Nghiên cứu các tính chất nhiệt động của các tinh thể cấu trúc FCC dựa theo mô hình einstein tương quan phi điều hòa trong phương pháp XAFS

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN THỊ BÍCH THẢO

NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA
CÁC TINH THỂCẤU TRÚC FCC DỰA THEO MÔ HÌNH
EINSTEIN TƢƠNG QUANPHI ĐIỀU HÒA
TRONG PHƢƠNG PHÁP XAFS

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

HÀ NỘI, 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN THỊ BÍCH THẢO

NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA
CÁC TINH THỂCẤU TRÚC FCC DỰA THEO MÔ HÌNH
EINSTEIN TƢƠNG QUANPHI ĐIỀU HÒA
TRONG PHƢƠNG PHÁP XAFS
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI, 2018


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi vô cùng biết ơn và xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới
GS.TSKH Nguyễn Văn Hùng. Trong suốt một năm qua, thầy đã không tiếc
thời gian, công sức và chí tuệ để dìu dắt tôi làm luận văn này. Luận văn
không thể hoàn thành nếu không có sự giúp đỡ tận tình của thầy.
Tiếp theo, tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn
Vật lý Lý thuyết, Ban chủ nhiệm Khoa Vật lý, Ban giám hiệu Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và
thực hiện luận văn này.
Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè của tôi luôn ở bên và động viên
tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này.
Hà Nội, ngày

tháng năm 2018

Ngƣời viết luận văn

Trần Thị Bích Thảo


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn
Mở đầu

1

Chƣơng I - Lý thuyết XAFS và phƣơng pháp tính thế tƣơng
tác phi điều hoà để xác định các cumulant.

3

1.1. Bức xạ tia X và bức xạ Synchrotron sử dụng trong phân
tích cấu trúc vật rắn.

3

1.2. Lý thuyết XAFS.

5

1.3 Các loại dao động mạng.

10

1.4 Tương tác phi điều hòa và tương tác phonon – phonon.

13

1.5 Sự dãn nở nhiệt và hệ số Gruneisen.

14

1.6 Các cumulant trong XAFS phi điều hòa.

15

1.7. Một số phương pháp giải tích tính các cumulant.

17

Chƣơng II - Xây dựng các biểu thức của các cumulant cho các
tinh thể cấu trúc fcc theo mô hình Einsrein tƣơng quan phi
điều hòa.

22

2.1. Xây dựng biểu thức thế năng tương tác hiệu dụng
Einstein phi điều hòa.

22

2.2. Tính các biểu thức cumulant.

26

Chƣơng III - Kết quả tính số cho Đồng và Niken.

33

Kết luận

50

Tài liệu tham khảo

51


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

DANH MỤC BẢNG SỐ LIỆU VÀ HÌNH VẼ
SỐ
HIỆ

TRAN

TÊN

G

U
Bản
g 1.1
Bản
g

Các trạng thái đầu và các cận hấp thụ tương ứng.
Các giá trị

và

2.2.2
Bản
g 3.1
Hình
1.1

khi

Hình
1.3

33

Phổ bức xạ tia X: a) Bức xạ hãm; b) Bức xạ đặc trưng.

4

trúc tinh tế (a) và hàm (k) riêng biệt (b).
(đường liền nét) và quang điện tử tán xạ ngược (đường đứt

Hình
3.1
Hình
3.2

6

nét).
nguyên tử, đối với Cu, thông qua vị trí các đỉnh (peak).

Hình Các phổ XAFS (a) và ảnh Fourier (b) ở các nhiệt độ khác
2.1

5

XAFS là kết quả sự giao thoa của quang điện tử phát xạ

Hình Ảnh Fourier phổ XAFS cho thông tin về bán kính các lớp
1.4

32

Giá trị D,

Hình Phổ hấp thụ tia X: Hệ số hấp thụ của Cu có chứa phần cấu
1.2

7

nhau đối với Cu.

9
16

Thế Morse của Cu so sánh với thực nghiệm.

34

Thế Morse của Ni so sánh với thực nghiệm.

34

Hình Thế Morse của Cu và Ni.

35


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

3.3
Hình Thế hiệu dụng phi điều hoà của Cu tính theo lý thuyết hiện tại
3.4

được so sánh với thực nghiệm.

Hình Thế hiệu dụng phi điều hoà của Ni tính theo lý thuyết hiện tại
3.5
Hình
3.6

được so sánh với thực nghiệm.
Thế hiệu dụng phi điều hoà của Cu và Ni.

