Bồi dưỡng năng lực khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự cho học sinh thông qua giải bài tập hình học nâng cao lớp 11 (thể hiện qua chương i và chương II)

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

Trang

1. Lý do chọn đề tài .........................................................................................

1

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ..............................................................

2

3. Giả thuyết khoa học .....................................................................................

2

4. Phƣơng pháp nghiên cứu .............................................................................

2

5. Đối tƣợng, khách thể và phạm vi nghiên cứu ..............................................

3

6. Cấu trúc luận văn .........................................................................................

3

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN ........................................................................

4

1.1. Một số khái niệm ......................................................................................

4

1.1.1.Khái quát hoá ..........................................................................................

4

1.1.2. Đặc biệt hoá ...........................................................................................

9

1.2.3. Tƣơng tự ...............................................................................................

12

1.2. Cơ sở toán học của chủ đề vectơ và toạ độ trong Hình học nâng
cao lớp 10 .........................................................................................................

14

1.2.1. Vectơ ....................................................................................................

14

1.2.2. Tọa độ ...................................................................................................

21

1.3. Vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự trong dạy học
tốn ở trƣờng trung học phổ thơng. .................................................................

25

1.3.1. Khái qt hố, đặc biệt hố, tƣơng tự trong việc hình thành khái niệm
và các tri thức lý thuyết. ..................................................................................

25

1.3.2. Khái quát hoá, đặc biệt hoá, tƣơng tự là phƣơng pháp suy nghĩ, mị
mẫm giúp ta tìm lời giải cho bài tốn ..............................................................

26

1.3.3. Khái quát hoá, đặc biệt hoá, tƣơng tự là phƣơng pháp suy nghĩ giúp
chúng ta mở rộng, đào sâu và hệ thống hoá kiến thức. ..................................

28

1.4. Kết luận chƣơng 1....................................................................................

33

2


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho

kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

Chƣơng 2: BỒI DƢỠNG NĂNG LỰC KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT
HÓA VÀ TƢƠNG TỰ CHO HỌC SINH THƠNG QUA GIẢI BÀI TẬP
HÌNH HỌC NÂNG CAO LỚP 10 ( CHƢƠNG I VÀ CHƢƠNG II). ............

34

2.1. Vị trí và chức năng của bài tập Tốn học .................................................

34

2.2. Vai trị của việc giải bài tập trong Hình học nâng cao lớp 10. .................

35

2.3. Dạy học phƣơng pháp giải bài tập Toán...................................................

35

2.4. Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hố và tƣơng tự để tìm lời giải của
bài tập Toán .................................................................................................... .

36

2.5. Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự vào nghiên cứu lời

giải của bài tập Toán. .......................................................................................

41

2.6. Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự để sáng tạo bài
toán...................................................................................................................

43

2.7. Bồi dƣỡng năng lực giải bài tập Tốn trong Hình học nâng cao lớp 10. ........

46

2.7.1. Suy luận trong chứng minh Toán học ...................................................

46

2.7.2. Một số phƣơng pháp giải bài tập toán trong Hình học nâng cao lớp 10 ...........

48

2.8. Xây dựng hệ thống bài tập trong Hình học nâng cao lớp 10 (chƣơng
I; II) theo phƣơng pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự. ...................

53

2.8.1. Hệ thống bài tập về vectơ và các phép toán. ........................................

53

2.8.2. Hệ thống bài tập về hệ thức lƣợng trong tam giác. ...............................

62

2.8.3. Hệ thống bài tập trong giải tích dùng vectơ và toạ độ...........................

68

2.9. Một số biện pháp rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hố và tƣơng tự
cho học sinh. ....................................................................................................

73

2.9.1. Tìm nhiều lời giải cho một bài toán, khai thác lời giải của từng cách giải
để dẫn đến bài toán tổng quát. .........................................................................

73

2.9.2. Giải quyết một lớp các bài tập tƣơng tự để tìm ra đặc điểm, bản chất
của bài tốn. .....................................................................................................

3

76


2.9.3. Thƣờng xuyên rèn luyện năng lực khái quát hoá, đặc biệt hố, tƣơng tự
cho học sinh trong q trình dạy học...............................................................

78

2.10. Kết luận chƣơng 2...................................................................................

79

Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .....................................................

80

3.1 Điều tra năng lực khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự của học sinh
lớp 10 trƣờng THPT Nguyễn Khuyến T.P Nam Định. ...................................

80

3.2. Mục đích, tổ chức, nội dung thực nghiệm sƣ phạm. ................................

83

3.2.1. Mục đích thực nghiệm. ..........................................................................

83

3.2.2. Tổ chức thực nghiệm. ............................................................................

84

3.2.3. Đánh giá sƣ phạm. .................................................................................

85

3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ..................................................................

89

3.3.1. Đánh giá định tính .........................................................................................

89

3.3.2. Đánh giá định lƣợng .....................................................................................

90

KẾT LUẬN.....................................................................................................

92

TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................

93

PHỤ LỤC…………………………………………………………………

97

Một số giáo án đƣợc dạy trong đợt thử nghiệm theo các biện pháp sƣ
phạm đã đề xuất trong luận văn……………………………………………

