CHUYÊN ĐỀ VỀ TÍCH PHÂN (HAY)

Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Năm học 2018 - 2019

Chuyên đề : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Phần 1: NGUYÊN HÀM
I. Bảng công thức nguyên hàm
Nguyên hàm sơ cấp

Nguyên hàm mở rộng bậc nhất

1. ∫ 0dx = C

2. ∫ dx = x + C

3. ∫ adx = ax + C

(a = const )

xα +1
4. ∫ x dx =
+C
α +1
1
5. ∫ dx = ln x + C
x
1
1
6. ∫ 2 dx = − + C
x
x

1 ( ax + b )
4a. ∫ ( ax + b ) dx =
+ C (α ≠ −1)
a α +1
1
1
dx = ln ax + b + C
5a. ∫
ax + b
a
1
1 1
dx = −
+C
6a. ∫
2
a
ax
+
b
ax
+
b
(
)

(α ≠ −1)

α

( x ≠ 0)
( x ≠ 0)

ax
7. ∫ a dx =
+C
ln a
x
x
8. ∫ e dx = e + C

1 a px + q
+C
(0 < a ≠ 1)
7a. ∫ a dx =
p ln a
1 ax +b
ax + b
+C
8a. ∫ e dx = e
a
1
9a. ∫ sin ( ax + b ) dx = − cos ( ax + b ) + C
a
1
10a. ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C
a
1
1

dx = tan ( ax + b ) + C
11a. ∫
2
cos ( ax + b )
a

(0 < a ≠ 1)

x

px + q

9. ∫ sin xdx = − cos x + C
10. ∫ cos xdx = sin x + C

1

11.

∫ cos

12.

∫ sin

2

x

1

2

x

α +1

α

dx = tan x + C
dx = − cot x + C

12a.

14. ∫ tan xdx = − ln cos x + C

16.

∫x

17.

∫

15. ∫ cot xdx = ln sin x + C

1

1

∫ sin ( ax + b ) dx = − a cot ( ax + b ) + C

u / ( x)
dx = ln u ( x) + C
13. ∫
u ( x)

2

1
1
x−a
dx =
ln
+C
2
−a
2a x + a
1
dx = ln x + x 2 + a 2 + C
2
2
x +a

2

 Tính chất của nguyên hàm
Nếu f , g là hai hàm số liên tục trên K thì với mọi x Î K ta có
ùdx = f (x)dx + g(x)dx
• òé
êf (x) + g(x)û

ú
ò
ò
ë
ùdx = f (x)dx • òé
êf (x) - g(x)û
ú
ò
ò g(x)dx
ë
•

òkf (x)dx = kò f (x)dx

,

"k ¹ 0

Bài tập áp dụng công thức
Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366

Trang 52


cng Toỏn 12A1 - Chuyờn TCH PHN V NG DNG
Bi 1: Tớnh cỏc nguyờn hm sau:
1
a) ũ 2 dx
b) ũ xdx
x

x2 - 3x + 1
ũ x dx f)

e)
i)

ũ

ũ

ũ(x

7

x3 + 5x2 - 3x + x

x

(

x x

c)

+ 4x3 -

dx k)

2

ổx 1
ử
xữ
ỗ
e
+
2
dx
ỗ
ữ
ũỗố x ứữ
ữ
ổ
2ử
ữ
3x2 + 1 ( 2x - 3) dx h) ũỗ
dx
ỗ3sinx + ữ
ữ
ữ
ỗ
xứ
ố

3
2
ũ(2x - 3x + 1)dx

x)dx

ũ tan

Nm hc 2018 - 2019

g)

ũ(

xdx

d)

)

l)

ũ sin

2

1
dx m)
x cos2 x

)

x - 2x ( x + 1) dx

Bi 2: Tỡm mt nguyờn hm F(x) ca hm s f (x) sau:
1

7
a) f (x) = 2 - x2 bit F (2) =
b) f (x) = x - 2 + 2 bit F (1) = 2
3
x
3
c) f (x) = ( x + 1) ( x - 1) + 1 bit F (0) = 1
d) f (x) = x + x3 + 1 bit F (1) = 2
e) f (x) = ax +

b
bit F (- 1) = 2, F (1) = 4 v F (2) = 5.
x2

II. Tớnh nguyờn hm bng phng phỏp i bin s
Phng phỏp
Vớ d: Tớnh cỏc nguyờn hm sau:
Gi s ta tớnh nguyờn hm phc tp:
a) A = ũ 3x 7 - 3x2dx
A = ũ f (u(x)).u '(x)dx ta dựng pp i bin nh
t t = 7 - 3x2 t2 = 7 - 3x2 đ tdt = - 2xdx
sau:
3
3
t t = u(x) đ dt = u '(x)dx
i bin: A = ũt.(- t)dt = - ũt 2dt
2
2
i bin: A = ũ f (t)dt (n gin hn)
3

3 t
t3
= - . +C = +C
= F (t) +C (dựng bng cụng thc tớnh
2 3
2
nguyờn hm)
3
2
i li bin ban u: A = F (u(x)) + C
7
3
x
i li bin ban u:
Khi tớnh nguyờn hm bng phng phỏp i
A =+C
2
bin ta cú cỏc dng thng gp sau:
5x
T
B
=
dx
b)
ũ
2
Cha dng:
t t = M
(x + 4)2
M

t t = x2 + 4 đ dt = 2xdx
Cha cn thc: t t= căn thức

(



c
Cha (...)n : t t= trong ngoặ



Cha emũ.(mũ)' t t= mũ



Cha




1
và lnx t t = ln x
x

)

5
5 1
5

dt = ũ 2 dt = - +C
2
2 t
2t
2t
5
+C
i li bin ban u: B = 2
2(x + 4)
i bin: B = ũ

Bi tp ỏp dng
Bi 1: Tớnh cỏc nguyờn hm sau:
a) ũ tanxdx

b)

ũ

1 + lnx
dx
x

Gv: Nguyn Tun Dng _ 0917727366

c)

ũ

x

2

x +1

dx

x3
dx
d) ũ 2
x +1

e)

