Chuẩn hoá một số hàm sóng

Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí

Khóa luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn
Nghiên cứu khoa học là một đề tài hấp dẫn với nhiều người, đặc biệt
là với sinh viên năm cuối. Vì thông qua quá trình nghiên cứu, chúng em có
thể mở rộng và nâng cao tầm hiểu biết của mình.
Trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành đề tài này, em đã nhận
được sự chỉ bảo, giúp đỡ hết sức tận tình của thầy giáo- Tiến sĩ Trần Thái
Hoa. Bên cạnh đó em cũng đã nhận được sự góp ý chân thành của các thầy
cô giáo trong tổ Vật lí lí thuyết. Qua đây em đã bước đầu làm quen với việc
nghiên cứu khoa học. Chắc chắn điều đó sẽ rất bổ ích cho em trên con
đường công tác sau này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2007
Người thực hiện
Sinh viên: Hoàng Thị Thật


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí

Khóa luận tốt nghiệp

Lời cam kết.
Để đảm bảo tính trung thực của đề tài, tôi xin cam kết như sau:
1. Đề tài của tôi không hề sao chép từ bất cứ một đề tài có sẵn nào.
2. Đề tài của tôi không trùng với một đề tài nào khác.
3. Kết quả thu được trong đề tài là nhờ sự hướng dẫn tận tình của thầy
giáo và sự lỗ lực của bản thân.

Tác giả
Hoàng Thị Thật

Ket-noi.com kho ti liu min phớ


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí

Khóa luận tốt nghiệp

A. Mở ĐầU
1. Lí do chọn đề tài
Cơ học lượng tử là môn khoa học dựa trên tính chất sóng hạt của vật
chất để nghiên cứu và giải thích các tính chất và hiện tượng xảy ra trong
không gian vi mô. Đối tượng chủ yếu của Cơ học lương tử là các nguyên tử,
phân tử và các hạt cơ bản.
Trong Cơ học lượng tử, hàm sóng của các hạt tự do được biểu diễn bởi hàm
sóng:
i

r , t = 0 exp ( p.r E.t )





Trong biểu thức này, hằng số không phản ánh tính chất gì của hạt.
Như vậy, với một trạng thái đã cho, hằng số này có thể có giá trị tùy ý, nói
cách khác nếu ta nhân hàm sóng với một hằng số thì nó vẫn biểu diễn cùng
một trạng thái của hạt.

Ta biết rằng, mật độ xác suất tỉ lệ với bình phương modul của hàm
sóng . Mà mật độ xác suất là một đại lượng vật lý có ý nghĩa xác định,
còn hàm sóng lại xác định sai khác một hằng số nhân 0. Nếu ta cho 0
một giá trị sẽ xuất hiện một hằng số tỉ lệ: A

2

Muốn cho biểu thức này đơn giản ta có thể chọn 0 thế nào để A = 1,
việc chọn 0 như vậy phải thỏa mãn điều kiện sau:

.dV (r, t )

2

dV = 1

Gọi là biểu thức chuẩn hóa hàm sóng
Khi hàm sóng đã được chuẩn hóa thì việc giải quyết các bài toán: tính
xác suất để tìm thấy hạt trong thể tích dV nào đó, tính giá trị trung bình của
đại lượng Vật lý F, sẽ đơn giản hơn nhiều so với hàm sóng chưa được


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí

Khóa luận tốt nghiệp

chuẩn hóa. Chính vì thế tôi đã chọn đề tài: Chuẩn hóa một số hàm sóng
làm đề tài khóa luận của mình.
2. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là việc chuẩn hóa các hàm sóng.

3. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của đề tài này là chuẩn hóa được một số hàm
sóng để đơn giản hóa các công thức sử dụng trong việc giải bài tập.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc và tra cứu tài liệu
- Các phương pháp khác dùng trong vật lý lý thuyết.