97

1. Giáo án 1: Ôn tập vectơ và các phép toán về vectơ…………………….

97

2. Giáo án 2: Các hệ thức lƣợng trong tam giác và giải tam giác………..

112

4


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khái quát hóa, đặc biệt hóa và tƣơng tự là những thao tác tƣ duy có vai
trị rất quan trọng trong q trình dạy học tốn ở trƣờng phổ thơng. Khái qt
hóa, đặc biệt hóa, tƣơng tự là những phƣơng pháp giúp chúng ta mị mẫm, dự
đốn để tìm lời giải của bài toán, mở rộng, đào sâu, hệ thống hố kiến thức và
góp phần quan trọng trong việc hình thành những phẩm chất trí tuệ cho học
sinh. Tuy nhiên, khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự chƣa đƣợc rèn luyện
đúng mức trong dạy học ở trƣờng phổ thông. Phƣơng pháp dạy học hiện nay
ở nƣớc ta còn nhiều nhƣợc điểm: tri thức đƣợc ngƣời thầy truyền thụ dƣới
dạng có sẵn, thầy thuyết trình, trị ghi nhớ, thầy áp đặt, trị thụ động. Điều đó
dẫn đến thực trạng học sinh tiếp nhận kiến thức một cách máy móc ít yếu tố

tìm tịi, phát hiện, sáng tạo trong quá trình học.
Vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của toán học. Việc sử dụng
rộng rãi khái niệm vectơ và toạ độ trong các lĩnh vực khác nhau của toán học,
cơ học cũng nhƣ kỹ thuật đã làm cho khái niệm này ngày càng phát triển.
Cuối thế kỷ XIX và đầu thế kỷ XX, phép tính vectơ đã đƣợc phát triển và ứng
dụng rộng rãi. Vectơ có nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, do đó cơng cụ
vectơ tạo điều kiện thực hiện mối liên hệ liên mơn ở trƣờng phổ thơng. Việc
nghiên cứu vectơ góp phần mởi rộng nhãn quan toán học cho học sinh, chẳng
hạn, tạo cho học sinh khả năng làm quen với những phép tốn trên những đối
tƣợng khơng phải là số nhƣng lại có tính chất tƣơng tự. Điều đó dẫn đến sự
hiểu biết về tính thống nhất của tốn học, về phép toán đại số, cấu trúc đại số,
đặc biệt là nhóm và khơng gian vectơ - hai khái niệm quan trọng của Tốn
học hiện đại.
Trong chƣơng trình hình học ở bậc trung học phổ thông, học sinh đƣợc
học về vectơ, các phép toán về vectơ và dùng vectơ làm phƣơng tiện trung

1


gian để chuyển những khái niệm hình học cùng những mối quan hệ giữa
những đối tƣợng hình học sang những khái niệm đại số và quan hệ đại số.
Giải bài toán bằng phƣơng pháp vectơ cho phép học sinh tiếp cận những
kiến thức hình học phổ thơng một cách gọn gàng, sáng sủa và có hiệu quả
một cách nhanh chóng, tổng qt, đơi khi khơng cần đến hình vẽ. Nó có tác
dụng tích cực trong việc phát triển tƣ duy sáng tạo, trừu tƣợng, năng lực phân
tích, tổng hợp, đặc biệt là khái quát hóa, đặc biệt hóa và tƣơng tự.
Với các lý do nêu trên, tôi chọn tên đề tài là: Bồi dưỡng năng lực khái
quát hoá, đặc biệt hố, tương tự cho học sinh thơng qua giải bài tập Hình
học nâng cao lớp 10 (Thể hiện qua chương I và chương II).
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu vai trị của khái qt hố, đặc biệt hoá và tƣơng tự trong dạy
học toán và dạy học giải bài tập Hình học nâng cao lớp 10.
- Nghiên cứu việc vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hố và tƣơng tự thơng
qua các bài tốn vectơ, hệ thức lƣợng trong tam giác, bài tốn trong giải
tích dùng phƣơng pháp vectơ và tọa độ để giải.
- Đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá và
tƣơng tự cho học sinh.
- Qua thực nghiệm, kiểm tra đánh giá, rút ra các bài học thực tế, tính khả thi
để áp dụng vào giảng dạy.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu học sinh đƣợc rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự
trong dạy học thơng qua giải bài tập Hình học nâng cao lớp 10 thì sẽ có khả
năng khái qt hố, đặc biệt hố và tƣơng tự trong học mơn tốn nói riêng và
các mơn học khác nói chung, khắc phục đƣợc thực trạng dạy học ở nƣớc ta
hiện nay.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong luận văn này tôi chủ yếu sử dụng các phƣơng pháp nghiên cứu sau:
2


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

- Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu về khái quát hoá,
đặc biệt hoá, tƣơng tự, lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách tham khảo,

sách giáo viên, tạp chí giáo dục,…
- Phƣơng pháp điều tra - quan sát: Tìm hiểu khả năng khái quát hoá, đặc biệt
hoá, tƣơng tự của học sinh thơng qua giải bài tập Hình học nâng cao lớp 10.
- Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết những kinh nghiệm rút ra từ
thực tế giảng dạy và quá trình nghiên cứu của bản thân, qua trao đổi với
những giáo viên dạy giỏi tốn ở trƣờng phổ thơng.
5. Đối tƣợng, khách thể và phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: Trên cơ sở lý luận của khái quát hoá, đặc biệt hoá,
tƣơng tự, áp dụng vào dạy nội dung dạy học giải bài tập Hình học nâng
cao lớp 10, từ đó phân loại và phát triển hệ thống bài tập vectơ và hệ thức
lƣợng trong tam giác.
- Đi sâu vào ứng dụng cơ sở lý luận của khái quát hoá, đặc biệt hoá, tƣơng
tự, gợi động cơ hứng thú học tập cho học sinh qua nội dung luận văn.
- Khách thể và phạm vi nghiên cứu: Học sinh và giáo viên dạy toán THPT
của trƣờng : THPT Nguyễn Khuyến, Thành phố Nam Định.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3
chƣơng.
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận.
Chƣơng 2: Bồi dƣỡng năng lực khái quát hoá, đặc biệt hoá, tƣơng tự
cho học sinh thơng qua giải bài tập trong Hình học nâng cao lớp 10 (chƣơng I
và chƣơng II).
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm.