ũ

2ln x - 1
dx
x ln x

Trang 53


Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
f)

òx

5

x3 + 1dx

g)

ò sin

3

x 1 + cosxdx

Bài 2: Tính các nguyên hàm sau:
1
9x2
dx
dx
a) ò
b) ò
3
5
x
+
4
1- x

c)

h)

x

ò 1+ x

2

dx

4
2
ò x 1- x dx

Năm học 2018 - 2019
i)

d) ò

sin2x

ò sin2xe

dx

1
x(1 + x )2

dx

III. Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần
Phương pháp
Ví dụ: Tính các nguyên hàm sau:
5
Giả sử ta tính nguyên hàm: B = ò u(x).v '(x)dx

a) A = ò x ln xdx
ta dùng pp tứng phần như sau:
ìï u = u(x)
ìï du = u '(x)dx
ï
® ïí
• Đặt í
ïï dv = v '(x)dx
ïï v = v(x)
î
î
•

B = uv -

ò vdu = ...

 Khi tính nguyên hàm bằng phương pháp
từng phần ta thường có dấu hiệu ưu tiên đặt
u như sau:
Nhất lốc nhì đa tam lượng tứ mũ

ìï
ïï du = 1 dx
ïìï u = ln x
ï
x
®í
• Đặt í
5

ïï dv = x dx ïï
x6
î
ïï v =
6
ïî
6
5
x
x
x6
x6
• A = ln x - ò dx = ln x +C
6
6
6
36
x
b) B = ò (x + 1)e dx

Chú ý: dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp
tích phân từng phần là biểu thức dưới dấu tích
phân là dạng tích của hai loại hàm số khác nhau
trong 4 loại hàm số trên.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tính các nguyên hàm sau:
a)

∫ ( x − 1) e dx

f)

∫x e

2 2 x −1

x

b)

dx

∫x

g)

2

∫ x cos xdx
cos xdx

c)

∫x

2

ln xdx

h) ∫ e cos 2 xdx

x

•
•

ìï u = x + 1 ìï du = dx
® ïí
Đặt ïí
x
ï dv = e dx ï v = ex
ïî
ïî
x
x
B = (x + 1)e - òe dx = (x + 1)ex + ex +C = (x + 2)ex +C

d) ∫ ln ( 2 x + 1) dx
i) I = ∫ x ( 2 + sin x ) dx

x
e) ∫ e sin xdx
1

(

)

−2 x
x
k) I = ∫ e + x e dx

0

Phần 2: TÍCH PHÂN
I. Công thức và tính chất
• Cho hàm số f (x) liên tục trên [a;b] và F(x) là một nguyên hàm của f (x) . Khi đó ta có:
b

b

ò f (x)dx = F (x) a = F (b) -

F (a)

a

a

•

∫ f (x)dx = 0
a
b

•

∫

a

a

f (x)dx = − ∫ f (x)dx
b

Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366

Trang 54


cng Toỏn 12A1 - Chuyờn TCH PHN V NG DNG

Nm hc 2018 - 2019

b



cdx = c(b a)
a



Nu f(x) liờn tc trờn [ a; b] v f (x) 0 thỡ

b

f (x)dx 0
a

Nu hai hm s f(x) v g(x) liờn tc trờn [ a; b] v f (x) g(x) x [ a;b] thỡ

b



a

b

f (x)dx g(x)dx
a

b




ng soỏ
) thỡ m(b a) f (x)dx M (b a)
Nu f(x) liờn tc trờn [ a; b] v m f (x) M ( m,M laứhai haố
Nu hai hm s f(x) v g(x) liờn tc trờn [ a; b] thỡ

b

a
b

b

[ f (x) g(x)] dx = f (x)dx g(x)dx
a

a

a

b



b

Nu hm s f(x) liờn tc trờn [ a; b] v k l mt hng s thỡ k. f (x)dx = k. f (x)dx
a



a

b

Nu hm s f(x) liờn tc trờn [ a; b] v c l mt hng s thỡ



a

b

a

c

f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx

Tớch phõn ca hm s trờn [ a; b] cho trc khụng ph thuc vo bin s , ngha l :
b



a

b

b

a

a

f (x)dx = f (t)dt = f (u)du = ...
a



c

Nu f l mt hm s chn vi mi x ẻ [- a;a] thỡ

a

ũ f (x)dx = 2ũ f (x)dx

- a

0

a



Nu f l mt hm s l vi mi x ẻ [- a;a] thỡ

ũ f (x)dx = 0

- a

Bi tp ỏp dng
Bi 1: Tớnh cỏc tớch phõn sau:
p
6

1

1

b) I = ũ cos3xdx

4
a) I = ũ 5x dx
0

-

p
6

ổ
pử
ữdx
f) I = sinỗ
2
x
+
ỗ
ữ
ũ ỗố 6ứữ
ữ

p
6

2

(

)

4
l) I = ũ 2x + 3 dx
- 2

-1

2

g) I = ũ 3x + 2dx
0

1

(

)

1

2
d) I = ũ 6x - 4x + 1 dx
1

e) I = ũ

1

3

0

2

c) I = ũ 5 - 4xdx

(

)

3
m) I = ũ 2x + 3x dx
- 1

II. Tớch phõn bng phng phỏp i bin
Phng phỏp
Gi s ta tớnh tớch phõn phc tp:

x2 - 3x + 3
dx
h) I = ũ
x- 2
0

4

(

)

k) I = ũ 2x + x dx
1

p
3

n) I = ũ sin x.cosxdx
-

p
3

Vớ d: Tớnh cỏc nguyờn hm sau:
3

a) A = ũ
0

Gv: Nguyn Tun Dng _ 0917727366

0

2x - 1
dx
x +1

4x
x2 + 1

dx

Trang 55


cng Toỏn 12A1 - Chuyờn TCH PHN V NG DNG


b

A = ũ f (u(x)).u '(x)dx ta dựng pp i bin nh
a

sau:




t t = u(x) đ dt = u '(x)dx
ỡù x = a đ t = u(a) = a
i cn: ùớ
ùù x = b đ t = u(b) = b
ợ
b

i bin: A = ũ 4dt = 4(2 - 1) = 4
1

3

i bin: A = ũ f (t)dt = F (t) = F (b) - F (a)
a

1
2
b) B = ũ (ln x) dx
x
1

Khi tớnh tớch phõn bng phng phỏp i bin
ta cú cỏc dng thng gp sau:


t t = x2 + 1 t2 = x2 + 1 đ tdt = xdx
ỡù x = 0 đ t = 1
ù
i cn: ớ
ùù x = 3 đ t = 2
ùợ
2

b

a

Nm hc 2018 - 2019



T
t t = M
M
Cha cn thc: t t= căn thức
c
Cha (...)n : t t= trong ngoặ
Cha emũ.(mũ)' t t= mũ
1
Cha
và lnx t t = ln x
x



