ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM

ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM – THẦY NGHUYỄN MẠNH CƯỜNG

(Giáo viên chuyên luyện thi THPTQG và thi vào lớp 10)

ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY
TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM
(Dùng cho kỳ thi tốt nghiệp THPTQG và tuyển sinh ĐH – CĐ)

➢ Tài liệu tham khảo cho quý thầy cô và phụ huynh.
➢ Tài liệu tham khảo cho các em học sinh tham gia kỳ thi THPTQG và ĐH – CĐ.
➢ Tài liệu làm tư liệu học tập môn toán từ lớp 9 đến 12.

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ


ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIẸM
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

LỜI MỞ ĐẦU
Chào các em học sinh yêu quý!
Hôm nay, thầy sẽ chia sẻ một tài liệu mà có thể giúp ích các em tiết kiệm thời gian
trong quá trình làm bài thi trắc nghiệm. Đó là tài liệu: ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH
CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TẮC NGHIỆM.
Mong rằng tài liệu này sẽ giúp ích cho các em.
Tài liệu đã được viết rất công phu và tỉ mỉ nhưng không tránh khỏi sai sot, mong rằng
sẽ nhận được lời góp ý tích cực từ bạn đọc.
Mọi thông tin xin liên hệ:
Thầy Nguyễn Mạnh Cường
Địa chỉ lớp học:
CS1: Ngã tư cổ Tiết – Khu 11 – Xã Cổ Tiết – Huyện Tam Nông – Tỉnh Phú Thọ
CS2: Số nhà 53 – Ngách 17 – Ngõ Thịnh Quang – Phương Thịnh Quang – Quận Đống

Đa – Thành Phố Hà Nội
Số điện thoại: 0967453602
Email:
Facebook: />Fanpage: />Chúc các em có kỳ thi đầy thành công và may mắn!

Thầy Nguyễn Mạnh Cường

1


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG - SĐT: 0967453602
Email: - Facebook: @loptoanthaycuong0967453602

§1. CHỨC NĂNG EQN
1. Giải phương trình
a. Giải phương trình bậc hai
Ta bấm MODE + 5 + ▽ + 1 (đối với máy vinacal) hoặc MODE + 5 + 3 (đối với máy
casio) rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) để
giải phương trình bậc hai dạng ax 2  bx  c  0  a  0  .
Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ.
b. Giải phương trình bậc ba
Ta bấm MODE + 5 + ▽ + 2 (đối với máy vinacal) và bấm MODE + 5 + 4 (đối với máy
casio) rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) để
giải phương trình bậc hai dạng ax 3  bx 2  cx  d  0  a  0  .
Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ.

2. Giải hệ phương trình
a. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Ta bấm MODE + 5 + 1 (dùng cho cả hai máy) rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào

a x  b1 y  c1
(bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) để giải hệ phương trình dạng  1
.
a2 x  b2 y  c2
Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ.
b. Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
Ta bấm MODE + 5 + 2 (dùng cho cả hai máy) rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào
(bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) để giải hệ phương trình dạng
 a1 x  b1 y  c1 z  d1

 a2 x  b2 y  c2 z  d2 . Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ.
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3

=> Chắc năng EQN nhằm hỗ trợ cho các bạn kiểm tra lại tính đúng sai của nghiệm chứ
không nêu lên cách cách giải của bài toán.

2


ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIẸM
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

§2. CHỨC NĂNG INEQ
1. Giải bất phương trình bậc hai
1  ax 2  bx  c  0
Ta bấm MODE + ▽ + 1 +

2  ax 2  bx  c  0
3  ax 2  bx  c  0

(đối với cả hai máy) rồi nhập hệ số theo

4  ax 2  bx  c  0
bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0). Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ.

2. Giải bất phương trình bậc ba
1  ax 3  bx 2  cx  d  0
Ta bấm MODE + ▽ + 2 +

2  ax 3  bx 2  cx  d  0
3  ax 3  bx 2  cx  d  0

(đối với cả hai máy). Bạn đọc tự

4  ax 3  bx 2  cx  d  0
nghiên cứu ví dụ.
=> Chắc năng EQN nhằm hỗ trợ cho các bạn kiểm tra lại tính đúng sai của nghiệm chứ
không nêu lên cách cách giải của bài toán. Và không dùng cho máy casio fx-570ES
PLUS.

3


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG - SĐT: 0967453602
Email: - Facebook: @loptoanthaycuong0967453602

§3. CHỨC NĂNG TÍNH CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PARABOL
1. Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai (hàm parabol)
2


b 

Như các bạn đã được học từ lớp 9, nếu hàm số y  ax  bx  c  a  x   
2a  4a

mà có:
2

a  0

TH1. a  0 thì y  


b

, x  hàm số đạt giá trị nhỏ nhất Min y  
khi x  
4a
2a
4a

TH2. a  0 thì y  


b


, x  hàm số đạt giá trị lớn nhất Max y  
khi x  
4a
2a
4a

=> Từ đó ta nói rằng hàm số parabol đạt cực trị (hoặc cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm

 b

  2a ;  4a 


⚠ Chú ý: a2  0, a  c  0 : a2  c  0, a
Ta dùng chức năng tính cực trị của hàm parabol để tìm nhanh điểm cực trị (các bạn
phải xét xem hệ số a dương hay âm từ đó xác định được đó là cực đại hay cực tiểu)
như sau:
Bấm SHIFT + 6 + 6 (đối với máy vinacal) hoặc MODE + 5 + 3 (đối với máy casio) để
vào chức năng tính cực trị của hàm parabol rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc
nào không có thì hệ số đó bằng 0)
Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của hàm số y  3 x 2  5 x  2
2


5  109 109

, x
Ta biến đổi hàm số về dạng y  3  x   
6

12
12

Mà hệ số a  3  0  Max y 

109
5
x
12
6

2. Chứng minh phươg trình bậc hai vô nghiệm
a. Phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm
Như các bạn đã biết, phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0  a  0  vô nghiệm khi
  0   '  0  nhưng ta phải trình bày sao cho hợp lý và có tính thuyết phục cao để

người chấm có thiện cảm bằng cách sau:
2


b 

 0, x  do   0 
Vẫn đưa VT phương trình về dạng VT  a  x   
2a  4a


4

ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIẸM
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

