He thong kien thuc on THPT 1

HỆ THỐNG KIẾN THỨC ÔN THI THPT QUỐC GIA
MÔN TOÁN

 Tìm m để hàm bậc ba đơn điệu 1 chiều trên đoạn bằng k ?
B1. Tính y
f ( x; m) ax2 bx c.



a

Vấn đề 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

x1

― Nếu f ( x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm xo

a; b

(theo chiều tăng) thì hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại điểm xo .

B2. Tính f (a), f (b), f ( xi ).
B3. Kết luận:

max f ( a); f (b); f ( xi )

min f ( x)

min f ( a); f (b); f ( xi )

a;b

B1. Tìm TXĐ. Tính f ( x). Cho f ( x)

0 tìm nghiệm.

Hàm số đạt cực đại tại điểm x

B3. Dựa bảng biến thiên, kết luận GTLN (GTNN nếu có).
Một số lưu ý:
― Nếu đề bài chưa cho đoạn hoặc khoảng thì ta sẽ đi tìm điều
kiện xác định cho hàm f ( x) và điều kiện đó chính là khoảng
hoặc đoạn mà ta cần xét trong việc tìm GTLN, GTNN.
― Trong một số trường hợp, để đơn giản ta có thể đổi biến số.

Vấn đề 2. Bài tốn liên quan đến tính đơn điệu của hàm số

― Để f ( x) nghịch biến trên

y

― Dấu của tam thức bậc hai f ( x)

f ( x)

0, x

0

f ( x)
ax

2

f ( x)

0

0, x

bx

.

0, x
c.

a

0
0

 Tìm m để y = f(x) đơn điệu trên miền D cho trước ?
B1. Ghi điều kiện để hàm đơn điệu trên D. Chẳng hạn:
Hàm đờng biến trên D
y
f ( x; m) 0.
Hàm nghịch biến trên D

y

m

B2. Tách m ra khỏi biến và đặt

m

f ( x; m)

0.

Khi m

 Tìm m để y

ax
cx

Khi m

g( x)

D

min g( x)
D

0

d
c

x ( ; )

ad cb
(cx d)2

ad
d
c

cb

0
;

cb
d
c
d
c

y ( xo )

0

y ( xo )

0

y ( xo )

0

y ( xo )

0

y ( xo )

0

B3. Gọi A( x1 ; Ax1

B2. Dựa vào (C ) để tìm số nghiệm của ( ).

0

g( x)

0 Giải hệ này tìm

k

0

x1

b
,P
a

x2

nghiệm

y

y đổi dấu 2 lần khi đi qua

0 có 2 nghiệm phân biệt

ay

0
0

y

giải hệ này sẽ tìm được m

x1

c
(1)
a

x1 x2

x1 x2

c

a

 Khảo sát cực trị của hàm trùng phương (C): y = ax4 + bx2 + c ?
x 0 y c
B1. Ta có: y
4ax3 2bx 0
g( x) 2ax2 b 0
B2. Hàm số có 3 điểm cực trị
biệt

0

b
a.b

0
0

B3. Giải g( x)

0
m ?

0

x1,2

m

g( x)

0 có 2 nghiệm phân

ax2

g( x)

bx

y1

f

b
2a

Nên tọa độ 3 điểm cực trị là: A(0; c), B( x1 ; y1 ), C( x2 ; y2 )
và do tính đối xứng nên ABC ln cân tại A.
B4. Dựa vào ĐK đề bài để tìm m D2
m D1 D2 .

p

0

2

xo để chia Hoocner thì PT

bx

c)

ax2

bx

c

0

phương trình
g( x )

0 có 2 nghiệm phân biệt khác xo

q), B( x1 ; px1

x1 , x2 là hai nghiệm của g( x)

Theo Viét, ta có: x1

x2

g( xo )

0
0

D1 .

q), C( x2 ; px2

q) với

0.

b
và x1 x2
a

D1

đề cho yo .


Nếu đề bài u cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các
giao điểm của đờ thị (C) : y f ( x) và đường thẳng

d:y

ax

b. Khi đó các hồnh độ tiếp điểm là nghiệm

của phương trình hồnh độ giao điểm giữa d và (C ). Đặc

0, trục tung Oy : x

biệt: trục hồnh Ox : y


0.

Nếu đề bài cho hệ số góc tiếp tuyến là k , ta làm theo các
bước sau:
B1. Gọi M( xo ; yo ) là tiếp điểm và tính y
f ( x).
f ( xo ) và giải phương trình này sẽ tìm

được xo , suy ra yo .

Nếu tiếp tuyến d

(1)
(2)

D2 .

Ngun tắc nhẩm nghiệm
Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho
triệt tiêu đi tham số m và thử lại tính đúng sai.

:y

ax

b

1
a

k

Nếu tiếp tuyến tạo với trục hồnh Ox một góc
k
tan .

thì

 Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) kẻ từ A(xA; yA)
B1. Gọi M(a; f (a)) là tiếp điểm và tính hệ số góc của tiếp
tuyến k

c
a

Thế (1) vào (2) sẽ thu được phương trình hoặc bất
phương trình với biến là m. Giải chúng sẽ tìm được giá
trị m D2 .
B5. Kết luận: m

f ( xo ). Tương tự cho trường hợp

Ngồi ra, đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các
dạng sau:
Nếu tiếp tuyến d
: y ax b k a.

B2. Để d cắt (C ) tại ba điểm phân biệt

B3. Gọi: A( xo ; pxo

yo .

B3. Ứng với mỗi tiếp điểm, ta sẽ tìm được các tiếp
tuyến d : y k.( x xo ) yo .

0

Giải hệ này, tìm được giá trị m

xo )

hàm số ban đầu, tức yo

B2. Ta có k

xo

g( x)

g( x)

c

B4. Biến đổi K về dạng tổng và tích của x1 , x2

D1 .

b

2a

0

q , ta đưa về phương trình bậc ba và nhẩm

( x xo ) (ax
x

xo

k.( x

 Lưu ý:
 Nếu đề bài u cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
có hồnh độ xo , thì khi đó ta tìm yo bằng cách thế vào

(2)

q.

x

nghiệm đặc biệt x

và

0. Theo

px

q , thì PT

Nếu d

D1 .

b
và P
a

x2

Nếu d

d

f ( xo ).

có dạng d : y

B) là hai tọa độ giao

B), B( x2 ; Ax2

y ( xo )

f ( x). Suy ra hệ số góc tiếp tuyến

B2. Phương trình tiếp tuyến của đờ thị tại điểm M( xo ; yo )

Thế (1) vào (2) sẽ thu được phương trình hoặc bất
phương trình với biến là m. Giải chúng sẽ tìm được giá
trị m D2 . Kết luận giá trị m D1 D2 .

cx

B1. Tính đạo hàm y

D1 .

0. Ta có: S

bx2

Vấn đề 6. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
 Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M(xo;yo)

F
E

g

0

điểm của d và (C ), trong đó x1 , x2 là 2 nghiệm của

ax3

B2. Để hàm số có 2 cực trị

0 ( )
Nếu phương trình ( ) có thể đưa về dạng f ( x) g(m) thì ( )

0.