Hình Cumulant bậc 1 của Cu tính theo lý thuyết hiện tại được so
3.7

sánh với thực nghiệm.

Hình Cumulant bậc 1 của Ni tính theo lý thuyết hiện tại được so
3.8
Hình
3.9

sánh với thực nghiệm.
Cumulant bậc 1 của Cu và Ni.

Hình Cumulant bậc 2 của Cu tính theo lý thuyết hiện tại được so
3.10 sánh với thực nghiệm.
Hình Cumulant bậc 2 của Ni tính theo lý thuyết hiện tại được so
3.11 sánh với thực nghiệm.
Hình
3.12

Cumulant bậc 2 của Cu và Ni.

Hình Cumulant bậc 3 của Cu tính theo lý thuyết hiện tại được so
3.12 sánh với thực nghiệm.
Hình Cumulant bậc 3 của Ni tính theo lý thuyết hiện tại được so
3.13 sánh với thực nghiệm.
Hình
3.14

Cumulant bậc 3 của Cu và Ni.

Hình Hệ số dãn nở nhiệt của Cu tính theo lý thuyết hiện tại được so
3.15 sánh với thực nghiệm.

36
36
37
38
38
39
40
40
41
42
42
43
44


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

Hình Hệ số dãn nở nhiệt của Ni tính theo lý thuyết hiện tại được so
3.16 sánh với thực nghiệm.
Hình
3.17
Hình
3.18
Hình

3.19

Hệ số dãn nở nhiệt của Cu và Ni.

ba của Cu tính theo lý thuyết hiện tại được so sánh với thực

46

nghiệm.
Tỉ số giữa tích cumulant bậc một và bậc hai với cumulant bậc
ba của Ni tính theo lý thuyết hiện tại được so sánh với thực

46

nghiệm.

3.20 ba của Cu và Ni.
Hình Biểu thức

của Cu tính theo lý thuyết hiện tại được so

3.21 sánh với thực nghiệm.
Hình Biểu thức

của Ni tính theo lý thuyết hiện tại được so

3.22 sánh với thực nghiệm.
3.23

45

Tỉ số giữa tích cumulant bậc một và bậc hai với cumulant bậc

Hình Tỉ số giữa tích cumulant bậc một và bậc hai với cumulant bậc

Hình

44

Biểu thức

của Ni và Cu.

47

48

48

49


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

KÝ HIỆU VIẾT TẮT

XAFS: X-ray Absorption Fine Structure.
fcc: Face-centered cubic

Cu: Nguyên tử Đồng.
Ni: Nguyên tử Niken.
EXAFS: Extended XAFS.
NEXAFS: Near-Edge XAFS.


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

MỞ ĐẦU
Ngày nay, các lĩnh vực nghiên cứu khoa học và công nghệ ngày càng liên tục
pháp triển. Đặc biệt, việc xây dựng các phương pháp vật lý nhằm xác định các tham
số vật lý, các tương tác nguyên tử và hiệu ứng nhiệt động là vô cùng quan trọng và
nó đã trở thành một trong những tâm điểm nghiên cứu của các nhà khoa học không
chỉ trong nước mà còn cả thế giới. Phổ cấu trúc tinh tế hấp thụ tia X hay XAFS (Xray Absorption Fine Structure) được áp dụng như một kỹ thuật mạnh mẽ thu nhận
những thông tin về cấu trúc nguyên tử địa phương và các hiệu ứng nhiệt động của
vật liệu[1-15].
Tính các XAFS cumulant thông qua thế dao động phi điều hoà đang rất được
quan tâm về mặt lý thuyết. Người ta đã đưa ra một số phương pháp gần đúng với
tính toán lý thuyết các XAFS cumulant phi điều hoà, như: Phương pháp thế phi điều
hoà đơn hạt (anharmonic single particle potential) hạn chế chưa tính đến hiệu ứng
tương quan; Phương pháp mô hình tương quan đơn cặp (single-bond model) chưa
tính đến tương quan của hệ nhiều hạt và phương pháp động học toàn mạng (full
lattice dynamic calculation) chưa tính đến ảnh hưởng của tương tác hệ nhiều hạt.
Để khắc phục các hạn chế nêu trên, giáo sư Nguyễn Văn Hùng và giáo sư J.Rehr đã
xây dựng mô hình Einstein tương quan phi điều hòa (anharmonic corelated Einstein
model) với sử dụng thế tương tác hiệu dụng để thu hút tương tác giữa nguyên tử hấp
thụ và nguyên tử tán xạ với các nguyên tử lân cận qua đó tính đến đóng góp của các
hiệu ứng hệ nhiều hạt. Phương pháp này được các nhà khoa học quốc tế sử dụng

