Chuyên đề về tích phân

Chuyên đề về tích phân
1. Tích phân hàm phân thức
các dạng cơ bản
Các trường hợp đơn giản nhất có:
I.1 =
I.2 = với n tự nhiên khác 1
I.3 =
I.4 = với a > 0
Nguyên hàm I.1, I.2 tính được dễ dàng bằng cách áp dụng công thức có trong bảng Nguyên hàm của
các hàm số hợp (SGK trg 116). Nguyên hàm I.3 là bài tập 3d (SGK trg 118) – cũng chỉ là nguyên
hàm dạng (với .
I.4 là bài tập 4a (SGK trg 142). Để tính tích phân này ta đổi biến: đặt x = atgt.
Trường hợp tổng quát
Nếu P có bậc lớn hơn hoặc bằng bậc của Q thì phân thức có thể viết thành P/Q = T + R/Q (T, R lần
lượt là thương và dư trong phép chia P : Q), tính tích phân hàm P/Q qui về tính tích phân của đa
thức T và tích phân của hàm hửu tỉ R/Q. Việc tính tích phân của đa thức T không có gì khó khăn.
Sau đây ta xét cách tính tích phân của phân thức R/Q trong đó R là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của
đa thức Q.
Trừong hợp 1. Q là tam thức bậc hai: Q =
Có ba khả năng:
(i). Q có hai nghiệm phân biệt
Khi đó có Q = . Biến đổi:
, ở đây m, n là hai hằng số.
Bài toán qui về tính tích phân dạng I.1
(ii). Q có nghiệm kép
Khi đó có Q = . Biến đổi:
Bài toán qui về tính tích phân dạng I.1 và I.2
(iii). Q vô nghiệm.
Khi đó Q = (k là hằng số). Biến đổi:
trong đó Q’ là đạo hàm của Q.
Bài toán qui về tính tích phân dạng I.3 và I.4

Trường hợp 2. Q là đa thức có bậc lớn hơn 2
Việc tính tích phân của phân thức R/Q với Q là đa thức có bậc lớn hơn 2 trong trường hợp tổng quát
vượt quá kiến thức PT. Thường ta chỉ xét các trường hợp đặc biệt, chẵng hạn Q có thể phân tích
thành nhân tử là các nhị thức bậc nhất hay tam thức bậc hai vô nghiệm. Từ đó ta có thể biến đổi
phân thức R/Q thành các phân thức đơn giản hơn, có mẫu là nhị thức, tam thức nói trên; và bài toán
như thế cũng qui về tính tích phân có dạng I.1-4 . Một số trường hợp khác đổi biến thích hợp giúp
ta đưa tích phân về dạng quen thuộc dđơn giản hơn.
Cuối cùng cũng lưu ý là bằng cách đổi biến, nhiều tích phân của hàm lượng giác, tích phân của hàm
vô tỉ cũng đưa được về các dang tích phân trên. (ví dụ bài 1c của Kummer cho trên). Nhưng ta sẽ
trở lại vấn đề này sau.
Các bạn hãy thử làm các bài tập sau để nắm rõ hơn phần lí thuyết nghe còn trừu tượng trên.
Bài tập: Tính các tích phân:
A =
B = với a > 0
C =
D =
E =
F =
G =
HD
A. dạng I.3 ĐS:
B. Biến đổi: f(x) = .
Ta đã đưa về được tích phân dạng I.1.
Chú ý nguyên hàm (a khác 0) cũng là một dạng nguyên hàm thường
gặp, nên chú ý.
C. tương tự. ĐS
D. f(x) = 1 + . ĐS: 1 +
E. f(x) =
ĐS: ln2+
F. f(x) = 1 +

G. đặt t =
Thêm mấy bài trích từ đề thi TS ĐH & CĐ mấy năm gần đây để các bạn làm quen
H =
I =
J =
K =
2.Tích phân hàm lượng giác
Các dạng thường gặp
J.1 = .
J.2 = .
J.3 =
J.4 =
Trên là 4 nguyên hàm lượng giác cơ bản đã học (có trong Bảng các nguyên hàm SGK).
Từ các nguyên hàm cơ bản này ta dễ dàng tính được , …
Các nguyên hàm sau cũng khá thường gặp, hơn nữa cách tính chúng rất điển hình cho cách tính tích
phân các hàm lượng giác, nên cần nắm vững:
J.5 =
J.6 =
J.7 =
J.8 =
J.9 =
J.10 =
J.11 =
Tính J.5: tgx = sinx/cosx. Đặt u = cosx, đưa về tính nguyên hàm hửu tỉ dạng u’/u.
Trình bày gọn: = -ln|cosx| + C.
Hoàn toàn tương tự với
J.6: biến đổi , đưa về tính nguyên hàm dạng J.1
Tương tự với .
( Nói chung, ta chỉ phát biểu bài toán với sin, tang. Bài toán với cos, cotg là tương tự, từ nay sẽ
không nhắc lại

J.7: biến đổi , đưa về hai nguyên hàm cơ bản
J.8: , đặt u = cosx, đưa về nguyên hàm hàm hửu tỉ.
Cũng có thể đặt t = tg(x/2), dẫn đến = ln|t| + C = ln|tg(x/2)| + C.
J.9: , đưa về tính hai nguyên hàm cơ bản
Cũng có thể biến đổi: , cũng đưa về hai nguyên hàm cơ bản
J.10: , đựoc nguyên hàm cơ bản và I.5
J.11: đặt u = 1/sinx, dv = , qui về tính
I = = J.11 + J.8

Từ các bài toán trên, ta thấy để tính tích phân hàm lượng giác các cách thường dùng là
1. Biến đổi đưa về tích phân cơ bản

Ví dụ ở I.6, I.7, I.9. Ta xét thêm vài thí dụ:
J.12
J.13
J.14
J.15 Giải phương trinh f(t) = = 0
2. Đổi biến đưa về tích phân cơ bản

Ví dụ ở J.5, J.8, J.10. Sau đây là một số ví dụ khác:

J.16 =

J.17 =

J.18 =

J.19 =

3. Phương pháp tích phân từng phần

ví dụ với J.11. Một số ví dụ khác:

J.20 =

J.21 =

Hướng dẫn giải các ví dụ

J.12: Mẫu = 1+cosx =

Chú ý dạng tổng quát cũng thường gặp:



J.13: f(x) =

J.14: f(x) =

J.15: biến đổi hàm dưới dấu tích phân g(x) = – 2cos2x.
Suy ra f(t) = sin2t = 0.

J.16: đặt t = tg(x/2).
Tổng quát: nguyên hàm dạng có thể hửu tỉ hóa bằng cách đặt t = tg(x/2).
Tuy nhiên khi tính tích phân của f(x) trên đoạn [a;b] phải chú ý t = tg(x/2) có được xác định trên
đoạn ấy? nếu không, phải tìm cách đổi biến khác.

J.17: Gọi M = mẫu thức, M’ = đạo hàm của M. Biến đổi:
f(x) =

Tổng quát: : tính tương tự

J.18: f(x) =

Tổng quát: với
ta làm tương tự để biến đổi, đưa về tính hai tích phân cơ bản:
f(x) = =


Tương tự với f(x) = 1/cos(x+a)cos(x+b), 1/sin(x+a)cos(x+b)...

Với : biến đổi mẫu có dạng tổng thành tích, đưa về dạng trên.

J.19: mẫu = sin(x+pi/6), được dạng tích phân cơ bản.

Tổng quát: .
Cách khác: đặt t = tg(x/2) đưa về tích phân hữu tỉ.

J.20: đặt u = x, dv = dx/cos^2x.