Và hoàn toàn tương tự như phần số 1, ta dùng chức năng tính cực trị của hàm parabol

 b

để tìm điểm cực trị   ;   (các bạn vẫn có thể tính tay nhá nhưng dùng máy tính
 2a 4a 
cho nhanh và khá tiện lợi tránh sự nhầm lẫn đáng tiếc)
Ví dụ: giải phương trình x2  4x  8  0
Rõ ràng các bạn thấy   4  0  phương trình vô nghiệm (hoặc dùng chức năng
EQN)
Nên ta trình bày như sau:
Ta có VT   x  2   4  0, x  phương trình vô nghiệm.
2

b. Phương trình bậc hai hai ẩn vô nghiệm
Trước tiên ta sẽ đi làm một vĩ dụ từ đó ta sẽ xác định hướng làm tổng quát:
Giải phương trình x 2  y 2  xy  3 x  5 y  9  0
2

2


y3 3
7 8
Ta có VT   x 
   y     0, x , y  phương trình vô nghiệm.
2  4

3 3

Vậy từ đâu mà ta lại làm được như vậy? thì mời bạn đọc nghiên cứu cách làm sau:
Ta viết phương trình thành
y 1000
x 2   y  3  x  y 2  5 y  9  0 
 x 2  997 y  995009  0 (*)

Ta dùng chức năng tính cực trị của hàm parabol cho (*) ta được
2

2


y  3  3 y 2  14 y  27

997  2986027
y 1000
x



0


x

0

 


2 
4
2 
4


2

3 y 2  14 y  27 3 
7 8
  y     0, y
Dùng chức năng cực trị lần hai cho
4
4
3 3
2

2


y3 3
7 8
Do đó ta viết phương trình đã cho thành  x 
  y    0
2  4
3 3

Dễ dàng nhận thấy VT  0, x, y
=> Ta có cách làm tổng quát sau:

Dạng tổng quát ax 2  bx  cxy  dy  ey 2  f  0 (1)
Cách làm:
Ta sẽ gán y  10 n , tùy thuộc vào các bạn cho n 

nhưng ở đây tôi cho
5


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG - SĐT: 0967453602
Email: - Facebook: @loptoanthaycuong0967453602

n  2  y  100

n  3  y  1000



 



Do đó VT (1)  ax 2  b  c.10n x  e.10 2 n  d.10n  f  ax 2  b1x  c1
Ta lại quay về bài toán ở mục 2 là chứng minh phương trình bậc hai vô nghiệm, rồi
sau đó thay y  10 n mà ta vừa gán. Mời các bạn làm thêm ví dụ sau:
Giải phương trình 3x 2  y 2  xy  8 x  7 y  12  0
y 100
Ta gán 3x 2   y  8  x  y 2  7 y  12  0 
 3x 2  92 x  10712  0 (*)

Ta có

2

2

2


y8

46  30020

100  8  3.100 2  20
20
2
VT (*)  3  x   
 3 x 

 3 x 
 0, x , y
 y 

3 
3
6 
3
3 
3




Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc.
=> Chức năng này không dùng cho máy casio fx-570ES PLUS.

6


ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIẸM
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

§4. CHỨC NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Tính đạo hàm tại một điểm
Chắc hẳn các bạn vẫn còn nhớ cách tính đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa lẫn
công thức đạo hàm mà đã được học vào cuối kỳ 2 lớp 11 (các bạn tự ôn lại nên tôi sẽ
không nhắc lại nữa) nhưng ở đây, tôi muốn giới thiệu đến bạn đọc cách tính đạo hàm
tại một điểm bằng máy tính cầm tay (chỉ dùng để tính kết quả chứ không nói lên cách
làm).
Ví dụ tính đạo hàm của hàm số y  85  57 x  13 x 2  x 3 tại điểm x  3 thì ta làm như
sau:
Bấm SHIFT + y rồi nhập hàm số đó vào ô trống thứ nhất và nhập giá trị điểm đề
d
85  57 x  13x 2  x 3 x  3  1, 5
cho vào ô trống còn lại ta thu được kết quả là
dx





Ta hoàn toàn có thể tính bằng công thức đạo hàm



85  57 x  13x  x
2

3



 85  57 x  13x
'



 x3 '

2

2 85  57 x  13x  x
2

3



3x 2  26 x  57
2 85  57 x  13x  x
2

3

x3

1, 5

2. Tìm các hệ số của lượng liên hợp của phương trình vô tỷ có nghiệm bội
Như trong mục VII, bài 1, tôi đã trình bày qua về cách phân biệt nghiệm đơn và nghiệm
bội (nghiệm kép và bội ba) nên không nhắc lại nữa (mời bạn đọc xem lại).
a. Nghiệm kép
Khi phương trình vô tỷ chứa căn thức là

n

f ( x) ,... và có nghiệm kép x  x0 thì lượng

liên hợp của căn thức thường là dạng nhị thức
Mà phương trình có nghiệm kép nên



n

n

f ( x)  ax  b  b 



f ( x) '   ax  b  '  a 

d
dx



f ( x)  ax (1)

n

n



f ( x) (2)






d n
f ( x)
a 
dx

x  x0
Mặt khác : do x  x0 nên thay lần lượt vào (1) và (2) ta được 
b  n f ( x)  ax

x  x0





Ta nghiên cứu ví dụ sau: Cho phương trình 2 x  1  2 x  2 x  1. Tìm lượng liên hợp
cho các căn thức biết phương trình có nghiệm kép là x  1.
Quá dễ dàng để tìm lượng liên hợp của

2 x  1  ax  b

7


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG - SĐT: 0967453602
Email: - Facebook: @loptoanthaycuong0967453602






d
2x  1
1
a 
dx
x 1
 2 x  1  x  1 hay lượng liên hợp của
Ta có 

b  2 x  1  ax
1

x 1





2 x  1 là x  1.