hiệu quả và được xem như một trong các lý thuyết của phương pháp XAFS hay gọi
là phương pháp Hung – Rehr.
Mục đích của luận văn này là nghiên cứu các tính chất nhiệt động của các
tinh thể cấu trúc fcc dựa theo mô hình Einstein tương quan phi điều hòa trong lý
thuyết XAFS. Thông qua đó, xác định các cumulant và hệ số dãn nở nhiệt của vật
liệu, từ đó, áp dụng tính số cho Cu và Ni, so sánh với thực nghiệm.
Trong luận văn này ta sử dụng các phương pháp sau để tính toán các đại
lượng:

1


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

 Phương pháp thống kê lượng tử.
 Sử dụng mô hình Einstein tương quan phi điều hòa hay lý thuyết Hung –
Rehr. Phương pháp này có ưu điểm là tính đến các hiệu ứng phi điều hòa và các
hiệu ứng hệ nhiều hạt nên cho kết quả trùng tốt với thực nghiệm.
 Lập trình tính số cho hai tinh thể có cấu trúc fcc là Cu và Ni, so sánh các kết
quả này với giá trị thực nghiệm thu nhận được khi đo lường các tham số thế Morse.
Luận văn được chia làm 3 chương:
 Chương 1 trình bầy những khái niệm cơ bản của lý thuyết XAFS và mối liên
hệ giữa thế tương tác phi điều hoà với hai hiệu ứng vật lý cơ bản phi điều hoà đó là
tương tác phonon - phonon và sự giãn nở nhiệt, những thông tin về hiệu ứng phi
điều hoà trên luôn thu nhận được trên phổ XAFS. Đồng thời, đưa ra phương pháp
tính thế tương tác phi điều hoà nhằm xác định các cumulant, qua đó nêu ra những
ưu điểm của phương pháp Hung-Rehr trong phân tích số liệu XAFS.
 Chương 2 trình bầy việc xây dựng biểu thức tính các cumulant từ bậc 1 đến

bậc 3 và hệ số dãn nở nhiệt cho các tinh thể có cấu trúc fcc theo mô hình Einstein
tương quan phi điều hòa.
 Chương 3 trình bầy những kết quả tính số cho hai tinh thể cấu trúc fcc là Cu
và Ni. So sánh các kết quả này với giá trị thực nghiệm thu được, đồng thời có
những nhận xét đánh giá vai trò của chúng trong biểu diễn các tính chất nhiệt động
và các hiệu ứng phi điều hòa của vật liệu.

2


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

CHƢƠNG 1 - LÝ THUYẾT XAFS VÀ PHƢƠNG PHÁP TÍNH THẾ TƢƠNG
TÁC PHI ĐIỀU HOÀ ĐỂ XÁC ĐỊNH CÁC CUMULANT
1.1 Bức xạ tia X và bức xạ Synchrotron
Tia X và Bức xạ Synchrotron đóng vai trò nguồn photon trong các tương tác
củaánh sáng với vật thể. Kết quả tương tác này cho ta các thông tin về cấu trúc điện
tử của nguyên tử, hay về phân bố nguyên tử trong vật thể. Bức xạ tia X có tính chất
nhiễu xạ, giao thoa và đâm xuyên cao, chúng được tạo ra bằng các cách khác nhau.
Bức xạ hãm.
Trong ống tia X (X-ray-tube) điện tử, sinh ra từ một sợi dây Wolfram được đốt
nóng, được gia tốc nhờ thế V ở catốt đập vào vật thử (đóng vai trò anốt trong chân
không). Các điện tử bị kìm hãm đột ngột bởi trường hạt nhân nguyên tử của anốt,
năng lượng của điện tử một phần biến thành nhiệt, một phần chuyển thành năng
lượng của bức xạ tia X. Phổ bức xạ này là phổ liên tục, mô tả trên Hình 1.1.
Nếu toàn bộ năng lượng, mà điện tử thu nhận được (tích của điện tích e và

thế V), được chuyển thành năng lượng của photon tia X là

thì bước sóng cực

tiểu của bức xạ tia X tuân theo định luật Duane-Hunt:
(1.1.1)

Trong đó:

là hằng số Planck, c là tốc độ ánh sáng, e là điện tích của một

3


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

điện tử, còn V là hiệu thế tính theo Vôn.
Thực ra, phần lớn cácđiện tử qua va trạm nhiều lần mà truyền năng lượng của
chúng cho vật thử. Kết quả cho ta phổ bức xạ hãm hay bức xạ trắng. Đó là phổ liên
tục. Cường độ I của các đỉnh của các phổ bức xạ trên Hình 1.1a có thể lớn hơn các

giá trị đối với

. Khi V tăng thì

giảm và cường độ toàn phần sẽ tăng.