3


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Một số khái niệm

1.1.1. Khái qt hố
Theo G. Polya, “Khái qt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp
đối tƣợng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp
ban đầu” 13, tr.21 .
Trong “Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn”, các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ
Dƣơng Thụy đã nêu rõ: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tƣợng
sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số
trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát” 9, tr.31 .
Chẳng hạn, chúng ta khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu những tam
giác sang việc nghiên cứu những đa giác với số cạnh tùy ý. Chúng ta cũng
khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu những hàm số lƣợng giác của
góc nhọn sang việc nghiên cứu những hàm lƣợng giác của một góc tùy ý.
Có thể nhận thấy rằng trong hai ví dụ trên, sự khái quát hóa đã đƣợc thể
hiện theo hai hƣớng có tính chất khác nhau. Ở ví dụ đầu, trong việc chuyển từ
tam giác sang đa giác n cạnh chúng ta đã thay hằng bởi biến; ở ví dụ sau, khi
chuyển từ góc nhọn sang góc tuỳ ý, ta bỏ đi hạn chế 0o    90o .
Chúng ta thƣờng khái quát hóa bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối
tƣợng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tƣợng đó. Tổng quát hóa
một bài tốn thơng thƣờng là mở rộng bài tốn đó, nhƣng khơng phải tất cả
đều nhƣ vậy.
Nhiều khi, phát biểu lại bài toán dƣới dạng tổng quát sẽ giúp ta dễ hiểu
hơn và có khả năng tìm đƣợc hƣớng giải dễ dàng hơn; bởi vì, lúc đó ta sẽ
chú trọng đến các yếu tố bản chất của bài toán và bỏ qua những yếu tố
không bản chất. Chẳng hạn, với Bài tốn: "Giải phƣơng trình (x + 1) (x + 5)
(x + 7) (x + 11) = 8", nếu để dạng nhƣ trên, nhiều học sinh khó biết đƣợc
4


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho

kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

cần nhóm (x + 1) với (x + 11); (x + 5) với (x + 7). Ta tổng quát Bài toán
trên, đƣa về Bài toán: "Giải phƣơng trình: (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = e
với a, b, c, d, e  R; a + d = b + c" thì bản chất của Bài tốn đƣợc bộc lộ rõ
ràng hơn. Nhu cầu sử dụng giả thiết a + d = b + c sẽ gợi cho học sinh rằng,
nên nhóm (x + a) với (x + d); (x + b) với (x + c). "Khái quát hóa có mối liên
hệ mật thiết với trừu tƣợng hóa. Trừu tƣợng hóa là sự nêu bật và tách những
đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất. Trừu tƣợng hóa là
điều kiện ắt có nhƣng chƣa đủ để khái quát hóa" 8, tr.10 .
Những dạng khái quát hóa thƣờng gặp trong mơn tốn có thể biểu diễn
theo sơ đồ sau:
Khái quát hóa

Khái quát hóa từ
cái riêng lẻ đến cái
tổng quát

Khái quát hóa từ cái
tổng quát đến cái tổng
quát hơn

Khái quát hóa tới cái
tổng quát đã biết

Khái quát hóa tới cái

tổng quát chƣa biết

Sơ đồ 1.1: Những dạng khái quát hố thƣờng gặp trong mơn tốn
Nhƣ vậy có hai con đƣờng khái quát hóa: con đƣờng thứ nhất trên cơ sở
so sánh những trƣờng hợp riêng lẻ, con đƣờng thứ hai không dựa trên sự so
sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tƣợng trong hàng loạt hiện tƣợng
giống nhau.
Ví dụ 1. Xuất phát từ bài tốn: "Cho hai điểm A, B. Tìm điểm M sao cho
  
MA + MB = 0 ". HS dễ dàng tìm đƣợc M là trung điểm của AB (còn gọi là trọng

5


tâm 2 điểm A, B), đến đây GV có thể gợi động cơ để xây dựng bài toán cho
trọng tâm của hệ những điểm trong mặt phẳng ( Điểm G gọi là trọng tâm hệ n
 
 
điểm A1, A2, ... ,An ( n  2 ) nếu GA1 + GA2 + ... + GAn = 0 ).
Chẳng hạn, có thể gọi HS khái quát bài theo theo các hƣớng sau:
- Hướng 1: Dựa vào cấu trúc bài toán cơ bản phát triển dần lên bài toán tổng
quát.
   
Bài 1. Cho 3 điểm A, B, C. Hãy tìm điểm G sao cho GA + GB + GC = 0 (1)

A

G
B

M
Hình 1.1

C

Sử dụng kết quả bài tốn gốc HS tìm đƣợc G là trọng tâm tam giác ABC (hay
trọng tâm 3 điểm A, B, C).
Vậy G là trọng tâm 3 điểm khi và chỉ khi M là trọng tâm 2 điểm B, C và
 1 
GM =
GA (2) .
2
Bài 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Hãy tìm điểm G sao cho
    
GA + GB + GC + GD = 0 .

D

G
Từ kết quả (1) và (2) HS sẽ dự đoán: G là trọng tâm hệ 4 A
G1
điểm khi và chỉ khi G1 là trọng tâm 3 điểm A, B, C và
B
 1 
Hình
1.2
GG1 = - GD .
3

C

GV tiếp tục gợi động cơ cho HS đề xuất bài toán tổng quát với hệ n điểm.
HS dự đoán bài toán tổng quát: cho n điểm A1, A2, ... ,An (n  2) luôn tồn tại

 
 
n 
duy nhất điểm G thoả mãn GA1 + GA2 + ... + GAn = 0 hay  GAi = 0 . Điểm G
i=1

gọi là trọng tâm hệ n điểm.
6


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

Việc dự đoán G là trọng tâm của hệ n điểm nếu thoả mãn: G1 là trọng tâm

1 
hệ n - 1 điểm: A1, A2, ... , An-1; và GG1 = GAn là hoàn toàn hợp lý vì các
n 1
biểu thức
 1 
MA = - MB ứng với trọng tâm hệ 1 điểm A.

