Một phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức

xi

x
y

a

xi

a

xj

1;2;3

a

xj

a

a
a

x
y

x 1
y 1

ơ

ề

a
a

x 1
y 1

WWW.MATHVN.COM


'
x

x 1
y 1

z 3 .1 .1

3
3

x 3 .z 3 .1

3

y 3 .z 3 .1

3

ơ

x 1
y 1

x 3 .y 3 .1

ề

WWW.MATHVN.COM


m

0
y n 1
2m
0, x, y R

1

1 4m 2 0
2( y 4 m 2 2)
2(1 4m 2 )
'
0, y R
x

1

x
z

0

m

2m 1

n
z

0, x, y

1 4m 2
'
x

0, y

R

0
R

'
x
'
x

2m 2 (1 2m 2 ) 0
4m 2 (1 2m 2 )
1
4m 2 (1 2m 2 )
'
0
y

1 2m 2
'
y

0
0

'
y

'
y

ơ

ề

WWW.MATHVN.COM


m

n
1
1
p

0
2m
4m 2
2m 2
3m

n

2
2
2m 1

p

3m 2

m

1
0
0
2

2
2

2
2

2
2

m 0
(1 n) x (1 n) y 1
1
2m
0, x, y R
z

m

z

0
2n 1
m
2
0, x, y R

2n 1
2

ơ

ề

WWW.MATHVN.COM


n(2 3n) 0
2[(3n 2 3n 1) y n 1]
2n(2 3n)
'
0, y R
x

n(2 3n)

1

'
x

0, y

0
R

'
x

(1 n)(6n 2 5n 1) 0
2(1 n)(6n 2 5n 1)
2(1 n)(6n 2 5n 1)
'
0

y

1

(1 n)(6n 2
'
y

5n 1)

0

0

'
y

2n 1
2

0
2n 1
m
2
n(2 3n) 0
(1 n)(6n 2 5n 1)
1
p
2

1
2

'
y

m

n 1
2n 1
m
2
1
p
2

0

2n 1
2

1
2

2n 1
2

1
2

0)
0

ơ

ề

WWW.MATHVN.COM


2
2

t

t

1

(t

1

(t
1)

1

0

t

1

(0;

p

0, q

0

)

1)
1

t

1 0

f (t )

t

1

0

(0;

(0;

)

)

x2
y2
z2

x2

y2

z2

3

3

2
2
p

0, q

0

3

2

ơ

ề

WWW.MATHVN.COM


x 2 .1
y2z2

z 2 1 x2 y2 x2
2
2
2
2
x
y z2 1
2

y2 z2 1
2

0

3

z 3t 3
3

x3 y 3 z 3

3

x 3 y 3t 3
z3

t3 1
3
2( x 3 y 3

x3

z

3

y3 z3
3
t3) 1

x3

y3
3

t3

2( x 3

3

n

xin

1

xi
n

n

xi
i 1

ề

n

j 1 i 1, i j

i 1

i 1

ơ

n

n

xi

xi
i 1, i j

WWW.MATHVN.COM

y3

z3
3

t3) 1


3n 1

( x 3n 1 ) n 1 ( y 3n 1 ) n 1 ( z 3n 1 ) n

3n 1

( x 3n 1 ) n ( y 3n 1 ) n ( z 3n 1 ) n

(n 1) x 3n

1

( 2n 1)( x 3n

(n 1) y 3n 1 nz 3n 1 1 nx 3n 1 ny 3n 1 (n 1) z 3n
3n 1
3n 1
1
3n 1
3n 1
y
z ) 1
3n 1
(2n 1)( x 3n 1 y 3n 1 z 3n 1 ) 1
3n 1

x
y

ơ

1

ề

1
3
1
3

x
y

1
3
1
3

WWW.MATHVN.COM

1


1
3
1
3

1
2

1
2

1
2

1
2
a b c
, ,
k k k

9
4

1
4
9
4

9
4

9
4
9
4

1
4
9
4

9
4

m 9
27

ơ

ề

9
4

x

y
3

z

1
3

WWW.MATHVN.COM

3

1
12

m
27


9
4

9

4

9
4

1
4

1
2
3

xy

yz

zx 9 xyz

3

xyz

xyyzzx

0
xy

x

m 9

27

y
3

zx 9 xyz

z

3

0

m 9
27

1
3
1
4

9
4

m 9
27
1
4
m 9
27

9
4

m 9
27

1
4

1
4
m 9
27

ơ

yz

ề

WWW.MATHVN.COM

9
4
9
4


7

27

7
27

7
27

2
9

2
9

1
27
1
3

1
27

1
27

0;

1
27

1
3
3
2t 0

2
t0

ề

3
2t 0

1
3

0

x

ơ

1
3

y

1 t0
; z t0
2

3
2
2t 0 t 0

WWW.MATHVN.COM

2
t0

0

0;

1
3


1
4

1
4

1
4

7
27

2

9

1
4

xy

p 3m 2n
3m q
p 3m 2n

yz

0
2

p 3m 2n
m n
4
p m 2n
4
7 p 6m 13n
27

zx

3m q
xyz
p 3m 2n
p 3m 2n 0

q 3m 4n 2 p

7( p 3m 2n)
27
7 p 6m 13n
27

m n

p m 2n
4

26
27

ơ

ề

WWW.MATHVN.COM

1
4


13
27

1
2

a b c
, ,
2 2 2
52
27

x 1
y 1

x 1
y 1

4 xy
x y xy
4 xy
x y xy

ơ

ề

WWW.MATHVN.COM


x 1
y 1

x 1
y 1

x2

y2
2

xy

(4 x 2 )(4
2

y2 )
(4 x 2 )(4
2

xy

(4 x 2 )(4
2

xy

xy

y2 )

(4 x 2 )(4
2

( 4 x 2 )(4

y2 )

y2 )
0

3
4

ơ

ề

y2 )

WWW.MATHVN.COM

0

0


1
2
1
2

x
y

1
4

1
2
1
2

x
y

3
4
1
4

3
4

x2
y

ơ

ề

2

1

x2

1

1

2

1

y

WWW.MATHVN.COM


x2
y

2
1

2

1

x2

1

1

2

1

y

2
n

2
2

Sx , Sy , Sz

x

ề

x

a

y

ơ

a
a

y

a

WWW.MATHVN.COM


1;2;...; n

xi

xi
i S n \ An

i An

xi

xi

i A2

i S 2 \ A2

1

xi

xi

i Ak

i S k \ Ak

xi

xi
i S k \ Ak

i Ak

ak ; k

xi

ak
i Ak

xi
i S k \ Ak

xi
i Ak

k 1
k 1

ơ

ề

WWW.MATHVN.COM

xi
i S k \ Ak


2
1

2
2

2
n

xi2

xi2

i S n \ An

i An

1;2;...; n

xi2

xi2
i S n \ An

i An

2
i

x
i An

i An

2
1

ơ

i S n \ An

xi

xi
i S n \ An

2
1

xi2

2
2

2
n

2
2

ề

WWW.MATHVN.COM


ơ

ề

ơ

ề

WWW.MATHVN.COM