Đê thi HSG Huyện Toán 9

Đề thi Học sinh giỏi lớp 9
Đề bài
******
(Thời gian làm bài 120 phút - Không kể chép đề)
Bài 1(2 điểm). Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời :
2 2 2
2 1 2 1 2 1 0x y y z z x+ + = + + = + + =
Tính giá trị của biểu thức :
2007 2007 2007
A x y z= + +
.
Bài 2(1,5 điểm). Cho biểu thức :

2 2
5 4 2014M x x y xy y= + + +
.
Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 3(1,5 điểm). Giải hệ phơng trình :
( ) ( )
2 2
18
1 . 1 72
x y x y
x x y y

+ + + =


+ + =

Bài 4(2,5 điểm). Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB bán kính R. Tiếp
tuyến tại điểm M bbất kỳ trên đờng tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lợt
tại C và D.
a.Chứng minh : AC . BD = R
2
.
b.Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác COD là nhỏ nhất .
Bài 5(1,5 điểm).Cho a, b là các số thực dơng. Chứng minh rằng :
( )
2
2 2
2
a b
a b a b b a
+
+ + +
Bài 6(1 điểm).Cho tam giác ABC có phân giác AD. Chứng minh :
AD
2
= AB . AC - BD . DC.
TRờng THCS Lê Đình Kiên GV :
Lê THị Khơng
1
Đề thi Học sinh giỏi lớp 9
Hớng dẫn giải
***************
Bài 1. (2 điểm)Từ giả thiết ta có :
2
2
2

2 1 0
2 1 0
2 1 0
x y
y z
z x

+ + =

+ + =


+ + =

(0,5đ)
Cộng từng vế các đẳng thức ta có :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1 0x x y y z z+ + + + + + + + =
(0,25đ)
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 0x y z + + + + + =
(0,25đ)
1 0
1 0
1 0
x
y
z

+ =


+ =


+ =


1x y z = = =
(0,5đ)

( ) ( ) ( )
2007 2007 2007
2007 2007 2007
1 1 1 3A x y z = + + = + + =
(0,25đ)
Vậy : A = -3. (0,25đ)
Bài 2.(1,5 điểm) Ta có :
( ) ( )
( )
2 2
4 4 2 1 2 2 2007M x x y y xy x y= + + + + + + + +
(0,25đ)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 1 2 1 2007M x y x y= + + +
(0,25đ)
( ) ( ) ( )
2

2
1 3
2 1 1 2007
2 4
M x y y

= + + +


(0,25đ)
Do
( )
2
1 0y
và
( ) ( )
2
1
2 1 0
2
x y

+



,x y
(0,25đ)
2007M

(0,25đ).
min
2007 2; 1M x y = = =
(0,25đ).
Bài 3.(1,5điểm) Đặt :
( )
( )
1
1
u x x
v y y

= +


= +


(0,25đ).
Ta có :
18
72
u v
uv
+ =


=

u ; v là nghiệm của phơng trình :
2
1 2
18 72 0 12; 6X X X X + = = =
(0,25đ).
TRờng THCS Lê Đình Kiên GV :
Lê THị Khơng
2
Đề thi Học sinh giỏi lớp 9

12
6
u
v
=


=

;
6
12
u
v
=


=

(0,25đ).


( )
( )
1 12
1 6
x x
y y

+ =


+ =


;
( )
( )
1 6
1 12
x x
y y

+ =


+ =

(0,25đ).
Giải hai hệ trên ta đợc : Nghiệm của hệ là :
(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) và các hoán vị. (0,25đ).
Bài 4 . (2,5 điểm)
a.Ta có CA = CM
DB = DM (0,25đ).
Các tia OC và OD là phân giác của hai góc AOM và MOB nên OC

OD
Tam giác COD vuông đỉnh O, OM là đờng cao thuộc cạnh huyền CD nên :
MO
2
= CM . MD (0,25đ).

R
2
= AC . BD (0,25đ).
b.Các tứ giác ACMO ; BDMO nội tiếp (0,25đ)
ã
ã
ã
ã
;MCO MAO MDO MBO = =
(0,25đ)
( )
.COD AMB g g :V V
(0,25đ)
Do đó :
1
. .

. .
Chu vi COD OM
Chu vi AMB MH
=
V
V
(MH
1


AB) (0,25đ)
Do MH
1


OM nên
1
1
OM
MH

(0,25đ)

Chu vi
COD V
chu vi
AMBV

Dấu = xảy ra

MH
1
= OM

M

O (0,25đ)

M là điểm chính giữa của cung
ằ
AB
(0,25đ).
Bài 5 (1,5 điểm) Ta có :
2 2
1 1
0; 0
2 2
a b


ữ ữ



a , b > 0 (0,25đ)
1 1
0; 0
4 4
a a b b + +
(0,25đ)

1 1
( ) ( ) 0
4 4
a a b b + + +


a , b > 0
1
0
2
a b a b + + + >
(0,25đ)
Mặt khác
2 0a b ab+ >
(0,25đ)
Nhân từng vế ta có :
( ) ( )
( )
1
2
2
a b a b ab a b

+ + + +


(0,25đ)
TRờng THCS Lê Đình Kiên GV :
Lê THị Khơng
3

o
h
d
c
m
b
a
Đề thi Học sinh giỏi lớp 9
( )
( )
2
2 2
2
a b
a b a b b a
+
+ + +
(0,25đ)
Bài 6. (1 điểm) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp
ABCV

Gọi E là giao điểm của AD và (O)
Ta có:
ABD CED:V V
(g.g)
. .
BD AD
AB ED BD CD
ED CD
= =

(0,25đ)
( )
2
. .
. .
AD AE AD BD CD
AD AD AE BD CD
=
=
(0,25đ)
Lại có :
( )
.ABD AEC g g:V V
(0,25đ)
2
. .
. .
AB AD
AB AC AE AD
AE AC
AD AB AC BD CD
= =
=
(0,25đ)
L u ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Bài hình
không vẽ hình không chấm điểm.
TRờng THCS Lê Đình Kiên GV :
Lê THị Khơng
4
d

e
c
b
a