Chuyen de HSG CM dang thuc co HD giai

Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp 9

( Mời các thầy cô xem và cho ý kiến do thời gian chuẩn bị cha đợc kỹ mong thầy cô bỏ qua,
ngời viết Nguyễn Thanh Hùng ĐVCT Trờng THCS Tiên Nha Lục Nam Bắc Giang ĐT
0986713720 độc giả đợc chỉnh sửa thoải mái)
Bài tập 1. Cho a + b + c = 0, a, b, c # 0. Chứng minh hằng đẳngthức:
cbacba
111111
222
++=++
HD.






++






+++++=++=
cabcabcabcab
cbacba
VT
111
2
111

2
111111
222222
VP
cbacbaabc
cba
cbabca
b
abc
a
abc
c
cba
=++=






++=






++

++=






++






++=
111111
2
111
2
111
222
Bài tập 2: Chứng minh rằng số:
532
++
là số vô tỉ.

HD.Giả sử:
a
=++
532
(a hữu tỉ ).Thế thì
532
=+
a
.Bình phơng hai vế ta đợc:
2
56525625
2
2
a
aaa
=++=+
,
tiếp tục BPHV ta có:
a
a
a
a
aa
2
56
4
30
4
30256
2

4
4
2

==++
(hiển nhiên a # 0 ),
30

là số hữu tỉ,vô lí . Vậy
532
++
là số vô tỉ.
Bài tập 3: a)Rút gọn biểu thức:
( )
2
2
1
11
1
+
++=
a
a
A
với a # 0;
b)Tính giá trị tổng:
22
2
1
1

1
1
++=
B
+
22
3
1
2
1
1
++
+
22
4
1
3
1
1
++
++
22
100
1
99
1
1
++
.
HD. a).

=
+
+++++
=
+
++++
=
+
++=
22
2222
22
2222
22
2
)1(
12)1(
)1(
)1()1(
)1(
11
1
aa
aaaaa
aa
aaaa
aa
A
[ ]
22

2
22
22
22
22
22
222
)1(
1)1(
)1(
1)1(2)1(
)1(
1)1(2)1(
)1(
122)1(
+
++
=
+
++++
=
+
++++
=
+
++++
=
aa
aa
aa

aaaa
aa
aaaa
aa
aaaa
2
2
)1(
1






+
++
=
aa
aa
; Với a > 0 nên A > 0 và
)1(
1
2
+
++
=
aa
aa
A

.
b) Từ câu a suy ra:
( )
1
11
1
)1(
1
1
)1(
1)1(
)1(
1
1
11
1
2
22
+
+=
+
+=
+
++
=
+
++
=
+
++=

aaaaaa
aa
aa
aa
a
a
A
.
Do đó:
=






+++






++

++






+=
100
1
99
1
1...
4
1
3
1
1
3
1
2
1
1
2
1
1
1
1B
.99,99
100

1
100
100
1
99
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
99
==






++++=
Bài tập 4. Rút gọn biểu thức:
a) A =
nn

+
++
+
+
+
+
+
1
1
...
43
1
32
1
21
1
b) B =
1009999100
1
...
4334
1
3223
1
22
1
+
++
+
+

+
+
+
Chuyên đề BDHS chứng minh đẳng thức lớp 9 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên
NHa năm 2007
1
c) C =
10099
1
...
43
1
32
1
21
1

+

+



HD.a) Ta hoán đổi vị trí hai số hạng ở mẫu rồi trục căn thức:
1
12
12
12
12
1

21
1

=


=
+
=
+
làm tơng tự
ta đợc:
1...342312
1
1
...
1
34
1
23
1
12
++++=

++

+

+

=
nn
nn
A
11...342312
=++++=
nnn
.
b)
1009999100
1
...
4334
1
3223
1
22
1
+
++
+
+
+
+
+
=
B
=
)99100(99100
1

...
)34(34
1
)23(23
1
)12(2
1
+
++
+
+
+
+
+
=
)99100(99100
1
...
)34(34
1
)23(23
1
)12(2
1
+
++
+
+
+
+

