Giai tich to hop Bo sung kien thuc

Bổ trợ về Tập hợp, Giải tích tổ hợp

I – Tập hợp
II – Ánh xạ

III – Giải tích tổ hợp

22/01/2017

Toán rời rạc

1


I - TẬP HỢP
1. Khái niệm về tập hợp
- Tập hợp (tập) là một khái niệm nguyên thủy (khái niệm cơ bản
của Toán học), nó không định nghĩa được mà chỉ được mô tả qua
các ví dụ như tập hợp những học sinh trong một lớp học, tập hợp
các cầu thủ trong một đội bóng… vv. Một cách trực quan, tập hợp
để chỉ các đối tượng được nhóm lại theo một tính chất nào đó.
- Một tập hợp được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa A, B, C, X, Y,
Z…; các phần tử ký hiệu là a, b, c, x, y, z…
- Nếu a là một đối tượng của tập hợp A (phần tử của tập hợp A) thì
ta viết a ∈ A, (đọc là a thuộc tập A) nếu không, ta viết a ∉ A, (đọc
là a không thuộc tập A).
- Tập không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng (trống). Ký hiệu
là ∅.
22/01/2017

Toán rời rạc

2


I - TẬP HỢP
2. Các cách biểu diễn một tập hợp
a. Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp
Ví dụ: A = 1, 3, 5, 7
b. Mô tả tập hợp
(Chỉ ra tính chất đặc trưng các phần tử của tập hợp)
A = x ∈ U|p(x) - U được gọi là tập vũ trụ.
Ví dụ:
B = x ∈ ℕ|x ⋮ 2 - tập hợp các số tự nhiên chẵn.
C = x ∈ ℝ|x 2 < 7 - tập các số có bình phương bé hơn 7.
c. Biểu diễn bằng sơ đồ Venn
Biểu thị một tập hợp nào đó là một đường cong kín
Ví dụ:
A

22/01/2017

Toán rời rạc

3


I - TẬP HỢP
Lực lượng của tập hợp
- Cho A là một tập hợp. Số phần tử của A được gọi là lực lượng (bản
số) của tập hợp A. Ký hiệu là A hay cardA.

- Nếu tập A có hữu hạn phần tử ta nói tập A là tập hữu hạn. Ngược
lại, nếu tập A mãi vẫn còn phần tử không được đếm ta nói A là tập vô
hạn.
Ví dụ: ℕ = 0, 1, 2, 3 …
ℤ = … − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 …
a
|b
b

ℚ=
≠ 0, a, b ∈ ℤ
𝕀 = ℝ\ℚ - tập các số vô tỷ
ℝ = Tập các số thực
ℂ = a + bi|a, b ∈ ℝ, i2 = −1
Là các tập vô hạn phần tử.
X = 1, 5, 9 - tập hữu hạn phần tử và X = 3.
22/01/2017

Toán rời rạc

4


I - TẬP HỢP
3. Quan hệ giữa các tập hợp
a. Tập hợp con
Tập A được gọi là tập con của tập X nếu mọi phần tử của tập A đều
thuộc tập X. Ký hiệu là A ⊂ X hoặc X ⊃ A (đọc là X chứa A).
Định lý:
Số lượng các tập hợp con của một tập hợp X nào đó là 2n , trong đó

X = n. Tập tất cả các tập con của tập X ký hiệu là P(X).
Ví dụ: X = a, b thì X = 2. Số lượng tập con là 22 = 4.
P X = ∅, a , b , a, b
Định nghĩa:
Hai tập hợp A và B là bằng nhau nếu A = B ⟺ A ⊂ B và B ⊂ A.
Ghi nhớ:
- Tập rỗng là con của mọi tập hợp.
- Cho A là tập hợp thì A ⊂ A.
- Với A, B, C là các tập hợp nếu A ⊂ B, B ⊂ C ⟹ A ⊂ C.
22/01/2017

Toán rời rạc

5


I - TẬP HỢP
4. Các phép toán trên tập hợp
Cho A, B là các tập hợp, U là tập vũ trụ.
a. Phần bù (Complement) của một tập hợp
Phần bù của tập hợp A là tập các phần tử thuộc U
nhưng không thuộc A.
A = x ∈ U|x ∉ A
b. Giao (Intersection) của 2 tập hợp
Giao của 2 tập hợp A và B là tập tạo nên từ các phần tử
vừa thuộc tập A và tập B. Ký hiệu A ∩ B. Nghĩa là
A ∩ B = x ∈ U| x ∈ A ∧ x ∈ B
c. Hợp (union) của 2 tập hợp
Hợp của 2 tập hợp A và B là tập tạo nên từ các phần tử
ít nhất thuộc một trong hai tập. Ký hiệu A ∪ B. Nghĩa là