1
 1 
GM = - GA ứng với M là trọng tâm hệ 2 điểm B, C.
2
 1 
GG1 = - GD ứng với G1 là trọng tâm hệ 3 điểm A, B, C.
3
- Hướng 2: Nếu khai thác trọng tâm hệ điểm theo hƣớng khác, ta cũng có
thể cho HS khái quát hóa nhƣ sau:
 Nếu điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì với mọi điểm O ta
 1  
có OM = OA + OB .
2





 Nếu điểm G là trọng tâm của tam giác ABC, thì với mọi điểm O bất kỳ
 1   
ta có OG = OA + OB + OC .
3





 Từ các trƣờng hợp riêng lẻ trên, ta tìm đƣợc cơng thức chung là bài
toán tổng quát sau: Điểm G là trọng tâm của hệ n điểm A1, A2, ... , An
 1 n 

thì với mọi điểm O ta có: OG =  OAi .
n i 1
- Hướng 3: Đối với HS khá giỏi, GV có thể hƣớng dẫn cho các em theo
hƣớng thay các hệ số của vectơ từ hằng suy biến.
Đối với hai điểm A, B và 2 số thực  ,   sao cho     0 ta có điểm I






duy nhất thỏa mãn  IA +  IB = 0 . Khi đó điểm I gọi là tâm tỉ cự của hai điểm
A, B với bộ số (  ,   ).

7


Với 3 điểm A, B, C và 3 số thực  ,  ,  sao cho       0 . Khi đó ta








cũng có điểm I duy nhất thỏa mãn  IA +  IB +  IC = 0 . Ta gọi điểm I gọi là
tâm tỉ cự của 3 điểm A, B, C với bộ số (  ,  ,  ).
Khái quát lên cho hệ n điểm: cho n điểm A1, A2, ... , An và n số 1, 2 ,..., n
sao cho 1  2  ...  n  0 . Khi đó tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn







1 IA1 +...+ n IAn = 0 , và I gọi là tâm tỉ cự của hệ n điểm với bộ số
( 1, 2 ,..., n ).
Khái quát hoá thƣờng đƣợc sử dụng trong việc hình thành các khái niệm,
chứng minh định lý, phát hiện và đề xuất những cái mới. Khái quát hoá thuộc
về các phép suy luận có lý, nên các kết luận đƣợc rút ra từ khái qt hố
thƣờng mang tính giả thuyết, dự đốn. Tuy nhiên trong nhiều trƣờng hợp kết
luận từ khái quát hoá có thể thu đƣợc nhờ suy luận quy nạp. Chẳng hạn, muốn
chứng minh định lý về mối liên hệ giữa số đo của góc nội tiếp và góc ở tâm
cùng chắn một dây cung, ta lần lƣợt xét ba trƣờng hợp:

A
C
.O

B
Hình 1.3

A

A
C
.O

B

Hình 1.4

O

C
.

B
Hình 1.5

- Tâm O nằm trên một cạnh của góc. (Hình 1.3)
- Tâm O nằm trong góc. (Hình 1.4)
- Tâm O nằm ngồi góc. (Hình 1.5)
Trong từng trƣờng hợp ta chứng minh đƣợc rằng: Góc nội tiếp trong một
đường trịn có số đo bằng nửa góc ở tâm cùng chắn bởi một cung. Từ đó ta

8


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

có thể khẳng định là định lí đã đƣợc chứng minh hồn tồn, vì ba trƣờng hợp
trên đã vét hết các khả năng có thể xảy ra. Nhƣ vậy, trong ví dụ trên kết luận
đƣợc rút ra nhờ quy nạp hồn tồn.

1.1.2. Đặc biệt hóa
Theo G. Polya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp
đối tƣợng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập
hợp đã cho” 13,tr.22 .
Những dạng đặc biệt hóa thƣờng gặp trong mơn tốn có thể đƣợc biểu
diễn theo sơ đồ sau:
Đặc biệt hóa

Đặc biệt hóa
từ cái tổng quát đến cái
riêng lẻ

Đặc biệt hóa
từ cái riêng đến cái
riêng hơn

Đặc biệt hóa tới cái
riêng lẻ đã biết

Đặc biệt hóa tới cái
riêng lẻ chƣa biết

Sơ đồ 1.2: Những dạng đặc biệt hóa thƣờng gặp trong mơn tốn
Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác
sang việc nghiên cứu đa giác đều. Từ việc nghiên cứu đa giác đều ta lại đặc
biệt hóa để nghiên cứu tam giác đều. Đó là đặc biệt hóa từ cái riêng đến cái
riêng hơn.
Đặc biệt hóa là q trình đi từ cái chung đến cái riêng, là q trình minh
họa hoặc giải thích những khái niệm, định lí bằng những trƣờng hợp riêng lẻ,
cụ thể.

9


Đặc biệt hóa thƣờng đƣợc sử dụng trong việc trình bày các khái niệm,
chứng minh các định lí, bài tập…Trong bài tốn quỹ tích hoặc tìm điểm cố
định đặc biệt hóa thƣờng đƣợc sử dụng để mị mẫm, dự đốn quỹ tích, dự
đốn điểm cố định trên cơ sở đó để tìm lời giải của bài tốn.
Chúng ta sử dụng đặc biệt hóa trong dự đốn, suy luận có lý nhƣ thế nào?.
Để giải bài toán, trƣớc hết ta giải chúng cho một trƣờng hợp đặc biệt, rồi thử
dùng trƣờng hợp đặc biệt này xem có giải đƣợc trong trƣờng hợp đặc biệt
khác hay trong bài tốn tổng qt khơng. Ví dụ trƣớc khi học sinh đƣợc học
khảo sát hàm số y = ax2 + bx + c (a  0), họ đã đƣợc nghiên cứu về hàm số y
= ax2 (a  0). Do đó, để khảo sát hàm số bậc hai đầy đủ, ta tìm cách đƣa về
trƣờng hợp đặc biệt Y = aX2 (bằng phép đổi trục tọa độ).
Ví dụ 2. Đối với tam giác vng ABC với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam
giác; R là độ dài bán kính đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác, ta ln có hệ thức:
a
b
c
=
=
= c  2R .
sin A sin B sin C