B4. Biến đổi K về dạng tổng và tích của x1 , x2

 Cho hàm sớ bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Tìm m để đồ
thị hàm sớ có 2 điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn K cho trước ?
B1. Tìm TXĐ D và tính y
3ax2 2bx c.

;
ad

0

B4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P. Từ đó
giải ra tìm được m D2 . Kết luận: m D1 D2 .

max g( x)

m

d
và tính y
c

\

B2. Hàm số đờng biến trên

x

g( x)

y ( xo )

xo là điểm cực đại.

Viét, ta có: S

m

xo

được giá trị m

B3. Thử lại với m vừa tìm được.
 Lưu ý: Nếu đề bài u cầu tìm giá trị cực trị tương ứng, ta sẽ thế
x xo , m ? vào y f ( x). Còn nếu đề bài u cầu xác định tại

g( x)

b
đồng biến trên (α, β) (tương tự NB)
d

B1. Tìm TXĐ: D

y

g( x)

ag ( x )
F
E

c

phương trình g( x)

g( x)

B3. Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình y

B3. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số g( x) trên D.
B4. Từ BBT kết luận:

xo

Hàm số đạt cực trị tại điểm x

x

.

0, x

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x

bx

 Tìm tham sớ m để để đường thẳng d: y = px + q cắt đồ thị hàm
đó là điểm cực đại hay cực tiểu, ta thế x xo , m ? vào y , nếu
sớ (C): y = ax3 +bx2 + cx + d tại 3 điểm pb thỏa điều kiện K ?
giá trị y ( xo ) 0 x xo là điểm cực tiểu và nếu y ( xo ) 0
B1. Lập phương trình hồnh độ giao điểm của d và (C ) là:

 Tìm m để y = f(x) đơn điệu trên tập xác định của nó ?
Để làm được dạng tốn này, ta cần nhớ:
― Để f ( x) đờng biến trên
y
f ( x)

xo

ax2

phương trình bậc hai g( x)

có 2 nghiệm pb

B2. Ghi điều kiện và giải hệ tìm tham số. Cụ thể:

Cho phương trình: F( x, m)

chính là phương trình hồnh độ giao điểm của đờ thị
B1. Lập phương trình hồnh độ giao điểm của d và (C ) là (C) : y f ( x) và đường thẳng nằm ngang (d) : y g(m). Khi đó

để biện luận số nghiệm của ( ) ta thực hiện các bước sau:
Cx D
Ax B. Biến đổi phương trình này về dạng
B1. Khảo sát và vẽ đờ thị hàm số (C) : y  f ( x).
Ex F
B2. Để d cắt (C ) tại 2 điểm pb

 Tìm tham sớ để hàm sớ y = f(x) đạt cực trị tại điểm x = xo ?
B1. Tìm tập xác định D của hàm số và tính y , y .

f ( x) và lập bảng biến thiên (tính giới hạn).

a

D
tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K ?
F

(theo chiều tăng) thì hàm số f ( x) đạt cực đại tại điểm xo .

 Tìm GTLN & GTNN của hàm sớ y = f(x) trên khoảng ( a; b).
B2. Xét y

Cx
Ex

― Nếu f ( x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm xo

max f ( x)
a;b

k

Vấn đề 3. Cực trị của hàm số

B1. Hàm số f ( x) xác định và liên tục trên đoạn a; b .

0 tìm nghiệm xi

x2

Vấn đề 5. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

 Tìm m để đường thẳng d: y = Ax + B cắt đồ thị hàm sớ (C)

y

0

B2. u cầu bài tốn

 Tìm GTLN & GTNN của hàm sớ y = f(x) trên đoạn a; b .

Tính f ( x) và cho f ( x)

0

Vấn đề 4. Tương giao

y (a)

f (a) theo a.

B2. Tiếp tuyến dạng d : y
Vì điểm A( xA ; yA )

d

f (a).( x
yA

a)

( )

y(a)

f (a).( xA

a)

y(a) và

giải phương trình này với ẩn là a sẽ tìm được a.
B3. Thế a vào ( ) được tiếp tuyến cần tìm.
Vấn đề 7. Tìm điểm đặc biệt thuộc đồ thị
B1. Gọi M(a; f (a)) (C).
B2. Từ điều kiện cho trước, biến đổi dẫn đến PT (hoặc BPT)

 f  a  

 M  a; f (a)  .
theo a , giải tìm a 


― Loại 3. a f ( x)

Vấn đề 8. Giải PT – BPT mũ & logarit

PP

Cho a, b là các số thực dương x và y là những số thực tùy ý.
 an

a.a.a...a

ax
 x
b

n số a

 a

x y

 ax

x

a .a

ax
ay

y

 a x. y

( a.b)

1
an

n

a

( ax )y

 ax .bx

( a y )x




b

f ( x)

2; y

1, u( x)

a.n b

n

n

( n a )m

 log a b
 log a 1

0, log a a
loga b

n

logb c

 a

loga c



)

m

n

― Loại 5. P log a f ( x)

ax .ln a

(e x )

ex

( au )

log a c



n.log a b khi

lẻ

n.log a b khi

chẵn

1
log b a

log a b

clogb a

b

ln b

log e b

lg b

log b

(eu )

ln b
ln a





aloga b



log10 b

u
u ln a

log a u

u

( n u)

eu .u

1
x ln a

log a x

u .au .ln u

n. n un

1
u
; ( x 0) (ln u)
x
u
 Giải PT – BPT bằng cách đưa về cùng cơ số:
Một số dạng cơ bản:
― Nếu a f ( x) ag( x)
f ( x) g( x).

―

+ Khi : 0

― Khi a
― Khi a
―

a f ( x)

1
a

a f ( x)

1

0, a

a g( x )

1 : log a x

0, a

f ( x)
ag( x )

+ Khi: a

1

log a f ( x)

+ Khi : 0

a

1

f ( x)

b

1 : log a f ( x)

g( x)

f ( x)
f ( x)

log a g( x)

g( x)

g( x)
f ( x)

g( x)

0

a

b

0

1

 Phương pháp đặt ẩn phụ
― Loại 1. P(a
― Loại 2.

)

.a2 f ( x)
PP

0

.(ab) f ( x)

a

λ.b2 f ( x)

x

C

1

f ( x)

,t

a

g( x )

c

0.

logb a

 I2




dx
cos2 x

0

PP

logb x

để đặt t

a

t

x

logb a

.

C

Chia hai vế cho b2. f ( x ) và đặt t

a
b

1 ( ax b)
a n 1

b)n dx

sin( ax

0.

px

 I3

ax2

q
bx

b)dx

1
2
sin ( ax

cot x C

dx
b)

1
2
cos ( ax

tan x C

1
tan( ax
a

dx
b)

c

p
2a

dx

0)

b)

tìm các nghiệm xi

4a

4a

1; n).

g( x) dx

f ( x)

x1

b2

4ac

0.

bp

q
2a

dx
2
ax bx c
I2

mẫu.

xi

y

0, x

a và x

b, (a

b) quanh trục Ox được xác
f 2 ( x)dx .

