KHẢO sát và vẽ đồ THỊ hàm số

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
NỘI DUNG BÀI GIẢNG
Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc
ba y=ax3+bx2+cx+dy=ax3+bx2+cx+d với a≠0.a≠0.
+ Bước 1. Tập xác định: D=R.D=R.
+ Bước 2. Đạo hàm: y′=3ax2+2bx+cy′=3ax2+2bx+c, Δ′=b2–3ac.Δ′=b2–3ac.

Δ′>0Δ′>0: Hàm số có 22 cực trị.
Δ′≤0Δ′≤0: Hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm trên RR.
+ Bước 3. Đạo hàm cấp 22: y”=6ax+2by”=6ax+2b, y”=0⇔x=–b3a.y”=0⇔x=–b3a.
x=–b3ax=–b3a là hoành độ điểm uốn, đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
+ Bước 4. Giới hạn:
Nếu a>0a>0 thì: limx→–∞y=–∞limx→–∞⁡y=–∞, limx→+∞y=+∞.limx→+∞⁡y=+∞.
Nếu a<0a<0 thì: limx→–∞y=+∞limx→–∞⁡y=+∞, limx→+∞y=–∞.limx→+∞⁡y=–∞.
+ Bước 5. Bảng biến thiên và đồ thị:
Trường hợp a>0a>0:
+ Δ′=b2–3ac>0Δ′=b2–3ac>0: Hàm số có 22 cực trị.

+ Δ′=b2–3ac≤0Δ′=b2–3ac≤0 ⇒y′≥0,∀x∈R⇒y′≥0,∀x∈R: Hàm số luôn tăng trên RR.


Trường hợp a<0a<0:
+ Δ′=b2–3ac>0Δ′=b2–3ac>0: Hàm số có 22 cực trị.

+ Δ′=b2–3ac≤0Δ′=b2–3ac≤0 ⇒y′≤0,∀x∈R⇒y′≤0,∀x∈R: Hàm số luôn giảm trên RR.


Một số tính chất của hàm số bậc ba

Δ′=b2–3ac>0Δ′=b2–3ac>0.
2. Hàm số luôn đồng biến trên RR ⇔{a>0Δ′=b2–3ac≤0⇔{a>0Δ′=b2–3ac≤0

3. Hàm số luôn nghịch biến trên RR ⇔{a<0Δ′=b2–3ac≤0⇔{a<0Δ′=b2–3ac≤0
4. Để tìm giá cực trị (đường thẳng đi qua 22 điểm cực trị) ta lấy f(x)f(x) chia cho f′(x)f′(x): f(x)=f′(x).g(x)
+rx+qf(x)=f′(x).g(x)+rx+q. Nếu x1,x2x1,x2 là hai nghiệm của f′(x)f′
(x) thì: f(x1)=rx1+qf(x1)=rx1+q, f(x2)=rx2+q.f(x2)=rx2+q. Khi đó đường thẳng đi qua các điểm cực trị
là y=rx+qy=rx+q.
5. Đồ thị luôn có điểm uốn II và là tâm đối xứng của đồ thị.
6. Đồ thị cắt OxOx tại 33 điểm phân biệt ⇔⇔ hàm số có hai cực trị trái dấu nhau.
7. Đồ thị cắt OxOx tại hai điểm phân biệt ⇔⇔ đồ thị hàm số có hai cực trị và một cực trị nằm trên OxOx.
8. Đồ thị cắt OxOx tại một điểm ⇔⇔ hoặc hàm số không có cực trị hoặc hàm số có hai cực trị cùng dấu.
9. Tiếp tuyến: Gọi II là điểm uốn. Cho M∈(C).M∈(C).
+ Nếu M≡IM≡I thì có đúng một tiếp tuyến đi qua MM và tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất
(nếu a>0a>0), lớn nhất (nếu a<0a<0).
+ Nếu MM khác II thì có đúng 22 tiếp tuyến đi qua MM.
1. Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi:

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)(C) của hàm số:
a. y=–x3+3x2–4.y=–x3+3x2–4.
b. y=–x3+3x2.y=–x3+3x2.
c. y=13x3+2x2+4x.y=13x3+2x2+4x.
a. Tập xác định: D=R.D=R.
Chiều biến thiên:
Ta có: y′=–3x2+6xy′=–3x2+6x =–3x(x–2).=–3x(x–2).