Từ đó ta dự đoán hệ thức trên đối với tam giác thƣờng là:
a
b
c
=

=
 2 R (*)
sin A sin B sin C

Trƣớc khi chứng minh dự đoán trên, ta thử các trƣờng hợp đặc biệt khi
tam giác ABC là tam giác đều, tam giác cân. Khi thấy đúng ta mới tiến hành
chứng minh.
Chứng minh. Xét đƣờng trịn tâm O bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC.
Kéo dài AO cắt đƣờng tròn (O, R) tại A’. Ta có  ACB   AA ' C ( hai góc
A
nội tiếp cùng chắn bởi cung AB)
 sin C  sin A '=



AB
c
=
.
AA'
2R

O

c
 2R .
sin C

C

B
A’
10

Hình 1.6


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

Tƣơng tự ta cũng chứng minh đƣợc :

a
b
=
 2R
sin A
sin B

Do đó, trong mọi tam giác bất kỳ ta có:

a
b
c
=

=
 2R .
sin A sin B sin C

Kết quả này chính là Định lí sin trong tam giác.
Trong ví dụ trên từ việc nghiên cứu tam giác ABC bất kì ta chuyển sang
nghiên cứu tam giác đều, tam giác cân. Đó là đặc biệt hóa từ cái tổng quát
đến cái riêng lẻ và trong trƣờng hợp này đó là đặc biệt hóa đến cái riêng lẻ
chƣa biết. Sau khi đã chứng minh đƣợc hệ thức (*) đúng với mọi tam giác bất
kì ta thử đặc biệt hóa khi tam giác ABC vng. Đó là đặc biệt hóa tới cái
riêng lẻ đã biết.
Ví dụ 3. Gọi hai đƣờng tròn là (O1, R1) và (O2, R2) và điểm M nằm ngồi hai
đƣờng trịn trên. Gọi T1, T2 lần lƣợt là các tiếp điểm của tiếp tuyến kể từ M tới
(O1, R1) và (O2, R2). Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn: MT12  MT22  k 2 .
Ta hãy xét một trƣờng hợp đặc biệt hơn của Bài toán: Khi (O1) và (O2) suy
biến thành các điểm O1, O2. Quỹ tích những điểm có tổng bình phƣơng
khoảng cách đến hai điểm O1, O2 bằng một số không đổi là đƣờng tròn tâm I,
với I là trung điểm O1O2.
Từ đó, ta dự đốn rằng, quỹ tích phải tìm cũng là đƣờng trịn tâm I. Dự đốn
đó gợi cho ta hƣớng biến đổi:
MT12  MO12  R12
MT22  MO22  R22

Do đó:

MT12  MT22  k 2  MO12  MO22  R12  R22  k 2

 MO12  MO22  k 2  R12  R22
Vậy dự đoán của chúng ta là đúng. Quỹ tích cần tìm là đƣờng trịn tâm I, bán
kính R =

1
2 K 2  O1O22 với K2 = k2 + R12  R22  O1O22 .
2

11


Việc xét trƣờng hợp đặc biệt: (O1), (O2) là các đƣờng trịn - điểm khơng
những giúp chúng ta dự đốn đúng quỹ tích, tìm đƣợc lời giải bài tốn, mà
cịn trả lời đƣợc câu hỏi đặt ra ở đầu bài: Quỹ tích tổng bình phƣơng là đặc
biệt hóa của quỹ tích này.
1.1.3. Tương tự
Theo G. Polya: “Hai hệ là tƣơng tự nếu chúng phù hợp với nhau trong mối
quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tƣơng ứng” 13, tr.23
Kết luận dựa theo sự tƣơng tự có thể mơ tả nhƣ sau:
A có tính chất a, b, c
B có tính chất a, b
------------------------------------------Thế thì B có thể có tính chất c
Ngƣời ta thƣờng xét sự tƣơng tự trong tốn học trên các khía cạnh sau:
- Hai phép chứng minh là tƣơng tự nếu đƣờng lối, phƣơng pháp chứng
minh là giống nhau.
- Hai hình là tƣơng tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau hay nếu vai
trị của chúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hoặc giữa các phần tử
tƣơng ứng của chúng có quan hệ giống nhau.
- Hai tính chất là tƣơng tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộc
tính của hai hình tƣơng tự. Chẳng hạn:
Tam giác trong hình học phẳng đƣợc xem tƣơng tự với tứ diện trong hình
học khơng gian vì tam giác là hình có diện tích hữu hạn đƣợc giới hạn bởi
một số đƣờng thẳng tối thiểu, còn tứ diện là hình có thể tích hữu hạn đƣợc

giới hạn bởi một số mặt phẳng tối thiểu.
Tính chất đƣờng cao của tam giác tƣơng tự với tính chất các đƣờng cao
của hình tứ diện. Với ý nghĩa đó từ các đƣờng cao, đƣờng trung tuyến, đƣờng

12


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

phân giác của tam giác có thể đề xuất và chứng minh các tính chất tƣơng tự
của đƣờng cao, mặt phẳng trung diện, mặt phẳng phân giác của tứ diện.
Từ các hệ thức lƣợng trong tam giác vng có thể xây dựng các hệ thức
tƣơng tự trong tứ diện vng.
Vai trị của tƣơng tự trong nghiên cứu khoa học đã đƣa G. Polya nhận định:
"Phép tƣơng tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh" 14, tr.28 .
Trong quá trình nghiên cứu khoa học; nhiều khi ý tƣởng, giả thuyết có đƣợc
nhờ sự tƣơng tự với một kết quả đã đƣợc công nhận trƣớc đó. Đối với học sinh,
tƣơng tự đóng vai trị quan trọng trong việc rèn luyện tƣ duy sáng tạo của ngƣời
học. Để giải một bài toán, chúng ta thƣờng nghĩ về một bài tốn tƣơng tự dễ hơn
và tìm cách giải bài tốn ấy. Sau đó, để giải bài tốn ban đầu, ta lại dùng bài
toán tƣơng tự dễ hơn đó làm mơ hình.
Ví dụ 4. Sau khi giải bài toán cơ bản: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lƣợt
   
là trọng tâm hai tam giác ABC, A’B’C’ thì 3GG'  AA'  BB'  CC' .

