3.các quy luật PPXS rời rạc

Bài 3

CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI
XÁC SUẤT CỦA BNN RỜI RẠC

2/9/2017

1


Mục tiêu
Cung cấp các quy luật phân phối xác suất đặc biệt của BNN
rời rạc để khi học xong chương này sinh viên có thể:
1. Giải bài toán phân phối xác suất nhị thức
2. Giải bài toán phân phối xác suất siêu bội.
3. Giải bài toán phân phối xác suất Poisson.
4. Giải các bài toán phân phối xấp xỉ giữa siêu bội, nhị thức
và Poisson.

2/9/2017

2


Nội dung
•
•
•
•
•

2/9/2017

Phân phối nhị thức
Phân phối siêu bội
Phân phối Poisson
Xấp xỉ pp siêu bội bằng pp nhị thức
Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson

3


Công thức Bernoulli
• Dãy n phép thử Bernoulli là dãy n phép thử thỏa mãn 3
điều kiện:
1. Các phép thử của dãy độc lập với nhau
2. Trong mỗi phép thử chỉ có 2 biến cố A hoặc ̅ xuất hiện
3. P(A)=p (không đổi trong mọi phép thử)⇒ ( ̅)= 1-p =q
• Bài toán đưa đến công thức Bernoulli
Tìm xác suất xuất hiện x lần biến cố A trong dãy n phép thử
Bernoulli, kí hiệu Pn(x)
Công thức: Pn(x)=
px qn-x

2/9/2017

4


Ví dụ Công thức Bernoulli
Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm. Xác suất sản xuất ra

một phế phẩm của máy là 0.01.
a. Cho máy sản xuất 10 sản phẩm, tính xác suất có 2 phế phẩm.
b. Máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít
nhất 1 chính phẩm trên 0.99.

2/9/2017

5


Giải ví dụ
Máy sản xuất ra n sản phẩm tương ứng là dãy n phép thử
Bernoulli với xác suất xuất hiện phế phẩm P(A)=0.01
X- biến cố phế phẩm xuất hiện x lần trong dãy n phép thử
P(X)=Pn(x)=
px qn-x
a. P(X)= P10(2)=
(0.01)2 (0.99)10-2=0.0042
b. Y - biến cố có ít nhất 1 chính phẩm do máy sản xuất ra trong
dãy n phép thử
P(Y) = Pn(x ≥ 1) = 1 Pn(0)
= 1 0.01 > 0.99
⇒ 0.01 < 0.01 ⇔
0.01 < ln 0.01
>1
Vậy cần sản xuất ít nhất 2 sản phẩm.
2/9/2017

6

Bài tập
Một người bắn vào một tấm bia với khả năng bắn trúng bia
của mỗi viên đạn là 0,6. Người đó phải bắn ít nhất bao nhiêu
viên để xác suất “có ít nhất 1 viên trúng bia” lớn hơn 0,99?

2/9/2017

7


Bài tập
Thời gian xếp hàng chờ phục vụ của khách hàng là BNN X
(phút) liên tục có hàm phân phối xác suất như sau:
F

=

0 ≤ 0
4
0< <3
0
≥3

1. Tìm a.
2. Tìm hàm mật độ xác suất của X
3. Tìm xác suất trong 3 người xếp hàng thì có 2 người phải
chờ không quá 2 phút.

2/9/2017

8


Phân phối nhị thức
Bài toán dẫn đến phân phối nhị thức
• Xét 1 phép thử T có 2 biến cố A và ̅ xuất hiện.
P(A)= p (không đổi) và P( ̅) = 1
=
• Tiến hành 1 dãy n phép thử T độc lập
• Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử.
• X là BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất
X
P(X=x)

2/9/2017

0

1

….

x

…

n

9

Phân phối nhị thức
• Định nghĩa:
X có phân phối nhị thức với tham số n và p, kí hiệu
X(Ω) = {0, 1, …, n}
X~B(n,p) nếu