Hoàn toàn tương tự với căn còn lại.
b. Nghiệm bội ba
Khi phương trình vô tỷ chứa căn thức là

n

f ( x) ,... và có nghiệm bội ba x  x0 thì lượng

liên hợp của căn thức thường là dạng tam thức
n

f ( x)  ax 2  bx  c  c 

n

f ( x)  ax 2  bx (1)

Mà phương trình có nghiệm bội ba nên



n

f ( x) '  ax 2  bx  c '  b 



n

1 d   f ( x)  ' 
 (3)
f ( x) ''  ax 2  bx  c ''  a   
2 dx  n n f n1 ( x) 











 



 

d
dx



n



f ( x)  2ax (2)



Mặt khác : do x  x0 nên thay lần lượt vào (1), (2) và (3) ta được


 f ( x)  ' 
a  1  d  


2 dx  n n f n1 ( x) 

 x  x0



  d n
f ( x)  2 ax 
b  

 x  x0
  dx

2
c  n f ( x)  ax  bx
x  x0











Ta nghiên cứu ví dụ sau :
Cho phương trình x 5  3x 4  4 x 3  3x 2  2 x  1   x  1 2 x 2  2 x  1 . Tìm lượng liên hợp
của căn

2 x 2  2 x  1 biết phương trình đã cho có nghiệm bội ba là x  1 .

Lượng liên hợp của
hệ số như sau:

8

2 x 2  2 x  1  ax 2  bx  c . Hoàn toàn dễ dàng ta tìm ra được các

ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIẸM
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC



1 d 
4x  2
a   
  0, 5
2 dx  2 2 x 2  2 x  1 

x 1

d
x2  1

2x2  2x  1
 2ax  0  2 x 2  2 x  1 
b 
dx
2
x 1


2
2
c  2 x  2 x  1  ax  bx  0, 5







Từ đó ra kết luận rằng lượng liên hợp của
⚠ Chú ý:



n



f ( x) ' 

 f ( x)  '
n f
n

n 1

( x)

2 x 2  2 x  1 là

x2  1
.
2

n  N 
*

9


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG - SĐT: 0967453602
Email: - Facebook: @loptoanthaycuong0967453602

§5. CHỨC NĂNG STO
Gán một giá trị (nghiệm) vào một biến bất kỳ trong máy (biến A, B, C, D, E, F, X, Y,
M)
Để gán một giá trị bất kỳ hay nghiệm bất kỳ vào một biến trong máy ta làm như sau:
Giá trị cần gán + SHIFT + RCL + Biến cần gán (là các chữ in đỏ được viết in hoa)
Ví dụ như các bạn muốn gán giá trị 22 vào biến A trong máy thì ta bấm như sau:
22 + SHIFT + RCL + ( - )
Và để biết ta đã gán 22 vào biến A trong máy chưa ta cần bấm: ALPHA + ( - ) + = nếu
kết quả ra 22 thì tức là đã thực hiện đúng yêu cầu.

10


ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIẸM
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

§6. CHỨC NĂNG SOLVE
1. Tìm nghiệm của phương trình chính xác
Ta dùng SOLVE để tìm nghiệm của phương trình đã cho một cách chính xác theo hai
hướng sau:
Ví dụ ta đi tìm nghiệm của phương trình

x2  2x  8
  x  1
x2  2 x  3



x2 2



+ Hướng 1: Tìm nghiệm bằng số bắt đầu bất kỳ

 X 2  2X  8
  X  1
B1: Nhập  2
 X  2X  3






X  2  2  và ấn =


B2: Bấm SHIFT + CALC thì máy hỏi giá trị X bắt đầu thì các bạn chọn tùy ý
B3: Tùy vào việc các bạn cho giá trị X bắt đầu mà máy hiện kết quả là nghiệm nào
trước, ở đây máy của tôi dùng là vinacal và cho giá trị X bắt đầu là 9 thì kết quả là
x  3,302775638 là một nghiệm

B4: Ta gán nghiệm này vào biến A đồng thời chia nghiệm này đi để xem phương trình
còn nghiệm nào nữa không bằng cách bấm phím back ◁ và sửa thành





 X 2  2X  8

  X  1 X  2  2  :  X  A  rồi bấm SHIFT + CALC thì máy hỏi giá trị
 2
 X  2X  3

A, các bạn bấm phím Ans + = + = (tức là gán nghiệm vừa tìm được vào biến A) thì thu
được kết quả là x  2 là một nghiệm nữa
B5: Tiếp tục chia nghiệm x  2 đi để xem phương trình còn nghiệm nào nữa không
bằng cách bấm phím back ◁ và sửa thành





 X 2  2X  8

  X  1 X  2  2  :  X  A  X  2  rồi bấm SHIFT + CALC + = + = thì
 2
 X  2X  3

thu được kết quả là Can’t solve (tức là phương trình đã hết nghiệm), thử lai với giá trị
X bất kỳ ta cũng thu được kết quả tương tự.

Như vậy, phương trình đã cho tạm thời có hai nghiệm là x  2; A
+ Hướng 2: Tìm nghiệm bằng số bắt đầu trong đoạn chứa nghiệm đã tìm được bằng
TABLE
Như ở phần dùng chức năng TABLE để tìm đoạn chứa nghiệm, ta đã tìm được đoạn
chứa nghiệm của phương trình là 1; 4  và thật “chẳng may” ta tìm được luôn phương
trình có một nghiệm là x  2 và bây giờ ta sẽ dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm
chính xác trên đoạn chứa nghiệm như sau:

11


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG - SĐT: 0967453602
Email: - Facebook: @loptoanthaycuong0967453602

 X 2  2X  8
  X  1
B1: Nhập  2
X

2
X

3








X  2  2  :  X  2  và ấn =


B2: Bấm SHIFT + CALC với X  1; 4  thì máy hiện kết quả là x  3,302775638 là một
nghiệm
B3: Ta gán nghiệm này vào biến A đồng thời chia nghiệm này đi để xem phương trình
còn nghiệm nào nữa không bằng cách bấm phím back ◁ và sửa thành