+
=
)99100(99100
)99100(
...
)34(34
)34(
)23(23
)23(
)12(12
)12(


++


+


+


=
99100
)99100(
...
34
)34(
23
)23(

12
)12(

++

+

+

=
10
9
10
1
1
100
1
99
1
...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1

1
==++++
.
c)Trục căn thức rồi rút gọn.
Bài tập 5. Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1.Tính giá trị của biểu thức:

( )( )
+
+
++
=
2
22
1
11
x
zy
xA
( )( )
+
+
++
2
22
1
11
y
xz
y
( )( )

2
22
1
11
z
yx
z
+
++
.
HD. Thay xy + yz + zx = 1 vào 1 + y
2
ta đợc: xy + yz + zx + y
2
= ( xy + y
2
) + ( yz + zx ) = y( x + y) +
z( x + y ) = ( x + y ) ( y + z );
Tơng tự thay xy + yz + zx = 1 vào 1 + x
2
ta đợc xy + yz + zx + x
2
= ( z + x ) ( x + y );
xy + yz + zx = 1 vào 1 + z
2
ta đợc xy + yz + zx + z
2
= ( y + z ) ( z + x );
Thay tất cả vào biểu thức A rút gọn ta đợc kết quả:
xzyzxyA 222

++=
Bài tập 6: Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 3.Tính giá trị của biểu thức:

( )( )
+
+
++

=
2
22
3
33
3
x
zy
x
yz
B
( )( )
+
+
++

2
22
3
33
3
y

xz
y
zx
( )( )
2
22
3
33
3
z
yx
z
xy
+
++

.
HD. Thay xy + yz + zx = 3 vào 3 + y
2
ta đợc: xy + yz + zx + y
2
= ( xy + y
2
) + ( yz + zx ) = y( x + y) +
z( x + y ) = ( x + y ) ( y + z );
Tơng tự thay xy + yz + zx = 3 vào 3 + x
2
ta đợc xy + yz + zx + x
2
= ( z + x ) ( x + y );

xy + yz + zx = 3 vào 3 + z
2
ta đợc xy + yz + zx + z
2
= ( y + z ) ( z + x );
Thay tất cả vào biểu thức B rút gọn ta đợc kết quả: B = 3.
Bài tập 7. Cho ba số thực a, b, c # 0 và
cbcaba
+++=+
. Chứng minh rằng:
0
111
=++
cba
.
HD.
cbcacbcabacbcabacbcaba
++++++=++++=++++=+
.2)()(
22
22222
)).(().()(.22 ccbcacabcbcaccbcaccbcac
=+++++=++=++=
0
22
=++=+++
bcacabccbcacab
, chia hai vế cho abc ta đợc:
0
111

=++
cba
.
Bài tập 8. Cho
xzyzxyzyx
++=++
trong đó x, y, z là các số dơng. Chứng minh rằng:
zyx
==
.
HD. Nhân hai vế đẳng thức với 2 ta đợc:
)(2)(2 xzyzxyzyxxzyzxyzyx
++=++++=++
Chuyên đề BDHS chứng minh đẳng thức lớp 9 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên
NHa năm 2007
2
zyxxzzyyx
===++
0)()()(
222
Bài tập 9. Chứng minh rằng:
a)Nếu a > 1, với mọi n
N

ta đều có:
n
n
n
n
a

a
a
a
a
a
11
=

+
;
b)Nếu
0,0

ba
thì
0
=+=+
abbaba
;
c)
( )
0
333
=++=+
baabbaba
HD.a)
n
n
n
n

n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
aa
a
aaaa
a
a
aVT
11
.
1
.
1

=

=


=

+=

, với a > 1, với mọi n
N

.
b)Với
0,0

ba
bình phơng hai vế ta đợc:
0022
==++=+
abababbaba
.
c) Lập phơng hai vế ta đợc:
( )
00)(333
22
=+=++++=+
baabbaababbababa
Bài tập 10: Chứng minh nếu
3333
cbacba
++=++
thì với mọi n tự nhiên lẻ ta có:
nnnn
cbacba
++=++
.
Bài tập 11.Cho
byaxzczaxyczbyx