định bởi công thức: VOx
a

― Nhận dạng: Tích 2 hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ
nhân lượng giác,…

x

Vi phân

dv

b

Suy ra: I

dx

a và x

b, a

b, f ( x)

0, g( x)

f ( x), y

0, x

u.v a

f2 x

quanh trục hoành Ox là VOx

a; b quay

g 2 x dx .

a

v

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi x

g( y)

0, x

0,

d

vdu.

a

g( x),

b

b

b

udv

du

Nguyên ha m

dx

a; b ,

b

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y

― Phương pháp: đặt

g( x) dx

1

và xét dấu để bỏ trị tuyệt đối (sử dụng casio).
― Thể tích khối tròn xoay tròn xoay
Thể tích khối tròn xoay giới hạn y f ( x) 0, x

 Tích phân từng phần

u

g( x) để

xi

f ( x)

tan t

dx với

x1 ; x2 , (i

x2

B2. Khi đó: S

và giải A bằng cách đặt t

C

B1. Giải phương trình hoành độ giao điểm: f ( x)

2

b
2a

a x

(2ax b)dx
ax2 bx c
A

C

1
cos( ax b) C
a
1
sin(ax b) C
a
1
cot(ax b) C
a

b)dx

cos( ax

,(

b
2a

Phân tích: I 3

1
dx
ln ax b C
ax b
a
1
1

1
dx
C
2
a ax b
( ax b)

C

c

đặt x

log a f ( x).

1

cos x C

e x dx

y

c, y

a

g 2 ( y).dy.

d quay quanh trục Oy là VOy

c

― Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv phần
còn lại. Nghĩa là nếu có ln hay log a x thì chọn u ln hay

1
u log a x
.ln x và dv
ln a
thì chọn u đa thức và dv

ex

C

1 ax
e
a

ax b

còn lại. Nếu không có ln; log

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi x

y

c, y

d, c

d , f ( y)

0, g( x)

f ( y), x

g( y),

c; d

quay

0, y

d

f 2 ( y)

quanh trục hoành Oy là V

g 2 ( y) dy .

b

1
a

I1

P( x)
dx với P(x) và Q(x) là
Q( x)

Loại 1: I1

I1

bậc mẫu Q( x)

PP

Loại 2: I 2

Chia đa thức.
PP

bậc của mẫu số Q( x)



( ax

1
m)(bx

P( x)
( x xo )n

(x

1

a

n)

an bm ax

A
x xo

B
( x xo )2

P( x)
x1 )( x x2 )( x

1

( x m)(ax2 bx c)

x3 )
A
x m

A
x x1

I

1

f ( ax2

f

n

1

dx

PP

b)n xdx

g( x) dx

f ( a2

I

f ( x2

I3
I3

f (cos x) sin x dx

I3

f (tan x)

Bx C
với
2
ax bx c

Loại 3:

x3
2

b

4ac 0.

n

PP

a2 )m .x2 n .dx

C
( x xo )n

x

1

dt

1

ax 2

t

x 2 ).x 2 n .dx

1
dx PP
x
f (sin x) cos x dx

C

xn
t

PP

I3

B
x x2

ax b

t
PP

n

bx

t

a.dx

m

xn
axn

PP

(n 1)xn dx

dt
b

g(x)

dt

2ax.dx

tn

g(x).

x

a sin t.

của thực bình cộng ảo bình).
― Số phức liên hợp của z a bi là z a bi (ngược dấu ảo).
― Hai số phức z1 a1 b1 .i và z2 a2 b2 .i được gọi là bằng
nhau khi và chỉ khi

a1

a2

b1

b2

(hai số phức bằng nhau khi và

chỉ khi thực thực và ảo ảo).
― Trong bài toán tìm thuộc tính của số phức z thỏa mãn điều
kiện K cho trước, nếu K là thuần z (tất cả đều z ) hoặc thuần

z thì đó là bài toán giải phương trình bậc nhất (phép cộng –
trừ – nhân – chia số phức) với ẩn z (hoặc z ). Còn nếu chứa

b

m

f ( ax b)n xdx

Trừ 1 số trường hợp sau:

Xem

xét mẫu số và khi đó:
+ Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng
đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số.
Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp:


f x

dx
bx

c
còn lại. Nếu không có log, đa
e
dx
C
thức, ta chọn u lượng giác,….
Vấn đề 10. Số phức
―
Lưu
ý
rằng

bậc
của
đa
thức
và
bậc
của
ln
tương
ứng
với
số
lần
Trong trường phức , cho số phức z a b.i có phần thực là a
ax
dx
1
x a
lấy tích phân từng phần.

ax dx
C
ln
C
1 . Khi đó, ta cần nhớ:
và phần ảo là b với a, b
và i 2
ln a
x a
x 2 a2 2a

― Dạng mũ nhân lượng giác là dạng TPTP luân hồi.
― Mônđun của số phức z a b.i là z
OM
a2 b2 (căn
Nhận xét. Khi thay x bằng ( ax b) thì khi lấy nguyên hàm nhân  Tích phân đổi biến số



0.

0

ax2

0

đặt t

( ax

cosxdx sin x C


đặt t

logb c

a

f ( x)

PP

0

― Nếu bậc của tử số P( x)

trên, rồi giải.
B3. So với điều kiện và kết luận nghiệm (tập nghiệm).
PP

b

Nếu mẫu số không phân tích được thành tích số, ta xét Lưu ý: Nếu gặp bậc chẵn của sin, cos thì hạ bậc.
một số trường hợp đặc biệt sau:
 Diện tích hình phẳng & Thể tích tròn xoay
dx
PP
― Các bước tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi f ( x), g( x),
 I1
đặt x a.tan t.
, (n N *)
( x2 a2 )n
và các đường x x1 , x x2 ...

n 1

― Nếu bậc tử P( x)

B2. Dùng các công thức và biến đổi đưa về các cơ bản

f ( x)

a g( x)

các đa thức không căn.
Phương pháp giải:

Các bước giải PT – BPT mũ & logarit cơ bản:
ĐK

v

 Tích phân hàm hữu tỉ I

log a g( x)

B1. Đặt điều kiện: log a b

sin xdx

g( x)

log a g( x)

log a f ( x)

1
t

1

1
dx ln x
x
1
1
dx
2
x
x

kết quả thêm

ab

x

x dx

dx
sin2 x

1

nu n 1
ln u.
u

(lnn u)

(ln x)

+ Khi: a

b f ( x)

Vấn đề 9. Tích phân & Ứng dụng

Đạo hàm

( ax )

u

đặt 2 ẩn

― Loại 6. Sử dụng a

log a b

 log a b
1

PP

0.

b
 log a

c

b

a f ( x)
a g( x )

)

2; n

a

.a f ( x )

0

ab (n

1 và b, c

a
a

am

 log a b

log c b
log c a

 loga (b c)

n

a , (y

x

1
log a b
n

 log an b

― Loại 4.