Cha dng:

1
t t = ln x đ dt = dx
x
ỡù x = 1 đ t = 0
i cn: ùớ
ùù x = 2 đ t = ln2

ợ
ln2

ln2



t3
ln3 2
i bin: B = ũt dt =
=
30
3
0
2

Bi tp ỏp dng
Bi 1: Tớnh cỏc tớch phõn sau:
1

a) I = ũ
0
3

e) I = ũ
1

x

( x + 1)

dx
3

1

(

b) I = ũ x 1 + x
3

4

)

3

2

c) I = ũ x

dx

0

2

1
dx
x

e - 1

f) I = ũ
1

x 1+ x

3

g) I = ũ

III. Tớch phõn bng phng phỏp tng phn
Phng phỏp

ln2

e2x
x

e - 1

Gi s ta tớnh tớch phõn: B = ũ u(x).v '(x)dx ta
a

dựng pp tng phn nh sau:
ỡù u = u(x)
ỡù du = u '(x)dx
ù
ù
đ

t ớ
ớ
ùù dv = v '(x)dx
ùù v = v(x)
ợ
ợ


B = uv a

1- x dx

a

Khi tớnh tớch phõn bng phng phỏp tng
phn ta thng cú du hiu u tiờn t u nh
sau:
Nht lc nhỡ a tam lng t m

dx

p
4

a) A = x cos2xdx
ũ
0

b

ũ vdu = ...

1

1 + ln x
dx
x

Vớ d: Tớnh cỏc nguyờn hm sau:

b

b

d) I = ũ

2

1

ln5

dx

e
3

ỡù du = dx
ỡù u = x
ù
ù
đ ớù
t ớ
ùù dv = cos2xdx ùù v = 1 sin2x
ợ
2
ùợ
p
4

1
A = x sin2x 2
0

p
4

1

ũ 2 sin2xdx
0

p

4
ổ

ử
1
1
p- 2
ữ
ữ
=ỗ
x
sin2
x
+
cos2
x
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
4
8
ố2
ứ
0

Chỳ ý: du hiu nhn bit s dng phng phỏp
Gv: Nguyn Tun Dng _ 0917727366

Trang 56

cng Toỏn 12A1 - Chuyờn TCH PHN V NG DNG
tớch phõn tng phn l biu thc di du tớch
phõn l dng tớch ca hai loi hm s khỏc nhau
trong 4 loi hm s trờn.

Nm hc 2018 - 2019

e
2
b) B = ũ x ln x
1



ỡù
ùù du = 1dx
ỡù u = ln x
ù
ù
x
đớ
t ớ
2
ùù dv = x dx ùù
x3
ợ
ùù v =
3
ùợ

x3
B = ln x 3
1

e

e

ổx3
x2
x3 ử
ữ 1
ỗ
ũ 3 dx = ỗỗỗố 3 ln x - 3 ứữữữ = 3
1
1
e

Bi tp ỏp dng
Bi 1: Tớnh cỏc nguyờn hm sau:
p
2

1

a) I = ũ ( x - 2) e dx
2x

p
2

b) I = ( x + 1) sin2xdx
ũ

0

3

(

1

)

2

p
2

0

2

(

g) I = ũ ( 1- x) cosxdx

)

k) I = ũ x x + e dx

i) I = e cosxdx
ũ
x

2

x

0

0

1

0

0

2x- 1
f) I = ũ xe dx

d) I = ũ

c) I = x ( 2 + sin x) dx
ũ

0

2
e) I = ũ ln x - x dx

2

- p

2

(

lnx
dx
x3

3

h) I = ũ 4x ln xdx
1

)

x
l) I = ũ 1+ 2xe dx
1

Phn 3: NG DNG TCH PHN
a) Din tớch hỡnh phng gii hn bi ng cong
(C): y = f (x) , trc honh: y= 0, cỏc ng

x = a, x = b ( a < b )cú cụng thc tớnh din tớch
bng:
b

S(H ) = ũ f (x) dx
a

b) Din tớch hỡnh phng gii hn bi ng cong
(C): y = f (x) , ng cong (C): y = g(x) , cỏc
ng x = a, x = b ( a < b )cú cụng thc tớnh
din tớch bng:
b

S(H ) = ũ f (x) - g(x) dx
a

Gv: Nguyn Tun Dng _ 0917727366

Trang 57


Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Năm học 2018 - 2019

c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
(C): y = f (x) , đường cong (C’): y = g(x) có
công thức tính diện tích bằng:
b

S(H ) = ò f (x) - g(x) dx
a

( ta phải cho f (x) - g(x) = 0 tìm các nghiệm xi
, nghiệm nhỏ nhất trong các nghiệm trên là a,
nghiệm lớn nhất là b)

d) Khi cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đường
cong (C): y = f (x) , trục hoành: y= 0và các
đường x = a, x = b xoay xung quanh trục Ox
Tạo thành vật thể tròn xoay (V ). Thể tích vật thể
tròn xoay (V ) được tính theo công thức:
b

2

V = pò[ f (x)] dx
a

e) Khi cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đường
cong (C): y = f (x) ,(C’): y = g(x) và các đường
x = a, x = b xoay xung quanh trục Ox Tạo
thành vật thể tròn xoay (V ). Thể tích vật thể tròn
xoay (V ) được tính theo công thức:
b

2

2

V = pò [ f (x)] - [ g(x)] dx
a

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y = sin x +1, trục hoành và các đường

x = 0, x =

7p
.
6

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos2 x , trục hoành, trục tung và đường
x= p.
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x và y = 3 x .
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 - 4, y =- x2 - 2x và các đường

x =- 3, x =- 2 .
Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366

Trang 58


Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Năm học 2018 - 2019

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 - 4 và y =- x2 - 2x .
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành, đường thẳng
x=- 2 và đường thẳng x= 4.

