Đề và đáp án Chuyên Ngữ Hà Nội 2009

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2009
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 07 - 06 – 2009 Đề thi gồm: 01 trang
(Chú ý: Thí sinh không được sử dụng bất kì tài liêu nào, CBCT không giải thích gì thêm)
Câu 1. (2đ) Cho biểu thức:
:
2 2
3 3
3
3
3 3 3
2
3
3
8 x x 2 x x 4
A 2 x
2 x 2 x x 2
x 2 x
 
 
− −
= + + +
 ÷
 ÷
 ÷
+ + −

+
 
 
Với
; ;x 8 x 8 x 0≠ ≠ − ≠
. Chứng minh rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x
Câu 2. (2đ) Cho phương trình
( )
2 2
x 2 m 1 x 4m m 0− + + − =
, m là tham số
1. Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
của m.
2. Gọi
;
1 2
x x
là các nghiệm của phương trình trên. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức :
1 2
A x x= −
Câu 3. (2đ) Giải hệ phương trình:
( )



=+−++
=++++
0424
02

22
22
yxyx
yxxyyx
Câu 4 (3đ). Trên đường tròn (O;R) ta lấy hai điểm A và B tuỳ ý. Giả sử C là một
điểm nằm phía trong đoạn AB (C khác A, C khác B). Kẻ đường kính AD của (O).
Cát tuyến đi qua C vuông góc với đường kính AD tại H, cắt (O) tại M và N. Đường
thẳng qua M và D cắt AB tại E. Kẻ EG vuông góc với AD tại G.
1. Chứng minh BDHC và AMEG là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh AM
2
= AC.AB
3. Chứng minh AE.AB + DE.DM = 4R
2
Câu 5. (1đ) Với x; y là những số thực thoả mãn điều kiện x + y + xy = 8
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
2
+ y
2

--------------------------------
1
Đáp án MÔN TOÁN THI VÀO THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ HÀ NỘI
NĂM 2009
Thi ngày 07 – 06 – 2009
Người giải đề: Thầy giáo Nguyễn Cao Cường
Giáo viên Toán – Trường THCS Thái Thịnh – Hà Nội
Câu 1. (2đ) Cho biểu thức:
:
2 2

3 3
3
3
3 3 3
2
3
3
8 x x 2 x x 4
A 2 x
2 x 2 x x 2
x 2 x
 
 
− −
= + + +
 ÷
 ÷
 ÷
+ + −
+
 
 
Với
; ;x 8 x 8 x 0≠ ≠ − ≠
. Chứng minh rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x
Giải:
:
2 2
3 3
3

3
3 3 3
2
3
3
8 x x 2 x x 4
A 2 x
2 x 2 x x 2
x 2 x
 
 
− −
= + + +
 ÷
 ÷
 ÷
+ + −
+
 
 
Đặt
3
x t=
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
:

:
.
3 3 2
2
2
3 2
2
2
3
2 2 2
8 t t 2t t 4
A 2 t
2 t 2 t t 2 t 2t
2 t 4 2t t
t 2 t 2
4 2t t t 2t 2t
A
2 t 2 t t 2 t t 2
2 t 4 2t t
2 t t 2t 2t
A
2 t 4 2t t t
t 2t 2t 2t t t 2t 2t
A 2 t
t t
2t
A 2
t
− −
 

 
= + + +
 ÷
 ÷
+ + − +
 
 
− + +
− +
+ + − +
   
= +
 ÷  ÷
+ + − +
   
− + +
+ − +
= +
+ + +
− + − + − +
= − + =
= =
Vậy giá trị của A = 2 không phụ thuộc vào x.
Câu 2. (2đ) Cho phương trình
( )
2 2
x 2 m 1 x 4m m 0− + + − =
, m là tham số
1. Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
của m.