0

a f ( x)

+

1

a f ( x ) .a g( x )

x
y

ax

 u( x)

Cho 0
 log a f ( x)

y

c , với a.b

đặt t

x

a
b

y



b f ( x)

I3

f (ln x)

t

PP

ln x

x

a tan t.
dt

PP

t

sin x.

PP

t

cos x.

1
dx PP t tan x.
2
cos x
f (sin x cos x)(sin x cos x)dx t

1
dx
x

hai loại trở lên

z

a

bi ,

z a bi. Từ đó sử dụng các phép toán trên số phức để
đưa về hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi thực
thực, ảo
ảo để giải hệ phương trình tìm a, b z.
― Số phức z a bi là thuần ảo
phần thực a 0 và z là
số thực
phần ảo b 0.
― Xét phương trình bậc hai az2 bz c 0, ( ) với a 0 có

b2

biệt số:

sin x cos x.

( z , z , z ) thì ta sẽ gọi

z1,2

b

2a

với

4ac. Khi đó nghiệm được xác định bởi:

là căn bậc hai

.


Vấn đề 11. Hình học không gian cổ điển

Lưu ý: Ngoài ra các pp trên, có thể sử dụng d( A;(SBC ))

1
S h
3 đáy
 Thể tích khối lăng trụ: Vlăng trụ Sđáy h
 Thế tích khối chóp: Vchóp

 Khối nón: Sxung quanh nón

Stp

Sxq

Sđáy

 Khối trụ: Sxq tru

2 rh, Stp tru

Thể tích khối trụ: Vtru
 Khối cầu: Sc

Sxq

Sđáy h

 Tích có hướng và ứng dụng cho a

r2

1
1
Sđáy h
r2 h
3
3
2Sđáy 2 rh 2 r 2

r và Vnón

rl

Vấn đề 12. Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

r l và Sđáy
2

r2 h

― Tích có hướng của 2 véctơ là a , b
― Tích vô hướng: a.b

a1b1

hình chóp S.ABC có cạnh bên SA

( ABC) (hình 1)

a2 b2

ABC là S

― Diện tích

Khi đó:

BC tại H và AI

1
2

ABC

SH

AI

BC , do : BC

Suy ra: AI

(SAH ) vì

(SBC) nên d( A;(SBC))

BC

SA

BC

AH

AI.

điểm của AA . Ngược lại, nếu bài toán yêu cầu tìm hình chiếu
của điểm lên đường thì ta sẽ viết mặt và làm tương tự.
 Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

x

xo

ta1

Cho d1 : y

yo

ta2 ,(t

z

zo

ta3

AB, AC AD

0.

AB, AD

ABCD

B1. Tìm

Hình 2

I

a3 k

M2 ( xo ; yo ; zo )

d2 , ud2

( a1 ; a2 ; a3 )

ud1 , ud2

+ Nếu: ud , ud
1
2

AB, AC AD

cos a

sin( a)

sin a

tan( a)
cot( a)

tan( a

• VTPT : n( P )

Suy ra ( P) : A.( x

xo )

B.( y

u1( P ) , u2( P )

yo )

C.( z

( A; B; C)

zo )

0

d1

d1

d2 .

d2 .

sin 2

0

cos 2

By

Cz

D

M1 M2

0

d1 , d2 chéo nhau.



sin   a   cos a
2


cos(



cos   a   sin a
2


AxM

+ Khoảng cách: d M ,( P )

ByM
A2

CzM

B2

2

C2

Các phương pháp quy về bài toán chân đường cao:
― Kẻ song song để dời điểm về chân đường vuông góc.
― Dùng tỉ số khoảng cách để dời về chân đường vuông góc.
― Tạo chân đường cao giả ( đường cao, khi mặt chứa chân).
 Tính khoảng cách giữa cạnh bên và cạnh thuộc mặt đáy.
Cho hình chóp S.ABCD có SA ( ABCD). Hãy tính khoảng
cách giữa cạnh bên SB và cạnh thuộc mặt đáy AC (hình 2).
B1. Xác định giao điểm của cạnh bên SB và mặt phẳng đáy

+ Từ ( P) : Ax

(II)

Cz

D

0

n( P )

( A; B; C).

tan(  a)   tan a



tan   a   cot a
2


cot(

cot

Để viết phương trình đường thẳng (d), cần xác định điểm

SH

AK

d , do : d

d( AC ,(SB, d))

d( A,(SB, d))

(SAH )
AK.

B3. Tính độ dài đoạn thẳng AK dựa vào hình phẳng.

(IV)

(III)
3π

song hoặc trùng với d) là ud

( a1 ; a2 ; a3 ).

2
-1

( d) :

• Đi qua M( xo ; yo ; zo )
• VTCT : ud

Nếu a1a2 a3

( a1 ; a2 ; a3 )

0 thì (d) :

x

xo

x

xo

a1t

( d) : y

yo

a2 t , (t

z

zo

a3t

y

yo

z

)

2sin

cos

cos2

sin 2

2cos

2

(S) :

• Tâm : I (a; b; c)
• Bán kính : R

― Phương trình (S) : x

a2

(S) : ( x a)2

b2

c2

bán kính: R

d

2

y

2

z

2

( y b)2

2ax

2by

( z c)2
2cz

d

R2
0 với

a

tan a

Hạ bậc

1 1 2sin

2

sin 2

1 cos 2

2

cos2

1

cos 2
2

1 cos 2
1 cos 2

cot 2

cot 2
1
2 cot

cot 2

1 cos 2
1 cos 2

cos a

cos b

2cos

sin a

sin b

2sin

a

b

a

b
2
a

a

cos

2

cos

b
2

a

b

b

 Công thức biến đổi tích thành tổng
Giá trị LG

2

tan 2

Cung phần tư

zo

cot a

2
a b
cos a cos b
2sin
sin
2
2
a b
a b
sin a sin b 2cos
sin
2
2
sin( a b)
tan a tan b

và cot a cot b
cos a cos b

cosx

đi qua M( xo ; yo ; zo ) và một véctơ chỉ phương (có giá song

a1
a2
a3
Đây là bài toán cơ bản: tìm khoảng cách từ chân đến  Mặt cầu:
mặt bên. Cụ thể:
― Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần tìm tâm I(a; b; c) và
Từ A kẻ AH d tại H và dựng AK SH.
bán kính R.

AK

0 1
2π

O

-1

a)

tan a tan b
1 tan a tan b

b)

(I)

π

 Đường thẳng:

B

B2. Qua giao điểm B, dựng đường thẳng d song song với
AC. Khi đó: d( AC , SB) d( AC ,(SB, d)) d( A,(SB, d)).

By

cos a

 Công thức biến đổi tổng thành tích

1

D

a)

2 tan
1 tan 2

sinx

0

sin(  a)  sin a

tan 2

Vấn đề 13. Công thức lượng giác & Phương trình lượng giác

0.

cot a

Cung phụ nhau

 Công thức nhân đôi và hạ bậc

d2 .