Bài 7: Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=- 1 và x= 1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt
bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (- 1£ x £ 1) là một hình vuông cạnh là

2 1- x2 .

Bài 8: Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x= 0 và x = p , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt
bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0£ x £ p) là một tam giác đều cạnh là

2 sinx .
Bài 9: Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = 0, x = 4 và y = x - 1. Tính thể tích của khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Bài 10: Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = x2, y = 0, x = 0 và x= 2. Tính thể tích của khối
tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Bài 11: Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = cosx, y = 0, x = 0 và x =
khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Bài 12: Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường

x
2
y = xe
. , y = 0,

p
. Tính thể tích của
4

x = 0 và x= 1. Tính thể tích của

khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Bài 13: (VDC) Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình

vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol)

Bài 14: (VDC)

Bài 15: (VDC)

Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366

Trang 59


Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Năm học 2018 - 2019

Bài 16: (VDC)
Một khối cầu có bán kính là 5(dm) , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng
hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng
3(dm) để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu
chứa được

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP
2

Câu 1: Biết ∫ x x + 1dx = a 3 + b 2 . Tính S = a + b
1

4
A. S =
3

B. S =

13
15

C. S = −

8
15

D. S = −

1
15
1

Câu 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên đoạn [−2;1] và f (−2) = 3;f (1) = 7 . Tính I = ∫ f '(x)dx
−2

7
B. I = 4
C. I = −4
D. I = 10
3
Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 3x
1
1
A. ∫ f (x)dx = − cos3x+C B. ∫ f (x)dx = 3cos3x+C C. ∫ f (x)dx = cos3x+C
3

3
A. I =

d

d

D. ∫ f (x)dx = − 3cos3x+C

b

Câu 4: Cho ∫ f (x)dx = 5; ∫ f (x)dx = 2 , với a < d < b . Tính I = ∫ f (x)dx
a

A. I = 3

b

B. I = 0

a

C. I = 7

Câu 5: Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =

D. I = −3
1
1
và F(2) = 3 + ln 3 . Tính F(3)

2x − 1
2

1
1
ln 5 + 3 C. F(3) = ln 5 + 5 D. F(5) = −2 ln 5 + 5
2
2
3
2
Câu 6: Hãy xác định hàm số F ( x ) = ax + bx + cx + 1 . Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = f ( x )
A. F(3) = 2 ln 5 + 3

B. F(3) =

thỏa mãn f ( 1) = 2 , f ( 2 ) = 3 và f ( 3) = 4 .
1 2
1 3 2
1 2
1 3 1 2
3
A. F ( x ) = x + x + x + 1. B. F ( x ) = x + x + 2 x + 1. C. F ( x ) = x + x + 1. D. F ( x ) = x + x + x + 1.
2
2
3
3
2
x
Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 5

Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366

Trang 60


Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
A.

∫

f ( x ) dx =

5x
+ C . B.
ln x

∫ f ( x ) dx = 5

x

ln 5 + C. C.

Năm học 2018 - 2019

∫ f ( x ) dx = 5

x

+ C . D.

∫

f ( x ) dx =

5x
+ C.
ln 5

2
 x2
khi 0 ≤ x ≤ 1
y
=
f
(
x
)
=
Câu 8: Cho hàm số
. Tính tích phân ∫ f ( x ) dx .

0
 2 − x khi 1 ≤ x ≤ 2
A. 1 .
B. 5 .
C. 1 .
D. 3 .
3
6
2

2

Câu 9: Cho

3

3

3

1

1

1

∫ f ( x ) dx = 2 và ∫ g ( x ) dx =1 . Tính I = ∫ 1008 f ( x ) + 2 g ( x )  dx.

A. 2017 .
B. 2016 .
C. 2019 .
D. 2018 .
Câu 10: Một viên đạn được bắn theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 29, 4 m / s . Gia tốc trọng
trường là 9,8 m / s 2 . Tính quãng đường S viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất.
A. S = 88, 2 m.
B. S = 88,5 m.
C. S = 88 m.
D. S = 89 m.
Câu 11: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = ln x , y = 0 , x = k ( k > 1 ).Tìm k để diện tích
hình phẳng ( H ) bằng 1.

A. k = 2.
B. k = e3 .
C. k = e 2 .
D. k = e.
5
2 x − 2 +1
dx = 4 + a ln 2 + b ln 5 , với a , b là các số nguyên. Tính S = a − b.
Câu 12: Biết I = ∫
x
1
A. S = 9.
B. S = 11.
C. S = 5.
D. S = −3.
m 2
x dx
1
= ln 2 − :
Câu 13: Tìm tất cả các số thực m dương thỏa mãn ∫
x +1
2
0
A. m = 3.
B. m = 2.
C. m = 1.
D. m > 3.
3 3x
x
e
e

Câu 14: Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
trên khoảng ( 0; + ∞ ) và I = ∫ dx .
x
x
1
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. I = F ( 3) − F ( 1) . B. I = F ( 6 ) − F ( 3) . C. I = F ( 9 ) − F ( 3) . D. I = F ( 4 ) − F ( 2 ) .
Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x ) =

1
, f ( 1) = 1 . Tính f ( 5 ) .
2x −1

1
A. f ( 5 ) = ln 3.
B. f ( 5 ) = ln 2.
C. f ( 5 ) = ln 3 + 1.
D. f ( 5 ) = 2 ln 3 + 1.
2
Câu 16: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 , y = x 5 .
1
1
A. S = 1 .
B. S = 2 .
C. S = .
D. S = .
6
3
Câu 17: Cho f ( x ) là hàm số chẵn và

0

∫ f ( x ) dx = a . Mệnh đề nào sau đây đúng?

