Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

CÁC PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (Tiết 1)
I. Định nghĩa và tính chất:
1. Định nghĩa: A  B  A  B  0
2. Tính chất cơ bản:
acbc
ac  bc (c  0)

+) a  b 

ac  bc  c  0 

+) a  b  0 

1 1

a b

+) a  b;c  d  a  c  b  d
+) a  b  0;c  d  0  ac  bd
Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có dấu “=”; cần chỉ rõ dấu “=” xảy ra khi nào.
II. Chứng minh: Bất đẳng thức bằng cách sử dụng định nghĩa và tính chất:
Để chứng minh A  B ta cần chứng minh A  B  0
Chú ý: A2  0; A
Bài 1: Chứng minh rằng: a 2  b2  c2  3  2  a  b  c  a, b,c
Hƣớng dẫn giải

a 2  b2  c2  3  2  a  b  c 

Ta có:

 a 2  b 2  c2  3  2a  2b  2c

  a 2  2a  1   b 2  2b  1   c 2  2c  1
  a  1   b  1   c  1
2

2

2

Ta có:  a  1  0 a
2

 b  1  0 b
2
 c  1  0 c
2
2
2
  a  1   b  1   c  1  0
 a 2  b 2  c 2  3  2  a  b  c   0 a, b,c.
 a 2  b 2  c 2  3  2  a  b  c  a, b,c
2

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa tốt nhất!


 a  12  0
a  1  0


2


Dấu “=” xảy ra   b  1  0  b  1  0  a  b  c  0 .

c  1  0
2

c  1  0




Bài 2: Chứng minh rằng: a 2  b2  c2  ab  bc  ca a, b,c (*).
Hƣớng dẫn giải:

*  2a 2  2b2  2c2  2ab  2bc  2ca a, b,c
Ta có: 2a 2  2b2  2c2  2ab  2bc  2ca

  a 2  2ab  b 2    b 2  2bc  c 2    a 2  2ac  c 2 
 a  b   b  c  a  c
2

2

2

Ta có:  a  b   0 a,b
2

 b  c   0 b,c
2
 a  c   0 a,c.
2
2
2
  a  b    b  c    a  c   0 a, b,c.
2

 2a 2  2b 2  2c2  2ab  2bc  2ca  0 a, b,c.
 a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca a, b,c
 a  b 2  0

2

Dấu “=” xảy ra   b  c   0  a  b  c.

2
 c  a   0

Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:

ab  bc  ca  a 2  b2  c2  2  ab  bc  ca 
Hƣớng dẫn giải:
Ta có: a  b  c  a 2   b  c 

2

 a 2  b2  2bc  c2 .

CMTT: b2  a 2  2ac  c2
c2  a 2  2ab  b2

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa tốt nhất!


 a 2  b2  c2  2a 2  2b 2  2c2  2ab  2bc  2ca
 2ab  2bc  2ca  a 2  b 2  c2 (1)
+) Với a 2  b2  c2  ab  bc  ca.
Áp dụng bài 2: a 2  b2  c2  ab  bc  ca a, b,c (2)
Từ (1) và (2): ab  bc  ca  a 2  b2  c2  2  ab  bc  ca 

a  b

Dấu “=” xảy ra  b  c  ABC đều.
c  a

Bài 4: Cho a, b, c  0 .
a. CMR: a 3  b3  a 2 b  ab2
b.

1
1
1
1
 3 3

 3 3

3
a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc
3

Hƣớng dẫn giải:
a 3  b3  a 2b  ab2

a.Xét:

 a 3  a 2 b  ab 2  b3
 a 2  a  b   b2  a  b 
  a  b   a 2  b2 

  a  b  a  b  a  b    a  b   a  b  .
2

Ta có:  a  b   0 a,b và a  b  0 a,b  0 .
2

  a  b   a  b   0 a, b  0
2

 a 3  b3  a 2 b  ab 2  0
 a 3  b3  a 2 b  ab 2 .

a 3  b3  a 2b  ab2

b. Áp dụng BĐT câu a ta có:

 a 3  b3  abc  a 2 b  ab 2  abc
 a 3  b3  abc  ab  a  b  c 


3

1
1

3
a  b  abc ab  a  b  c 
3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa tốt nhất!


Tương tự ta có:

1
1

3
b  c  abc bc  a  b  c 
3

1
1


3
a  c  abc ac  a  b  c 
3



1
1
1
1
1
1
 3 3
 3 3



3
a  b  abc b  c  abc c  a  abc ab  a  b  c  bc  a  b  c  ac  a  b  c 
3

1
1
1
ca b
 3 3
 3 3

3
a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc  a  b  c 

3

1
1
1
1
 3 3
 3 3

(dpcm)
3
a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc
3

a  b

Dấu “=” xảy ra  b  c  a  b  c.
c  a


4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa tốt nhất!