0

ud1 , ud2 M1 M2
+ Nếu: ud , ud
1
2

tan a

Cung bù nhau

Nhân đôi

ud1 , M1 M2

ud1 , ud2

+ Nếu:

0

cos( a)

1

sin 2 

sin(a b) sin a cos b cos a sin b
cos(a b) cos a cos b sin a sin b

0
d1

Cung đối nhau

1  cot 2  

 Công thức cộng cung

Tính ud , ud , ud , M1 M2 và ud , M1 M2
1
2

1
1

B

d( AC , SB)

zo

).

1
cos2

tan 2

π

H

(SB, d) do:

a2 .k ,( k

ud1 , M1 M2

• Đi qua M( xo ; yo ; zo )

― Cho điểm M( xM ; yM ; zM ) và ( P) : Ax

Lúc này: AK

yo

( a1 ; a2 ; a3 )

C

SB ( ABCD)

) và d2 : y
z
d1 , ud1

+ Nếu:

 Mặt phẳng:
― Để viết phương trình mặt phẳng ( P), ta cần xác định 1 điểm

Mặt phẳng ( P) :

S

A

a1 .k

M1 ( xo ; yo ; zo )

AB, AD AA

― Thể tích khối tứ diện ABCD là VABCD

xo

B2. Xét vị trí tương đối dựa vào các trường hợp sau:

1
AB AH
2

1
6

x

1

đi qua và 1 véctơ pháp tuyến (vuông góc với mặt phẳng).

B3. Tính AI bằng hệ thức lượng quen thuộc,……

Hình 1

 Bài toán tìm tọa độ hình chiếu và điểm đối xứng.
Cần lưu ý, bài toán tìm tọa độ của điểm A lên mặt (P) thì viết
đường (d) qua điểm A và vuông góc với mặt (P). Khi đó tọa
độ hình chiếu H là giao điểm của đường với mặt. Còn muốn
tìm điểm A đối xứng với A qua ( P) thì H chính là trung

0. Do đó để chứng

AB, AC

― Thể tích khối hộp VABCD. A B C D

SH tại I .

0. Ngược lại, để

a, b .c

minh AB, AC , AD không đồng phẳng

B2. Từ chân đường cao A , dựng AH vuông với giao tuyến

AI

a b cos(a; b).

minh 4 điểm A, B, C , D là 4 điểm của 1 tứ diện, cần chứng

B1. Xác định giao tuyến của mặt bên và mặt phẳng đáy:

Dựng AH

a3 b3

― Diện tích hình bình hành ABCD là S

BC.

(b1 ; b2 ; b3 )

a2 a3 a3 a1 a1 a2
;
;
b2 b3 b3 b1 b1 b2

chúng không đồng phẳng thì a , b .c

 Tính khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến mặt
bên của hình chóp.
Chẳng hạn tính khoảng cách từ A đến mặt bên (SBC ) của

(SBC) ( ABC)

(a1 ; a2 ; a3 ), b

― Để ba véctơ a, b, c đồng phẳng

4 3
R.
3

4 R2 , Vc

3V
S

I

II

III

IV

cos a cos b

+

+

–

–

sin a sin b

+

–

–

+

+

–

+

–

+

–

+

–

(Nhất cả – Nhì sin – Tam tan – Tứ cos)

0 là phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c),  Công thức cơ bản và cung góc liên kết
sin2   cos2   1.
tan .cot
1.
a 2 b2 c 2 d .

sin a cos b

1
cos(a b) cos(a b)
2
1
cos( a b) cos(a b)
2

1
sin(a b) sin( a b)
2

 Phương trình lượng giác cơ bản

sin a

sin b

cos a

cos b

a

b

k2

a

a
a

b

b

k2

k2
b

k2

, (k

, (k

).

).

sin( a b)
sin a sin b


tan a
cot a

tan b
cot b

a b k , (k
a b k , (k

).
).

 Phương trình lượng giác qui về bậc 2 và bậc cao cùng hàm
Dạng
Đặt ẩn phụ
t sin x
a sin2 x b sin x c 0

t
t
t

a cos2 x b cos x c 0
a tan2 x b tan x c 0
a cot 2 x b cot x c 0

cos x
tan x
cot x

 Phương trình lượng giác cổ điển

a sin x
Dạng:

b cos x

a.sin mx

b.cos mx

a.sin mx

b.cos mx
( a2

PP: chia

c , ( ĐK : a

a2

b2

b2 và AD:

2

c2

b

2

2

c )

a2

b2 cos nx

a2

b2 sin nx

c.sin nx

, (a

2

b

2

0)

d.cos nx

d2 )

sin a cos b

cos a sin b sin(a b)

cos a cos b

sin a sin b cos( a b)

 Phương trình lượng giác đẳng cấp
Dấu hiệu nhận dạng: đồng bậc hoặc lệch nhau 2 bậc theo sin

và cos (tan và cotan được xem là bậc 0).
Phương pháp: Chia cho bậc cao nhất (sau khi xét 2 TH).
 Phương trình lượng giác đối xứng
Dấu hiệu nhận dạng: chứa tổng và tích của sin, cos.
Phương pháp: đặt t

sin x

cos x, t

điểm F sao cho BF AC.
Đường qua F, BC , cắt AD
tại G. Khi đó: DNF vuông cân tại N.
Vấn đề 15. Hình học phẳng Oxy
 Cho HCN ABCD có AB 2CD.
E
Q
Gọi E là điểm đối xứng của D
Một số tính chất hình học phẳng thường gặp
qua A và M, N, F, G lần lượt là
D
H
 Cho M ngoài đường tròn tâm I.
trung điểm AB, DM, DC, NF. Kẻ
Kẻ tiếp tuyến MH và 2 cát tuyến
M
B
A
C
BI AC , lấy K là đối xứng với

I
MAB, MCD. Khi đó:
M
B qua I, I là trung điểm của PC
N H
P
A
MA.MB MC.MD MH 2 .
B
và NC MG H. Khi đó:
I
G
 Cho H, G, I theo thức tự là trực tâm, trọng tâm, tâm ngoại của
F
D
 EN BN.
C
ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và AH. Kẻ
 EK HC.
A
đường kính AD. Khi đó:
K
L
 Tứ giác MHFCB nội tiếp.
 BHCD là hình bình hành.
 CH 2HM và CN 5.HN.
N
 G là trọng tâm ∆AHD.
3
 ANMI là hình bình hành.

I
LA, QC AC.
 AC 5.IC , PK DC , HL 2 LD
G
H
4
 HNIM là hình bình hành.
 Hình vuông ABCD có điểm E bất kỳ trên cạnh BC. Đường
 AH 2.IM.
M
C
B
AE DC F , DE BF G, IE BF H. Khi đó:
 IH 3.IG.

n( A)
n( )

B3. Áp dụng công thức: P A

2 và lũy thừa.

―
―
―

―

―

 MN





FE, MN

Q

PQ.

N

H, K đối xứng qua BC.
I , I đối xứng qua BC.
AHI’I là hình bình hành.
ABRC là hình bình hành.

P

E

I

AF

BF .

Gọi K, L là hình chiếu của B, D lên DE. Khi đó: DK

LC .