=

=

(

=

với q = 1 – p

)

, ( )

• Tham số đặc trưng:
Kỳ vọng của X: EX=  = np
Phương sai của X: VX=
Độ lệch chuẩn của X:
+1
2/9/2017

2

=

1 ≤ModX≤(n+1)p
10


Ví dụ
Trong phép thử tung 1 đồng xu công bằng 3 lần.
a) Tính xác suất sẽ xuất hiện 2 lần mặt sấp.
b) Tính xác suất xuất hiện không quá 1 mặt sấp
c) Tính xác suất xuất hiện ít nhất 1 mặt sấp.
Giải
Gọi X là số mặt sấp trong 3 lần tung đồng xu.
X={0, 1, 2, 3}.
Xác suất để tung được mặt sấp trong một lần tung:
p = 0.5 (không đổi).
n = 3; p = 0.5; q = 1 – p = 0.5.
Xem 3 lần tung đồng xu công bằng như một dãy 3 phép
thử độc lập. X B(3, 0.5).
2/9/2017

11


Ví dụ
P ( X  x )  C nx p x q n  x ; x  0,1, 2, 3
a ) P ( X  2)  C 32 p 2 q
b ) P ( X  1)  P ( X  0)  P ( X  1)  ???

c ) P ( X  1)  1  P ( X  1)  1  P ( X  0)

2/9/2017

12


Ví dụ
Tại một địa phương tỷ lệ bầu cử cho ứng cử viên B là 65%
Thăm dò 100 cử tri. Tính xác suất:
a. Có 10 cử tri bầu cho ứng cử viên B
b. Có nhiều nhất 12 cử tri bầu cho ứng cử viên B
c. Theo bạn có bao nhiêu cử tri bầu cho ứng cử viên B

2/9/2017

13


Ví dụ
Xác suất của 1 khách hàng đồng ý mua bảo hiểm của
công ty bảo hiểm A khi được nhân viên chào mời là 20%.
a. Tính xác suất trong 15 người được chào mời có ít nhất
2 người mua.
b. Bạn tin chắc nhất có bao nhiêu người mua trong 15
người được chào mời

2/9/2017

14

Phân phối siêu bội
Ví dụ: Một hộp chứa 6 sản phẩm loại 1 và 4 sản phẩm loại 2.
Chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm (không hoàn lại), tìm xác suất có
đúng 3 sản phẩm loại 1.
• Để có đúng 3 sản phẩm loại 1, ta có biến cố chọn ngẫu
nhiên được:
– 3 sản phẩm loại 1 và
– 1 sản phẩm loại 2.
C(6; 3)C(4; 1)
• Vậy xác suất cần tìm là: p 

C(10; 4)

2/9/2017

15


Phân phối siêu bội
Bài toán dẫn đến phân phối siêu bội:
• Tổng thể có N phần tử trong đó M phần tử có tính chất
A và (N – M) phần tử không có tính chất A.
• Chọn ngẫu nhiên n phần tử không hoàn lại.
• Gọi X là số phần tử có tính chất A trong n phần tử
⇒X là BNN rời rạc, X(Ω) = {0, 1, …, n}.
• BNN X có giá trị theo mô hình như thế được gọi là có
phân phối siêu bội.

2/9/2017

16


Phân phối siêu bội
• Định nghĩa:
X có phân phối siêu bội với tham số N, M và n, kí hiệu

X(Ω) = {0, 1, …, n}
X~H(N, M, n) nếu

C(M;x)C(N  M;n  x)
P(X  x) 
C(N;n)

• Tham số đặc trưng:
Kỳ vọng của X: EX=  = np với p=M/N
Phương sai của X: VX=
Độ lệch chuẩn của X:
2/9/2017