+=+=+=
,,
và
zyx
++
# 0.
Tính giá trị của biểu thức:
cba
B
+
+
+
+
+
=
1
2
1
2
1
2
.
HD. Cộng vế với vế ta đợc:
)(2 czbyaxzyx
++=++
,
thay thích hợp ta đợc:
z
zyx
cczczzzyx

2
1)1(2)(2
++
=++=+=++
;
tơng tự ta có;
x
zyx
a
y
zyx
b
2
1
2
1
++
=+
++
=+
; thay vào B ta đợc:
24
)(4
4
4
4
2
2
2
2

2
2
==
++
++
=
++
+
++
+
++
=
++
+
++
+
++
=
zyx
zyx
zyx
z
zyx
y
zyx
x
z
zyx
y
zyx

x
zyx
B
Bài tập 12. Chứng minh rằng nếu
x
xt
t
yt
y
xy
1
11
+
=
+
=
+
thì
tyx
==
, x. y. t = 1.
HD. Ta có:
x
t
t
y
y
x
x
xt

t
yt
y
xy
1111
11
+=+=+=
+
=
+
=
+

Cộng trừ vế với vế ta đợc:
ty
ty
yt
yx

==
11
;

xt
xt
tx
ty

==
11

;
yx
yx
xy
xt

==
11
;
Nhân vế với vế ta đợc:
yx
yx
xt
xt
ty
ty
xttyyx



=
.))()((
;
Chuyên đề BDHS chứng minh đẳng thức lớp 9 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên
NHa năm 2007
3

( )( )
1..
)(

))()((
=

=
tyx
xyt
yxxtty
xttyyx
hoặc
tyxxttyyx
=====
0;0;0
Bài tập 13. Cho a, b, c đôi một khác nhau và thoả mãn
( )
222
2
cbacba
++=++
.
Tính giá trị biểu thức:
abc
c
acb
b
bca
a
P
222
2
2

2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
.
HD.
( )
0222222
222222222
2
=++++=+++++++=++
cabcabcbacabcabcbacbacba
bcabcacaabbccabcabcabcab
====++
,,0
, thay vào P ta đợc:
cabcabc
c
bcabacb
b
caabbca
a
abc
c

acb
b
bca
a
P
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222

)()()()()()(
222
cbacbc
c
bacbab
b
cabcaa
a
+
+
+
+

=
))(())(())(())(())(())((
222222
cacb
c
cbba
b
baca
a
cacb
c
bcba
b
baca
a

+

=

+

+

=
))()((
)(
))()((
)(
))()((
)(
222
bacacb
bac
cacbba
cab
cbbaca
cba


+

=
=

++
=

+
=
))()((
)(
))()((
)()()(
22222222
cbbaca
bcaccbabcba
cbbaca
bacacbcba
[ ]
1
))()((
))()((
))()((
)()()(
))()((
))((
))()((
)())(()(
))()((
)(

2
222222
=


=


=

+
=

++
=

++
=
cbbaca
cabacb
cbbaca
cbcbaacb
cbbaca
bcacabacb
cbbaca
cbbccbcbacba
cbbaca
bccbacabcba
Bài tập 14. Cho
0

=++
cba
và a,b,c # 0.
Chứng minh rằng:
222
2
222
2
222
2
666
bac
c
acb
b
cba
a
A

+

+

=
là số nguyên.
HD.
( )
[ ]
(*),22)(0
222222

2
2
bccbabccbacbacbacba
=++==+==++
;
Biến đổi tơng tự ta có đợc:
*);*(*,2(**),,2
222222
abbaccaacb
==
Thay (*),(**),(***) và A ta đợc:
**)*(*
)(3
2
6
2
6
2
6
2
6
2
6
2
6
333
222222
abc
cba
ab

c
ca
b
bc
a
ab
c
ca
b
bc
a
A
++
=++=++=
Ta lại có:
( )
[ ]
)33()(0
22333
3
3
bccbcbacbacbacba
+++==+==++
)(3)(3)33(
33333322333
abccbacbbccbabccbcba
=+++=+++=++
*)***(*,3
333
abccba