 X 2  2X  8
  X  1
 2
 X  2X  3






X  2  2  :  X  2  X  A  rồi bấm SHIFT + CALC thì máy hỏi

giá trị A, các bạn bấm phím Ans + = + = (tức là gán nghiệm vừa tìm được vào biến A)
thì thu được kết quả là Can’t solve (tức là phương trình đã hết nghiệm), thử lai với giá
trị X bất kỳ ta cũng thu được kết quả tương tự.
Như vậy, phương trình đã cho tạm thời có hai nghiệm là x  2; A
=> Ta rút ra một nhận xét sau:
Nếu ta tìm nghiệm trong đoạn chứa nghiệm sẽ nhanh hơn (về mặt thời gian) và ta sẽ
bao quát được nghiệm hơn khi dùng TABLE. Nhưng suy cho cùng thì các bạn nên làm
hướng 1 để tránh sự phức tạp.
⚠ Chú ý: một điều cực kỳ quan trọng khi dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm chính xác
đó là khi nhập phương trình (chuyển tất cả hạng tử về một bên và bỏ “= 0”) phải có dấu mở

đóng ngoặc ở hai đầu của phương trình và ấn = sau khi nhập xong (để máy lưu lại phương
trình)

2. Tìm mối quan hệ giữa hai ẩn
Thường là tìm mối quan hệ giữa x, y để thay vào phương trình còn lại của hệ, rồi đi
giải phương trình một ẩn x hoặc y. Nhưng việc nhận ra mối quan hệ giữa x và y là rất
khó chính vì vậy, ta cần dùng đến công cụ là máy tính cầm tay mà cụ thể là chức năng
SOLVE này để nhận ra mối quan hệ đó một cách nhanh chóng rồi từ đó định hướng
cách làm.
Xét ví dụ sau: Tìm mối liên hệ giữa hai ẩn x và y thỏa mãn
x 3  y 3  12 x 2  3 y 2  50 x  5 y  75  0

Ta dùng SOLVE để tìm mối quan hệ giữa hai ẩn bằng hai hướng sau:
+ Hướng 1: Cho Y  100
B1: Nhập X3  Y 3  12X2  3Y 2  50X  5Y  75
B2: Bấm SHIFT + CALC với Y  100 và X bất kỳ ta thu được kết quả là
12


ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIẸM
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

X  95  100  5  Y  5
Do đó mối quan hệ hệ dự đoán giữa x và y là x  y  5
+ Hướng 2: Lập bảng
B1: Nhập X3  Y 3  12X2  3Y 2  50X  5Y  75
B2: Bấm SHIFT + CALC với Y  1 và X bất kỳ ta thu được kết quả là X  4 (tức là
Y  1  X  4 )
Làm như vậy với Y = 2, 3, 4, 5… ta tìm được X tương ứng và có bảng giá trị về mối
quan hệ giữa X và Y như sau

Y
1
2
3
4
X
-4
-3
-2
-1
Từ bảng ta thấy x  y  5 , đó là mối quan hệ giữa x và y.

5
0

9
4

Từ đó ta có cách làm như sau :

x 3  y 3  12 x 2  3 y 2  50 x  5 y  75  0
 x 3  12 x 2  50 x  75  y 3  3 y 2  5 y
  x  4   2  x  4    y  1  2  y  1
3

3

Xét hàm số f (t )  t 3  2t có f '(t )  3t 2  2  0, t 
⇒ Hàm số f (t) luôn đồng biến trên
⇒ x  4  y 1  x  5  y

Trên đây là cách giải theo phương pháp hàm số (ta sẽ nghiên cứu ở phần sau Phương
pháp hàm số)
=> Mỗi cách có ưu và nhước điểm khác nhau, chính vì vậy ta sẽ làm thêm một ví dụ
nữa để biết xem cách nào tổng quát cho mội bài.





Tìm mối quan hệ giữa x và y dương thỏa mãn x 12  y  y 12  x 2  12





B1: Nhập X 12  Y  Y 12  X 2  12
B2: Đến ta ta có hai hướng làm
B2.1 : Bấm SHIFT + CALC với Y  100 và X bất kỳ ta thu được kết quả là Can’t
solve nên ta chuyển sang hướng thứ 2 là :
B2.2 : Bấm SHIFT + CALC với Y  1 và X bất kỳ ta thu được kết quả là
X  3,316624752 (tức là Y  1  X  3,316624752 )
13


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG - SĐT: 0967453602
Email: - Facebook: @loptoanthaycuong0967453602

Làm như vậy với Y = 2, 3, 4, 5… ta tìm được X tương ứng và có bảng giá trị về mối
quan hệ giữa X và Y như sau
Y

1
2
3
4
5
12
X
3,3166…
3,3162…
3
2,8284…
2,6457…
0
Qua bảng ta thấy, các giá trị X rất lẻ và không biết được nó sẽ có mối quan hệ như thế
nào với Y. Một câu hỏi đặt ra trong đầu: “ta sẽ bỏ ư?”. Câu trả lời là: “KHÔNG”. Đúng
vậy, ta sẽ không bỏ cuộc dù hoàn cảnh có khó khăn như thế nào. Sau đây, là một lưu
ý cực kỳ quan trọng, nó cũng như “cốc nước mát giữa sa mạc vậy”
“Khi lập bảng giá trị về mối quan hệ giữa X và Y mà chưa cho ta được mối quan hệ X
và Y thì ta phải tính thêm tất cả các biểu thức (căn, lũy thừa) chứa X và Y theo các giá
trị vừa tìm được”



Như vậy, ta sẽ tính thêm x 12  y , y 12  x 2
Y
X
12  Y



Y 12  X 2





vào bảng vừa rồi và được

1
3,3166…
3,3166…

2
3,3162…
3,3162…

3
3
3

4
2,8284…
2,8284…

5
2,6457…
2,6457…

12
0

0

1

2

3

4

5

12

Ta đã ra mối quan hệ giữa x và y là
  x  0
 x  12  y
 x  0


   y  12  x 2

2
 y  y(12  x 2 )
 y  12  x
 y  12  x 2 (do 0  y  12)



Bây giờ, ta sẽ đi tách nhân tử bằng cách sử dụng: Phương pháp liên hợp, phương pháp

đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số, phương pháp đáng giá, …
Ở đây, tôi dùng BĐT Cô si để đánh gía (các bạn tham khảo ở mục sau)


x 2  12  y
x
12

y

x
12

y


2
 x 12  y  y 12  x 2  12
Ta có 
2
y

12

x
 y 12  x 2 

2









 x  x
 x  0
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

2
2
 y  12  x
 y  12  x
=> Tổng kết lại là ta nên dùng hướng 2 để tìm mối quan hệ giữa hai ẩn tức là đi lập
bảng và khi lập bảng các giá trị ta phải nhớ liệt kê tất cả các phần tử có chứa các biến
rồi tính giá trị tại các điểm x và y tìm được.