Giáo viên có thể đặt câu hỏi “nếu G trùng với G’ thì sao?” qua đó hƣớng
cho học sinh tìm tịi lời giải và có nhận xét khá quan trọng là nếu hai tam giác
có cùng trọng tâm thì “ AA'  BB'  CC '  O ” (1). Nhƣ vậy, từ đó để chứng
minh hai tam giác có cùng trọng tâm ta chỉ cần chứng minh đẳng thức (1) là
đƣợc. Khi đó có thể hƣớng dẫn cho học sinh giải các bài toán tƣơng tự khác.
Bài 1. Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lƣợt là trung điểm các
cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có
cùng trọng tâm.
Bài 2. Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A. Chứng
minh rằng hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm.
Bài 3. Cho tam giác ABC và tam giác A' B' C ' có cùng trọng tâm G. Gọi G1, G2,
G3 lần lƣợt là trọng tâm của tam giác BCA’, CAB’, ABC’. Chứng minh rằng
13


   
GG1  GG2  GG3  O .
1.2. Cơ sở toán học của chủ đề vectơ và toạ độ trong hình học nâng cao
lớp 10
1.2.1. Vectơ
Để tìm hiểu về chủ đề vectơ trong mơn tốn lớp 10 THPT, chúng tôi sẽ đƣa
ra một số nội dung liên quan đến không gian vectơ trên trƣờng K , định nghĩa
không gian vectơ Ơclit, không gian Ơclit. Dựa vào 19
1.2.1.1. Không gian vectơ trên trường K
a) Định nghĩa không gian vectơ trên trƣờng K
Cho tập hợp V khác rỗng mà các phần tử đƣợc kí hiệu  ,  , ,...và trƣờng K mà
các phần tử đƣợc kí hiệu x, y, z,... Giả sử trên V đã xác định hai phép tốn:
-

Phép tốn trong, kí hiệu: +: V x V  V

 

 ,  
-

 
 

Phép tốn ngồi, kí hiệu: . : K x V  V
( x , )  x.

Tập hợp V với hai phép toán đó gọi là khơng gian vectơ trên trường K hoặc
khơng gian vectơ nếu 8 tiên đề sau thỏa mãn   ,  ,  V,  x, y  K.
1)

(   )      (    ) ;

2)

Có 0  V sao cho 0      0   ;

3)

Có '  V sao cho '    '    0 ;

4)

      ;

5)

(x + y).  = x.  + y.  ;

6)

x.(  +  ) = x.  + x.  ;

14


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

7)

x.(y.  ) = (x.y).  ;

8)

1.  =  , trong đó 1 là phần tử đơn vị của trƣờng K.

Các phần tử của V gọi là các vectơ, các phần tử của K gọi là các vơ hƣớng.
- Phần tử 0 nói trong tiên đề 3 gọi là vectơ - không .
- Phần tử  ' nói trong tiên đề 4 gọi là vectơ đối của  .
- Phép toán “+’’ gọi là phép cộng vectơ, phép toán “.” gọi là phép nhân

vectơ với vô hƣớng. Để cho gọn, dấu “.” nhiều khi lƣợc bỏ.
b) Tính chất suy từ định nghĩa khơng gian vectơ trên trƣờng K
 Bốn tiên đề đầu tiên chứng tỏ V là một nhóm giao hốn đối với phép
cộng vectơ.
 Các tiên đề 5, 6 và 7 theo thứ tự nói lên rằng phép nhân vectơ với vơ
hƣớng có tính chất phân phối đối với phép cộng vơ hƣớng, phân
phối đối với phép cộng vectơ và có tính chất kết hợp.
c) Một số hệ quả
Cho K – không gian vectơ V. Vì V là một nhóm giao hốn đối với phép cộng
vectơ nên ta có ngay các tính chất sau:
1)

Phần tử trung hồ 0 của phép cộng vectơ nói trong tiên đề 2 là duy
nhất và đƣợc gọi là vectơ khơng.

2)

Phần tử đối ' nói trong tiên đề 3 là duy nhất gọi là vectơ đối của
vectơ  . Từ đây ta sẽ ký hiệu vectơ đối của vectơ  là -  .

3)

Từ đó có định nghĩa    =   (   ) gọi là hiệu của  và  .

4)

Qui tắc chuyển vế:      suy ra      .

5)

Luật giản ƣớc        suy ra    .

15


Đối với phép nhân vơ hƣớng ta cịn có tính chất sau:
6)

0.  0 , ở đây 0 là phần tử không của trƣờng K.

7)

x. 0  0 .

8)

x.  0 suy ra hoặc x = 0 hoặc   0 .

9)

– (x  ) = (- x).  . Đặc biệt khi x = -1 ta có (-1)  = -  .

10)

(x - y)  = x  - y  .

11)

x(    )  x  x  .

1.2.1.2. Hệ vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
a) Định nghĩa
n

- Nếu    xi  i thì  đƣợc gọi là biểu thị tuyến tính theo hệ (  i ), i = 1,n .
i 1

- Hệ vectơ (  i ), i = 1,n , gọi là độc lập tuyến tính nếu

n

x 
i 1

i

i

= 0 kéo theo

xi = 0, i = 1, 2, ..., n.
- Hệ vectơ (  i ), i = 1,n , gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó khơng độc lập
tuyến tính.
b) Một số tính chất
 Hệ vectơ (  i ), i = 1,n , phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có họ các hệ
số (xi), i = 1, 2, ..., n, không đồng thời bằng không sao cho

n

x 

i 1

i

i

= 0.