A ∪ B = x ∈ U| x ∈ A ∨ x ∈ B
22/01/2017

Toán rời rạc

6


I - TẬP HỢP
4. Các phép toán trên tập hợp
d. Hiệu của 2 tập hợp
Hiệu của 2 tập hợp A và B là tập các phần tử thuộc A nhưng
không thuộc B. Ký hiệu là A\B. (đọc là A trừ B). Nghĩa là
A\B = x ∈ U| x ∈ A ∧ x ∉ B
Khi A ⊂ B thì B\A thì gọi là phần bù của A trong
B, ký hiệu là CB A.
e. Tích Descartes (Đề các) của 2 tập hợp
Tích Đề các của 2 tập A và B là tập tất cả các cặp có thứ tự x, y ,
trong đó x ∈ A và y ∈ B. Ký hiệu là AxB. Nghĩa là
AxB = x, y |x ∈ A, y ∈ B
Ghi nhớ:
AxB = A . B
22/01/2017

Toán rời rạc

7


I - TẬP HỢP

Ví dụ:
Cho A = a, b, c, d , B= c, d, e, f
Ta có:
A ∩ B = c, d
A ∪ B = a, b, c, d, e, f
A\B = a, b
a, c , a, d ,
b, c , b, d ,
AxB =
c, c , c, d ,
d, c , d, d ,
22/01/2017

Toán rời rạc

a, e ,
b, e ,
c, e ,
d, e ,

a, f ,
b, f ,
c, f ,
d, f
8


I - TẬP HỢP

Các phép giao, hợp, tích Descartes có thể mở

rộng cho nhiều tập hợp

Ai = x|∀i ∈ I, xi ∈ Ai
i∈I

Ai = x|∃i ∈ I, xi ∈ Ai
i∈I

Ai xi

i∈I |∀i

∈ I, xi ∈ Ai

i∈I
22/01/2017

Toán rời rạc

9


I - TẬP HỢP
5. Tính chất (Định lý)
Cho A, B, C là các tập con tùy ý của tập vũ trụ U
a. Tính giao hoán
A∩B=B∩A
A∪B=B∪A
b. Tính kết hợp
A∩ B∩C = A∩B ∩C

A∪ B∪C = A∪B ∪C
c. Luật De Morgan
A∩B=A∪B
A∪B=A∩B
22/01/2017

Toán rời rạc

10


I - TẬP HỢP

5. Tính chất (Định lý)
d. Tính phân phối
A∩ B∪C = A∩B ∪ A∩C
A∪ B∩C = A∪B ∩ A∪C
e. Phần tử trung hòa
A∩U=A
A∪∅=A
f. Phần bù
A∪A=U
A∩A=∅
22/01/2017

Toán rời rạc

11

I - TẬP HỢP

5. Tính chất (Định lý)
g. Tính thống trị
A∩∅=A
A∪U=U
h. Tính lũy đẳng
A∩A=A
A∪A=A
i. Luật hấp thụ
A∩ A∩B =A
A∪ A∪B =A
22/01/2017

Toán rời rạc

12


II – ÁNH XẠ
1. Định nghĩa
Cho 2 tập hợp X, Y ≠ ∅. Một ánh xạ ký hiệu là f từ tập X đến tập Y
là một quy tắc sao cho với mỗi giá trị x ∈ X ta tìm được một và chỉ
một giá trị y ∈ Y. (tồn tại duy nhất y ∈ Y) và f x = y.
Ta viết:
f: X → Y
x ⟼ y = f(x)
Nghĩa là: ∀x ∈ X, ∃! y ∈ Y: y = f(x)
- y được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f
- x được gọi là tạo ảnh của y qua ánh xạ f

Y
X
22/01/2017

Toán rời rạc

13


II – ÁNH XẠ
X
X

Y

X
Y

Không là ánh xạ
22/01/2017

Toán rời rạc

14


II – ÁNH XẠ
Hai ánh xạ bằng nhau
Hai ánh xạ f, g từ X đến Y được gọi là bằng nhau nếu

∀x ∈ X, f x = g(x)
Ví dụ:
Xét ánh xạ f, g: ℝ → ℝ
f x = x+1 x−1 ,
g x = x 2 − 1,
Ta có:
f = g.