y′=0y′=0 ⇔–3x(x–2)=0⇔–3x(x–2)=0 ⇔x=0⇔x=0 hoặc x=2.x=2.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–∞;0)(–∞;0) và (2;+∞)(2;+∞), đồng biến trên khoảng (0;2)(0;2).
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=2x=2, giá trị cực đại của hàm số là y(2)=0.y(2)=0.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0x=0, giá trị cực tiểu của hàm số là y(0)=−4.y(0)=−4.
Giới hạn của hàm số tại vô cực: limx→–∞y=+∞limx→–∞⁡y=+∞, limx→+∞y=–∞.limx→+∞⁡y=–∞.

Bảng biến thiên:


Đồ thị:
Cho x=–1⇒y=0x=–1⇒y=0, x=3⇒y=−4.x=3⇒y=−4.

b. Tập xác định: D=R.D=R.
Chiều biến thiên:
Ta có: y′=–3x2+6x=–3x(x–2).y′=–3x2+6x=–3x(x–2).

y′=0⇔–3x(x–2)=0y′=0⇔–3x(x–2)=0 ⇔x=0⇔x=0 hoặc x=2.x=2.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–∞;0)(–∞;0) và (2;+∞)(2;+∞), đồng biến trên khoảng (0;2).(0;2).
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=2x=2, giá trị cực đại của hàm số là y(2)=4.y(2)=4.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0x=0, giá trị cực tiểu của hàm số là y(0)=0.y(0)=0.
Giới hạn của hàm số tại vô cực: limx→–∞y=+∞limx→–∞⁡y=+∞, limx→+∞y=–∞.limx→+∞⁡y=–∞.
Bảng biến thiên:

Đồ thị:
Cho x=–1⇒y=4x=–1⇒y=4, x=3⇒y=0x=3⇒y=0.


c. Tập xác định: D=R.D=R.
Chiều biến thiên:
Ta có: y′=x2+4x+4y′=x2+4x+4 =(x+2)2≥0=(x+2)2≥0 ∀x∈R.∀x∈R.

(–∞;+∞)(–∞;+∞), hàm số không có cực trị.
Giới hạn của hàm số tại vô cực: limx→–∞y=–∞limx→–∞⁡y=–∞, limx→+∞y=+∞.limx→+∞⁡y=+∞.
Hàm số đồng biến trên khoảng
Bảng biến thiên:

Đồ thị: Cho x=0⇒y=0.x=0⇒y=0.


Ví dụ 2. Cho hàm số y=–x3+3x2+1y=–x3+3x2+1 có đồ thị (C).(C).

(C)(C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)(C) tại A(3;1).A(3;1).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị:
Tập xác định: D=R.D=R.
Chiều biến thiên:
Ta có: y′=–3x2+6x=–3x(x–2).y′=–3x2+6x=–3x(x–2).

y′=0⇔–3x(x–2)=0y′=0⇔–3x(x–2)=0 ⇔x=0⇔x=0 hoặc x=2.x=2.
y′>0⇔x∈(0;2)y′>0⇔x∈(0;2), y′<0y′<0 ⇔x∈(–∞;0)∪(2;+∞).⇔x∈(–∞;0)∪(2;+∞).
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (–∞;0)(–∞;0) và (2;+∞)(2;+∞), đồng biến trên khoảng (0;2).(0;2).
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=2x=2, giá trị cực đại của hàm số là y(2)=5.y(2)=5.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0x=0, giá trị cực tiểu của hàm số là y(0)=1.y(0)=1.
Giới hạn của hàm số tại vô cực: limx→–∞y=+∞limx→–∞⁡y=+∞, limx→+∞y=–∞.limx→+∞⁡y=–∞.
Bảng biến thiên:

Đồ thị:

(C)(C) tại điểm A(3;1)A(3;1) có dạng:
y–1=y′(3).(x–3)y–1=y′(3).(x–3) ⇔y=–9(x–3)+1⇔y=–9(x–3)+1 ⇔y=–9x+28.⇔y=–9x+28.
b. Phương trình tiếp tuyến của