 Nếu hệ (  i ), i = 1,n , độc lập tuyến tính thì hệ (  1 ,  2 ,...  n ,  ) phụ
thuộc tuyến tính khi và chỉ khi  biểu thị tuyến tính theo hệ (  i ), i = 1,n .
Ngoài ra cách biểu thị đó là duy nhất
1.2.1.3. Cơ sở, số chiều của không gian vectơ

16


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

a) Định nghĩa
Giả sử V là một K – không gian vectơ.
1) Một hệ vectơ trong V gọi là một hệ sinh của V nếu mọi vectơ của V
đều biểu thị tuyến tính theo hệ đó.
2) Nếu V có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì V đƣợc gọi là K –
khơng gian hữu hạn sinh.

3)

Một hệ vectơ trong V gọi là một cơ sở của V nếu mọi vectơ của V

đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó.
4)

V là khơng gian hữu hạn sinh thì V có cơ sở hữu hạn và số phần tử

của các cơ sở trong V nhƣ nhau gọi là số chiều của không gian vectơ V.
b) Nhận xét
V là khơng gian vectơ n chiều thì mọi hệ n vectơ độc lập tuyến tính của
nó đều là cơ sở.
1.2.1.4. Toạ độ của vectơ đối với một hệ vectơ cơ sở
a) Định nghĩa

  
Cho cơ sở   (1 , 2 ,..., n ) của K – khơng gian vectơ n chiều V thì mọi

vectơ   V viết đƣợc một cách duy nhất dƣới dạng  =

n

x 
i 1



i

i

, xi  K.

( x1 , x2 ,...,xn )  ( xi ) gọi là toạ độ của  đối với (hay “trong”, “theo”)

cơ sở   ( 1 , 2 ,..., n ) .
 xi gọi là toạ độ thứ i của  đối với cơ sở đó.
b) Nhận xét từ định nghĩa
Nếu  ,  theo thứ tự có toạ độ (xi), (yi) trong cơ sở  thì
    có toạ độ (xi +yi),
 b  có toạ độ (bxi).
c) Cơng thức đổi toạ độ

17


n

Giả sử có cơ sở '  ( '1 ,' 2 ,...,' n ) của V, ' j =  cij  i (1), j =1,n , cij  K.
i 1

Nếu vectơ  có toạ độ (xi) trong cơ sở  , có tọa độ (x’i) trong cơ sở ' thì:


n



   xi  i =

i 1

n

n

i 1

j 1

(  cij x' j ) i .

Do tính duy nhất của khai triển  theo cơ sở  suy ra
n

xi =

c
j 1

ij

x' j , i =1,n

(2).

Công thức (2) gọi là công thức đổi toạ độ ứng với công thức đổi cơ sở (1)
1.2.1.5. Không gian vectơ Ơclit
Không gian vectơ V đƣợc gọi là không gian vectơ Ơclit nếu trên V xác định
một phép nhân vô hƣớng: Với hai vectơ bất kì  ,  có một số thực kí hiệu là

 .  , sao cho các tiên đề sau đây thoả mãn:
9)

 .  =  . ;

10)  .(    )   .    . ;
11) (k.  ).   k. (  .  );
12)

 .   0,  .  = 0   = 0 .

Nếu tích vơ hƣớng  .  bằng khơng, ta nói rằng hai vectơ đó vng góc
với nhau. Nếu trong khơng gian vectơ Ơclit V có thể tìm đƣợc nhiều nhất là n
vectơ khác 0 và đơi một vng góc, thì số ngun n đƣợc gọi là số chiều của
V. Khi đó ta gọi V là không gian vectơ Ơclit n chiều.
1.2.1.6. Không gian Ơclit
Dựa vào không gian vectơ Ơclit, ta định nghĩa không gian Ơclit.
Định nghĩa.
Một tập hợp E đƣợc gọi là khơng gian Ơclit n chiều, nếu có

18


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi

phi

không gian vectơ Ơclit n chiều V và một ánh xạ  : E x E  V sao cho hai
tiên đề sau đây thoả mãn:
i) Với mỗi phần tử M của E và mỗi vectơ v của V có một và chỉ một
phần tử N của E sao cho  (M, N) = v .
ii) Với bất kì ba phần tử M, N, P ta đều có:  (M, N) +  (N, P) =  (M, P)
Mỗi phần tử của E gọi là một điểm.
Sau đó, ngƣời ta định nghĩa các khái niệm nhƣ đƣờng thẳng, mặt phẳng, …
dựa trên khái niệm không gian vectơ con, định nghĩa độ dài đoạn thẳng hay
số đo góc dựa trên khái niệm tích vơ hƣớng, …
1.2.1.7. Vectơ trong sách giáo khoa Hình học nâng cao lớp 10
Khái niệm vectơ ở hình học 10 đƣợc xây dựng cách khác, không giống
nhƣ định nghĩa không gian vectơ ở trên. SGK định nghĩa vectơ là một đoạn
thẳng định hƣớng, trang bị khái niệm hai vectơ bằng nhau để biến các vectơ
“buộc” trong định nghĩa thành các vectơ “tự do”, cuối cùng trang bị phép toán
cộng hai vectơ, phép toán nhân vectơ với một số. Khi đó, tập hợp các vectơ tự
do này thoả mãn 8 tiên đề của không gian vectơ.
Định nghĩa.
Vectơ là một đoạn thẳng có hƣớng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn
thẳng, đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.
Tổng của hai vectơ: Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A nào đó rồi xác

   
định các điểm B và C sao cho AB  a, BC  b . Khi đó vectơ AC đƣợc gọi
 
  
là tổng của hai vectơ a, b . Kí hiệu AC  a  b.
Phép lấy tổng của hai vectơ đƣợc gọi là phép cộng vectơ.