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí

Khóa luận tốt nghiệp

b. Nội dung
Chương 1: Lý thuyết về Chuẩn hóa
hàm sóng
1.1. Hàm sóng có phổ rời rạc.
Lý thuyết không gian F(q) các hàm số liên tục của các biến q. Các
hàm (q) được chuẩn hóa về đơn vị mà tích phân sau hội tụ:



(q) 2dq = N ( hữu hạn)

Thì hàm ' (q)

(1)

1
(q ) được chuẩn hóa về đơn vị
N

Việc nhân hàm với

1
được gọi là phép chuẩn hóa hàm về đơn
N

vị. Hàm đã được chuẩn hóa theo (1) có thể sai khác một thừa số có modul
bằng đơn vị.
Hơn nữa để (1) thực hiện thì khi q phải có 0 . Người ta đã
chứng minh rằng khi (1) hội tụ thì các phần tử, các hàm số của không gian
F(q) có thể đánh số bằng các số tự nhiên.

n 1 , 2 ,..., n ,...,
Ta gọi các hàm i F(q ) thỏa mãn (1) là các hàm ứng với phổ rời
rạc
1.2. Hàm sóng có phổ liên tục.
Trường hợp

(q)

2

dq N thì các hàm của không gian này

không được đánh số bằng các số tự nhiên mà có thể đánh số cho nó bằng
chỉ số f: f F(q ) , trong đó f trải từ f 0 một cách liên tục. Ta gọi các
gọi các hàm f F(q ) là các hàm ứng với phổ liên tục.

Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí

Khóa luận tốt nghiệp

Đối với trường hợp phổ liên tục ta chuẩn hóa hàm f về hàm Delta

. Hàm Delta được định nghĩa như sau:

0 x 0 Với ( x )dx 1
x


x 0

Và có một số tính chất cơ bản:
1. ( x ) ( x )
2. x.(a ) 0


3.

f ( x )( x a )dx f (a )



4. (a.x )

1
( x )
a

5. ( x )
i

( x x i )
với xi là nghiệm của phương trình x 0
d
( ) xx
i
dx

Hàm có nhiều biểu diễn tường minh. Một trong các biểu diễn của
1
hàm là: ( x ) . expi.q.xdq (2)
2

Điều kiện chuẩn hóa f về hàm Delta như sau:

f ' (q).f (q)dq f f
*

'



(3)

1.3. Chuẩn hóa các vectơ trong không gian Hilbert
Trong không gian Hilbert một vectơ bất kì có thể khai triển duy nhất
theo hệ đủ các vectơ riêng trực chuẩn của một toán tử tuyến tính Hermite.

Như vậy:
+Nếu F -Hermite: Fx n f n x n (n=1,2,).Trong đó x n X - không
gian Hilbert. Một vectơ tùy ý x X :
x a n .x n khi phổ của F rời rạc và x a f x f df khi phổ của F liên tục
n


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí
Các

x là hệ trực chuẩn đủ, a
p

n

Khóa luận tốt nghiệp

x n , x . Còn các

x X là hệ trực
p

Giao đủ và có thể chuẩn hóa về - hàm. Do đó:

x p , x x p , a f x f df x p , x f a f df f p a f df a p
Thành thử: a f x f , x như trường hợp phổ rời rạc.
an

n

+Ta có:

2

*

a n x n , x a n x, x n
n

n

x , a n x n x , x 1
n

2

Tương tự a f df 1
Như vậy a n

2

cũng như a f

2

có tính chất như một hàm phân bố xác suất,

khi x được chuẩn hóa, ta nói a n

2

là xác suất f n của F , a f

2

là xác suất f

của F )
+ Nếu X không gian Hilbert các hàm số thảo mãn một số đòi hỏi khá
rộng rãi nào đó và toán tử F - Hermite, và:
F n f n . n (n rời rạc cũng như liên tục)