Hình 1.1: Phổ bức xạ tia X: a) Bức xạ hãm; b) Bức xạ đặc trưng

Bức xạ đặc trƣng.
Bức xạ này liên quan với sự chuyển dịch giữa các vùng năng lượng. Do kích
thích một điện tử bị đẩy khỏi mức sâu của nguyên tử trong vật thử, ở trạng thái kích
thích (~ 10-8sec), sau đó trở về trạng thái thấp và bức xạ ra tia X. Phổ bức xạ này là
các vạch rõ, gián đoạn và là các đường đặc trưng cho các chất tạo ra vật thử, như
trên Hình 1.1b. Cường độ của bức xạ này lớn hơn cường độ của bức xạ hãm cỡ 103
lần.

4


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

Bức xạ Synchrotron.
Người ta có thể tạo ra các bức xạ Synchrotron bao gồm từ vùng hồng ngoại

với năng lượng photon từ một vài meV và bước sóng cỡ 106

đến các bức xạ tia X

vùng cứng và bức xạ Gamma, với năng lượng photon trên 100 keV và bước sóng cỡ

10-3 . Bức xạ này phát ra khi các hạt điện tích như điện tử hay positron chuyển
động với vận tốc gần bằng tốc độ ánh sáng trong đường vòng tích lũy (storage
rings). Với năng lượng từ 1 meV đến 1 keV ta có thể kích thích các photon cũng
như các điện tử của vật rắn.
Bức xạ đặc trưng được dùng rộng rãi trong các nghiên cứu nhiễu xạ tia X,
còn các bức xạ hãm và Synchrotron được dùng trong XAFS.

1.2 Lý thuyết XAFS.
Phổ XAFS.
Cho chùm tia X với cường độ I0 đi qua màng mỏng vật chất có bề dầy d, khi

truyền qua màng mỏng trên sẽ có cường độ I do bị hấp thụ. Hệ số hấp thụ

được

xác định bởi hệ thức:
(1.2.1)
I=



=-ln(I/

)

Khi tăng dần năng lượng photon, người ta nhận thấy sau cận hấp thụ với

5


Luận văn tốt nghiệp

năng lượng photon

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

ed

sẽ xuất hiện phổ cấu trúc tinh tế (Hình 1.2). Hiện tượng

này được gọi là cấu trúc tinh tế của hấp thụ tia X hay XAFS (X-ray Absorption Fine
Structure), nếu năng lượng quang điện tử E>50eV thì được gọi là EXAFS

(Extended XAFS) và nếu năng lượng quang điện tử E 50eV thì được gọi là
NEXAFS (Near-Edge XAFS), tức là cấu trúc ở gần cận hấp thụ.

Hình 1.2: Phổ hấp thụ tia X: Hệ số hấp thụ

của Cu có chứa phần cấu trúc tinh

tế (a) và hàm (k) riêng biệt (b)

Khi photon tia X với năng lượng lớn hơn một giá trị ngưỡng E0 tác dụng lên
nguyên tử của vật thể, nguyên tử hấp thụ photon và phát xạ ra quang điện tử. Quang
điện tử này có số sóng k bằng:

6


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

(1.2.2)

Trong đó,

là năng lượng photon tia X;

là năng lượng ngưỡng hấp thụ.

Quang điện tử này sẽ bị tán xạ bởi các nguyên tử lân cận rồi trở về nguyên tử hấp
thụ. Trạng thái cuối là sóng quang điện tử tán xạ giao thoa với sóng phát ra ban đầu

và cho ta hiệu ứng XAFS, như mô tả trên hình 1.2. Tuỳ theo trạng thái ban đầu 
(trước khi hấp thụ photon tia X) của quang điện tử ta nhận được các cận hấp thụ
khác nhau. Trong bảng 1.1 cho ta một số cận hấp thụ.