−2
2

A.

∫ f ( x ) dx = −a.
0

2

B.

∫ f ( x ) dx = 2a.

−2

−2

2

C.

∫ f ( x ) dx = 0.

−2

D.

∫ f ( x ) dx = a.
0

Câu 18: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu F ( x ) , G ( x ) là hai nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) + G ( x ) = C , với C là một hằng số.
B. Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
C. Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C , với C là một hằng số.

Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366

Trang 61


Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Năm học 2018 - 2019

D. Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) + 1 cũng là một nguyên hàm của hàm số f ( x )
.
Câu 19: Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?
1
2
2
.
A. f ( x ) = tan x, g ( x ) =
B. f ( x ) = sin 2 x, g ( x ) = cos x.
2 2
cos x

x
−x
2
f
x
=
e
,
g
x
=
e
.
( )
C. ( )
D. f ( x ) = sin 2 x, g ( x ) = sin x.
2

2
3
Câu 20: Tính tích phân I = ∫ x x + 1dx .
0

16
A. I = − .
9

B. I =

52

.
9

C. I =

16
.
9

Câu 21: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f (x) =
A.

1
2x + 1 + C
2

Câu 22: Cho

B. 2 2x + 1 + C

C.

11

5

7

3

D. I = −

1
2x + 1

1
+C
2x + 1

∫ f (x)dx = 10 . Tính I = 2.∫ f (2x + 1)dx

52
.
9

D.

A. 10

2x + 1 + C

B. 20

C. 5

D. 30

π
3

dx
1
= − (ln a + ln b) . Tính S = a + b
2
π sin x

Câu 23: Biết I = ∫
6

B. S =

A. S = 10 − 4 3
1

Câu 24: Biết I = ∫
0

22
−4 3
3

22
+4 3
3
8
20
B. S =
C. S =
3
3

D. S =

C. S = 10 + 4 3

dx
= log a b . Tính S = a + 3b A. S = 4
2 +1
x

D. S = 6

Câu 25: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x 3 − x và y = x − x 2
37
9
155
17
A.
B.
C.
D.
12
4
12
12
Câu 26: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x ln x , trục hoành và đường thẳng x = e quay quanh Ox
2e3 + 1
2e3 + 1
2e3 − 1
2e3 − 1

B. V =
C. V =
D. V =
9
3
9
3
2
Câu 27: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) : y − 1 − x = 0 và hai đường thẳng x = 0 , x
14
28
7
32
= 3
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3
Câu 28: Nguyên hàm F ( x ) = ∫ ( x + sin x ) dx thỏa mãn F ( 0 ) = 19 là
A. V =

1 2
1
1
x − cos x + 20 B. F ( x ) = x 2 + cos x + 20 C. F ( x ) = x 2 + cos x + 18 D. F ( x ) = x 2 + cos x + 18
2

2
2
Câu 29: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 3x.cos x là:
sin 4x sin 2x
sin 4x sin 2x
sin 4x sin 2x
+
+C
+
+C
+
+C
A.
B.
C.
D. sin 3x.sin x + C
2
2
8
4
8
8
A. F ( x ) =

1

0

Câu 30: Biết ∫ f ( x ) dx = 2 và f ( x ) là hàm số lẻ. Khi đó I = ∫ f ( x ) dx có giá trị bằng
0

A. I = 1

B. I = 0

Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366

−1

C. I = −2

D. I = 2
Trang 62


Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Năm học 2018 - 2019

1

2
Câu 31: Tích phân I = ∫ x x + 1 dx có giá trị bằng
0

A. I =

2 2 −1
3

B. I =

2
3

C. I =

2 2
3

D. I =

2
3

1

x
Câu 32: Biết tích phân I = ∫ ( 2x + 1) e dx = a + be ( a ∈ ¤ ; b ∈ ¤ ) . Khi đó tích a.b có giá trị bằng:
0

A. 1

B. -1
C. 2
2
x
I
=
dx

I
=
Câu 33: Cho tích phân
∫0 1 + x + 1 nếu đặt t = x + 1 thì ∫ f ( t ) dt trong đó
1

D. 3

3

2
A. f ( t ) = t + t

2
B. f ( t ) = 2t + 2t

2
C. f ( t ) = t − t

2
D. f ( t ) = 2t − 2t

π
 π
2
Câu 34: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = tan x và F  ÷ = 1 . Tính F  − ÷
4
 4
 π π
 π π

 π π
 π
A. F  − ÷ = − 1
B. F  − ÷ = + 1
C. F  − ÷ = − 1
D. F  − ÷ = −1
 4 4
 4 2
 4 2
 4
e
Câu 35: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x
xe
x e +1
e −1
e
+ C B. ∫ f ( x ) dx = e.x + C C. ∫ f ( x ) dx =
+ C D. ∫ f ( x ) dx = x + C
ln x
e +1
π
Câu 36: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = sin x.cos x , biết F  ÷ = 1
4
1
1
1
2
A. F ( x ) = − cos 2x + 1 B. F ( x ) = − cos x + 1 C. F ( x ) = − cos x.sin x + 1 D. F ( x ) = − cos 2x + 1
4
2

2
2
3
Câu 37: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị ( C1 ) : y = x + 2 x và ( C2 ) : y = x .
83
15
37
9
A. S = .
B. S = .
C. S =
.
D. S = .
12
4
12
4
A. ∫ f ( x ) dx =

1

2x
2
Câu 38: Cho I = ∫ xe dx = ae + b ( a, b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a + b là
0

A. 0 .

B.

1
.
4

1

C. 1.

1
.
2

1

Câu 39: Cho I = ∫ f ( x ) dx = 2. Tính I = ∫ f ( 4 x ) dx. A. I = 8 .
0

D.