Gọi M là điểm đối xứng của D qua C, hạ CN, DP vuông góc
với AM. Khi đó: ADCNB nội tiếp, ∆DPN vuông cân tại P và

PI

S

CG và CH

B

PP

C

D , với A C

Đặt điều kiện, chuyển vế:

và lũy thừa đưa về dạng
3

3

A

A

B

B

3 3 AB( 3 A

C

3

( A
3

A

M

L

C

A

B
P

P

BJC.

3

( 3 C )3

B)

B)

C

A

3 3 ABC

B

C

a) Liên hợp:
1 nghiệm đơn đẹp xo : ghép hằng số a

f ( xo ) và liên

f ( x)

hợp (nếu ngược dấu sẽ truy ngược:

1 nghiệm kép đẹp xo : ghép bậc nhất ax
tìm a, b bằng điều kiện tiếp xúc:

tìm a, b bằng cách giải hệ:

f ( x)

a

b để liên hợp và

f ( xo )

axo

( f ( xo ))

2 nghiệm đẹp x1 , x2 : ghép bậc nhất ax

I

H
K

C

b. n f ( x)

c

b

( axo

b)

b để liên hợp và

f ( x1 )

ax1

b

f ( x2 )

ax2

b

0

Phương pháp: đặt t
a. f ( x)

b. g( x)

tn

f ( x)

n

f ( x).

2ab. f ( x).g( x)

h( x)

Nhận dạng: chứa tổng/tích hoặc hiệu/tích.
Phương pháp: đặt t  tổng hoặc t  hiệu, suy ra: t 2  
n

a

f ( x)

m

b

f ( x)

c

Nhận dạng: 2 căn lệch bậc hoặc đồng bậc cao.

a

n

A2

n

b

n

a

f ( x)

v

m

b

f ( x)

A.B

c

Phương pháp: đặt u

ax2

bx
ax2

un

u

Phương pháp:

I

 D là trung điểm của JK.
N
F
J
 DB là tiếp tuyến đường
C
B
― Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi một tập con gồm k , (1 k n)
E
tròn ngoại tiếp ABE.
D
phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
 AD là trung trực BF.
C
E
B
Lập một tổ hợp chập k của A là lấy ra k phần tử của A (không
 DN là trung trực FC.
K
K
 F là trực tâm ADN.
quan tâm đến thứ tự các phần tử). Số các tổ hợp chập k của n

k

Cho
hình
chữ
nhật
ABCD
có
H
là
hình
chiếu
vuông
góc
của
An
n!
F
phần tử được kí hiệu là: Cnk
B lên đường chéo AC. Gọi M, K, E lần lượt là trung điểm của
k !.(n k )!
k!
G
N
AH, DC và BH. Khi đó:
Kẻ CM, CN, CP vuông góc với AB, AD, BD. Khi đó: tứ giác
F
 Công thức xác suất cổ điển
BM
KM

.

MIPN nội tiếp.
B1. Tính số phần tử của không gian mẫu n( ) là tập hợp
 Nếu ABCD là hình vuông
các kết quả có thể xảy ra của một phép thử (giải quyết
Vấn đề 16. Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình
thì BMK vuông cân tại M.
bài toán đếm trước chữ "Tính xác suất").
 Phương trình vô tỷ cơ bản
 MECK là hình bình hành.
B2. Tính số phần tử của biến cố A đang xét là kết quả của
A
B
B 0
A 0 hay B 0
 E là trực tâm MBC.
phép thử làm xảy ra A (giải quyết bài toán sau chữ
A B
A
B
M
E
2

Trên
tia
đối
của
tia

BH,
lấy
A B
A B
"Tính xác suất") là n( A).
D

D

Giải phương trình hệ quả này.
 Các phương pháp thường gặp khi giải phương trình vô tỷ

a. f ( x)

D

K
I'

tâm ngoại tiếp

B

b) Đặt ẩn phụ: Một số dạng đặt ẩn phụ cơ bản thường gặp

H
B

C

BD

B (PT hệ quả).

A

3

3

D hoặc AC

B

 Nghiệm xấu: Tìm nhân tử bậc 2, 3 bằng casio và liên hợp.

DN , PI BN .

F

 AH, AI đối xứng qua p/g BAC.
L
 H là tâm nội tiếp ∆EFL.
K
Khai triển Newton
I
n
R

SI

là
trung
trực
của
AB.
N G
( a b)n
Cnk .an k .bk Cn0 an Cn1 an 1b
Cnn bn .
E
Gọi
AX,
AY
là
các
đường
phân
giác
trong
và
ngoài
của
góc
A.
k 0
Gọi Z là trung điểm XY. Khi đó:
k n k k
U
H
Số hạng tổng quát: Tn 1 Cn .a .b và số hạng thứ N thì

A
 AX , AY lần lượt qua trung điểm
M
k N 1.
D
C
F
cung nhỏ và cung lớn BC.
I
Số mũ của a giảm, số mũ của b tăng dần.
 Tứ giác AZMI nội tiếp.
M
C
Z
B
X
Y
Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp
 Hình bình hành ABCD tâm I, có phân giác trong góc A cắt
 AZ là tiếp tuyến của ( I ).
Cho tập hợp A có n phần tử (n 1). Khi sắp xếp n phần tử
BC tại E và DC tại F. Gọi K là tâm ngoại ∆ECF. Khi đó: tứ

AZX cân tại Z.
W
này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập  Cho I, J, K theo thức tự là tâm ngoại, tâm nội và tâm bàng
giác BKCD nội tiếp.
hợp A và được xác định bởi: Pn n! n(n 1)(n 2)...3.2.1.
tiếp (góc A) của ABC. Đường phân giác AI cắt đường tròn
A

N
D
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của
A
( I ) tại D, cắt BC tại E. Khi đó:
M
A, (1 k n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh
 DB DC DJ hay D là
hợp chập k của n phần tử của tập A. Số chỉnh hợp chập k của
n!
n phần tử được kí hiệu là Ank
, (1 k n).
(n k)!

A

D

Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, C. Đường cao
AH cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K. Gọi I là tâm đường
x
tròn ngoại tiếp ∆HBC. Khi đó:
A
 AI FE, AI PQ.

Vấn đề 14. Nhị thức Newton và Xác suất



A

B
C 0 PP đặt điều kiện, chuyển vế sao cho
2 về đều dương và lũy thừa, giải phương trình hệ quả.

c

d

bx

n

B2

n

vm

u

a

v

b

c

0
n

A, v

B , đưa về đẳng cấp.

f ( x)
mx2

c

nx

p

dx 2

ex

f

Nhận dạng: Biểu thức trong căn thức phân tích được thành
tích số và biểu thức ngoài biến đổi được thành tổng bình
phương của biểu thức bên trong căn.
Phương pháp: Đưa về dạng đẳng cấp.
Lưu ý: PT (2) lũy thừa đưa về PT (1).

a. f ( x)

b.g( x)

c. d. f 2 ( x)

e.g 2 ( x)

Nhận dạng: biểu thức trong căn lớn phân tích được thành
tổng các bình phương của căn nhỏ (hoặc đa thức), (casio).
Phương pháp: chia lượng dương (chẳng hạn g( x) 0 )
(hoặc hoặc đặt 2 ẩn phụ) để đưa về dạng

( ax

n

b)

n

p. cx

Phương pháp:

d

q.x

r với n

A

2; 3

B.