Ví dụ 3. Cho hàm số y=x3+3x2–mx–4y=x3+3x2–mx–4, trong đó mm là tham số.

m=0m=0.
b. Với giá trị nào của mm thì hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞;0)(–∞;0).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với


a. Khi m=0m=0 thì hàm số là: y=x3+3x2–4.y=x3+3x2–4.
Tập xác định: D=R.D=R.
Chiều biến thiên:
Ta có: y′=3x2+6x=3x(x+2).y′=3x2+6x=3x(x+2).

y′=0⇔3x(x+2)=0y′=0⇔3x(x+2)=0 ⇔x=0⇔x=0 hoặc x=–2.x=–2.
Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞;–2)(–∞;–2) và (0;+∞)(0;+∞), nghịch biến trên khoảng (–2;0).(–
2;0).
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=–2x=–2, giá trị cực đại của hàm số là y(–2)=0.y(–2)=0.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0x=0, giá trị cực tiểu của hàm số là y(0)=–4.y(0)=–4.
Giới hạn của hàm số tại vô cực: limx→–∞y=+∞limx→–∞⁡y=+∞, limx→+∞y=–∞.limx→+∞⁡y=–∞.
Bảng biến thiên:

Đồ thị:
Cho x=–3⇒y=–4x=–3⇒y=–4, x=1⇒y=0.x=1⇒y=0.

b. Hàm số y=x3+3x2–mx–4y=x3+3x2–mx–4 đồng biến trên khoảng (–∞;0).(–∞;0).

⇔y′=3x2+6x–m≥0⇔y′=3x2+6x–m≥0, ∀x∈(–∞;0).∀x∈(–∞;0).
Xét: g(x)=3x2+6x–mg(x)=3x2+6x–m, x∈(–∞;0).x∈(–∞;0).
g′(x)=6x+6g′(x)=6x+6 ⇒g′(x)=0⇔x=–1.⇒g′(x)=0⇔x=–1.
Bảng biến thiên:


Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy:

y′=g(x)=3x2+6x–m≥0y′=g(x)=3x2+6x–m≥0, ∀x∈(–∞;0)∀x∈(–∞;0) ⇔–3–m≥0⇔m≤–3.⇔–3–
m≥0⇔m≤–3.
Vậy khi m≤–3m≤–3 thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.
Ví dụ 4. Cho hàm số y=2x3–9x2+12x–4y=2x3–9x2+12x–4 có đồ thị (C).(C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Tìm mm để phương trình sau có 66 nghiệm phân biệt: 2|x|3–9x2+12|x|=m.2|x|3–9x2+12|x|=m.
a. Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b. Ta có:

2|x|3–9x2+12|x|=m2|x|3–9x2+12|x|=m ⇔2|x|3–9x2+12|x|–4⇔2|x|3–9x2+12|x|–4 =m–4.=m–4.
Gọi (C):y=2x3–9x2+12x–4(C):y=2x3–9x2+12x–4 và (C′):y=2|x|3–9x2+12|x|–4.(C′):y=2|x|3–
9x2+12|x|–4.
Ta thấy khi x≥0x≥0 thì: (C′):y=2x3–9x2+12x–4.(C′):y=2x3–9x2+12x–4.
Mặt khác hàm số của đồ thị (C′)(C′) là hàm số chẵn nên (C′)(C′) nhận OyOy là trục đối xứng. Từ đồ thị (C)
(C) ta suy ra đồ thị (C′)(C′) như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C)(C) bên phải trục OyOy, ta được (C′1).(C′1).


+ Lấy đối xứng qua trục

OyOy phần (C′1)(C′1), ta được (C′2).(C′2).

+ (C′)=(C′1)∪(C′2).(C′)=(C′1)∪(C′2).

Số nghiệm của phương trình: 2|x|3–9x2+12|x|=m2|x|3–9x2+12|x|=m ⇔2|x|3–9x2+12|x|–4=m–

4⇔2|x|3–9x2+12|x|–4=m–4 là số giao điểm của đồ thị (C′)(C′) và đường thẳng (d):y=m–4.(d):y=m–4.
Từ đồ thị (C′)(C′), ta thấy yêu cầu bài toán: ⇔0