Cũng có thể lấy n làm một hệ cơ sở của X, và một hàm tùy ý X đã
được chuẩn hóa có thể khai triển qua hệ cơ sở này:
a n n (hoặc a f f df )
n

Ta có thể tính được các hệ số khai triển an qua hệ thức:
a n *n .dq hoặc a f *f .dq





+ Vì q q ' là một vectơ của không gian X các hàm số, do đó có thể
khai triển - hàm theo hệ các hàm riêng n q trực chuẩn đủ của toán tử
Hermite F :

q q ' a n n q
n


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí

Khóa luận tốt nghiệp

Nhân hai vế với *m q và lấy tích phân kết quả vừa có theo biến q:
*

*

a n n q dq a n . m q . n q dq a n mn a m
m q
n
n
n







q q ' .*m q dq * q '
m

*n q ' . n q *f q ' .f q df q q '

Nghĩa là a n *n q ' ( n= 1, 2). Từ đây ta thu được hệ thức:

Chương 2:MộT Số DạNG BàI TậP Về
CHUẩN HóA HàM SóNG
2.1. Chuẩn hóa hàm sóng có phổ rời rạc.
Bài 1: Chuẩn hóa các hàm số sau:


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí
a) A.e ax

2

Khóa luận tốt nghiệp

( a 0, x )

(0 x )
2

b) sinx
c) A n . sin

nx
a

(n=1,2,3; 0 x a )

Bài làm
a) Đặt x A.e a.x

2

( a 0, x )

Hàm x ứng với phổ rời rạc cho nên ta chuẩn hóa x về đơn vị
Tức là: ( x ).x .dx 1
*



Đặt 2a

A


2

I

A


2

.e x dx 1

Xét tích phân



e


.x 2

2

2

.e 2a.x dx

(1)

dx


2

áp dụng tích phân Posson: I 2 n (a ) x 2 n .e ax dx




Ta có I

e


. x 2

dx

2n 1!!.
2

n


a

2 n 1





2a

Thay I vào (1) ta có: A 2 .


2a
1 A 4
2a

Vậy hàm x sau khi đã chuẩn hóa có dạng:
x 4

2a ax 2
.e


b) Đặt x A. sin x

a 0; x


0 x
2


Hàm x ứng với phổ rời rạc nên ta chuẩn hóa hàm x về đơn vị.

2

Tức là: * x . x dx 1 A 2 .sin 2 xdx 1
0

(2)


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí

2


2 1 cos 2 x

2

Ta có I sin xdx
0

2

0

Khóa luận tốt nghiệp


1 1

dx
sin 2x 2
2x 4
0

A 2 .
2
1 A
Thay I vào (2) ta có:
4

Vậy hàm x sau khi đã chuẩn hóa có dạng:
x

2
. sin x



(0 x )
2

n A n .sin

c. đặt

nx
a

n 1,2,...;0 x a

ứng với mỗi giá trị của n ta có một hàm n nên phổ của n là phổ rời rạc.
Vì vậy ta chuẩn hóa hàm n về đơn vị dưới dạng :
a

*
2
2
n n dx 1 A n sin
0

nx
dx 1
a

(1)

Ta có:
a

2
2
A n sin

0

nx
2nx
1 2
a
2nx a
1 1
dx A 2n cos
sin
dx A n x

a
a
2
2 n

a 0
2 2


1
A 2n .a
2

-Từ điều kiện chuẩn hóa (2) suy ra: A n

2
a

Vậy hàm n sau khi đã chuẩn hóa là:
n

2
nx
.sin
a
a

n 1,2,...;0 x a

Bài 2.
Trạng thái của hạt được mô tả bằng hàm sóng:


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí
x A .e

x2


2a2


ikx







Khóa luận tốt nghiệp

trong đó A, a, k là những hằng số. Từ điều kiện

chuẩn hóa hàm sóng xác định A ?
Bài làm.
Hàm x ứng với phổ rời rạc nên ta chuẩn hóa hàm x về đơn vị. Tức
là:




*
2

x .x dx 1 A e



x2
ikx

2a 2




.e

x2


ikx
2a 2



dx 1

2

A

2

x
2
e a dx



1

(1)



áp dụng tích phân Posson I 2 n a
Ta có:



2

x2
e a dx







1

a



2



x


2n

2

.e ax dx

2n 1!!