14


ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIẸM
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

§7. CHỨC NĂNG TABLE
Giới thiệu sơ qua về TABLE:
TABLE là bảng thống kê sự thay đổi của hàm theo biến trên từng giá trị cụ thể, tức là
khi biến thay đổi một lượng thì hàm cũng thay đổi theo lượng đó
X  X0  F( X )  F( X0 ) và sau đây là thao tác bấm máy:

Tại giao diện MODE ta chọn 7 để vào chức năng TABLE

Tại giao diện hàm số f(X) ta nhập hàm số cần xét
Tại giao diện hàm số g(X) ta nhập hàm số thứ 2 cần xét (nếu
cần)
(không áp dụng cho máy casio fx-570ES PLUS)
Tại giao diện Start ta cho giá trị bắt đầu cần xét (thường là điểm
đầu của TXĐ ví dụ như hàm số có TXĐ là  a; b  thì ta cho Start
bằng a)
Tại giao diện End ta cho giá trị kết thúc cần xét (thường là điểm
cuối của TXĐ ví dụ như hàm số có TXĐ là  a; b  thì ta cho End
bằng b)
Tại giao diện Step ta cho bằng 1 hoặc 0,5 (các bạn có thể cho
bất kỳ)là giá trị bước nhảy hay khoảng cách giữa hai số liền
nhau
Cuối cùng ta thu được kết quả là bảng thống kê giá trị hàm
thay đổi theo biến lần lượt từ trái qua phải là
STT→X→F(X)→G(X)
⚠ Chú ý:
Bảng thống kê TABLE thông thường tính được 20 giá trị ví dụ chạy từ -9 đến 9 với
bước nhảy là 1 hoặc chạy từ -4 đến 4 với bước nhảy là 0,5. Nhưng bảng TABLE có thể
tính được tối đa là 30 giá trị (trừ máy casio fx-570ES PLUS) và để mở rộng đến 30 giá
trị thì ta cần bấm các thao tác sau để bảng giá trị của chúng ta tăng thêm 10 giá trị từ
20 lên 30 bằng cách bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1. Như vậy, ta đã làm tăng thêm
10 giá trị bây giờ các bạn xét từ -14 đến 14 với bước nhảy là 1 hoặc từ -7 đến 7 với bước
nhảy là 0,5 để xét chính xác hơn và tránh để bỏ xót “không cho chúng nó thoát”.

1. Xét tính đơn điệu (đồng biến hay nghịch biến) của hàm số
Ta dùng TABLE trong trường hợp này nhằm mục đích xét tính đơn điệu của hàm số
mà cụ thể hay dùng nhất là xét dấu (dương hay âm) biểu thức sau khi liên hợp để

thuận tiện việc chứng minh vô nghiệm. Hay là việc kết hợp với định lý Rolle để tìm
nghiệm duy nhất của phương trình khi mà VT (đã chuyển tất cả các hạng tử về một
15


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG - SĐT: 0967453602
Email: - Facebook: @loptoanthaycuong0967453602

vế và vế còn lại bằng 0) của phương trình đó đồng biến hay nghịch biến trên tập xác
định.
⚠ Chú ý: đối với dạng này ta kết hợp thêm với chức năng SOLVE để tìm nghiệm trước nếu có
nghiệm mà hàm số đồng biến (nghịch biến) trên D thì ta áp dụng định lý Rolle để làm còn nếu
không có nghiệm mà hàm số đồng biến (nghịch biến) thì ta kết luận rằng biểu thức đó luôn
dương (âm) trên tập xác định.
Ta hiểu định lý Rolle như sau:
+ Nếu hàm số f(x) đơn điệu trên khoảng (a;b) thì phương trình f ( x)  k  k  const  có
không quá một nghiệm trên khoảng (a;b).
+ Nếu hàm số f(x) và g(x) đơn điệu ngược chiều nhau trên khoảng (a;b) thì phương
trình f ( x)  g( x) có không quá một nghiệm trên khoảng (a;b).
Ví dụ 1: Giải phương trình  2 x  1 x  3 

1
x 1  2



2
x2 2

0

Ta có quy trình bấm máy như sau:
B1: Bấm MODE + 7 (để vào chức năng TABLE)
B2: Nhập F( X )   2X  1 X  3 

1
X 1  2



2
X2 2

B3: Cho Start  1; End  19; Step  1 , nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx-570VN
thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho
Start  1; End  29; Step  1
B4: Ta thấy f ( x)  0, x  1;  
B5: Dùng SOLVE bằng cách nhập lại F(X) vào và bấm SHIFT + CALC rồi cho X bất kỳ
thì máy hiện Can’t solve tức là phương trình vô nghiệm. (ta phải làm thêm bước này
để kiểm tra xem phương trình còn nghiệm không nếu không thì ta đi chứng minh vô
nghiệm trên tập xác định còn nếu có ta vẫn chứng minh hàm số đó đồng biến (nghịch
biến) trên tập xác định rồi áp dụng định lý Rolle để kết luận nghiệm)
B6: Ta chứng minh như sau:


 2 x  1 x  3   2  x  1  3   x  1  4  6  2   2 x  1 x  3  2  0





1
1
 1 1
0
Do x  1   x  1  2  2  1 
x 1  2
x 1  2


2
2
 1 1
0
 x  2  2   x  1  3  2  3  2  2 
x2 2
x2 2

16


ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIẸM
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC


 

1
2
 1 
Nên ta có f ( x)   2 x  1 x  3  2   1 


  0, x  1

 
x 1  2 
x 2  2
Vậy phương trình vô nghiệm. (trên đây là cách chứng minh đơn giản, vào các bài sau
chúng ta sẽ nghiên cứu nhiều hơn và gặp nhiều dạng bài cũng như cách giải tổng quát
hơn)