2. Gọi
;
1 2
x x
là các nghiệm của phương trình trên. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức :
1 2
A x x= −
Giải
( )
2 2
x 2 m 1 x 4m m 0− + + − =
(*)
1. Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
của m.
Ta có
' ( ) ( )
'
2 2
2
2
Δ m 1 4m m
1 1
Δ 2m 2m 1 2 m 0 m
2 4
= + − −
 
 
= − + = − + > ∀
 

 ÷
 
 
Nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
2
2. Gọi
;
1 2
x x
là các nghiệm của phương trình trên. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức :
1 2
A x x= −
Ta có
( )
( )
2
2
2
1 2 1 2 1 2
A x x x x 4x x= − = + −
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (*)
( )
.
1 2
2
1 2
x x 2 m 1
x x 4m m
+ = +




= −



Do đó
( )
( )
min
2
2 2
2 2 2
2
2 2
2
2
2
A 2 m 1 4 4m m
A 4m 8m 4 16m 4m
1 1
A 8m 8m 4 8 m
2 4
1
A 8 m 2
2
A 2
1
A 2 m

2
= + − −
 
 
= + + − +
 
 
= − + = − +
 
 ÷
 
 
 
= − +
 ÷
 
⇒ ≥
⇒ = ⇔ =
Câu 3. (2đ) Giải hệ phương trình:
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
x y 2 xy x y 0 2 xy x y 4x 2 y 4
x y 4x 2 y 4 0 x y 4x 2 y 4 0
xy x 2 y 2 0 x 2 y 1 0 1
x y 4x 2 y 4 0 x y 4x 2 y 4 0 2
+ + + + = + + = − +

 
 
⇔
 
+ + − + = + + − + =
 
 
− + − = + − =
 
⇔ ⇔
 
+ + − + = + + − + =
 
Từ (1) ta có x = -2 hoặc y = 1
Với x = -2 thay vào (2) ta có:
2
y 0
y 2 y 0
y 2
=

− = ⇔

=

Với y = 1 thay vào (2) ta có:
2
x 1
x 4x 3 0
x 3

= −

+ + = ⇔

= −

Vậy hệ pt có nghiệm
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
( ; ) ; , ; , ; ; ;x y 2 0 2 2 1 1 3 1∈ − − − −
Câu 4 (3đ). Trên đường tròn (O;R) ta lấy hai điểm A và B tuỳ ý. Giả sử C là một
điểm nằm phía trong đoạn AB (C khác A, C khác B). Kẻ đường kính AD của (O).
Cát tuyến đi qua C vuông góc với đường kính AD tại H, cắt (O) tại M và N. Đường
thẳng qua M và D cắt AB tại E. Kẻ EG vuông góc với AD tại G.
1. Chứng minh BDHC và AMEG là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh AM
2
= AC.AB
3. Chứng minh AE.AB + DE.DM = 4R
2
Giải
1.Học sinh dễ dàng chứng minh dựa vào dấu
hiệu tổng hai góc đối của tứ giác.

3
2. Xét (O):
AD ⊥ MN (gt)
⇒H là trung điểm MN (qhệ vuông góc giữa
đường kính và dây)
⇒AD là trung trực của MN

⇒AM= AN
⇒cungAM=cungAN (liên hệ giữa cung và dây)
⇒gócM
1
=gócB
1
(2 góc nội tiếp chắn hai cung
bằng nhau)
Xét ∆AMC và ∆ABM
 chung
gócM
1
=gócB
1
(cmt)
⇒∆AMC đồng dạng với ∆ABM (g_g)
⇒
AM AC
AB AM
=
⇒AM
2
= AB.AC (đpcm)
1
1
G
E
H
M
N

D
O
A
BC
3. Chứng minh AE.AB + DE.DM = 4R
2
Chứng minh ∆AGE đồng dạng với ∆ABD (g_g)
⇒
AE AG
AD AB
=
⇒AE.AB=AD.AG
Chứng minh tương tự: DE.DM = AD.GD
⇒AE.AB + DE.DM = AD.AG + AD.GD= AD (AG + GD) = AD. AD = AD
2
⇒AE.AB + DE.DM = 4R
2
Câu 5. (1đ) Với x; y là những số thực thoả mãn điều kiện x + y + xy = 8
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
2
+ y
2

Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số 2x
2
và 4 ta có:
.
2 2 2
x 4 2 x 4 x 4 4x+ ≥ ⇔ + ≥

Chứng minh tương tự:
2
y 4 4 y+ ≥
2 2
2x 2 y 4xy+ ≥
⇒ (x
2
+ 4) + (y
2
+ 4) + (2x
2
+ 2y
2
) ≥ (4x + 4y + 4xy)
⇔ 3(x
2
+ y
2
) + 8 ≥ 4(x + y + xy) (**)
⇔ 3P + 8 ≥ 4. 8 (vì x + y + xy = 8)
⇔ P ≥ 8
Vậy P
min
= 8 ⇔
2
2
2 2
x 4
y 4
x y 2

2x 2 y
x y xy 8
=


=

⇔ = =

=


+ + =

4