x

1
1
2x
. x 2  1 '  2 .  2x   2
x 1
x 1
x 1
2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


5) Đồ thị hàm số: y  log a x

a>1

0CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017)

Tìm tập xác định D của hàm số y  log 2  x 2  2x  3
A. D   ; 1  3;  .

B. D   1;3

C. D   ; 1   3;  

D. D   1;3

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  ln  x 2  2mx  m  có tập xác
định là R.
A. m  0; m  1

B. 0  m  1

C. m  0; m  1

D. 0  m  1

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


ex
Câu 3: Tìm tập xác định D của hàm số y  x
e 1
A. D  R \ 0

B. D = R

C. D  R \ 1

D. D  R \ e

C. y'  13

13x
D. y' 
ln13

Câu 4: (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017)
Tính đạo hàm của hàm số y  13x.
x 1

A. y'  x.13

B. y'  13 .ln13
x

Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số y  2x
x.21 x
A. y' 
ln 2

x

2

2

1 x 2

B. y'  x.2

C. y'  2 .ln 2
x

.ln 2

Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số y   2x  x  1
2

A. y' 

C. y' 

2  4x  1
3  4x  1

D. y' 

2 3 2x 2  x  1

x.21 x
D. y' 
ln 2

2
3

B. y' 

3 3 2x 2  x  1

x

2  4x  1
3 3  2x 2  x  1

2

3  4x  1
2 3  2x 2  x  1

2

Câu 7: (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017)
x 1
Tính đạo hàm của hàm số y  x
4
1  2  x  1 ln 2
1  2  x  1 ln 2
A. y' 
B. y' 
2x
2
22x
1  2  x  1 ln 2
1  2  x  1 ln 2
C. y' 
D. y' 
2
x2
4
4x
Câu 8: Cho hàm số y  f  x   2x.5x. Tính f '  0 
A. f '  0   10

B. f '  0   1

C. f '  0  

1
ln10

D. f '  0   ln10

Câu 9: (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017)
Tính đạo hàm của hàm số y  log 2  2x  1

2
2x  1
2
C. y' 
 2x  1 ln 2

1
2x  1
1
D. y' 
 2x  1 ln 2

A. y' 

B. y' 



Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số y  ln 1  x  1

4



Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –

Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


A. y' 



1

2 x 1 1 x 1

C. y' 



1

x 1 1 x 1

B. y' 



1
1 x 1

D. y' 





2

x 1 1 x 1



Câu 11: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R
A. y  2017

x

B. y  log 1 x

C. y  log

2

2

x

2

 1

π
D. y   
4

x

Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số y   a 2  3a  3 đồng biến.
x

A. a = 1

C. a  1;2 

B. a = 2

D. a   ;1   2;  .

Câu 13:

Đường cong trong hình là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án
A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. y  2x

1
B. y   
2

x

C. y  2x

1
D.   

2

x

Câu 14:

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


Đường cong trong hình là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương
án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. y  log 2 x

B. y  log 2  x  1

C. y  log3 x  1

D. y  log3  x  1

Câu 15:

Cho a, b, c là các số thực dương khác 1. Hình vẽ là đồ thị của ba hàm số y  a x , y  bx , y  cx .
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a  b  c
B. a  b  c
Câu 16:

C. c  a  b

D. a  c  b

Cho a, b, c là các số thực dương khác 1. Hình vẽ là đồ thị của ba hàm số
y  loga x, y  log b x, y  log c x. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a  c  b

6

B. a  b  c

C. b  a  c

D. b  a  c

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


Câu 17: Cho hàm số y 

 2

x

có đồ thị Hình 1. Đồ thị Hình 2 là đồ thị của hàm số nào dưới

đây?

Hình 1
A. y 

 2

x

B. y  

Hình 2

 2

x

C. y 

 2

x

D. y  

A

 2

x

Câu 18: Cho hàm số y  ln x có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là đồ thị của hàm số nào sau

đây?