Ví dụ 2: Giải phương trình 3x 3  x 2  2 x  28  x 3  4



Xét hàm số f ( x)  3x 3  x 2  2 x  x 3  4





x3  7  0

x 3  7 trên  3 7 ; 




Ta có quy trình bấm tương tự như ví dụ 1, ta thấy f ( x) đồng biến trên



3



7 ;  nhưng

khi dùng chức năng SOLVE ta tìm được nghiệm duy nhất là x  2 nên áp dụng định
lý: “Nếu hàm số f(x) đơn điệu trên khoảng (a;b) thì phương trình f ( x)  k  k  const 
có không quá một nghiệm trên khoảng (a;b)”, do đó ta có cách làm như sau:
Dễ thấy x  3 7 không phải là nghiệm của phương trình nên ta có điều kiện x  3 7



Xét hàm số f ( x)  3x 3  x 2  2 x  x 3  4
Có

f '( x)  9 x  2 x  2  3x
2

2

x 7 
3



x 3  7 trên



3x 2 x 3  4
2 x3  7

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng



3



3

  9 x  1 



7 ; 

7 ; 






3x 2  x 3  7  3 

17

 0
2
3
  3x x  7 

3
9
9
2 x 7
2



Mà f (2)  28 nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  2.
Ví dụ 3: Giải phương trình x x  x  12  12



5x  4x

Xét hai hàm số f ( x)  x x  x  12 và g( x)  12






5  x  4  x trên đoạn 0; 4 

Tương tự về cách bấm như trên, dùng TABLE ta thấy f ( x)  0 và g( x)  0 trên khoảng

 0; 4  hay

f ( x), g( x) là hai hàm đơn điệu ngược nhau trên khoảng  0; 4  nên phương

trình f ( x)  g( x) có nhiều nhất một nghiệm. Dùng SOLVE hay TABLE ta tìm được một
nghiệm duy nhất là x  4. Từ đó ta có hướng làm như sau:
+ Xét hàm số f ( x)  x x  x  12 xác định và liên tục trên đoạn 0; 4 
Có f '( x) 

3 x
1

 0, x   0; 4   f ( x) là hàm đồng biến trên đoạn 0; 4 
2
2 x  12
17


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG - SĐT: 0967453602
Email: - Facebook: @loptoanthaycuong0967453602

+ Xét hàm số g( x)  12





5  x  4  x xác định và liên tục trên đoạn 0; 4 



1
1

Có g '( x)  12 
  0, x   0; 4   g( x) là hàm nghịch biến trên đoạn
 2 5x 2 4x 
 0; 4 

Mà f (4)  g(4) nên phương trình có nghiệm duy nhất là x  4.

2. Tìm đoạn chứa nghiệm của phương trình
Từ việc kết hợp với định lý hàm số liên tục mà ta đã được học ở kỳ 2, lớp 11 (đã nói
qua ở mục định lý hàm số liên tục, rolle, lagrange) và được hiểu như sau:
“Nếu hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b] và đơn điệu trên khoảng (a;b)
đồng thời f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm trên đoạn [a;b]”
Vậy tại sao lại phải dùng TABLE để tìm đoạn chứa nghiệm? Vì khi dùng chức năng
SOLVE ta sẽ tìm nghiệm của phương trình trong đoạn chứa nghiệm mà ta đã tìm được
trong TABLE, lúc này ngoài việc tìm nghiệm một cách nhanh chóng (nói về thời gian
máy tính tìm nghiệm nhanh hơn so với việc tìm nghiệm mà không trong đọan chứa
nghiệm) mà còn tìm đủ số nghiệm (nói về việc tìm đầy đủ các nghiệm mà phương
trình có, tránh trường hợp tìm thiếu nghiệm bằng SOLVE mà không tìm trong đoạn
chứa nghiệm)
Ta nghiên cứu ví dụ sau đây:





x2  2x  8
  x  1 x  2  2 (tuy nhiên ta chỉ cần tìm đoạn chứa
x2  2 x  3
nghiệm của phương trình thôi mà không giải hẳn vì việc giải chi tiết sẽ được làm vào
các bài sau)
Giải phương trình

Ta co quy trình bấm máy như sau:
B1: Bấm MODE + 7 (để vào chức năng TABLE)
B2: Nhập hàm số F( X ) 

X 2  2X  8
  X  1
X 2  2X  3



X2 2



B3: Cho Start  2; End  17; Step  1 , nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx570VN thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho
Start  2; End  27; Step  1
B4: Ta thấy phương trình có nghiệm trong đoạn 1; 3  ;  3; 4   1; 4  mà đặc biệt
f (2)  0  x  2 là một nghiệm, bây giờ ta dùng chức năng SOLVE để tìm xem phương

18

ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIẸM
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

trình còn nghiệm nào trong đoạn 1; 4  nữa không ngoài nghiệm x  2 (ta sẽ thực hiện
thao tác này trong bài chức năng SOLVE)
Như vậy, khi dùng TABLE ta tìm được một nghiệm là x  2 và đoạn chứa nghiệm là
1; 4 

3. Tìm hệ số của lượng liên hợp khi phương trình vô tỷ có nghiệm vô tỷ đơn duy
nhất
Khi các bạn học qua bài phương pháp liên hợp rồi, các bạn sẽ biết được lượng liên hợp
của nghiệm đơn vô tỷ đơn duy nhất là dạng nhị thức bậc nhất. Ở đây, tôi xin phép nói
luôn cách tìm hệ số của nhị thức bậc nhất:
Ta luôn có  n f ( x)  ax  b  n  2|n  N ; a , b  const  trong đó  

*

là số được chọn

một số bất kỳ trong 10    10
Mà x  x0  A là nghiệm vô tỷ đơn duy nhất của phương trình (trong quá trình tìm
nghiệm bằng SOLVE ta đã tìm được nghiệm vô tỷ x  x0 và đã được gán vào biến A)
Nên ta phải có  n f ( A)  a.A  b  b   n f ( A)  a.A (ta nói a là biến còn b(a) là hàm
thay đổi theo a)
Ta dùng chức năng TABLE để tìm a, b bằng cách gán a  X  b(a)  F(X) , thao tác
bấm máy như sau:
B1 : Bấm MODE + 7 (để vào chức năng TABLE)
B2 : Nhập hàm F( X )   n f ( A)  X. A
B3 : Cho Start  9; End  9; Step  1 , nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx570VN thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho

Start  14; End  14; Step  1
B4 : Chọn X 

 F(X) 

từ đó thu được a 

 b

Ta nghiên cứu ví dụ sau :
Cho phương trình x 3  x 2  x  5   x  4  x  2  0 . Tìm lượng liên hợp của

x2

Trong quá trình tìm nghiệm bằng SOLVE ta tìm được một nghiệm vô tỷ đơn duy nhất
là x  3,302775638 và gán nó vào biến A trong máy. Bây giờ ta đi tìm lượng liên hợp
của

x  2 như sau :

Ta luôn có  x  2  ax  b
Mà x  A là nghiệm và chọn   1 nên ta có b  A  2  a.A
19


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG - SĐT: 0967453602
Email: - Facebook: @loptoanthaycuong0967453602

Dùng TABLE để tìm a, b bằng cách gán a  X  b(a)  F(X) và các bước bấm máy
như sau:

B1 : Bấm MODE + 7 (để vào chức năng TABLE)
B2 : Nhập hàm F( X )  A  2  X.A
B3 : Cho Start  9; End  9; Step  1 , nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx570VN thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho
Start  14; End  14; Step  1
B4 : Ta thấy X  1  F(X)  1 nên ta chọn  a; b    1; 1
Vậy lượng liên hợp của

x  2  x 1.

⚠ Chú ý : Với một số bài mà chúng ta không tìm ra  a; b  

khi cho   1 thì các bạn phải

thay đổi và cho   2,3,4,5... để tìm ra (sẽ không mất thời gian khi cho   tăng dần vì ứng
với ỗi giá trị ta chỉ mất 30 giây để tìm cặp số thỏa mãn chính vì vậy các bạn phải kiên trì và
nhớ đến câu nói nổi tiếng của tỷ phú Jack Ma : “Hôm nay khó khăn, ngày mai khó khăn
hơn nhưng ngày kia sẽ là ngày tuyệt vời”)

4. Tìm hệ số của phương trình bậc hai chứa nghiệm vô tỷ đơn
Thường thì trong kỳ thi THPTQG hiện nay thì nghiệm vô tỷ thường sẽ là nghiệm của
một phương trình bậc hai dạng  x 2  mx  n  0 (có thể là dạng lượng giác nhưng ít
suất hiện hơn và sẽ được trình bày vào các bài sau) và ta đi tìm dạng tường minh của
nghiệm lẻ hay đi tìm dạng tương minh của phương trình bậc hai như sau:
Trong quá trình tìm nghiệm bằng SOLVE ta đã gán nghiệm vô tỷ vào biến A trong
máy và nghiệm này là nghiệm của phương trình  x 2  mx  n  0 (trong đó  

*

là số

được chọn một số bất kỳ trong 10    10 ) nên ta phải có

n   x 2  mx  n   A 2  m.A

2
2
 m   x  n  m   A  n

x
A
Ta dùng chức năng TABLE để tìm

 m; n  

bằng cách gán m  X  n  F(X)

(tương tự với trường hợp còn lại) nên ta có thao tác bấm máy như sau:
B1 : Bấm MODE + 7 (để vào chức năng TABLE)
B2 : Nhập hàm F( X )   A 2  X.A
B3 : Cho Start  9; End  9; Step  1 , nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx570VN thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho
Start  14; End  14; Step  1
20


ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIẸM
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

B4 : Chọn X 

 F(X) 

từ đó thu được a 

 b

Ta nghiên cứu ví dụ sau :
Cho phương trình x 3  x 2  x  5   x  4  x  2  0 . Tìm nghiệm của phương trình.
Trong quá trình tìm nghiệm bằng SOLVE ta tìm được một nghiệm vô tỷ đơn duy nhất
là x  3,302775638 và gán nó vào biến A trong máy.
B1 : Bấm MODE + 7 (để vào chức năng TABLE)
B2 : Nhập hàm F( X )   A 2  X.A
B3 : Cho Start  9; End  9; Step  1 , nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx570VN thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho
Start  14; End  14; Step  1
B4 : Ta thấy X  3  F(X)  1 nên ta chọn  a; b    3; 1

3  13
A
x 
2
Vậy nghiệm vô tỷ là nghiệm của phương trình x 2  3x  1  0  

3  13
(loai )
x 

2

3  13
sẽ bị loại do điều kiện nào đó trong quá trình giải, cách giải chi
2

tiết ta sẽ nghiên cứu vào các bài sau.

Nghiệm x 

⚠ Chú ý : Với một số bài mà chúng ta không tìm ra  a; b  

khi cho   1 thì các bạn phải

thay đổi và cho   2,3,4,5... để tìm ra (sẽ không mất thời gian khi cho   tăng dần vì ứng
với ỗi giá trị ta chỉ mất 30 giây để tìm cặp số thỏa mãn chính vì vậy các bạn phải kiên trì và
nhớ đến câu nói nổi tiếng của Samuel Johnson : “Những thành tựu vĩ đại không được gặt
hái bằng sức mạnh mà bằng sự kiên trì”)

21


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG - SĐT: 0967453602
Email: - Facebook: @loptoanthaycuong0967453602

§8. CHỨC NĂNG CALC
1. Gán giá trị vào một biến bất kỳ, tính giá trị biểu thức
+ Cũng như việc gán một gái trị bất kỳ vào một biến bất kỳ trong máy mà không cần
sử dụng chức năng STO như sau:
Ví dụ ta muốn gán 22  A thì ta làm như sau:
Bấm ALPHA + (-) + CALC + 22
Để kiểm tra ta đã gán 22 vào biến A chưa thì ta ấn ALPHA + (-) + =
Như vậy, ngoài việc dùng chức năng STO ta cũng có thể gán một giá trị bất kỳ vào
một biến bất kỳ trong máy bằng cách gọi tên biến và ấn CALC rồi nhập giá trị cần gán.
Ngoài ra, ta cũng dùng chức năng CALC để tính giá trị biểu thức, tỉ dụ như:
Tính giá trị biểu thức P 