2n

a 2 n 1

a

1

Thay vào (1) ta được: A 2 .a 1 A

.

a

Bài 3.Hàm sóng của êlêcton trong nguyên tử hiđrô ở trạng thái cơ bản
(trạng thái có mức năng lượng thấp nhất) có dạng: r A.e

r
a

Trong đó a = 0,529.1010 m là bán kính quỹ đạo Bo thứ nhất. Hãy chuẩn hóa
hàm sóng r ?
Bài làm.
Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:


2
2



2

0

0

r

x .r dr sin .d d 1 A
0

2

2

dV 1

2r
2

e a .r 2 dr. cos . 1



0




0 0


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí
2r
a .r 2 dr

4A 2 . e

Khóa luận tốt nghiệp

(2)

1

0



n!

0

a n 1

áp dụng tích phân: J n a x n .e ax dx
Ta có:

2r
e a .r 2 dr



0

a3


3

4
2

a
2!

Thay kết quả này vào (2) ta được: 4

a3
1
1 A
4
a 3

1 ar
Vậy hàm sóng r sau khi đã chuẩn hóa có dạng: r
.e
a 3

Bài 4.
Rotato phẳng là mô hình của hạt chuyển động trong mặt phẳng.
Trạng thái của rôtato phẳng được mô tả bởi hàm sóng: A cos 2
trong đó là góc quay xung quanh trục Oz.
Hãy xác đinh hệ số A?
Bài làm.
Trạng thái của rôtato phẳng được mô tả bằng hàm sóng:
A cos 2
2

2

Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta có:


0

A

2

2

cos

4

.d 1

0

Xét tích phân:

(4)

2

d 1


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí

Khóa luận tốt nghiệp

2

2
1 2 cos 2 cos 2 2
1 cos 2
.d
I cos .d
d
2
4

0
0
0

2
1
1
1
3 1

3
2
cos 2 cos 4 .d sin 2 sin 4
4
8
8

32

8
0
0 8
2

2

4

3

4

3
2
Thay vào (4) ta có: A 2 . 1 A
4
3

Bài 5.
Trạng thái của một hệ được mô tả bằng hàm sóng:
2

A1 cos

Hãy chuẩn hóa hàm sóng ?
Bài làm
Trạng thái của hệ được mô tả bằng hàm sóng:

2

0 2

A1 cos

2

2

Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóngta có .d 1
0

4

2

A

2

1 cos d 1

(6)

0

Ta có:

1 cos 4

e i e i 2
2
e i e i

2
1 cos 2 2 cos 1


2
2








2


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí

Khóa luận tốt nghiệp

2

3 1

e 2i e 2i e i e i
2 4

35 1 4i
1
7
7


e e 4i e3i e 3i e 2i e 2i e i e i
8 16
2
4
2









2

Mặt khác ta có:

e

ik

0



2 khi

0 khi

Thay vào (6) ta được: A 2 .



k0
k0

35
2
.2 1 A
8
35

Vậy hàm sóng sau khi đã chuẩn hóa là:


2
1 cos 2
35

0 2

Bài 6.
Hàm sóng của dao động tử điều hòa một chiều có dạng:
2

n A n


.e 2

.H n

trong đó

m
x


Hãy chuẩn hóa hàm sóng n ?
Bài làm.
2

Hàm sóng của dao động tử điều hòa: n A n
Trong đó
2


e 2

.H n

(1)

m
x , H n la đa thức Hermit bậc n.