Hình 1
A. y  ln x

Hình 2
B. y  ln x

C. y  ln  x  1

D. y  ln x  1

 x 1
Câu 19: Cho hàm số f  x   ln 2017  ln 
 . Tính S  f ' 1  f '  2   ...  f '  2017 
 x 

7

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


A. S 

4035
2018

B. S = 2017

Câu 20: Cho hàm số f  x  
A. S = 2016

C. S 

2016
2017

D. S 

2017
2018

4x
 1   2 
 2016 
. Tính tổng S  f 
f
  ...  f 
.
x
4 2
 2017   2017 
 2017 

B. S = 1008

C. S = 1007

D. S = 2017

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

 x  1
TXĐ : x 2  2x  3  0  
x  3
 D   ; 1   3;  

Chọn C
Câu 2:

ĐK : x 2  2mx  m  0 x  R
m 2  m  0
 '  0


 m2  m  0  0  m  1
a  0
1  0  m 

Chọn B
Câu 3:

ĐK :e x  1  0  e x  1  e x  e0  x  0
 TXĐ : D  R \ 0
Chọn A
Câu 4:
y  13x  y'  13x.ln13

Chọn B
Câu 5:
Chú ý: y  a u  y'  a u .ln a.u '
y  2x  y'  2x .ln 2. x 2  '  2x .ln 2.2x  x.2x 1.ln 2
2

2

2

2

Chọn B
Câu 6:

8

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


Chú ý: y  u n  y'  n.u n 1.u '
2

y   2x 2  x  1 3
2
1
2
 y '  . 2x 2  x  1 3 . 2x 2  x  1 '
3

1

2
 y '   2x 2  x  1 3 .  4x  1
3
2
1
 y'  .
4x  1
1 
3
2
3
 2x  x  1

 y' 

2  4x  1
3 2x 2  x  1
3

Chọn A
Câu 7:
Cách 1:
x 1
y x
4
 x  1 '.4x   x  1 . 4 x  '
 y' 
2

 4x 
 y' 
 y' 
 y' 

4 x   x  1 .4 x.ln 4
42x
4 x 1   x  1 ln 22 
42x
1  2  x  1 ln 2
22x

Chọn A
Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi
Tính đạo hàm tại 1 điểm
- Đạo hàm của hàm số tại x = A

- Sau đó trừ đi từng đáp án. Đáp án nào cho kết quả bằng 0 là đáp án cần tìm
A.

9

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


 Đáp án A thỏa mãn
B.

 Loại đáp án B

Tương tự đáp án C và D cũng không thỏa mãn
Chọn A
Câu 8:
Cách 1: Sử dụng máy tính bỏ túi
Tính đạo hàm tại điểm x = 0 ta thu được kết quả

 Loại đáp án A và B
Lưu kết quả vào phím nhớ A: Chọn “SHIFT” + “STO” + “A”

Lấy kết quả trên trừ đi lần lượt hai đáp án C và D nếu đáp án nào cho kết quả bằng 0 là đáp án
cần tìm
C.

 Loại đáp án C
D.

1
0

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


 Đáp án D xấp xỉ = 0 nên thỏa mãn
Chọn D
Cách 2:
y  2x.5x  10x
 y'  10x.ln10
 y'  0   100.ln10  1.ln10  ln10

Chọn D
Câu 9:
Cách 1:

y  log 2  2x  1
 y' 

1
2
. 2x  1 ' 
 2x  1 ln 2
 2x  1 ln 2

Chọn C
Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi
Tính đạo hàm tại 1 điểm
-Lấy đạo hàm của hàm số tại x = A

- Sau đó trừ đi từng đáp án. Đáp án nào cho kết quả bằng 0 là đáp án cần tìm
A.

 Loại đáp án A
C.

