HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN

HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRÒN
BÀI 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC
1. Định lí Côsin
• Kí hiệu:
∆ABC
Cho
có các góc là A, B, C, cạnh đối
diện tương ứng theo thứ tự đó là a, b, c.
• Công thức:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
2. Định lí sin
• Kí hiệu:
•

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
Công thức:
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

∆ABC.

3. Độ dài đường trung tuyến
• Kí hiệu:

ma , m b , mc
là các trung tuyến vẽ từ các đỉnh
A, B, C.
• Công thức:
m =
2
a

2 ( b2 + c2 ) − a 2

1

4
2 ( a + c2 ) − b 2
2

m 2b =

4
2 ( a + b2 ) − c2
2

m c2 =

4

4. Công thức tính diện tích tam giác
• Kí hiệu:
S là diện tích tam giác ABC.
ha , hb , hc

là các đường cao vẽ từ các đỉnh A,
B, C.
r
là bán kính đường tròn nội tiếp của tam
giác.
2p = a + b + c
là chu vi tam giác.
• Công thức:

GIÁO VIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – ĐT: 0967453602 – FACEBOOK: ThayCuongToan


HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRÒN
1
1
1
S = ah a = bh b = ch c
2
2
2
1
1
1
S = bcsin A = ac sin B = ab sin C
2
2
2
abc
S=
; S = pr; S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c )

4R
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. TÍNH CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
a = 13, b = 8,c = 7.
∆ABC
Ví dụ 1. Cho
có
S, h a , R, r, m a .
a) Tính góc A, suy ra
A, h a , R, r, m a .
b) Tính S, suy ra
∆ABC
Ví dụ 2. Cho
nội tiếp đường tròn tâm O,
R = 6,

B = 45°, C = 60°.

a) Tính các cạnh tam giác.
b) Tính S, sinA, ha, r.
∆ABC
Ví dụ 3. Cho
cân tại A, góc đáy
B = C = 30°,
BC = a = 3.
cạnh đáy
a) Tính R, r.
( mb − ma ) ( m b + ma ) .
b) Tính

biết
DẠNG 2. CHỨNG MINH QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
b + c = 2( R + r) .
Ví dụ 4. CMR: Với mọi tam giác vuông có hai cạnh góc vuông b, c thì
a 2 + b2 + c2
cot A + cot B + cot C =
.
4S
Ví dụ 5. CMR: Với mọi tam giác ABC thì
a 2 sin 2B + b 2 sin 2A
S=
.
4
Ví dụ 6. CMR: Với mọi tam giác ABC thì

2

DẠNG 3. NHẬN DẠNG TAM GIÁC
Ví dụ 7. Chứng minh nếu các cạnh tam giác thỏa
 b3 + c3 − a 3
2
 b + c − a = a

2
a + c = 1+ b
 c a
ac

mãn
C. BÀI TẬP

∆ABC
Bài 1. Cho
AC = c = 3, BC = a > 5

thì đó là tam giác đều.
có cạnh

AB = b = 4,

S = 3 3.
và diện tích
a) Tính góc A và cạnh a.
b) Tính R, r.
2p = 3 + 3
∆ABC
Bài 2. Cho
có chu vi
sao
A = 3C
B = 2C.
cho
và
a) Tính các cạnh a, b, c.
b) Tính ma.

Ví dụ 8. Nhận dạng tam giác ABC nếu ta có:
1
S = ( a + b − c) ( a − b + c ) .
4

Ví dụ 9. Tìm tính chất đặc biệt của tam giác
2a cos A = b cos C + c cos B.
ABC nếu ta có:
a = 13,
∆ABC
Bài 3. Cho
có
b + c = 15 ( b > c ) .