22/01/2017

Toán rời rạc

15


II – ÁNH XẠ
Định nghĩa ảnh và ảnh ngược
Cho ánh xạ
f: X → Y, A ⊂ X, B ⊂ Y thì
Ảnh của A qua ánh xạ f là tập hợp
f A = f x |x ∈ A = y ∈ Y|∃x ∈ A, y = f(x)
Như vậy
y ∈ f A ⟺ ∃x ∈ A, y = f x
y ∉ f A ⟺ ∀x ∈ A, y ≠ f(x)
f(A)

X

A

Y

Ảnh ngược (tạo ảnh) của B qua ánh xạ f là tập hợp
f −1 B = x ∈ X|f(x) ∈ Y
Như vậy
x ∈ f −1 B ⟺ f x ∈ B
B

X
22/01/2017

f −1 (B)

Toán rời rạc

Y
16


II – ÁNH XẠ
Ví dụ: f: ℝ → ℝ được xác định bởi f x = x 2 + 1
Ta có
f 1,3 = 2,10
f −2, −1 = 2,5
f −1,3 = 1,10
f 1,5 = 2,26
f −1 1 = 0
f −1 2 = −1,1
f −1 −5 = ∅
f −1 2,5 = −2, −1 ∪ 1,2

22/01/2017

Toán rời rạc

17


II – ÁNH XẠ
2. Phân loại ánh xạ
Cho f: X → Y là một ánh xạ
a. Đơn ánh
Ta nói ánh xạ f là một đơn ánh (còn gọi là ánh xạ tiêm) nếu
với mọi y ∈ Y tồn tại nhiều nhất một x ∈ X để f x = y.
Nghĩa là với x1 , x2 ∈ X, x1 ≠ x2 ⇒ f x1 ≠ f x2
⟺ f x1 = f x2 ⇒ x1 = x2 .

Y
X
22/01/2017

Toán rời rạc

18


II – ÁNH XẠ
2. Phân loại ánh xạ
b. Toàn ánh
Ta nói ánh xạ f là một toàn ánh (còn gọi là ánh xạ
tràn) nếu với mọi y ∈ Y tồn tại ít nhất một x ∈ X để

f x = y.
Nghĩa là f X = Y.
Y

X

22/01/2017

Toán rời rạc

19


II – ÁNH XẠ
2. Phân loại ánh xạ
c. Song ánh
Ta nói ánh xạ f là một song ánh (còn gọi là sánh) nếu
f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Y
X

22/01/2017

Toán rời rạc

20


II – ÁNH XẠ
Ví dụ:

- f: ℝ → ℝ được xác định bởi
f x = x + 1 là đơn ánh.
- f: ℝ → ℝ được xác định bởi
f x = x 2 + 1 không là đơn ánh, không là toàn ánh.
- f: ℝ → 1, ∞ được xác định bởi
f x = x 2 + 1 là toàn ánh.
- f: ℝ → ℝ được xác định bởi
f x = x 3 + 1 là song ánh.
22/01/2017

Toán rời rạc

21


II – ÁNH XẠ
Ánh xạ ngược
Xét f: X → Y là một song ánh. Khi đó với mỗi y ∈ Y ta
có duy nhất một x ∈ X và f x = y. Do đó ta cũng có
tương ứng y ⟼ x một ánh xạ từ Y vào X. Ta ký hiệu
ánh xạ đó là f −1 và gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f.
Như vậy
f −1 : Y ⟶ X
y ⟼ f −1 y = x
Tính chất
f f −1 y = y, y ∈ Y
f f −1 x = x, x ∈ X
22/01/2017

Toán rời rạc

22


II – ÁNH XẠ
Ví dụ:
f: ℝ ⟶ ℝ
x ⟼ f x = 2x + 1
thì
f −1

Vì:

x =

y−1
2

y = 2x + 1 ⟺ x =

22/01/2017

Toán rời rạc

y−1
2

23

II – ÁNH XẠ
3. Tích các ánh xạ
Định nghĩa
Cho hai ánh xạ f: X → Y và g: Y ′ → Z trong đó Y ⊂ Y ′ .
Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X → Z xác định
bởi
h: X → Z
x↦h x =g f x
Ta viết
h = g. f
Y′
X
22/01/2017

Y
Toán rời rạc

Z
24


II – ÁNH XẠ
Ví dụ:
Tính f. g, g. f
a. f x = x 2 + 1, g x = x + 1
2
x
b. f x =
x+1

22/01/2017

nếu x > 0 , g x = 2x + 1
nếu x ≤ 0

Toán rời rạc

25