Đặt ay  b  n cx  d nếu tích số p.c  0.
Đặt (ay  b)  n cx  d nếu tích số p.c  0.
Đưa về được hệ đối xứng loại II hoặc gần đối xứng loại II.

x

a2

2a x b

b

x

a2

2a x b

b

cx

d

Phương pháp: sử dụng hằng đẳng thức, định nghĩa A .

mx

n

a 1

x

b 1

x

x2

c 1

Phương pháp: sử dụng hằng đẳng thức, định nghĩa A .
Biểu diễn: mx

n

(1 x)

(1 x)

(

)x (

m

và đồng nhất hệ số được hệ:

với ( ax  b)2  c  c ,

)

, . Sau đó

n

1 x 0, v
1 x 0, để đưa về phương
đặt: u
trình hai ẩn u, v có thể giải bằng cách đưa về tích số hoặc
ẩn phụ không hoàn toàn (xem u là biến số và v là hằng số
hoặc ngược lại hoặc sử dụng casio khi gán biến).
Dạng khác: Ngoài những dạng cơ bản trên, ta còn sử dụng
phương pháp đặt ẩn không hoàn toàn, đặt 1 hoặc 2 ẩn để
đưa về phương trình tích số hoặc hệ cơ bản, lượng giác hóa.
c) Phương pháp đánh giá:
Đánh giá bằng hàm số: vận dụng nội dung của kết quả sau
“Nếu hàm số f (t ) đơn điệu một chiều trên miền D thì
phương trình f (t)

f (u)

f (v)

u

0 có tối đa 1 nghiệm và u, v
v ".

D thì

Một số dạng cơ bản xây dựng hàm đặc trưng dựa vào casio

ax3

bx2

4

3

ax

bx

cx

cx

Xây hàm

ax3

d
2

n 3 ex

dx

f (t)

bx2

cx

Xây hàm

t

e

f (t)

t

3

nt

2

(a x

mt

3

t3

f (t )

3

( fx

4

d

Xây hàm

f

g) hx

t.

i.

t.

b) cx

pt

d.

q.

Đánh giá bằng bất đẳng thức cổ điển:
Hướng 1. Biến đổi phương trình về f ( x)  a, ( a  const
hoặc a  h( x)), mà trong đó ta dùng bất đẳng thức chứng
minh được kết quả f ( x)  a hoặc f (x)  a. Lúc đó, nghiệm là
tất cả các giá trị x thỏa mãn dấu "  " xảy ra.
Hướng 2. Biến đổi PT về dạng f ( x)  g( x), mà trong đó
ta

sẽ

dùng

BĐT

chứng

minh

được:

 f ( x)  a
 f ( x)  a
hay 
, ( a  const hoặc a  h( x)). Lúc


 g( x)  a
 g( x)  a
đó, nghiệm phương trình là các giá trị x thỏa hệ:
 f ( x)  a


 g( x)  a
Đưa về tổng các số không âm A2

An

B2

0 hoặc dạng

Bn (thường thì hằng số trước căn chẵn).

 Các phương pháp thường gặp giải bất phương trình vô tỷ
a) Bất phương trình vô tỷ cơ bản:

A

B

B

0

A

0

A

B

A
2

b) Bất phương trình chứa mẫu số

B

A

0

B

0

B

0

A

B2

Đối với bất phương trình chứa mẫu số, hướng xử lý thường

gặp là xét mẫu số và khử mẫu. Nghĩa là mẫu dương thì bỏ
mẫu làm cho bất phương trình không đổi dấu, còn nếu mẫu
âm thì bất phương trình đổi dấu. Còn nếu thật sự chưa biết
dấu của nó thì không thể bỏ ngay được mà cần phải chia ra
hai trường hợp âm, dương và bỏ mẫu hoặc đưa về bất phương
trình dạng tích – thương và xét dấu. Do đó, khi bỏ mẫu ta cần
lý luận hoặc chứng minh mẫu đó luôn dương hay luôn âm.
Công cụ để đánh giá điều này thường là các hằng đẳng thức
c  (ax  b)2  c , a  (bx  c)2  a...

hoặc sử dụng phương pháp phản chứng hoặc bất đẳng thức
cổ điển hoặc cực trị của hàm số,…
Lưu ý. Ta có thể sử dụng các biến đổi của giải phương trình để
giải bất phương trình, chẳng hạn: đưa về tích số bằng liên
hợp, đặt ẩn phụ, đánh giá,…
 Các phương pháp thường gặp khi giải hệ phương trình
a) Hệ phương trình cơ bản:
Hệ đối xứng loại 1.
Nhận dạng: Đổi chỗ 2 ẩn thì HPT không thay đổi và trật tự
các phương trình cũng không thay đổi.
Phương pháp: Biến đổi về dạng tổng – tích và đặt ẩn phụ
S x y , P xy , (S2 4P).
Hệ đối xứng loại 2.
Nhận dạng: Đổi chỗ hai ẩn thì hệ phương trình không thay
đổi và trật tự các phương trình thay đổi (phương trình này
trở thành phương trình kia).
Phương pháp: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử,
đưa được về ( x y). f ( x) 0, tức luôn có x y.
Hệ gần đối xứng loại 2.
Là hệ gần giống đối xứng loại 2, chỉ sai lệch nhau về dấu

hoặc hằng số ở một số vị trí. Khi đó lối đi thường gặp là
cộng hoặc trừ hai vế của hai phương trình với nhau sẽ thu
được phương trình (nếu cộng hoặc trừ) hoặc hệ phương
trình (nếu vừa cộng vừa trừ) giải được (đẳng cấp, tích số...).
Hệ đẳng cấp bậc 2 dạng:

a1 x2
a2 x

2

b1 xy
b2 xy

c1 y 2
c2 y

2

2
2

d ( a x  b1 xy  c1 y )  d1 .d2
Ta có: (i)   2 1 2
2

d1 ( a2 x  b2 xy  c2 y )  d1 .d2

(1) (2)

(a1d2 a2 d1 )x

2

d1
d2

(i)
(1)
(2)

(b1d2 b2 d1 )xy (c1d2 c2d1 )y

2

0

Đây là phương trình đẳng cấp bậc hai.
b) Hệ phương trình giải bằng phương pháp thế:
Sử dụng phương pháp thế nhằm tạo ra phương trình bậc
cao cùng một biến hoặc đồng bậc (2 biến).
c) Hệ phương trình giải bằng phương pháp cộng:
Thông thường sẽ sử dụng phương pháp này khi hệ có dạng
đa thức mà mỗi phương trình bản thân không đưa được về
dạng tích số (delta không là số chính phương hoặc không
đặt ẩn phụ được). Khi đó sẽ lấy PT(1) k.PT(2) để đưa về
n

dạng A

n

B hoặc dạng (ax b) f ( x; y) 0 hoặc dạng
b) f ( x; y) 0 hoặc dạng (ax by c) f ( x; y) 0