Hình 1.3: XAFS là kết quả sự giao thoa của quang điện tử phát xạ (đường liền nét)
và quang điện tử tán xạ ngược (đường đứt nét)

7


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

Bảng 1.1: Các trạng thái đầu và các cận hấp thụ tương ứng

Cận

1s1/2

2s1/2

2p1/2

2p3/2

3s1/2

3p1/2

3p3/2

K

LI

LII

LIII

MI

MII

MIII

Trên hình 1.2 mô tả hàm

của Cu.

Đối với đa tinh thể, phổ cận K có thể được viết.
(1.2.3)

Trong đó:

là bình phương số hạng đặc trưng cho hiệu ứng nhiều hạt;

đường tự do trung bình của điện tử;
lân cận lớp thứ j;

và

là quãng

là số nguyên tử và khoảng cách thuộc

là biên độ tán xạ nguyên tử;

là độ dịch pha toàn phần

của quang điện tử.
Nếu dừng lại ở nhiệt độ thấp, tức gần đúngđiều hoà thì ta nhận được

và

(1.2.3) sẽ chuyển về công thức sau:
(1.2.4)

Thông tin cấu trúc từ phổ XAFS.

8

Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

Phổ XAFS (k) là bức tranh giao thoa của sóng quang điện tử phát xạ từ
nguyên tử hấp thụ và sóng quang điện tử tán xạ ngược từ các nguyên tử lân cận.
Chính vì vậy nó cho ta thông tin cấu trúc địa phương của vật rắn. Hàm phân bố
xuyên tâm, trong không gian thực của các nguyên tử lân cận với nguyên tử hấp thụ,

sẽ nhận được bằng phép biến đổi Fourier hàm (k) từ không gian k sang không gian
thực.
(1.2.5)

Ở đây: n nhận giá trị 1, 2, 3 tương ứng với các nguyên tử có z > 57, 36 57 và z < 36; kmin, kmax là giá trị cực đại, cực tiểu của giá trị k. Hàm F(r) có phần
thực FR(r) và phần ảo FI(r), căn cứ vào vị trí các đỉnh (peak) của ảnh Fourier FR(r)
ta có thể xác định được bán kính các lớp nguyên tử xung quanh nguyên tử hấp thụ
(Hình 1.2).
Phổ XAFS trong khai triển gần đúng các cumulant.
Khi tính biểu thức (1.2.3), phép lấy trung bình chính tắc ở vế phải là tương
đương với lấy giá trị trung bình không gian thực
(1.2.6)

9


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

Ở đây:
(1.2.7)

là hàm phân bố khoảng cách hiệu dụng (effective distribution of distances), (r) là
hàm phân bố thực (real distribution).

R(Ả)
Hình 1.4 Ảnh Fourier phổ XAFS cho thông tin về bán kính các lớp nguyên tử, đối
với Cu, thông qua vị trí các đỉnh (peak).
Để tính biểu thức (1.2.5) và biểu thức (1.2.3), trong trường hợp mức độ hỗn
độn nhỏ (moclerate disorder), nguời ta thường sử dụng phương pháp gần đúng khai
triển cumulant (cumulant-expansion approach), khi đó ta có:

10


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

(1.2.8
)

ở đây:
(1.2.9)

là ký hiệu cumulant bậc n. Người ta thường tính đến cumulant bậc ba
và nó được xác định như sau:
(1.2.10)

Trong đó: Cumulant bậc hai

là hệ số Debye-Waller, R0 là khoảng cách

trung bình của lớp nguyên tử lân cận nguyên tử hấp thụ khi T 0.

11


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

Như vậy nếu xác định được các cumulant, bằng thực nghiệm hoặc bằng tính
toán lý thuyết, ta có thể xác định được biên độ và pha của phổ XAFS, tức là xác
định được thông tin cấu trúc của vật rắn ở mọi nhiệt độ.
Ở phần trên ta đã thấy, phương pháp khai triển gần đúng các XAFS cumulant

(n)

cho ta bức tranh phối cảnh cấu trúc địa phương trong vật rắn và sự thay đổi của

chúng theo nhiệt độ. Trong vật rắn các phân tử hay nguyên tử liên kết lại với nhau
thông qua các lực tương tác nhất định, các nguyên tử này luôn dao động xung
quanh vị trí cân bằng và chúng nằm trong dao động nhiệt của toàn vật thể nhờ các
lực tương tác này, do vậy các XAFS cumulant cũng sẽ cho chúng ta thông tin về
tính chất của dao động nhiệt trong vật rắn và tính chất thế tương tác của hệ.
1.3. Các loại dao động mạng.
Dao động mạng trong gần đúng điều hoà.
Do dao động của các nguyên tử là nhỏ, nên ta có thể khai triển thế năng

tương tác U giữa các nguyên tử thành chuỗi Taylor theo các thành phần De - cardtes