A = 120°,

a) Tính b, c và S.
b) Tính R, r và ma.
Bài 4. Cho

∆ABC

có

a = 2 3,

b = 2 2,

c = 6 − 2.
a) Tính góc A, B, C.
sin15°.
b) Suy ra giá trị

GIÁO VIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – ĐT: 0967453602 – FACEBOOK: ThayCuongToan

HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRÒN
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD, tâm O, đường
AM = BN = CP = x ( 0 < x < a ) .
AC = 4
BD = 2
Tìm x để
chéo
và đường chéo
hợp với
S∆ABC = 3S∆MNP .
60°.
AC < BC.
nhau góc
Cho biết
∆ABC
a) Tính các cạnh và diện tích hình bình hành.
Bài 9. Cho
có đường phân giác trong góc
b) Tính tích R.r của các bán kính của hai đường
AD = m.
A là
tròn ngoại và nội tiếp tam giác ABC.
∆ABC
b + c = 2a.
1 1 1
= + .
Bài 6. Cho
có
CMR:

A = 120°.
m b c
2sin A = sin B + sin C.
a) Cho
CMR:
a)
b) Cho A tùy ý. Gọi I là trung điểm của AD. Qua
2
1
1
=
+ .
( E ∈ AB, F ∈ AC )
ha hb hc
I, kẻ IEF
sao cho
b)
AE + AF 1
m 2b + mc2 = 5ma2 .
= .
∆ABC
S∆ABC = 4S∆AEF .
AB + AC 2
Bài 7. Nhận dạng
nếu có
CMR:
∆ABC
∆
ABC
AD = 12.

Bài 8. Cho
đều cạnh a. Trên các cạnh
Bài 10. Cho
và phân giác
Cho
AB, BC, CA lấy các điểm A, N, P cho bởi
DC = 6
DB = 4.
và
Tính hai cạnh AB và AC.
D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
∆ABC
∆ABC
Bài 1. Cho
nội tiếp đường tròn tâm O
Bài 6. Cho
nội tiếp trong đường tròn tâm
AH = R.
A = 60°, C = 45°.
O
bán
kính
R
sao
cho
đường
cao
CMR:
bán kính R với
1

a) Tính các cạnh tam giác.
sin B.sin C = .
sin105°.
2
b) Suy ra giá trị
∆ABC
a = 6, b = 2, c = 3 + 1.
∆ABC
Bài
7.
Cho
có hai trung tuyến
Bài 2. Cho
có
BM = 6, CN = 9
120°.
a) Tính các góc trong tam giác.
hợp với nhau một góc
b) Tính ha, R, r.
Tính các cạnh tam giác.
∆ABC
bc = a 2 .
A = 60°,
∆ABC
Bài 3. Cho
có
CMR:
Bài 8. Cho
có góc
nội tiếp

sin B.sin C = sin 2 A.
R = 2.
a)
trong đường tròn bán kính
Gọi I là tâm
2
h b .h c = h a .
∆ABC
b)
đường tròn nội tiếp của
. Tính bán kính R’
∆ABC
của đường tròn (IBC).
Bài 4. Cho
vuông tại A. CMR:
∆ABC
Bài 9. Cho
có góc A nhọn. Kẻ hai đường
m 2b + m c2 = 5ma2 .

3

∆ABC

Bài 5. Cho
vuông tại A, trung tuyến AE.
Qua trọng tâm G của tam giác ABC kẻ đường
tahwrng cắt AB, AC tại M, N sao cho
3S∆ABC = 4S∆AMN .
3xy = bx + cy

AM = x, AN = y.

cao CE và BF. Cho biết
S∆ABC = 9S∆AEF .

EF = 2 2

a) Tính cosA.
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

∆ABC

a) CMR:
với
b) Xác định vị trí của M trên cạnh AB để bài
toán có lời giải.
GIÁO VIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – ĐT: 0967453602 – FACEBOOK: ThayCuongToan

và

.


HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRÒN
∆ABC
Bài 10. Cho
đều cạnh a. Tìm tập hợp
2MA 2 + MB2 + MC 2 =
điểm M thỏa mãn:

3a 2
.
2

4

GIÁO VIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – ĐT: 0967453602 – FACEBOOK: ThayCuongToan


HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRÒN
BÀI 2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương tích một điểm đối với đường tròn
ABCD nội tiếp đường tròn khi
uuuu
r uuur uuur uuuu
r
a. Định nghĩa
MA.MB = MC.MD.
Cho đường tròn (C) tâm O, bán kính R và một
b. Tiếp tuyến đường tròn
điểm M tùy ý. Phương tích của điểm M đối với
Cho tam giác ABC. Phía ngoài đoạn thẳng AB
PM/(C) ,
OM 2 − R 2 .
lấy điểm M.
(C), kí hiệu
là số thực
MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác

PM/(C) = d 2 − R 2 ( d = OM ) .
uuuu
r uuur
MA.MB = MC 2 .
ABC khi
b. Quan hệ giữa phương tích và đường tròn
3. Trục đẳng phương của đường tròn
PM/(C) > 0 ⇔ M
a. Định nghĩa
ở ngoài đường tròn (C).
Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’). Trục
PM/(C) < 0 ⇔ M
đẳng phương của hai đường tròn là tập hợp các
ở trong đường tròn (C).
điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn
PM/(C) = 0 ⇔ M ∈ (C).
đó.
∆ = { M / PM/(O) = PM/(O ') } .
c. Tính chất của cát tuyến
Qua M vẽ cát tuyến tùy ý MAB thì:
uuuu
r uuur
b. Định lí
PM/(C) = MA.MB = MA.MB.
Trục đẳng phương của (O, R) và (O’, R’) là
∆
Nếu M ở ngoài (C). Kẻ tiếp tuyến MT cho (C):
đường thẳng
vuông góc với đường nối tâm
2

PM/(C) = MA.MB = MT .
OO’ tại điểm H cách trung điểm I của OO’ một
Nếu M ở trong (C):

PM/(C) = −MA.MB.

5

IH =

R 2 − R '2
.
2OO '

đoạn IH được xác định bởi:
c. Tính chất
• Trục đẳng phương vuông góc với đường nối
tâm.
• Khi (O, R) và (O’, R’) cắt nhau tại A và B thì
trục đẳng phương là AB.
• Khi (O, R) và (O’, R’) tiếp xúc nhau thì tiếp
tuyến chung đi qua tiếp điểm là trục đẳng
phương.

2. Tứ giác nội tiếp đường tròn
a. Tứ giác nội tiếp
Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M là giao điểm của
AB và CD.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. TÍNH PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN

Phương pháp giải
PM/(O) = OM 2 − R 2 .
• Sử dụng định nghĩa:
uuuu
r uuur
PM/(C) = MA.MB = MA.MB.
• Sử dụng tính chất cát tuyến:
PM/(C) = MT 2
• Đặc biệt là tiếp tuyến:
(M ở ngoài (O)).

GIÁO VIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – ĐT: 0967453602 – FACEBOOK: ThayCuongToan


HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRÒN
AB = 2R
Ví dụ 1. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’)
Ví
dụ
2.
Cho
là đường kính của đường
OO ' = 5a,
tròn (O, R). Gọi H là trung điểm của OA. Qua H
cắt nhau tại A, B biết rằng
PQ ⊥ AB
24
AB = a.
dựng dây
và I là trung điểm của HP.

R = OA = 4a,
5
AI cắt (O) tại M. Tính IM.
PO '/(O)

AB = 2R.
Ví dụ 3. Cho đường tròn đường kính
Hai dây cung tùy ý AM và BN gặp nhau tại H.
PA /(BHM) + PB/(AHN) .
Tính

PO/(O ') .

a) Tính
và
OO '∩ AB = H. CMR : PH/(O) = PH /(O ') .
b)

6

GIÁO VIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – ĐT: 0967453602 – FACEBOOK: ThayCuongToan


DẠNG 2. CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Phương pháp giải
 AB ∩ CD = M
r uuur uuur uuuu
r.
⇔  uuuu
 MA.MB = MC.MD

A, B, C, D thuộc đường tròn
∆ABC
Ví dụ 4. Cho
vuông tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của BH và J là trung điểm của AH.
E là điểm đối xứng của A qua H. CMR: Tứ giác IJCE nội tiếp.
∆ABC
Ví dụ 5. Cho
có đường cao AH. Lấy điểm E tùy ý trên AH, đường tròn đường kính AE cắt AB,
AC tại M, N. CMR: Tứ giác BMNC nội tiếp.
∆ABC
Ví dụ 6. Gọi BE và CF là hai đường cao của
. M, N là trung điểm của AB và AC. CMR: Tứ giác
MNEF nội tiếp.
DẠNG 3. CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN
Phương pháp giải
I ∈ BC
⇔  2 uur uur .
IA = IB.IC
IA tiếp xúc với đường tròn (ABC) tại A
(I ở ngoài đoạn BC)
Ví dụ 7. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Lấy điểm M tùy ý trên AB và ở ngoài hai
đường tròn. Vẽ tiếp tuyến MD cho (O) và cát tuyến MEF cho (O’). CMR: MD tiếp xúc với đường tròn
(DEF).
Ví dụ 8. Cho đường tròn đường kính AB, MN là dây cung tùy ý. Đường tròn đường kính MB cắt AB tại
C, đường thẳng CM cắt AN tại E. CMR: AM tiếp xúc với đường tròn (MNE).
∆ABC
Ví dụ 9. Cho đường tròn (O) ngoại tiếp
. Kẻ hai đường cao CE và BF của tam giác. Qua A kẻ
∆ / /EF, ∆
cắt CB tại D. CMR: DA là tiếp tuyến của (O) tại A.