2

=

=

với q = 1 – p
=

17


Ví dụ
Có 60 người nộp đơn thi vào trường Đại học Kinh Tế Tài Chính,
trong đó 40 người từ miền Đông. Chọn ngẫu nhiên 20 đơn,
tìm xác suất có:
a) Đúng 10 đơn từ miền Đông.
b) Không quá 2 đơn từ miền Đông.
Giải
Gọi X là số đơn từ Miền Đông
Chọn ngẫu nhiên 20 đơn nên
coi như lấy không hoàn lại
=> X~ H(60,40,20)
a)

= 10 =  

  ≈ 0.0374

b) P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
2/9/2017

18


Ví dụ
Một công ty kiểm toán có 100 nhân viên, trong đó có 30 nhân
viên có bằng kiểm toán quốc tế.
Chọn ngẫu nhiên 5 nhân viên. Tính xác suất:

a) Có 3 nhân viên có bằng kiểm toán quốc tế.
b) Nhiều nhất 2 nhân viên có bằng kiểm toán quốc tế.

2/9/2017

19


Ví dụ
Đoàn thanh niên trường A tổ chức cắm trại cho đoàn viên của
trường nhân ngày 26 -3, tham dự có: 20 sinh viên K1, 40 sinh
viên K2 và 100 sinh viên K3.
Bầu 1 ban điều hành gồm 8 người. Tính xác suất trong ban
điều hành có:
a. 3 sinh viên K3.
b. Ít nhất 2 nhân viên K3
c. Nhiều nhất 4 sinh viên K3

2/9/2017

20


Phân phối Poisson
Bài toán dẫn đến phân phối Poisson
• Gọi X là số lần xuất hiện của biến cố A trong khoảng
thời gian t tại những thời điểm bất kì
• là số lần trung bình biến cố A xuất hiện trong thời
gian t
• X là BNN rời rạc, X~P( )

Chú ý:
Số lần xuất hiện của A trong khoảng thời gian t tỉ lệ với độ
dài của khoảng đó và không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện
trong khoảng thời gian kế tiếp.
2/9/2017

21


Phân phối Poisson
• Định nghĩa:
X được gọi là BNN có phân phối Poisson với tham số


> 0 ,kí hiệu X~P() nếu

• Tham số đặc trưng:

X(Ω) = {0, 1, …, n,…}
λxe λ
P(X=x)=
,
x!

(Ω)

EX= VX=
ModX= x0 với -1≤

0

≤

• Chú ý: Dù X nhận vô hạn giá trị nhưng khi X khá lớn so
với
2/9/2017

thì xác suất rất nhỏ gần như bằng 0
22


Phân phối Poisson
Nhận xét:
Số cuộc gọi đến tổng đài trong 1 phút.
Số tai nạn giao thông xảy ra tại một giao lộ trong 1 tuần.
Số lỗi trong 1 trang sách.
Số khách hàng đến giao dịch trong 1 ngân hàng trong
10 phút.
Chú ý:
BNN rời rạc vô hạn X mà chỉ biết  > 0 (trong một khoảng thời
gian/không gian nào đó) thì thường X sẽ có phân phối
Poisson
2/9/2017

23


Ví dụ
Tại một công ty liên doanh, theo số liệu các năm vừa qua
trung bình một năm có 2 vụ đình công.

Tính xác suất trong năm nay 2014
a) Không có vụ đình công nào
b) Có ít nhất 3 vụ đình công
Giải
Số vụ đình công trung bình trong 1 năm λ= 2
Gọi X là số vụ đình công trong năm nay, X~P(2)
a) P(X= 0)= 0.135
b) P(X≥ 3) = 1 - P(X< 3)
= 1- [P(X= 0)+ P(X= 1)= P(X= 2)]
= 0.323
2/9/2017

24


Ví dụ
Tại một lãnh sự quán trung bình 1 giờ có 30 người được
phỏng vấn.
Tính xác suất trong khoảng thời gian từ 9h – 9h10 có:
a. Ít nhất 7 người được phỏng vấn
b. Nhiều nhất 10 người được phỏng vấn

2/9/2017

25