0

B. I =

1
.
2

C. I = 4 .

D. I = 2 .

Câu 40: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x .
1
1
A. 2 cos 2 x + C.
B. −2 cos 2 x + C.
C. cos 2 x + C.
D. − cos 2 x + C.
2
2
2
Câu 41: Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( C ) : y = − x + 4 x và đường thẳng d : y = x . Tính

thể tích V của vật thể tròn xoay do hình phẳng ( H ) quay xung quanh trục hoành.
81π
81π
108π
108π
A. V =
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
10
5
5
10

Câu 42: Cho S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 x − x 2 và trục hoành. Số nguyên lớn
nhất không vượt quá S là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366

Trang 63


Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1
2

Năm học 2018 - 2019

5

dx
1 và
= ln m , với n, m là các số nguyên dương. Khi đó:
x
d
x
=
∫
∫0
2x −1

1
64
A. n > m.
B. 1 < n + m < 5.
C. n < m.
D. n = m.
2
Câu 44: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x − x, y = 0, x = 0 và x = 2 được tính bởi công
thức:
Câu 43: Cho

n

2

A.

2

∫ ( x − x ) dx.
2

B.

∫( x
1

0

1

2

1

− x ) dx − ∫ ( x − x ) dx.
2

C.

0

∫( x
0

2

2

− x ) dx + ∫ ( x − x ) dx.
2

2

D.

1

−x
−x

B. F ( x ) = 2 x − e + 2. C. F ( x ) = 2 + e .

2

0

−x
x
Câu 45: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = e ( 2e + 1) biết F ( 0 ) = 1.

−x
A. F ( x ) = 2 x + e .

∫( x

− x ) dx.

−x
D. F ( x ) = 2 x − e + 1.

1

x+2
dx = a ln 12 + b ln 7, với a, b là các số nguyên. Tính tổng a + b bằng:
+
4
x
+
7
0

1
A. −1.
B. 1.
C. .
D. 0.
2
2 x
2 x
Câu 47: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin − cos .
2
2
2 3 x
3 x
A. ∫ f ( x ) dx = sin x + C.
B. ∫ f ( x ) dx =  sin − cos ÷+ C.
3
2
2
1 3 x
3 x
C. ∫ f ( x ) dx = − sin x + C.
D. ∫ f ( x ) dx =  sin − cos ÷+ C.
3
2
2
Câu 46: Biết

∫x

2

Câu 48: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ ,

3

∫

f ( x ) dx = 2016,

1

4

A.

B.

1

∫ f ( x ) dx =1.
1

∫

f ( x ) dx = 2017. Tính

4

4

∫ f ( x ) dx =4023.

3

∫ f ( x ) dx = − 1.

∫ f ( x ) dx.
1

4

C.

4

4

D.

1

∫ f ( x ) dx =0.
1

Câu 49: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kì thuộc K . Khẳng định nào sau
đây sai?
A.
C.

c

b

b

a

c

a

b

b

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx; ( c ∈ ( a; b ) ) .
∫
a

a

B.

∫ f ( x ) dx = 0.
a

b

f ( x ) dx ≠ ∫ f ( t ) dt.

D.

a

∫
a

a

f ( x ) dx = − ∫ f ( t ) dt.
b

Câu 50: Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
dx
dx 1
dx
= 2 x + C B. ∫ 2 = + C
= ln x + C D. ∫ 2x dx = 2 x + C
A. ∫
C. ∫
x
x
x
x +1
Câu 51: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và thỏa mãn f ( −1) > 0 < f ( 0 ) . Gọi S là diện tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , y = 0, x = −1 và x = 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
0

1

A. S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
−1

0

1

B. S =

∫

f ( x ) dx

−1

1

C. S = ∫ f ( x ) dx
−1

1

D. S =

∫ f ( x ) dx

−1

1
Câu 52: Biết rằng F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin ( 1 − 2x ) và thỏa mãn F  ÷ = 1 . Mệnh

2
đề nào sau đây là đúng?

Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366

Trang 64


Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1
3
A. F ( x ) = − cos ( 1 − 2x ) +
2
2

Năm học 2018 - 2019

B. F ( x ) = cos ( 1 − 2x )

1
1
D. F ( x ) = cos ( 1 − 2x ) +
2
2
e
f ( ln x )
dx = e . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 53: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và thỏa mãn ∫
x
1

C. F ( x ) = cos ( 1 − 2x ) + 1

1

1

A. ∫ f ( x ) dx = 1

e

B. ∫ f ( x ) dx = e

0

C. ∫ f ( x ) dx = 1

0

0

e

D. ∫ f ( x ) dx = e
0

1

1
( a sin 2 + b cos 2 + c ) , với a, b, c ∈ ¢ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

4
0
A. a + b + c = 1
B. a − b + c = 0
C. a + 2b + c = 1
D. 2a + b + c = −1
Câu 55: Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng
giới hạn bởi các đường y = x , y = 0 và x = 4 quanh trục Ox. Đường
thẳng x = a ( 0 < a < 4 ) cắt đồ thị hàm số y = x tại M (hình vẽ bên). Gọi

Câu 54: Biết rằng ∫ x cos 2xdx =

V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục
Ox. Biết rằng V = 2V1 . Khi đó
5
A. a = 2 2 B. a =
2
C. a = 2
D. a = 3
Câu 56: Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài
hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang
tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương
2
2
2
trình trong hệ tọa độ Oxy là 16y = x ( 25 − x ) như hình vẽ bên.
Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị
trong hệ trục tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét.
125 2
125 2

m )
A. S =
B. S =
(
(m )
6
4
250 2
125 2
m )
C. S =
D. S =
(
(m )
3
3
Câu 57: Cho
A. I =

−1
2

∫

4

2

1

f ( x ) dx = −1, tính I = ∫ f ( 4x ) dx :
3

B. I =

−1
4

C. I =

1
4

D. I = −2

1

t

0

2

∫

dx > 0 (ẩn x) là: (đề 47 – ĐHSPHN)
t +1
A. ( −∞;0 )
B. ( −∞; +∞ )
C. ( −∞; +∞ ) \ { 0}

D. ( 0; +∞ )
Câu 59: Gọi S là diện tích của Ban Công của một ngôi nhà có dạng như hình vẽ
(S được giới hạn bởi parabol (P) và trục Ox)
9
A. S =
2
B. S = 1
4
C. S =
3
D. S = 2
Câu 58: Tập hợp các nghiệm của bất phương trình

Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366

Trang 65


Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Câu 60: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

Năm học 2018 - 2019

x
và F ( 0 ) = 1 . Tính F ( 1)
x +1
2

1
B. F ( 1) = ln 2 + 1 C. F ( 1) = 0

D. F ( 1) = ln 2 + 2
2
Câu 61: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2x
1
−1
A. ∫ f ( x ) dx = cos 2x + C B. ∫ f ( x ) dx = − 2cos 2x + C C. ∫ f ( x ) dx = cos 2x + C D. ∫ f ( x ) dx = 2cos 2x + C
2
2
A. F ( 1) = ln 2 + 1

Câu 62: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên [ 0;1] . f ( 0 ) = 1;f ( 1) = −1 . Tính I = ∫ f ' ( x ) dx
1

−2

A. I = 1
B. I = 2
C. I = −2
D. I = 0
Câu 63: Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A. ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx , với mọi hàm f(x), g(x) liên tục trên R.
B. ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx , với mọi hàm f(x), g(x) liên tục trên R.
C. ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với mọi hằng số k và với mọi hàm f(x) liên tục trên R.

D. ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C với mọi hàm f(x) có đạo hàm trên R
1 xdx
Câu 64: Tính tích phân ∫ 2
0 x +1
1
1

A. I = −1 + ln 2
B. I = ln 2
C. I = ln 2
D. I = ( −1 + ln 2 )
2
2
3
Câu 65: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x − x; y = 2x và các đường thẳng
x = −1; x = 1 được xác định bởi công thức.
3
A. S = ∫ ( 3x − x ) dx

3
3
B. S = ∫ ( 3x − x ) dx + ∫ ( x − 3x ) dx

3
C. S = ∫ ( 3x − x ) dx

3
3
D. S = ∫ ( x − 3x ) dx + ∫ ( 3x − x ) dx

1

−1

1

−1

Câu 66: Tìm nguyên hàm ∫
A.

1
1
ln
+C
2 1 − 2x

B.

0

1

−1

0

0

1

−1

0

1
dx bằng:

1 − 2x

1
ln 1 − 2x + C
2

C. ln 1 − 2x + C
2

Câu 67: Với các số nguyên a,b thỏa mãn ∫ ( 2x + 1) ln xdx = a +
1

A. P = 27

D. ln

1
+C
1 − 2x

3
+ ln b , tính tổng P = a + b
2
D. P = 61

B. P = 28
C. P = 60
4 ln x + 1
dx = a ln 2 2 + b ln 2 , với a, b là các số hữu tỉ. Khi đó tổng 4a + b bằng
Câu 68: Giả sử ∫1

x
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
Câu 69: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x 2 và y = x là:
1
1
1
1
A.
(đvdt)
B. (đvdt)
C. (đvdt)
D. (đvdt)
2
3
4
6
x
x
Câu 70: Biết F ( x ) = ( ax + b ) .e là nguyên hàm của hàm số y = ( 2x + 3) .e . Khi đó a + b là
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Câu 71: Trong các tích phân sau, tích phân nào không có cùng giá trị với I = x 3 x 2 − 1dx
3
3
1 2

1 4
A. ∫1 t t − 1dt
B. ∫1 t t − 1dt
C. ∫ ( t 2 + 1) tdt
D. ∫ ( x 2 + 1) x 2 dx
0
0
2
2
2

Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366

Trang 66


Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Năm học 2018 - 2019

Câu 72: cho đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình vẽ sau đây. Diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) được
xác định bởi
2

A. S = ∫ f ( x ) dx
−2
−2

2

1
1

1
2

−2
1

1
2

B. S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
C. S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
D. S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx
−2

1

Câu 73: Cho f ( x ) = 3x + ( 1 − 2m ) x + 2m với m là tham số. Tìm m để F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x )
2

và F ( 0 ) = 3, F ( 1) = −3
5
15
15
A. m = −
B. m =
C. m = −
2

2
2
2
x
Câu 74: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x + 3
A. ∫ f ( x ) =

D. m = −

x 3 3x
x3
x3
+
+ C B. ∫ f ( x ) = = 3x + C C. ∫ f ( x ) = + 3x ln 3 + C
3 ln 3
3
3
7

3

Câu 75: Cho ∫ f ( x ) dx = 10 và − ∫ f ( x ) dx = 2 . Tính
A. I = 5

−2

3

C. I = 8

B. I = 12

1
2

D. ∫ f ( x ) =

x 2 3x
+
+C
2 ln 3

7

∫ f ( x ) dx

−2

D. I = −8

6
6
Câu 76: Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin x + cos x , x =

π
, trục tung và trục hoành.
2

Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox.
5π2

5π2
5π2 − 12
π2
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
16
8
16
8
2
e
 u = ln ( 1 + x )
2
Câu 77: Để tính tích phân I = ∫ x.ln ( 1 + x ) dx , ta đặt 
. Khi đó I được xác định bởi:
 dv = xdx
1
e
e
 x2
 x2
x3
2  e
2  e
I
=
.ln
1

+
x
−
xdx
I
=
.ln
1
+
x
−
A.
B.
(
) ÷1 ∫
(
) ÷ 1 ∫ 1 + x 2 dx


 2

 2

1
1
e
 1+ x2
2  e
.ln ( 1 + x ) ÷ − ∫ xdx
C. I = 

 2
1 1

D. Cả 2 đáp án B và C đều đúng

1

x
Câu 78: Cho I = ∫ ( mx − e ) dx . Tìm các giá trị của m để I ≥ 1 + e
0

A. m ≥ 4e − 4
B. m > 4e
C. m ≤ 4e
Câu 79: Khẳng định nào sau đây là đúng?
x
x
A. ∫ a dx = a ln a + C
B. ∫ sin xdx = cos x + C
Câu 80: Cho
A. I = 6