B

b

a

a
b

C
A

Hình 1.7
19

a +b


Tích của một vectơ với một số: Tích của vectơ a với một số thực k là một
vectơ, kí hiệu là k a , đƣợc xác định nhƣ sau
a) Nếu k  0, thì vectơ k a cùng hƣớng với vectơ a , nếu k < 0 thì vectơ k a
ngƣợc hƣớng với vectơ a .
b) Độ dài vectơ k a bằng k . a .
c) Các định nghĩa vectơ - không, vectơ đối, hiệu của hai vectơ và các tính
chất của phép tốn vectơ làm cho các vectơ trong định nghĩa này có đầy
đủ tính chất của khơng gian vectơ.
Ngồi ra, từ định lí biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phƣơng
chứng tỏ, hai vectơ không cùng phƣơng trong mặt phẳng là một cơ sở của
không gian vectơ kể trên, do đó khơng gian vectơ trong mặt phẳng là hai
chiều. Cuối cùng sách giáo khoa đƣa ra định nghĩa tích vơ hƣớng của hai

vectơ nhƣ sau.

 



Tích vơ hướng của hai vectơ a,b là một số, kí hiệu là a.b , đƣợc xác định bởi
  
 
a.b  a . b cos( a,b ) .

 
Ở đó ( a,b ) là kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b , 0

 

0

 ( a,b )  90 .

Nhờ đó kiểm nghiệm đƣợc (sách giáo khoa có nêu) các vectơ cịn thoả
mãn thêm 4 tiên đề của không gian vectơ Ơclit (2 chiều) (xem [16]).
Nhƣ vậy, Hình học nâng cao lớp 10 đã xây dựng cho học sinh một không
gian vectơ “cụ thể” hơn không gian vectơ trong lí thuyết ban đầu, gần gũi với
vốn hiểu biết của học sinh, giúp các em dễ dàng tiếp thu mà vẫn đảm bảo độ
chính xác cần thiết.
1.2.2. Tọa độ
Sách giáo khoa hình học THPT khi nghiên cứu các vấn đề liên quan đến toạ
độ chủ yếu chỉ trình bày một hệ toạ độ là hệ toạ độ Đềcác vng góc - đặc

20


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

biệt là hệ toạ độ Đềcác trực chuẩn. Tuy nhiên cơ sở khoa học của những vấn
đề đó là hệ toạ độ afin, các kiến thức về không gian afin. ( Dựa vào 19 )
1.2.2.1. Không gian afin
a) Định nghĩa không gian afin
Cho một tập A không rỗng (phần tử của A gọi là điểm), một K - không
: A x A  V

gian vectơ V và một ánh xạ

(A,B)  AB sao cho


Giữ cố định A thì ánh xạ B A  AB  V là một song ánh.



Với A, B, C  A có AB + BC = AC

Bộ ba (A, V, ) hay tập A gọi là một K - không gian afin liên kết với

không gian vectơ V bởi ánh xạ .
b) Tọa độ afin trong A
Cho không gian afin A liên kết với K - không gian vectơ V. Khi dim V =
n ta cũng nói dim A = n.
  
  
 Hệ thống (O; e1 , e2 ,..., en ) gồm O  A, ( e1 , e2 ,..., en ) là cơ sở của V
gọi là hệ tọa độ afin trong A.


n

M  A thì OM   xi ei , ta nói M có tọa độ afin (x1, x2, ..., xn) trong
i 1

hệ tọa độ đó.
1.2.2.2. Phẳng trong khơng gian afin
a) Định nghĩa.
Cho (A, V, ) là một K – không gian afin, P là một điểm thuộc A, W là một
không gian vectơ con của V. Tập hợp  = { M  A | PM  W} gọi là phẳng
đi qua P với (không gian vectơ) chỉ phƣơng W.
Ta gọi số chiều của phẳng  là số dim  = dimW. Khi dim  = m, ta nói
rằng  là một m – phẳng.

21


0 – phẳng chính là một điểm;

Chú ý:

1 – phẳng còn gọi là đường thẳng;
2 – phẳng còn gọi là mặt phẳng;
(n - 1) – phẳng còn gọi là siêu phẳng.
b) Phƣơng trình của phẳng
  
Cho dimA = n, (O; e1 , e2 ,..., en ) là hệ tọa độ afin của K – khơng gian afin A


Phƣơng trình tham số của m – phẳng  .

Giả sử m – phẳng  đi qua điểm P(b1; b2;...; bn) và có khơng gian vectơ
n
  
chỉ phƣơng W. Trong W ta chọn một cơ sở ( u1; u2 ;...; um ). Nếu u j   aij ei ,
i 1

n

OP   bi ei thì M(x1; x2; ...; xn)    x =
i
i 1

m

a t
j 1

ij j

 bi , i = 1, 2,..., n.

Hệ phƣơng trình này gọi là phương trình tham số của m – phẳng  ; các tj ,
j = 1, 2,..., m, gọi là các tham số.
Ngƣợc lại, hệ phƣơng trình dạng đó với hạng(aịj) = m là phƣơng trình
tham số của một m – phẳng trong hệ toạ độ afin cho trƣớc trong A.


Phương trình tổng quát của m – phẳng 

Mọi m – phẳng trong K – không gian afin n chiều A với phƣơng trình
tham số xi =

m

a t
j 1

ij j

 bi (*), i = 1, 2,..., n, trong đó hạng(aịj) = m đều đƣợc

xác định bởi hệ (n - m) phƣơng trình tuyến tính đối với x1, x2,...xn dạng
n

 g x
i

i 1

 h  0 (**),  = m + 1,..., n,

i

trong đó ma trận ( g i ) là ma trận cỡ (n-m) x n trong K, có hạng tối đại (n-m).
Hệ phƣơng trình

n

 g x
i 1

i

i

 h = 0,  = m+1,..., n; trong đó ma trận ( g i )

có hạng tối đại (n-m) và (hm+1,...hn)  K
tổng quát của một m – phẳng.
22

n-m

cho trƣớc gọi là phương trình