 Đáp án C xấp xỉ = 0 nên thỏa mãn
1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

1

Tương tự đáp án B và D không thỏa mãn
Chọn C
Câu 10:
1
Chú ý: y  ln u  y'  .u '
u



y  ln 1  x  1
1

 y' 







. 1 x 1 '
1 x 1
1
1 

 y' 
. 0 

1 x 1 

2 x 1 
1
1
1
 y' 
.

1 x 1 2 x 1 2 x 1 1 x 1





Chọn A
Câu 11:

hs y  2017 x db / R

y  ax

db  a  1
x

π


nb  0  a  1 hs y    nb / R  π  0, 785  1
4
4


Loại đáp án A
hs y  log 2  x 2  1 db / R
db  a  1
y  log a x

nb  0  a  1 hs y  log 1 x nb /  0;  
2

 Loại đáp án B và C
Chọn D
Câu 12:
ĐK để hàm số y   a 2  3a  3 đồng biến là:
x

a  2
a 2  3a  3  1  a 2  3a  2  0  
a  1

 a   ;1   2;  
Chọn D
Câu 13:
- Hàm số trong hình vẽ nhận trục hoành là trục đối xứng  Hàm số đó là hàm số mũ

1
2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

- Hàm số đó nằm phía dưới trục hoành  Loại đáp án B và C
A :x  1  y  2
1
B :x  1  y 
2

Dựa vào đồ thị ta nhận thấy đáp án A thỏa mãn
Chọn A
Câu 14:
- Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ  Loại đáp án A và C

- Dựa vào đổ thi ta có với x = 2 thì y = 1 Chỉ có đáp án D thỏa mãn  log3  2  1  1
Chọn D
Câu 15:
Kẻ đường thẳng x = 1 giao với đồ thị hàm số y  a x ; y  bx ; y  cx tại các điểm lần lượt là

1;a  , 1;b  , 1;c 

1
3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


ca b
Chọn C
Câu 16:

y  1
y  log a x  x  a y  
x  a
y  1
y  log b x  x  b y  
x  b
y  1
y  log c x  x  c y  
x  c
 Kẻ đường thẳng y = 1 cắt các đồ thị hàm số y  loga x, y  log b x, y  log c x tại 3 điểm có
hoành độ là a, b, c

1
4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


aChọn B
Câu 17:
Dễ thấy đồ thị Hình 2 được vẽ từ đồ thị Hình 1 như sau:
- Bỏ phần đồ thị bên trái trục tung
- Lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục tung qua trục tung
 Đồ thị hình 2 là đồ thị của hàm số chẵn: y 

 2

x

Chọn C
Câu 18:
Dễ thấy đồ thị Hình 2 được vẽ từ đồ thị Hình 1 như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox
- Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox qua trục Ox và sau đó bỏ phần đồ thị phía dưới
trục Ox đi
 Đồ thị hình 2 là đồ thị của hàm số y  ln x
Câu 19:

1
5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


 x 1
f  x   ln 2017  ln 

 x 
1  x 1
 f ' x   0 
.
x  1  x 
x
1  x  1 '.x   x  1 .x '
 f ' x   
.
x 1

x2
x
x x  x  1
 f ' x  
.
x 1
x2
1
 f ' x  
x  x  1
'

Ta có: S  f ' 1  f '  2   ...  f '  2017 

1
1
1

 ... 
1.2 2.3
2017.2018
1 1 1 1
1
1
 S      ... 

1 2 2 3
2017 2018
1
 S 1

2018
2017
S
2018
Chọn D
Câu 20:
S

f x 
Chú ý:

4x
4x  2

a  b  1  f a   f b  1

1
2016
 1 
 2016 

1 f 
f
 1
2017 2017
 2017 
 2017 
  1 
  1008 
 2016     2 

 2015  
 1009  
 S  f 
f
   f 
f
   ...  f 
f

 2017     2017 
 2017  
 2017  
  2017 
  2017 
 S  1  1  ...  1
 S  1008
Chọn B

1
6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!