H n 2

n n 1
2n 2 n n 1n 2n 3 2n 4 ...
1!
2!

Hay viết dưới dạng vi phân: H n

d n 2
e
d n


Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta có:

n x



2

dx 1

Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí

2 *
2 2
2




e
H

.
H

d


A
n
n
n

e H n d 1
m
m

A 2n

An 4

m 1
( 2)
I


I

Trong đó

e

2



.H 2n

d n 2
d 1 . H n n e d
d

n

d n 1
2
n
1 . H n d n 1 e

d


u H n

d n 1 2

dv d d n 1 e




Đặt

Khóa luận tốt nghiệp

d

du

H n d

d



n 1
2
v d
e

d n 1


d n 1 2
d
d n 1 2
n
I H n n 1 e
1 H n n 1 e d

d
d
d
n

1

d
d n 1 2

H

e d
n

d n 1
d



Tích phân từng phần tích phân trên n lần ta được:
n

n

I 1 . 1





e

2



dn
H n d
d n

(1)

Từ biểu thức Hermit ta có:
d
n n 1n 2 n 2 n 3
H n n.2 n . n 1
2 .

d
1!
n n 1n 2 n 3n 4 n 2 n 5

2
...
2!
.
d2
n n 1n 2n 3 n 2 n 3
n n 2
H n n n 1.2 .

.2 .

1!
d 2
n n 1n 2n 3n 3n 4n 5 n 4 n 6
.2 .
...
2!

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí

Khóa luận tốt nghiệp

dn
n
n
n H n n n 1n 2 ...1.2 2 .n!
d

áp dụng tích phân Posson: I 2 n a


Ta có:

e


2



x


2n

.e ax dx

2n 1



n

2 2 n 1

2

d
n

n

Thay các kết quả trên vào (3) ta được: I 1 . 1 . .2 n .n!2 n .n!.
Thay I vào (2) ta được: A n 4

m
1
m 1
.
4
.
2 n n!
2 n.n!

Vậy hàm sóng n đã được chuẩn hóa là:
n 4

2
m 1
. n exp H n
2 n!
2

Nếu đổi từ biến về biến x thì hàm sóng của dao đông tử điều hòa một
chiều là:

y n (x)=

ổ mw ữ
ử
ỡù mw 2 ùỹ
mw 1
ữ
.
exp ớ x ý.H n ỗỗỗx
ữ
ùợù 2h ùùỵ
p h 2 n n!
h ữ
ốỗ
ứ

Bài 7.
Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng, xác định hệ số chuẩn hóa N lm của hàm
Ylm , N lm Plm cos e im ( Ylm , là hàm riêng của toán tử L2 )

Bài làm.
Hàm riêng ứng với trị riêng ll 1 2 của toán tử L2 là hàm điều hòa cầu:

Ylm , N lm Plm cos e im

(1)

áp dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta có:

Y m ,
l

2

sin .d.d

2N lm I lm 1

2
N lm

(2)

2



0

0

m
m
d Pl cos Pl cos sin d 1


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí
Trong đó

Khóa luận tốt nghiệp



: I lm

Plm cos Plm cos sin d

(*)

0

Đặt x cos dx sin d
1

0 x 1
Khi
x 1

Trong đó

Plm

thay vào (*) ta có: I lm Plm x Plm x dx

.

(3)

1

m
2 2
x

x 1



m

d
. m Pl x
dx

gọi là hàm Lagendrơ liên đới

l
1 dl 2
Còn P l x l
x 1 là đa thức Lagendrơ cấp l

l
2 l! dx





Tính tích phân I lm :
Ta có:
I lm

1



1 x

2



m

1

m

m

1 x2

m

1
d
d
. m Pl . m Pl dx 1 x 2
dx
dx
1



m 1



m

m
d n 1

d


P
d
P

m l

m 1 l
dx
dx


m 1

1

m

m dxd m Pi . d m 1 Pl 1 1 d m 1 Pl dxd 1 x 2 m dxd m Pl dx
dx

1

1dx

m 1

d
0 m 1 Px . 1 x 2
dx
1dx
d

m




dm
m Pl x dx
dx


m

Ta biết hàm yx

d
m Pl x thỏa mãn phương trình:
dx

m 2

m 1

m

1 x 2 d m 2 Pl 2x m 1 d m 1 P ll 1 m m 1dxd m Pl 0
dx

dx

l

Thay m bằng m 1 thì phương trình này chuyển thành:





d

m 1

m

m 1

d
d
1 x
P 2x m
P 0
m Pl ll 1 m m 1
m 1 l
m 1 l
dx
dx
dx

2


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí

Khóa luận tốt nghiệp



Nhân cả hai vế phương trình trên với 1 x 2

m 1 và phân tích:

ll 1 m 1 m l m l m 1

Ta có:

1 x 2 m

d

m 1

dx



l m l m 1 1 x

d
2
1 x
dx



m



P 2x m 1 x 2
m 1 l
2



d

m 1 dxd m P
l

m 1

dx

m 1

Pl 0

m 1

m

m dxd m Pl x l m l m 11 x 2 m 1 d m 1 Pl x
dx



Dùng phương trình này ta có thể viết lại tích phân I lm như sau:
I lm

m 1

1

l m l m 1 1 x

2



1

d

m 1

dx

m 1

.Pl

d

m 1

dx

m 1

Pl dx

l m l m 1.I lm1

Tương tự ta có:
I lm1 l m 1l m 1 1I lm2 l m 1l m 2I lm2
I lm2 l m 2l m 2 1I lm3 l m 2l m 3I lm3

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1

I1l l 1 Pl x Pl x dx l 1lI ol
1

Vậy:
I lm l m l m 1l m 1l m 2l m 2l m 3....l 1lI ol
Ta có:

l m 1l m 2l m 3...l
Thay vào biểu thức của I lm ta được:

l!
l m !


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí

l m !.

I lm

l!

Khóa luận tốt nghiệp

l m ! I o
l!

l m ! l m ! l

1

I ol Pl x Pl x Pl x dx
1

l dl
l
dl 2
x

1
x 2 1 dx

2
l
l
dx
2 l l! 1dx
1

1











l d l1
l
dl 2
x

1
d l1 x 2 1

2
l
dx

2 l l! 1dx
1

1

Tích phân từng phần l lần ta được:
I ol

1l

i

d 2l 2

x 1
x 1 dx
2
dx 2l
2 l l! 1
1

2





l



Số hạng có số mũ cao nhất trong x 2 1 là x 2l . Khi đạo hàm 2l lần theo x

l



của x 2 1 thì những số hạng có số mũ của x bé hơn 2l lần bằng 0, còn số
hạng x 2l cho kết quả: 2l2l 12l 2....1 2l !
Vậy ta có:
l

I ol

l

1 2l ! 1 2

x 1 dx
l 2

2 l! 1
l
l
l
l
2l
Mặt khác: x 2 1 1 1 x 1 x và 1 1
Ta có thể viết lại I ol như sau:
I ol



2l! 1 1 x l 1 x l dx 2l ! 1 1 x l d1 x l1


l
l 2
l 1

2 l! 1
2

2 l!

1

l1

1

- Xét tích phân:
d1 x
I 1 x
l 1
1
1

l

l

l1

1 x 1
I 1 x

l 1

1

1

l

1

1 x l1 d1 x l

1

l

1 x 1 x dx

l 1


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí

Khóa luận tốt nghiệp

l1

l 1

1 x
l 1 1

1 x l1 dx

Tiếp tục tích phân từng phần (l-1)lần ta được:
I

l
l 1 . l 2 ......... 1 1 1 x 2l dx
.

l 1 l 2 l 3
2l 1
2l

2l

2

l! 1 1 x dx
l! 1

1

x
dx




2l ! 1
2l ! 1

l!
x 1 0
khi
x 1 2

Đặt 1 x d dx

22

l!2 2l1 2 l! 2 . 2 2l1
l!
2l
I

d


2l! 2l 1 0 2l! 2l 1
2l2 0

Ta có:

Vậy

I ol

2

2l ! l! 2 2l1
2

I
.
.