∫

9

0

f (x)dx = 9 và
B. I = 9

Câu 81: Tính tích phân I = ∫

3

2

∫

9

6

D. m ≥ 4e
x
x
C. ∫ e dx = e + C

D. ∫ cos xdx = − sin x + C

6

f (x)dx = 3 . Tính I = ∫ f (x)dx
0

C. I = 12

D. I = 3

2x − 3x + 2

dx
x −1
2

Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366

Trang 67


Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Năm học 2018 - 2019
A. I = 4 − ln 2
B. I = 4 + ln 2
C. I = 2 + 2 ln 2
D. I = 4 + 2 ln 2
2
x − x +1
Câu 82: Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số f (x) =
, biết F(1) = 0
x
x2
1
x2
1
x2
1
x2
1
A. F(x) = + ln x −
B. F(x) = − x + ln x + C. F(x) = − x + ln x +

D. F(x) = + ln x −
2
2
2
2
2
2
2
2
π
Câu 83: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 2x và F(0) = 1 . Tính F  ÷
2
π
π 3
π
π 1
A. F  ÷ = 2
B. F  ÷ =
C. F  ÷ = 1
D. F  ÷ =
2
2 2
2
2 2
e
a2 +1
a
Câu 84: Cho tích phân I = ∫ x ln xdx =
. Khi đó tỉ số
là:

b
b
1
a e
a e
a
e
a
e
A. =
B. =
C. = −
D. = −
b 4
b 2
b
2
b
4
a
7
2
Câu 85: Cho biết ∫ (x + 1) dx = . Tìm số a
3
0
A. a = −2
B. a = 1
C. a = 2
D. a = −1
−x

Câu 86: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = e + cos x − sin x
−x
A. ∫ f (x)dx = −e + sin x + cos x + C
−x
C. ∫ f (x)dx = −e + sin x − cos x + C

−x
B. ∫ f (x)dx = −e − sin x − cos x + C
−x
D. ∫ f (x)dx = e + sin x + cos x + C

Câu 87: Cho hàm số f (x) = x 2 − 2x + 3 . Nguyên hàm của hàm số f(x) là
A. F(x) = 2x − 2 + C

B. F(x) =

x3 2
−x +C
3

C. F(x) =

x3 2
x3 x 2
− x + 3x + C D. F(x) = − + 3x + C
3
3 2
6

Câu 88: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [ 0;6] , f (0) = 1 và f (6) = 9 . Tính I = ∫ f '(x)dx

0

A. I = 10
B. I = 8
C. I = 6
D. I = 7
Câu 89: Người ta cần sơn trang trí một bề mặt của một cổng chào có hình dạng như
hình vẽ sau đây. Các biên của hình tương ứng là các parabol có phương trình
y = − x 2 + 6x; y = −2x 2 + 12x − 10 (đơn vị đo độ dài là mét). Hỏi cần ít nhất bao
nhiêu lít sơn? Biết tỉ lệ phủ của sơn là 10m 2 / lit .
A. 3,6 lit
B. 2,2 lit
C. 1,5 lit
D. 2,4 lit
1
dx
a
= ln , trong đó a , b là các số nguyên
Câu 90: Cho tích phân I = ∫ 2
x − 5x + 6
b
0
dương. Tính S = 2a + 3b
A. S = 17
B. S = 10
C. S = 18
D. S = 9
Câu 91: Khẳng định nào sau đây là đúng?
1
1

1
dx = ln(2x − 1) + C
dx = 2 ln(2x − 1) + C
A. ∫
B. ∫
2x − 1
2
2x − 1
1
1
1
dx = ln 2x − 1 + C
dx = ln 2x − 1 + C
C. ∫
D. ∫
2x − 1
2x − 1
2
Câu 92: Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đưởng y = 2x ,
y = 0, x = 0, x = 4 . Đường thẳng x = 1(0 < a < 4) chia hình (H) thành hai phần có
diện tích là S1 và S2 như hình vẽ bên. Tìm a để S2 = 4S1
Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366

Trang 68


Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Năm học 2018 - 2019

16
5
Câu 93: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo nên khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi
các đường y = (1 − x) 2 , y = 0, x = 0 và x = 2
5π
2π
8π 2
A. V =
B. v =
C. V = 2π
D. V =
2
5
3
B. a = log 2 13

A. a = 3

D. a = log 2

C. a = 2

1

4
2
Câu 94: Tính tích phân I = ∫ (x − 3x + 5)dx
0

A. I =

19
5

B. I =

21
5

C. I =

4

1

1

0

18
5

D. I =

22
5

Câu 95: Cho ∫ f ( x ) dx = 9. Tính tích phân I = ∫ f ( 3x + 1) dx
A. I = 9.

B. I = 3.

C. I = 1.

D. I = 27.

1
sin 2 x
A. ∫ f ( x ) dx = tanx + C. B. ∫ f ( x ) dx = cotx + C. C. ∫ f ( x ) dx = − cotx + C. D. ∫ f ( x ) dx = − tanx + C.
Câu 96: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1

3x − 1
a 5
a
dx = 3ln − trong đó a, b nguyên dương và
là phân số tối giản. Hãy tính ab.
+ 6x + 9
b 6
b
0
5
A. ab = 6
B. ab = −5
C. ab = 12
D. ab =
4
π
Câu 98: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = cos 2x , biết rằng F  ÷ = 2π

2
1
3π
A. F ( x ) = sin x + 2π B. F ( x ) = 2x + 2π
C. F ( x ) = sin 2x + 2π D. F ( x ) = x + sin 2x +
2
2
Câu 99: Cho (H) là miền hình phẳng giới hạn bởi các đường x = a; x = b (với a < b ) và đồ thị của hai hàm
số y = f ( x ) , y = g ( x ) . Gọi V là thể tích của vật thể tròn xoay khi (H) quay quanh Ox. Mệnh đề nào dưới đây
là đúng?
Câu 97: Biết

b

A. V = π ∫ f

2

∫x

2

( x ) − g ( x ) dx
2

a

Câu 100: Biết

b

a

π
4

x

b

b

B. V = π ∫  f ( x ) − g ( x )  dx C. V = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx D. V = ∫  f ( x ) − g ( x )  dx
2

π

2

2

a

2

a

1

∫ cos2 x dx = a + b ln 4 . Tính P = a + b
0

A. P = 2

B. P = 6

Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366

C. P = 0

D. P = 8

Trang 69