đó là độ dịch chuyển của nguyên tử k tại ô mạng n và thành phần

12


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

(1.3.1)

13


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

Tại các đạo hàm, chỉ số không ký hiệu các đại lượng ở vị trí cân bằng với
cực tiểu thế năng.
Sử dụng phương pháp Lagrange và trong khai triển gần đúng điều hoà của
thế năng tương tác U, ta có phương trình chuyển động:
(1.3.2)

Ở đây,

là khối lượng nguyên tử k và
(1.3.3)

nó đóng vai trò hệ số đàn hồi đối với các dao động giữa nguyên tử k tại ô mạng n và
nguyên tử k' tại ô mạng n'.
Ta nhận thấy phương trình (1.3.2) mô tả sự chuyển động của nguyên tử k
trong ô mạng n do tổng các lực, các lực này tạo nên bởi nguyên tử k' trong ô mạng

n' khi nó dịch chuyển một khoảng

Đây chính là phương trình mô tả dao động

sóng đàn hồi của dao động tập thể các nguyên tử trong vật rắn, trong tinh thể có đối

14


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

xứng tịnh tiến, dao động sóng này có số sóng

và tần số phụ thuộc vào số sóng:
(1.3.4)

j = 1, 2, 3,..., 3s,
Trong đó: s là số nguyên tử trong ô mạng cơ sở. Hệ thức (1.3.4) được gọi là
hệ thức tán sắc, việc xác định hệ thức này bằng thực nghiệm hoặc lý thuyết có ý
nghĩa quan trọng trong việc xác định một số tham số vật lý vĩ mô của chất rắn.
Độ dịch chuyển mạng của nguyên tử k tại ô mạng n sẽ có dạng:
(1.3.5)

Trong đó:

là véctơ vị trí của ô mạng n so với gốc toạ độ;

là véctơ biên

độ dao động của nguyên tử k ứng với số sóng .
Lƣợng tử hoá dao động mạng - Phonon.
Năng lượng của một kiểu dao động mạng chịu sự lượng tử hoá, tương tự như
khái niệm photon là lượng tử sóng điện từ, lượng tử của năng lượng dao động mạng

15


Luận văn tốt nghiệp

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

được gọi là phonon và có giá trị là

số

. Năng lượng của một kiểu dao động với tần

là:
(1.3.6)

Ở đây, kiểu dao động được kích thích tới số lượng tử nq, số hạng

là

năng lượng điểm không.
Nếu ta mô tả trạng thái của hệ các dao động tử điều hoà bằng các hệ số "lấp
đầy" nq, toán tử Hamilton của hệ có dạng:
(1.3.7)

Trong đó:

là toán tử sinh, huỷ hạt phonon và giữa chúng thoả mãn các

hệ thức giao hoán của hạt Boson. Ở đây ta lưu ý, từ định nghĩa đạo hàm của toán tử
trong cơ học lượng tử, các toán tử này có sự phụ thuộc vào thời gian qua thừa số

16


Luận văn tốt nghiệp

và

Học viên: Trần Thị Bích Thảo

.

Khi lượng tử hoá, độ dịch chuyển mạng

trở thành toán tử.
(1.3.8)

Trong đó: véctơ phân cực

là các véctơ đơn vị dọc theo hướng chuyển

dịch, N là số ô mạng cơ sở.
1.4 Tƣơng tác phi điều hoà và tƣơng tác phonon-phonon.
Trong lý thuyết dao động mạng với gần đúng điều hoà, đối với thế năng

tương tác chúng ta đã bỏ qua các số hạng bậc cao hơn hai của độ dịch chuyển

.

Lý thuyết này đã giải thích tốt về đóng góp của dao động mạng vào nhiệt dung chất
rắn. Tuy nhiên lý thuyết điều hoà dẫn đến một số hệ quả như: Không có sự tương
tác giữa các sóng đơn lẻ, không có sự dãn nở nhiệt. Thực tế cho thấy các hệ quả trên

không hoàn toàn đúng, để khắc phục sại lệch này trong Hamiltonian của hệ , ngoài

17