B1: Nhập

2x  2 y  5
6x  5y

 12 x 2  3 y  2 x  1 , biết x  1, y  2

2X  2Y  5
 12X 2  3Y  2X  1
6X  5Y

B2: Bấm CALC với X  1, Y  2 ta thu được kết quả là P 

23
4

2. Rút gọn (khai triển) đa thức hữu tỷ
Cho đa thức f ( x)  an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0 trong đó a0 , a1 ,..., an  const là các hệ số
và n  N



Mấu chốt ở đây là đi tìm các hệ số a0 , a1 ,..., an bằng cách gán x  10 k k  Z *



Giả sử ta gán x  103  1000 thì ta thu được

f (1000)  an 00an1 00...a1 00a0  an  1000 n  an  10 3 n

Do đó hệ số bậc cao nhất được tính bởi công thức an 

f (10 3 )
10 3 n

Lưu ý khi quy đổi:

103  x, 106  x2 , 109  x3 , 1012  x4 , 1015  x5 , 1018  x6 , 1021  x7 , 1024  x8
Sau khi tìm được hệ số bậc cao nhất là an rồi, để tìm các hệ số tiếp theo (theo bậc giảm
dần) là an1 ta cũng làm tương tự bằng cách lấy an1 

22

f (10 3 )  an  10 3n
3 n 1
10  


ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIẸM
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC


f (10 k )
an 
10 kn

n
TỔNG QUÁT: 
k n  i 1
k

f
(10
)

ani 1  10 


i 1
ani 
k ni
10  


 n, i  N ; n  i ; k  Z 
*

Ta nghiên cứu một số ví dụ sau





Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau P  x 3  x 2  x  5   x  4   x  2 
2

2

Ta thấy P là một đa thức hữu tỷ và có dạng như sau
P  a6 x 6  a5 x 5  a4 x 4  a3 x 3  a2 x 2  a1x  a0

Trong đó a0  a6  const là các hệ số tăng dần theo bậc và được tìm như sau:





2
2
B1: Để tìm hệ số a6 ta nhập  X 3  X 2  X  5   X  4   X  2   : X 6 rồi CALC với



X  103 ta thu được kq  0,997998991  1  a6  1
B3 : Để tìm hệ số a 5 ta bấm phím back ◁ và sửa lại thành





 X 3  X 2  X  5 2  X  4 2 X  2  X 6  : X 5 rồi cũng CALC với X  103 ta thu được


 

kq  2,001008999  2  a5  2

B4: Để tìm hệ số a 4 ta bấm ta bấm phím back ◁ và sửa lại thành





 X 3  X 2  X  5 2  X  4 2 X  2  X 6  2X 5  : X 4 rồi cũng CALC với X  103 ta thu





được kq  1,008999022  1  a4  1
B5: Để tìm hệ số a 3 ta bấm phím back ◁ và sửa lại thành





 X 3  X 2  X  5 2  X  4 2 X  2  X 6  2X 5  X 4  : X 3 rồi cũng CALC với X  103 ta





thu được kq  8,999022007  9  a3  9
B5: Để tìm hệ số a 2 ta bấm phím back ◁ và sửa lại thành





 X 3  X 2  X  5 2  X  4 2 X  2  X 6  2X 5  X 4  9X 3  : X 2 rồi cũng CALC với







X  103 ta thu được kq  0,977993  1  a2  1
B6: Để tìm hệ số a1 ta bấm phím back ◁ và sửa lại thành

23


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG - SĐT: 0967453602
Email: - Facebook: @loptoanthaycuong0967453602





 X 3  X 2  X  5 2  X  4 2 X  2  X 6  2X 5  X 4  9X 3  X 2  : X rồi cũng CALC với






X  103 ta thu được kq  22,007  22  a1  22
B7: Để tìm hệ số a0 ta bấm phím back ◁ và sửa lại thành





 X 3  X 2  X  5 2  X  4 2 X  2  X 6  2X 5  X 4  9X 3  X 2  22X  rồi cũng CALC





với X  103 ta thu được kq  7  a0  7
B8: Thử lại phép tính bằng cách bấm phím back ◁ và sửa lại thành





 X 3  X 2  X  5 2  X  4 2 X  2  X 6  2X 5  X 4  9X 3  X 2  22X  7 





CALC với X bất kỳ ta thu được kq  0 tức là ta đã làm đúng.

rồi

cũng

Như vậy P  x6  2x5  x4  9x3  x2  22x  7



Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau Q  2 x 2  2 x  1

 1  2 x    8 x
2

2

2

 8x  1

 x  x 
2

2

Hoàn toàn tương tự như trên ta thu được kết quả là
Q  80 x 6  240 x 5  276 x 4  152 x 3  45x 2  9 x  1

3. Chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử
a. Đa thức hữu tỷ
Hoàn toàn tương tự về phương pháp làm ở mục 2, ta nghiên cứu các ví dụ sau đây:

x6  2 x 5  x 4  9 x 3  x 2  22 x  7
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau P( x) 
x2  3x  1
Ta thấy P có bậc cao nhất là bốn và hệ số của bậc bốn là 1 nên
P( x)  x 4  a3 x 3  a2 x 2  a1 x  a0 , ta đi tìm các hệ số còn lại bằng cách áp dụng công thức
n

ani 

k n i 1
f (10 k )   ani 1  10 

Do đó a3 

i 1

k ni
10  

 n, i  N ; n  i 

P(10 3 )  a4  1012
 1  a4  1 , hoàn toàn tương tự ta có a2  3, a1  1, a0  7
109

Như vậy, ta thu được kết quả là P( x)  x 4  x 3  3 x 2  x  7





Để kiểm tra tính đúng sai của kết quả ta nhập P( X )  X 4  X 3  3X 2  X  7 rồi CALC
với số bất kỳ, nếu kết quả là 0 thì đúng và ngược lại. Trong bài này kết quả ra 0.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử P  80x6  240x5  276x4  152x3  45x2  9x  1
24