2
2
2l l! 2l l! 2l! 2l 1 2l 1

2l!

Thay I ol vo biểu thức của I lm ta được:
I lm

l m ! I o 2 l m !
l m ! l 2l 1 l m !

2 m
Thay I lm vào (2) ta có: 2N lm
Il 1

N lm

1
2I lm

1


2

2 l m !
.
2l 1 l m !



2l 1l m !
4l m !

Vậy hàm riêng của toán tử L2 là hàm điều hòa cầu:
Ylm ,

2l 1l m !
4l m !

Pl m cos .eim

Bài 8.
Êlectrôn chuyển động trong trường Culông của hạt nhân với thế năng:


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí
Ur

Khóa luận tốt nghiệp

Ze 2
r

Hãy xác định thừa số chuẩn hóa của hàm sóng bán kính R nl r
Bài làm.
Xét chuyển động của êlectron trường Culông của hạt nhân với thế năng:
Ur

Ze 2
r

(1)

Hàm sóng diễn tả chuyển động của êlectron trong trường Culông của hạt
nhân có điện tích Ze là: nlm r , , R nl r .Ylm ,
trong đó :
Ylm ,

Còn R nl r A nl e

2l 1l m !
4l m !

n r

Pl

m

cos .eim là hàm điều hòa cầu.

2 n r l L2nl1l 2 n r là hàm sóng bán kính

1
2

me 2 z
2mE n
Với n
2
n
2


Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng nlm r , , :
*

nlm r, , nlm r, , r

2

sin drdd 1

*
, Ylm , sin .d.d R *nl r R nl r r 2dr 1
Ylm

Theo bài 7 ta có:

*

Ylm , Ylm , sin d.d 1
r

Nên R *nl r R nl r r 2 dr R nl r R nl r r 2 dr 1

(2)

0

Đặt k = n + l, j = 2l + 1 và x 2 n r thì hàm sóng R nl x có dạng:
R nl x

x j1 j
A nl .e 2 .e 2 .L k

x

Thay R nl x vào điều kiện chuẩn hóa (2) ta có:


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí


1

2

A nl 2 e
2 n
0
A nl

x

2 n 3
I

Khóa luận tốt nghiệp

.x j1Ljk x dx 1


(*) trong đó I e x x j 1 Lkj x Lkj x dx


Để tính A nl ta cần tính phân I. Ta biết:
Lkj

dj

d k k k
j L k x , L k x e
e x
dx k
dx



x

Đặt u e x , v x k và dùng quy tắc tính đạo hàm:
dk
uv uvk u k v k u k 1v 1 ... kk 1...1 uv k
k
1!
k!
dx
k
k k 1
k


1 e x x k kx k 1
k k 1x k 2 ...
1!
2!


k



Ta có: L k x 1 x k

k k 1 k k 1
kx
k k 1x k 2
1!
2!

Ljk

x

dj
dx

k

j

L k x 1

k k 1k 2

k k 1k 2x k 3 ...
3!

k!
k k j k j1
x k j
x

k 1!
1!

k

x j1Ljk x 1

k k 1
k jk j 1x k j2 ...
2!


k!
k k j k
x k 1
x
k j!
1!





1

k k 1k jk j 1x k 1 ...
2!