=++
Thay (*****) vào (****) ta đợc:
39
3.3)(3
333
===
++
=
abc
abc
abc
cba
A
Bài tập 15. Cho a, b, c và x, y, z khác nhau và khác 0 thoả mãn:
0
=++
z
c
y
b
x
a
và
1
=++
c
z
b
y
a

x
.
Tính
*)*(*;
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
M
++=
.
HD. Ta có
122211
2
2
2
2
2
2
2
2
=+++++=

++=++
ca
zx
bc
yz
ab
xy
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a

x
Chuyên đề BDHS chứng minh đẳng thức lớp 9 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên
NHa năm 2007
4
(*)212112
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2






++
=

++=++=






+++++
abc
zxbyzaxyc
ca
zx
bc
yz
ab
xy
c
z
b
y
a
x
ca
zx
bc
yz
ab
xy
c

z
b
y
a
x
;
Ta lại có:
(**);000
=++=
++
=++
cxybxzayz
xyz
cxybxzayz
z
c
y
b
x
a
;
Thay (*), (**) vào (***) ta đợc:
1
0
21
2
2
2
2
2

2
==++=
abc
c
z
b
y
a
x
M
Bài tập 16. Cho các số dơng a, b, c và
cba

,,

chứng minh rằng nếu:
( )( )
cbacbaccbbaa

+

+

++=

+

+

thì

c
c
b
b
a
a

=

=

.
HD.Bình phơng hai vế ta đợc:
bcaccbabcabaccbbaaaaccccbbbbaaccbbaa

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

222
bcaccbabcabaaaccccbbbbaa

+

+

+

+

+

=

+

+


222
0)2()2()2(
=

+



+

+



+

+




bcccbbcbacaacccaabbbaaba
0)()()(
222
=

+



+




bccbaccaabba
bccbaccaabbabccbaccaabba

=

=

=

=



=



=

,,0)(,0)(,0)(
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
c
c
a
a
b
b
a
a

=

=



=

=

=


;;
.
Bài tập 17:
a)Cho
( )
1198
1
...
11998
1
....
1997.2
1
1998.1
1

++
+
+++=
kk
S
. Hãy so sánh S và
1999
1998
2

.
b)Cho
1199
1
...
1997.3
1
1998.2
1
1999.1
1

++++=
A
. Hãy so sánh A > 1,999.
HD. áp dụng BĐT:
ba
ab
abba
+
+
21
2
. Ta có:
a)
=

++
++
++

+
+
+
+
+

1198
1
....
11998
2
....
19963
2
19972
2
19981
2
kk
S
1999
1998
2
1198
1
....
1999
1998
2

++=
b) Tơng tự câu a.
Bài tập 18.Tìm x, y sao cho
zyxzyx
+=+
.DDK: x
0

0,0,0,
+
zyxzy
HD. BPHV ta đợc:
xyyxzzyxzzyxyxzzyx 2.2)()(
22
++=+++++=++
xyzzyx 2.2
=+
, BPHV ta đợc:
0).(
2
=+=+
xyzyzxzxyzzyx
zyxyzzxyzzxzxyzxz
======
,,0)).((0)()(
.
Bài tập 19. Cho
(
)

(
)
20062006.2006
22
=++++
bbaa
, hãy tính tổng a + b.
HD :
(
)
(
)
(
)
(
)
2006200620062006.2006
2222
+=+++++
aaaabbaa
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
(*),20062006
200620062006200620062006
2006200620062006.
22

2222
2222
++=+
+=+++=++
+=++
baba
aabbaabb
aaaabb
Làm tơng tự ta đợc:
(**),20062006
22
++=+
abba
Cộng vế với vế (*) và (**) ta đợc:
( )
02
=+
ba
vậy
0
=+
ba
.
Bài tập 20. Chứng minh rằng nếu
0
=+
zyx
thì
0
111

=
+
+
+
+
+
zyxyxzxzy
.
Chuyên đề BDHS chứng minh đẳng thức lớp 9 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên
NHa năm 2007
5