(ay

và hằng số k thường sẽ rơi vào các trường hợp sau:
 Đối với những hệ phương trình có chứa các hạng tử x3 , y 3 ,
x , y , x, y độc lập nhau, thường lấy (1)  k.(2) để đưa về
2

2

dạng ( x  a)3  ( y  b)3 bằng hệ số bất định.
 Nếu là hệ bậc hai và biệt số delta không là số chính phương,
ta có thể viết hệ phương trình theo ẩn x (hoặc ẩn y), rồi lập

tỉ lệ về tỉ số để tìm ra giá trị chung của x (hoặc y), thế vào  Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki)
hệ ban đầu và ko tối giản để xác định lượng nhân vào.
 a, b, x, y thì (a.x b.y)2 (a2 b2 )( x2 y 2 ).
 Tìm mối liên hệ tuyến tính giữa các cặp nghiệm. Thế quan
x y
a b
Dấu " "
hoặc
hệ tuyến tính sao cho có lợi nhất vào hệ và phân tích thành
a b
x y
nhân tử. Từ đó tìm được biểu thức nhân vào phương trình.

 a, b, c , x, y , z thì (ax by cz)2 (a2 b2 c2 )( x2 y2 z2 ).
d) Hệ phương trình đưa về tích số:
 Tam thức bậc hai đưa về tích số:
x y z
a b c
Dấu " "
hoặc
Khi gặp 1 hệ phương trình mà trong đó có 1 phương trình
a b c
x y z
dạng đa thức, hoặc cả 2 phương trình có dạng đa thức. Khi
Hệ quả. Nếu a, b, c 0 và x, y , z
thì:
đó suy nghĩ đầu tiên là có viết được về dạng phương trình
2
2
2
2
2
2
y
y
( x y z )2
( x y)
x
x
z
bậc 2, bậc 3 hoặc bậc bốn trùng phương theo 1 biến hoặc 1
và
a

a
b
b
c
a b c
a b
nhóm biến hay không và khi đó biệt số delta có là số chính

Bất
đẳng
thức
véctơ
phương hay không ? Nếu có sẽ sử dụng phương pháp này.
Với việc hổ trợ của casio, ta hoàn toàn có thể giải quyết
Xét u ( a; b), v ( x; y) thì ta có: u
v u v
được dạng delta là số chính phương.
a 2 b2
x2 y 2
(a x)2 (b y)2 .
 Phương pháp liên hợp đưa về tích số:
Nếu hệ phương trình chứa căn thức, ta sẽ chọn 1 phương
Dấu " " u, v cùng hướng.
trình trong hệ và cho y 1000 (hoặc x 1000 ) và bấm
 Một số biến đổi hằng đẳng thức thường gặp
shift solve để tìm nghiệm, từ đó suy ra mối liên hệ giữa 2
 x3 y3 ( x y)3 3xy( x y).
biến. Nếu phương trình này có dạng đẳng cấp thì ta sẽ ưu
 x2 y2 z2 ( x y z)2 2( xy yz zx).
tiên phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức. Còn

 x3 y3 z3 ( x y z)3 3( x y)( y z)( z x).
không, ta sẽ sử dụng phương pháp liên hợp dựa vào nhân
tử vừa tìm để ghép biểu thức với căn hợp lý.
 x3 y3 z3 3xyz ( x y z)( x2 y2 z2 xy yz zx).
e) Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
 (a b)(b c)(c a) ab2 bc2 ca2 ( a2 b b2 c c2 a).
 Đặt 1 ẩn phụ đưa về phương trình bậc 1, 2, 3 ở 1 phương
 (a b)(b c)(c a) (a b c)(ab bc ca) abc.
trình: Thông thường dạng này bắt gặp ở 1 phương trình
 (a b)2 (b c)2 (c a)2 2(a2 b2 c2 ab bc ca).
đa thức của hệ và nhìn nhận nhóm biến với góc độ hằng
đẳng thức quen thuộc.
 (a b)3 (b c)3 (c a)3 3(a b)(b c)(c a).
 Đặt ẩn phụ dựa vào tính đẳng cấp của 1 phương trình.
 Một số đánh giá cơ bản và bất đẳng thức phụ
 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình cơ bản:
Các đánh giá cơ bản thường sử dụng (không cần CM lại):
+ Biến đổi 1 phương trình để phát hiện ra ẩn phụ dự kiến
x, y , z 0 x2 y2 z2 xy yz zx.

và dựa vào ẩn phụ dự kiến này để biến đổi phương

x, y, z 0 ( x y)( y z)( z x) 8xyz.
trình còn lại.
x, y , z 3( x2 y2 z2 ) ( x y z)2 .

+ Chia để xác định lượng ẩn phụ.
+ Đặt ẩn phụ dạng tổng – hiệu: a  x  y , b  x  y.
x, y , z 0 ( x y z)( x2 y2 z2 ) 3( x2 y y2 z z2 x).


f) Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số:
Một số dạng cơ bản và hướng xử lý:
PP
  ax  ( ax)2  1   by  (by)2  1   1 
 Liên hợp để

 

sử dụng hàm số.
PP
 a1 x3 b1x 2 c 1x d 1 a 2y 3 b 2y 2 c 2y
sử dụng

casio để đưa về hàm đặc trưng.


a1 x3

b1 x2

( a1 x

b1 )

c1 x
c1 y

d1
d1

( a2 y
( a2 y

b2 )
b2 )

c2 y

d2

c2 y




x, y , z
x, y , z

0

(x

0

2

xy



x, y , z

0



x, y , z

3( x2 y2



x, y , z

(x

d2

Một số kỹ năng xuất hiện hàm đặc trưng:
 Chia để xuất hiện hàm số đặc trưng.
 Kết hợp 2 phương trình bằng phương pháp cộng.
g) Giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá BĐT

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG

a, b



a , b, c

0 thì

0 thì

2
a

ab . Dấu "
b
3

c

3

"

abc . Dấu "

a

b.
"

x, y



xy

1

xy

1



x, y

1



x, y

0;1



a

b

2

yz
yz

zx
2

3xyz( x

yz

zx).

xyz( x

z 2 x2 )

z)( xy

yz

2

zx)

y2 z2

y

0

c.

y3

1
1

x

2

1
(x
4
1
1 y2

1
1

( xy

y
y

yz

9
(x
8

zx)

z).
z).

zx)2 .

y)( y

(1

x, y 0
x y 1

y )3 .
2
1 xy

1
x

2

1

y

1

 Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)


3( xy

2 2

( xy

x3



Vấn đề 17. Bất đẳng thức và cực trị

b

2

z)( z

x).

Các bất đẳng thức phụ thường sử dụng (CM lại khi áp dụng)

PP

bám sát vào căn thức (bậc thấp nhất trong phương trình)
để xây dựng hàm đặc trưng và sử dụng casio.

a

z)2

y

2
1 xy

2

1
x)

2

(1

y)

1

2

1

1
xy

1
2

1

x

1
x

1
1
y

1

1

2
y

2

1

2

2
x

xy

y

1