Để tính tích phân I cần tính các tích phân có dạng sau:


A

0

e x x Ljk



dj
d j1
x

x dx e x j L k x .dx e x d j1 L k x
dx
0
0
dx



x


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí

Khóa luận tốt nghiệp

Lấy tích phân tùng phần j lần ta được:
j

dj



A 1 L k x
0

dx

j

e x x dx

Đặt u e x , v x , ta có:
dj
dx

j

uv uv j u j v

j j1 1 j j 1 j2 2
u v
u v ... uv j
1!
2!

j
j j 1

j


1 e x x x 2
1x 2 ... x j
1!
2!



Để tính tích phân A cần tính các tích phân có dạng sau:




0

0

d k x k
e x dx
dx k



B e x x L k x dx x



d k 1 x k

x d k 1 e x
0
dx








với , 1,..., j



Lấy tích phân từng phần lần ta có:


d k x k
e x dx
k
dx
0





B 1 !

+Khi k thì ta có:


B 1 !

Mà ta có:

dj
dx

j

d k 1 x k
e x
0
dx k 1



e x x 0
0



(với j k 1, k ) ta được B=0.

Vậy: B e x x L k x dx 0 khi k
0

+Khi k , ta có:
k



B 1 k! e x x k dx
0

Đặt u x k , dv e x dx và lấy tích phân từng phần k lần ta được:


Hoàng Thị Thật K29B - Vật Lí
k

Khóa luận tốt nghiệp

2

B 1 k!

Tích phân A được biểu diễn qua tích phân B. Nếu k thì
k , 1,.... j và lúc đó tất cả các tích phân B đều bằng 0 và do

đó A = 0.
j

Khi k ta có: A 1 L k x
0

Mà:

dj
dx

d j x k
e x dx
dx j





j e x x k 1 j e x x k 1j! kx k1 j j 12k!k 1 x k2 ...


j





Và 1 L k x dx 0 khi k 1, k 2,..., k j ta tìm được:
0

j

j

k

2

A 1 L k x 1 e x x k dx e x x k L k x dx 1 k!
0

0



Bây giờ ta tính tích phân I: I e x Ljk x .x j1Ljk x dx
0

Kết hợp (3) và:

0
khi k k 1, k 2,...
A e x x Ljk x dx
k
2
0
1 k! khi k

Ta có:
k

I 1

k! x j
k k j x j

k 1
k




e
L
x
.
x
dx

x
e
L
x
x
dx

k
k
1!
k j! 0
0


k! k 1 x j
k k j
1k k!2
1
x e L k x dx
k j! 0
1!

k

Để tính I ta cần tính tích phân sau:


x k 1

C e x
0

dj
L k x .dx
dx j

Lấy tích phân từng phần j lần ta có:


Hoµng ThÞ ThËt K29B - VËt LÝ
j

dj



C   1  L k x 
0

dx

j

Khãa luËn tèt nghiÖp

e x x k1 dx

Víi:
dj
dx

j e x x k1    1 jx x k1  jk1! 1 x k  j j2! 1 k  1kx k1  ...






Vµ  x  e x L k x dx  0 khi   k  1, k  2,...
0


jk  1 k 

j
j
x dx  0
Ta ®­îc: C   1  L k x  1 e x x k 1 _
1!


0




0

0

  e x x k 1.L k x dx   jk  1e x x k L k x dx


  e x x k 1
0



 x

k 1

0

dk   x k 
k
2
e x dx  jk  1 1 k!
k 

dx 

d k x k
2
e x dx  jk  1 1k k!
k
dx





  1k  e  x x k
0



d k k 1
k
2
x
 jk  1 1 k!
k
dx







k

k

2

=  1 k  1!  e x x k .xdx  jk  1 1 k!
0



k

k

2

  1 k  1!  x k 1xd e x   jk  1 1 k!
0

k

  1

2k

V×  1
I



k!
 1k k  1!2   1k jk  1k!2   1k kk  jk!2
k  j!
 1, k  1! k!k  1 ta cã:

k!3 2k  j  1 víi k = n + l, j = 2l +1
k  j!

3

n  l ! 2n

I
n  l  1!