DẠNG 4. CHỨNG MINH MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐOẠN THẲNG
Ví dụ 10. Gọi A, B là hai điểm trong đường tròn (O, R) sao cho AB = R và O là trung điểm của AB. Qua
AM.BM =
A, B vẽ hai tia song song, cufnh hướng cắt (O) tại M, N. CMR:

3R 2
.
4

MH ⊥ AB.
Ví dụ 11. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. M là điểm tùy ý trên đường tròn. Kẻ
Đường tròn (M, MH) cắt đường tròn (O) tại EF. Dây EF cắt MH tại I. CMR: IM = IH.
OC ⊥ AB
Ví dụ 12. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ
và Bx là nửa tiếp tuyến tại B. Cho
»
OH ⊥ AM.
BC.
M là điểm tùy ý trên cung phần tư
AM cắt OC tại N, cắt Bx tại E. Kẻ
CMR: Hai đường
tròn (CNM) và (CHE) tiếp xúc nhau tại C.
DẠNG 5. DÙNG PHƯƠNG TÍCH CHỨNG MINH ĐIỂM CỐ ĐỊNH. TÌM TẬP HỢP ĐIỂM
Ví dụ 13. Cho đường tròn (O, R) và điểm I cố định không nằm trên đường tròn. Gọi MN là đường kính di
động của đường tròn. CMR: Đường tròn (IMN) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Ví dụ 14. Cho đường tròn (O, R) và điểm A cố định cho bởi R = 2OA. Gọi BC là dây cung quay quanh A.
Vẽ đường tròn đường kính BC và MN là dây cung vuông góc với BC tại A. Tìm tập hợp điểm M và N.
2R
OA =
.

3
Ví dụ 15. Cho A cố định ở trong (O, R) cho bởi
M là điểm di động thuộc đường tròn. Đường
thẳng vuông góc với AM kẻ từ O, gặp tiếp tuyến vẽ từ M tại N. Tìm tập hợp điểm N.
DẠNG 6. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG


∆ABC
Ví dụ 16. Cho
nội tiếp trong đường tròn tâm O. Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt tại D,
đường thẳng vuông góc với AC tại C, cắt AB tại E. Gọi M, N là trung điểm của AE và AD. CMR:
OA ⊥ MN.
∆ABC
Ví dụ 17. Cho
có các trung tuyến BE và CF. Gọi (C1) là đường tròn đường kính BE, (C2) là đường
tròn đường kính CF. (C1) cắt (C2) tại H, K. CMR: A, H, K thẳng hàng.
Ví dụ 18. Cho hình thang vuông ABCD, đường cao CD. Gọi (C) là đường tròn (A, AC), (C’) là đường
tròn (B, BD). (C) và (C’) gặp nhau tại E, F; EF cắt DC tại I. CMR: IC = ID.
C. BÀI TẬP
Bài 1. Hai dây cung AB và CD của đường tròn (O) cắt nhau tại E. Hãy tính EC và ED nếu cho biết EA =
12, EB = 16 và CD = 32.
Bài 2. Cho đường tròn tâm O và I ở trong đường tròn đó. Qua I vẽ dây cung AB tùy ý và dây cung
EF ⊥ OI.
Tiếp tuyến với (O) tại E, F gặp nhau tại C. CMR: OACB nội tiếp.
Bài 3.
Bài 4.
Bài 5.
Bài 6.
Bài 7.
Bài 8.

Bài 9.
Bài 10.